Inleiding Natuurwetenschappen

Transcriptie

1 Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut Docent: Tilko Mooibroek Ltste Muttie: september 008 www nm: JBI_inlnt.pdf

2 Indeling lessen: september: 7:45 :45 Les uur Onderwerp Regels en fsprken Werken met letters 3 Mchten, Wortels en Logritmen 4 Tellers en Noemers 3 september: 7:45 :45 Les uur Onderwerp Terug blik op vorige les. e Grdsvergelijkingen 3 e Grdsvergelijkingen 4 Omrekenen mten en gewichten 6 september: 09:30 3:30 Les uur Onderwerp Hoeken, resultnte, Lijnen 3 Cirkels, sinus, cosinus 4 Afsluiting Inleiding Ntuur wetenschppen

3 Regels en fsprken In de wiskunde hebben we met elkr enkele fsprken gemkt over gebruik vn de rekenregels en bijvoorbeeld de hkjes. Hiervoor is een rijmpje gemkt en gt ls volgt: Mchtsverheffen Vermeningvuldigen Delen Worteltrekken Optellen Aftrekken Meneer Vn Dlen Wcht Op Antwoord. Dit houdt in dt wnneer er in een rekenregel zou stn 5 3 eerst moet worden vermenigvuldigd en ver volgens moet worden opgeteld. De uitkomst wordt dus. wnneer we de regel zouden nemen zols hij wordt geschreven zou er 6 uit komen. Uw rekenmchine zl ls het goed is deze regel ook toepssen. Doet hij dt niet dn heeft u geen wetenschppelijke rekenmchine en moet u heel goed opletten hoe uw de opgve gt uit rekenen. Met boven gegeven voorbeeld kunt u controleren of de rekenmchine die u gebruikt voldoet n deze regel. Een ndere fsprk die is gemkt heeft betrekking op het gebruik vn de hkjes. Stel dt u toch wilt uit rekenen dt u keer 3 en 5 euro moet uit betlen. Hiervoor hebben we de hulp ingeroepen vn de hkjes. Door hkjes te gebruiken kunnen we fwijken vn de stndrd regel. Binnen de hkjes echter gt meneer vn dlen gewoon weer zijn regel toepssen. In ons gevl moeten we dus schrijven ( 5 3 ) er komt nu wel 6 euro uit. Ook uw rekenmchine gebruikt de hkjes op de ngegeven mnier. Wnneer er meerdere hkjes worden gebruikt of er hkjes binnen hkjes worden gebruikt, dn werken we ltijd vn binnen nr buiten. Voorbeeld: ( 3 ( 5 4 ) ( 3 ) ( 6 )) Eerst de binnenste hken wegwerken ( 3 ( 9 ) ( 5 ) ( 8 )) = ( ) nu binnen de hkjes meneer vn dlen. ( 35 8 ) en dn de ltste hkjes weg, geeft 43 = 86 Nst het uitrekenen vn een wrde met hkjes is het ook mogelijk de hkjes eerst weg te werken. Hkjes kunnen worden verwijderd ls we lle elementen binnen het hkje combineren met de wrde die ervoor stt (of er chter). Deze regel geld lleen bij het vermenigvuldigen vn een wrde, eventueel ook tussen Inleiding Ntuur wetenschppen 3

4 hkjes met een ndere wrde die tussen hkjes stt. Een voorbeeld geeft misschien wt meer duidelijkheid. Ons eerste voorbeeld : ( 3 5 ). Nu moeten we lle elementen ( 3 en 5 ) gn vermenigvuldigen met de. er dn te stn : 3 5 = 6 0 = 6. dt is dus het zelfde ls met 8. Het gebruik vn de plus en de min Wnneer we vermenigvuldigen kn de wrde vn een getl omsln vn plus nr min ( of nders om) wnneer de wrde vn de getllen vn elkr verschillen. Zo zl de uit komst vn positieve getllen een positief getl op leveren en de vermenigvuldiging vn negtieve getllen ook een positief getl. Wnneer we echter een positief getl vermenigvuldigen met een negtief getl zl de uitkomst ltijd negtief zijn. Voorbeeld: 3 = = 6-3 = -6-3 = -6 Moeten we uit rekenen wt ( 5 3 ) moet worden en we zouden eerst de hkjes weg werken dn krijgen we 5-3 = 0 (-6) wrbij ml negtief word, en er 0 6 komt te stn. De uit komst is 4. Wnneer een getl negtief is zetten we voor dt getl een min -teken. Wnneer het getl positief is lten we het plus -teken in de regel weg. Inleiding Ntuur wetenschppen 4

