Platte en bolle meetkunde

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Platte en bolle meetkunde"

Transcriptie

1 Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor vn der lij hrtelijk dnken voor het eschikr stellen vn zijn ntekeningen. Inleiding Een vn de oudste en meest ekende stellingen vn de meetkunde zegt, dt de som vn de hoeken vn een driehoek 180 grden is. Hierin worden de hoeken in grden gemeten. Dt kn ook nders; een hoek kn je ook meten door het hoekpunt ls middelpunt vn een cirkel met strl 1 te nemen. De enen vn de hoek sluiten dn een stukje cirkeloog in, en de lengte drvn levert een mt voor de hoek. Dit geeft dus gewoon de grootte vn een hoek in rdilen. Met dit egrip krijgen we dn Stelling. De som vn de hoeken vn een driehoek is π. In dit hoofdstuk gn we ruimtemeetkunde edrijven. De rol vn de driehoek gt dn vervuld worden door het viervlk. D We zien vier hoekpunten. De Hoek ij zullen we, in nlogie met gewone hoeken in rdilen, meten door ls middelpunt vn een ol met strl 1 te nemen. De vlkken, D en D snijden de ol in drie cirkels (deze heen strl 1 en middelpunt ). Het geied innen de Hoek correspondeert 1

2 2 F. VN DER LIJ dn met een oldriehoek op onze ol. Dit is een figuur egrensd door drie stukken vn de gegeven cirkels op de ol. D De grootte vn de Hoek definiëren we ls de oppervlkte vn deze oldriehoek. We zullen hier lleen oldriehoeken ekijken wrvn de cirkelogen kleiner dn een hlve cirkel zijn. Het is wel duidelijk, hoe we met onze definitie de grootte vn een gewone kmerhoek kunnen eplen. Immers, de ijehorende oldriehoek vormt precies een chtste deel vn het oloppervlk. De oppervlkte vn een ol met strl r is 4πr 2, dus deze oldriehoek heeft oppervlkte π/2. Een gewone rechte Hoek heeft dus, net ls in het vlk, grootte π/2. Het is l minder eenvoudig de grootte vn een Hoek vn een regelmtig viervlk te erekenen. De vrg, die de genoemde stelling plus de zojuist gegeven definitie oproept, is de volgende. Hoe groot is de som vn de Hoeken vn een willekeurig viervlk? Intermezzo 1 In het gewone pltte vlk is de som vn de hoeken vn een driehoek gelijk n π. Hoe wordt dit eigenlijk ewezen? Misschien geeft het ewijs vn het vlkke gevl ons inspirtie voor de erekening in het driedimensionle gevl. Hels is het een moeilijke zk. De stelling over de som vn de hoeken vn een driehoek is nmelijk fhnkelijk vn het l dn niet gelden vn het xiom over de evenwijdige lijnen vn Euclides. Dit xiom zegt, dt gegeven een lijn en een punt dt niet op die lijn ligt, er precies één lijn door dt punt gt die evenwijdig is n de eerste lijn. Het stndrdewijs geruikt zo n lijn door de top vn de driehoek evenwijdig n de sis. Met het principe vn verwisselende innenhoeken volgt dn vrij eenvoudig de te ewijzen ewering. Er zijn frie vrinten en (schijn)ewijzen. ijvooreeld kn je uitgn vn een etegeling vn het vlk met lleml onderling congruente driehoeken:

3 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 3 Een nog mooier schijnewijs krijg je door onderstnde figuur vn een vrij grote fstnd te ekijken: Het lijkt dn dt de drie gemerkte hoeken smen 2π zijn. De hoeken vn het driehoekje zijn hier nevenhoeken vn (dt wil zeggen, de nvulling tot π). lle 6 hoeken smen zijn dus 3 π, en derhlve is de som vn de hoeken vn de driehoek 3π 2π = π. oldriehoeksmeting Voor het meten vn onze Hoeken moeten we de oppervlkte vn oldriehoeken erekenen. Zo n oldriehoek heeft drie zijden, dt zijn ogen vn cirkels op de ol. Verder heen ze drie hoeken, dt zijn de hoeken tussen de rklijnen in een hoekpunt n de twee ogen door dt hoekpunt. De hieroven ngegeven ewijzen voor de stelling over de som vn de hoeken vn een vlkke driehoek helpen niet direct. Uiteindelijk zijn we geïnteresseerd in de som vn de Hoeken vn een viervlk. Mr we gn ons eerst ezig houden met de som vn de hoeken vn een oldriehoek. Zou er een vernd tussen die twee prolemen zijn? Voor het estuderen vn de som vn de hoeken in een oldriehoek, werken de pltjes met etegelingen of met evenwijdige lijnen niet zo goed. We gn dus mr wt oldriehoeksmeting opzetten. Voor de rdigheid ontwikkelen we de vlkke-driehoeksmeting en de ol-driehoeksmeting nst elkr.

4 4 F. VN DER LIJ γ γ α β c α c β We herinneren er nog even n dt de zijden vn een oldriehoek ogen vn cirkels met strl 1 zijn. De lengte vn zo n oog is de grootte vn de hoek met ls hoekpunt het middelpunt vn de ijehorende cirkel, met de enen door de eindpunten vn de oog. In het ijzonder kn je dus heel goed prten over de sinus enzovoort vn een zijde vn een oldriehoek. We eginnen met een pr elementire formules voor rechthoekige driehoeken. c β c β α α In zo n rechthoekige (ol-)driehoek geldt: α + β = π/2; = c sinα; sin = sin c sin α; = c cosα; sin = (sin c/ cos ) cos α; =c 2 ; cos cos = cos c. Voor het gevl vn de oldriehoek geven we nu eerst een ewijs voor deze uitsprken. De oldriehoek hoort ij een Hoek M vn een viervlk M P RQ. Dit viervlk kn zo gekozen worden, dt MP Q = MRQ = π/2.

