wiskunde B havo 2019-II

Transcriptie

1 Een logaritmische en een eponentiële unctie De uncties en g worden gegeven door: 1 en g 1 ( ) 4 3 ( ) 8 log 4 1 p de graiek van ligt een punt met -coördinaat 13. Dat is het punt. p de graiek van g ligt ook een punt met -coördinaat 13. Dat is het punt B. Zie de iguur, waarin het lijnstuk B vet weergegeven is. iguur 13 B g 6p 1 Bereken eact de lengte van lijnstuk B. De graiek van g ontstaat uit de graiek van de standaardunctie log ( ) door een horizontale en een verticale translatie. Door het unctievoorschrit van g te herleiden tot de vorm g ( ) log( a) b kun je op eacte wijze berekenen om welke horizontale en verticale translatie het gaat. 3p Bereken op eacte wijze door welke horizontale en verticale translatie de graiek van g ontstaat uit de graiek van de standaardunctie log ( ). 1

2 Hoe lang is DE? Gegeven is driehoek BC met B 11, BC 8 en C 5. Het punt D ligt op zijde B, zo dat lijnstuk CD loodrecht op zijde B staat. Het punt E ligt op zijde C, zo dat lijnstuk DE evenwijdig is met zijde BC. Zie de iguur. iguur C 5 8 E D 11 B 6p 3 Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk DE. Gee je eindantwoord in twee decimalen.

3 Viscositeit Er wordt veel onderzoek gedaan naar de viscositeit van vloeistoen. De viscositeit van een vloeisto is een getal dat aangeet hoe stroperig die vloeisto is: hoe groter de viscositeit, hoe stroperiger die vloeisto. Suiker kun je in water oplossen. De concentratie suiker bepaalt de viscositeit van de vloeisto die zo ontstaat. an het begin van de twintigste eeuw is het volgende theoretische verband ageleid tussen de concentratie suiker en de viscositeit: 1 0,5C V 4 (1 C) Hierin is V de viscositeit en C de concentratie suiker. Hierbij wordt met een concentratie van bijvoorbeeld C 0,3 bedoeld dat het volume van de suiker 30% van het totale volume van de vloeisto is. Tessa heet een glas water gekregen waarin suiker is opgelost. De concentratie suiker in het water is 0,17. Vervolgens voegt ze nog meer suiker toe. Na deze toevoeging blijkt de viscositeit verdubbeld te zijn. 4p 4 Bereken de concentratie suiker in het water na deze toevoeging. Gee je eindantwoord in twee decimalen. ngeveer gelijktijdig met de vondst van de ormule voor V stelde de scheikundige Emil Hatschek een lineaire ormule op voor het verband tussen de viscositeit en de concentratie suiker: Vlin ac b Hierin is V lin een benadering van V. Voor dit lineaire verband geldt: a V' (0) en b V(0). De waarde van V' (0) kan benaderd worden door het dierentiequotiënt V op een heel klein interval. C 0; 0,001 een ormule op voor V lin. Gee de getallen in je eindantwoord zo nodig in één decimaal. 3p 5 Stel met behulp van het dierentiequotiënt op het interval 3

4 Twee toppen en twee evenwijdige lijnen De unctie wordt gegeven door Voor de ageleide unctie van geldt: 3 ( ) (3) ' ( ) p 6 Bewijs dat inderdaad geldt: ' ( ) De graiek van heet twee toppen. Dit zijn de punten en B. De lijn k is de lijn door en B. iguur l k Het punt P (1, ) ligt op de graiek van. De lijn l is evenwijdig aan lijn k en gaat door P. B Lijn k snijdt de -as in punt K en de -as in punt M. Lijn l snijdt de -as in punt L en de -as in punt N. Vanwege de evenwijdigheid van lijn k en lijn l is driehoek KM gelijkvormig met driehoek LN. P Zie de iguur. N L K M Lijnstuk KM is z keer zo lang als lijnstuk LN. 7p 7 Bereken eact de waarde van z. 4

5 NK Tegenwindietsen m tegen de wind in te ietsen, moet je link hard trappen. In deze opgave gaan we ervan uit dat de snelheid van een ietser constant is en dat de snelheid van de tegenwind constant is. ls je op een vlakke weg tegen de wind in ietst, moet je vermogen leveren. Je kunt dit vermogen als volgt berekenen: vlak P 0,00386v vv wind Hierin is P vlak het vermogen in watt (W), v de snelheid van de ietser in km/uur en v wind de snelheid van de tegenwind in km/uur. Zowel v als v wind zijn positie. Elk jaar wordt als het hard genoeg waait het NK (Nederlands Kampioenschap) Tegenwindietsen georganiseerd. Hierbij ietsen de deelnemers 8,5 km tegen de wind in. oto 1 In 016 werd het NK Tegenwindietsen gewonnen door Teun Sweere in een tijd van minuten en 30 seconden bij een tegenwind met een snelheid van 80 km/uur. Stel dat Sweere bij een toekomstige deelname aan het NK Tegenwindietsen een tegenwind heet met een snelheid die 5% groter is dan in 016, maar dat hij met dezelde snelheid wil ietsen als in 016. Hij zal dan een groter vermogen moeten leveren dan tijdens de wedstrijd in p 8 Bereken hoeveel procent méér vermogen hij dan zou moeten leveren. Gee je eindantwoord als een heel getal. 5

