Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Intermezzo / kleine opfriscursus. Deterministische eindige automaten (DFA) College 6

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Intermezzo / kleine opfriscursus. Deterministische eindige automaten (DFA) College 6"

Transcriptie

1 Vorig college College 6 Algoritmiekgroep Fculteit EWI TU Delft Hotel Hilbert Aftelbrheid vs. Overftelbrheid Digonlisering Overftelbrheid vn R 6 mei Intermezzo / kleine opfriscursus Deterministische eindige utomten (DFA) Wrin een klein gedeelte vn de stof uit IN1305 II Automten en Tlen zl worden gepresenteerd (voor de nieuwkomers). Dit betreft de volgende prgrfen uit Sipser: H1, prgrf 1.1 t/m pg. 43; H1, prgrf 1.2 tot bewijs Theorem 1.39; H2, prgrf 2.1 tot bewijs Theorem 2.9. Het gt met nme om de begrippen en de belngrijkste eigenschppen. Informeel is een Deterministic Finite stte Automton (DFA) een Turingmchine zonder tpe. Voorbeeld: EE b b b b EO OE OO 3 4

2 DFA formeel (Def. 1.5) Accepttie vn een woord door een DFA Een deterministische eindige utomt is een geordend vijftl M =(Q, Σ, δ,q 0,F), wrbij: Q een eindige verzmeling vn toestnden is; Σ een eindige verzmeling is, het input lfbet; δ : Q Σ Q een totle functie is, de trnsitiefunctie; q 0 Q de begintoestnd is; F Q de verzmeling eindtoestnden is. Zij M =(Q, Σ, δ,q 0,F) een DFA en 1 2 n Σ. M ccepteert (herkent) 1 2 n d.e.s.d.. er r 0,r 1,..., r n Q bestn zodnig dt: 1 r 0 = q 0 ; 2 δ(r i, i+1 )=r i+1 (i =0, 1,..., n 1); 3 r n F. De tl herkend door M is gegeven door: L(M) ={w Σ M ccepteert w}. 5 6 Reguliere tlen (Def. 1.16) Niet-deterministische eindige utomten (NFA) Een tl L wordt een reguliere tl genoemd ls er een DFA M bestt zodnig dt L(M) =L. Reguliere tlen zijn ook bekend vi reguliere expressies. Men kn bewijzen dt tlen die beschreven kunnen worden m.b.v. reguliere expressies inderdd regulier zijn in de zin vn Def (zie Sipser pr. 1.3). Net ls bij TM s bestt er een niet-deterministische vrint vn DFA s. Hierbij zijn ε-trnsities en keuze -trnsities mogelijk. Bijvoorbeeld:, b b, b Een NFA die ieder woord ccepteert dt de substring b bevt. 7 8

3 Voorbeeld NFA met ε-trnsities NFA formeel (Def. 1.37) ε b, c Een niet-deterministische eindige utomt is een geordend vijftl M =(Q, Σ, δ,q 0,F), wrbij: q 0 ε ε b, c Q, Σ, q 0 en F zijn gedefinieerd zols bij een DFA; mr: δ : Q (Σ {ε}) P(Q). c, b 9 10 Accepttie vn woorden door NFA s Equivlentie DFA s en NFA s (Th. 1.39) Zij M =(Q, Σ, δ,q 0,F) een NFA en w Σ. M ccepteert (herkent) W d.e.s.d.. er zijn 1, 2,..., n Σ {ε} met w = 1 2 n en er zijn r 0,r 1,..., r n Q zodnig dt: 1 r 0 = q 0 ; 2 r i+1 δ(r i, i+1 ), (i =0, 1,..., n 1); 3 r n F. In trnsitiedigrm: er bestt een pd vn q 0 nr r n gelbeld met w. Voor iedere NFA bestt een drn equivlente DFA. Idee chter constructie NFA uit DFA: simuleer lle mogelijke pden die vnuit de strttoestnd vn de NFA kunnen worden bereikt; doe dit door lle mogelijke toestnden bij te houden wrin de NFA terecht kn komen. Als Q de verzmeling toestnden is vn de NFA, dn is P(Q) de verzmeling toestnden vn de bijbehorende DFA. Een toestnd in P(Q) is nu een ccepterende toestnd ls deze een ccepterende toestnd vn de NFA bevt

