1 Functies die aan verandering onderhevig zijn

Transcriptie

1 Veraneringsprocessen in e tij (eerste ore) upate april 2009 copyright WISNET-NHL Lees eerst aanachtig e inleiing 0 Inleiing In eze les, ie niet beslist van begin tot ein oorgewerkt hoeft te woren, vin je een aantal voorbeelen van veraneringsprocessen ie plaats vinen in e tij of veraneren als e afstan veranert. Aan het ein van it ocument (paragraaf 7) is een woorenlijst opgenomen, zoat snel een begrip kan woren opgezocht. Het ifferentiaalquotiënt om e veranering van een groothei te beschrijven. Functies, varabelen en parameters De afgeleie functie Stanaarfuncties zoals e exponentiële functie en logaritmische functie, cosinus en sinus Werken met eenheen Omtrek van cirkel, oppervlakte van een cirkel, inhou van een bol, inhou van een ciliner e.. Hoeken in raialen en graen 1 Functies ie aan veranering onerhevig zijn Het verwarmen van een voorwerp is een natuurkunig verschijnsel at geformuleer kan woren met e volgene zin. De snelhei waarmee een voorwerp opwarmt is evenreig met het temperatuurverschil T t KT o tussen voorwerp en omgeving. 1

2 Dit soort beschrijvingen van een natuurkunig verschijnsel (Koelwet van Newton) gaat over een functie, al zie je at niet irect. Je kunt je een functie voorstellen ie afhankelijk is van e tij en waarvan het verloop ongeveer als volgt is: 100 Koelwet van Newton temperatuur tij In e figuur is e grafiek van e functie van e temperatuur T t te zien, uitgezet tegen e tij. Verer is aan e grafiek te zien at het voorwerp op tijstip t = 0 een temperatuur heeft van 0 C en an opwarmt tot 80 C. Waarschijnlijk wort het voorwerp neergeleg in een omgeving van 80 C, aan e grafiek te zien. De temperatuur kan gemeten woren maar kan ook wiskunig bereken en us voorspel woren. Hoe het wiskunig verloop van it soort functies is, zullen we in het volgene gaan bekijken. Wat je ook kunt oen is een experiment waarbij je e temperatuur meet van een voorwerp at wort neergeleg in een omgeving van 80 C. Je moet an op veel tijstippen gaan meten en e meetwaaren in een grafiek weergeven. Bijvoorbeel in Excel. Hoe at moet, leer je in een les over Excel. Bij het opstellen van een ifferentiaalvergelijking is het belangrijk te beseffen naar welke functie we op zoek zijn en welke onafhankelijke variabele we aarbij gebruiken. De beschouwe functie zal aan veranering onerhevig zijn. In e volgene voorbeelen is stees e tij t e onafhankelijke variabele. We zoeken an ook naar een functie van t waarvan we niet alleen het functievoorschrift willen kennen maar ook e grafiek van eze functie om het verloop ervan te bestueren. Bij gebruik van een computeralgebrasysteem zal het belangrijk zijn te vermelen welke e onafhankelijke variabele is, us waarvan e beschouwe functie afhankelijk is. Bij het opstellen van een moel in e vorm van een ifferentiaalvergelijking is het erg hanig om te kijken naar e eenheen. Voor een les over eenheen, kijk in WISNET en zoek bij e trefwooren naar "eenheen". Ook e stationaire toestan (evenwichtssituatie), inien eze zich voor zal oen, kan 2

3 informatie verschaffen over het moel waaraan e functie voloet. Zoner nog e ifferentiaalvergelijking op te lossen, is vaak al veel te zeggen van e functie. 1.1 Koelwet van Newton Het koelen van een voorwerp is een natuurkunig verschijnsel at geformuleer kan woren met e volgene zin. De snelhei waarmee een voorwerp afkoelt is evenreig met het temperatuurverschil T t KT o tussen voorwerp en omgeving Vraag a Formuleer het moel in e vorm van een ifferentiaalvergelijking antwoor a Formuleer het moel in e vorm van een ifferentiaalvergelijking. t T t = k T t KT o Een anere manier van opschrijven is: T t = k T t Kk To t Hier staat at e toename (of e afname) van e temperatuur T t per tijseenhei (t) van een voorwerp evenreig is met het temperatuursverschil met e omgeving. De evenreigheisconstante is hier k genoem. Deze evenreigheisconstante (parameter of systeemconstante) hangt af van het systeem: bijvoorbeel hoe groot is het voorwerp at opgewarm wort of van welk materiaal het voorwerp is gemaakt. Deze waare van k kan experimenteel vastgestel woren Vraag b Ga ook na wat e eenheen zijn van e evenreigheisconstante k (systeemconstante of parameter) antwoor b Ga ook na wat e eenheen zijn van e evenreigheisconstante k (systeemconstante of parameter). t T t = k T t KT o Links van het isgelijkteken staat kelvin per secone. Dus rechts moet ook kelvin per secone komen te staan. Daaruit volgt at e evenreigheisconstante k e eenhei Immers het temperatuursverschil T t KT o is ook in kelvin. 3 1 s heeft. (Het temperatuursverschil in kelvin is natuurlijk hetzelfe als het verschil in graen

