7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]

Transcriptie

1 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1: Bereken de afgeleide van f() = f () =

2 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Voorbeeld : Bereken de afgeleide van p() = ( + 6)( + ) Een manier om dit te doen is het wegwerken van de haakjes en vervolgens term voor term differentiëren. Differentiëren kan ook met behulp van de productregel: Productregel: De afgeleide van p() = f() g() bereken je met: p () = f () g() + f() g () Let op: p() is dus het product van de functies f() en g() In dit voorbeeld geldt: f() = + 6 g() = + p() = f() g() = ( + 6) ( Willem-Jan + ) van der Zanden

3 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Voorbeeld : Bereken de afgeleide van p() = ( + 6)( + ) Productregel: p () = f () g() + f() g () p () = [ + 6] ( + ) + ( + 6) [ + ] = 1 ( + ) + ( + 6) ( + ) = =

4 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Voorbeeld 3: Bereken de afgeleide van q() = Differentiëren gebeurt nu met de quotiëntregel: Quotiëntregel: De afgeleide van q() = t() n() q'( ) n( ) t'( ) t( ) n'( ) ( n ( )) wordt nu: q'( ) q'( ) q'( ) q'( ) (3 6) [5 8 ]' (5 8 ) [3 6]' (3 6) (10 8) (5 8 ) (3 6) (3 6) (3 6) (3 6) 4

5 7. De afgeleide van machtsfuncties [1] Herhaling: De afgeleide van f() = a n is: f () = na n-1 Deze regel geldt voor elk geheel getal n. Voorbeeld 1: 9 f ( ) 9 3 Voorbeeld : 3 f '( ) g( ) g'( )

6 7. De afgeleide van machtsfuncties [] Herhaling: De afgeleide van f() = a n is: f () = na n-1 Deze regel geldt voor elk getal uit de verzameling van reële getallen IR Voorbeeld 1: f ( ) f '( ) Voorbeeld : g( ) g'( )

7 7.3 De kettingregel [1] Voorbeeld 1: y = ( + 6) kun je differentiëren met: 1. Haakjes wegwerken en term voor term differentiëren;. Productregel toepassen; 3. Kettingregel toepassen. y = ( + 6) kun je schrijven als: y= u met u = + 6 Kettingregel: dy dy du d du d De afgeleide van y = ( + 6) wordt dus: y' dy du du d u( 1) ( 6)( 1) 7

8 7.3 De kettingregel [1] Voorbeeld : g()= g()= = 4u en u = u dy du g'()= du d 1-1 g'()= -u ( +1) - = ( +1) = u -( +1) u u -4 - = ( + ) + 8

9 7.3 De kettingregel [] Voorbeeld van combinatie kettingregel en productregel f ( ) 1 f '( ) [ ]' 1 [ 1]' ( productregel) [ ]' 1 [ 1]' [ u]' met u 1 ( kettingregel) 1 1 u [ u]' [ u ]' f '( ) [ ]' 1 [ 1]'

10 7.4 Raaklijnen en toppen [1] Bereken algebraïsch de etreme waarden van het bereik. Stap 1: Bereken f () f( ) en geef f( ) (3 6)[5 8 ]' (5 8 )[3 6]' f '( ) (3 6) (3 6)(10 8) (5 8 ) 3 f '( ) (3 6) (3 6) (3 6) 10

11 7.4 Raaklijnen en toppen [1] Bereken algebraïsch de etreme waarden van het bereik. Stap : Los algebraïsch op f () = 0 f '( ) (3 6) D of of ,11 of,89 f( ) en geef 11

12 7.4 Raaklijnen en toppen [1] Bereken algebraïsch de etreme waarden van het bereik. f( ) en geef Stap 3: Plot de grafiek en kijk of je met een maimum of minimum te maken hebt: Met behulp van de GR is nu te vinden: Maimum bij (-,89; -6,98) Minimum bij (-1,11; -1,0) B f = (<-; -6,98] en [-1,0, ->) 1

13 7.4 Raaklijnen en toppen [] g p () = p De top hangt af van de waarde van p. Je kunt een formule opstellen waarop alle toppen van de grafieken van g p liggen. g'( ) p 4 g'( ) 0 p 4 0 p 4 top p p top y g p top p( ) top 4 top 3 top 4top 3 top top top top Alle toppen van g p () = p liggen op de lijn y = 3 13

