Wiskunde voor 3 havo. deel 1. Versie Samensteller

Transcriptie

1 Wiskune voor 3 hvo eel 1 Versie 2013 Smensteller

2 2013 Het uteursreht op it lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is erhlve e rehtheene zols eoel in e hieroner vermele retive ommons lientie. Het lesmteril is met zorg smengestel en getest. Stihting Mth4All nvrt geen enkele nsprkelijkhei voor onjuistheen en/of onvolleigheen in e moule. Ook nvren ze geen enkele nsprkelijkhei voor enige she, voortkomen uit (het geruik vn) it lesmteril Voor eze moule gelt een Cretive Commons Nmsvermeling-Niet-ommerieel 3.0 Neerln Lientie. (zie Dit lesmteril is open, grtis en vrij toegnkelijk lesmteril fkomstig vn en is speil ontwikkel voor het vk wiskune in het voortgezet onerwijs. Het lesmteril op e wesite is fgestem op kernoelen wiskune, tussenoelen wiskune en eintermen voor e vkken wiskune A, B en C. Dit lesmteril is meiumneutrl ontwikkel en op iverse mnieren te ekijken en te geruiken. Voor informtie en vrgen kunt u ontt opnemen vi info@mth4ll.nl. Ook houen we ons ltij nevolen voor suggesties, vereteringen en/of nvullingen.

3 Inhou Voorwoor 3 1 Alger Rekenen met vrielen Breuken Hkjes Mhten Wortels Totleel 42 2 Vlkke meetkune Gelijk of gelijkvormig Rekenen in riehoeken Bijzonere lijnen Vlkke figuren Vergrotingsftoren Totleel 78 3 Vergelijkingen Bsishnelingen Terugrekenen De lnsmethoe Ontinen Breuken in vergelijkingen Totleel Lineire vernen Reht evenreig Lineire funties Het hellingsgetl Lineire moellen Totleel Goniometrie Vetoren Sinus en osinus Hoeken erekenen Helling en tngens Rekenen in riehoeken Totleel 181 Register 187 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

4 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 Voorwoor Het lesmterl in it oek is geseer op het mteril t je kunt vinen op e wesite In e tekst stn n ook regelmtig verwijzingen nr ie wesite. Wr je preies moet zijn op ie wesite kun je zien in e kopregel vn ieere pgin. Bij estuering vn het lesmteril kom je in e tekst ook nwijzingen tegen. Je ziet n ijvooreel in e tekst: Bekijk eerst: > 1/2 HAVO/VWO > Afstnen > Toepssen Je kunt met e muis elk eel vn e werel ekijken en er op inzoomen. Als zo n nwijzing in een opgve stt, kun je ie opgve wrshijnlijk lleen mr mken ls je iner op e wesite het gekeken. Ieer hoofstuk estt uit een ntl prgrfen en wort stees fgesloten met een prgrf Totleel wr e leerstof wort smengevt en/of herhl. Ieere prgrf is ingeeel in vste rurieken ie houvst geven ij e estuering vn het lesmteril. > Verkennen > Uitleg > Theorie en Vooreelen > Verwerken > Toepssen Inien er in het lesmteril wort verwezen nr werklen n kun je eze terugvinen op e wesite. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 1Alger Rekenen met vrielen 6 Breuken 15 Hkjes 20 Mhten 28 Wortels 35 Totleel 42