4 celcius.) Vraag c Is e beschrijving met e ifferentiaalvergelijking ezelfe voor afkoelen en opwarmen? antwoor c Is e beschrijving met e ifferentiaalvergelijking ezelfe voor afkoelen en opwarmen? t T t = k T t KT O Voor afkoelen is T t negatief en T t KT is positief, immers e t O omgevingstemperatuur T o is lager an e temperatuur van het voorwerp. Dan moet e systeemconstante k negatief zijn. Voor opwarmen is T t positief en T t KT is negatief, immers e t O omgevingstemperatuur T o is hoger an e temperatuur van het voorwerp. Dan moet e systeemconstante k negatief zijn. Beie keren gebruik je us ezelfe ifferentiaalvergelijking Vraag Wat zal e eintemperatuur zijn als het proces lang genoeg geuur heeft? antwoor Wat zal e eintemperatuur zijn als het proces lang genoeg geuur heeft? Als e temperatuur T t niet meer verer toe of afneemt is t T t gelijk aan 0 en at is als T t = T o, ofwel e eintemperatuur (stationaire toetstan) wort op en uur gelijk aan e omgevingstemperatuur. 1.2 Inwonertal Formuleer e ifferentiaalvergelijking van het proces at e snelhei waarmee het inwonertal P t van een lan toeneemt weergeeft. De toename van inwonertal per jaar blijkt op elk moment evenreig met het aantal inwoners op at moment te zijn. Ga ook na wat e eenhei is van e systeemconstante k antwoor Formuleer e ifferentiaalvergelijking van het proces at e snelhei waarmee het inwonertal P t van een lan toeneemt weergeeft. De toename van inwonertal per jaar blijkt op elk moment evenreig met het aantal inwoners op at moment te zijn. Ga ook na wat e eenhei is van e systeemconstante k. 4

5 t Pt = k Pt Links van het isgelijkteken staat het aantal per jaar. Rechts moet us ook het aantal per jaar als eenhei hebben. 1 De eenhei van k is an. jaar In het geval at k groter is an 0, an is er us een toename van het inwonertal. In at geval zal er geen stationaire situatie zijn. Als k kleiner is an 0, neemt het aantal inwoners stees af. Als er begonnen wort op tijstip t = 0 met een zeker inwonertal, an is op en uur het inwonertal 0 geworen. Zie aarvoor ook paragraaf 3 evenwichtssituaties. Deze ifferentiaalvergelijking is eentje ie in e natuur vrij veel voorkomt. 1.3 Parachutist De snelhei van een parachutist met massa m, blijkt na enige tij constant. Neem aan at e luchtweerstan evenreig is met e snelhei van e parachutist. Formuleer e valbeweging van e parachutist met behulp van een ifferentiaalvergelijking waarbij e onbekene functie e snelhei is. Stel aarvoor e krachtenvergelijking op van e totale kracht ie op e parachutist werkt en ie het gevolg is van e zwaartekracht en e wrijvingskracht (luchtweerstan). Ga ook e eenheen na van e evenreigheisconstante antwoor De snelhei van een parachutist met massa m, blijkt na enige tij constant. Neem aan at e luchtweerstan evenreig is met e snelhei van e parachutist. Formuleer e valbeweging van e parachutist met behulp van een ifferentiaalvergelijking waarbij e onbekene functie e snelhei is. Stel aarvoor e krachtenvergelijking op van e totale kracht ie op e parachutist werkt en ie het gevolg is van e zwaartekracht en e wrijvingskracht (luchtweerstan). Ga ook e eenheen na van e evenreigheisconstante. m t vt = m g Kk vt uitleg De totale kracht is gelijk aan e massa maal e versnelling (Wet van Newton). De versnelling is e tijsafgeleie van e snelhei op ieer moment. De zwaartekracht F z is stees constant: m F = m g is e massa maal e versnelling van e zwaartekracht (g =9.8 z s 2 ). De luchtweerstan Kk vt is us evenreig met e snelhei van e parachutist en zal stees een remmene kracht zijn eenheenbeschouwing 5