5 Het gebruik vn letters: Binnen de wiskunde komt het regel mtig voor dt wrden onbekend zijn of fhnkelijk vn ndere wrden. We willen weten wt de lengte vn een lijn is, of de totle kosten vn een order ls we de prijs per stuk en het ntl weten. Voor die bewuste onbekende gebruiken we dn letters, of voor de leesbrheid fkortingen. In de goniometrie gebruiken we de, b en c voor de hoeken of lijn stukken. X, en z gebruiken we bij e en e grdsvergelijkingen. Om nu de verwrring vn de en het ml-teken te voorkomen gn zullen we vnf nu het ml-teken vervngen door een punt. Wnneer we letters gebruiken lten we in de regel de punt weg. Dus A B is het zelfde ls AB. Ook tussen hkjes of een wrde met hkjes word de punt weggelten. Dus A ( B C ) is het zelfde ls A ( B C ) min -teken met letters. Wnneer een wrde negtief is zetten we voor de letter een min -teken. Bestt een wrde uit de combintie vn meerder letters dn zetten we het min -teken ltijd voor de eerste letter. Het mkt immers niet uit binnen een vermenigvuldiging wr een min -teken stt omdt het resultt ltijd negtief is. Voorbeeld: A ( B C ) => AB A (-C) = AB AC ( A B ) ( C D ) De ) ( kn ook worden geschreven ls ) ( wrdoor deze term ook kn worden geschreven ls (A B ) C (D) => (A B) C D de eerste term kn zonder hken worden geschreven omdt de die ervoor stt geen invloed heeft op de termen binnen de hken. Het ntwoord wordt dn A B C D Letters en Hkjes. Wnneer we gebruik mken vn letters en hkjes dn wordt het lstiger om eerst een wrde uit te rekenen omdt we vn de letters nog niet weten wt de wrde is. In dt gevl moeten we steeds proberen het ntl hkjes tot een minimum te beperken. Zie ook het onderwerp binnen en buiten de hkjes hlen. Volgorde vn de letters. Het is gebruikelijk om de letters in lfbetische volgorde neer te zetten. Als er mchten in de letters zitten dn worden de mchten vn hoog nr lg genoteerd, hier komen we lter nog bij mchten op terug met een voorbeeld. Cijfers en letters over het = -teken verpltsen We mogen cijfers en letters over het = -teken verpltsen op voorwrde dt we het teken wt voor het cijfer of de letter stt vn wrde lten omkeren ( dus vermenigvuldigen met - ). Inleiding Ntuur wetenschppen 5

6 Voorbeeld: 5 3 = 0 Als we de 5 nr rechts willen verpltsen dn wordt de een. Er stt ook een plus voor de 5 mr die schrijven we in de regel niet. (zie ook onder het kopje: wt is er wel mr schrijven we niet) 3 = 0 5 Verpltsen we de vn rechts nr links dn wordt de - een 3 = 0 5 We zien steeds dt de bewering wr blijft. Als ltste verpltsen we de 0 en zien we dt de een - word. 3 0 = -5 en dt klopt ook weer. Kruiselings vermenigvuldigen. Bij kruiselings vermenigvuldigen verpltsen we ook getllen ( of letters ) vn de ene knt vn het = -teken nr de ndere, lleen nu wisselen we ze vn teller en noemer. Bij deze verschuiving blijft het en - -teken ongewijzigd. Voorbeeld: A = B C D het feit dt er een - teken voor de A stt wil nog niet zeggen dt A zelfs ook negtief is. We gn nu de Atjes tot Dtjes net zolng verschuiven tot we weer terug zijn bij de begin situtie. C C BC BC = of = => = => D = => B AD B AD AD A AD A C AD = CB => = C => = B B D D C = B A AD => = B C Wt is er wel mr schrijven we niet. Eerste term Voor de eerste term zetten we nooit een ls het getl groter is dn 0. dus we schrijven 5 3 = 8 voor de 5 en de 8 zetten we geen teken. Ook ls we schrijven A = B doen we dt voor de A en B niet. Voor een letter Voor een letter zetten we geen. Dus we schrijven A = B en we bedoelen A = B Inleiding Ntuur wetenschppen 6