5 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 5 Q M α R P Merk op, dt M =, M = en M = c. Omdt we een rechthoekige oldriehoek heen, is P RQ = π/2. Tenslotte is de rklijn in n de oog evenwijdig met P Q en evenzo de rklijn in n de oog evenwijdig met P R. Dus QP R = α. Nu gn we nr een ntl rechthoekige driehoeken kijken. Ten eerste zien we in driehoek MP Q dt P Q = MQ sin c. Evenzo volgt met driehoek MRQ, dt QR = MQ sin. Deze QR is ook nog met ehulp vn driehoek P RQ nders te schrijven, nmelijk QR = P Q sin α. omineren we deze formules, dn lijkt MQ sin = P Q sin α = MQ sin c sin α, en hieruit volgt sin = sin c sin α hetgeen we wilden ewijzen. Voor de tweede formule eginnen we met de driehoeken MP R en MRQ. Drmee zie je dt P R = MR sin = MQ cos sin. Op eenzelfde wijze lijkt met hulp vn de driehoeken P RQ en MP Q dt P R = P Q cos α = MQ sin c cos α. Voor de verhouding P R/MQ heen we dn twee uitdrukkingen; ls die vergeleken worden lijkt sin = (sin c/ cos ) cos α. Tenslotte nog de gelijkheid cos cos = cos c; deze volgt door twee uitdrukkingen voor MP f te leiden: de eerste met driehoek MP Q en de ndere met chtereenvolgens de driehoeken MP R en MRQ. Hiermee is het ewijs vn de stelling compleet. We onderzoeken vervolgens, hoe de sinus en de cosinusregel luiden voor een oldriehoek. Hiertoe zetten we de situtie voor een vlkke driehoek en die voor een oldriehoek weer nst elkr.

6 6 F. VN DER LIJ h h α β p q α β p q h = sin α; sin h = sin sin α; h = sin β; sin h = sin sin β; sin α = sin β = c sin γ. sin sin α = sin sin β = sin c sin γ. Dt ws de sinusregel; we gn op eenzelfde mnier verder met de cosinusregel. 2 = h 2 + q 2 cos = cos h cos q = h 2 + (c p) 2 = cos h cos(c p) = h 2 + p 2 + c 2 2cp = cos h (cos c cos p + sin c sin p) = 2 + c 2 2cp = cos cos c + cos h sin c sin p = 2 + c 2 2c cos α. = cos cos c + sin sin c cos α. Intermezzo 2 Zouden we oldriehoeksmeting gn doen op een ol met heel grote strl in plts vn met strl 1, dn ws het verschil tussen een niet zo grote oldriehoek en een vlkke driehoek hst niet meer te zien. In diezelfde situtie komen we, door op de ol met strl 1 uiterst kleine driehoekjes te ekijken. Kortom, voor een oldriehoek met kleine zijden moeten de formules ij endering gelijk zijn n de overeenkomstige formules voor een vlkke driehoek. We kijken even hoe dit in z n werk gt. Uit de ekende limiet sin h lim h 0 h = 1 volgt dt voor kleine hoeken h geldt sin h h. Hier lezen we het symool ls ongeveer gelijk n. Er lijkt dn verder, dt cos h = 1 2 sin 2 (h/2) 1 2 (h/2) 2 = 1 h 2 /2 en tn h = sin h cos h h.

7 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 7 Met deze enderingen kijken we ijvooreeld nr de oldriehoeksformule cos cos = cos c voor een driehoek met een rechte hoek. Deze is dn ij endering (1 2 /2)(1 2 /2) (1 c 2 /2). Hieruit volgt dt c /2. Omdt en heel klein verondersteld worden, is de term 2 2 /2 verwrloosr, en zo vinden we voor een rechthoekige driehoek de stelling vn Pythgors terug! Het is een rdige oefening, de ndere formules op dezelfde mnier te ehndelen. De oppervlkte vn een oldriehoek. We eginnen met een heel eenvoudig type oldriehoek, nmelijk eentje wrin twee zijden ieder lengte π/2 heen. Schrijf ϕ voor de lengte vn de resterende zijde. Met ehulp vn een pltje is direct te zien, wt de oppervlkte vn deze oldriehoek is. M ϕ Immers, de driehoek snijdt een ϕ/(2π)de deel vn de ovenste helft vn de ol uit. Die ovenste helft heeft oppervlkte 2π, dus oldriehoek heeft oppervlkte 2π ϕ/(2π) = ϕ. Merk op, dt de som vn de hoeken vn driehoek gelijk is n π/2 + π/2 + ϕ = π + ϕ. Het overschot vn de som vn de hoeken oven π wordt het exces vn de oldriehoek genoemd. We zien, dt voor de zeer specile ovengenoemde driehoeken dit exces gelijk lijkt te zijn n de oppervlkte. Wnneer twee oldriehoeken een zijde met dezelfde lengte heen, kunnen we ze n elkr plkken tot een nieuwe driehoek. Hiervn is de oppervlkte gelijk n de som vn de oppervlkten vn de twee oorspronkelijke driehoeken. En evenzo is het exces vn de nieuwe driehoek gelijk n de som vn de excessen vn de twee oude. Dus geldt voor driehoeken die we uit stukjes vn de oven ingevoerde specile driehoeken kunnen smenstellen eveneens dt oppervlkte en exces gelijk zijn.