6 kg De eenhei van k is. De eenhei van kracht is immers Newton = s kg m s 2. Omat e luchtweerstan tegengestel is aan e snelhei zal in e formule e waare van k positief zijn stationaire toestan Als na enige tij e snelhei niet meer veranert, is t vt gelijk aan 0. Hieruit kan afgelezen woren wat e stationaire toestan zal zijn. De parachutist zal ten slotte een snehei krijgen ie gelijk is aan v t = m g k. Zie voor e stationaire toestan (evenwichtssituatie) in paragraaf 3 Evenwichtssituaties 1.4 Ballon Het volume V t van een bolvormige ballon neemt met een constante snelhei af. Geef een ifferentiaalvergelijking r t in waarbij r t e straal is van e bol. Als het volume veranert, veranert natuurlijk e straal ook. Zeg iets over e evenreigheisconstante. Het volume V van een bol wort beken veronerstel. V = 4 π r3 3 Zie ook bestuering van it probleem in paragraaf 2.6 Lek in ballon antwoor Stel eerst e meest oorspronkelijke vorm van het moel op en geef aarna een verfijning. t V t = Kk Het volume is een functie van e tij. 6

7 Je kunt echter ook e functie V schrijven als een formule met aarin e straal r t waarbij e straal r t een functie van e tij is. V t = 4 π r t π r t 2 t rt = Kk Als je moeite hiermee hebt, an staat er oner e knop uitleg over eze afleiing ie met e kettingregel van het ifferentiëren te maken heeft kettingregel Het volume is een functie van e straal r maar r zelf is weer een functie van e tij. Dus als je het vulume V ifferentieert naar e tij, kun je eerst naar e straal ifferentiëren en aarna e straal weer verer ifferentiëren naar e tij. Ga na at t V t = r V r t rt of aners ook wel schematisch geschreven: V = V r t r t Dit noemt men ook wel e kettingregel en is hanig in it soort situaties verfijning Eventueel kan eze ifferentiaalvergelijking nog in e vorm t rt = K k 4 π rt 2 gezet woren. De snelhei waarmee e straal afneemt is us omgekeer evenreig met e straal van e ballon in het kwaraat. Misschien zie je ook at e snelhei waarmee e straal afneemt omgekeere evenreig is met e oppervlakte van e ballon eenheenbeschouwing m 3 De evenreigheisconstante k heeft als eenhei en is positief zoals eze s in e formule staat.(volume per tijseenhei.) Zie ook bestuering van e evenwichtssituatie in paragraaf 3 Evenwichtssituaties 1.5 Massabalansen Of je nu een moel maakt van het inwonertal of van het opblazen van een ballon, feitelijk oe je stees hetzelfe. Doorat er massa in en/of uitstroomt, veranert e totale massa. 7

8 Neem bijvoorbeel het moel van het inwoneraantal in paragraaf 1.2 Inwonertal. t Pt = k Pt Hierin is: Pt e ophoping van het aantal inwoners: toename als it positief is en afname t als it negatief is. k Pt het aantal inwoners an binnenstroomt, of wort geprouceer in technische termen. Eventueel ha er ook een sterfte gemoelleer kunnen woren: Kks Pt waarbij ks e systeemconstante is van het sterfteproces. Algemene massabalans: t mt = M instr t KM t uit Hierin is: mt e toename van e massa m(t) (massa in kg) per tijseenhei t M t e hoeveelhei massa ie binnenstroomt (in kg/s) instr M t e hoeveelhei massa ie naar buiten stroomt uit massabalans tank met schoonmaakmiel Een tank van 5000 liter is gevul met 3 kg van een schoonmaakmiel. De tank wort gespoel met schoon water in een tempo van 100 liter per minuut. De hoeveelhei m t van it schoonmaakmiel wort uitgerukt in kg en is afhankelijk van e tij. (De beginvoorwaare is us m 0 =3.) vraag Stel een DV op voor e hoeveelhei schoonmaakmiel mt als functie van e tij antwoor Hoeveelhei stof = concentratie volume. De concentratie van e stof is hier in kg per liter. De concentratie is stees e hoeveelhei stof in het systeem per totaal volume ( mt ). V tot De hoeveelhei stof m t in het systeem is een functie van e tij. 8

9 De concentratie is an ook een functie van e tij. Bij het spoelen gaat er stees evenveel liter schoon water in e tank als at er vuil water uitgaat. De ifferentiaalvergelijking kan an als volgt woren geformuleer: De veranering van e hoeveelhei stof mt in het systeem is gelijk aan e concentratie op een bepaal moment maal e veranering van het volume. In it geval is er een toename van het volume met concentratie 0 (schoon mt water) en eenzelfe afname van het volume met concentratie:. V tot t mt =0 t V t K mt V t t V tot Niet alleen massa kun je in een balans moelleren. Alles wat zich kan ophopen past in een balans. Blijkbaar niet alleen (iscrete) voorwerpen, zoals inwoners en fietsen, maar ook (continue) concepten zoals gel, massa, energie en impuls (at is overigens een lastige!). In het algemeen is e vorm van een balans: Ophoping = instroom - uitstroom waarbij: e ophoping e vorm heeft van een afgeleie (veranering van massa per tijseenhei). e in- en uitstroom niet echt "ergens" in- of uit hoeven te stromen. Ook geboorte en prouctie zijn vormen van instroom en sterfte en consumptie e bijbehorene vormen van uitstroom. 1.6 Krachtbalansen In een krachtbalans woren alle krachten, ie op een voorwerp staan opgetel. Hierbij wort er rekening mee gehouen at krachten in een richting werken. Als er na e optelling geen kracht meer over is, an heeft het voorwerp een constante snelhei. Dit is evenwicht. Bijvoorbeel een voorwerp at aan een touw hangt: e zwaartekracht naar beneen is gelijk aan e spankracht van het touw (naaar boven). Daaroor hangt het voorwerp stil. Ook bij een auto op volle snelhei zijn e krachten in evenwicht: e voorwaartse kracht ie oor e motor wort gelever is gelijk aan e wrijvingskracht naar achteren, zoat e snelhei constant is. De som van alle krachten is gelijk aan 0 als er us evenwicht is (krachtbalans) Evenwicht van krachten Een massa wort in evenwicht gehouen oor twee krachten ie er op werken. 9

