Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 20 mei uur

Transcriptie

1 Eamen HV 2015 tijdvak 1 woensdag 20 mei uur wiskunde Dit eamen bestaat uit 19 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. ls bij een vraag een verklaring, uitleg o berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg o berekening ontbreekt. Gee niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. ls er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geet meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. H-1025-a-15-1-o

2 Hangar Door constructies in de vorm van een bergparabool te gebruiken, kunnen grote gebouwen zonder inwendige steunpilaren gebouwd worden. Deze manier van bouwen werd begin vorige eeuw veel gebruikt voor de bouw van hangars, dat zijn loodsen voor bijvoorbeeld vliegtuigen. Zie de oto. oto De hangar op de oto is 175 meter lang. De opening in het vooraanzicht van de hangar heet de vorm van een parabool. In iguur 1 zie je deze parabool in een iguur 1 assenstelsel waarvan de -as op de grond gekozen is en de -as door de top gaat. Voor de coördinaten van de punten van deze parabool geldt bij benadering de volgende ormule: 0, ,6 Hierbij zijn en in meter. 2 p de grond is de breedte van de opening van de hangar ongeveer 86,0 meter. 3p 1 Laat met behulp van een berekening zien dat ook uit de ormule volgt dat deze breedte ongeveer 86,0 meter is. H-1025-a-15-1-o 2 / 9 lees verder

3 De inhoud van de hangar op de oto kan berekend worden met behulp van de ormule Inhoud oppervlakte opening lengte hangar. Voor de oppervlakte van het vlakdeel dat iguur 2 door de parabool en de -as wordt ingesloten geldt dat deze gelijk is aan twee derde deel van de oppervlakte van de rechthoek die hier precies omheen past. Zie iguur 2. 3p 2 ereken de inhoud van de hangar met behulp van de gegeven ormule. Gee je antwoord in duizenden m 3 nauwkeurig. De hangar op de oto is zo groot dat zels een oeing 747, lange tijd het grootste passagiersvliegtuig ter wereld, er met gemak in past. In 2012 was de irbus 380 het grootste passagiersvliegtuig ter wereld. De lengte van de irbus 380 is 72,8 meter. De maimale breedte van het ene vleugeluiteinde naar het andere van de irbus 380 is 79,8 meter. De hoogte boven de grond van de vleugeluiteinden is 11,0 meter. 4p 3 nderzoek o de irbus 380 in de lengterichting in de hangar past. H-1025-a-15-1-o 3 / 9 lees verder

4 Functie met sinus p het domein 0, 2π is de unctie gegeven door ( ) sin( ) (sin( ) 2cos( )). In iguur 1 zie je de graiek van. iguur 1 1 C D ϖ 2ϖ 2p 4 epaal met behulp van dierentiëren een unctievoorschrit van de ageleide unctie van. Het antwoord hoet niet vereenvoudigd te worden. Een unctievoorschrit van de ageleide unctie ' is ook ' ( ) sin(2 ) 2cos(2 ). Het punt (π,0) ligt op de graiek van. De raaklijn in aan de graiek van snijdt de graiek van in het punt. Zie iguur 2. iguur 2 1 2ϖ 6p 5 ereken de -coördinaat van in twee decimalen nauwkeurig. De graiek van is te beschrijven met een ormule van de vorm psin( q( r)) s. 8p 6 epaal mogelijke positieve waarden van p, q, r en s. Licht je werkwijze toe. Rond je antwoorden zo nodig a op twee decimalen. H-1025-a-15-1-o 4 / 9 lees verder