7 Dus ook met A = 5 B wordt bedoeld: - A = 5 - B Vndr ook dt we bij kruiselingsvermenigvuldigen de - in de teller kunnen lten stn en de A in de noemer vn de term n de ndere knt vn het = teken kunnen zetten zonder dt het invloed heeft op de vergelijking. Het ml teken lleen ls het nodig is. Het teken zetten we er eigenlijk lleen neer ls het de nottie verduidelijkt. Dus ls er meerdere letters chter elkr stn of ls er cijfers voor stn lten we de punt weg. Dus A B schrijven we ls AB. Ook tussen de hkjes schijven we geen punt dus (AB) (CA) wordt (AB)(CA) In de mcht In de mcht vn een letter stt eigenlijk een. mr deze schrijven we niet. Dus met een A bedoelen we A In de wortel In de wortel zetten we de niet neer mr die stt er wel. De wortel uit 5 is 5 we schrijven 5 en we bedoelen 5 ( hier lijkt te stn ml de wortel uit 5 mr de is het grond-getl vn de wortel. Hier stt 5 een klein verschil mr het mkt een groot verschil in de uitkomst.) bij wortels en mchten komen we terug op de toepssing. Inleiding Ntuur wetenschppen 7

8 Breuken Bij breuken hebben we een teller en een noemer. De teller stt ltijd boven de deel streep en de noemer stt er ltijd onder. Teller de teller en de noemer kunnen op hun beurt weer bestn uit verschillende Noemer termen of zelfs een breuk. In het ltste gevl bestt de teller of de noemer zelf ook weer uit een teller en een noemer. 3 hier bestt de teller uit het product 3 en de noemer uit die op zijn beurt weer is op gebouwd uit een teller vn en een noemer vn. delen door een breuk is vermenig vuldigen met het omgekeerde in ons voorbeeld : 3 delen door blijft het zelfde en mogen we weglten. dus er blijft over 3 =. Inleiding Ntuur wetenschppen 8

9 Getllen tussen 0 en : Wnneer we een getl vermenigvuldigen met een getl tussen 0 en dn wordt het resultt ltijd kleiner dn het eerste getl. Hoe dichter het getl bij 0 ligt hoe kleiner het resultt vn het product. 00 0, = 0 en 00 0,9 = 90 Wnneer we een getl delen door een getl tussen 0 en dn wordt het resultt groter dn het getl in de teller. Hoe dichter het getl bij de nul ligt hoe groter het resultt wordt = 000 en =, 0, 0,9 Inleiding Ntuur wetenschppen 9

10 Binnen en buiten de hken hlen Het binnen en buiten hken hlen vn letters gebeurt n de hnd vn de regels die vermenigvuldigen met zich meebrengen. Voorbeeld buiten hken hlen ( of wegwerken): ( b) = b Voorbeeld binnen hken hlen ( b) ( b) = ( ) ( b) Denk er dus goed om dt er wel iets is mr dt we dt niet opschrijven. Dus vergeet de voor de e term niet!! Binnen hken hlen werkt lleen ls beide termen n elkr gelijk zijn. Inleiding Ntuur wetenschppen 0

11 Mchten en wortels De mcht geeft n hoe vk een getl met zich zelf moet worden vermenigvuldigt. Mchten zijn dn ook lleen mr een verkorte schrijfwijze. 3 = = 8 Heeft de mcht een betrekking op elementen die tussen hkjes stn, zetten we steeds de volledige term chter elkr ( b) ( b) 3 3 = ( b)( b)( b) = b b b Mchten met een zelfde grondgetl (of letter) mogen bij elkr worden opgeteld. In ons ltste voorbeeld kunnen we dus ook schrijven ls ( b ) = b Mr ook = vergeet niet dt bij de eerste de mcht niet wordt geschreven mr er wel is. Algemeen kn worden geschreven : = ( ) Bij een breuk kunnen we de noemer omzetten in een teller door de mcht te vermenigvuldigen met -. (vn teller nr noemer dus ook vermenigvuldigen met -. = = lgemeen schrijven omdt het zelfde is ls = ( ) 0, dit is een fsprk. Kunnen we in het Voorbeeld : 5 = (5 3) = 3 Wnneer de mcht negtief is in de teller wil dt dus zeggen dt het positief wordt in de noemer. ( - * - = ) en nders om. = mr ook 3 = 3 Wortels: = wnneer we willen weten kunnen we dt uitrekenen met een wortel: = of = Inleiding Ntuur wetenschppen