10 De zwaartekracht (F z ) en e veerkracht (F veer ) van e veer waar e massa aan hangt. De zwaartekracht werkt naar beneen en e veerkracht omhoog. De zwaartekracht is F z = m g en e veerkracht is evenreig met e uitwijking s vanuit e evenwichtsstan van e veer met evenreigheisconstante k ie ook wel veerconstante wort genoem. F z CF veer =0 m gkk s =0 Als er na het optellen van e krachten nog een kracht overblijft, an krijgt het voorwerp een versnelling. Bijvoorbeel met e parachutist: als eze uit het vliegtuig springt, is e wrijving klein en e zwaartekracht groot, zoat hij stees sneller naar beneen valt. Aangezien e wrijving groter wort bij hogere snelhei (wrijving is afhankelijk van e snelhei), wort e wrijving op een gegeven moment net zo groot als e zwaartekracht en an is er evenwicht: e snelhei blijft constant. Zie het voorbeel in paragraaf 1.3 Parachutist Geen evenwicht van krachten vraag De snelhei van een parachutist met massa m, blijkt na enige tij constant. Neem aan at e luchtweerstan evenreig is met e snelhei van e parachutist. Formuleer e valbeweging van e parachutist met behulp van een ifferentiaalvergelijking waarbij e onbekene functie e snelhei is. Stel aarvoor e krachtenvergelijking op van e totale kracht ie op e parachutist werkt en ie het gevolg is van e zwaartekracht en e wrijvingskracht (luchtweerstan) antwoor De totale kracht op een lichaam is e som van alle afzonerlijke krachten. Deze totale kracht zal zorgen voor een uiteinelijke snelheisveranering (versnelling). F tot = > F waarbij F tot = F z CF wrijving F tot = m a = m t vt m t vt = m g Kk v t De totale kracht is gelijk aan e massa maal e versnelling (Wet van Newton). De versnelling is e tijsafgeleie van e snelhei op ieer moment. De zwaartekracht F z is stees constant: F z = m g is e massa maal e 10

11 m versnelling van e zwaartekracht (g =9.8 ). s De luchtweerstan is us evenreig met e snelhei van e parachutist. Zie verer in paragraaf 1.3 Parachutist Kracht, versnelling en snelhei De versnelling bepaal je met e wet van Newton: Kracht = massa versnelling F = m a Hou er rekening mee at e kracht en e versnelling eigenlijk vectoren zijn en us een richting hebben. (Dezelfe richting!!) De versnelling at is e veranering van e snelhei (v) per tijseenhei vt = at t De afgelege weg s t kan ook op eze manier bepaal woren: e toe- of afname van e afgelege weg per tijseenhei is gelijk aan e snelhei. st = vt t Als e versnelling at beken is, kan met een tweee ore ifferentiaalvergelijking e afgelege weg achterhaal woren. 2 t 2 st = a t Kijk ook in e les met vectoren voor ezelfe ifferentiaalvergelijkingen in meer imensies. 1.7 RC-circuit De spanning u over een weerstan ter grootte R is altij gelijk aan e stroom it in R het circuit maal e waare van e weerstan. In formule is at u R = it R. (De stroom in het circuit hoeft niet constant te zijn.) 11

