4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES

Transcriptie

1 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger: n z z IR, : n Rekenregels:. : Over irrtionle eponenten weten we nog niets! Voorbeeld : We nemen ls grondtl = : 4 3, A is de verzmeling vn lle rtionle mchten vn. Deze verzmeling is een deelverzmeling vn IR.

2 Beschouw de functie L die elke mcht vn fbeeldt op hr eponent. L : A IR : is een eponentenplukker en noemen we de Deze functie logritmische functie met grondtl. Uit onze rekenregels met rtionle eponenten leiden we volgende belngrijke kenmerken / eigenschppen vn L f: L beeldt f op : L L L beeldt producten f op sommen: L L is een bijectie vn A IR op : wegens IR A L IR, De omgekeerde of inverse bijectie vn L beeldt dus elk rtionl getl f op de mcht (eponentenzetter) en noemen we de eponentiële functie met grondtl. E L : A IR :

3 Voorbeeld : Nemen we een nder strikt positief grondtl, bijvoorbeeld =. Op nloge mnier kunnen we volgende functies definiëren: L : A IR : E L : A IR : Beide functies zijn mekrs spiegelbeeld ten opzichte vn de eerste bissectrice vn het crtesins ssenstelsel y, ze zijn immers elkrs inverse of omgekeerde reltie. Ze zijn echter niet continu (lle irrtionle getllen ontbreken op de Y-s). Beide voorbeelden kunnen we verlgemenen voor elk strikt positief reëel grondtl (verschillend vn ). A = de verzmeling vn elke rtionle mcht vn L : A IR IR : is de logritmische functie met grondtl, die een product fbeeldt op een som. E : IR A IR : is de eponentiële functie met grondtl, die een som fbeeldt op een product. Deze bijecties willen we nu uitbreiden tot fleidbre bijecties L, respectievelijk E tussen de verzmelingen IR en IR, met behoud vn de eigenschppen dt een product (vn mchten) omgezet wordt in een som (vn eponenten), en dt fgebeeld wordt op, en omgekeerd.

4 Een bijectie L of E met die eigenschppen noemen we een isomorfisme tussen IR, en IR,. Een morfisme is een fbeelding tussen wiskundige structuren (hier commuttieve groepen) wrbij het beeld vn de bewerking, de bewerking vn de beelden is. Het gedeelte iso slt op het bijectief krkter. IR, is een commuttieve groep, wnt de vermenigvuldiging in IR. is intern;. is ssocitief; 3. bezit een neutrl element, nl. ; 4. bezit een inverteerbr element, nl. het omgekeerde; 5. is communttief Om dezelfde redenen is IR, eveneens een commuttieve groep. Een morfisme behoudt de morfologie (vorm) tussen beide structuren. Het neutrl element (invers element) vn de ene wiskundige structuur zl op het neutrl element (invers element) vn de ndere wiskundige structuur worden fgebeeld. Een product in A IR wordt fgebeeld op een som in IR. Het neutrl element voor de vermenigvuldiging in IR, nl. wordt fgebeeld op het neutrl element voor de optelling in IR, nl.. IR A L IR

5 Het symmetrisch element voor de vermenigvuldiging in IR wordt fgebeeld op het symmetrisch element voor de optelling in IR. Immers, is het symmetrisch element voor voor de vermenigvuldiging in IR en wordt fgebeeld op, het symmetrisch element vn voor de optelling in IR. Deze gewenste uitbreiding betekent dt we IR, : uitbreiden tot IR, IR : Algemene vorm vn een logritmische functie L Uitgngspunt: We willen L definiëren ls een continue, fleidbre bijectie vn IR op IR die producten fbeeldt op sommen en fbeeldt op. Het voorschrift vn L : IR IR : L kennen we (nog) niet, mr we gn de fgeleide functie L beplen, steunend op de gestelde eigenschppen vn L: L L IR () () t, IR :L t L t L Neem t = cte (een willekeurig strikt positief reëel getl) en L fleidbr: ' ' IR : t L t L Dit geldt voor elke strikt positieve reële, dus ook voor =. Neem = : ' ' t L t L t IR ' ' L t L Dit geldt voor een willekeurige t IR IR t

6 ' Stel L = m met m IR ' t IR : L t m t De fgeleide functie vn L is een reëel veelvoud vn f : IR IR : t f t is continu over IR t f t over IR t ( ) F : IR IR : F f tdt dt is een stmfunctie vn f t Uit ( ) volgt: ' L t m f t m t L m F c m IR L m f tdt c m dt c t L en m kiezen we = en c =

7 L m dt = t Elk fleidbr isomorfisme vn IR, nr IR, is noodzkelijk vn de vorm: L : IR IR : L m dt met m t = willekeurige logritmische functie L : IR IR We zullen tevens het omgekeerde bewijzen, nl. dt elke functie vn bovenstnde vorm wel degelijk een fleidbr isomorfisme is. De eenvoudigste keuze voor m = noemen we de ntuurlijke logritmische functie of Neperinse logritme, nottie: ln De Neperse of Neperinse logritmen worden genoemd nr de Schotse wiskundige John Npier (55-67).