8 8 F. VN DER LIJ γ 1 γ 2 O 1 O 2 α ρ σ β O 1 + O 2 = O; [α + β + γ π] = [α + γ 1 + ρ π] + [β + γ 2 + σ π]. Mr het is nog veel lgemener het gevl: Stelling. Voor een willekeurige oldriehoek is de oppervlkte gelijk n het exces. We geven nu een ewijs voor deze uitsprk. egin met een willekeurige oldriehoek. De zijden hiervn zijn ogen op drie cirkels op de ol. Geef met D het dimetrle punt vn n, evenzo E het dimetrle punt vn en F het dimetrle punt vn. β F γ E α D De drie genoemde cirkels zijn dus F D, F E en DE. Schrijf verder α :=, β := en γ :=. De oltweehoek (zeg mr, de schil vn een sinsppelprtje) die je krijgt door de oldriehoeken en F smen te nemen, levert je een α/(2π)de deel vn de ol. De oppervlkte vn deze oltweehoek is dus 4π α/(2π) = 2α en de conclusie is opp() + opp(f ) = 2α. Op precies dezelfde wijze vinden we evenzo opp() + opp(d) = 2β, opp() + opp(e) = 2γ. Op grond vn symmetrie ten opzichte vn het middelpunt vn de ol (dus puntspiegelen in dt middelpunt) zie je direct dt ijvooreeld opp(f ) =

9 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 9 opp(de). omineer nu de tot zover gevonden formules voor oppervlkten, dn stt er 2α+2β+2γ = 2opp()+opp()+opp(DE)+opp(D)+opp(E). De ltste vier termen hierin leveren smen precies de oppervlkte vn de voorste helft vn de ol, dus 2π. N nog de hele formule door 2 te delen stt er dn α + β + γ = opp() + π, en dt is precies wt ewezen moest worden. Voor een pr specile types oldriehoeken leiden we ook een formule voor de oppervlkte in termen vn de lengten vn de zijden f. Rechthoekige oldriehoeken. Voor een oldriehoek met γ = π/2 ls hier getekend, geldt opp = α + β π/2. α c Hieruit volgt β sin(opp) = sin(α + β π/2) = cos(α + β) = sin α sin β cos α cos β = sin sin c sin sin c sin sin c sin cos cos sin c 1 cos c = sin sin 1 cos 2 c, wrij een pr eerder fgeleide formules voor het vernd tussen hoeken en zijden in een rechthoekige oldriehoek zijn geruikt. Er volgt dus voor onze driehoek dt sin sin sin(opp) = 1 + cos c. Gelijkzijdige oldriehoeken. De ol-cosinusregel levert voor het gevl vn een gelijkzijdige oldriehoek met zijden en hoeken α dt cos α = cos 1 + cos. De oppervlkte is zols voor lle driehoeken gelijk n het exces, en dt is hier 3α π. Voor de oppervlkte geldt drom cos(opp) = cos(3α π) = cos(3α).

10 10 F. VN DER LIJ We wensen een formule in termen vn en niet vn α. Hiertoe drukken we cos(3α) eerst uit in cos(α) en vervolgens geruiken we de regel die deze weer in cos omschrijft. Het resultt is cos(opp) = 3 cos + 6 cos2 cos 3 (1 + cos ) 3. De som vn de Hoeken vn een viervlk Met het tot dusver ontwikkelde mteril keren we terug nr ons nvnkelijke proleem: hoe groot is de som vn de Hoeken in een viervlk? We eginnen met een specile klsse vn viervlkken, nmelijk de regelmtige driezijdige pyrmiden. D Hierin is = = = en D = D = D =. Eerst gn we onze intuïtie proeren te geruiken. We houden vst en stellen ons voor dt (dus de hoogte vn de pyrmide) vrieert. We eginnen dn met hoogte 0 (hetgeen zou corresponderen met = 3/3). ls heel dicht ij die wrde ligt, dn zijn de drie Hoeken n de sis vrijwel 0 geworden. De tophoek is drentegen ngenoeg een hlve ol, dus 2π. Voor dit soort regelmtige driezijdige pyrmiden zl de som vn de hoeken dus in de uurt vn 2π liggen. Nu het gevl dt heel groot is. Dn is de tophoek ongeveer 0. Voor een Hoek n de sis stt de verticle rie ongeveer loodrecht op de eide horizontle, en die horizontlen heen een onderlinge hoek ter grootte vn π/3 (immers, de sis vn de pyrmide is een gelijkzijdige driehoek). Zols we l eerder zgen, is de grootte vn een dergelijke Hoek ongeveer 2π (π/3)/(2π) = π/3. De som vn lle hoeken vn zo n pyrmide is dus ongeveer π. Nu het gevl vn een regelmtig viervlk, dus =. Elke Hoek heeft dn ls grootte de oppervlkte vn een gelijkzijdige oldriehoek. De zijden hiervn zijn in ons gevl gelijk n π/3. De ol-cosinusregel geeft dn, zols we l in het voorgnde zgen, dt de hoek α vn deze oldriehoek voldoet n cos α = cos(π/3)/(1 + cos(π/3)) = 1/3. Het exces vn onze gelijkzijdige oldriehoek is dus 3 rccos(1/3) π. Dit is dn tevens de oppervlkte, en dus de grootte vn een Hoek. De conclusie is, dt voor een regelmtig viervlk de som vn de Hoeken 12 rccos(1/3) 4π 2,20514

11 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 11 edrgt. Dit is minder dn π. Je gt dus vermoeden, dt wnneer we vn een heel hoge nr een heel pltte driezijdige pyrmide gn, eerst de Hoekensom fneemt, en dn lter weer toeneemt. Huiswerk voor de lezer: Is op dit trject de Hoekensom miniml voor het regelmtige viervlk? Intermezzo 3 We heen weliswr l een uitdrukking voor de som S vn de Hoeken vn het regelmtige viervlk fgeleid. Hier volgen een pr ndere mnieren om dit ntwoord op te schrijven. Uit de formule cos 3ϕ = 4 cos 3 ϕ 3 cos ϕ volgt voor een hoek α = rccos(1/3) dt cos(3α) = 4/27 1 = 23/27. De estudeerde gelijkzijdige oldriehoek heeft ls oppervlkte opp = 3α π, dus we vinden cos(opp) = cos(3α) = 23/27. Deze oppervlkte is gelijk n een Hoek vn het regelmtige viervlk, dus zo n Hoek is rccos(23/27) 0, Dit levert voor de som S vn de Hoeken S = 4 rccos(23/27). Om nog een ndere uitdrukking hiervoor te krijgen, geruiken we Dit geeft ins ons gevl cos 4ϕ = 2 cos 2 (2ϕ) 1 = 8 cos 4 ϕ 8 cos 2 ϕ + 1. cos S = 8 (23/27) 4 8 (23/27) = /531441, en drmee S = rccos( /531441). We gn verder met ons proleem, en estuderen nog enkele ndere specile viervlkken. Drtoe eginnen we met een kuus met grondvlk D. Het middelpunt vn de kuus noemen we M, en we eschouwen het viervlk met grondvlk en top M.