12 Op een conensator kan laing opgeslagen woren. De laing kan er ook van af stromen. De veranering per tijseenhei van e spanning u C over een conensator maal e capaciteit C van e conensator is altij gelijk aan e stroom it in het circuit waarin e conensator zich bevint. In formule is at it = C t u C t. In het bovenstaane netwerk is een conensator met capaciteit C, een bronspanning u B (ie niet beslist constant hoeft te zijn maar ook een functie van t kan zijn) en een weerstan R. Volgens e wet van Kirchhof is e bronspanning op ieer moment gelijk aan e som van e spanningen over e weerstan en e conensator Vraag Stel e ifferentiaalvergelijking op waarbij e spanning u C t e onbekene functie is van e tij. Doe ook een analyse van e eenheen antwoor v in u C t Meestal hebben we in e elektrische netwerken liever e functie van e spanning beschikbaar. Deze is in een netwerk ook gemakkelijker te meten zoner een ingreep te oen in het netwerk zelf. Volgens e wet van Kirchhoff is e bronspanning gelijk aan e som van e spanningen in het circuit. De bronspanning in het gegeven circuit is us gelijk aan e spanning over e weerstan R + e spanning over e conensator C. Dus u B = R i t Cu C t. Hierin is us i t = C t u C t De ifferentiaalvergelijking wort an: R C t u t C Cu C t = u B Dit is e ifferentiaalvergelijking met e spanning over e conensator u C t als onbekene functie van e tij Eenheenbeschouwing De spanning is in volt (V), e weerstan in ohm (Ω), e stroom is in ampere (A = coulomb per secone), e capaciteit is in fara (coulomb per volt). 12

13 Hoe meer laing op e conensator om een spanningsverschil van 1 volt te maken, es te groter e capaciteit C is). Ga nu met e eenheen in eze ifferentiaalvergelijking na at e e combinatie R C e eenhei tij heeft Vraag Stel e ifferentiaalvergelijking op waarbij e stroom i t e onbekene functie is van e tij. Doe aarbij een analyse van e eenheen antwoor v in i t De ifferentiaalvergelijking van e stroom heeft rechtstreeks te maken met e ifferentiaalvergelijking van e spanning. Volgens e wet van Kirchhoff is e bronspanning gelijk aan e som van e spanningen in het circuit. Dus u B = R i t Cu C t Differentieer eze vergelijking naar t waarbij us weer gelt at i t = C t u t C. 0=R t it C t U t C R t it C it C =0 t it C it R C =0 t it = Ki t R C We hebben nu een eerste ore ifferentiaalvergelijking in e onbekene i t. Merk op at evenals in het vorige at e combinatie R C e eenhei tij heeft. 1.8 RL-circuit Gegeven is een netwerk met aarin een spoel (L) en een weerstan (R). De spanningsbron U B kan eventueel weggelaten woren en an is e spanning over e bron us gelijk aan 0. De spanning u over een weerstan ter grootte R is altij gelijk aan e stroom it in R het circuit maal e waare van e weerstan. 13

14 In formule is at u R = it R. (De stroom in het circuit hoeft niet constant te zijn.) De spanning over een spoel (u L ) is evenreig met e stroomveranering per tijseenhei in eze spoel. De evenreigheisconstante L van e spoel is een eigenschap van e spoel en wort wel e coëfficiënt van zelfinuctie genoem.. In formule is at u t = L L t it Volgens e wet van Kirchhoff is e bronspanning gelijk aan e som van e spanningen in het circuit Vraag Stel e ifferentiaalvergelijking op met als onbekene functie e stroom it antwoor Volgens e wet van Kirchhoff is e bronspanning gelijk aan e som van e spanningen in het circuit. Dus u B = R i t Cu L t u B = R i t CL t it R i t = KL t it CU B Dit is een ifferentiaalvergelijking waarin e functie i t als onbekene functie staat. 2 Het bepalen van e systeemconstante (parameter) In e volgene voorbeelen gaan we nog niet e ifferentiaalvergelijking oplossen maar we kunnen zoner e oplossing te kennen (e functie van e tij) al heel wat te weten komen. 2.1 Elektrisch circuit vraag Stel at er in een elektrisch circuit e stroomsterkte i t afneemt met een snelhei ie evenreig is met e momentane stroomsterkte. (De eenhei van stroom is hier ma.) Wanneer e stroomsterkte 40 ma beraagt, neemt ie af met 1 2 ma per secone. Beschrijf het verloop van e stroomsterkte i t met behulp van een ifferentiaalvergelijking en bepaal e evenreigheisconstante uit het extra gegeven. 14

15 antwoor De volzin: "Stel at er in een elektrisch circuit e stroomsterkte i t afneemt met een snelhei ie evenreig is met e momentane stroomsterkte." is met een formule te schrijven: v := t i t = Kk i t Stel nu e stroomsterkte op een bepaal moment gelijk aan 40 ma, an is e veranering van e stroom op at moment K 1 2 ma per secone. De volgene vergelijking kan an opgelost woren: K 1 2 = K40 k. Hieruit volgt at e waare van k gelijk is aan De ifferentiaalvergelijking wort an: t it = Ki t 80 In eze ifferentiaalvergelijking is e functie it e onbekene functie s. 2.2 Afkoeling vraag Een heet voorwerp koelt af met een snelhei ie evenreig is met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omringene lucht. De omgeving heeft een constante temperatuur van 15 graen celcius en het voorwerp blijkt met 12 graen per minuut af te koelen op een moment at zijn temperatuur 150 graen celcius beraagt. Formuleer e ifferentiaalvergelijking. Bepaal met e gegevens ook e evenreigheisconstante. Zie ook bij voorbeel paragraaf 1.1 koelwet van Newton antwoor De volgene zin: "Een heet voorwerp koelt af met een snelhei ie evenreig is met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omringene lucht." kan met een formule woren weergegeven: t T t = k T t KT o Uit e gegevens is een vergelijking te formuleren at e verminering van e temperatuur gelijk is aan 12 graen per minuut op het moment at e temperatuur 150 graen is. Het wil us zeggen at als To =15, at an 15