12 Logritmen Enkele principes: log = = Dit mg ook worden geschreven met een vst grondtl ( op de rekenmchine 0) en dn krijgen we : log = log Voorbeeld: 5 = 5 uit het hoofd weten we dt er uit moet komen en vi de rekenmchine rekenen we dt uit met. log 5 log 5 = = Verder enkele logritmische regels. log( ) = log log log( ) = log log log( ) = log Het bewijs vn de eerste formule : Stel : log( ) = q log = z log = p We mogen dus ook schrijven : z p = z en p kn nu ook worden geschreven ls het begin en rekenen we q uit dn mogen we schrijven z = en p = gn we nu teru nr q we hebben gezien z p = q en mogen dn = schrijven. Vi de stndrd regel ( zie boven n deze pgin) kn dus weer worden geschreven : log( ) = q dus de stelling klopt. Op een zelfde mnier kunnen ook de ndere stellingen worden bewezen. z p = ( z p) Inleiding Ntuur wetenschppen

13 Inleiding Ntuur wetenschppen 3 De Teller. De teller is het bovenste gedeelte vn een breuk. In de breuk 5 is de de teller. De teller kn zonder problemen worden opgesplitst zonder de wrde vn de breuk te vernderen. Om term in de teller te krijgen mogen we steeds de teller opdelen bij een of een - zolng we de noemer mr ongemoeid lten. Voorbeeld: = mr ook = c b c b Het smen voegen vn verschillende breuken kn lleen wnneer de noemer in elke breuk het zelfde is. Voorbeeld: z z z z = = = het ltste leest wt mkelijker.

14 Noemers De noemer is het onderste gedeelte vn een breuk. In de breuk 5 is de 5 de noemer. Om meerdere termen onder noemer te zetten heeft wt meer voeten in de rde. We moeten eerst zorgen dt de noemers n elkr gelijk zijn om de tellers bij elkr op te mogen tellen ( zie ook het voorbeeld bij het kopje teller). Voorbeeld: om de noemers gelijk te krijgen moeten we beide termen vermenigvuldigen met de noemer vn de ndere breuk. Dt mg lleen ls we dn ook direct weer lles door deze term delen. We vermenigvuldigen dn dus met en dt mg ltijd. Een voordeelt is misschien wt mkelijker. ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) vn mken de noemer zijn nu gelijk en we mogen er breuk ( ) ( ) 3 4 = = de hken in de noemer zouden ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) nog kunnen worden uitgewerkt. Probeer bij het uitwerken ook de niet geschreven steeds mee te nemen dn mkt u minder vergissingen. Inleiding Ntuur wetenschppen 4

15 e grdsvergelijkingen Bij een eerstegrdsvergelijking is er een onbekende, meestl die moet worden opgelost. Er is geen mcht in het spel die ongelijk is. Voorbeeld: 5 = is een eerstegrdsvergelijking. Oplossing: breng lle -en nr knt en lle constnten nr de ndere knt. Vergeet drbij niet vn de plus een min te mken en ndersom. 6 = 5 = 6 = = 3 we houden een over wnneer we door kruiselings vermenigvuldigen de nr de ndere knt vn het = -teken verpltsen. Nst wrde kn de ook voldoen n meerdere wrden. Als we schrijven : 5 < 0 dn zijn er verschillende wrden die n deze stelling voldoen. We schrijven dit eerst ls 5 = 0 = 0 5 = 5 en vervolgens gn we kijken of er een groter dn of een kleiner dn teken moet komen te stn. Dit doen we dn door een hele kleine wrde en een hele grote wrde in te voeren. Om te beginnen zeggen we =0. ls we die in de originele formule invoeren dn stt er 05<0 en dt is wr. Vullen we =0 in de ltste formule in dn moet het ook wr zijn. Dus 0=5 het = -teken moet nu een groter of kleiner-dn worden. Deze stelling is lleen wr wnneer er zou stn 0<5. ls ltste testen we nog even of een groot getl ook wr is. We nemen =00. in de eerste formule stt er 005<0 en dt is niet wr. Dus in de ltste formule moet het ook niet wr zijn. 00 < 5 en dt is niet wr dus het moet een kleiner dn teken worden. Dus we mogen nu zeggen dt bij een < 5 de stelling 5<0 ltijd wr is. Een eerstegrdsvergelijking in wordt geschreven ls b = 0 wrbij 0. Vn een eerstegrdsvergelijking kunnen we ook een grfische voorstelling mken. We schrijven dt ls f ( ) = b wrbij f () de -wrde in de grfiek is. De noemen we de richtingscoëfficiënt ( dus hoever gt de lijn omhoog of nr beneden ls we plts nr rechts gn = nr =3 bijvoorbeeld) en de b is de snijpunt vn de lijn met de -s. Als we nmelijk voor =0 (is de -s) invullen blijft lleen de b over en dt is dn ook direct het snijpunt. Voor het berekenen vn het snijpunt vn de -s is de -wrde 0. b De formule wordt nu 0 = b b = = Wnneer positief is dn loop de lijn vn links onder nr rechts boven en ls negtief is dn loopt de lijn vn links boven nr rechts onder. Inleiding Ntuur wetenschppen 5