12 12 F. VN DER LIJ M De hele kuus kunnen we precies opdelen in twlf vn deze viervlkken. ls we drom lle Hoeken vn l deze twlf viervlkken optellen, vinden we de som vn de cht Hoeken vn de kuus plus in het middelpunt nog een volle Hoek (dus 4π). De Hoeken vn de kuus zijn ieder π/2. De totle som vn lle Hoeken vn lle twlf viervlkken is dus 4π + 8 π/2 = 8π. De som vn de Hoeken vn viervlk M is hier een twlfde deel vn, dus 2π/3 2, Dit is even schrikken; immers, het is minder dn de uitkomst ij een regelmtig viervlk. Lten we drom nog een nder vooreeld ezien. Neem een gewone kmerhoek D, met D = D = D = π/2 en D = D = D. D De Hoek ij D is dn π/2, en de ndere drie Hoeken zijn gelijk. ij zo n nder Hoek hoort een rechthoekige oldriehoek wrvn de zijden gelijk zijn n de hoeken D, D en. Deze zijden zijn dus π/4, π/4 en π/3. Met onze formule voor de oppervlkte vn een rechthoekige oldriehoek in termen vn de zijden, volgt dt onze Hoek gelijk is n rcsin ( sin 2 (π/4)/(1 + cos(π/3)) ) = rcsin(1/3).

13 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 13 De som vn de hoeken vn dit kmerhoek-viervlk is drmee 3 rcsin(1/3) + π/2 2,5903. Dit is meer dn het tot nu toe gevonden minimum, en zelfs meer dn de uitkomst ij het regelmtige viervlk. Mr ls we vervolgens onze kmerhoek spiegelen in het vlk D, dn vormen origineel en spiegeleeld smen een nieuw viervlk. En voor dit viervlk is de som vn de Hoeken gelijk n tweeml de som vn de hoeken vn origineel en spiegeleeld, verminderd met de ijdrgen ij D. Kortom, we krijgen een Hoekensom 6 rcsin(1/3) + π π 2, Dit is de lgste tot hiertoe gevonden som! Zou het nog kleiner kunnen worden? De Hoekensom lijkt inderdd nog kleiner te kunnen worden, en om dt in te zien volstt het volgende vooreeld. Neem een viervlk D met = = D = D = p en = D = q. q p p p p D q We houden in zo n viervlk p vst en proeren q te vriëren. Je ziet dn dt voor groter wordende q het viervlk steeds pltter wordt. Dit lijft zo doorgn tot het viervlk is ontrd in een plt figuur D. Dit pltte figuur is een vierknt; immers, het is een ruit, wnt de zijden heen lleml lengte p, en de eide digonlen zijn even lng (lengte q). Voor dit vierknt geldt q = p 2. we zien dus, dt we lleen dn een viervlk krijgen, wnneer 0 < q < p 2. Schrijf drom q/(2p) =: λ; dn is 0 < λ < 2/2, en l deze λ s horen ij zekere viervlkken. We gn nu de som vn de hoeken in termen vn λ eplen. Hiervoor is het voldoende, één Hoek vn zo n viervlk te eplen. Immers, de vier Hoeken zijn lle gelijk (ze zijn lleml de tophoek vn een pyrmide met eenzelfde gelijkenige sis en dezelfde rien vnuit de top nr die sis). De oldriehoek die hoort ij een Hoek vn ons viervlk, heeft twee zijden met lengte := D = en een zijde met lengte := D. Met ehulp vn de gelijkenige driehoek D zien we, dt cos = q/(2p) = λ. Evenzo levert driehoek D dt ook sin(/2) = λ. Omdt cos = λ, volgt verder dt sin = 1 λ 2. Evenzo geldt vnwege sin(/2) = λ, dt cos(/2) = 1 λ 2

14 14 F. VN DER LIJ en dus sin = 2 sin(/2) cos(/2) = 2λ 1λ 2. Tenslotte is cos 2 = 1 sin 2 = 1 4λ 2 (1 λ 2 ) = (2λ 2 1) 2, dus, omdt cos > 0 en 0 < λ < 2/2, levert dit cos = 1 2λ 2. In onze oldriehoek noemen we de hoek wr twee zijden met lengte smenkomen, ψ en een ndere hoek ϕ. De ol-cosinusregel levert de formules ϕ λ = λ(1 2λ 2 ) + 1 λ 2 2λ 1 λ 2 cos ϕ, wruit volgt cos ϕ = λ 2 /(1 λ 2 ), en verder cos = cos 2 + sin 2 cos ψ, dus cos ψ = (1 3λ 2 )/(1 λ 2 ). Hiermee heen we de hoeken vn de oldriehoek epld. De oppervlkte is het exces, en dt edrgt rccos ( (1 3λ 2 )/(1 λ 2 ) ) + 2 rccos ( λ 2 /(1 λ 2 ) ) π. De Hoekensom vn viervlk D is vier ml deze wrde, dus 4 rccos ( (1 3λ 2 )/(1 λ 2 ) ) + 8 rccos ( λ 2 /(1 λ 2 ) ) 4π. Voor λ 0 is dit ongeveer 4 rccos rccos 0 4π = 0. Evenzo is voor λ 2/2, dus λ 2 1/2, de Hoekensom ongeveer 4 rccos( 1)+8 rccos 1 4π = 0. Kortom, de Hoeken vn ons viervlk kunnen we willekeurig klein mken! De tot zover gevonden Hoekensom leken we willekeurig dicht onder 2π te kunnen krijgen, en ook willekeurig dicht oven 0. Door viervlkken lngzm in elkr over te deformeren, komen we hiermee tot de volgende conclusie. Stelling. De Hoekensom vn een viervlk kn iedere wrde tussen 0 en 2π heen. (Zou de Hoekensom meer dn 2π kunnen zijn?) Slotopmerking Onder de stndhoek tussen twee niet evenwijdige vlkken in de ruimte verstn we de hoek tussen twee snijdende lijnen in deze vlkken, die eide loodrecht op de snijlijn stn. De stndhoek vn twee loodrecht op elkr stnde vlkken is dus π/2. ij een oldriehoek is de hoek tussen twee zijden gelijk n de stndhoek op de rie, die nr het etreffende hoekpunt vn de oldriehoek gt.