5 Theedoosje Theezakjes zitten soms per stuk in een doosje verpakt. Zie de oto. oto Het theedoosje op de oto heet de vorm van een prisma. De voor- en achterkant zijn gelijkbenige trapezia en de beide zijkanten zijn rechthoeken. Het doosje heet een hoogte van 42 mm, de onderkant is een rechthoek met lengte 41 mm en breedte 20 mm, en de bovenkant is een vierkant met zijden van 20 mm. In onderstaande iguur zie je een tekening van het theedoosje, met de hoekpunten,, C, D, E, F, G en H. De in de iguur vermelde ametingen zijn in mm. iguur 20 E H 20 F G 42 D 41 C 20 2p 7 Teken op ware grootte het bovenaanzicht van het theedoosje. 4p 8 Teken op ware grootte een uitslag van CD.EFGH. Zet bij elk hoekpunt de juiste letter. Verwaarloos de dikte van het materiaal waarvan het doosje gemaakt is. 4p 9 ereken de inhoud van het theedoosje. Gee je antwoord in een geheel aantal cm 3. H-1025-a-15-1-o 5 / 9 lees verder

6 Graiek met lijnstuk De unctie is gegeven door Voor de ageleide van geldt: 4 ( ) ' ( ) (3 1) 2 4p 10 Toon dit laatste met behulp van dierentiëren aan. p de graiek van liggen de punten en met 1 en 3. Zie de iguur. iguur p de graiek van ligt tussen de punten en het punt C waarin de raaklijn aan de graiek van evenwijdig is aan het lijnstuk. 7p 11 ereken eact de -coördinaat van C. H-1025-a-15-1-o 6 / 9 lees verder

7 Geluidsbo p de oto is een bolvormige geluidsbo te zien. We gaan ervan uit dat deze geluidsbo in alle richtingen evenveel geluid produceert. Hierbij neemt de zogeheten geluidsintensiteit a naarmate men verder van het middelpunt van de geluidsbo verwijderd is. In deze opgave gaan we uit van een geluidsbo die in een open ruimte staat. oto Voor de geluidsintensiteit I in watt per m 2 geldt de volgende ormule: I P 2 4πr Hierin is r de astand in meter tot het middelpunt van de geluidsbo en P is het vermogen van het door de geluidsbo geproduceerde geluid in watt. p 5 meter van het middelpunt van de geluidsbo wordt een geluidsintensiteit van 10 7 watt per m 2 gemeten. 4p 12 ereken de geluidsintensiteit op 1 meter van het middelpunt van de geluidsbo. Men gebruikt ook vaak het geluidsniveau L in plaats van de geluidsintensiteit I in watt per m 2. Het geluidsniveau L wordt uitgedrukt in decibel. Het verband tussen I en L wordt gegeven door de ormule: 12 L 10 log(10 I) ls de geluidsintensiteit tweemaal zo groot wordt, dan stijgt het geluidsniveau met een vast aantal decibel. 4p 13 ereken dit vaste aantal decibel. Rond je antwoord a op een geheel getal. Een bolvormige geluidsbo produceert geluid met een vermogen van 30 watt. ij een geluidsniveau van 80 decibel o meer kan er schade aan het gehoor ontstaan. 6p 14 ereken op algebraïsche wijze tot welke astand vana het middelpunt van de geluidsbo er schade aan het gehoor kan ontstaan. Rond je antwoord a op een geheel aantal meters. H-1025-a-15-1-o 7 / 9 lees verder

8 (G)een eponentiële unctie De unctie is gegeven door ( ) 2 2 vergelijking 16. Zie de iguur Verder is gegeven de lijn l met iguur l De graiek van heet twee snijpunten met l. 3p 15 ereken de -coördinaten van deze punten. De unctie heet een minimum. ls de eponent van 2 in de uitdrukking minimaal is, dan is ook ( ) minimaal. 3p 16 ereken eact het minimum van. H-1025-a-15-1-o 8 / 9 lees verder

9 De oppervlakte van driehoek C De unctie is gegeven door ( ) 2 3. Voor de ageleide van geldt: ' ( ) p 17 Toon dit laatste met behulp van dierentiëren aan. De lijn k raakt de graiek van iguur 1 in het punt (3, 9). Punt is het snijpunt van k met de -as. Zie iguur 1. De -coördinaat van is p 18 Toon dit op algebraïsche wijze aan. k Punt C is het beginpunt van iguur 2 de graiek van. In iguur 2 is driehoek C grijs gemaakt. 4p 19 ereken eact de oppervlakte van driehoek C. C k einde H-1025-a-15-1-o 9 / 9 lees verder