Numerieke berekening van integralen met DERIVE
|
|
- Hendrik de Vries
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Numerieke berekening van integralen met DERIVE Dirk Danckaert Sint-Norbertusinstituut Duffel In deze tekst maak je kennis met enkele eenvoudige algoritmen voor de numerieke berekening van bepaalde integralen. Deze algoritmen kan je zelf uitvoeren met behulp van een rekentoestel en het nodige papier. Je kan ze ook automatiseren in eender welke programmeeromgeving (bvb. Excel, BASIC, Java,...). We laten in detail zien hoe je dit kan doen in DERIVE. DERIVE heeft een aantal ingebouwde gereedschappen voor het berekenen van integralen, die stuk voor stuk krachtiger zijn dan de algoritmen die je hier leert kennen. De doelstelling van deze tekst is dan ook niet het berekenen van integralen als zodanig. Wel hopen we a) je een idee te geven van het soort Wiskunde dat DERIVE gebruikt voor de numerieke berekening van integralen, b) je te laten zien hoe je DERIVE nieuwe kunstjes kan aanleren, c) dat je een beter begrip krijgt van zaken als onder-, boven- en RIEMANN-sommen. De vraag die we ons stellen is hoe we #1: b I(f(x), a, b) = f(x) dx a kunnen berekenen in situaties waar we geen Primitieve Functie (PF) F(x) van de integrand f(x) kennen. Om de zaken eenvoudig te houden veronderstellen we dat dom f(x) het hele interval [a, b] omvat (zonder onderbrekingen) en dat f(x) stijgend is, d.w.z. dat grotere x-waarden ook aanleiding geven tot grotere y- waarden. In formulevorm: x x f( x ) f( x ) 1 1 Deze beperking is minder streng dan ze op het eerste zicht lijkt. Als je de redeneringen meevolgt zal je merken dat - met minieme aanpassingen - alles wat we vertellen ook geldig is voor dalende functies (x_1 x_ => y_1 y_), en voor functies waarvan de grafiek in een eindig aantal stijgende of dalende stukken kan verdeeld worden. We komen daar op het einde van ons verhaal nog op terug. 1. Trapeziumregel 1.1 Inleiding Het heeft geen zin om deze inleiding 'na te doen'. Eens aandachtig doornemen volstaat. In (1..) tonen we de hoe je de methode die in de inleiding wordt voorgesteld kan programmeren in DERIVE, met het intypen van een handvol formules. Vanaf daar kan en moet je wel zelf meedoen. Laat ons concreet proberen de integraal #: 3 ƒ ƒ x ƒ ƒ ƒ - 1ƒ dx 4 Pagina: 1
2 bij benadering te berekenen. We hebben m..a.w. f(x) = (x^)/4 ; a = en b = 3. Werken met een eenvoudig voorbeeld heeft het voordeel dat je het resultaat ook exact kan berekenen, zodat je achteraf een controle hebt op je berekeningen. De exacte waarde van deze integraal bedraagt #3: 3 ƒ ƒ x ƒ 15 ƒ ƒ - 1ƒ dx = 4 3 of in decimalen. Zoals je weet heeft deze integraal een meetkundige betekenis: het is een georiënteerde oppervlakte van het vlakdeel tussen graf f(x) en de X-as in de strook x [a, b]. Om deze oppervlakte bij benadering te berekenen verdeel je het interval [a, b] in een groot aantal n deelintervallen, elk met dezelfde breedte h = (b - a)/n. De grenspunten van deze deelintervallen noemen we verdelingspunten, en we noteren ze in stijgende volgorde in een lijst als volgt: [a_0=a ; a_1 ; a_ ;... ; a_(n-1) ; a_n = b] Merk op dat deze lijst in totaal n+1 punten bevat. In ons voorbeeld krijgen we voor een verdeling in n = 10 deelintervallen de verdelingspunten #4: a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a = [, 1.65, 1.8, 1.95,.1,.5,.4, ,.7,.85, 3] De afstand h = (3- )/10 = 0.15 tussen deze