Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen"

Transcriptie

1 Toets <F5> om inhoudsopgave (bladwijzers) wel/niet te tonen Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen! " #$ % & '&() '*& ) '#! " #" ),-. % / / % & * 5 5 & % ( 5( &* 4( && 6&( ( 6& 5 ( 4( ( * ( - & &4 * % 6 * 7 ') & 5 * * 8 & & $)"* $)"* '8 )'8 *) 8 8 * )!$)* & ( * - & (% * 6&7 & * & * & & & % & &5 & &5 & &5 ( & & vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

2 & 2 &( 4 & & ( & &54* 4 &54* 4 &54* 5* 4 4 & & ' &)' ) ' & ) & % ') & &5 & & 8') ' 5 &4 4) & & & & 9') ('* 5 5) 5( &5 & & 5 & ') '4 & ( &) 4 ( & & '& 4)' 5) ( 5 & & % ') '& 4 &) & & - # & & & & & # '!"#") : ;---;3 22< % (1 < ;.1 ->%;' ()1 23 -;-;< & - 7 ' )'5)2 ( 2 < #2 ') ( > ( 5 & % &> -. & % -% 4 8 ') 4 - '5) ( > ( % ( /.%;#%-'*) * ( % 7 % ( ') ( ( vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

3 Uitwerkingen bij 1_1 Helling berekenen! " # # # #, 20, , ,00125 m/s 4, , 001 $ % &''(!( ' )#*# - ( # # # #. # # # # #//# #//# # # 0 $ ' " ( ' # 2# 2 # 0 '3 4 3# 0 '34 3. # vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

4 ,567,56 7,6 7 # 6*7 8 3/ 8 / %! '! (.!& 567! '. $ :1"4:1"493'(69;;7 < 4 '( 2 2 # 2 2 > 567 # > 567 vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

5 Uitwerkingen bij 1_2 Machtsfuncties differentiëren! " " # $%&%$'() * ', - *$.-'./- &( " " -" -" " '( '$ '2 2 '2 '2 2 '2 2 '2 2 '2 2 '2 2 '2 2 '2 2 - '2-2! $2 2 vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

6 '! 3 3 &$'*'- $('&$&$'*$ # " ' 0-0- ($*$1 # '$*'($$&*'('( $2 2-2 "2.- $ ( '-%$*$-%$ )#( g '( x) 5 f '( x) '2 2 " "! " 0-0! " " ' 0 #(0 ($ 6 0 ( ( 7 0- #(, 6 7*$ vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

7 Uitwerkingen bij 1_3 Veeltermfuncties differentiëren "! #" " #$ # %& %& %& '%& '%& '%& ( " $%(& '%(& ( )'%(& * '%"& ")'%"& $%"&,*%"&-)%"&,"-, $%."&,*%."&-)%."&,."-, $'%(& ( $ / '%& 0 " $'%(& 1( 1( '%& 0" 4'%(& ( "( vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

8 " 5 %6& 6 6 1* 5 '%6& "6 " %& 1 * '%& " " " " 7 %& " "1 * 7 '%& 1 % & "20 "20) 1) " " '%& 2 "* '%& '%"& 97 "6 # $ %&,*%&,"*") # " ",8 ". 94%"&, " :" " -" "-, " " "6 6 6 "6 " " 95 ' 6 "6 95 ' 6 95 %& 2" 95 % & 21 # ; ( 2"<)$ " $'%(& "( '%(& ( " "( ( *"(:( ",*(%":(&,* ( $ ( " ; $) $<)<!$) $' ' $%(&,"(*>,"( B>",7!9/ ) ) < C ( 1$( "" vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

9 Uitwerkingen bij 1_4 Hellingen en raaklijnen! "#! " $ % & &' '"! " " " (! ) " " ' %*! " ) " ' #,!, $! %'' '-'-./, 0/ #! ) # ' 1! $* ( 2!,!,! 3 % ''' '-2'- ) ' % '- '-., 4!! ) ' % '-., %..1 5 (! ( ( $ 5! $. ( ( ( ( ( ( ( $( (6!/ % ( ( % "! ( vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

10 . ""#"" " "#", 7 ( "!'''" #" ) " "#" ' 8# '- '-. "#", 8# ) "#", 8# ', " -( " $! 5' )! '! 8 8 ' '8 ( /8 -/ / 8 vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

11 Uitwerkingen bij 1_5 Uiterste waarden!"#$% &' ( )!!!*, -.,,/ 0 1 ' 23 #4 ' 203' *) *!/ /% - : ; 1 ; ;! ;37<1/ vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

12 ! % !33# % -,, 7 ;: : 1: ;2:3: 1: 3: :3 : : % -,,- ; > : -,/ 5 ) 1 < - / &-! 1 < 7? ) 70 / A7 7? 9 & & /// & *.! - / <1 7 <1 7 <1 7! <1 7 <1 7 7 <7<! 7 <! / vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

13 Uitwerkingen bij 1_6 Verwerken en toepassen!"##"!# $ % & & # $ ' & ' ( # &##) * "#',-) & #&##&. &.&#) vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

14 % "/# ' / ' & &# / 0 &##&# /!"#& &# /) 1 &/&#/#& ##) 2!#&3& /&#"#####" 4& ""## /4"#) 0 /5 # /&##) #) ' : #!#"#! 6 "# 3 &#& ; 4!#) ' 3 4!#"# )( #< ) # 0!! #4!## #) (% # < 0!4!# #) % > % /!>!5 /% &3& ) A > % ; % A > > % > ; 4!##&3& ) 0 & # # A ; % A ; ; ' % ; ; > ( ## &3& > ) % > > > > ) ' % ; ; ; 6 ##: &3&& ( #! B < vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

15 Uitwerkingen bij Testbeeld!"!" # $ # % # $ % # # $ % % &'$ ( ) #* & &$$,,$ $- $%$ &$ '.( *( % '. * -* - * / %$ &$$% -. * * * $$. %. 0" % %$ * 2# 3 "*% && vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