15 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 15 D De Hoek ij het hoekpunt is gelijk n het exces vn de ijehorende oldriehoek. Dit exces is de som vn de hoeken vn de oldriehoek verminderd met π, en zols we zojuist zgen is dit ook de som vn de stndhoeken op de etreffende drie rien. Het optellen vn de vier Hoeken leidt drom tot het volgende resultt. Stelling. De Hoekensom vn een viervlk is twee ml de som vn de stndhoeken op de zes rien, verminderd met 4π. Voor het regelmtige viervlk is eenvoudig in te zien dt de stndhoek op elke rie gelijk is n rccos(1/3). Hiermee vinden we dus opnieuw de Hoekensom vn een regelmtig viervlk. Voor de liefheer Wie zelf nog meer onderzoek wil doen n Hoekensommen of n (vrinten vn) de technieken die hier n de orde kwmen, kn misschien putten uit het volgende. Wt is te zeggen over de Hoekensom vn veelvlkken met meer dn vier vlkken? ereken de Hoekensom vn de regelmtige veelvlkken. Het viervlk en het zesvlk kwmen hier l n de orde; hoe zit het met het cht, het twlf en het twintig-vlk? In een vlkke driehoek kn een cirkel eschreven worden. De oppervlkte vn de driehoek is het produkt vn de strl vn deze cirkel en de hlve omtrek vn de driehoek. Is er iets nloogs voor een oldriehoek? In een vlkke driehoek geldt ij de sinus-regel de extr gelijkheid / sin α = / sin β = c/ sin γ = 2R, wrij R de strl vn de omgeschreven cirkel n de driehoek is. Is er een nlogon voor de oldriehoek? Onderzoek voor de oldriehoek de nlog vn klssieke stellingen over de hoogtelijnen, zwrtelijnen en hoekdeellijnen vn een driehoek. Tenslotte nog een pr heel ndere vrgen. Een ruimtelijke veelhoek noemen we hlfregelmtig ls lle hoeken onderling gelijk zijn en evenzo lle rien. Welke hlfregelmtige ruimtelijke n-hoeken estn voor n = 3, 4, 5, 6, 7?

16 16 F. VN DER LIJ Een ruimtelijke veelhoek n 1 n noemen we regelmtig ls n 1 n = n 1 n 1 = n 1 2 = Welke regelmtige ruimtelijke n-hoeken estn er? Het ntwoord op deze ltste twee vrgen kn de lezer vinden in de tweede referentie hieronder. Litertuur 1..G. vn sch, F. vn der lij, Hoeken en hun mt, msterdm: WI syllus 29, F. vn der lij, Regulr Polygons in Eucliden Spce, Liner lger nd its pplictions 226/228 (1995), George Gmov, Meneer Tompkins en het kloppende heell, vertling door Govert Schilling, d Jnssen en Kls Schonenerg, msterdm: nnex, J. vn den rink, olmeetkunde (informtieoek), Utrecht: Freudenthl Instituut.

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad

Aanzet 1 tot een document van parate kennis en vaardigheden wiskunde 1 ste graad Anzet 1 tot een document vn prte kennis en vrdigheden wiskunde 1 ste grd 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Symool optelling + ftrekking vermenigvuldiging deling

Nadere informatie

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2...

6.0 INTRO. 1 a Bekijk de sommen hiernaast en ga na of ze kloppen. 1 2 0 3 = 2 2 3 1 4 = 2 3 4 2 5 = 2 4 5 3 6 = 2 5 6 4 7 = 2... 113 6.0 INTRO 1 Bekijk de sommen hiernst en g n of ze kloppen. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook ls uitkomst 2 heen. c Schrijf twee sommen op die veel verder in de

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 20 mei 13.30 16.30 uur Wiskunde B Profi Exmen VWO Voorereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk Donderdg 20 mei 3.30 6.30 uur 9 99 Dit exmen estt uit 5 vrgen. Voor elk vrgnummer is ngegeven hoeveel punten met een goed ntwoord

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10

H. 10 Goniometrie Basisbegrippen. a c. Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering WISKUNDE H.10 H. 10 Goniometrie 10.1 Bsisegrippen Regelmtig voeren we erekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een sherpe hoek kunnen we 3 goniometrishe verhoudingen definiëren. Deze lten zih het

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv I- I- 38 lok 3 IT - eetkundige pltsen met Geoger ldzijde 8 H Het spoor vn lijkt een irkel te zijn. De irkel is de meetkundige plts vn een onstnte hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling vn Thles. Gegeven:

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987-1988 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olympide 987-988 : Eerste Ronde De eerste ronde estt steeds uit 0 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jury vn VWO Het quoteringssysteem werkt ls volgt: een deelnemer strt met 0 punten, per goed

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS

Hoofdstuk 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Hoofdstuk DE STELLING VAN PYTHAGORAS INHOUD. De stelling vn Pythgors formuleren 98. Meetkundige voorstellingen 06. De stelling vn Pythgors ewijzen 09. Rekenen met Pythgors. Construties.6 Pythgors in de

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VW 20 tijdvk woensdg 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. chter het correctievoorschrift is een nvulling opgenomen. Dit emen bestt uit 8 vrgen. Voor dit emen zijn miml

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150

Inhoud leereenheid 13. Integreren. Introductie 125. Leerkern 126. Samenvatting 149. Zelftoets 150 Inhoud leereenheid 3 Integreren Introductie 5 Leerkern 6 Integrl ls oppervlkte 6 De functie ls fgeleide vn zijn oppervlktefunctie 3 3 Primitieven 33 4 Beplde en oneplde integrl 35 5 Oneigenlijke integrlen

Nadere informatie

Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Bijlage 2 Gelijkvormigheid ijlge Gelijkvormigheid eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe?

