Paragraaf 10.1 : Snelheden en raaklijnen

Transcriptie

1 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van Paragraa 0 : Snelheden en raaklijnen Les Helling tssen twee pnten Deinities Dierentieqotiënt = { Gemiddelde helling } Dierentieqotiënt = { rc van de lijn door deze twee pnten} Dierentieqotiënt op interval [a, b] = Δy = y b y a Δ b a Helling = Snelheid bijv m/s Voorbeeld Gegeven is de nctie = + a Bereken het dierentieqotiënt op [,] b Bereken de gemiddelde helling / snelheid op [-,-] Oplossing y y y 9 7 a Dierentieqotiënt op interval [, ] = 8 Dit betekent dat als je één naar echts gaat, je met 8 omhoog gaat rc van de lijn door deze twee pnten y y y 9 5 b Gemiddelde helling / snelheid op [-, -] = 5 Voorbeeld Gegeven is de nctie = + Bereken de helling in =

2 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van Oplossing Een goede benadering is om een heel klein interval rond = te nemen en het dierentieqotiënt it te rekenen ds bijvoorbeeld op interval [ ;,0] =0,0 : Bereken bij beide -en de y-waarden : = y = + = 7 ds A =,7 =,0 y =,0 + = 7,00 ds B =,0 ; 7,00 Dierentieqotiënt op interval [ ;,0] = y y,0,0 y Ds de helling in = is 7,00 7 0,00,0 0,0 0,0 Opmerking Soms moet je eerst een raaklijn tekenen Pak twee pnten van deze raaklijn en bereken daarmee de helling in dat pnt Als Δy Δy > 0 is de ormle stijgend Is < 0 dan is de ormle dalend Δ Δ

3 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van Les : Raaklijn opstellen Stappenplan raaklijn bij = : Algemene vergelijking van een lijn en ds ook van een raaklijn y = a + b Bereken de y-coördinaat Bereken de a = rc met knop dy/d op GR Bereken b door, y en a in te vllen bij y = a + b 5 Gee de vergelijking van de raaklijn Voorbeeld Gegeven is de nctie = + 0 Bepaal de raaklijn in = Oplossing Algemene vergelijking raaklijn y = a + b y = = 9 Y = -+0 Calc dy d a = 9 Je weet y = 9 + b Je weet ook,9 invllen 9 = 9 +b ds b = -8 5 Ds raaklijn : y = 9 8

4 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van Paragraa 0 : Raaklijnen en Hellinggraieken Les : Verband tssen en Deinities = { de hellinggraiek van } Voorbeeld Gegeven is de graiek hierbeneden a Stel dat is de graiek van Teken op basis hiervan b Stel dat is de graiek van g Teken op basis hiervan g

5 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina 5 van Oplossing a In de toppen is = 0 Ds bij = - en =,5 Links van = - is de graiek stijgend Ds is positie Rechts van =,5 is de graiek stijgend Ds is positie Tssen = - en =,5 is de graiek dalend Ds is negatie Dit geet :

6 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van b Waar g = 0 zijn bij g toppen Ds bij = -, = - en = Links van = - en tssen - en is g is negatie Ds is de graiek daar dalend Rechts van = en tssen - en - is g is positie Ds is de graiek daar stijgend Dit geet :

7 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina 7 van Les : Dierentieren Als je iedere keer de helling moet bepalen op deze manier, dan is dat erg veel werk Dit is al door iemand gedaan Deze techniek heet dierentiëren Deinities Dierentiëren = { Hellingnctie berekenen } Ageleide bepalen = { Hellingnctie berekenen } Dierentieerregels Hoodregel dierentiëren : = a n = a n n- Hlpregel : = a = a Hlpregel : = a = 0 Voorbeeld Dierentieer a = b = + 7 c = d = 7 + e = a + + a Oplossing Dierentieer a = b = + 0 = c = 5 + d = 7 + = 8 + = + + = e = a = a +

8 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina 8 van Paragraa 0 : Raaklijnen en etreme waarden Voorbeeld Gegeven is de nctie = 9 + a Bereken algebraïsch de helling in = b Bereken algebraïsch de coördinaat waar de helling gelijk is aan -9 c Bereken algebraïsch de raaklijn in = d Bereken algebraïsch de coördinaten van de top Oplossing a = 8 + Helling in = is = 8 + = 90 b = - ds 8 + = -9 8 = -5 = -½ y = = 9-½ + -½ = -75 Coördinaat A = -½, -75 c Neem het stappenplan erbij Alleen stap kan n sneller : Algemene vergelijking raaklijn y = a + b y = = 08 = 8 + ds a = = 7 Je weet y = 7 + b Invllen van,08 geet : 08 = 7 +b b = - 5 Ds raaklijn : y = 7 d In de top geldt : HELLING = 0 = 0 = 8 + = 0 8 = - = - y = - = - Maak een schets Dan zie je dat dit een minimm is dalparabool Opmerking Soms wordt in plaats van de notatie d d gebrikt

9 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina 9 van Paragraa 0 : De ageleide van y = a n Voorbeeld Dierentieer en schrij zonder minmachten en gebroken machten ½ etc o gebrik eventeel de qotiëntregel : i d h c g b a Oplossing QR mooier kan niet i d h h c g g b a

10 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina 0 van Paragraa 05 : Etra regels dierentiëren PR / QR / KR Les : Prodctregel en Qotiëntregel Deinities Er zijn voorlopig twee hlpregels bij dierentiëren : Prodctregel : h g h g g t n t t n n at t an Qotiëntregel : n n n Voorbeeld Dierentieer a h 5 b 9 Oplossing a = = g = + 5 g = h = +5 + = = b t = t = n = n = h 9 9 9

11 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van Les : De Kettingregel Voorbeeld Dierentieer de nctie = 7 Poging : haakjes wegwerken Je haalt de haakjes weg Maar dat is niet te doen!!! Poging : De Kettingregel gebriken Deze nctie bestaat eigenlijk it twee delen : Stel = - 7 Kettingregel : = Oplossing Neem = = Dan is = 7 = 7 = = 7 = 7 Voorbeeld Dierentieer de nctie = 5 + en toon aan dat dit te schrijven is als 5 7,5 Oplossing

12 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van Opmerking Kettingregel De itleg van de kettingregel is als volgt : Je knt de ageleide ook schrijven als = d Dit geet : = d = d d = d d = d d = d d = d d d d d d d d d Ds = d

13 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van Les : De Kettingregel samen met de Prodctregel PR o Qotiëntregel QR Soms krijg je meerdere regels gecombineerd Er geldt dan de volgende regel Eerst PR o QR toepassen Dan pas de kettingregel toepassen kan ook binnen de QR o PR nodig zijn Voorbeeld Dierentieer de nctie = en toon aan dat dit te schrijven is als 9 8 Oplossing Eerst de prodctregel geet : g = g = h = h =??? Eerst de ageleide van n = bepalen met de kettingregel : n n n n N de prodctregel h g h g h h g g

14 Hoodstk 0 Dierentiëren V5 Wis A Pagina van En n nog mooier schrijven = = = =