Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Transcriptie

1 Eamen HAVO 06 tijdvak donderdag 3 juni 3:30-6:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 75 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg o berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg o berekening ontbreekt. Gee niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geet meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. HA o

2 Drie snijpunten 3 3 De unctie is gegeven door ( ) = De graiek van snijdt de -as achtereenvolgens in de punten A, B en O. Zie de iguur. iguur A B O 3p Onderzoek o AB en BO even lang zijn. Verder is gegeven de horizontale lijn l met vergelijking = p. De graiek van snijdt l in drie punten. 4p Bereken voor welke waarden van p dit het geval is. Rond de getallen in je antwoord a op drie decimalen. HA o / lees verder

3 Adakje In de zijgevel van een lat zit een cirkelvormig raam met daarboven een adakje. De diameter van het raam is 0 cm. Het middelpunt van het raam zit op 4 cm boven de grond. De uiteinden van het adakje bevinden zich 36 cm boven de grond en liggen 505 cm uit elkaar. Het laagste punt van het adakje bevindt zich 6 cm boven de grond en 9 cm links van het middelpunt van het raam. Er wordt een assenstelsel aangebracht zodanig dat het middelpunt van het raam samenvalt met de oorsprong. De eenheden in dit assenstelsel zijn in cm. Zie de iguur, waarin bovendien een aantal maten is gegeven. iguur De onderrand van het adakje heet de vorm van een deel van een cirkel. Zie de iguur. Uit de gegevens volgt dat de straal van deze cirkel agerond op hele cm gelijk is aan 67 cm. 4p 3 Toon dit op algebraïsche wijze aan. 4p 4 Bereken de astand tussen het adakje en het raam. Gee je antwoord in gehele cm nauwkeurig. HA o 3 / lees verder

4 Dicht bij elkaar Op het domein 0, zijn de uncties en g gegeven door + 4 ( ) = en g ( ) =. Voor steeds groter wordende waarden van komen de graieken van en g steeds dichter bij elkaar. Zie iguur. iguur g O Voor bepaalde waarden van geldt: ( ) g( ) < 4p 5 Bereken eact voor welke waarden van dit het geval is. Ondanks dat de graieken van en g voor steeds groter wordende waarden van steeds dichter bij elkaar komen, snijden ze elkaar niet. 4p 6 Toon op eacte wijze aan dat de graieken van en g elkaar niet snijden. 00 HA o 4 / lees verder

5 De lijn l met richtingscoëiciënt 3 raakt de graiek van in het punt R. 4 Het punt S is het snijpunt van l met de -as. Zie iguur. iguur R S l O 6p 7 Bereken eact de -coördinaat van S. Het punt T (, 3) is de top van de graiek van. De graiek van wordt ten opzichte van de -as vermenigvuldigd met een actor a. Hierdoor ontstaat de graiek van een unctie h. Het punt P is de top van de graiek van h. Er geldt OP = 5. 4p 8 Bereken eact de mogelijke waarden van a. HA o 5 / lees verder

6 Energieverbruik Sinds het begin van de industriële revolutie is het totale jaarlijkse energieverbruik in de Verenigde Staten (VS) nagenoeg eponentieel toegenomen. E is het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar. In iguur is voor een aantal jaren log( E ) aangegeven. Figuur staat ook vergroot op de uitwerkbijlage. iguur 0 log (E) jaar eajoule is gelijk aan 0 8 joule. 4p 9 Bepaal met behulp van de iguur op de uitwerkbijlage het totale energieverbruik in de VS in het jaar 950 in hele eajoules nauwkeurig. Licht je antwoord toe. HA o 6 / lees verder