16 T t gelijk is aan -12. t De ifferentiaalvergelijking gaat an over in een gewone vergelijking waarbij e systeemconstante k e onbekene is. K12 = k 150 K15 Deze vergelijking kan opgelost woren zoat e waare van k bereken kan woren K12 = 135 k k = De ifferentiaalvergelijking is nu volleig beken. t T t = K T t KT o In it voorbeel is e systeemconstante k = per minuut. Zie voor e eenheen van e evenreigheiscontstante k in paragraaf 1.1 Koelwet van Newton. De evenreigheisconstante is negatief! Zie ook in paragraaf 3.2 Afkoeling en opwarming, voor het bestueren van e stationaire toestan. 2.3 Opwarming vraag Een kou voorwerp wort verwarm oorat het in een warme omgeving wort geplaatst. De toename van e temperatuur T t gaat met een snelhei ie evenreig is met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omringene lucht. De omgeving heeft een constante temperatuur van 80 graen celcius en het voorwerp blijkt met 10 graen per minuut op te warmen op een moment at zijn temperatuur 5 graen celcius beraagt. Formuleer e ifferentiaalvergelijking en bepaal met e gegevens ook e evenreigheisconstante. Zie bij paragraaf 1.1 Koelwet van Newton. Zie ook bij paragraaf 3.2 Afkoeling antwoor Zie ook voorbeelparagraaf 1.1 Koelwet van Newton. De volgene zin: "Een kou voorwerp wort verwarm oorat het in een warme omgeving wort geplaatst. De toename van e temperatuur T t gaat met een snelhei ie evenreig is met het temperatuurverschil tussen voorwerp en omringene lucht." kan met een formule woren weergegeven: t T t = k T t KTo Uit e gegevens is een vergelijking te formuleren at e vermeerering van e 16

17 temperatuur gelijk is aan 10 graen per minuut op het moment at e temperatuur 5 C is. Het wil us zeggen at als T o =80 C at an t T t gelijk is aan 10 C per minuut.. De ifferentiaalvergelijking gaat an over in een gewone vergelijking waarbij e systeemconstante k e onbekene is. 10 = k 5K80 Deze vergelijking kan opgelost woren zoat e waare van k bereken kan woren 10 = K75 k k = K0.133 De ifferentiaalvergelijking is nu volleig beken. t T t = K0.133 T t KT o In it voorbeel is e systeemconstante k = per minuut. Zie voor e eenheen van e evenreigheiscontstante k in paragraaf 1.1 Koelwet van Newton. De evenreigheisconstante is negatief! Zie ook in paragraaf 3.2 Afkoeling en opwarming (evenwicht) voor het bestueren van e stationaire toestan. 2.4 Poreuze tank vraag Een tank van poreus materiaal met verticale zijwanen heeft een cirkelvormig gronvlak waarvan e straal r gelijk aan 0.5 meter is. De tank bevat water at oor gronvlak en zijwanen wegsijpelt. De totale oppervlakte A t at in contact staat met het water, veranert us per tijseenhei omat het water wegsijpelt. Dit gaat met een tempo at evenreig is met e totale oppervlakte ie met het water in contact staat. Verer is gegeven at wanneer het water 3 meter hoog staat in e tank, at het met een snelhei van 0.2 meter per uur aalt. Formuleer e ifferentiaalvergelijking waarin e hoogte h t van het water e onbekene functie is van e tij. Geef ook informatie over e systeemconstante antwoor 17

18 De totale oppervlakte ie in contact staat met het water is gelijk aan e oppervlakte van e boem (π r 2 ) plus e manteloppervlakte waarmee het water met een hoogte h t in contact staat (2 π h t ). De veranering van e totale oppervlakte per tijseenhei is evenreig met eze oppervlakte. Het zal uielijk zijn at in it moel e evenreigheisconstante een negatieve waare zal hebben. De ifferentiaalvergelijking is an t At = k A t Daarbij is e functie van e oppervlakte een functie van t omat e hoogte h t afhankelijk is van e tij. A = π r 2 C2 π r h t De oppervlakte van het vat waarmee e voloeistof in aanraking komt is hiermee vastgeleg. De straal van e boem is 0.5 m. Alles ingevul geeft een nieuwe ifferentiaalvergelijking waarin e hoogte h t als onbekene functie afhankelijk van e tij is gestel. Met e kettingregel (zie ook e paragraaf met e kettingregel) kan e oppervlakt A geifferentiëer woren naar t. 1.0 π t ht = k 0.25 πc1.0 π ht systeemconstante berekenen Gegevens ingevul in e ifferentiaalvergelijking: als e hoogte van het water gelijk is aan 3 m, an is e afname van e hoogte gelijk aan 0.2 meter per uur (let op het minteken). K0.20 π =3.25 k π Deze vergelijking oplossen geeft e waare van k = De eenhei van k is rechtstreeks uit e meest oorspronkelijke 1 ifferentiaalvergelijking af te lezen:. uur 2.5 Kristalvorming vraag De snelhei waarmee een opgeloste stof m t in kristalvorm M t wort afgezet is evenreig met het prouct van e massa van e rees afgezette stof en e massa van e nog opgeloste stof. Gegeven is at e opgeloste stof m t en e stof in kristalvorm M t tesamen 20 gram zijn, formuleer an e ifferentiaalvergelijking en zeg iets over e systeemconstante. 18