4 Afsluitingseigenschppen reguliere tlen Niet-reguliere tlen De klsse vn reguliere tlen is gesloten onder het nemen vn complement, vereniging en doorsnede. Met ndere woorden, ls L 1 en L 2 reguliere tlen zijn, dn zijn ook L 1, L 1 L 2 en L 1 L 2 regulier. Er bestn niet-reguliere tlen: Zij Σ = {0, 1}. De tl L Σ gedefinieerd door L = {0 n 1 n n N} is niet regulier (Sipser, Ex. 1.73). Een DFA kn niet onthouden wt zij gelezen heeft Grmmtic s Afleidingen in grmmtic s Een grmmtic is een geordend viertl G =(V,Σ, R, S), wrin: V is een eindige verzmeling vribelen; Σ is een eindige verzmeling eindsymbolen; S is de strtvribele (S V ); R is een eindige verzmeling productieregels vn de vorm x y, met x (V Σ) + en y (V Σ). Als x y een productieregel is, kn uit woord w = uxv het woord z = uyv worden fgeleid. Nottie: w z ls z (direct) fleidbr is uit w. Nottie: Als w 1 w 2... w n, dn schrijft men w 1 wn. Let op: De geeft n dt 0 of meer fleidingsstppen zijn gebruikt. Er geldt dus ook w w

5 Tl vn een grmmtic Contextvrije grmmtic s (Def. 2.2) Zij G =(V,Σ, R, S) een grmmtic. De tl vn G, nottie L(G) is gedefinieerd ls L(G) ={w Σ S w}. Een grmmtic G =(V,Σ, R, S) is contextvrij (CFG) d.e.s.d.. lle productieregels in R de volgende vorm bezitten: wrbij A V en x (V Σ). A x, Voorbeeld CFG Voorbeeld fleiding Zij G =(V,Σ, R, S) met V = {A, B, C, D}, Σ = {, b, c, d} en zij R gegeven door: S AB DC A ε A B ε bbc C ε Cc D ε Db Dn: S AB DC A ε A B ε bbc C ε Cc D ε Db S DC DCc DbCc bcc bc en dus S bc

6 Contextvrije tlen Chomsky normlvorm (CNF) Een tl L is contextvrij d.e.s.d.. er een contextvrije grmmtic G bestt zodnig dt L = L(G). Een CFG G =(V,Σ, S, R) is in Chomsky normlvorm d.e.s.d.. iedere regel in R is vn één vn de volgende vormen: 1 S ε 2 A 3 A BC wrin Σ en A, B, C V met B en C ongelijk n S CFG s en CNF (Th. 2.8) Niet-contextvrije tlen Voor iedere CFG G bestt een CFG G in Chomsky normlvorm die dezelfde contextvrije tl voortbrengt, ofwel L(G )=L(G). Het bewijs vn deze stelling wordt gegeven in de vorm vn een constructie: een lgoritme wrmee CFG s kunnen worden omgezet in equivlente CFG s in CNF. Er bestn niet-contextvrije tlen: Zij Σ = {, b, c}. De tl L Σ gedefinieerd door L = { n b n c n n N} is niet contextvrij (Sipser, Ex. 2.36). Een PDA kn mr één keer poppen wt zij gepusht heeft

Automaten & Complexiteit (X )

Automaten & Complexiteit (X ) Automten & Complexiteit (X 401049) Eigenschppen vn reguliere tlen Jeroen Keiren j.j..keiren@vu.nl VU University Amsterdm 9 Februri 2015 Reguliere tlen Vorig college: De volgende beweringen zijn equivlent:

Nadere informatie

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht

Reguliere Expressies en Automaten: Overzicht Reguliere Expressies en Automten: Overzicht Alfetten Tekenrijtjes over een lfet Tlen over een lfet Reguliere Uitdrukkingen Reguliere Operties Herkenners voor Reguliere Ptronen Deterministische utomten

Nadere informatie

Inhoudsopgave. Inhoud

Inhoudsopgave. Inhoud sopgve 1 Ptronen... 3 2 Vergelijk: tegelptronen... 4 3 Regulier versus context-vrij... 5 4 Lettergrepen: tl met één hnd... 6 5 Bouwpln voor lettergrepen... 7 6 Tlspel met lettergreepstructuur... 8 7 Spiegelwoorden...

Nadere informatie

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.