8 1.1 Rekenen met vrielen Verkennen Opgve 1 Bekijk eze luiferfiguur. Hij is gemkt vn luifers met een lengte vn u m en luifers met een lengte vn u m. Kies u = 3 m en u = 2 m. Teken e figuur en ereken e omtrek ervn. Bereken e oppervlkte vn e figuur ie je het geteken. Neem nu n t u = 5 m en u = 4 m en ereken opnieuw e omtrek en e oppervlkte vn e figuur. Geef een formule voor e omtrek en e oppervlkte vn eze figuur. Opgve 2 Vn een rehthoek is e oppervlkte 24 m 2 en e omtrek 22 m. Teken een rehthoek met lengte u en reete u. Shrijf e formules voor e oppervlkte en e omtrek vn eze rehthoek in je figuur. Geruik nu e gegeven wren voor e oppervlkte en e omtrek en zoek wren voor u en u ie voloen. Uitleg Vn een rehthoek zijn lengte en reete oneken, je kunt er us nog vershillene getllen voor kiezen. De lengte en e reete zijn vriel, vernerlijk. Je noemt e lengte en e reete rom vrielen. Vrielen stel je in e wiskune voor oor letters, meestl kleine letters en ursief gerukt. De lengte kun je hier u noemen en e reete u. Voor eze rehthoek gelt n: > De omtrek is u + u + u + u = 2 u + 2 u = 2u + 2u. > De oppervlkte is u u = u u. Hierij is geruik gemkt vn e fsprk t je het mlteken weglt ls roor geen misverstnen kunnen ontstn. Bijvooreel 2 u = 2u en u u = u u, mr Verer geruik je ij het rekenen met vrielen ezelfe regels ls ij het rekenen met getllen. > Je weet = 2 3. Zo is ook u + u = 2 u = 2u. > Je weet = 5 3 = 15. Zo is ook u + u + u + u + u = 5 u = 5u. > En us is 2u + 5u = 7u. De gelijksoortige termen 2u en 5u kun je optellen en ftrekken. > Mr zo kun je 2u +5u niet korter shrijven. De ongelijksoortige termen 2u en 5u kun je niet optellen of ftrekken. > Je weet 2 3 = 3 2 en = Zo is ook u u = u u en u + u = u + u. (De wisseleigenshp voor optellen en vermenigvuligen.) > Je weet 3 3 = 3 2. Zo is ook u u = u 2. PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 Je ziet t je veel uitrukkingen met vrielen ook ners kunt shrijven. Je noemt t hershrijven of herleien vn zo n uitrukking. Zo is 2u + 5u + 3u + 4u te herleien tot 5u + 9u. Opgve 3 Bekijk in e Uitleg op pgin 6 hoe je met vrielen rekent. Let er op t je gelijksoortige termen zoveel mogelijk smenneemt. Met luiferfiguren kun je het rekenen met vrielen zihtr mken. e Bepl vn eze rie luiferfiguren e omtrek. Shrijf e gevonen uitrukking zo kort mogelijk. Neem nu n t u = 3 m en u = 5 m. Hoeveel ergt n e omtrek vn elke figuur? Wrom is het herleien vn e uitrukkingen met vrielen hnig? Bepl vn eze rie luiferfiguren e oppervlkte. Shrijf e gevonen uitrukking zo kort mogelijk. Neem nu n t u = 3 m en u = 5 m. Hoeveel ergt n e oppervlkte vn elke figuur? Opgve 4 In e Uitleg op pgin 6 zie je vooreelen vn het rekenen met vrielen. Lt zien, t 2u + 5u = 7u. Lt zien, t 2u + 5u + 3u + 4u = 8u + 9u. Herlei nu zelf: 18u + 6u + 10u + 4u 12u + 6u + 10u + 4u e u + 3u + 5u + 8u + 7u f u u + u 2 + 3u u + u 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 Theorie en vooreelen Rekenen is het werken met getllen. Er zijn vier hoofewerkingen: optellen, ftrekken, vermenigvuligen en elen. Verer ken je e ewerkingen mhtsverheffen en worteltrekken. Alger is het rekenen met vrielen. Drij gelen ezelfe regels ls ij het rekenen. Als er geen misverstnen oor ontstn lt je in e lger het vermenigvuligingsteken weg. Belngrijke situties zijn: > u + u = 2u en u + u + u = 3u enzovoort. > u u = u 2 en u u u = u 3 enzovoort. > u u = u u en u u u = u 2 u enzovoort. > gelijksoortige termen kun je optellen en ftrekken: 8u + 5u = 13u en 8u 5u = 3u. > ongelijksoortige termen kun je niet optellen en ftrekken: 8u + 5u en 8u 5u kun je niet korter shrijven. > 8u 5u = 8 5 u u = 40u u en 8u 5u = 8 5 u u = 40u 2. Verer mk je regelmtig geruik vn e wisseleigenshp vn optellen en vermenigvuligen: u + u = u + u en u u = u u. In e lger is het geruikelijk om uitrukkingen zo kort en overzihtelijk mogelijk te shrijven oor ze te herleien met ehulp vn ovengenoeme eigenshppen. De vrielen zet je rij zoveel mogelijk in lfetishe volgore. En verer shrijf je 1u ls u en is 0u = 0 en zo n losse nul lt je weg. Vooreel 1 De omtrek vn e ovenste rehthoek is 8u +5u +8u +5u = 16u +10u. De omtrek vn e onerste rehthoek is 8u + 5u + 8u + 5u = 26u. Je ziet hoe gelijksoortige termen woren smengenomen en ongelijksoortige niet. De oppervlkte vn e ovenste rehthoek is 8u 5u = 8 5 u u = 40u u. Tel mr n t er 40 rehthoekjes met oppervlkte u u zijn. De oppervlkte vn e onerste rehthoek is 8u 5u = 8 5 u u = 40u 2. Tel mr n t er 40 rehthoekjes met oppervlkte u 2 zijn. PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 Opgve 5 Bekijk in Vooreel 1 op pgin 8 hoe je vrielen optelt. Herlei nu zelf: 3u + 12u + 2u + 4u 8u + u + 2u + u 4u + 3u + 4u + u u + 6u + 5u Opgve 6 Bekijk in Vooreel 1 op pgin 8 hoe je vrielen vermenigvuligt en soms rn weer optelt. Herlei nu zelf: 4u 3u 4u 3u + 5u 2u 4u 3u + 5u 2u 6u 2u + 4u u Opgve 7 In e figuur hiernst ontreken nog enkele uitrukkingen. Hij stt ook op het werkl. Shrijf ij elke figuur e juiste uitrukking. Leg uit wrom u u 2 en u 2 u geen gelijksoortige termen zijn. Hoe volgt uit e figuur t u u = u u? Opgve 8 Herlei: 7u + u 2u u u + 8u u u + u u u 12u 4u + 3u u 3u u 2 + 2u 2 u + u 2 u + 4u u 2 e f 4u 3u + 2u u + u 2u 2u u + u + 4u 2 + 5u STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 Vooreel 2 Bij het herleien vn uitrukkingen met vrielen kun je ook negtieve getllen werken en/of termen vn elkr ftrekken. Je ziet hier enkele vooreelen. > 9u 7u = 9u + 7u = 2u > 5u 6u u + 5u = 5u + 6u + 1u + 5u = 5u + 1u + 6u + 5u = 4u + 1u = 4u u > 9u 7u = 9 7 u u = 63u 2 > 2u 4u 6 3u u = 8u u 18u u = 8u u + 18u u = 10u u Opgve 9 Bekijk in Vooreel 2 op pgin 10 hoe je met mintekens werkt ij het optellen en ftrekken vn termen. Herlei nu zelf: 7u 5u 3u 5u + 2u + 7u 3 + 2u 5u 7 Opgve 10 Bekijk in Vooreel 2 op pgin 10 hoe je met mintekens werkt ij het herleien ls er ook vermenigvuligingen voorkomen. Herlei nu zelf: 7u 5u 4u 2u 3u 7u 3u u 5u 2u + u u Opgve 11 Met ehulp vn AlgerKIT kun je het herleien vn uitrukkingen oefenen. In het Prtium vin je twee oefenvensters. In het linker venster oefen je het smennemen vn gelijksoortige termen, in het rehter venster oefen je het vermenigvuligen vn vrielen. Oefen jezelf met AlgerKIT. Opgve 12 Herlei: 6u 3u 3u 4u 5u u 3u 2u 3 2u 6 8u 3 2u 6 8u e 4u u u u u 2u 3u u u + 2u 3u 2 f u u u + 2u u u 3u u u PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 Vooreel 3 Vn een rehthoek is e oppervlkte 24 m 2 en e omtrek 22 m. Je wilt e lengte en e reete eplen. Dergelijke prolemen kun je oplossen oor gewoon getllen te proeren, zeker ls e uitkomsten gehele getllen zijn. Mr ook n is het vk hnig om e gegevens eerst te vertlen nr wiskunige uitrukkingen. Zowel e lengte ls e reete zijn hier oneken. Je kunt er rom vrielen voor invoeren: noem e lengte ijvooreel u en e reete u. De gegevens leveren n op: > De omtrek is 2u + 2u = 22. > De oppervlkte is u u = 24. Met ehulp vn een tel kun je nu systemtish e oplossing zoeken. Opgve 13 e In Vooreel 3 op pgin 11 wort het proleem vn opgve 2 op pgin 6 nog eens ekeken. Om het proleem overzihtelijker te mken woren vrielen ingevoer. De formule ie te mken heeft met e omtrek vn e rehthoek kun je vereenvouigen. Lt t zien. Mk een tel zols ie hiernst. Wrom wort in e tel uitgegn vn een vste oppervlkte en niet vn een vst getl voor omtrek? Welke twee getllen voloen n eie formules? In it gevl kwmen zowel e lengte ls e reete op gehele getllen uit. Hoe g je verer ls it niet het gevl is? u u u u u + u Opgve 14 Vn een rehthoek is e omtrek 152 m en e lengte en e reete vershillen 32 m. Bereken e lengte en e reete vn eze rehthoek. Verwerken Opgve 15 Je ziet hier twee luiferfiguren. De korte luifers heen lengte u, e lnge heen lengte u. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 Shrijf vn eie figuren zowel e omtrek ls e oppervlkte op. Herlei lle uitrukkingen tot ze zo kort mogelijk zijn. Neem n t u = 4 en u = 7. Bereken nu vn eie figuren zowel e omtrek ls e oppervlkte. Opgve 16 Herlei: e f g h 7u + 20u 7u 20u 7u 20u 6u u 6u 10u u 6u 20u 15u 10u u 5u + 3u 2u u 5u + 3u 2u Opgve 17 Bereken voor u = 10, u = 5 en u = 2: 4u 2u + 6u u 3u 5u u 5u 3u u 3u 2u u 3u 2u 2 4u u 8u e 6u 2 + 3u 3u 2u f 4u u 6u u 3u u 8u 2 Opgve 18 Vn een rehthoek is e oppervlkte 104 m 2 en e lengte en e reete vershillen 5 m. Bereken e lengte en e reete vn eze rehthoek. Opgve 19 Kees en Johum zijn smen 118 jr ou. Kees is 16 jr ouer n Johum. Bereken hun leeftijen. PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 Toepssen Opgve 20: Luiferptroon (1) Bekijk e serie luiferfiguren in > > 3 VWO > Rekenen met vrielen > Toepssen Hoeveel luifers evt figuur nummer 10? Stel een formule op voor het ntl luifers u fhnkelijk vn het nummer u vn e figuur. Vnf welk figuurnummer he je meer n 1000 luifers noig om ie figuur te leggen? Opgve 21: Luiferptroon (2) Hier zie je een ner luiferptroon. Hoeveel luifers evt figuur nummer 10? Stel een formule op voor het ntl luifers u fhnkelijk vn het nummer u vn e figuur. Vnf welk figuurnummer he je meer n 1000 luifers noig om ie figuur te leggen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 Opgve 22: Luiferptroon (3) Hier zie je een ner luiferptroon. Hoeveel luifers evt figuur nummer 10? Stel een formule op voor het ntl luifers u fhnkelijk vn het nummer u vn e figuur. Vnf welk figuurnummer he je meer n 1000 luifers noig om ie figuur te leggen? PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 1.2 Breuken Verkennen Opgve 1 Je kunt l rekenen met e reuken. Neem ijvooreel 5 6 en 3 4. Bereken e som vn eie reuken. Bereken , het vershil vn eze reuken. Hoeveel is het prout vn eie reuken? Bereken het quotiënt vn eie reuken, eel e grootste oor e kleinste. Opgve 2 Je kunt op ezelfe mnier rekenen met reuken wrin vrielen voorkomen. Werk met e reuken 5 u en 3 u. Neem n t u 0 en u 0. Bereken e som vn eie reuken. Bereken 5 u 3 u, het vershil vn eze reuken. Hoeveel is het prout vn eie reuken? Bereken 5 u / 3 u. e Wrom moet je nnemen t u 0 en u 0? Uitleg Bij het rekenen met reuken is het gelijknmig mken vn twee (of meer) reuken een elngrijke vrighei. Drmee zorg je er voor t e noemers gelijk woren, zot het gelijksoortige reuken woren. Je zoekt rtoe het kleinste getl t vn eie noemers een veelvou is. Dit heet het kleinste gemeenshppelijke veelvou of kortweg KGV vn eie noemers. > Als je 2 5 en 3 4 gelijknmig wilt mken, n zoek je het KGV vn 5 en 4. Het kleinste veelvou vn eze eie getllen is 20 en e reuken woren en 20. > Als je 5 6 en 3 4 gelijknmig wilt mken, n zoek je het KGV vn 6 en 4. Het kleinste veelvou vn eze eie getllen is 12 en e reuken woren en > Als je u u en u u gelijknmig wilt mken, n zoek je het KGV vn u en u. Het kleinste veelvou vn eze eie getllen is u u en e reuken woren u u u u u u en u u. > Als je 2 u en 3 2u gelijknmig wilt mken, n zoek je het KGV vn u en 2u. Het kleinste veelvou vn eze eie getllen is 2u en e reuken woren 4 2u en 3 2u. En nu kun je eze reuken optellen, ftrekken en elen. Bij het vermenigvuligen vn reuken is gelijknmig mken niet noig, je vermenigvuligt e tellers met elkr en e noemers met elkr. Soms kun je reuken vereenvouigen oor teller en noemer oor hetzelfe te elen. Bijvooreel: > = 3 4 (teller en noemer elen oor 12). > 4u = 2 6u 2 3u (teller en noemer elen oor 2u ). Belngrijk is nog t ij reuken e noemer niet 0 kn zijn, wnt elen oor 0 heeft geen etekenis. Dr moet je voorturen vn uit gn. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 Opgve 3 Bekijk in e Uitleg op pgin 15 hoe je reuken gelijknmig mkt om ze te kunnen optellen, ftrekken en elen. Neem e reuken 2 u en 3 u. Mk eie reuken gelijknmig. Bereken nu 2 u + 3 u, 2 u 3 u en 2 u / 3 u. Vermenigvulig eie reuken met elkr. Opgve 4 Neem e reuken 2 3u en 3 5u. Mk eie reuken gelijknmig. Bereken nu 2 3u + 3 5u, 2 3u 3 5u en 2 3u / 3 5u. Vermenigvulig eie reuken met elkr. Opgve 5 Neem e reuken 4u 2u u en 5 3u. Welke vn eie reuken kun je nog vereenvouigen? Doe t eerst. Tel eie reuken op. Vermenigvulig eie reuken. Theorie en vooreelen Je kunt l rekenen met reuken: optellen, ftrekken, vermenigvuligen en elen. Het rekenen met reuken wrin vrielen voorkomen gt net zo. > Bij optellen en ftrekken mk je e reuken eerst gelijknmig: u u + u u = u u u u + u u u u = u u +u u u u en u u u u = u u u u u u u u = u u u u u u > Bij vermenigvuligen moet je tellers en noemers fzonerlijk vermenigvuligen: u u u u = u u u u = u u u u > Bij elen mk je e reuken eerst gelijknmig: u u / u u = u u u u / u u u u = u u u u (eie reuken met u u vermenigvuligen) Er is één mr: oor 0 elen heeft geen etekenis. In e erekeningen hieroven moet rom stees u 0 en u 0 en ij e eling moet ook u 0. Kijk goe of je e reuken wrmee je werkt nog kunt vereenvouigen oor teller en noemer oor hetzelfe te elen. Bij het gelijknmig mken zoek je het kleinste gemeenshppelijke veelvou of kortweg KGV vn e noemers vn e reuken. Vooreel 1 Gegeven e twee reuken 2 u en 3 2u (met u 0 en u 0). Tel eie reuken op, vermenigvulig ze en eel e eerste oor e tweee. > Optellen: 2 u + 3 2u = 2 2u u 2u + 3 u 2u u = 4u 2u u + 3u 2u u = 4u +3u 2u u > Vermenigvuligen: 2 u 3 2u = 2 3 u 2u = 6 2u u = 3 u u > Delen: 2 u / 3 2u = 4u 2u u / 3u 2u u = 4u 3u PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 Opgve 6 Gegeven zijn e twee reuken 3 2u en 5 u met u 0 en u 0. Bereken e som en het prout vn eie reuken. Deel 3 2u oor 5 u. Gegeven zijn e twee reuken u en 2u met u 0. Bereken e som en het prout vn eie reuken. Deel u oor 2u. Opgve 7 Bekijk ltij voorf of je e reuken niet eter eerst kunt vereenvouigen oor teller en noemer oor hetzelfe te elen. Misshien hoef je wel niet eens met reuken te rekenen. Zo is 12u 2 u 3u u = 4u. Herlei e volgene uitrukkingen (neem n t lle vrielen ongelijk 0 zijn): 2u 4u u + 6 3u 3u u u / 2u u 2 2u u u 15u 3 4u u 2u 6u 3 Opgve 8 Oefen nu het rekenen met reuken met vrielen vi > > 3 HAVO > Breuken > Prtium Blijf oefenen tot je vrijwel geen fouten meer mkt. Vooreel 2 Vn een rehthoek is e oppervlkte 24 m 2 en e omtrek 21,4 m. Je wilt e lengte en e reete eplen. Dergelijke prolemen met twee vrielen kun je oplossen met ehulp vn grfieken. Je neemt voor e lengte ijvooreel u en voor e reete u. De gegevens leveren n op: > De omtrek is 2u + 2u = 21,4. > De oppervlkte is u u = 24. Deze formules kun je met ehulp vn e lnsmethoe herleien tot e vorm u =...: > Uit e formule voor e omtrek volgt u = 10,7 u. > Uit e formule voor e oppervlkte volgt u = 24 u. Je zegt wel t u nu is uitgerukt in u. Dt oe je om gemkkelijker tellen en grfieken te kunnen mken. Proeer rmee e juiste wren voor lengte en reete te vinen. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 Opgve 9 Bekijk het proleem in Vooreel 2 op pgin 17. G zelf n, t it proleem kn woren vertl in e formules 2u + 2u = 21,4 en u u = 24. e Lt zien, hoe je e formule 2u + 2u = 21,4 kunt herleien tot een vorm wrin u is uitgerukt in u. Hoe kun je e formule u u = 24 herleien tot u is uitgerukt in u? Welke wre kn u n niet meer heen? Je het nu twee formules gekregen wrij je grfieken kunt mken. Vn welke vriele komen e wren op e horizontle s? En wrom? Mk ij eie formules een tel en teken e ijehorene grfieken in één figuur. Los het proleem op met ehulp vn inklemmen. Opgve 10 Herlei e volgene formules tot een vorm wrin u is uitgerukt in u. Neem n t u 0 en u 0. 3u + 2u = 8 3u 2u u = 8 u 3u = 9 u 3u = 9 Opgve 11 Vn een ruit is e oppervlkte 15 m 2. Deze ruit pst in een rehthoek met een omtrek vn 23 m. Hoe lng zijn e igonlen vn eze ruit? Stel ij it proleem formules op en ereken het ntwoor met ehulp vn grfieken. Verwerken Opgve 12 Reken met e twee reuken 2u u en u 3u. Neem n t u 0 en u 0. Bereken e som en het prout vn eie reuken. Bereken ook 2u u u 3u en 2u u / u 3u Reken met e twee reuken 2u u u en 3u. Bereken e som en het prout vn eie reuken. Opgve 13 Herlei tot een vorm met niet meer n één reuk: 1 2u + 3 u 15u u 3u u 4u 2u 2 3u 1 u 2 u 12u 2 4u PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