verdelingspunten is de fijnheid van deze verdeling. Merk op dat we de waarde van de verdelingspunten kunnen berekenen met de formule a_k = a_0 + k.h (k = 0 ; 1 ; ;... ; n) We noemen het rangnummer k de index van het verdelingspunt. Met elk verdelingspunt komt een functiewaarde y_k = f(a_k) overeen. Deze functiewaarden noemen we ordinaten. Omdat f(x) stijgend is geldt y_k y_(k+1). De lijst van ordinaten is in ons voorbeeld #5: y, y, y, y, y, y, y, y, y, y, y = [ , , -0.19, , , , 0.44, , 0.85, , ] Construeer nu in elk deelinterval [a_k ; a_(k+1)] (k gaat hier van 0 tot n - 1) een rechthoek met basis op de X-as en hoogte y_k. Pagina:
3 Deze rechthoeken zijn links aangeschreven aan graf f(x). Omdat f(x) stijgend is is de (geörienteerde) oppervlakte van al deze rechthoekjes samen gegarandeerd kleiner dan de gevraagde integraal (want S(-) is GROTER en S(+) is KLEINER). Concreet is deze oppervlakte een som van 10 rechthoekjes: ( ) S < = yh + yh + yh = h( y + y + + y ) Omdat de integraal I groter is dan S(<) spreken we van een ondersom voor I. DERIVE geeft als getalwaarde voor S(<): #6: We kunnen natuurlijk ook rechthoeken gebruiken die rechts aangeschreven zijn aan graf f(x). De rechthoek in het interval [a_k ; a_(k+1)] heeft nu hoogte y_(k+1). Omdat f(x) stijgend is is de oppervlakte van deze nieuwe reeks rechthoekjes gegarandeerd groter dan de gevraagde integraal. Concreet is de oppervlakte van deze 10 rechthoeken ( > ) S = yh 1 + yh + y10h hy ( y y ) = Omdat S(>) groter is dan I, spreken we dit keer van een bovensom. Als getalwaarde van S(>) geeft DERIVE Pagina: 3
4 #7: De beste schatting voor I die we uit (#6) (schatting te klein) en (#7) (schatting te groot) kunnen halen is hun gemiddelde #8: = De fout op deze waarde is in elk geval in absolute waarde kleiner dan [S(>) - S(<)] /, of #9: = Vergelijking met de vooraf berekende waarde (exact) toont echter dat (#9) een vrij sterke overschatting is van de fout. In feite is de relatieve fout slechts 0,3% (ongeveer). Het gemiddelde berekenen van (#6) en (#7) betekent meetkundig dat je in elk deelinterval [a_k ; a_(k+1)] de links- en rechtsaangeschreven rechthoeken vervangt door het rechtopstaand trapezium met dezelfde basis en hoogtes y_k en y_(k+1). Deze trapezia worden dus begrens door de verbindingslijnen (koorden) van twee opeenvolgende verdelingspunten op de grafiek. We kunnen de oppervlakte van deze 10 trapezia direct berekenen met de formule Pagina: 4
5 1 I h [( y0 + y1 + y9 ) + ( y1 + y + y10 )] h ( y 0 + y y 9 + y 10) Deze benaderingsregel voor integralen wordt de trapeziumregel genoemd. Merk op dat deze laatste formule (het gemiddelde van twee Riemann-sommen) zelf niet langer de vorm van een Riemann-som heeft. Algemeen vinden we, als we h vervangen door (b- a)/n, de volgende uitdrukking als benadering voor onze integraal: y + y + + y y 0 1 n + 1 I ( b a) n De oppervlakte wordt m.a.w. benaderd door het product van de basis (b-a) met een gewogen gemiddelde van de y-waarden op de grafiek. n 1.. Uitwerking in DERIVE We definiëren eerst f(x) als een willekeurige functie #10: f(x) := Om de integraal #11: b f(x) dx a te benaderen met de trapeziumregel verdelen we het interval [a, b] in n deelintervallen. De fijnheid van deze verdeling is #1: b - a h := n De verdelingspunten worden gegeven door a_k = a + k.h. Met elk verdelingspunt komt een ordinaat overeen, die we als een nieuwe functie definiëren in termen van f(x): #13: y(k) := f(a + k h) Het gewogen gemiddelde dat voorkomt in de trapeziumregel wordt in DERIVE gedefiniëerd als #14: n - 1 y(0) + y(k) + y(n) k=1 GewGem := n De som-formule in de teller typ je als volgt in: SUM( y(k), k, 1, n-1 ) In woorden uitgedrukt geef je DERIVE de opdracht een som te berekenen van y-waarden y(k), waarbij de veranderlijke k alle (gehele) waarden aanneemt van k = 1 tot k = n - 1. Een laatste definitie geeft tenslotte de benadering van (#11) d.m.v. de trapeziumregel #15: TrapRegel := (b - a) GewGem De vier definities (#1-15) vormen een eenvoudig DERIVE programma voor de trapeziumregel. Om definitie (#15) te gebruiken moet je wel eerst alle variabelen initialiseren. Een kleine test voor de integraal Pagina: 5
6 #16: SIN(x) dx 0 We typen achtereenvolgens in: #17: f(x) := SIN(x) #18: a := 0 #19: b := #0: n := 15 #1: TrapRegel Formule (#1) selecteren en [Vereenvoudigen] geeft: #: ƒ + ƒ COSƒƒ + ƒ - ƒ COSƒƒ + ƒ + ƒ COSƒƒ SINƒƒ ƒƒ + ƒ + ƒ wat weinig verhelderend werkt. Gebruik daarom liever de knop [Benaderen]. Het uiteindelijk resultaat is #3: Dit moet je vergelijken met de exacte waarde. Als je een groot aantal integralen moet berekenen met de trapeziumregel kan het voortdurend intypen van de formules (#17-1) wat omslachtig worden. Hier kan een mouw aan gepast worden met een PROGinstructie. Een PROG-instructie bevat een aantal DERIVE instructies na elkaar, gescheiden door komma's, volgens het patroon PROG (<inst_1>, <inst_>,..., <inst_n>) Een PROG-instructie vereenvoudigen of benaderen voert alle deelinstructies na elkaar uit en geeft de waarde van <inst_n> als uiteindelijk resultaat. Op het scherm wordt een PROG-instructie niet in functievorm getoond, maar in een meer leesbare vorm, met elke deelinstructie op een aparte lijn. Zo kunnen we de vijf instructies (#17-1) samenbrengen in één handige definitie: #4: TR(p, q, r, s) := Prog f(x) := p a := q b := r n := s TrapRegel We vinden nu het resultaat (#3) op een handiger manier als volgt: #5: TR(SIN(x), 0,, 15) #6: of, met n=1000 (waarom niet?) #7: TR(SIN(x), 0,, 1000) #8: Regel van Poncelet Deze paragraaf dient enkel om te lezen, je moet de formules dus niet narekenen. Nadien zou je in staat Pagina: 6
7 moeten zijn om een DERIVE programma te schrijven dat toelaat om integralen te berekenen met de regel van Poncelet. Ons opdracht is opnieuw de berekening van de integraal #9: b f(x) dx a Dit keer veronderstellen we dat in [a, b] de grafiek van f(x) bol is, maar niet noodzakelijk stijgend of dalend. Ook dit is niet echt een essentiële beperking. We maken opnieuw een rij van n + 1 equidistante (= op gelijke afstand van elkaar) verdelingspunten [a_0 = a, a_1, a_,..., a_(n-1), a_n = b] met fijnheid h = (b-a)/n. Om de integraal (#9) te schatten zullen we in elk deelinterval [a_k ; a_(k+1)] graf f(x) benaderen door een segment van de raaklijn aan de grafiek in het midden van het deelinterval. Op de figuur hieronder een verdeling in n = 5 deelintervallen en de benadering van graf f(x) (de gebogen lijn) door 5 raaklijnsegmenten. We zullen de x-waardes van deze middens aanduiden met halfgehele index, m.a.w. a_1/ voor het midden van [a_0, a_1] en zo verder voor de volgende intervallen. Dit heeft het voordeel dat we de waarde van deze supplementaire verdelingspunten met dezelfde formule kunnen berekenen als voor verdelingspunten met gehele index: #30: a = a h volgens het algemene patroon #31: a = a + k h k 0 De y-waardes bij een verdelingspunt (de ordinaten) noteren we opnieuw als y_k, voor zowel heeltallige als halftallige index k: #3: y = f(a ) k k Net als bij de trapeziumregel kunnen we de oppervlakte onder de grafiek benaderen door de oppervlakte van n trapezia. Dit keer zijn de trapezia echter omgeschreven aan graf f(x) i.p.v. ingeschreven. Bereken de oppervlakte van één zo'n trapezium. Als m de rico is van de raaklijn in het punt met ordinaat Pagina: 7