In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten. 9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents

Formeel Denken. Herfst 2004. Contents Formeel Denken Hermn Geuvers Deels geseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen Herfst 2004 Contents 1 Automten 1 1.1 Automten

Nadere informatie

Logische Complexiteit Hoorcollege 4

Logische Complexiteit Hoorcollege 4 Logische Complexiteit Hoorcollege 4 Jacob Vosmaer Bachelor CKI, Universiteit Utrecht 8 februari 2011 Contextvrije grammatica s Inleiding + voorbeeld Definities Meer voorbeelden Ambiguiteit Chomsky-normaalvormen

Nadere informatie

Beslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7

Beslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7 Beslisbare talen (1) College 7 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 10 mei 2009 De talen: A DFA = { M, w M is een DFA die w accepteert} A NFA = { M, w M is een NFA die w accepteert} E DFA = { M M is

Nadere informatie

Grammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2)

Grammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2) Grmmtic s en Ontleden Deeltentmen 1 (vn 2) Grmmtic s en Ontleden Deeltentmen 1 (vn 2), Universiteit Utrecht http://www.cs.uu.nl/groups/st/ Donderdg 21 decemer 2006 Deeltentmen 1 (vn 2) > Meerkeuze vrgen

Nadere informatie

Efficiënt zoeken in grote tekstbestanden

Efficiënt zoeken in grote tekstbestanden Efficiënt zoeken in grote tekstbestnden Een gstles wiskunde voor hvo/vwo 3 en 4, verzorgd door de Universiteit Twente Mriëlle Stoeling en Mrk Timmer Google, Twitter, en Fcebook doorzoeken in een mum vn

Nadere informatie

Grammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2) Dinsdag 18 december 2007 (15:00-17:00)

Grammatica s en Ontleden Deeltentamen 1 (van 2) Dinsdag 18 december 2007 (15:00-17:00) Grmmtic s en Ontleden Deeltentmen 1 (vn 2) Dinsdg 18 decemer 2007 (15:00-17:00) John Jeuring Dit exmen estt uit cht meerkeuze vrgen en een open vrg. Geef ltijd het este ntwoord op een meerkeuzevrg. In

Nadere informatie

IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur

IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4 2628 CD Delft IN2505 II Berekenbaarheidstheorie Tentamen Maandag 2 juli 2007, 14.00-17.00 uur BELANGRIJK Beschikbare

Nadere informatie

Automaten & Complexiteit (X )

Automaten & Complexiteit (X ) Automaten & Complexiteit (X 401049) Beschrijven van reguliere talen Jeroen Keiren j.j.a.keiren@gmail.com VU University Amsterdam 5 Februari 2015 Talen Vorig college: Talen als verzamelingen Eindige automaten:

Nadere informatie

Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen

Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen 1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende

Nadere informatie

Automaten & Complexiteit (X )

Automaten & Complexiteit (X ) Automaten & Complexiteit (X 401049) Inleiding Jeroen Keiren j.j.a.keiren@vu.nl VU University Amsterdam Materiaal Peter Linz An Introduction to Formal Languages and Automata (5th edition) Jones and Bartlett

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Turingmachines. Turingmachine en Taal. College 2

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Turingmachines. Turingmachine en Taal. College 2 Vorig college College 2 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Welke problemen zijn (niet) algoritmisch oplosbaar? Wat is een probleem? Wat is een algoritme? 13 april 2009 1 2 Turingmachines Turingmachine

Nadere informatie

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b

is het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b 1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls

Nadere informatie

Bespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)

Bespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007) Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt,

Nadere informatie

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

Analyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen

Nadere informatie

Tentamen TI2310 Automaten en Talen. 19 april 2012, uur

Tentamen TI2310 Automaten en Talen. 19 april 2012, uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica TP Delft Tentamen TI2310 Automaten en Talen 19 april 2012, 14.00-17.00 uur Totaal aantal pagina's (exclusief dit titelblad):

Nadere informatie

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Aanbevolen opgaven. Wat is oneindigheid? College 5 Vorig college College 5 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Opsommers vs. Herkenners Church-Turing These Codering van problemen 23 april 2009 1 2 Aanbevolen opgaven Wat is oneindigheid? Sipser p. 163

Nadere informatie

Kwadratische reciprociteit

Kwadratische reciprociteit Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete

Nadere informatie

Parels van studenten tijdens een examen

Parels van studenten tijdens een examen Prel 1 Prels vn studenten tijdens een exmen c k x k n+1 n+1 ( = c k x k ( ) )x c n+1x n+1 n+1 k ( ) k x n+1 k ( ) k k k Prel 2 Vrg: Zij n N, c k C voor k = 1,..., n, c n 0. Toon n dt de functie f(z) =

Nadere informatie

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen

Proeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief

Nadere informatie

Routeplanning middels stochastische koeling

Routeplanning middels stochastische koeling Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.