16 '.( * (. 4 # 4. # % ) ).5 # '( (( ( ( ( ( '.( ( ( 6 ( ( - ( * '( * ( * 7 *' ( * 7 * ' $ '. %,% 7 ( % 8 9%-'$$'$%$ 7 *( / : $$$%%$* ** $ #* 7 * # 0 ( ; 8!< " >< "$ < *>*>$%*# 0 :!< " >$ %*1? " "#*%$% π π * / $ $% $- 0 '.( ( ( '.( ( ( *% ( ' ( / $$%$,%-$ ( ' $ ( A5$ ( ( / ( ' ;B # ;B ;1 C D $ ;1 ;B / %$ &$$ $D *%$ D $-'$ D ' $' $' 5 %5 $- $ ;B. ;1.% *C *C % 1 $'$-' C * 'C * ;D "C3C* C 8*C "8C* C 3*C 9<"8>* > 3*> *< ( >"* 5$ ( C ;D * * ##* vwo A2 Analyse_1 De afgeleide functie

17 Uitwerkingen bij 2_0 Voorkennis: Machtsfuncties!"#! $$%% &%'( ) * vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

18 ($, ( ) - - ($ %,,. ($ *,, ' ' ' ' ( ), ) ($ ) / / / / /. *, -,- ' ' ' ' ) ) % 2 ) & - / ) * 3 / / / 4 % ", $!! 5 $'(,, 6, 77 ) ) - ( ) * 8' ' 0,* 60, % ) ) 0 0 )). *%($'8$$ vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

19 * ( ) %($'8$$ "$! 6! 9 5 %*$%%8:'5 '8$ $'( 6, *, %,), *,), ', ',', * ', ' *'6 ; ; ; ; *; - -, - 2,2 )2 ) % /,/ /,)/,) ) vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

20 Uitwerkingen bij 2_1 Gebroken functies!" #! $ $ % $!" #!% $ ' & $ & $ & $ $ $ ( ( & ( ( & $ ) ( ( ( ( ( ( ( ( $ $ &* * &* * * * * * $* $* $* $* $( (, ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( - $ "$ " -. /* 01* 01* vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

21 *!*1* "4" -$ 0 $ " " "! $ " $ " $ "! $ ( )( ) " ( )( ) " - "!, ", ", " -, "! -, ( ( )(( ) " (( )(( ) ( " ( ( - ( - ( ( "!( - (, ", " ( )( ) " - "! ) 1( 0- / 5 6 /0 ( 7 0 / 0 /* 1 / * 80 / #/ 0 /* ( /56 $ / * #1 $&&9/ ( ( ( :6 56 ( ( ( ( - :6:6$!; < 1 /0-;,$ 7 1*/, / vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

22 Uitwerkingen bij 2_2 Machtsfuncties differentiëren !"##!$% & '!() *, E 8D 8 / -./ / / / -F/ 8D 8 2 B 1 1!"##!$% & '!() *, 2 E 4 8:D 88:2 882 / 3./ / 4/ 2 2 5,67*,6 9./ 8:/ 8 / 8 2 D 4 9F/ 8: 8D4D 8D B 828B ; -<0* -3, -<0*>63,67 8B -./ B/ C.? 8D???? E / 8: 4 / / ).* 2* 3 B 83 3 vwoa2 Analyse_2 Functies differentiëren

23 & $ 22 4$ 8D -/ / / -./ 8D/ 8D 8D 8D/ 3/ / 3./ / 8D 8D '$ $ '.$ D$ 3 D 3. D D D 2 D / D E E / D/ D/ / / / D 2?? D? 5C? 2?? D5C.????? G? 2?? G.??? 8 8D 8: 8D $* * $.* 4* 2$ $ $ 4$ $ 8D 8D C C * * D* * * D D 2?:DC88H:D 4 I88$3*:D 8ID8 **, *$3*J7*I 2B:: 4 4 G? 8? 88? 8? 88? * 8 /88 8 /888 $5 ', / < / < 6 <? 84 G.? 8 4? ( ) 84 G.? 8 3-*8 4? 8?? 4 4 C? 88? 88? 84 5C? 88?????? 4 4 vwoa2 Analyse_2 Functies differentiëren

24 H184 * 8 /D8 8 /D $5', < 3-* 22: < < 6? 2,3*DHD8D8 * D D 2D D D8 D $$,7*3 D8 D8D88 / ED E D /,3*DH/H8DH/ *EHD D D / D D D D / D D D D/ D/ D8 / / / DHD8H D * 8 /D8 8 /888 $$,7* ( ) $5', < 3-*:D - *33,3*DH:D88 * D D 8 :D vwoa2 Analyse_2 Functies differentiëren

25 Uitwerkingen bij 2_3 De productregel! " # "!, & # 6 3 & (#& (6 (' $%$#&' (#$&&' $($#' (#$&' )$)()$#&' #' (# #$* * ($*,,- ". )$&&' # # &' &&' &' * ) * * & ),,,! ) / 0 1 ), 0 1, 0 1 & ) # # ', $ 2#,$#(&" 3$2#,3$#. 3$2##(&2 2#4#$5 (&2(#&2# 2$ 2(#& $ 2##(&$# (& 2 (#&$# 2 (#& 3$ 2(#& vwoa2 Analyse_2 Functies differentiëren

26 , $,$ (" 3$,3$ 3$ 4 (2 4$ # ( 2 # $6 # ( 8, 9 $ : $ 2" 93 $:3 $ 83 $ $ 2#2 $5 2#, ; $ ; < (<$26" 6 # & 6 $ ((6, $ (6,$ 2(5" 3$,3$ # 2 (#52' # 2 (6 (&$6 # 2 (#5(& 0, " 0$0(*0$(0 " " 30$30$(0 30$4(0 20(*4(0$(0 (#0 2#0$(0 2#02 > $(5 2((' (25 $(* 22&, $ " $ ( 2 " 3 $" 3 $( ( 2 3 &$4 ( 2 2 4( ( 2$ ( 2 ( ( 2 $. $ ( 2 $2 3 $ 8, 9$ 2:$6(#" 93$2 :3$683$26(#2 246 $& (526(26 26$6 2(.8$ 26(#$6 (# 26 ($6 2 ( 83$6 2( 00 6 A? & A? 30$#0 0 B, $ (; $ 2" 3 $; 3 $ B 3 $4 22 (4$ B $ ( 2$ (B3 $, $ " $ " 3$ " 3$ 3$ $# 2 # # 2 $ # $ $ 6 3$ # 6 6 $ 6 3$6 ( ( ( vwoa2 Analyse_2 Functies differentiëren