6 Wanneer je bergop ietst, moet je ook link wat vermogen leveren. We gaan er in de rest van de opgave vanuit dat er bij bergop ietsen geen wind is. ok nemen we aan dat de berg overal even steil is. oto Het vermogen dat een ietser moet leveren bij bergop ietsen, kun je dan als volgt berekenen: P mhv bergop 0,073 Hierin is P bergop het vermogen in watt (W), m de totale massa van de ietser en zijn iets in kg, h het hellingspercentage van de weg en v de snelheid van de ietser in km/uur. In Zuid-Limburg ligt de Keutenberg. De weg naar de top is 1, km lang en heet een hellingspercentage van 5,9%. Ibrahim is een amateurwielrenner. Hij legt de weg naar de top van de Keutenberg a met een vermogen van 10 W. De massa van Ibrahim en zijn iets is in totaal 7 kg. 4p 9 Bereken hoe lang Ibrahim over de beklimming doet. Gee je eindantwoord in gehele minuten. De lpe d Huez is een berg in Frankrijk die zeer bekend is van de Tour de France. De weg naar de top heet een lengte van 13,4 km en een hellingspercentage van 8,4%. Tom wil de lpe d Huez met zijn raceiets beklimmen. Hij heet zich als doel gesteld om dat met een snelheid van 19 km/uur te gaan doen. ls onderdeel van zijn training neemt hij deel aan het NK Tegenwindietsen, waarbij de wind een snelheid heet van 70 km/uur. Hij wil daarbij evenveel vermogen leveren als hij bij de rit op de lpe d Huez moet leveren om zijn doel te halen. Tom en zijn raceiets hebben samen een massa van 78 kg. 3p 10 Bereken de snelheid waarmee Tom moet ietsen bij het NK Tegenwindietsen in km/uur. Gee je eindantwoord in één decimaal. 6

7 Een cirkel en uncties met een wortel De unctie wordt gegeven door ( ) 1 4. De lijn l is de raaklijn aan de graiek van in het punt (4, 9). Verder is gegeven de cirkel c met vergelijking ( ) ( 1) 8. Zie iguur 1. iguur 1 l c Lijn l en cirkel c raken elkaar. 6p 11 Bewijs dit. 7

8 Cirkel c heet twee snijpunten met de -as. Een van die twee punten ligt onder de -as. Dit is het punt S. Zie iguur. De unctie g heet een unctievoorschrit van de vorm g ( ) p q. De graiek van g heet S als randpunt en gaat bovendien door. In iguur is ook de graiek van g weergegeven. iguur g c S 5p 1 Bereken eact de waarden van p en q. 8

9 Sinusoïde en lijn De unctie wordt gegeven door ( ) 1sin( 1 ). De graiek van is in iguur 1 weergegeven. iguur 1 6 π Er zijn vier waarden van in het interval 0 waarvoor geldt ( ) 1. 6p 13 Bereken eact deze vier waarden van. De graiek van raakt de -as in oneindig veel punten. Van deze raakpunten is het punt het punt met de kleinste positieve -coördinaat. Door gaat een stijgende lijn l die een hoek van 75 met de -as maakt. Punt B is het snijpunt van lijn l met de -as. Zie iguur. iguur 75º π l B 5p 14 Bereken de astand tussen en B. Gee je eindantwoord in twee decimalen. 9

10 We bekijken nu de unctie g. Deze heet de volgende eigenschappen: De graiek van g is een sinusoïde. De periode van de graiek van g is drie keer zo klein is als de periode van de graiek van. De amplitude van de graiek van g is vier keer zo klein als de amplitude van de graiek van. Een laagste punt van de graiek van g valt samen met het snijpunt van de graiek van met de -as. Zie iguur 3. iguur 3 g π Functie g heet een unctievoorschrit van de volgende vorm: g ( ) dacos( b) Hierin zijn a, b en d getallen. 5p 15 Bereken eact voor elk van deze drie getallen een mogelijke waarde. 10

11 Viaduc de Garabit Het Viaduc de Garabit is een spoorbrug die tussen 1880 en 1884 over de rivier de Truère in Frankrijk is gebouwd. Zie de oto. oto De onderste boog is bij benadering een deel van een parabool. We plaatsen de parabool in een assenstelsel, zodanig dat het beginpunt van de boog zich in de oorsprong bevindt. Zie de iguur. Verder is de astand tussen beginpunt en eindpunt van de boog 165,00 m en bevindt de top van de onderste boog zich 51,858 m boven de -as. iguur De parabool is te beschrijven met een ormule van de vorm a b. 5p 16 Bereken algebraïsch de waarden van a en b. Gee je eindantwoord in vier decimalen. 11