19 antwoor De snelhei waarmee een opgeloste stof m t in kristalvorm M t wort afgezet is evenreig met het prouct van e massa van e rees afgezette stof en e massa van e nog opgeloste stof. Gegeven is at e opgeloste stof m t en e stof in kristalvorm M t tesamen 20 gram zijn, formuleer an e ifferentiaalvergelijking en zeg iets over e systeemconstante. De formule van it moel is e volgene ifferentiaalvergelijking. t mt = k m t M t Er zijn eigenlijk twee grootheen in eze ifferentiaalvergelijking, maar met het gegeven at e totale hoeveelhei stof 20 gram is M t =20Km t, kan e ifferentiaalvergelijking geschreven woren als. t mt = k m t 20 Km t 1 Als e massa's in grammen gegeven zijn, an is e eenhei van k:. g s Bovenien is e waare van k negatief want e opgeloste stof wort miner. 2.6 Lek in ballon vraag Uit een bolvormige ballon ontsnapt lucht in een tempo at evenreig is met e oppervlakte van e ballon. (Dit is een anere situatie an paragraaf 1.4 waar e veranering van het volume constant is.) Stel e ifferentiaalvergelijking op waarbij e veranerene straal rt van e ballon e onbekene functie is. De formule voor inhou en oppervlakte van een bol moet beken zijn. Wanneer e straal 20 cm beraagt, ontsnapt er 8000 ml lucht per secone. Bereken vervolgens in hoeveel tij e straal van 20 tot 15 cm afneemt. Zie voor e bestuering van een eventuele stationaire toestan in paragraaf 3 Evenwichtssituaties antwoor Uit een bolvormige ballon ontsnapt lucht in een tempo at evenreig is met e oppervlakte van e ballon. De vertaling in e ifferentiaalvergelijking is an t V t = k opp t 19

20 Hierin is het volume een functie van e straal maar e straal is weer een functie van e tij. Als volgt kan at geformuleer woren: V = 4 π r t 3 3 Verer is e oppervlakte ook een functie van e straal ie op zichzelf ook weer een functie is van e tij. opp =4 π r t 2 Alles invullen en ook gebruik maken van e kettingregel wort e ifferentiaalvergelijking: 4 π r t 2 t rt =4 k π r t 2 Vereenvouigen: t rt = k Het blijkt us at e straal met een constante snelhei afneemt Systeemconstante berekenen Gegeven is at e veranering van volume op een bepaal moment gelijk is aan ml/s. Deze veranering van volume is evenreig met e oppervlakte van e bol op at moment at e straal 20 cm is. De volgene vergelijking kan an opgelost woren waarbij e systeemconstante k e onbekene is. Ook gelt at t V t = K8000 t V t = k$4 π r t 2 Vul nu voor r t =20 in en e volgene vergelijking kan opgelost woren met k als onbekene. De waare van k is us k =K 5 π =K1.59 K8000 = 1600 k π 20

21 De eenhei van e systeemconstante k is cm/s. De straal neemt us af met 1.59 cm/s. De ifferentiaalvergelijking is nu vereenvouig tot rt = K1.59 t Aan e han hiervan is gemakkelijk uit het hoof te berekenen hoe lang het uurt totat e straal van 20 cm afgenomen is tot 15 cm. (Een afname van -5.) De vergelijking k t = K5 geeft als oplossing t = K 5 k. Daaruit volgt at e tij ie het uurt is seconen. 3 Het bepalen van e evenwichtssituatie Bij veraneringsprocessen ie zich afspelen in e tij is het vaak interessant om te bekijken hoe het proces op en uur verloopt. We kijken an naar e veranering van e functie ie in e ifferentiaalvergelijking beschreven wort. Voor e processen ie stabiel zijn is het zo at op en uur e functie eigenlijk niet meer veranert. Zou at wel zo zijn, an is zo'n proces niet stabiel. Voor een stabiel proces is e veranering van e functie op en uur gelijk aan 0. Zoner e ifferentiaalvergelijking op te lossen kan vaak e evenwichtssituatie beschreven woren ie gelt als te tij voortschrijt en oneinig wort. 3.1 Elektrisch circuit evenwicht (evenwicht) vraag In een situatie zoals beschreven in paragraaf 2.1 Elektrisch circuit waarbij e veranering van e stroom in een netwerk evenreig is met e stroom zelf. Als 0! k, an is er stees sprake van een afname van e stroom. it = Kk it t Beschrijf e evenwichtssituatie voor verschillene waaren van k antwoor In eze ifferentiaalvergelijking is uielijk te zien at op en uur e stroom it naar 0 gaat. Immers in e evenwichtssituatie is er geen toe of afname van e stroom meer en an is it = Kk it =0 t Er was uitgegaan van een positieve waare van k, us e stroom neemt ineraa 21