8 y_k (k is hier dus halfgeheel), dan zijn de hoogtes aan de rechter- en linkerzijde van het trapezium respectievelijk #33: h H = y + m 1 k en #34: h H = y - m k De oppervlakteformule voor een trapezium luidt echter #35: H + H 1 Opp = Basis en de gemiddelde hoogte van het trapezium (H_1 + H_)/ = y_k is onafhankelijk van de rico m. Aangezien de basis van elk trapezium h is vinden we tenslotte als benadering van onze integraal de volgende som ( > ) S hy0.5 + hy + hyn + hy n 0.5 hy ( y y y ) n n 0.5 Omdat we veronderstellen dat graf f(x) bol is in [a, b] is dit duidelijk een bovensom voor de gevraagde integraal I, vandaar de notatie S(>). We bepalen nu ook een ondersom S(<) met een vergelijkbare precisie. Hiervoor gebruiken we de n - 1 INGESCHREVEN trapezia met de halfgehele ordinaten y_k, als hoogtes (geel op de figuur hieronder), samen met de twee "halve"trapezia, ingeschreven in graf f(x) op de intervallen [a_0 ; a_1/] en [a_(n-1/) ; a_n] (rood en blauw op de figuur hieronder). De oppervlakte van deze nieuwe reeks trapezia geeft voor I de volgende ondersom als benadering: ( < ) h y0 + y0.5 h h yn y S + ( y0.5 + y + + yn + yn 0.5) + h y0 3 3 yn + y0.5 + y + + yn + y n Hier hebben we op de eerste lijn gebruik gemaakt van de trapeziumregel in deel 1 van de tekst. Als we de coëfficiënten 3/ in de laatste formule lezen als ( - 1/) kunnen we die nog herschrijven als ( < ) h y y y n + y 0.5 n S + h( y0.5 + y + yn + yn 0.5) n Pagina: 8
9 De tweede term is dezelfde als in de formule voor S(>), de eerste term is een negatieve correctie daarop. De beste schatting die we uit deze twee benaderingen S(>) (benadering te groot) en S(<) (benadering te klein) kunnen halen is hun gemiddelde (S(>) + S(<))/. Schrijven we (b - a)/n voor de fijnheid h, dan vinden we als benadering voor onze integraal (#9) y + y + + y + y y + y y y I ( b a) + n 8n 0.5 n n n 0.5 n 0.5 Dit is de Formule van Poncelet voor de benadering van bepaalde integralen. Deze heeft opnieuw de vorm van een product van de basis (b-a) met een gewogen gemiddelde van de y-waardes y_k op graf f(x). De fout op het rechterlid is in elk geval kleiner in absolute waarde dan (S(>) - S(<)) /, of uitgewerkt: 0 n 0.5 n 0.5 I b a ( ) y + y y y 8n Laat ons deze methode toepassen op hetzelfde voorbeeld als in par. (1.1), m.a.w. op de integraal #36: 3 ƒ ƒ x ƒ ƒ ƒ - 1ƒ dx 4 met exacte waarde 15/3 = We definiëren eerst de integrand: #37: x f(x) := We verdelen vervolgens het interval [1,5 ; 3] in 10 deelintervallen met breedte h = 0,15. De middens van deze intervallen hebben x-waarden #38: k voor halfgehele waarden van k (k = 0,5 ; 1,5 ; ). De trapezia die graf f(x) raken in deze middens hebben gemiddelde hoogtes #39: VECTOR(f( k), k, 0.5, 9.5) #40: [ , , , , , , , , , ] De totale oppervlakte van deze trapezia bedraagt #41: 0.15 ([ , , , , , , , , , ]) = Dit is in dit geval een ondersom voor (#36), omdat graf f(x) hol is. Als je vergelijkt met (#8) zie je dat de nauwkeurigheid nu reeds iets beter is dan met de gewone trapeziumregel. De regel van Poncelet zegt echter dat we op (#41) nog een correctie moeten uitvoeren #4: 0.15 (f() f(3)) = zodat we tenslotte als beste schatting voor (#36) vinden: Pagina: 9