8 4... De ntuurlijke logritmische functie 4... Definitie, opmerkingen IR : ln dt t Opmerkingen:. Grfische interprettie:. Tekenonderzoek: 3. ln is strikt stijgend over IR, IR : ln ln 4. IR : ln ln

9 5. ln dt t is een stmfunctie vn ft t IR : ln ' d ln c IR ln is fleidbr over IR d.w.z. de grfiek vn ln heeft geen knikken ln is continu over IR d.w.z. de grfiek mkt geen sprongen in punten vn het domein 4... Eigenschppen, het getl e Eigenschp : ln is een morfisme vn IR, op IR, :, IR : ln ln ln IR, is een commuttieve groep, wnt de vermenigvuldiging in IR is:. intern. ssocitief 3. bezit een neutrl element, nl. 4. symmetrisch (inverteerbr) element vn, 5. commuttief Op deze wijze is ook IR, een commuttieve groep. Een fbeelding tussen wiskundige structuren (hier commuttieve groepen) wrbij het beeld vn de bewerking, de bewerking vn de beelden is = morfisme.

10 IR, ln IR,+ ln y ln y y ln y ln ln y ln ln Bewijs:

11 Eigenschp : IR, : ln ln Bewijs: (UOVT!) Gevolg eigenschp : IR : ln ln, y IR : ln ln ln y y Bewijs: Eigenschp 3: ln is strikt stijgend over IR, y IR : y ln lny Bewijs:

12 Gevolg eigenschp 3: ln ln Bewijs: Eigenschp 4: ln is een bijectie vn IR op IR Betekenis: Uit elk element vn IR vertrekt juist pijl en in elk element vn IR komt juist pijl toe. Elk reëel getl wordt door ln juist keer bereikt door juist strikt positief getl.! getl g IR : lng Dit getl g noemen we het getl e (het getl vn Euler) e dt lne t Men kn bewijzen dt. e =,78. e IR \ Grfisch:

13 Eigenschp 5: lim ln en lim ln Bewijs:. We gebruiken de Q, vormvn de definitie: lim ln Q IR, IR : ln Q ln is een bijectie vn IR op IR Q IR, IR : ln Q Uit het feit dt ln is strikt stijgend is over IR volgt: ln ln Q. We gebruiken de Q,P vorm vn de definitie: lim ln Q IR, P IR : P ln Q ln is een bijectie vn IR op IR Q IR, P IR : lnp Q Uit het feit dt ln is strikt stijgend is over IR volgt: P ln lnp Q Opmerkingen:. De limiet vn ln in een punt vn het domein IR is gelijk n de functiewrde, wnt ln is een continue functie. b. De grfiek vn ln heeft: i. een VA: = ii. geen HA c. ln is een isomorfisme vn IR, op IR,. d. : lne lne e is het grondtl vn de ntuurlijke logritmische functie (ln).

14 Grfiek vn de ntuurlijke logritmische functie

15 4..3. Willekeurige logritmische functie met grondtl Inleiding Een willekeurige logritmische functie is steeds vn de vorm: L : IR IR : L m dt m ln met m IR t Het grondtl vn een willekeurige logritmische functie is het strikt positieve getl dt wordt fgebeeld op. Voor de ntuurlijke logritmische functie ws dit het getl e, nmelijk: lne. Dr elke willekeurige logritmische functie een fleidbre bijectie is vn IR op IR geldt dt: met m = modulus IR! IR : L m ln m ln = het grondtl IR \ Definitie, opmerkingen Een willekeurige logritmische functie met grondtl IR \ ln IR : log ln ln ln Opmerkingen:. Dt het grondtl wordt genoemd, wordt gerechtvrdigd door: L ln ln ln ln. Elke logritmische functie is een reëel veelvoud vn de ntuurlijke logritme: log m ln met m ln 3. De logritmische functie met grondtl, wordt ook de -logritme genoemd. 4. log lezen we ls de -logritme vn of kortweg -log.

16 5. log wordt soms ook genoteerd ls log. e 6. De ntuurlijke logritme heeft e ls grondtl en ls modulus, ln log. 7. De logritme met grondtl noemen we de Briggse logritme. log noteren we kortweg ls log. Op ons rekentoestel stt zowel een knop om rechtstreeks de ntuurlijke logritme (ln) te berekenen ls de Briggse logritme (log). Eigenlijk is de knop log overbodig, wnt indien je de ntuurlijke logritme kn berekenen kn je meteen ook lle willekeurige logritmen berekenen, nl. ln3 log3. ln Eigenschppen en grfiek vn een willekeurige logritmische functie Elke willekeurige logritmische functie met grondtl is een fleidbr isomorfisme vn IR, nr IR,. Hieruit volgen meteen volgende eigenschppen: Eigenschp : log: IR IR is een bijectie Eigenschp :, y IR : log y log logy De logritme vn een product is de som vn de logritme vn de fctoren. Eigenschp 3: : log (eponenteigenschp) Eigenschp 4: b, b IR \ IR : log log logb = Verndering vn het grondtl Eigenschp moet je niet strikt kunnen bewijzen, wel kunnen uitleggen. De bewijzen vn eigenschppen en 4 zijn UOVT en volgen uit de definitie vn log.