Nadere informatie

Didactische ondersteuning van theoretische informatica

Didactische ondersteuning van theoretische informatica Didctische ondersteuning vn theoretische informtic Annelotte BOLLEN promotor: Prof. dr. Frnk NEVEN Acdemiejr 2004-2005 Eindverhndeling voorgedrgen tot het ekomen vn de grd licentit in de informtic fstudeervrint

Nadere informatie

Primitieve en integraal

Primitieve en integraal Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn

Nadere informatie

Automaten en Berekenbaarheid

Automaten en Berekenbaarheid Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 2: 20-35 reguliere expressies NFA DFA minimalisatie Van RE naar NFA I 2/11 structureel (als algebra s) zijn RegExp en de NFA s gelijk voor

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim

Uitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.

Nadere informatie

10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :

10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm : 1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur

Nadere informatie

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2

Formulekaart VWO wiskunde B1 en B2 Formulekrt VWO wiskunde B en B2 De Formulekrt Wiskunde hvo/vwo is gepubliceerd in Uitleg, Gele Ktern nr. 2, CEVO- 98/257. Deze versie vn de Formulekrt is die officiële versie. Vierkntsvergelijking Als

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

opgaven formele structuren procesalgebra

opgaven formele structuren procesalgebra opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve

Nadere informatie

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules

Hoofdstuk 0: algebraïsche formules Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994 1995 : Eerste Ronde. Vlmse Wiskunde Olmpide 994 995 : Eerste Ronde De eerste ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen, opgemkt door de jur vn VWO Het quoteringsssteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 punten Per goed ntwoord

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30

ELEKTROMAGNETISME 1-3AA30 ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier

Nadere informatie

Paradox van zelfreproductie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Zelfreproductie? Programma s en zelfreproductie. College 11.

Paradox van zelfreproductie. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Zelfreproductie? Programma s en zelfreproductie. College 11. Paradox van zelfreproductie College 11 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 27 mei 2009 1 Levende wezens zijn machines. 2 Levende wezens kunnen zich reproduceren. 3 Machines kunnen zich niet reproduceren.

Nadere informatie

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen.

Bekijk onderstaand algoritme recalg. Bepaal recalg(5) en laat zien hoe u het antwoord hebt verkregen. Vooreeldtentmen 1 Tentmen Dtstructuren en lgoritmen (T641 en T6741) OPGAVE 1 c d Bekijk onderstnd lgoritme recalg. Bepl recalg() en lt zien hoe u het ntwoord het verkregen. Wt erekent recalg in het lgemeen?

Nadere informatie

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg

3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg 3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls

Nadere informatie

hoofdstuk 3 bisimulatie checken

hoofdstuk 3 bisimulatie checken hoofdstuk isimultie heken 1 PROCESSEN 2005 1. Bsi Proess Alger 2. Bisimultie. Bisimultie heken. Reursie 5. Contextvrije proessen 6. Prllelle proessen: interleving 7. Dedlok en ommunitie 8. Curious queues

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde

Zomercursus Wiskunde Ktholieke Universiteit Leuven September 0 Module Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie (versie ugustus 0) Module : Integrtietechnieken: substitutie en prtiële integrtie Inhoudsopgve Primitieve

Nadere informatie

Logische Complexiteit

Logische Complexiteit Logische Complexiteit Universele Turing machines College 12 Donderdag 18 Maart 1 / 11 Hoog-niveau beschrijvingen en coderen Vanaf nu: hoog-niveau beschrijvingen van TM s. Daarbij worden objecten die geen

Nadere informatie

Inhoud college 7 Basiswiskunde

Inhoud college 7 Basiswiskunde Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10