10 #43: = met een fout van ong. 0,05% OPDRACHT: Schrijf zelf een DERIVE-programma, op meerdere lijnen, dan wel met een PROG-instructie dat toelaat om willekeurige integralen met de regel van Poncelet te benaderen. Inspireer je op het voorbeeld in parr. (1.). Pagina: 10
11 Pagina: 11
Riemannsommen en integralen
Riemannsommen en integralen MET DE TI-NSPIRE Vervangt een deel van 0. uit VWO B deel gghm EEBII 0-0 Inhoud Oppervlakte onder de grafiek... Ondersom... 4 Bovensom... 4 Middensom... 4 Riemannsom... 5 Riemannsom
Nadere informatieBegeleid Zelfstandig Leren (BZL)
Begeleid Zelfstandig Leren (BZL) De Beaalde Integraal - Riemannsommen 1 Rijvariabelen u en v van het grafisch rekentoestel.... 1.1 Rijen.... 1. Odracht 1... 1.3 Rekentoestel... 3 1.4 Odracht... 4 1.5 Odracht
Nadere informatiePrimitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Nadere informatie11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 8 juni 3.30 6.30 uur 20 03 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen.
Nadere informatiey = 25 x y = 25 x y = 25 x 2 is het functievoorschrift dat bij de bovenste
Hoofdstuk A: Integralen. I-. Hiernaast is een cirkel getekend met de oorsrong als middelunt en met een straal 5. Als je in de getekende driehoek de stelling van Pythagoras toeast, krijg je: + y = 5. Kwadrateren
Nadere informatieWat kan er (niet) zonder ε-δ?
Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling Afgeleide
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatie5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het
Nadere informatieOPPERVLAKTEBEREKENING MET DE TI83
WERKBLAD OPPERVLAKTEBEREKENING MET DE TI83 Gevraagd de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de X as 3 grafiek f : x x 4x + x + x = en x = Oplossing Vermits we hier te doen hebben met een willekeurige
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieNumerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder
Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/default.htm 4 oktober 2016
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 16 mei uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 9 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen.
Nadere informatie4. NUMERIEKE INTEGRATIE
4. NUMERIEKE INTEGRATIE Uit het voorgaande is gebleken dat oppervlakken, volumina, zwaartepunten, statische momenten etc. een belangrijke rol spelen in de beschouwingen aangaande het evenwicht van drijvende
Nadere informatieWISKUNDE 3 PERIODEN EUROPEES BACCALAUREAAT DATUM : 8 juni 2006 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN :
EUROPEES BACCALAUREAAT 2006 WISKUNDE 3 PERIODEN DATUM : 8 juni 2006 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Zakrekenmachine
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieAanvullende tekst bij hoofdstuk 1
Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)
Nadere informatieInhoud van een omwentelingslichaam
Inhoud van een omwentelingslichaam Wat is een omwentelingslichaam? Omwentelingslichamen ontstaan door het wentelen van een vlakdeel rond een rechte: de omwentelingsas Voorbeeld: volume van een (omwentelings)cilinder
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieHoofdstuk 7 - veranderingen. getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2