16 De formule voor de rode lijn kn ls volgt worden gevonden: Het snijpunt met de -s is 4 dus b = 5 en de richtingscoëfficiënt is 0,5 dus = 0,5 invullen in de formule geeft f ( ) = 0,5 5 voor elke in te vullen komt een -wrde die een punt vertegenwoordigt op de rode lijn. Formule voor de bluwe lijn vinden we op een zelfde mnier. B = 8 en = - (de lijn loopt nr beneden dus de wrde vn is dn ltijd negtief.) De formule voor de bluwe lijn wordt dn g ( ) = 8 voor elke lijn gebruiken we een ndere letter voor de -wrde. We kunnen nu ook uitrekenen wr de lijnen elkr kruizen. Om te weten op welke - en -wrde dt gebeurt. Stellen we f ( ) = g( ) dus voor beide geld in ieder gevl dt de -wrden l elkr gelijk moeten zijn. Inleiding Ntuur wetenschppen 6

17 We schrijven : 0,5 5 = 8 nu lle -en nr knt en de constnten nr de ndere knt. - wordt en 5 wordt ,5 = 8 5 (0,5 ) = 3 = = = =,,5 5 5 We hebben nu de -wrde om de -wrde te vinden moeten we de -wrde invoeren in vn de formules. Omdt in het snijpunt het niet uitmkt welke formule we nemen zoek we de mkkelijkste ls dt nwezig is. In ons voorbeeld neem ik de f ( ) = 0,5 5 0,5, 5 = 0,6 5 = 5, 6 In het punt (,;5,6) vinden we dus het snijpunt. Hebben we vn de lijn slecht punten dn kunnen we de lijn ook mken. En dt kn op verschillende mnieren. Dit is er eentje. Bsis dus het werkt ltijd mr is niet ltijd de snelste. We weten vn een lijn de volgende punten f ( 0) = 8; f ( 6) = 6dt wil zeggen dt bij een -wrde vn 0 een -wrde vn 8 hoort en bij een -wrde vn -6 hoort een -wrde vn -6. Met de stndrd formule = b hebben we vergelijkingen en onbekenden. Deze is dn op te lossen. En dt gt ls volgt, vul beide punten in de stndrd formule in, dit geeft : 8 = (0) b 6 = ( 6) b Als we beide formules vn elkr ftrekken vlt de b weg en houden we lleen de over. 4 8 ( 6) = 0 ( 6) 8 6 = = 6 = =,5 6 Deze,5 kunnen we nu invullen in een vn de formules. Ook nu nemen we de mkkelijkste dus de eerst wnt werken met het - -teken levert toch vk problemen op. We krijgen 8 =,5 0 b 8 = 5 b 8 5 = b b = 3 de formule voor de lijn die gt door de punten (0;8) en (-6;-6) is f ( ) =,5 3. U hd ook kunnen zeggen we nemen het verschil tussen de -wrden (0 (-6) = 6) en het verschil tussen de -wrden (8 (-6) ) = 4 en de richtingscoëfficiënt is verschil( wrde) dn dus 4 =, 5 deze invullen in vn de formules en u heeft verschil( wrde) 6 de b-wrde. Mr omdt bsolute fstnden en zeker ls er negtieve wrden bij te ps komen de kns op fouten steeds groter wordt is het n te rden de bsis oplossing vn vribelen met onbekenden te gebruiken. Bent u wel hndig met de tweede methode is dt heleml geen probleem om deze te gebruiken. Inleiding Ntuur wetenschppen 7