Nadere informatie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden

Nadere informatie

I Vectoren in R. I.0 Inleiding

I Vectoren in R. I.0 Inleiding I Vectoren in R I Inleiding Een vector is een wiskundig begrip dt centrl stt in de wiskunde zelf, mr dt ook een grote rol speelt in nder vkken, in het bijzonder de ntuurkunde en de econometrie In dit hoofdstuk

Nadere informatie

TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING

TENTAMEN Basismodellen in de Informatica VOORBEELDUITWERKING TENTAMEN Basismodellen in de Informatica vakcode: 211180 datum: 2 juli 2009 tijd: 9:00 12:30 uur VOORBEELDUITWERKING Algemeen Bij dit tentamen mag gebruik worden gemaakt van het boek van Sudkamp, van de

Nadere informatie

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven

Praktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de

Nadere informatie

Lineaire formules.

Lineaire formules. www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige

Nadere informatie

Formeel Denken. December 21, 2006

Formeel Denken. December 21, 2006 Formeel Denken Hermn Geuvers Deels gebseerd op het herfst 2002 dictt vn Henk Brendregt en Bs Spitters, met dnk n het Discrete Wiskunde dictt vn Wim Gielen December 21, 2006 Contents 1 Propositielogic 1

Nadere informatie

Continuïteit en Nulpunten

Continuïteit en Nulpunten Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze

Nadere informatie

Hoe plan je een grote taak?

Hoe plan je een grote taak? 3 PLANNEN Hoe pln je een grote tk? Wt heb je n deze les? In deze les leer je hoe je grote tken in stukken opdeelt en over meerdere dgen inplnt. Hndig ls je bijvoorbeeld voor een toets moet leren, wnt zo

Nadere informatie

1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep.

1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep. 1 Bewerkige met mtrices ivoere vi voorbeelde 11 -tlle e de bewerkige ( 1, 2, 3,, ) is ee -tl met i De verzmelig v reële -tlle otere we met Defiieer de som ls ( 1, 2, 3,, ) + (b 1,b 2,b 3,,b ) = ( 1 +b

Nadere informatie

Vraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid.

Vraag 2. a) Geef in een schema weer uit welke onderdelen CCS bestaat. b) Met welke term wordt onderstaande processchema aangeduid. Tentmen Duurzme Ontwikkeling & Kringlopen, 1 juli 2009 9:00-12:00 Voordt je begint: schrijf je nm en studentnummer bovenn ieder vel begin iedere vrg op een nieuwe bldzijde ls je een vkterm wel kent in

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen

Voorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt

Nadere informatie

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening

Werkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix

Nadere informatie

Leidraad bij het college Analyse 1 (voorjaar 2007)

Leidraad bij het college Analyse 1 (voorjaar 2007) Leidrd bij het college Anlyse 1 (voorjr 2007) Kls Lndsmn Institute for Mthemtics, Astrophysics, nd Prticle Physics Rdboud Universiteit Nijmegen Toernooiveld 1 6525 ED NIJMEGEN e-mil: lndsmn@mth.ru.nl website:

Nadere informatie

De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming

De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Dit bewijzen we met behulp van een recursieve opsomming Recursieve talen De klasse van recursief opsombare talen is gesloten onder en. Echter, het is niet zo dat L recursief opsombaar is voor alle recursief opsombare talen L. Dit bewijzen we met behulp van

Nadere informatie

Talen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008

Talen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie   9 mei 2008 Talen & Automaten Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.cs.rug.nl/~wim 9 mei 2008 Talen & automaten Week 1: Inleiding Dit college Talen Automaten Berekenbaarheid Weekoverzicht

Nadere informatie

Solid Mechanics (4MB00) Toets 2 versie 2

Solid Mechanics (4MB00) Toets 2 versie 2 Solid Mechnics (4MB00) Toets 2 versie 2 Fculteit : Werktuigouwkunde Dtum : 2 pril 2014 Tijd : 13.45-15.15 uur Loctie : Pviljoen Stud Hu 2 Deze toets estt uit 3 opgven. De opgven moeten worden gemkt met

Nadere informatie

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:

Nadere informatie

Syllabus Analyse 2A. door T. H. Koornwinder

Syllabus Analyse 2A. door T. H. Koornwinder Syllbus Anlyse 2A door T. H. Koornwinder Universiteit vn Amsterdm, Fculteit der Ntuurwetenschppen, Wiskunde en Informtic, Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde september 2001 Deze syllbus geeft de