Hoofdstuk 7 - veranderingen getal & ruimte HAVO wiskunde A deel 2 0. voorkennis Plotten, schetsen en tekenen Een grafiek plotten Een grafiek schetsen Een grafiek tekenen Na het invoeren van de formule
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieParagraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide
Hoofdstuk 13 Toepassingen vd differentiaalrekening (V5 Wis A) Pagina 1 van 7 Paragraaf 13.1 : Berekeningen met de afgeleide Differentiëren van e-machten en logaritmen f() = e f () = e f() = ln() f () =
Nadere informatieComputerrekenpakket Maple zesde jaar
Computerrekenpakket Maple zesde jaar M CREATIVE COMMONS Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 (CC BY-NC-SA) Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie. De volledige
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieHet oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:
Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen
Nadere informatieUitwerkingen H10 Integraalrekening
Uitwerkingen H Integraalrekening. De tweede benadering is de beste. a. Onder de grafiek liggen nog witte vlakdelen. Boven de grafiek steken blauwe vlakdelen uit. c. Neem bijvoorbeeld rechthoeken.. Als
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur
wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieReflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme
Reflecties bij de invoering van TI-Nspire CAS op de Europese Scholen L.A.A. Blomme In 2010 is op de Europese Scholen het nieuwe wiskunde programma gestart. Een van de grote innovaties betreft het invoeren
Nadere informatie2. Het benaderen van nulpunten
Het benaderen van nulpunten Benaderen van vierkantswortels Als we met een numerieke rekenmachine benadering, 7 =,64575 7 berekenen, krijgen we als resultaat een Het numeriek benaderen kan met een recursieve
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I
Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse
Nadere informatieModelvraagstukken: Limieten van Rationale Functies (RF).
Sint-Norbertusinstituut Duffel Modelvraagstukken: Limieten van Rationale Functies RF) Inhoudsopgave Basisieten Nulpunten en hun multipliciteit 3 Limietwaarden op oneindig 4 3 Berekening in detail 4 3 Verkorte
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I
Inademen ij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieWISKUNDE 3 PERIODEN EUROPEES BACCALAUREAAT 2010. DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : TOEGESTANE HULPMIDDELEN : OPMERKINGEN : Geen
EUROPEES BACCALAUREAAT 010 WISKUNDE 3 PERIODEN DATUM : 4 juni 010 DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieDe Riemannintegraal. Dan heet f(ξ ij, η ij ) A ij een Riemannsom bij f. May 9, I.A.M. Goddijn Faculteit EWI
e Riemannintegraal Veronderstel dat f : R continu is, waarbij = [a, b] [c, d]. Laten a = x 0 < x 1 < x 2 < < x m 1 < x m = b en c = y 0 < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = d partities zijn van [a, b] en [c,
Nadere informatieTraining integreren WISNET-HBO. update aug 2013
Training integreren WISNET-HBO update aug 2013 Primitiveren De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis
Nadere informatieAfgeleiden berekenen met DERIVE
/09/007 Afgeleien met DERIVE.fw 18:48:0 Afgeleien berekenen met DERIVE In DERIVE zijn alle regels ingebouw waarmee je ook op papier afgeleien berekent: lineariteit, prouct- en quotiëntregel, kettingregel.