21 e f 6 u / 1 2u 1 u + u 2 Opgve 14 Bereken ls u = 3 en u = 4. 6u u u 5u 3u 4 3u 1 u 1 u + 2 u 2u u u / 6 u Opgve 15 Herlei e volgene formules tot ze een vorm heen wrin u is uitgerukt in u. u 3u = 6 3u + u = 6 3u = 1 2u 2 u 1 u 1 u = 2 Opgve 16 Twee getllen vershillen 14. Als je het grootste getl oor het kleinste eelt, n krijg je 5. Welke getllen zijn t? Stel ij it proleem formules op en ereken het ntwoor. Toepssen Opgve 17: Hrmonish gemiele Bekijk het proleem t wort eshreven in > > 3 HAVO > Breuken > Toepssen Hoeveel ergt je gemiele snelhei over e gehele vluht? Uit e Wikipei: Hrmonish gemiele: De gemiele snelhei vn twee ritten over ezelfe fstn, gereen met vershillene mr onstnte snelhei, is het hrmonish gemiele vn e eie snelheen. Als e heenreis wort gereen met 100 km/uur en e terugreis met 120 km/uur, is e gemiele snelhei vn e totle rit het hrmonish gemiele vn e twee snelheen, 109 km/uur. Als in plts vn e lengte, e tijsuur vn e ritten gelijk is, ient men het rekenkunig gemiele te geruiken. Lt zien t eze uitsprk orret is. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 1.3 Hkjes Verkennen Opgve 1 Bekijk e figuur hiernst. Leg uit t eze figuur lt zien t 2 (3 + 7) = Teken zelf een figuur ie lt zien t 2 (7 3) = Reken ook nog even n, t 2 (3+7) = en 2 (7 3) = Opgve 2 Bekijk e figuur hiernst. Leg uit t eze figuur lt zien t (2+5) (3+7) = Teken zelf een figuur ie lt zien t (5 2) (7 3) = Reken ook nog even n, t (2 + 5) (3 + 7) = en (5 2) (7 3) = Uitleg De figuren hiernst lten zien t > 2 (u + 7) = 2 u = 2u + 14 Het prout vn e ftoren 2 en u + 7 herlei je zo tot e tweeterm 2u > (u + 5) (u + 7) = u u + 7 u + 5 u = u u + 35 Het prout vn e ftoren u +5 en u +7 herlei je zo tot e rieterm u u Een prout estt uit ftoren en een optelling (of ftrekking) uit termen. En je ziet in e ovenste figuur t e ftor 2 wort vereel over e twee termen vn e ftor u + 7. In e onerste figuur geeurt iets ergelijks. Dit is e vereeleigenshp of ook wel istriutieve eigenshp vn getllen en rom ook vn vrielen. Je noemt it wel hkjes uitwerken. Deze eigenshp gt op voor lle getllen, ook negtieve. Je kunt ook in e omgekeere rihting werken: > 2u + 14 = 2 u = 2 (u + 7) > u u + 35 = u u + 7 u + 5 u = (u + 7) (u + 5) Dit heet ontinen in ftoren omt je nu vn een tweeterm of een rieterm weer een prout vn twee ftoren mkt. Bij e eerste vn eze twee ontiningen zoek je e grootste gemeenshppelijke eler (GGD) vn eie termen. Je kunt n ie GGD uiten hkjes hlen. Mr ij e tweee ontining kun je eter ners te werk gn. PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 Opgve 3 Bekijk in e Uitleg op pgin 20 hoe je hkjes kunt uitwerken. Mk zelf een rehthoek wrmee je lt zien t 4(2u + 3) = 8u Mk zelf een rehthoek wrmee je lt zien t (2u + 3)(u + 4) = 2u u Werk vn u (2u + 3) e hkjes uit. Je kunt vn u (2u 3) e hkjes uitwerken oor e uitrukking te shrijven ls u (2u 3) = u (2u + 3). e Wt krijg je n ls je het ntwoor zo ver mogelijk herleit? Werk vn (u + 5)(2u 3) e hkjes uit. f Lt met ehulp vn e vereeleigenshp zien, t (u 3) = u + 3. Opgve 4 Werk e hkjes uit en herlei zover mogelijk: 5(u + 2u ) 5u (u 2u ) (u + 4)(u + 5) (2u 4)(u 5) e f 3(2u + 4) + 5(4 u ) 3(2u + 4) (4 u ) Opgve 5 Het omgekeere vn hkjes uitwerken is ontinen in ftoren. Drij mk je vn een tweeterm of een rieterm (of een uitrukking met nog meer termen) een prout vn ftoren. Eerst g je op zoek nr e gemeenshppelijke elers vn lle termen. Bekijk e uitrukking 6u + 9. Welke GGD heen eie termen? Hoe wort us e ontining in ftoren? Bekijk e uitrukking 8u 6u 2. Welke GGD heen eie termen? Hoe wort us e ontining in ftoren? Bekijk e uitrukking 2u 2 6u Welke GGD heen lle rie e termen? Hoe wort us e ontining in ftoren? Bekijk e uitrukking u 2 + 5u + 6. Is er een GGD vn lle rie e termen? Lt zien t u 2 + 5u + 6 = (u + 2)(u + 3). STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 Theorie en vooreelen De figuren hiernst lten zien t > u (u + u ) = u u + u u Het prout vn e ftoren u en u + u herlei je zo tot e tweeterm u u + u u. > (u + u ) (u + u ) = u u + u u + u u + u u Het prout vn e ftoren u +u en u +u herlei je zo tot e vierterm u u + u u + u u + u u. Een prout estt uit ftoren en een optelling (of ftrekking) uit termen. En je ziet in e ovenste figuur t e ftor u wort vereel over e twee termen vn e ftor u + u. In e onerste figuur geeurt iets ergelijks. Dit is e vereeleigenshp of ook wel istriutieve eigenshp vn getllen en rom ook vn vrielen. Je noemt it wel hkjes uitwerken. Deze eigenshp gt op voor lle getllen, ook negtieve. Je kunt ook in e omgekeere rihting werken: > u u + u u = u (u + u ) > u u + u u + u u + u u = (u + u ) (u + u ) Dit heet ontinen in ftoren omt je nu vn een tweeterm of een vierterm weer een prout vn twee ftoren mkt. Bij e eerste vn eze twee ontiningen zoek je e grootste gemeenshppelijke eler (GGD) vn eie termen. Je kunt n ie GGD uiten hkjes hlen. Mr ij e tweee ontining kun je eter ners te werk gn. Vooreel 1 Hier zie je nog enkele vooreelen vn hkjes uitwerken. > 3(5 + 2u ) = u = u > 2u (u 4) = 2u (u + 4) = 2u u + 2u 4 = 2u 2 + 8u > (u + 3)(u 4) = (u + 3) (u + 4) = u u + 4 u + 3 u = u 2 u 12 > 2(u + 1)(u 1) = 2(u 2 u + u 1) = 2(u 2 1) = 2u 2 2 > 2(u + 1) 2(2 u ) = 2u u = 4u 2 > u (u + 1) (u 1) = u 2 + u u + 1 = u Opgve 6 Werk vn e volgene uitrukkingen e hkjes uit en herlei ze zo ver mogelijk. 2u + 3(4 u ) (2u + 3)(u + 4) 4u (u u + 5) e 3(2u 1)(4 u ) 2(u 2 3u ) u (2 u ) f (6 u ) u + 2(u 3) PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 Opgve 7 Bij het uitwerken vn hkjes kom je een pr ijzonere gevllen tegen. Dt zijn e merkwrige prouten: (u + u )(u u ) = u 2 u 2 en (u + u ) 2 = u 2 + 2u u + u 2. Lt zien, t (u + u )(u u ) = u 2 u 2. Lt zien, t: (u + u ) 2 = u 2 + 2u u + u 2. Je kunt hiermee in sommige gevllen e hkjes sneller uitwerken. Ps it ij het uitwerken en herleien vn e volgene uitrukkingen toe. (u 5)(u + 5) (u + 10) 2 e (3u + 1)(1 3u ) f (2u 3) 2 g (u + 2) 2 (u 2) 2 h u (5u 4) (u 2)(u + 2) Opgve 8 Oefen nu het uitwerken vn hkjes vi > > 3 HAVO > Hkjes > Prtium 1 Blijf oefenen tot je vrijwel geen fouten meer mkt. Opgve 9 Ook ij het werken met reuken kun je met hkjes te mken krijgen. Je wilt ijvooreel vn 1 u + 1 u +1 één reuk mken. Wt is het KGV vn u en u + 1? Mk nu eie reuken gelijknmig en tel ze op. Shrijf e reuk zoner hkjes. Vooreel 2 Een uitrukking zoner hkjes kun je soms ontinen in ftoren oor e GGD vn lle termen uiten hkjes te hlen. Hier zie je er enkele vooreelen vn. > 5u + 10 = 5 u = 5(u + 2) > 5u + 10 = 5 u 5 2 = 5(u 2) of 5u + 10 = 5 u = 5( u + 2) > 5u 2 10u = 5u u + 5u 2 = 5u (u + 2) > 5u 2 10u + 15 = 5 u u = 5(u 2 + 2u + 3) > 5u 2 10u u = 5u u + 5u 2u = 5u (u + 2u ) > 5u u 5u = 5u u 5u 1 = 5u (u 1) STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 Opgve 10 Je ziet in Vooreel 2 op pgin 23 hoe je kunt ontinen in ftoren oor een zo groot mogelijke gemeenshppelijke eler uiten hkjes te hlen. Bij e tweee uitrukking zie je hoe er op twee mnieren kn woren ontonen in ftoren. Is t vker het gevl? Hoe kun je ontroleren of je ontining goe is? Opgve 11 Ontin e volgene uitrukkingen in ftoren. e 6u + 8u 14u 2 21u 4u u 12u 2 + 6u u 2 u 3u u u f 12u 2 6u + 18 Opgve 12 Oefen nu het uiten hkjes hlen vi > > 3 HAVO > Hkjes > Prtium 1 Blijf oefenen tot je vrijwel geen fouten meer mkt. Vooreel 3 De uitrukking u 2 +5u +6 kun je niet ontinen in ftoren oor een GGD uiten hkjes te hlen, er is nmelijk geen GGD (ehlve 1). In e figuur hiernst zie je t u 2 + 5u + 6 = (u + 2)(u + 3). Mr hoe kom je nu n ie 2 en ie 3? Je ziet in e figuur t e term 5u ontstt oor e oppervlktes 2u en 3u op te tellen en t e term 6 e oppervlkte vn het rehthoekje vn 2 ij 3 is. Kortom: het getl in e term met u is e som vn 2 en 3 en het getl in e term zoner u is het prout vn 2 en 3. Wil je een uitrukking zols u 2 + 5u + 6 ontinen n zoek je us twee getllen ie opgetel 5 en vermenigvulig 6 opleveren. In it gevl zijn t e getllen 2 en 3. Mr in het lgemeen zijn ergelijke getllen lleen te vinen ls je er vn uitgt t je uitsluiten gehele getllen wilt heen. Je kunt n systemtish lle mogelijkheen voor e vermenigvuliging ngn. Je geruikt e zogenme som-en-proutmethoe. PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 Opgve 13 Neem Vooreel 3 op pgin 24 eerst oor. Bekijk nu e uitrukking u 2 + 6u + 8. Je wilt eze uitrukking ontinen. Wrom kun je eze uitrukking niet ontinen oor iets uiten hkjes te hlen? Volgens e som-en-proutmethoe kun je eze uitrukking ontinen oor twee getllen te zoeken ie opgetel 6 en vermenigvuligt 8 opleveren. Welke getllen voloen r n? Shrijf e juiste ontining op. Controleer je ontining oor e hkjes weer uit te werken. Opgve 14 Ontin e volgene uitrukkingen met e som-en-proutmethoe. u 2 + 7u + 12 u u + 20 u u + 13 u 2 + 2u + 1 e u u + 90 f u u + 81 Opgve 15 Het ontinen in ftoren wort wt lstiger ls je ook mintekens het en e twee mnieren vn ontinen oor elkr gt geruiken of zelfs eie moet geruiken ij ezelfe uitrukking. Dn wort een systemtishe npk elngrijk. Lt zien, t u 2 + 5u 6 = (u + 6)(u 1). Leg ook uit hoe je it in e tel hiernst kunt zien. prout getllen som 6 6 en en en 2 1 Ontin zelf u 2 5u 6 Ontin ook u 2 u en 2 1 Je ziet t ij ontinen met e som-en-proutmethoe een tel vn lle mogelijke gehele getllen ie het juiste prout opleveren hnig is. Wrom oe je it voor het prout en niet voor e som vn eie getllen? e Ontin u 2 2u 8 De som-en-proutmethoe is lleen geshikt voor vormen zols u 2 + u u + u. Zo n vorm herlei je n tot (u + u )(u + u ). f g Druk u en u uit in u en u. Lt zien, t u en u ook 0 kunnen zijn. Geef vn eie situties een vooreel. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 Opgve 16 Ontin e volgene uitrukkingen. Kijk eerst of je iets uiten hkjes kunt hlen en geruik ps ls t niet (meer) kn e som-en-proutmethoe. u 2 7u + 12 u 2 + 2u 48 u 2 9 u 2 9u e 2u u + 24 f 3u 2 48 Verwerken Opgve 17 Werk e hkjes uit en herlei zover mogelijk. 