Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-I

Transcriptie

1 Eindeamen wiskunde - vwo 6-I Sauna m 5. uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vana dat moment,9t wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: St ( ) e. Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vana 5. uur. De thermostaat van de sauna is ingesteld op C. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt het opwarmen gestopt. Vana dat moment wordt de temperatuur constant gehouden. In iguur staat de graiek van S. iguur S 6 4,5,,5,,5 t 4p ereken hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Gee het tijdstip in minuten nauwkeurig. 4p ereken met behulp van dierentiëren de snelheid waarmee de temperatuur in de sauna toeneemt om 6. uur. Gee je antwoord in tienden van graden Celsius per minuut. m bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna nodig heet om deze temperatuur te bereiken, kun je een ormule gebruiken die t uitdrukt in S. 4p 3 Druk t uit in S. osbouwprojecten Wereldwijd bestaan bosbouwprojecten waarin geïnvesteerd kan worden. Er wordt elk jaar teakhout aangeplant dat na jaar gekapt wordt. m beleggers te interesseren wordt van verschillende projecten inormatie gepubliceerd over de gemiddelde opbrengst in kubieke meter per hectare. ij European Trees is de gemiddelde opbrengst normaal verdeeld met verwachtingswaarde m 3 /ha en standaardawijking 33 m 3 /ha. 4p 4 ereken de kans dat bij European Trees de gemiddelde opbrengst meer dan % awijkt van de verwachtingswaarde van m 3 /ha. ij Earthbound is de gemiddelde opbrengst ook normaal verdeeld. De verwachtingswaarde van de gemiddelde opbrengst is 95 m 3 /ha. De kans op een gemiddelde opbrengst van minder dan 9% van de verwachtingswaarde is slechts,. 4p 5 ereken de standaardawijking van de gemiddelde opbrengst voor Earthbound. www. - -

2 Eindeamen wiskunde - vwo 6-I edekken Een geodriehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. We plaatsen twee geodriehoeken met een lange zijde van 6 cm in een rechthoekig assenstelsel met eenheid cm op de manier die in iguur (verkleind) is getekend. De top van de linker driehoek heet de coördinaten (, ). De top van de rechter driehoek heet de coördinaten (, ). iguur De linker driehoek begint op tijdstip t = naar rechts te schuiven over de rechter driehoek met een snelheid van cm/s. Daarbij wordt een gedeelte van de rechter driehoek door de linker driehoek bedekt. De tijd t wordt gemeten in seconden. In iguur 3 is de situatie voor een zeker tijdstip t getekend. unt heet dan de coördinaten (t, ). Het bedekte gebied is grijs gekleurd. iguur 3 De astand in cm tussen en op tijdstip t noemen we a(t). Er geldt: at ( ) 6t t. 3p 6 Toon dit aan. Het bedekte gebied op een tijdstip t tussen en 6 is een rechthoek. De oppervlakte in cm van deze rechthoek noemen we G(t). De zijden van de rechthoek zijn ook rechthoekszijden van gelijkbenige rechthoekige driehoeken met lange zijden t en 6 t. Er geldt: 4p 7 Toon dit aan. Gt () t. t De oppervlakte G van het bedekte gebied neemt eerst toe en later a. De astand a tussen en neemt eerst a en later toe. 5p Leid met behulp van dierentiëren uit de ormules voor G(t) en a(t) a dat G en a op hetzelde tijdstip hun uiterste waarde bereiken. De oppervlakte G kan ook uitgedrukt worden in a. Er geldt: G c a waarbij a. 4p 9 ereken c. www. - -

3 Eindeamen wiskunde - vwo 6-I In een vierkant Van een vierkant C met zijde 4 ligt op de positieve -as en C op de positieve -as. Verder is gegeven de unctie ( ). De graiek van snijdt de zijde van het vierkant in het punt en de zijde C in het punt. Zie iguur 4. De raaklijn aan de graiek van in het punt met -coördinaat gaat door het punt. 5p Toon dit aan. iguur 4 C (,4) (4,) De graiek van verdeelt het vierkant in twee stukken. Eén van die stukken is in iguur 5 grijs gekleurd; dat stuk noemen we V. iguur 5 C (,4) V (4,) 4p ereken de omtrek van V in twee decimalen nauwkeurig. 4p Toon aan dat de oppervlakte van V eact gelijk is aan + ln 4. Voor de zijde van het vierkant kan ook een andere waarde dan 4 gekozen worden. Noem de zijde a. Zie iguur 6. iguur 6 C = a = a In iguur 6 is a zodanig gekozen dat de lijn C niet raakt aan de graiek van. Er is één waarde van a waarvoor C wel raakt aan de graiek van. 4p 3 ereken deze waarde van a eact. www