18 e grdsvergelijkingen De e grdsvergelijking wordt gekenmerkt door de volgende opzet: f ( ) = b c Wrbij 0 Wnneer > 0 dn wordt het een dl prbool en ls < 0 dn wordt het een bergprbool. De prbool heeft 4 specile punten. Wrvn er onder beplde omstndigheden niet nwezig kunnen zijn. De eerste is het snijpunt met de -s. Dt is vnuit de formule de constnt wrde c. Wnneer de niet nwezig lijkt te zijn dn is c dus 0 en het snijpunt (0;0). Het tweede bijzondere punt is de top. Bij zowel de berg ls de dl prbool spreken we over de top lhoewel het bij de dlprbool wt onlogische klinkt. b De -wrde vn de top kunnen we berekenen uit de formule. Met het resultt kn dn, n invullen in de functie, de -wrde worden berekend. Als ltste hebben we de snijpunt(en) met de -s, wnneer de prbool onder of boven de -s ligt dn is er geen snijpunt. Wnneer de top op de -s ligt dn is er rkpunt. In lle ndere gevllen zijn er snijpunten. Voor het berekenen vn de snijpunten hebben we de bc-formule:, b ± = b 4 c De fctor b 4 c moet dus groter of gelijk n 0 zijn wnt de wortel uit een negtief getl is niet mogelijk. Wordt deze fctor wel negtief dn is er geen snijpunt met de -s. Wordt de fctor 0 dn is er een rkpunt. Voorbeeld : f ( ) = Volgens de bc-formule moeten we invullen : =3, b=6 en c=-5 6 ± ( 5) 6 ± , = = =, =,633 en = 0, = 6 6 b 6 De -top ligt op = = invullen in de functie geeft f(-) = -8 3 f ( ) = 3 ( ) 6 ( ) 5 = = 8 Inleiding Ntuur wetenschppen 8

19 De grfiek komt er dn ls volgt uit te zien. We willen nu een lijn trekken door de prbool en gn uitrekenen wt de snijpunten vn de prbool zijn met deze lijn. De functie vn de lijn is: g ( ) = 3 3 Als we de snijpunten willen weten moeten we de functies n elkr gelijk stellen: f ( ) = g( ) de -wrden vn beide punten zijn immers n elkr gelijk = willen we dit op kunnen lossen dn mken we er een nieuwe 3 3 formule vn door lle wrden nr links te verpltsen. Wrbij we de sen en de - en vn wrde lten keren. wordt en wordt we krijgen dn : = 0 3 (6 ) (5 ) = 0 door de /3 binnen hken te hlen en er l een - voor de hken stt wordt dus /3 een!! = 0 = 3, b = 4, c = 5 invullen in de bc-formule geeft de wrden : = 0,80 en =-,36, deze weer invullen in de functie en voor het gemk nemen we ntuurlijk de de eerste grds functie wnt dt is het mkkelijkste. Geeft voor een -wrde vn,74 en voor een -wrde vn -,48 ls u zeker wilt weten of de wrden goed zijn vult u de en ook in bij f() het resultt moet het zelfde zijn! Inleiding Ntuur wetenschppen 9

20 Sinussen, cosinussen en hoeken. Een cirkel kunnen we verdelen in grden en rdilen. Voor grden hebben we 360 om een cirkel rond te krijgen en voor rdilen п (uitspreken ls pi). In de volgende figuur ziet u een voorbeeld. Wnneer we de omtrek vn de cirkel willen weten vermenigvuldigen we de strl (r) met п. Willen we slechts een deel vn de cirkel berekenen dn nemen we de rdil vn de hoek en vermenigvuldigen die met de strl (r). Om vn een hoek nr rdilen te komen of nders om gebruiken we de volgende omrekening: grden rdilen π = rdilen. en grden = π o π = π 80 Willen we een loctie op de cirkel ngeven dn kunnen we door middel vn de sin. en de cos. berekenen op welke plts dt op de - en -s moet zijn. In het volgende de vorige figuur ziet u in loctie A wr de wrden liggen. Voor een willekeurig punt op de cirkel (met strl vn ) kunnen we schrijven = cos α sin α = Denk even om het volgende met cos α bedoelen we (cosα ) mr we kunnen niet schrijven cosα wnt dt zou kunnen betekenen dt de kwdrt bij de lf zou horen en dt is dus niet zo. Denkt u dt het twijfels geeft plts dn hken zodt er geen verwrring ontstt. Wnneer we een sinus of cosinus tekenen krijgen we met de functie f() = sin() een figuur die er ls volgt uit gt zien. Inleiding Ntuur wetenschppen 0