7 De punten in iguur liggen bij benadering op een rechte lijn. Deze lijn l is in iguur getekend. iguur 0 log (E) l jaar Een ormule voor lijn l is: ( E) log = 0,05t+ 5,8 Hierin is E het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar en t het aantal jaren met t = 0 voor het jaar p 0 Bereken in welk jaar volgens de ormule in de VS voor het eerst meer dan 3,0 0 0 joule aan energie zal worden verbruikt. Een onderzoeker voorspelt dat het wereldwijde energieverbruik na 00 eponentieel groeit, waarbij het elke honderd jaar tien keer zo hoog wordt. Op januari 00 was het wereldwijde energieverbruik, 0 3 joule per seconde. De aarde ontvangt van de zon veel meer energie, maar liest,7 0 7 joule per seconde. Als alle energie die de aarde van de zon ontvangt door de mens gebruikt zou kunnen worden, dan zouden we nu theoretisch gezien alleen met zonne-energie kunnen volstaan. Volgens bovengenoemde voorspelling zullen we in de toekomst op een gegeven moment toch meer energie verbruiken dan de aarde van de zon ontvangt. 4p Bereken over hoeveel eeuwen dit volgens deze voorspelling het geval zal zijn. HA o 7 / lees verder

8 Sinusoïden Op het domein 0, 5 π is de unctie gegeven door ( ) = cos π. Zie iguur. ( ) 8 iguur 0 ϖ ϖ - - 3p Bereken eact de -coördinaat van het snijpunt van de graiek van met de -as. De punten A en B zijn de toppen van de graiek van. Lijn k gaat door A en B. Zie iguur. iguur A k 0 ϖ ϖ - - B De coördinaten van A en B zijn ( π 9 ) en ( ) 4, Een vergelijking voor k is = + 5. π π,. 4 p 3 Toon aan dat deze vergelijking voor k met behulp van de coördinaten van A en B opgesteld kan worden. HA o 8 / lees verder

9 Op hetzelde domein is de unctie g gegeven door g ( ) sin ( ) De toppen van de graiek van g liggen ook op k. Zie iguur 3. = π. 4 iguur 3 A k g 0 ϖ ϖ - - B 5p 4 Toon dit met eacte berekening aan. HA o 9 / lees verder

10 Het midden en de top De unctie is gegeven door ( ) ( )( 5 5) = + +. De graiek van snijdt de positieve -as in de punten A en B. Het punt M is het midden van lijnstuk AB. Zie iguur. iguur M O A B De -coördinaat van M is gelijk aan. 4p 5 Toon dit met eacte berekening aan. Het punt C is een top van de graiek van. De verticale lijn door M gaat niet door C. Zie iguur. iguur = _ M O A B C 5p 6 Bereken eact het verschil tussen de -coördinaten van M en C. HA o 0 / lees verder

11 Monte Etna De vulkaan Etna op Sicilië is vana de Middellandse Zee zichtbaar. De hoogte van de Etna kan worden bepaald door middel van een zogeheten driehoeksmeting. Vana een boot op zee wordt twee keer de hoek gemeten waaronder de top T van de Etna te zien is. Eerst wordt hoek α= 5,3 gemeten, vervolgens wordt 0 km in een rechte lijn richting de Etna gevaren en hoek β = 7,4 gemeten. Zie de iguur, waarin ook de hoogte h van de top T ten opzichte van de Middellandse Zee is weergegeven. Deze iguur is niet op schaal. iguur T h A α = 5,3º 0 km B β = 7,4º In dit model worden de kromming van de aarde en de ooghoogte van de waarnemer boven de zee verwaarloosd. 5p 7 Bereken de hoogte van de Etna ten opzichte van de Middellandse Zee. Gee je antwoord in tientallen meters nauwkeurig. Let op: de laatste vraag van dit eamen staat op de volgende pagina. HA o / lees verder

12 Twee parabolen De unctie is gegeven door ( ) = 6. De graiek van snijdt de -as in de oorsprong en in het punt A. De graiek van de unctie g raakt de -as in A en gaat door de top T van de graiek van. Zie de iguur. iguur O T A g De graiek van g is een parabool. 7p 8 Bepaal op eacte wijze een unctievoorschrit voor g. einde HA o / lees verder