27 A?$40$&26 && ( $$60$&&A? $64&&$6&& $#$'&0$6A? $'&46$5 6 A?, $&26,$&& ( " 3$&,3$(&& ( A?3$&4&& ( 2&26 4(&& ( $&&&(&&& ( (6&&$6&&(&&& ( C " A?3$&6&&(&&& ( $& ( $&6 ± ± &6 # A? #" " "! A?#$##0$&&4# ( $* vwoa2 Analyse_2 Functies differentiëren

28 Uitwerkingen bij 2_4 De quotiëntregel! "#"$%!! " " & "! 5 ) ) * ) ) '($ ) % ) * % ) ) '($, % '( ( ) * * - - ( ). '($ - /. ( ) 01'(''$'' $ ''' ' ' ' ' - 2' -' ' -' ' ' ' ' '(* ) ) * ) 3'(0$4 $ 04 3 vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

29 6 *6 6 * * ) * 6.6) *6 *.'(6/66 6)66 6 ) / '(666$ 6) ! / "$-#)) "%&" ) " )! )! *) : : '(. /. $-. )).. / )). / / )). 22)) /. /. /* /* %. * )). )). /* /* 1* -%./)1/) )) * )) /) ) % vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

30 ;'(04 $ ; : ; ) )% ) $2 )% 2 2%9<6 9 )&;) * - *&;* ) ) * 2 2 ) ) 669 : ) : ) 9 6; 5" / 2-%/ / 9 vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

31 Uitwerkingen bij 2_5 Het gedrag van functies 28 a Invoer: Y1 X^4 2X^2; venster; Xmin 2, Xmax 2, Ymin 2, Ymax 2 Optie : CALC resp G-Solve - maximum en minimum geeft toppen ( 1, 1); (0, 0) en (1, 1) b f (x) 4x 3 4x; extreme waarden bij f (x) 0 dus bij 4x 3 4x 0; 4x(x 2 1) 0; 4x 0 of x 2 1; x 0 of x 1 of x 1; y waarden vind je door deze x in te vullen in de functie: f(1) 1; f(0) 0 en f(1) 1 c De grafiek van f is dalend voor x < 1en 0 < x <1 d De grafiek van f is stijgend voor 1< x < 0 en x > 1 29 a Domein van g is 1, 2 ; bereik van g is [0, b In het randpunt is de raaklijn verticaal. c Invoer: (TI83) Y1 (2X-1); Y2 nderiv(y1,x,x) ; (Casio) Y1 (2X-1); in TABL-mode ; DERIVATIVE op ON in SETUP d Voor x 0,55 is de helling 3,16; voor x 0,51 is de helling 7,08 en voor x 0,501 is de helling 31,62 Daar loopt de grafiek verticaal. 30 a Noemer is 0 voor x 1 b f is het quotiënt van t(x) 2 en n(x) x 1 met t (x) 0 en n (x) 1, (x 1) dus f (x) 2 2 (x 1) (x 1) vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

32 2 2 c f (0,9) 200 ; f (1,1) 2 2 (0,9 1) (1,1 1) d e 200 In de buurt van x 1 loopt de grafiek sterk dalend. De teller ( 2) is negatief; de noemer is een kwadraat, dus altijd positief; f (x) is dus altijd negatief, dus is de grafiek van f overal dalend 31 a Bij toename van t neemt de noemer toe dus wordt I kleiner. b I is het quotiënt van T(t) 120 en N(t) (0,05t 1) 2 0,0025t 2 0,1t 1 met T (t) 0 en N (t) 0,005t 0,1, dus I (t) ( 2 0,05t 1) (0,005t 0,1) 0,6t 12 (0, 05t 1) (0, 05t 1) 4 4 De afgeleide is op het hele domein negatief dus is I een dalende functie, hoe groter t wordt, hoe dichter I bij 0 komt. de grafiek van I zal dus steeds langzamer dalen. 32 a L 4500; Z 0, ,7 144 ml per km b L 40; Z 0,4 40 0,7 5,3 ml per km; 5, ml per 7 km c dz 0,28L 0,3 ; dit is positief voor alle waarden van L; dus Z is een stijgende dl functie; dz is een dalende functie dus zal Z steeds langzamer stijgen dl 33 a Domein van f is [ 0, want b 1 2 f'(x) x ; domein van f (x) is 0, x x ; bereik van f is [4, c f (0,1) 1,58; f (0,01) 5; f (0,001) 15,81 d De raaklijn loopt verticaal, de afgeleide bestaat hier niet 34 a dp 3 P T 2 ; 40000T ; voor T 0 is de afgeleide T dt positief, dus P een stijgende functie b P 50; ; 0,5; 0,5; T 400;T T T T 20 graden c 200 T 25; P procent ; 0, personen nemen een 25 consumptie ; winst is 109 1,50 163,50 d P 200 TW TO TK; TW 160 1,50 (10 4T) T T T 4T Extreme waarde bij TW (T) 0; TW (T) 96000T 3 4 0; T ;T , dus 29 graden levert het meeste voordeel. vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

33 Uitwerkingen bij 2_6 Verwerken en toepassen " "!"#$%&'( "') * "("' ) %,'' '' ','' ' )!"%$-'&' "''* " "' '% )."/#"0&'","'/" ""',#$$,* "$% * '* %* " #""" ""','"#"%'"% /""'"#"* "1#"2, "#"* "1 #"&$$#, %, 3, 3 "#"* "1#"&$$#3 % ( ) ± ± 4 &$,/"',$&'3 56 4""'* '* %* &' 7 '"" ) '*," '",!"% * *,"#" 60* '7/"'%%# '",!" 4 0* "#%%# & "%#$ $,"0$ "'89447 & $,"0$ "'8 9 "%#$ &4 $,"0$ "' "%#$ &8&9* " &8&9 & & & & & & & &

34 " && & && & "#"* "1#"&$$# && & & & &$& & 0* "#%%# '&$"#:;<>;&"' "#?;* ';* :* ' :* 4 4 BC$,&"B* '* %* /""; : "%#$ 99 4 ""',"'"%'" % ,$&'3 "'?'&$"#?:;:;< &"' "#?;* ';* :* ':* D$$#/#$"#"9 3 > % /#$$!,/'#!"'$* 5$&"",* $/",601 ' " * 0"'2