2u (u + 5) 2u (u + 5) (2u 1)(u + 5) 3(2u 1) 4(u + 5) e (u + 5) 2 f (2u 1) 2 (u 5)(u + 5) g (2u + u )(u + 5) + 2u (5 u ) h (2u + u ) 2 (u + 5) 2 Opgve 18 Shrijf ls één reuk en zoner hkjes. 2 u u 3 u u +2 Opgve 19 Breng een zo groot mogelijke ftor uiten hkjes. 14u + 21u 3u 2 6u u 4u 2 u 4u u u 3 3u 2 u Opgve 20 Ontin in ftoren met ehulp vn e som-en-proutmethoe. u u + 30 u 2 u 12 PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 16 10u + u 2 u Opgve 21 Ontin in ftoren. 12u 2 8u 6u 16 + u u 2 8 3u 2 6u 9 e 4u u + 8u u 2 f 8u 16 u 2 Opgve 22 Oefen nu het ontinen in ftoren vi > > 3 HAVO > Hkjes > Prtium 2 Blijf oefenen tot je vrijwel geen fouten meer mkt. Toepssen Opgve 23: Fietsp nleggen Bekijk het proleem t wort eshreven in > > 3 HAVO > Hkjes > Toepssen De fmetingen vn het oorspronkelijke vierknte stuk ln zijn oneken. Je kunt rom voor e lengte en e reete e vriele u kiezen. Hoeveel ergt n e oppervlkte vn het oorspronkelijke stuk ln? Nu gt er n e noorknt een strook vn 3 m f, ie er n e oostknt weer ij komt. Het lnje wort nu rehthoekig. Welke lengte en welke reete krijgt het stuk ln n nleg vn het fietsp? Bereken e oppervlkte vn het stuk ln n nleg vn het fietsp. Shrijf je ntwoor zoner hkjes en zo eenvouig mogelijk. Welke onlusie trek je? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 1.4 Mhten Verkennen Opgve 1 Een kettingrief is een rief ie elke ontvnger enige mlen moet kopiëren en vervolgens oor moet sturen (it kn ook igitl). Je ziet hiernst een vooreel, op e stippeltjes vul je ntuurlijk het res vn een goe oel in. Stel je egint oor vijf vrienen zo n rief te sturen en ie sturen hem weer oor nr vijf vn hun vrienen, enzovoort. Stel verer t niemn vn twee of meer personen eze zelfe rief krijgt. Wrom is het ntl rieven t jouw vrienen versturen n 5 2? En wt stelt 5 3 voor? 5 2 en 5 3 zijn mhten vn 5. Als e kettingrief stees oor gt is het ntl rieven t elke nieuwe groep ontvngers verstuur stees 5 keer zo groot en krijg je nog hogere mhten vn 5. Hoeveel is 5 4? Lt zien, t = 5 6. Lt ook zien, t 5 6 /5 2 = 5 4. Opgve 2 In e eerste rone woren er 5 rieven verstuur, in e tweee rone 5 2, in e ere rone 5 3, enzovoorts. Hoeveel rieven woren er in e viere rone verstuur? En in e htste? Leg uit wrom (5 4 ) 2 = 5 8. Hoeveel is (5 4 ) 6? (Geef je ntwoor ls mht vn 5.) Opgve 3 Als je mhten vn 5 uitrekent, krijg je ls snel gigntishe ergen. Dt is leuk voor je goee oel ls e kettingrief lijft oorlopen en ieereen ie éne euro overmkt. Hoeveel is 5 10? Wrom is het onwrshijnlijk t eze kettingrief lng lijft oorlopen? Grote getllen geef je weer met e wetenshppelijke nottie u 10 u met n een geheel getl en 1 u < 10. Shrijf 5 10 in e wetenshppelijke nottie fgeron op twee eimlen nuwkeurig. In welke rone zou het ntl rieven t wort verstuur ongeveer gelijk zijn n e totle werelevolking? PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 Uitleg Een mht is een herhle vermenigvuliging: 5 4 = Het getl wrmee je stees vermenigvuligt heet het grontl vn e mht en het ntl keren t je ie vermenigvuliging oet heet e exponent. Het werken met mhten ken je l: > Als je twee mhten met hetzelfe grontl vermenigvuligt, kun je e exponenten optellen: = 5 6. > Als je twee mhten met hetzelfe grontl eelt, kun je e exponenten ftrekken: 5 6 /5 2 = 5 4. Hieruit volgt meteen: > Een mht met exponent 0 heeft ls uitkomst 1: 5 0 = 1. > Als je een mht weer tot een eple mht verheft, kun je e exponenten vermenigvuligen: (5 4 ) 2 = 5 8. > Ook negtieve exponenten komen voor: 5 3 = = 5 0 /5 3 = Deze rekenregels gelen in het lgemeen voor mhten met een willekeurig grontl en een gehele exponent. Ze zijn voorl nuttig ij het werken met e wetenshppelijke nottie vn hele grote en hele kleine getllen. Een getl zols 135 miljr = shrijf je ls: = 1, = 1, Een getl zols 31 miljoenste = 0, shrijf je ls: 1 0, = 3,2 0,00001 = 3, = 3, In e wetenshppelijke nottie shrijf je een getl in e vorm u 10 u, wrij 1 u < 10 en u een geheel getl is. Opgve 4 Bekijk in e Uitleg op pgin 29 hoe je met mhten kunt rekenen. Deze rekenregels zijn voorl nuttig ls e grontllen en e exponenten groot zijn. Je rekenmhine kn /5 198 wrshijnlijk niet voor je uitrekenen. Toh kun je it zelf wel. Lt t zien. Bereken (19 50 ) Je ziet in e uitleg t ook 0 en zelfs negtieve getllen ls exponent kunnen voorkomen. Bij elen mg je e exponenten vn elkr ftrekken. Lt zien t ruit volgt t 5 0 = 1. Lt zien t ruit volgt t 3 6 = e Bereken (15 14 ) / Opgve 5 Werk met e rekenregels voor mhten en herlei zo ver mogelijk. Neem n t u 0. u 5 u 2 3u 5 4u 2 3u 5 /4u 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 (3u 5 ) 4 e ( 2u 3 ) 4 u 3 /( 2u 5 ) 3 Opgve 6 De omtrek vn e Are is km. Hoeveel m is t? Geef je ntwoor in e wetenshppelijke nottie. Een nnometer is 1 miljrste m. Shrijf it getl in e wetenshppelijke nottie. Hoeveel nnometer is e omtrek vn e Are? Lt zien hoe je rij met getllen in e wetenshppelijke nottie rekent. Theorie en vooreelen Een mht is een herhle vermenigvuliging, nottie u u. Het getl u wrmee je stees vermenigvuligt heet het grontl vn e mht en het ntl keren u t je ie vermenigvuliging oet heet e exponent. Het werken met mhten ken je l: > Als je twee mhten met hetzelfe grontl vermenigvuligt, kun je e exponenten optellen: u u u u = u u +u. > Als je twee mhten met hetzelfe grontl eelt, kun je e exponenten ftrekken: u u /u u = u u u. Hieruit volgt meteen: > Een mht met exponent 0 heeft ls uitkomst 1: u 0 = 1. > Als je een mht weer tot een eple mht verheft, kun je e exponenten vermenigvuligen: (u u ) u = u u u. > Ook negtieve exponenten komen voor: u u = 1 u u. Deze rekenregels gelen in het lgemeen voor mhten met een willekeurig grontl (ij elingen is het grontl ongelijk n 0) en een gehele exponent. Ze zijn voorl nuttig ij het werken met e wetenshppelijke nottie vn hele grote en hele kleine getllen. In e wetenshppelijke nottie shrijf je een getl in e vorm u 10 u, wrij 1 u < 10 en u een geheel getl is. Vooreel 1 Hier zie je enkele vooreelen vn het werken met mhten. Denk er om t je lleen gelijksoortige termen kunt optellen en ftrekken. > 2u 7 5u 4 = 2 5 u 7 u 4 = 10u 7+4 = 10u 11 > 2u 7 = 2 5u 4 5 u 7 = 0,4u 7 4 = 0,4u 3 u 4 > 5u 4 2u = u 4 u = 2,5 1 = 2,5 7 u 3 u 3 > ( 2u 3 ) 4 = 2u 3 2u 3 2u 3 2u 3 = 16u 12 > ( 2u 3 ) 4 + (u 2 ) 6 = 16u 12 + u 12 = 17u 12 > 18u 2 u 3 (2u u ) 2 3u = 18u 2 u 3 12u 2 u 3 = 6u 2 u 3 PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 Opgve 7 Bekijk e herleiingen in uitrukkingen. 6u 5 u 2 2u 3 u 6u 5 u 2 2u 3 u (4u ) 2 4u 2 u 3 2u + 2(u u ) 2 e 8u 3 2u u 2 (2u 2 u ) 2 f 2u ( 2u ) 3 u 2 4u u Vooreel 1 op pgin 30 en loop ze even n. Herlei zelf e volgene Opgve 8 Ook ij het uitwerken vn hkjes kun je met mhten te mken krijgen. Werk in e volgene uitrukkingen e hkjes uit en herlei ze zover mogelijk. 2u 3 (1 6u 2 ) (u 2 4)(u 2 + 1) (u 3 2) 2 4u 2 (u + 3) 2u (u 2 4) e (4 + 3u 2 ) 2 (u 2 1)(u 2 + 1) f (u + 1) 3 Opgve 9 Uitrukkingen met mhten ie uit meerere termen estn kun je soms ontinen in ftoren. Hieroner zie je ergelijke uitrukkingen. Ontin ze zover mogelijk. 2u 4 + 6u 3 u 2 u 3 4u 3 u 5 u 3 4u 24u 2 8u 3 + 2u 4 Vooreel 2 Deze getllen zijn geshreven in e wetenshppelijke nottie: u = 3, , u = 1, , u = 1, en u = 9, Bereken u + u, u u, u u en u /u. De ntwooren geef je n ntuurlijk ook in e wetenshppelijke nottie! Let voorl op het werken met e mhten vn 10. Alleen gelijksoortige uitrukkingen mg je optellen of ftrekken. > u + u = 3, , = 3, , = 3, > u u = 3, , = 4, > u u = 1, , = 12, , = 3, > u u = 3, , = 0, = 4, STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 Opgve 10 In Vooreel 2 op pgin 31 zie je hoe je met getllen in e wetenshppelijke nottie rekent. Proeer e vier vooreelen eerst zelf uit te rekenen zoner nr e oplossing te kijken. Shrijf je ntwooren ook in e wetenshppelijke nottie. Bereken u /u. Bereken u u. Bereken u 3. e Wrom is u u u? Opgve 11 De stronomishe eenhei (AE) is e gemiele fstn vn e Are tot e Zon. 1 AE 1, km. Hoeveel AE is 1 km? Plneet Jupiter evint zih ongeveer 5,2 AE vn e zon. Hoeveel km is t? Pluto evint zih ongeveer 5, km vn e zon. Hoeveel AE is t? Een lihtjr is e fstn ie het liht in een jr flegt. De lihtsnelhei is m/s. Hoeveel AE is 1 lihtjr? Verwerken Opgve 12 Bereken oor met mhten vn 2 te rekenen. Opgve 13 Werk eventuele hkjes uit en herlei zover mogelijk. 3u 2 u 3 2u u 2 3u 2 u 3 2u u 2 (3u 2 ) 3 + 2u 2 u 3 2u 2 5u 4 3u 2 (u u 2 2u ) 2u u (u 2 u u ) e (u 3 + 5) 2 u 2 u 4 f 2u 2 u +3u u 2 2u u g u 5 (u 2 4)(u 2 + 1) h 2u (3u 2 ) 3 2u u u 5 PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 Opgve 14 Ontin in ftoren. 12u 6 18u 3 4u u u 2 u 4u u u 5 u 4 2u 3 4u 8u 2 + 4u 3 Opgve 15 Alle stoffen estn uit tomen. Die tomen heen een zekere mss, e toommss. Die toommss wort uitgerukt in een eenhei u ie gelijk is n ééntwlfe eel vn een koolstof-12 toom, nmelijk 1, grm. Het koolstof-12 toom heeft us een mss vn 12 u. Hoeveel grm is t? Uit hoeveel tomen estt 12 grm koolstof-12? Wterstof heeft een toommss vn ongeveer 1 u en zuurstof vn ongeveer 16 u. Lt zien t 1 grm wterstof en 16 grm zuurstof evenveel tomen evtten. Wter heeft moleulen ie estn uit 1 toom zuurstof en 2 tomen wterstof. De moleuulmss is rom 18 u. Hoeveel moleulen zitten er in 1 kg (t is 1 liter) wter? Opgve 16 Oefen nu het werken met mhten vn vrielen vi > > 3 HAVO > Mhten > Prtium Blijf oefenen tot je vrijwel geen fouten meer mkt. Toepssen Opgve 17: Sissh en Dhir Bekijk het verhl over Sissh en Dhir in > > 3 HAVO > Mhten > Toepssen Je ziet in e figuur hoeveel vkjes een shkor heeft. Hoeveel grnkorrels moet e koning op het tiene vkje leggen? Hoeveel grnkorrels komen er op het 64ste vkje? Je rekenmhine kn het ntl grnkorrels op het 64ste vkje niet uitrekenen, lleen eneren. Hoeveel grnkorrels woren het ongeveer? Neem n t een grnkorrel ongeveer 65 mg weegt. Hoeveel gewiht zou er n op het 64ste vkje rusten ls lle grnkorrels er op zouen kunnen liggen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