17 Onderzoekscompetentie Onderzoek het verbnd tussen het grondtl en de grfiek vn willekeurige logritmische functies.. Teken in ssenstelsel de grfieken vn door goed gekozen koppels te kiezen. e 4 log log ln log log Neem ls indeling op de X-s: cm (4r) = eenheid en op de Y-s: cm (4r) = eenheid.. De fgeleide vn ln kennen we reeds. Onderzoek (en bewijs) wt de fgeleide is vn een willekeurige logritmische functie met grondtl. ' log is fleidbr: log D log Onderzoek het verbnd tussen het grondtl en het verloop vn een willekeurige logritmische functie. Bewijs dit verbnd. 4. Onderzoek het verbnd tussen de grfiek vn log en de grfiek vn log. Bewijs dit verbnd. 5. Onderzoek het verbnd tussen de grfiek vn log en de grfiek vn log. Bewijs dit verbnd. 6. Indien en b llebei > dn ligt de grfiek vn log boven / onder de grfiek vn b log voor < < en ligt de grfiek vn log boven / onder de grfiek vn b log voor >.

18 4..4. Oefeningen Oefening : Bereken de volgende logritmen zonder rekentoestel, IR \. log3. log log 4 4. log 5. 5 log 4, log(3 9) log log log log 5. log 7, log 4 3. log log 5. ln e e log5 log log log 3 Oefening : Als gegeven is log,33 en log3,477 bereken dn. log8. 4. log, log 3. log5 8 log 5 6. log6 7. log,75 8. log3 9. log3,5. log3 3. log. log36 Oefening 3: Bereken met behulp vn een rekentoestel.. 7 log3.,5 log log, log log log 7 7. log log 3 9.,5 log,45. loge

19 Oefening 4: Bereken de vergelijkingen vn de rklijnen in het punt grfisch voor...,y n f e 3. ln en stel e 6. e Oefening 5: Bereken de vergelijkingen vn de rklijnen in het punt. 3. e f f ln. ln 4.,y n y f. f ln f ln Oefening 6: Bepl het domein vn de volgende functies en bereken de fgeleide functie ervn.. y ln4 5. y log y ln y ln y ln y ln ln y 8. y ln 9. ln y. ln y ln. y ln 3. y loglog 3. y log loglog 4. y lnsin Oefening 7: Bewijs de volgende eigenschppen vn de logritmische functie met grondtl.., y IR : log. : log y log logy

20 3. D log ln Oefening 8: Gegeven zijn de volgende functies f : IR IR : g : IR IR : ln : IR IR : ln Toon n dt IR : ln Mk de grfiek vn de functies op één tekening. Welke meetkundige interprettie kunnen we n de ongelijkheid geven? Oefening 9: Bewijs volgende gelijkheden (, b, c en d IR, lle grondtllen zijn verschillend vn en m, n zijn vn verschillende rtionle getllen).. c. b c logb logc logd logd b. b log log d. logb log log log b b z z logb logb e. b logc logc b log f. b logc logc logb g. n b m b log m b logc log h. log logc log n logb i. b b logc logd logd logc j. n b b n logc logd logc logd Oefening : Bewijs volgende eigenschppen: (i), b IR \, IR : b log log logb

21 (ii), b IR \ : logb of logb b log b log (iii), b IR \ : ' log' log m IR ln Meetkundige betekenis vn de modulus: de modulus vn een logritmische functie is de Rico vn de rklijn in (, ) n de grfiek vn deze functie. Oefening : Bewijs volgende gelijkheden (P, Q zijn strikt positieve reële getllen) en lle grondtllen zijn strikt positieve vn verschillende reële getllen.. b logp logp logp b b logp logp b. b c b c logp logp logp logp b b c c logp logp logp logp logp logp Oefening :. De mrginle opbrengst m vn de verkoop vn dozen is gegeven door: met uitgedrukt in duizend verkochte eenheden en f in euro. f() 66. Bepl de totle opbrengstfunctie F.. Stel F grfisch voor en g n of de functie een nnemelijke totle opbrengstfunctie is. b. Sommige psychologen zijn vn oordeel dt de functie f 5 3 ln 5 mogelijkheid om te leren vnf de zesde mnd tot het vierde levensjr goed bendert. Hierin is uitgedrukt in jren. Op welke leeftijd leert het kind volgens deze theorie het best? de