14 7.5 Toppen en snijpunten [1] Voor welke p heeft de vergelijking f() = precies drie oplossingen precies twee oplossingen precies één oplossing p Uit het plaatje volgt nu: Een lijn boven het maimum leidt tot één snijpunt Een lijn door het maimum leidt tot twee snijpunten Een lijn tussen de toppen leidt tot drie snijpunten Een lijn door het minimum leidt tot twee snijpunten Een lijn onder het minimum leidt tot één snijpunt Dus: Bereken de toppen van de grafiek. 14

15 7.5 Toppen en snijpunten [1] Voor welke p heeft de vergelijking f() = precies drie oplossingen precies twee oplossingen precies één oplossing 1 3 f ( ) 3 3 f '( ) p f '( ) ( 3)( 1) Dit geeft de toppen (-3,9) en(1,-1 /3) p < -1 /3 en p > 9 geeft één oplossing p = -1 /3 en p = 9 geeft twee oplossingen -1 /3 < p < 9 geeft drie oplossingen 15

16 7.5 Toppen en snijpunten [] Bereken voor welke p de vergelijking oplossingen heeft: p 1 geen Let op: Als je weet voor welke p s de lijn - + p de gebroken functie raakt heb je de oplossing. M.a.w. we gaan uitrekenen in welk punt de gebroken functie een afgeleide heeft die gelijk is aan -. 16

17 7.5 Toppen en snijpunten [] Bereken voor welke p de vergelijking oplossingen heeft: p 1 geen Stap 1: Bereken de afgeleide van de gebroken functie f( ) f '( ) f '( ) f '( ) f '( ) 1 ( 1)[ ]' ( )[ 1]' ( 1) ( 1) ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 17

18 7.5 Toppen en snijpunten [] Bereken voor welke p de vergelijking heeft: p 1 geen oplossingen Stap : Bereken wanneer de afgeleide van de gebroken functie gelijk is aan -. f '( ) f '( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( )

19 7.5 Toppen en snijpunten [] Bereken voor welke p de vergelijking heeft: p 1 geen oplossingen Stap 3: Stel de vergelijkingen van de raaklijnen op: k : y b f (0) dus A(0,) k : y l : y b f ( ) 6 dus A(, 6) l : y 10 Stap 4: Hieruit volgt dat er geen oplossingen zijn voor -10 < p < 19

20 7.5 Toppen en snijpunten [3] 1 3 Gegeven is de functie fp( ) p 5 3. Bepaal voor welke p deze functie twee etreme waarden heeft: De afgeleide is de functie f p ' ( ) 5 p Als de functie f() twee etreme waarden heeft, betekent dit dat de vergelijking f ' ( ) 0 twee oplossingen heeft. p De vergelijking f ' p( ) 0 kan opgelost worden met de ABC-formule. Er zijn twee oplossingen als de Discriminant (D) groter is dan 0. D p p D 0 ( ) p 0 0 4p 0 p 5 p 5 p 5 0

21 7.5 Toppen en snijpunten [4] Gegeven is de functie f ( p ) p k: y = 18 + q raakt de grafiek van f p in het punt A met A = 4. Bereken p en q Stap 1: Bereken de afgeleide van de functie f ( ) p 1 1 f ( ) p p p 1 1 f ( ) p ' p 5 p 5 5 p p 1

22 7.5 Toppen en snijpunten [4] Gegeven is de functie f ( p ) p k: y = 18 + q raakt de grafiek van f p in het punt A met A = 4. Bereken p en q Stap : Bereken p (Je weet dat de afgeleide van f p () in het punt A met A = 4 gelijk is aan 18). ' f p (4) p p p 7 p 8

23 7.5 Toppen en snijpunten [4] Gegeven is de functie f ( p ) p k: y = 18 + q raakt de grafiek van f p in het punt A met A = 4. Bereken p en q Stap 3: Bereken q (Bereken hiervoor de y-coördinaat van het punt A) f f 8( ) 8 8 (4) 16 dus A(4,16) k : y 18 q q 16 7q q 56 p 8 en q 56 3

24 f() = a n geeft f () = na n-1 7 Samenvatting Productregel: De afgeleide van p() = f() g() bereken je met: p () = f () g() + f() g () Quotiëntregel: De afgeleide van q() = q'( ) n( ) t'( ) t( ) n'( ) ( n ( )) t( ) n ( ) wordt nu: y = ( + 6) kun je schrijven als: y= u met u = + 6 Kettingregel: dy dy du d du d 4