36 Neem n t een vkje vn het shkor 5 ij 5 m is en t in elke m 3 zo n 100 grnkorrels kunnen woren geperst. De hoeveelhei grn op het 64ste vkje pst n in een lkvormige toren met een gronvlk vn 5 ij 5 m. e Hoe hoog zou ie toren moeten woren? Opgve 18: Mhten optellen Bekijk nog eens het verhl t wort eshreven in > > 3 HAVO > Mhten > Toepssen Je ziet in e figuur hoeveel vkjes een shkor heeft. Hoeveel grnkorrels moet e koning op e eerste tien vkjes smen leggen? Lt zien t het ntwoor op e vorige vrg gelijk is n De totle hoeveelhei grnkorrels ie op het shkor zouen moeten komen is Dit is gelijk n Dt kun je zelf ereeneren. Proeer ie reenering te vinen. PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 1.5 Wortels Verkennen Opgve 1 Vn een vierknt met zije 3 is e oppervlkte 3 2 = 9. Vn een vierknt met oppervlkte 9 is e zije 9 = 3. Worteltrekken is terugrekenen vnuit een kwrt. Je ziet hier een vierknt ABCD met oppervlkte 10. Hoe lng is e zije ext? En ongeveer? Door vier vn ie vierknten tegen elkr te leggen, kun je weer een vierknt mken. De zije ervn kun je op twee mnieren erekenen. Welke oppervlkte heeft it vierknt? Op welke twee mnieren kun je e zije ervn erekenen? Rehthoek AEFD heeft een lengte vn 40 en een reete vn 10. Lt zien t hieruit volgt = Lt ook zien, t 2 ( ) = Opgve 2 Vn een kuus met rie 2 is e inhou 2 3 = 8. Vn een kuus met inhou 8 is e rie 8 3 = 2. Dere mhtsworteltrekken is terugrekenen vnuit een ere mht. Hoe lng is een rie vn een kuus met inhou 10 ext? En ongeveer? Door ht vn ie kuussen tegen elkr te leggen, kun je weer een kuus mken. De rie ervn kun je op twee mnieren erekenen. Welke inhou heeft eze kuus? Op welke twee mnieren kun je e rie ervn erekenen? Een lk ie estt uit twee vn eze kuussen heeft een lengte vn 3 80 en een reete en een hoogte vn Lt zien t hieruit volgt = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 Uitleg Worteltrekken is terugrekenen vnuit kwrteren. De wortel uit 9 is 3 omt 3 2 = 9. Zo gelt in het lgemeen: u 2 = u ls u 0. Hels zijn e meeste getllen geen zuivere kwrten en kun je e wortels eruit lleen mr eneren. Mr vroegtijig eneren is in erekeningen vk niet gewenst. En rom moet je het rekenen met wortels oefenen. Je weet l t hoe t gt: > u u = u u ls u 0 en u 0. > u = u u u ls u 0 en u > 0. > Alleen gelijke wortels kun je optellen of ftrekken: = 5 10, mr kun je niet verer vereenvouigen. Bij worteltrekken gt het om terugrekenen vnuit een kwrt. Mr er estn ook hogere mhten. Bij het terugrekenen vnuit ere mhten spreek je vn ere mhts worteltrekken, ij het terugrekenen vnuit viere mhten vn viere mhts worteltrekken, enz. Met ergelijke hogere mhtswortels kun je op ezelfe mnier rekenen ls met gewone wortels. Nu is: u u u = u ls u 0. Er is wel één ing wr je op moet letten: ere mhten en vijfe mhten, enz., kunnen ook negtief zijn. En kwrten, viere mhten, zese mhten, enz., kunnen niet negtief zijn. Dit etekent t 3 8 = 2, mr 4 16 geen reëel getl is. Opgve 3 In e Uitleg op pgin 36 wort ehlve over gewone wortels ook gesproken over hogere mhtswortels. Bereken e volgene hogere mhtswortels en lt ook zien t ze juist zijn. e Opgve 4 Bekijk in e Uitleg op pgin 36 hoe je met wortels kunt rekenen. Je kunt oor kwrteren ntonen t e rekenregels juist zijn. Wrom is een wortel wel een tweee mhtswortel? Wrom stt ij u 2 = u t it lleen gelt ls u 0? Lt met een vooreel zien t ie toevoeging noig is. PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

39 Geruik e rekenregels om e volgene uitrukkingen met wortels te vereenvouigen. e Ook kun je ij sommige wortels kwrten uiten het wortelteken hlen: 18 = 9 2 = = = 3 2. Hl ij 48 een zo groot mogelijk kwrt uiten het wortelteken. Opgve 5 Met eremhtswortels kun je net zo rekenen ls met gewone wortels. Toh is er een vershil. Wrom is e eremhtswortel uit een negtief getl wel mogelijk? Geef een vooreel. 3 u 3 = u voor elke wre vn u. Hoeveel is 3 u 6? Geruik e rekenregels om e volgene uitrukkingen met wortels te vereenvouigen. e Ook kun je ij sommige eremhtswortels ere mhten uiten het wortelteken hlen: = = Hl ij een zo groot mogelijke ere mht uiten het wortelteken = Theorie en vooreelen Worteltrekken is terugrekenen vnuit kwrteren. ne mhts worteltrekken is terugrekenen vnuit een u e mht. Zo gelt in het lgemeen: u u u = u ls u 0. Het rekenen met u e mhts wortels gt zo: > u u u u = u u u ls u 0 en u 0. > u u u = u u u u ls u 0 en u > 0. > Alleen gelijke wortels kun je optellen en/of ftrekken. Let er op t oneven mhten ook negtief kunnen zijn. En even mhten kunnen niet negtief zijn. Dit etekent t ijvooreel t 3 8 = 2, mr t 4 16 geen reëel getl is. De rekenregels hieroven zijn us voor oneven u ook gelig voor negtieve wren vn u en/of u. Vooreel 1 Hier zie je hoe je ehulp vn e rekenregels voor wortels enkele uitrukkingen kunt vereenvouigen. > = = = 13 3 > 3u 2 + 2u 12 = u u 4 3 = u 3 + 2u 2 3 = 5u 3 > = = = = STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 37