Nadere informatie

1 e Bachelor Informatica dinsdag 17-08-2010, 8:30 prof. dr. Peter Dawyndt academiejaar 2009-2010

1 e Bachelor Informatica dinsdag 17-08-2010, 8:30 prof. dr. Peter Dawyndt academiejaar 2009-2010 Exmen: Computergebruik 1 e Bchelor Informtic dinsdg 17-08-010, 8:30 prof. dr. Peter Dwyndt cdemiejr 009-010 groep 1 tweede zittijd Opgve 1 Gegeven is een tekstbestnd tour010.txt wrin de einduitslg vn de

Nadere informatie

Automaten en Berekenbaarheid

Automaten en Berekenbaarheid Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 3: 36-54 Myhill-Nerode relaties; regulier pompen Myhill-Nerode equivalentieklassen in Σ I 2/10 belangrijk te verstaan: een equivalentie-relatie

Nadere informatie

ELECTRONIC ALARMS MANUALE D USO PER: E-POWER 602687 M E-LUX 602688 M E-1 602689 M. Imarchi

ELECTRONIC ALARMS MANUALE D USO PER: E-POWER 602687 M E-LUX 602688 M E-1 602689 M. Imarchi MANUALE D USO PER: E-POWER 602687 M E-LUX 602688 M E-1 602689 M Imrchi sono di proprietà dellpiaggio &CS.p.. www.piggio.com V.leR.Piggio,25-56025 PONTEDERA (PI) ELECTRONIC ALARMS BY INHOUDSOPGAVE PAGINA

Nadere informatie

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c. Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos

Nadere informatie

1.1 Terug naar Archimedes met simpele voorbeelden

1.1 Terug naar Archimedes met simpele voorbeelden 1 Integrlrekening Woord voorf: ik verwijs f en toe nr het groene boekje Wiskunde in je Vingers met Ronld Meester [HM]. Onderstnde tekst bevt net ls [HM] geen pltjes. Het is verstndig en leerzm om die zelf

Nadere informatie

In dit hoofdstuk willen aan elke vierkante matrix een getal associëren dat (onder andere) aangeeft of die matrix singulier is of niet. d b. c a.

In dit hoofdstuk willen aan elke vierkante matrix een getal associëren dat (onder andere) aangeeft of die matrix singulier is of niet. d b. c a. Deterinnten Deterinnt In dit hoofdstuk willen n elke vierknte trix een getl ssociëren dt (onder ndere) ngeeft of die trix singulier is of niet ) Deterinnt vn een x-trix Zij gegeven twee trices M c d en

Nadere informatie

Zelfstudie practicum 1

Zelfstudie practicum 1 Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().

Nadere informatie

Syllabus Analyse A3. door T. H. Koornwinder. Universiteit van Amsterdam, Faculteit WINS Vakgroep Wiskunde, cursus 1995/96

Syllabus Analyse A3. door T. H. Koornwinder. Universiteit van Amsterdam, Faculteit WINS Vakgroep Wiskunde, cursus 1995/96 Ter inleiding Syllbus Anlyse A3 door T. H. Koornwinder Universiteit vn Amsterdm, Fculteit WINS Vkgroep Wiskunde, cursus 995/96 Deze syllbus is een direct vervolg op de syllbus Anlyse A. Net ls dr gt het

Nadere informatie

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN

HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo

Nadere informatie

Een CVA (beroerte) kan uw leven drastisch veranderen! 2009 Een uitgave van de Nederlandse CVA-vereniging

Een CVA (beroerte) kan uw leven drastisch veranderen! 2009 Een uitgave van de Nederlandse CVA-vereniging N een CVA (beroerte)... hoe verder?. Een CVA (beroerte) kn uw leven drstisch vernderen! 2009 Een uitgve vn de Nederlndse CVA-vereniging Wt is een CVA? In Nederlnd leven meer dn een hlf miljoen mensen met

Nadere informatie

Inhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6

Inhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6 Inhoud eindtoets Eindtoets Introductie 2 Opgaven 3 Terugkoppeling 6 1 Formele talen en automaten Eindtoets I N T R O D U C T I E Deze eindtoets is bedoeld als voorbereiding op het tentamen van de cursus

Nadere informatie

Uitwerking herkansing Functies en Reeksen

Uitwerking herkansing Functies en Reeksen Uitwerking herknsing Functies en Reeksen 3 jnuri 14, 9: - 1: uur Opgve 1 () De functie ' is prtieel differentieerbr, met prtiële fgeleiden @'.x; y/ D.1; 1/T en @x @' @y.x; y/ D. v; v/t : Deze prtiële fgeleiden

Nadere informatie

== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u

== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u == Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking

Nadere informatie

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid.