4 Eindeamen wiskunde - vwo 6-I Knock-out-ssteem Een spelprogramma op televisie telt bij aanvang 6 deelnemers. Het spel wordt gespeeld in vier rondes. In elke ronde nemen de spelers het in een spelletje van één-tegen-één tegen elkaar op. Van elk tweetal gaat de winnaar door naar de volgende ronde; de verliezer doet niet meer mee. In elke ronde wordt het aantal deelnemers dus gehalveerd; men spreekt van een knock-out-ssteem. De spelletjes zijn van zodanige aard dat de uitslag volledig bepaald wordt door het toeval. ij elk spelletje hebben beide spelers dus kans om te winnen. Voora wordt een speelschema opgesteld; zie iguur 7. iguur 7 speler nr ronde ronde ronde 3 ronde 4 (inale) Elke deelnemer krijgt door loting een nummer. Dit nummer is zijn plaats in het schema. oven in het schema zie je wie tegen wie speelt in de eerste ronde. Na de eerste ronde zijn er nog acht spelers over. De winnaar van de spelers en speelt in de tweede ronde tegen de winnaar van de spelers 3 en 4, enzovoort. In de vierde ronde wordt de inale gespeeld door de twee overgebleven deelnemers. Er nemen mannen en vrouwen aan het spelprogramma deel. 3p 4 ereken de kans dat de nummers tot en met 4 worden gegeven aan drie mannen en een vrouw. 4p 5 ereken de kans dat speler de inale speelt tegen speler 6 en speler deze inale wint. Een deelnemer speelt,, 3 o 4 rondes. 4p 6 ereken de verwachtingswaarde van het aantal rondes dat een deelnemer speelt. In een jaar is het spelprogramma 5 keer op de televisie geweest. Elke keer hebben er evenveel mannen als vrouwen meegedaan. Er is enige twijel o elke deelnemer wel evenveel kans heet om het spelprogramma te winnen. Misschien hebben vrouwen meer kans. Daarom wordt het aantal keren geteld dat een vrouw het spelprogramma won. Daarna berekent men de kans op dat aantal o een hoger aantal, aangenomen dat alle deelnemers evenveel kans hebben om het spelprogramma te winnen. Het aantal wordt abnormaal hoog gevonden als deze kans kleiner dan 5% is. 5p 7 ereken welke aantallen vrouwelijke winnaars abnormaal hoog worden gevonden. www

5 Eindeamen wiskunde - vwo 6-I ppervlakte van een trapezium In iguur staat een kwart van de eenheidscirkel, met (, ), (, ) en (, ). p tijdstip t = start een punt in en beweegt langs cirkelboog ; op tijdstip t heet de coördinaten (cos t, sin t). is de loodrechte projectie van op de -as. We bekijken de oppervlakte V van het trapezium op tijdstip t, waarbij t in het interval, ligt. iguur (cos t, sin t) De oppervlakte V van het trapezium is sint sin t. 4p Toon dit aan. 4 De waarde die V op tijdstip heet, wordt ook op een ander tijdstip aangenomen. 4 3p 9 ereken dit andere tijdstip in twee decimalen nauwkeurig. 5p ereken met behulp van dierentiëren voor welke waarde van t de oppervlakte V maimaal is. De oppervlakte van het trapezium iguur 9 verandert op het tijdsinterval, voortdurend. In iguur 9 is de graiek V getekend van V als unctie van t op dit tijdsinterval. k De gemiddelde oppervlakte van het trapezium over het tijdsinterval, noemen we k. In iguur 9 is de lijn k getekend. Er geldt: de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de graiek van V, de t-as en de lijn t is gelijk aan de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de horizontale lijn = k, de t-as, de -as en de lijn t. 6p ereken met behulp van integreren de eacte waarde van k. π t www