22 in at geval stees af. Als e waare van k negatief zou zijn, an zou e veranering van e stroom positief zijn. Als e beginwaare van e stroom niet gelijk is aan nul, zou e stroom stees verer toenemen en is er geen evenwicht. 3.2 Afkoeling en opwarming (evenwicht) Zie in paragraaf 1.1 Koelwet van Newton voor e ifferentiaalvergelijking t T t = k T t KT o vraag Beschrijf e evenwichtssituatie en bekijk of k positief of negatief is antwoor Als e temperatuur niet meer veranert, kan gestel woren at t T t = k T t KT o = 0 ==> k T t KT o =0 en hieruit volgt at op en uur e temperatuur T t gelijk wort aan e omgevingstemperatuur T o. Er zijn us twee situaties: Koelen: t T t is negatief (e temperatuur neemt af). In at geval is e temperatuur T t stees hoger an e omgevingstemperatuur. Dat wil zeggen T t KT o is positief. Hieruit volgt at k is negatief. Verwarmen: t T t is positief (e temperatuur neemt toe). In at geval is e temperatuur T t stees lager an e omgevingstemperatuur. Dat wil zeggen T t KT o is negatief. Hieruit volgt at k is negatief om het geheel weer positief te maken. Dit is het geval bij koelen én bij verwarmen. Zie uitgewerkt voorbeel in paragraaf 2.2. en 2.3 bij afkoelen en opwarmen conclusie Bij e koelwet van Newton t T t = k T t KT o is stéés e evenreigheisconstante k negatief, zowel bij koelen als bij verwarmen. 22

23 3.3 Parachutist (evenwicht) Zie in paragraaf 1.3 Parachutist voor e ifferentiaalvergelijking van een vallene parachutist oner invloe van e zwaartekracht (m g) en een wrijvingskracht, evenreig met e snelhei. m vraag Beschrijf e evenwichtssituatie. t vt = m g Kk v t antwoor Op en uur is e veranering van e snelhei gelijk aan 0 en an kan uit e ifferentiaalvergelijking e uiteinelijke snelhei afgelezen woren. m t vt m g = m g Kk vt =0 / vt = k 3.4 Lek in ballon (geen evenwicht) Bekijk in het geval van e ballon waarvan e straal stees afneemt in e tij of er zich ook een stationaire situatie vooroet Volume neemt af met constante snelhei vraag Het volume V t van een bolvormige ballon neemt met een constante snelhei af. Zeg iets over een mogelijke evenwichtssituatie. Zie beschrijving van het probleem in paragraaf 1.4 Ballon 4 π rt 2 rt = Kk t antwoor Het zal hier niet mogelijk zijn om, uitgaane van e ifferentiaalvergelijking, te bekijken wat e evenwichtssituatie zal zijn. Omat e straal stees afneemt met e tij, zal op een gegeven moment e straal gelijk woren aan 0. In e situatie at e straal bijna gelijk is aan 0, veranert e straal juist zeer sterk. Dit is te zien aan e ifferentiaalvergelijking aners geschreven: t rt = K k 4 π rt 2 Een onerzoek is noig om er achter te komen hoe het verloop van e straal is 23

24 als functie van e tij Volume neemt af met oppervlakte van e ballon vraag Uit een bolvormige ballon ontsnapt lucht in een tempo at evenreig is met e oppervlakte van e ballon. Zeg iets over een mogelijke evenwichtssituatie. Zie beschrijving van het probleem in paragraaf 2.6 Lek in ballon. t rt = k antwoor Het zal hier niet mogelijk zijn om, uitgaane van e ifferentiaalvergelijking, te bekijken wat e evenwichtssituatie zal zijn. Omat e straal stees afneemt met e tij, zal op een gegeven moment e straal gelijk woren aan 0. In e situatie at e straal bijna gelijk is aan 0, veranert e straal nog stees met ezelfe snelhei. Echter het moel is beperkt, e ifferentiaalvergelijking gelt alleen als e straal positief is. Het zal uielijk zijn at e waare van k negatief is, omat het een afname van e straal betreft. 24