1a Een hoeveelheid stof kan maar op één manier veranderen. Hoe? Oefenopgven over Stoffen en Mterilen Uitwerking en ntwoord op elke opgve stt n de ltste opgve. Gegevens kunnen worden opgezoht in de tellen hterin. Als de zwrteftor niet vermeld is mg je 9,81 N/kg nemen.

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h

Een regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur

Nadere informatie

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.

Onafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax. Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2011 - I Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn =

Nadere informatie

Krommen en oppervlakken in de ruimte

Krommen en oppervlakken in de ruimte (HOOFDSTUK 60, uit College Mthemtis, door Frnk Ares, Jr. nd Philip A. Shmidt, Shum s Series, MGrw-Hill, New York; dit is de voorereiding voor een uit te geven Nederlndse vertling). Krommen en oppervlkken

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Algerïshe ewerkingen ldzijde 9 V- d e 9 V- 9 V- + + + V- + + 9 d + + + + e + + + + f + g Hoofdstuk - Funties en lger + + + + + + + ldzijde 9 V- + ( + ) + ( )( ) of + of of of ( ) d p p ( p

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overziht eigenshppen en formules meetkunde 1 iom s Rehten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken Op de volgende ldzijden vind je de eigenshppen en formules die je in de eerste grd geleerd het en deze die in

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

Parate kennis wiskunde

Parate kennis wiskunde Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak 2 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk it kun je l 1 de iddelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen 2 een hoek eten en tekenen 3 de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen 4 de oördint vn

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

Beste leerling. De auteurs

Beste leerling. De auteurs Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2015-I

wiskunde B pilot vwo 2015-I wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t

Nadere informatie

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken

MEETKUNDE 2 Lengte - afstand - hoeken MTKUN 2 Lengte - fstnd - hoeken M7 Lengtemten en meetinstrumenten 186 M8 Lengte en fstnd 187 M9 Gelijke fstnden 194 M10 Hoeken meten en tekenen 198 185 M7 1 Titel Lengtemten en meetinstrumenten 579 Vul

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1

Lijn, lijnstuk, punt. Verkennen. Uitleg. Opgave 1 Lijn, lijnstuk, punt Verkennen Opgve 1 Je ziet hier een pltje vn spoorrils vn een modelspoorn. De rils zijn evestigd op dwrsliggers. Hoe liggen de rils ten opziht vn elkr? Hoe liggen de dwrsliggers ten

Nadere informatie

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I

Eigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,

Nadere informatie

Opdrachten bij hoofdstuk 2

Opdrachten bij hoofdstuk 2 Opdrchten ij hoofdstuk 2 2.1 Het vullen vn je portfolio In hoofdstuk 2 he je gezien op welke mnier je de informtie kunt verzmelen. An de hnd vn die informtie kun je de producten mken wrmee jij je portfolio

Nadere informatie

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde.

1.3 Wortels. x x 36 6 = x = 1.5 Breuken. teller teller noemer noemer. Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Voorereidende opgven Stoomursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-shriften die je gt geruiken tijdens de ursus. Als een som niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en g verder

Nadere informatie

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties

6.4 Rekenen met evenwichtsreacties 6.4 Rekenen met evenwihtsreties An de hnd vn een reeks vooreelden zullen we het rekenwerk ehndelen n evenwihtsreties. Vooreeld 6.2 We estuderen het gsevenwiht: A(g) + B(g) C(g) + D(g) In een ruimte vn

Nadere informatie

INTERVIEWEN 1 SITUATIE

INTERVIEWEN 1 SITUATIE INTERVIEWEN drs. W. Bontenl 1 SITUATIE Een interview vlt te omshrijven ls een gesprek tussen één of meerdere personen - de interviewers - en een ndere persoon (of diverse nderen) - de geïnterviewden -

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen

Hoofdstuk 5 - Meetkundige plaatsen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: Eigenschappen en ewijzen ladzijde 138 V-1a Gegeven: Driehoek met hoeken :, en Te ewijzen: 180 ewijs: 1 3 Teken lijn door die evenwijdig loopt met : lijn door

Nadere informatie

Profielwerkstuk Geschiedenis van de wiskunde

Profielwerkstuk Geschiedenis van de wiskunde Profielwerkstuk Geschiedenis vn de wiskunde De wondere wereld vn de wiskunde voor Christus. Dingo Alvrez V6 Inhoudsopgve Voorwoord Egyptische Wiskunde Delen en vermenigvuldigen op z n Egyptisch 5 Egyptische

Nadere informatie

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren

Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm

Nadere informatie

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage

11 Wiskundige denkactiviteiten: digitale bijlage Wiskundige denkctiviteiten: digitle ijlge Suggesties voor opdrchten wrij de leerlingen uitgedgd worden wiskundige denkctiviteiten te ontplooien. De opdrchten heen de volgende structuur. In de kop stn chtereenvolgend:

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde 1 Vlmse Wiskunde Olympide 000-001: Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde. 1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 50 60 = 80 50 60 = 70 d V-a Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde

Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde Junior Wiskunde Olympide 0-03: de tweede ronde Volgende enderingen kunnen nuttig zijn ij het oplossen vn sommige vrgen.,44 3,73 5,36 π 3,46.ls + =en =3,dnis gelijkn () 5 () 6 () 3 () 9 (E) 3.Hetgetl (

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10

Toetsopgaven vwo B deel 3 hoofdstuk 10 Toetsopgven vwo deel 3 hoofdstuk 10 Opgve 1 In de figuur hiernst zie je 15 kubusjes met ribbe. e punten,, en zijn hoekpunten vn een kubusje, punt is het midden vn een ribbe en de punten en delen een ribbe

Nadere informatie

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm.