21 Voor g() = cos() krijgen we een grfische voorstelling zols hieronder is weer gegeven. Uit beide functie kunnen we fleiden dt het dezelfde figuren zijn lleen iets verschoven. Om precies te zijn een π we kunnen f() dus ook schrijven ls cosinus met ls functie : f ( ) = cos( π ) of vnuit functie g() gezien : g ( ) = sin( π ) Dus ook kn nu worden gesteld dt : sin( ) = cos( π ) en cos( ) = sin( π ) In de sinusfiguur is bij π de -s vn de cosinus getekend! Verder mg worden gesteld dt : sin( ) = sin( ) cos( ) = cos( ) tn( ) = tn( ) Willen we de sinus of cosinus verschuiven nr rechts of lings dn tellen we bij de wrde de verschuiving op net zolng tot hij op de goede plts ligt. Nst de verschuiving zijn er nog vribelen die de sinus of cosinus vn vorm kunnen lten vernderen. De eerste is de mplitude dt is de wrde wrmee de hoogte vn de sinus wordt bepld stndrd is dt dt is dn weer een wrde die er wel is Inleiding Ntuur wetenschppen

22 mr niet wordt geschreven. En ls ltste kunnen we de breedte vn de sinus vrieren. Voor een grfische voorstelling zie de volgende figuur. In formule vorm krijgen we nu : f ( ) = sin( b k ) = mplitude = hoogte b = fse = verschuiving k=ntl golven per п rdilen. Als k= dn zit er golf tussen 0 en п wnneer b > 0 dn verschuift de sinus b rdilen nr links, wnneer b < 0 dn verschuift de sinus b rdilen nr rechts. Voor de cosinus kunnen we het zelfde opstellen. Voor het effect vn, k en b vernderd er niets. U moet lleen uit gn vn de cosinus ls bsis. Voorwrde: wnneer niet wordt geschreven is hij, ls k niet wordt geschreven is hij ook mr ls b niet wordt geschreven is hij 0. Inleiding Ntuur wetenschppen

23 Hoeken: Wnneer we een driehoek hebben met een rechtehoek ( dus vn de hoeken is 90 o ) dn kunnen we met de stelling vn Pthgors de lengten vn de verschillende lijnen uitrekenen.de stelling luidt: b = c Als dus vn de 3 lijn lengtes bekend zijn kn de derde worden berekend. Verder weten we vn een driehoek dt de som vn de hoeken ltijd 80 o is. Omdt bij een rechthoekige driehoek één vn de hoeken 90 o is moeten dus de twee ndere smen ook 90 o zijn. Weten we een hoek en vn de lengte vn een lijnstuk dn kunnen we ook de ndere hoeken en lijnstukken uitrekenen. Hiervoor hebben we een drietl formules: sin α = c b cos α = c tn α = b De oppervlkte vn een rechthoekige driehoek is oppv. = b dt is dus de helft vn een vierknt met zijde en b. Willekeurige driehoeken. Bij willekeurige driehoeken zijn de hoeken vn de driehoek ook 80 o mr is geen vn de hoeken 90 o De volgende figuur is zo n driehoek. De hoek, b en c kunnen dus in grote frieren mr zijn wel steeds bij elkr opgeteld 80 o. Inleiding Ntuur wetenschppen 3

24 Hiervoor gelden de nvolgende regels: Regels zie pgin 99. b c = = ( sinusregel ) sinα sin β sin χ = b c b c cosα (cosinusregel) De oppervlkte vn een willekeurige driehoek is : opperv. = b c sinα = c sin β = b sin χ Inleiding Ntuur wetenschppen 4

25 Resultnte: De resultnte vn vectoren wordt ls volgt berekend: We hebben de vectoren en b ( de rode lijnen). Prllel n de lijnen en b tekenen we nu de lijnen en b. de groene lijn is nu de resultnte vn de vectoren en b. Inleiding Ntuur wetenschppen 5