35 Uitwerkingen bij Testbeeld # # #! " #! $ %&' ( ) %*( "! #!!! %(),*-. ) /. )*( %(),*-. )/.0 ) *(0 %(),*-. )/. )*( vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

36 %(),*-. )/. )*( 00 1!! *,,'%.,/ " 1 -,! %("!!!-,!2%( "!! 3,! %(" % %,/ %/ */ 4%%&!%(" 3,!>, / 5, -," "! 0! 0 " *,!! 6 %()!*%7- / 88 0 # *(6 %()!*7-9 / *( : 6'%()!*%7-'' ' ''/ '' '' 88' 8' ' 8 ' ' ' ' '*(6 ' ' ' ' ' ( ' ) ( ) ( ) ;!%()!*%7-!!! /!!!*(!!! ;!!! )%()!*%7- / ( ) *() ( ) ( ) ( ) <-%()!*% / -- --*( < < <: vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

37 (-,(%&*/ ( *( *() *>. (% )%,).,% ' -,% (?/ > $,%. # 9 # 0 0 9,-' 5,00'/,%. 5, ,$,%. ) % %.. -. / ) %.(,/ -, 4. / ' %,5,,*(,,() / 5,. ) - > 9 %()!*%7- / 0# *(9,%((%% /,%( '5,*('%&(%% >A*(%(9 %&(%% %(.,% '- 9 %&(%&. > 9 -*., 5, -% ) %.(,/ '/ % ).,,%. -,() / ).,%. %)) %> 3,B (%&.9 /,(%&.-9 >,%., '/,%& -,9 ) %.(., (5,,%. ).,,5%&%&9 >,%.,'/,%& -,9 ) %.(., (5,( '*(%&. / / ' %,%. %)) % ',%. /, - )., ) %.(., ( -,-,. / /.,,%. %)) %> vwo A2 Analyse_2 Functies differentiëren

38 Uitwerkingen bij 3_0 Voorkennis : afgeleiden ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! " " " " "! " " " " # $%&&$'&'(' $%) * ( * )( ) * & % *, %(&-&(%" % " ".%%" " " ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( -&&' * & * * % * *, %(&-&(%" % " ". %%" " ".* ) -&&' ( ), %(&-&(%" % " ". ) VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

39 * -&&' & * * %, %(&-&(%" " " %%" % " ". ) / / -&&' * & 0 &&$&'1 2 ) 3 4 *" % &(&'%" " () / * 5 " " (&'% ) '&) 6 VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

40 Uitwerkingen bij 3_1 Kettingfuncties "! """#" $ $" % $" $ & """'"(#"$) $ & """'"( $ * $ %, $ % & "#"" " """'"-" "#"" " ( ) * $, $ # ). # VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

41 #. # ) "! /-/0#0# '"" "-''"#- "# "/- # 0 %. # #. 1 # # ). # 2 1" " / & - & (, ), ", /,!" 2 " / / ( )! '#! 11 VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

42 Uitwerkingen bij 3_2 De kettingregel! " #! # $! # %! & & $ & & ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) $ ' $ ( ) *#,-.,-! 0 & / VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

43 0 / * 0 1,/- & ( / ) 0 * $ 0 0 * $ * ( ) ( ) 1, - $ * 2/ 0 * &/ / 0 0 * / / 0 &/ * ( ) ( ).1,/- &/ 2/ 2/ 2/ * 0 0 * / 0 0 * / / 1,/- / / * ( ) * / 2/ 0 0 * / 2 / 0 * ( / 2 ),..3- / * ( ) ( ) 1,/- / 2 / 2/ ( )( ) * 0 0 * 0 * * ( ) ( ) / 2 / 2/ 1,- * / 0 $ 0 * $ / 0 * $ / * ( ) ( ) 4.1,/- $ / / 1,/- / & / & ( ) VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

44 * / & 0 0 * / 0 * / * ( ) 1,/- / & ( ) & / & 6, - ( ) * * 0 * 0 0 * ( ) ( ) 6 1, - $ #. 6 1, -,- * ( ) 0 0 * 0 * ( ) ( ) $ ( ),.).- * ( ) ( ) ( )( ) 1,- 5. % 1,/- #. 1,-! ( ),/- / / / / 1,/- / ( )( ) 1,/- ( / ) $ ( / ) /! & ( ) / &!,/-,/-,/- ( / )( / ) 1,/- 1,/-,/- 1,/-,/- ( / ) ( / ) / / / VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

45 Uitwerkingen bij 3_3 De kettingregel gebruiken! " "! "! ( ) # $$%! ( ) ( ) ( )( ) &#% &#% ' ( ) ( ) ' ' ''' *',! -,, "! - ",! ( - ) ",,,! ( ) ( ) ( )( ),,,, &#% - -, - -, &#% '' ' - #%, VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

46 !.,, " ",!., ",,!.! ( ), ( )..,..,, /.# %! ( ),..,, 0 /,# - %!,. 0 '' #% #% #% #% #% 1 ' ( ) '!!, "! ",! ( ) ",,, #% ',,! &#% ( ) ( ), ' &#% '!.. ( ) ( ) ( ) &#% &#% #% #% &#%. #2% #2%#2% #2% 2 ( ), &#2% &#2% 2 ( 2 ) ( ), #2% 2,, 2 2,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) &#2% VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

47 ' 2, ( ',,,, ( ) ( ) ( ) ( ) 45&#2% 6, , 2 6, 2,-2, 2,, 45&#33% 6, 33,- 33, 33 ( ) ( ),! -,,.,.-! -,.,.,! -,.,.,6 #% -,.,.- *,, - 7.,, '',., *,,, 7.,,,6- '',.,6 *,,,6 7.,,,7 '' # %,, 7. (,. ) ( ) ( ) #%,, 7.,. -,.,, 7. -,, '' #% #% #% #% ( ) #% &#% &#% ( ) &#% #% #% &#% ( ) ( ) &#% ( #% ) ( ) ( )( ),( ) (,-,- ),( ) &#% ( ) ( ), 6 6 6, 6 ( ) ( ) 5 8,. "8. / ' VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

48 *' ", ',,3 /,,- ' *' 9 9 ' '' ( ) ( ) (, ),-,,-,, ' VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