Pak jouw passer en maak de afstand tussen de passerpunten 3 cm. Psser en irkel Verkennen Opgve 1 Op de foto hiernst wordt met ehulp vn een psser een irkel getekend. Pk jouw psser en mk de fstnd tussen de psserpunten 3 m. Teken een punt M en zet drin de stlen punt vn

Nadere informatie

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen

MEETKUNDE 1 Basisbegrippen MEETKUNE sisegrippen M Een klslokl vol meetkunde M nzihten M sisegrippen vn de meetkunde 7 M4 Onderlinge ligging vn rehten 74 M5 Eigenshppen in vernd met evenwijdigheid en loodrehte stnd vn rehten in het

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Emen VWO 202 tijdvk 2 woensdg 20 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit emen hoort een uitwerkbijlge. Dit emen bestt uit 7 vrgen. Voor dit emen zijn miml 8 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel

Nadere informatie

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5

Praktische Opdracht Lineair Programmeren V5 Prktische Opdrcht Lineir Progrmmeren V5 Bij deze prktische opdrcht g je n het werk met een ntl prolemen die je door middel vn Lineir Progrmmeren kunt oplossen. Je werkt lleen of in tweetllen. De prktische

Nadere informatie

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1)

wedstrijden, dus totaal 1 n ( n 1) Hoofdstuk : Comintoriek.. Telprolemen visuliseren Opgve :. ;. voordeel: een wegendigrm is compcter ndeel: ij een wegendigrm moet je weten dt je moet vermenigvuldigen terwijl je ij een oomdigrm het ntl

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel

Rapportage Enquête ondergrondse afvalinzameling Zaltbommel Rpportge Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel Enquête ondergrondse fvlinzmeling Zltommel VERSIEBEHEER Versie Sttus Dtum Opsteller Wijzigingen Goedkeuring Door Dtum 0.1 onept 4-11-09 VERSPREIDING

Nadere informatie

Tussen haakjes staan de namen van de programma's, in de groep GRVECTOR.

Tussen haakjes staan de namen van de programma's, in de groep GRVECTOR. MEETKUNDE Tussen hkjes stn de nmen vn de progrmm's, in de groep GRVECTOR. De oppervlkte vn een veelhoek (OPPVEELH)... Pnorm vn de driehoeksmeting (RDRIEHK)...3 3 Vectoren in R (HOEK)...6 4 Vectoren in

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

2 De kracht van vectoren

2 De kracht van vectoren De krcht vn vectoren Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten?

Opgave 1. Waarom kun je bij het Noorden twee getallen neerzetten? Geldt dit ook voor andere windrichtingen? Hoeveel graden hoort er bij het Oosten? Opgve 1 Hier zie je een windroos met de windrihtingen er in getekend. Hij is verder verdeeld in 360 hoekjes, elk vn die hoekjes heet 1 grd. Bij het Noorden (N) hoort 0 grden (en dus ook 360 grden). file:

Nadere informatie

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald:

100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald: Werken met vectren In deze krte ntitie wrden sisvrdigheden vr het werken met vectren tegelicht met een pr vreelden. Het ek gt uit vn enige vrkennis m..t. vectren mr die vrkennis is niet vr iedere strtende

Nadere informatie

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af.

De oppervlakte van de rechthoek uit de vorige opgave hangt van dezelfde variabelen af. Opgve 1 Vn twee korte en twee lnge luifers is een rehthoek geleg. Omt je geen fmetingen weet hngt e omtrek vn eze rehthoek f vn twee vrielen, nmelijk lengtekorteluif er en lengtelngeluif er. Welke formule

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller

Wiskunde voor 2 havo. Deel 1. Versie 2013. Samensteller Wiskunde voor 2 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie.

Nadere informatie

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan.

Opgaven met dit merkteken kun je zonder de opbouw aan te tasten, overslaan. 2 Verschuiven Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten Blok Punten met gewicht vn Ad Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (2014) wiskunde B vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R

Hoofdstuk 2: Bewerkingen in R Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen

Nadere informatie

Bewerkingen met eentermen en veeltermen

Bewerkingen met eentermen en veeltermen 5 Bewerkingen met eentermen en veeltermen Dit kun je l 1 werken met letters ls onekenden, ls vernderlijken en om te verlgemenen 2 een tel mken ij een situtie 3 de fsprken over lettervormen toepssen 4 oppervlkteformules

Nadere informatie

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde Oppervlkte vn riehoeken Verkennen Opgve 1 Je ziet hier twee riehoeken op een m-rooster. Beie riehoeken zijn omgeven oor eenzelfe rehthoek. nme: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg file: Imges/hv-me7-e1-t01.jpg Hoeveel

Nadere informatie

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers?

Nakomelingen van rendieren kunnen een paar uur na de geboorte al met de kudde meerennen. Zijn rendieren nestvlieders of nestblijvers? Route A 1 Bosrendieren en korstmossen Rendieren zijn de enige herten wrvn zowel mnnetjes ls vrouwtjes een gewei drgen. Vroeger dcht men dt het gewei geruikt werd om sneeuw weg te schuiven zodt ze ij het

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Stoomcursus

Voorbereidende opgaven Stoomcursus Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht

Nadere informatie

Cirkels en cilinders

Cirkels en cilinders 5 irkels en cilinders it kun je l 1 middelpunt en strl in een cirkel nduiden 2 de oppervlkte vn vlkke figuren berekenen 3 het volume vn een prism berekenen Test jezelf Elke vrg heeft mr één juist ntwoord.

Nadere informatie

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is: Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige

Nadere informatie

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde

Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde Meetkunde 1 Ruimtemeetkunde M1 Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 180 M2 De pirmide, de kegel en de ol 18 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol 190 179 M1 1 Titel Ruimtelijke situties

Nadere informatie

Route F - Desert. kangoeroerat

Route F - Desert. kangoeroerat Route F - Desert Voor deze route, moet je eerst nr de Bush. Dr moet je even zoeken nr de tunnel die nr de Desert leidt. Geruik onderstnd krtje voor de Desert. Begin ij nummer 1. 1 Kngoeroertten Kngoeroertten

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a Gelijkvormigheid ladzijde QR is een vergroting van dus de driehoeken en QR zijn gelijkvormig Q Vergrotingsfator: 7 e twee driehoeken zijn een vergroting van elkaar; alle zijden zijn dus met 7 7 7 dezelfde

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv oofdstuk 0 - oeken en afstanden Voorkennis: Verhoudingen ladzijde 78 V-a e hoeken lijven gelijk want alleen de lengte van de zijden verandert en allemaal met dezelfde factor. Zijde met lengte wordt vergroot

Nadere informatie

8 Kostenverbijzondering (I)

8 Kostenverbijzondering (I) 8 Kostenverijzondering (I) V8.8 Speelgoedfriknt Autoys BV heeft onlngs de Jolls Joye ontwikkeld: een plsti speelgoeduto voor peuters in de leeftijdstegorie vn twee tot vijf jr. De produtie voor 2009 wordt

Nadere informatie

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set

Werkkaarten GIGO 1184 Elektriciteit Set Werkkrten GIGO 1184 Elektriiteit Set PMOT 2006 1 Informtie voor de leerkrht Elektriiteit is één vn de ndhtsgeieden ij de nieuwe kerndoelen voor ntuur en tehniek: 42 De leerlingen leren onderzoek doen n

Nadere informatie

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM

REKENEN MACHTEN MET. 5N4p EEBII 2013 GGHM REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels... Herhlin: Eponentiële roei

Nadere informatie

Wiskunde met een telrol. Adriaan Herremans

Wiskunde met een telrol. Adriaan Herremans Wiskunde met een telrol Adrin Herremns drin.herremns@u.c.e 0 Hoe vouw je met een telrol?? Je mkt vouwlijnen op een lnge strook ppier (= de telrol) Begin met een willekeurige vouwlijn Er zijn dn twee soorten

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid

Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid Hoofdstuk 8 Beslissen onder risico en onzekerheid 8.5 Tectronis Tectronis, een friknt vn elektronic, kn vn een nder edrijf een éénjrige licentie verkrijgen voor de fricge vn product A, B of C. Deze producten

Nadere informatie

WELK LICHTSCHERM MOET IK GEBRUIKEN VOOR INLOOPBEVEILIGING?

WELK LICHTSCHERM MOET IK GEBRUIKEN VOOR INLOOPBEVEILIGING? ICK KEUZEHULP WELK LICHTCHERM MOET IK GEBRUIKEN VOOR INLOOPBEVEILIGING? Voor inloopeveiliging geldt onder meer de norm EN 13855. Dit is de norm voor het eplen vn de veiligheidsfstnd. Deze fstnd is fhnkelijk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2007-I Eindemen wiskunde B- vwo 007-I Beoordelingsmodel Podiumverlichting mimumscore 3 sin α = r 650 V 650 r r r 650 r = 9 + invullen geeft V = 9 + sin α = r r = 9 + V = 650 650 = 9+ 9+ 9 + mimumscore 5 650 00

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B I

Eindexamen vwo wiskunde B I Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,

Nadere informatie

Meetkunde met algebra

Meetkunde met algebra Meetkunde met lger Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten, lok Redeneren met vormen, getllen en formules vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (0) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen

Hoofdstuk 5 - Definities en stellingen Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt:

Nadere informatie

HOEVEEL KEREN WIJ UIT? 5.1 Keren we altijd alles uit? WANNEER KEREN WIJ NIET UIT? WAT DOEN WIJ BIJ FRAUDE? 9.1 Wat zijn de gevolgen van fraude?

HOEVEEL KEREN WIJ UIT? 5.1 Keren we altijd alles uit? WANNEER KEREN WIJ NIET UIT? WAT DOEN WIJ BIJ FRAUDE? 9.1 Wat zijn de gevolgen van fraude? VOORWAARDEN Overlijdensrisicoverzekering Delt Lloyd Levensverzekering NV Amsterdm MODEL 2401 U wilt uw finnciële zken goed geregeld heen. Ook ij overlijden. Drom het u een overlijdensrisicoverzekering

Nadere informatie

Werkloosheid, armoede, schooluitval en criminaliteit. Er zal veel belastinggeld nodig zijn om al die problemen op te lossen.

Werkloosheid, armoede, schooluitval en criminaliteit. Er zal veel belastinggeld nodig zijn om al die problemen op te lossen. vk Mtshppijleer them Multiulturele smenleving onderwerp Het multiulturele drm vn P. Sheffer ntwoorden ij de vrgen over het rtikel kls Hvo 5 dtum jnuri 2014 1 2 3 4 5 6 7 8 De vrg hoe de slehte werk-, woon-

Nadere informatie

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO

H26 RECHTE LIJNEN VWO. 6 ad 26.0 INTRO H6 RECHTE LIJNEN VWO 6.0 INTRO 6 d km kost,0: =,0 (oude druk) km kost,0: =,9 (nieuwe druk) drnkje kost : =,0, dus de entree is,0,0 = 0,-. Nee, ls je ij de onderste lijn nr rechts gt g je omhoog, dus ls

Nadere informatie