40 Opgve 6 Bekijk e herleiingen in Vooreel 1 op pgin 37 en loop ze even n. Herlei zelf e volgene uitrukkingen u 2 3u 5u (met u 0) 3 u 2 u u u + 2u 2 (met u 0 en u 0) 3 e f 3 72u 3 3u 3 3u 3 2 Opgve 7 Een georiehoek is rehthoekig met twee even lnge rehthoekszijen. Neem n t ie zijen e lengte u heen. Neem u = 4. Toon n t e hypothenus n een lengte vn 4 2 heeft. Toon n t e hypothenus ltij een lengte vn u 2 heeft. Een rehthoekige riehoek met een hoek vn 60 is e helft vn een gelijkzijige riehoek. Als e kortste rehthoekszije een lengte vn u heeft, n heeft e lngste rehthoekszije een lengte vn u 3. Neem u = 4. Lt zie t e lengste rehthoekszije 4 3. Toon n t in het lgemeen e lngste rehthoekszije een lengte vn u 3 heeft. Opgve 8 Vn een kuus zijn lle zijvlksigonlen even lng en lle lihmsigonlen even lng. Neem een kuus met een rie vn lengte u. Neem u = 4. Toon n t e lengte vn elke zijvlksigonl 4 2 is. Toon n t e lengte vn elke zijvlksigonl u 2 is. Neem u = 4. Toon n t e lengte vn elke lihmsigonl 4 3 is. Toon n t e lengte vn elke lihmsigonl u 3 is. Vooreel 2 Bij reuken met wortels in e noemer is het vk hnig om ie wortel weg te werken uit e noemer. Dt kun je oen oor teller en noemer met ie wortel te vermenigvuligen. Bekijk eze vooreelen mr. 1 > 2 = = 2 2 = u > u + u = u u u u + u = u u u + u = u + u = 2 u Bij hogere mhtswortels is it miner eenvouig. PAGINA 38 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

41 Opgve 9 Bekijk e herleiingen in Vooreel 2 op pgin 38. Wr wort ij Wrom is 2 2 = 1 2 2? Lt zelf zien t 1 2 vermenigvuligt met 2 2? u u = u. Opgve 10 Bekijk e herleiingen in Vooreel 2 op pgin 38 en loop ze even n. Herlei zelf e volgene uitrukkingen tot er geen wortels meer in e noemer vn een reuk stn en ze zo eenvouig mogelijk zijn u u 1 4 u 4 u u + u 4 2u e 3 u u f 4 u + u 4 3 Opgve 11 Oefen nu het herleien vn uitrukkingen met wortels vi > > 3 HAVO > Wortels > Prtium Blijf oefenen tot je vrijwel geen fouten meer mkt. Verwerken Opgve 12 Bereken e volgene wortels en ontroleer het ntwoor oor mhtsverheffen Opgve 13 Herlei e volgene wortelvormen tot ze zo eenvouig mogelijk zijn ( 6 1) 2 ( 4 10) 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39

42 e f g h Opgve 14 Herlei e volgene wortelvormen. Neem n t u > 0 en u > u u 3 3u 2 u u u 4 u 2 u 16u 4 2 u 3 Opgve 15 Een lk heeft rien met een lengte vn u, 2u en 3u m. Bereken lle mogelijke lengtes vn e zijvlksigonlen. Bereken e lengte vn lle lihmsigonlen. Toepssen Opgve 16: Tekenriehoeken Bekijk e twee tekenriehoeken in > > 3 HAVO > Wortels > Toepssen Je ziet hoe lng hun zijen zijn ls e kleinste een lengte vn u m heeft. Neem eerst e georiehoek. e f g Hoe lng zijn lle zijen ls e kortste zije 8 m is? Hoe lng zijn lle zijen ls e lngste zije 16 m is? Hoe lng zijn lle zijen ls e lngste zije 1 m is? Neem nu e nere tekenriehoek. Hoe lng zijn lle zijen ls e kortste zije 4 m is? Hoe lng zijn lle zijen ls e lngste zije 10 m is? Hoe lng zijn lle zijen ls e lngste zije 1 m is? Hoe lng zijn lle zijen ls e lngste rehthoekszije 6 m is? PAGINA 40 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

43 Opgve 17: Tekenriehoeken tegen elkr De riehoek hiernst estt uit twee tekenriehoeken tegen elkr. Hoe groot is e omtrek ls e lngste zije 8 m is? Bereken e oppervlkte vn eze riehoek. Nu is BC geen 8, mr juist oneken. De oppervlkte vn e riehoek is Bereken e lengte vn BC. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41

44 1.6 Totleel Smenvtten In it onerwerp he je voorl vrigheen op het geie vn e lger (het rekenen met vrielen) geleer. Hopelijk he je eze vrigheen zo goe geoefen t je ze e komene jren eht in e vingers het. Bij veel vn e onerwerpen ie je l it jr tegen komt zul je ze noig heen, mr in e toekomst zul je (zeker ls je wiskune B gt kiezen) merken t ze ononteerlijk zijn. De onerstne opgven zijn eoel om overziht over het onerwerp Alger te krijgen. Dit etreft e onerelen 1, 2, 3, 4 en 5 vn it onerwerp. Het is nuttig om er een eigen smenvtting ij te mken. De opgven hieroner zijn eoel om je rij te helpen. Je het geleer > rekenen (optellen, ftrekken, vermenigvuligen en elen) met vrielen, formules en uitrukkingen herleien, gelijksoortige termen ( Theorie op pgin 8); > reuken vereenvouigen, gelijknmig mken, optellen, frekken, vermenigvuligen en elen, het KGV ( Theorie op pgin 16); > hkjes uitwerken en ontinen in ftoren, e GGD en e som-en-proutmethoe ( Theorie op pgin 22); > rekenen met mhten met gehele exponenten, e wetenshppelijke nottie vn getllen ( Theorie op pgin 30); > rekenen met (hogere mhts) wortels, wortelvormen herleien ( Theorie op pgin 37); Voorkennis > werken met formules, ook met hkjes en reuken; > rekenen met mhten en wortels. Opgve 1 Een elngrijke lgerïshe vrighei is het herleien vn uitrukkingen met het oel ze eenvouiger te mken. Een eenvouiger etekent meestl t je er miner tekens, miner symolen voor noig het. Dt kunnen ook uitrukkingen met hkjes, reuken, mhten en wortels zijn. Vereenvouig e volgene uitrukkingen en shrijf ze (wr reuken voorkomen) ls één reuk. 5u + 2u 3u u 5u 2u 3u u 1 2u + 2 u 1 2u 2 u +1 e (u + 2)(u + 1) u (u + 1) f 4 (u + 2) 2 g u 2 (2u ) 3 2u 2 4u 3 h (u 3 2) 2 u 4 (u 2 + 1) PAGINA 42 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

45 Opgve 2 Wnneer je in eple uitrukkingen getllen wilt invullen voor e vrielen, is het verstnig om ze eerst zo eenvouig mogelijk te shrijven. Bereken e volgene uitrukkingen voor u = 4 en u = 6. 4u u 3 3u u 2u (u 1) 2u (u 1) 1 2u u + 3 u u (u + u ) 2 (u u ) 2 Opgve 3 Shrijf e volgene formules zo, t u is uitgerukt in u, us in e vorm u =... 4u 2u = 7 u (u 2) = 5 1 u + 1 u = 2 2u u +1 = 4 Opgve 4 Ontin e volgene uitrukkingen in ftoren. 12u 3 u 16u u 2 12u 3 4u u 2 2u u u e 84 2u 2u 2 f 4u 2 1 Opgve 5 Gegeven zijn e getllen u = 5,4 10 9, u = 3, en u = 1, Shrijf ij e volgene erekeningen het ntwoor ook in e wetenshppelijke nottie. Bereken u + u. Bereken u u. Bereken u u. Bereken 1 /u. e Opgve 6 Het vereenvouigen en smennemen vn wortelvormen is ook een nuttige vrighei. Vereenvouig: STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43