Nadere informatieNaam: Studierichting: Naam assistent:
Naam: Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 4 november
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012
Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n
Hoofdstuk 1 Inleidende begrippen 1.1 Definities Definitie 1.1. Een partitie van een natuurlijk getal n is een niet stijgende rij positieve natuurlijke getallen met som n Voor het tellen van het aantal
Nadere informatieEindexamen wiskunde b 1-2 VWO I
Eindexamen wiskunde b -2 VWO 200 - I Boottocht In een cirkelvormig meer liggen twee eilandjes, M en. We beschouwen de eilandjes als punten. M ligt precies in het midden van het meer. Zie figuur. figuur
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieUitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Machten en differentiëren
Uitwerkingen bij _0 Voorkennis: Machten en differentiëren 3(x ) 6 3 6 (x ) 6 6-3 x 3 5 x - 6 43 x 6 x 3x 4 3 x 4 x 6 " $% & ' " $% & (& &( & ' " $% &( &&(& ' ) * '*, *-, *-, *-,, - VWO B deel 3 Analyse_
Nadere informatieNumerieke Analyse. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe
Numerieke Analyse Prof. Dr. Guido Vanden Berghe Chapter 7 Numeriek berekenen van afgeleiden Doelstelling De topics behandeld in dit hoofdstuk zullen vooral van belang zijn voor de paragrafen over randwaarde
Nadere informatieEconomie en Maatschappij(A/B)
Natuur en Techniek(B) Natuur en gezondheid(a/b) Economie en Maatschappij(A/B) Site over profielkeuze qompas Economie Gezondheidszorg Gedrag en maatschappij Landbouw Onderwijs Techniek http://www.connectcollege.nl/download/decanaat/havo%20doorstroomeisen%20hbo.pdf
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8
Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting door N. 1410 woorden 6 januari 2013 5,4 13 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte 7.1 toenamediagrammen Interval
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 19 december Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: 19 december 2018 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Tentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatie1. Trapeziumregel en Rechthoekregel
bij N5.4-7 Num.Integratie blz 1 Maart 1994 vervangt N5.4-6 NUMERIEKE INTEGRATIE Inleiding Er zijn twee omstandigheden waarbij we een integraal zouden willen berekenen maar dat niet kunnen, met de tot nu
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk
Nadere informatieTentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 11 juni 2012 Tijd: 19.00-22.00 uur Aantal opgaven: 8 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van
Nadere informatie1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.
Nadere informatieNUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING. Docent: Karel in t Hout. Studiepunten: 3
NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING Docent: Karel in t Hout Studiepunten: 3 Over deze opgave dien je een verslag te schrijven waarin de antwoorden op alle vragen zijn verwerkt. Richtlijnen
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.
Nadere informatieDe eerste stappen met de TI-Nspire 2.1 voor de derde graad
De eerste stappen met TI-Nspire 2.1 voor de derde graad. Technisch Instituut Heilig Hart, Hasselt Inleiding Ik gebruik al twee jaar de TI-Nspire CAS in de derde graad TSO in de klassen 6TIW( 8 uur wiskunde)
Nadere informatieHoofdstuk 6 - de afgeleide functie
Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-II
Voedselbehoefte In een zeker gebied wordt een grote toename van de bevolking voorzien. Om de daarmee gepaard gaande problemen het hoofd te kunnen bieden, heeft men een schatting nodig van de grootte van
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieEindexamen wiskunde B 1-2 vwo I
Oppervlakte en inhoud bij f() = e De functie f is gegeven door f( ) = e figuur Op de grafiek van deze functie liggen de punten (0,) en (, e ) De grafiek van f en het lijnstuk sluiten een vlakdeel in Zie
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 9 juni 3.30 6.30 uur 20 02 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 6 vragen.
Nadere informatieInstructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE
Instructie voor Docenten Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor docenten H13: OMTREK EN OPPERVLAKTE DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen weten wat de begrippen omtrek en oppervlakte betekenen.
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft
Nadere informatie2 Basisfuncties Sinusfunctie Cosinusfunctie Tangensfunctie... 6
Inhoud 1 Voorbereidende opdracht. 2 2 Basisfuncties. 4 2.1 Sinusfunctie............................. 4 2.2 Cosinusfunctie........................... 5 2.3 Tangensfunctie........................... 6 3
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieReferentieniveaus uitgelegd. 1S - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1S rekenen. 1F - rekenen Vaardigheden referentieniveau 1F rekenen
Referentieniveaus uitgelegd De beschrijvingen zijn gebaseerd op het Referentiekader taal en rekenen'. In 'Referentieniveaus uitgelegd' zijn de niveaus voor de verschillende sectoren goed zichtbaar. Door
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieklas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf
Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieVoorbeeldtentamen Wiskunde B
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: Najaar 2018 Tijd: 3 uur Aantal opgaven: 6 Voorbeeldtentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatie8.0 Voorkennis ,93 NIEUW
8.0 Voorkennis Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 Aantal 2012
Nadere informatieBreuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014
Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven uit Pi
Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze
Nadere informatie5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking
5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatie