Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Intermezzo / kleine opfriscursus. Deterministische eindige automaten (DFA) College 6

Transcriptie

1 Vorig college College 6 Algoritmiekgroep Fculteit EWI TU Delft Hotel Hilbert Aftelbrheid vs. Overftelbrheid Digonlisering Overftelbrheid vn R 6 mei Intermezzo / kleine opfriscursus Deterministische eindige utomten (DFA) Wrin een klein gedeelte vn de stof uit IN1305 II Automten en Tlen zl worden gepresenteerd (voor de nieuwkomers). Dit betreft de volgende prgrfen uit Sipser: H1, prgrf 1.1 t/m pg. 43; H1, prgrf 1.2 tot bewijs Theorem 1.39; H2, prgrf 2.1 tot bewijs Theorem 2.9. Het gt met nme om de begrippen en de belngrijkste eigenschppen. Informeel is een Deterministic Finite stte Automton (DFA) een Turingmchine zonder tpe. Voorbeeld: EE b b b b EO OE OO 3 4

2 DFA formeel (Def. 1.5) Accepttie vn een woord door een DFA Een deterministische eindige utomt is een geordend vijftl M =(Q, Σ, δ,q 0,F), wrbij: Q een eindige verzmeling vn toestnden is; Σ een eindige verzmeling is, het input lfbet; δ : Q Σ Q een totle functie is, de trnsitiefunctie; q 0 Q de begintoestnd is; F Q de verzmeling eindtoestnden is. Zij M =(Q, Σ, δ,q 0,F) een DFA en 1 2 n Σ. M ccepteert (herkent) 1 2 n d.e.s.d.. er r 0,r 1,..., r n Q bestn zodnig dt: 1 r 0 = q 0 ; 2 δ(r i, i+1 )=r i+1 (i =0, 1,..., n 1); 3 r n F. De tl herkend door M is gegeven door: L(M) ={w Σ M ccepteert w}. 5 6 Reguliere tlen (Def. 1.16) Niet-deterministische eindige utomten (NFA) Een tl L wordt een reguliere tl genoemd ls er een DFA M bestt zodnig dt L(M) =L. Reguliere tlen zijn ook bekend vi reguliere expressies. Men kn bewijzen dt tlen die beschreven kunnen worden m.b.v. reguliere expressies inderdd regulier zijn in de zin vn Def (zie Sipser pr. 1.3). Net ls bij TM s bestt er een niet-deterministische vrint vn DFA s. Hierbij zijn ε-trnsities en keuze -trnsities mogelijk. Bijvoorbeeld:, b b, b Een NFA die ieder woord ccepteert dt de substring b bevt. 7 8

3 Voorbeeld NFA met ε-trnsities NFA formeel (Def. 1.37) ε b, c Een niet-deterministische eindige utomt is een geordend vijftl M =(Q, Σ, δ,q 0,F), wrbij: q 0 ε ε b, c Q, Σ, q 0 en F zijn gedefinieerd zols bij een DFA; mr: δ : Q (Σ {ε}) P(Q). c, b 9 10 Accepttie vn woorden door NFA s Equivlentie DFA s en NFA s (Th. 1.39) Zij M =(Q, Σ, δ,q 0,F) een NFA en w Σ. M ccepteert (herkent) W d.e.s.d.. er zijn 1, 2,..., n Σ {ε} met w = 1 2 n en er zijn r 0,r 1,..., r n Q zodnig dt: 1 r 0 = q 0 ; 2 r i+1 δ(r i, i+1 ), (i =0, 1,..., n 1); 3 r n F. In trnsitiedigrm: er bestt een pd vn q 0 nr r n gelbeld met w. Voor iedere NFA bestt een drn equivlente DFA. Idee chter constructie NFA uit DFA: simuleer lle mogelijke pden die vnuit de strttoestnd vn de NFA kunnen worden bereikt; doe dit door lle mogelijke toestnden bij te houden wrin de NFA terecht kn komen. Als Q de verzmeling toestnden is vn de NFA, dn is P(Q) de verzmeling toestnden vn de bijbehorende DFA. Een toestnd in P(Q) is nu een ccepterende toestnd ls deze een ccepterende toestnd vn de NFA bevt

4 Afsluitingseigenschppen reguliere tlen Niet-reguliere tlen De klsse vn reguliere tlen is gesloten onder het nemen vn complement, vereniging en doorsnede. Met ndere woorden, ls L 1 en L 2 reguliere tlen zijn, dn zijn ook L 1, L 1 L 2 en L 1 L 2 regulier. Er bestn niet-reguliere tlen: Zij Σ = {0, 1}. De tl L Σ gedefinieerd door L = {0 n 1 n n N} is niet regulier (Sipser, Ex. 1.73). Een DFA kn niet onthouden wt zij gelezen heeft Grmmtic s Afleidingen in grmmtic s Een grmmtic is een geordend viertl G =(V,Σ, R, S), wrin: V is een eindige verzmeling vribelen; Σ is een eindige verzmeling eindsymbolen; S is de strtvribele (S V ); R is een eindige verzmeling productieregels vn de vorm x y, met x (V Σ) + en y (V Σ). Als x y een productieregel is, kn uit woord w = uxv het woord z = uyv worden fgeleid. Nottie: w z ls z (direct) fleidbr is uit w. Nottie: Als w 1 w 2... w n, dn schrijft men w 1 wn. Let op: De geeft n dt 0 of meer fleidingsstppen zijn gebruikt. Er geldt dus ook w w

5 Tl vn een grmmtic Contextvrije grmmtic s (Def. 2.2) Zij G =(V,Σ, R, S) een grmmtic. De tl vn G, nottie L(G) is gedefinieerd ls L(G) ={w Σ S w}. Een grmmtic G =(V,Σ, R, S) is contextvrij (CFG) d.e.s.d.. lle productieregels in R de volgende vorm bezitten: wrbij A V en x (V Σ). A x, Voorbeeld CFG Voorbeeld fleiding Zij G =(V,Σ, R, S) met V = {A, B, C, D}, Σ = {, b, c, d} en zij R gegeven door: S AB DC A ε A B ε bbc C ε Cc D ε Db Dn: S AB DC A ε A B ε bbc C ε Cc D ε Db S DC DCc DbCc bcc bc en dus S bc

6 Contextvrije tlen Chomsky normlvorm (CNF) Een tl L is contextvrij d.e.s.d.. er een contextvrije grmmtic G bestt zodnig dt L = L(G). Een CFG G =(V,Σ, S, R) is in Chomsky normlvorm d.e.s.d.. iedere regel in R is vn één vn de volgende vormen: 1 S ε 2 A 3 A BC wrin Σ en A, B, C V met B en C ongelijk n S CFG s en CNF (Th. 2.8) Niet-contextvrije tlen Voor iedere CFG G bestt een CFG G in Chomsky normlvorm die dezelfde contextvrije tl voortbrengt, ofwel L(G )=L(G). Het bewijs vn deze stelling wordt gegeven in de vorm vn een constructie: een lgoritme wrmee CFG s kunnen worden omgezet in equivlente CFG s in CNF. Er bestn niet-contextvrije tlen: Zij Σ = {, b, c}. De tl L Σ gedefinieerd door L = { n b n c n n N} is niet contextvrij (Sipser, Ex. 2.36). Een PDA kn mr één keer poppen wt zij gepusht heeft