Deze les krijgen de leerlingen een introductie over ongelijke breuken. Dit met name gericht op het vergelijken met een bemiddelende grootheid. Lesopzet De door ons gemkte lessencyclus wordt in drie opeenvolgende rekenlessen gegeven. Les is iets korter dn les en, wrdoor er eventueel extr herhling vnuit les ingepst kn worden.. Les Deze les krijgen

Nadere informatie

Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie

Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 8 oktober 2007 GRAMMATICA S Kennisrepresentatie & Redeneren Week6: Grammatica

Nadere informatie

Procestheorie. Project UvA, Informatica 1e jaar. juni 2005

Procestheorie. Project UvA, Informatica 1e jaar. juni 2005 Procestheorie Project UvA, Informtic 1e jr juni 2005 1 Inhoud 1 Inleiding 2 2 Bsis Proces Algebr 4 2.1 De theorie BP A.................................. 4 2.2 Procesgrfen....................................

Nadere informatie

Aantekeningen voor de cursus met Jan

Aantekeningen voor de cursus met Jan Antekeningen voor de cursus met Jn Antekeningen voor de cursus met Jn JH Oegstgeest, Amsterdm The Netherlnds c c 2015 tekst FF 2015 illustrtie Ruud Hulshof Fotogrfie omslg: nog onbekend Vormgeving omslg:

Nadere informatie

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2

Inhoud Basiswiskunde Week 5_2 Inhoud Bsiswiskunde Week 5_2 3.5 Cyclometrische functies (vervolg, zie week 5_1) 5.1 t/m 5.3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 2 Bsiswiskunde_Week_5_2.n 5.1 t/m 5.3 Som-nottie

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentilvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 1 De Lplce vergelijking De tweedimensionle wrmtevergelijking

Nadere informatie

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek

Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,

Nadere informatie

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²

Het kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)² Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven

Nadere informatie

Getallenverzamelingen

Getallenverzamelingen Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.

Nadere informatie

Wiskundige Analyse 1

Wiskundige Analyse 1 Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe

Nadere informatie

UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN. OPLEIDING baccalarius=batselier=bachelor WISKUNDE ANALYSE I

UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN. OPLEIDING baccalarius=batselier=bachelor WISKUNDE ANALYSE I UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT WETENSCHAPPEN OPLEIDING bcclrius=btselier=bchelor WISKUNDE ANALYSE I Prof. J. Vinds Editie 2015-2016 Anlyse I behndelt Functies vn één reële vernderlijke. Met dnk n Prof. C.

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)

Nadere informatie

16.6 Opgaven hoofdstuk 7: Producten en combinatoriek

16.6 Opgaven hoofdstuk 7: Producten en combinatoriek 166 Opgve hoofdstu 7: Producte e combitorie 166 Opgve hoofdstu 7: Producte e combitorie Opgve 71 1 + x) 3 1 + x) 1 + x) 2 1 + x) 1 + 2x + x 2 ) 1 + 2x + x 2 + x + 2x 2 + x 3 1 + 3x + 3x 2 + x 3 Opgve 72

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor

Nadere informatie

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck

Antwoorden Doeboek 21 Kijk op kegelsneden. Rob van der Waall en Liesbeth de Clerck Antwoorden Doeboek 1 Kijk op kegelsneden Rob vn der Wll en Liesbeth de Clerk 1 De 3 4 ) 5 Een 6 Als 7 8 ) 9 De Nee, lle punten die 1 entimeter vn het midden liggen, liggen op de irkel. gevrgde figuur bestt

Nadere informatie

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.

Het bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem. Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

De stelling van Rolle. De middelwaardestelling

De stelling van Rolle. De middelwaardestelling De stelling vn Rolle Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr op (, b) en f() = f(b) dn is er een c (, b) zodt f (c) = 0. De middelwrdestelling Als f : [, b] R, continu is op [, b] en differentieerbr

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld

Nadere informatie

Over de tritangent stralen van een driehoek

Over de tritangent stralen van een driehoek Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven

Nadere informatie