49 Uitwerkingen bij 3_4 Buigpunten 21 a De groei verloopt van steeds sneller stijgend naar steeds langzamer stijgend. b Op dag 14 gaat de toenemende stijging over in afnemende stijging c De maximale groeisnelheid is ongeveer 1600 slachtoffers per dag. 2,5 d Teken hiervoor de raaklijn voor t 14 en bepaal de helling. e De maximale groeisnelheid is het maximum in de groeigrafiek. 22 a De helling is maximaal in x 0,8. VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

50 b f'(x) 2x 2( x 2 2) 4x( x 2 2 ) De helling is maximaal in x 0,82. De coördinaten van het punt: (0,82 ; 0,22). 23 a h'(t) 12t 3,9t b 2 h'(3) 12 33,9 3 0,9 De stijgsnelheid is 0,9 cm/min. 2 Na ongeveer 1,5 minuut is de stijgsnelheid maximaal. 2 c h'(t) 12t 3,9t Het maximum van deze grafiek geeft de maximale stijgsnelheid aan. d De stijgsnelheid is maximaal voor t 1,54 min. VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

51 e De stijgsnelheid is dan h'( 1,54) 9,2 cm/min en de waterhoogte is dan h(1,54) 9,5 cm. 24 a b Voor x 0,3 en x 0,3 is er een buigpunt. 2 c f(t) ( 3t 1) ( ) ( ) 2 2 f'(t) 6t 1 3t 1 6t 3t 1 d 25 a f heeft een maximum voor x 0,33 en een minimum voor x 0,33. f( 0,33) 0, 75 en f(0,33) 0,75 De buigpunten zijn (0,33 ; 0,75) en (0,33 ; 0,75). VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

52 b Voor u 2 3 is er een buigpunt. 2 c W'(u) 0,3u 14u De grafiek van W is maximaal voor u 2 3,33. Het buigpunt is (23,33 ; 2540,74). d De toename van de winst is maximaal bij een uurtarief van 23, a De coureur remt twee keer af dus nam de coureur twee bochten. b De eerste bocht was het moeilijkst, want daar is de helling en dus de snelheid het kleinst. c Aan het buigpunt bij t 3, daar neemt de helling en dus de snelheid het snelst d toe. VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

53 Uitwerkingen bij 3_5 Verwerken en toepassen a De afstand van de stut tot de muur is 6,5 6 2,5 m. b 2,5 meter 0,01 meter per sec c h 6,5 u 42,45u d h 2 42,25 u 42,25 ( 2,5 0, 01t ) ( ) 42,25 6,25 0,05t 0,0001t 360,05t 0,0001t dh dt e ( 0, 05 0, 0002t) ( 360, 05t 0, 0001t ) 2 De stut komt op de grond als u 6,5 m dus als t 400. Op t 400 heeft de stut dus geen snelheid. Kies bijvoorbeeld t 399,9. De snelheid is dan 0,6 meter/sec a Er is 90m 2 90 beschikbaar voor 120 mensen dus 0,75 m 2 per voetganger 120 beschikbaar. b Bij een snelheid van 50m/min is het gemiddelde vloeroppervlak ongeveer 0,7 m 2 /voetganger. c Uit de eerste grafiek lees je af dat voor M 0,7 geldt dat N 220. Elke minuut verlaten dan ongeveer 220 mensen de tunnel. d Uit de eerste grafiek blijkt dat N maximaal is voor M 0,5 m 2 /voetganger. Uit e de tweede grafiek is af te lezen dat de snelheid dan ongeveer 40m/min is. V M 0,2 0,3 0,5 0,9 3,0 N f VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

54 g Als de tunnel breder wordt, zullen er méér mensen in de tunnel lopen maar de dichtheid M zal ongeveer hetzelfde blijven en dus ook de snelheid. Kortom M en V blijven ongeveer gelijk maar N wordt groter a Via het bos is goedkoper want euro is minder dan euro. b Totale kosten CP 20 PH euro. c Domein is 0,5000] met x in meters. d ( ) 2 2 AK CP 20 PH x 20 x x 25 x e AK' x ( x ) 20 25x ( x ) f Plot de grafiek en bepaal daarmee dat AK' 0 voor Als P Q 2667 meter zijn de aanlegkosten minimaal. x g De leiding is in totaal ( ) CP PH meter lang. De minimale aanlegkosten zijn AK ( 5667) euro. VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

55 Uitwerkingen bij 3_Testbeeld ( ) ( )! "! #" $" "% $&" &" ( ) $" " ( ) " ( ) ( ) ( ) " " (" ) " " #&" " " " ' (! " #& ) #&"*% *% % % %! #& $#&!*$#&, - &. ( ) ( )!! / ( ) ( ) ( ) ' " 0&!.!.!!! )&" ( " ) ( ) $&. /. ( ) $! &. &! (! ) ( ) " (! ) 1'% VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

56 ( ) ( ) ' ( ) ( ) 3 & & 2 2 ( 2% 5% 6 2 % % 5' 3 & % 5% 62% % 5' ( ) 7 4 2/ 3 ( 2/ ) ( ) ( ) 3 & 2/ 2/ 2 2/ 8 ) *3 -'7 $ 8 $ $! $. ' $ 2% ) 2 8 *'9! ( ) $ & $& 2 ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) & : % 2 12; '% 3 % 12; 12;'% 2 ' 4 ( ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 4& 2 '% 5% VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

57 ( ) 2 2 ) /. 2% % **% $ # '% % '% 5' 3 ' # π < # # 3 < < π π ' 8!!% 8 ) $'*% % $'2<% *% # < π π π π <& π π π π π ) 2 ; 2; '% 2 '% 5' VWO A2 Analyse_3 De kettingregel

58 Uitwerkingen bij 4_1 Exponentiële functies!!!" " # $% & '( ) * $ %, " "" *#!! # ' ' ' ' #!*',' - ',( #! ''. ( /," "*''(,, '' ' ' * ' ' '' ' ' ' ' ', ' 0 # * *",*# 1 '' '23 1 ' " ''( " (!!* '.' ) ** "4 '' ' ' #'( ) * *" '' ' '' ' ( '' ' ' ' '' ' ' ' ' 0 # "! # # '', '' '' '' ' 0#!! 1 '' 3 1 * ",*#!',"! * ''.'(* VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

59 -,! 56" 7 * '! '' ''' '''! ''' 8$% ' ' $% ' $ % $% - $% /$9% ' ' ' ' ' 9 9 $% 9 9 ' ' ' ' $ % # : 5*;!#'! # 5!! & *7<5, "$%4 5 ' " "!#! "!#! VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

60 ! ' "! ) *>?641. $133% ) 1.<5$ ' 23 3%,1. A ",*#$!?% ", 5 VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

61 Uitwerkingen bij 4_2 Exponentiële functies differentiëren %! "#$! & ' ( ( %%" (!)% % # " - "* # #" ",, -"--. ##" - "# "* #" ",, -"-- ##" "# % " - "* #" ",, -"-- ## "* VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

62 % % %!( ( ( " / % #"# #"# 0 ( % 1"* "* "* 1", " ", ", " 1",. 2!%%!% (!%%!% ( * # %( %. 4.. %( % 4 #- "# # ", #"# # " " "**. " % #"- "- ". 6 ".# #"- "* " "- #" " #"# #- #". 5 %( %!. 4 #!.!. 5! #!.! VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

63 % ",#," " # ".. "* #"*# - #"*# #"*# ( #"*# #"*# - #",- #",- "--* #",- #*," #",- 5 -"- "* "* ",* * % & %( %. * 4.- % &.-. #,",-. *. * 2!%% *3 #"*- 3, #"*- #"*- 7 - #"#, #"#, ", #"#, ", #"#, #"* #"* (!! 8 ", #"#, #-!(! ( % ( ( #- #"#, ", #"#, #-#"#, #"- #"- -" ", - #- VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

64 Uitwerkingen bij 4_3 Logaritmische functies "! "#$! %"& '! (' #$ '''' ) (' * (' '( ) ) ) ) ) " " ' ' " " )' ) " )' " )' () )' () )( " ' ' " ' ' " " "( ) VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

65 " " ) " " ( " " " " " %2 & " %2 & 2 2 2,, -../%0& -. /%.0& %)"& 1 $./ * " ) " ' ( VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

66 1 3 " 3 /) $,$ $./ 8$ %&9 :' 2 2 " 2 " 2 2 ) 2 ) 2 " 2 2 " 2 2 " 2 " " 2 % & 2 %2 )& VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

67 ; 3 < 7 4! $ < 3, %& A B 4$%& # $ $ " ' ) ( 00 " ) ' ( " "! VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

68 Uitwerkingen bij 4_4 Logaritmische functies differentiëren $# " % "$ (* % " $# $#% $#"! "# $# %&"'" "&"' $#%&"'% $#&" "$ $#"&" " () " % "$ * "# $#,% $#- $#%. $#" VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

69 ) "# " "# % " " " ) ) % % " " " ) $#." " " ) "#"$ " " /) $#. $#"$ 0 )1 "$1 2 " 2 &"$1 1 "# 1 "# "#$2 ( % % $ "$ ( ) % " % % %$ "#$2 % %$ "#$2 # 3 ( % 2 "% % " % "%, 2 % 2 # % 2 # 3) "%, 2 4 ( %, " % %, %, 4) % % " ) % % $#, " $#, -. 5) $#, $#, " ) $# 6 ( "% " 6) "% "% $# $# % ( & " % ) % "$ "$ % ( ( % " " % "$ * $#." $#2 $#$ $#"- $#$. " - () % % " % % " % - - " ()# "# % # " % - % % VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

70 6 "#! 7 ("! #'(# % % (# % # " - "% #'"% "% "# # "% 2#- &#% 6 "# # 8 ( (! 6 #%! 6 ( &" 2 "#- " 2 6 ( &"# 2 "#- "# -# (-! 2%# (! &"&% (%"&"$#"92&#" ( 6 & ( "#- 2#$ "$ : &; 2#$ "#% < ( 2 "#- "#2 ( 7&2 2#$ " 2 6 &$$ - $ " $ $ 6 2$ - 2$ ".% 6 >?.% "# < > 2$ >??"%$?2$ "$%..% "#, < > 2$ 2$ " %,2$? (? ) - - " "$ - " "$ %,2$? )%,$# < ", "$ VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

71 # &%! : &%(! A?*&"# %,2$ - " "$ "# %,2$ - " "$ "-$ "# "-$ - ",..#" "$ -,.-#"..#- B "$ $ "#! %,2$ C ( D" - " "$ D%&"#! VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

72 Uitwerkingen bij 4_5 Groeimodellen!" #$ %!&'( )* ' #, ' - ' ' (.# &) ', / &) ' ' -, 0 * 1 *# -2' *- ' / 3 -!1 *#* / /3 * 4, ' 4 &4) ' '' -#'' 5# $6( 43!## VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

73 (' / / / / /4 / / /( ' ( '( ( / '/ // /' ' ' ' ' '' 4 ('/ '' / / *' 3 / # 3 #*! 72 *- # VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

74 8# &%!9:!-!;!< ) 8 1 &9:):0; 9 &; )*!# #(' #/( > # A * - */! 4 5 ' 4 ' 4 4 4/ '4 ' 4 4 4/ ' '4 ' 4 4 B! #* * # #$# ' # #*. #C#" & ' ) ' ' 5D&) & ' ) & ' ) 8 'E& )<&& 'E& ))E)! # F! *! - *$7!; ' ; # -!##* < VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

75 8 G' > *!#!:0; 9 %!( < # ' ' ' ' ( - ;D&) ' ' ( ;D&() ' ' -#!( < < VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

76 Uitwerkingen bij 4_6 Verwerken en toepassen!" #$%!" & " #$%'( ) $!""*", "! ) $!"-!"!"""* $!* $./ 0 0, !! $ -!!$* 3!- 4 4( 0 $*-!!$"./(./, " 1 1 VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

77 5"! " -! -*$ $,-,", -./ $,-$-3 1 1,", 6 $ $ -,", "!! ( -, #./ "!./ "!./ 5"!$, 7 -!4 -! 8",! "" -#, 2!!!$!"$," #&./ " 9!," "!!!, ),"$! "*"$ ) $,-#" (,#.-/ "!.-/ - #&.-/ - " #&.-/, - " - " - " - " " - "* ""- VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

78 ) $!,!$ $*$ %( ) $!,!$ $*$ ) $! $!-! : $*$ ;!!$($**-$"*( 2 3-$"*!! $*-"( < ;!!$($**-$"* ( 2 3-$"*!! $*-"(< ) $-*$ % 1(,(1 ) *!$ $-( <1( "( >./ $" 11 "( >./ 11 1 $" "( >.1/ $" ),!$ "*-!!$3*$ $!$3*$, 9 5(*$,"$. $!$-,(> $!$ $$" 11 1 A > &./ / 11 " ), > &./ / VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

79 , "!3*$,-> '((-!!$$ " $ "!,"*, $ $-, * VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

80 Uitwerkingen bij 4 Testbeeld! "#!$% & % % ' (!##) * # #! "#! & # (!#! ),)"%,)-. " #" )#" # " /" 0 )!)/ 1" / " / )2" 3 # 4 )"4 5 ## " )2" 3 / 1$ " "# )2" - VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

81 ! % % % ' 6) ' ) 7! 7!!!! 8 #)4 )5' #)) ")- 9 ):4 ) *4!)!*" ;' $ $ 4! )# " " # ) ) )- <#) *' ) ' '! "#!$ & ' (!#!"%,) ),)- )! 7 >? 2 >?> B %. "? 7-0 ""A" ") # - 3 5") # 4!- 3 " ") # "24!- B C D % % % % B % % % % % % % )! 3 )%$ VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

82 9 )%E 6 " 4 "- 9 )%F " 4 "- 3" "" 4 )26)- 9) 5 * )! - VWO A2 Analyse_4 Exponentiële functies

83 Uitwerkingen bij 5_1 Gemiddelde kosten!! " # # # $% # # # & % % % '$(' #( % % % ") "! " & * &,-&. ""/, ) " 0 "1 " ) ) ) 2 ) ) ) ) ) ( ") ( 2( # ( ( ( " " " "" 2' %%' "% %' % %'" ) ) ' ) ) '%) #' ) ) ) ) ' ) ) ) ) ' ' 2) ) ) ) ) ) # % )""1# % # % vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

84 & 2 / 2 ) ) ') 27 ) ') 1) #%2/ #%' #% 6 # 2) ) ) ' ) & 0 2 '$ 8""/ ), "& '$ '$ " 2 '$ 81 8$ $ 1 8, 2 ' ' ' " 2) ' # ) ) ' ' ) # ' 3 ' 4 -&4 4 #$ "1) # $ 1 1, 01 0"'8"1) ' 27) ') #) 2/' 1) # #! " 0, : " '"1), vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

85 Uitwerkingen bij 5_2 Marginale kosten en marginale opbrengst!"!! # $% % $ & '()&&* %,&#-#. &&* & ((/% % $% % $! 0&! 0&(* &&)&1!2 # 3 % & * /&,&2#)(&& (* &&)&43 (,&2#2))&(* &&)&&2 '* 4 5 $% % % 5 $ 5 $ 0&&* (), (,&2#4 # ('(&))4 & 5 # 65 --))(()/&)&&,(-,2 &)&(' % -))(/&)(/ 4 * () (&2(/ 2 (* &&)& % 4 )&&&('(&&,(4 vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

86 # & ('/&, ('2##-)&2&* (), (/)()4 -))(/&) 4 * (), (/% * (), (/%&2 4 ), (&()&) &,2&. &2() )&-))(/&('()4 %%! 4 &,&2#-/)-&* &. &/)4 vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

87 Uitwerkingen bij 5_3 Gemiddelde kosten! " # $%&#'(%%# $ ) # # * # *, %-.*- - * * & / */ *)# ## #)#* )* # ) * / 0 #.% * #) )# )* )0 ) ) )0 )* ## # #) #* #/ # #0 # #.% )# #) * "/ "#/ "0 "*# "//*, %-...%.%.0'. %-.&.%-.&1..-.(..% (%%1.% (%%0. " 0 2%.3# 4 5!4'3# (%%4, %-. (%% * 6.-$.'*$-$. 2%.7 )!) 8 &19. -%$....%.'9.%..%.%.9&&. 7 ) 2%.3# ) 5 ' 3# (%%4 #,.(.%"& %-..'# %-. vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

88 :7 ) ' -%$..%%..(%%#/ :7 # 7 # )'.% (-%$.#%. -%$., -%$..$%.% " )!* # # : # 11%%%%-%&16.1-$.%(#' )*/ %(# %-. ) * : * : * * "*!*'# # %-. vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

89 Uitwerkingen bij 5_4 Winstfuncties!" # $ % &' "(" %( ))* * *,# * ' * -.(/** 0 * * *. ' *-! "("( % * % &' /-0& "&' ' ' ' ' $ ' 1 % $ '1/-0 ' 1/-0 2 /-0 '1/-02 /-0 ' 1/-0 2 /-032 /-0 2 /-0 2 /-0 vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

90 2 /-0 ' 1/-0 * 2 /-0 '4/-0,-,#-,-,-,#- *,#- ) 3 5,,# 3) 5-3)6,-,7# % $ &-,7 8 9&#*, ' ' ' *- - 6)- - #, ' - 6)- )- #, :5 ; < 6)< )< #, ' /-0 ' /-0 '/ *- #- *, ' /-0 -,- #- * % $ &-,*) % $ #*# vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

91 2 /-0 ' 4/-0 7- * 2 /-0 '4/-0 *- :; 7<>3*; *<>3< #7) 2 /-0 2 /-0&- #7) % $ "&#, ' *6 #, * * #, ) ) * ) ' *6- *- :5; *6<>* *<>) * - *? * * 6#* * % 6#* %* 6#* 6#* * : ; *$ < ; &< < & " "" ) " ' -? *- - * -( "' "1 ' 4 *- - *' 1, #* " " %, #* vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

92 Uitwerkingen bij 5_5 Voorraadbeheer,! "# $% $ &'% () * # "# $ % $ & () * #, "# $ % $ & () ' # "# $ % $ &% () - *.% ' - - & () ( - /.( - $ ( -$ ' 0. ( - - ' 1 ( 2(1 2 ' 3 2 / - ' 3"# ' 0.4 '35 ( '3 '(% '3 "#&'(% vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

93 , 6 #, 7 6 "# % % 6 6 ( 6("#( 6 ' 6 % %! 1 2 (1 2 3( 2 / 6 3 "# "# '& '() # ( % & () "#& '()$& ()&3 '() "# ' ( ' ( % ' "#8 0. ' '! 1 '2 (1 2 2 * # #"# 0. ' ( % '! 1 '2 (1 %(% 2 "# #%,#3 0.4%5 '(0.435 "# #3 vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

94 Uitwerkingen bij 5_6 Verwerken en toepassen!"# % & ' $ $ % & % & ( ) * * *,. - /. /!.0** %.& 0**1!!!!2, * *. / * *. /!.( %.& ( 1!!!!2 3 2!!!2 4! 2 5!*6 2!! 7%&87%$&87%9&$ 68$(899(($9 %&7%&:7%&$6:6 %$&7%$&:7%&$( ;$ 6 00 %9&7%9&:7%$&< %& $ 9 6 * 0 ( $ 9 6 * %& 6 00 *0 6$ 9 $ * 6 9 $ $ %*&! * 00 *0 6$ 9 06 > 06 > 06 > *0 6$ 06%3!%& &?! 6! 066 vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

95 7'%& $ 06 7)%&! $ 9 6 * 0 ( A%& 6 00 *0 6$ 9 $ )%& ( 6 9 $0 $ * ( A%&7)%&! A%&!!2 9 (B$6;?!B*;C B(; D 0*8; 0*$! 2, $80 :* 08(6* 6* 0B * ;,%6*&$ 6*80B ; ( 9 * * * ( $,E,E % 9& 9 * * $ $,F,E, 9 $ * * $. - / /!.(* *,F %(*&06* 2B06*; (* 9 B ; * B 9$ ; 2 2 B 6$* ; 2! $6 ;,$8088$6980$6 $ $,F 9 9 0$6 99 0$6 * *, F!($* 2 B 90$*; vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

96 Uitwerkingen bij 5 Testbeeld! "#"$ $ % $ & '("' #") )) ((" * $,,- #",). '" ( / $ ) ) $ 3 ) $ / ) $ 2$ 22$ 4 0 #" 1()$1"((.((".2((" # "1". vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

97 5 ('" 6"( "'""1 7 7 ". 8 6"( " / 9 $ ) $ *, $, ),, $ : #", 2; 1( : #" 2! " 2 " < < 2"6" ( "6" ((. < % 2 2 < >? 2 < 2 7 : #" < *"'# 1' : ( #"< A 2$ #""2 2 3 $2B & "22) B 2 )$3 3 )$3 6, #"#",) $, & "#)$'"(6"". 8 : ") B "( B2 B *"'#,2?, :,< > < < 2; : 6" < 2 ' > :2<:?: *") ".*"6". & 6" B 6 B 6 6"6"("61 " vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

98 66 B 6 :6"#(:6?6: #"6"# ::? : :> :B ::2 B:B:?: :B: 2:B:2B<::? & 2 "7 B vwo A2-Analyse_5-Optimaliseren

Hoofdstuk 2 - De kettingregel

Hoofdstuk 2 - De kettingregel Hoofdstuk - De kettingregel ladzijde V-a P ( ) 0 ( 0+ ) 0 0 + 0 0 + 0 60 W + + + a + t voor a 0 a a T u ( r ) r r 8 d R log + V-a u t wordt t en s t u t wordt t en s t 7 V-a A: t ( ) A: t ( ) ( ) 8 8 V-a

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.

16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. 16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f() = Differentiequotiënt van f() op [0, 3] = y f (3) f (0) 6 0 30 30 y 1 16.1

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling) Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }

Nadere informatie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie

Machtsfuncties al dan niet samengesteld in de vorm van een polynoom- of veeltermfunctie Het volgende onderwerp is functie-onderzoek Dit is herhaling VWO-stof + nieuwe begrippen uit Kaper hfst 3 We bekijken de functies wiskundig en soms vanuit economisch oogpunt ( begrenzingen variabelen 0

Nadere informatie

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:

Nadere informatie

V6 Programma tijdens de laatste weken

V6 Programma tijdens de laatste weken V6 Programma tijdens de laatste weken Datum ma. 18-4-11 di. 19-4-11 ma. 5-4-11 di. 6-4-11 ma. -5-11 di. 3-5-11 ma. 9-5-11 di. 10-5-11 Activiteit 1. Differentiëren. Vergelijkingen oplossen e Paasdag 3.

Nadere informatie

Toets om inhoudsopgave (bladwijzers) wel/niet te tonen

Toets <F5> om inhoudsopgave (bladwijzers) wel/niet te tonen Toets om inhoudsopgave (bladwijzers) wel/niet te tonen Uitwerkingen bij 0_1 Breuken en decimale getallen!"#"$% &'!"(%() $*"&'&'' "* +)) $""* ) %*,&*,& ",&!#" *-!*" ",& +*-!*" "*" *!!#*$) " "+)$!%

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Differentiëren

Hoofdstuk 3 - Differentiëren Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Mahten en differentiëren ladzijde 7 6 V-a ( ) ( ) 8 f d e ( ) g 5 ( ) 6 6 ( 9 ) 9 ( ) ( ) 6 6 5 5 6 5 6 6 5 5 9 h ( ) 8 ( )

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)

De Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1) De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a c d V-a Hoofdstuk - Differentiëren Voorkennis: De afgeleide ladzijde Na 5 seconden. De grafiek verandert daar van B in C en het dalen gaat ineens langzamer. De raaklijn gaat ongeveer door de punten

Nadere informatie

Boek: A deel 1; A deel2; A deel 3 Hoofdstukken: 3, 5, 10

Boek: A deel 1; A deel2; A deel 3 Hoofdstukken: 3, 5, 10 5 havo Wiskunde A 11 januari 2010 PTA 2 Boek: A deel 1; A deel2; A deel 3 Hoofdstukken: 3, 5, 10 Houd er rekening mee, dat aan een antwoord alleen in het algemeen geen punten worden toegekend wanneer een

Nadere informatie

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e.

. noemer noemer Voorbeelden: 1 Breuken vereenvoudigen Schrijf de volgende breuken als één breuk en zo eenvoudig mogelijk: 4 1 x e. Tips: Maak de volgende opgaven het liefst voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Formules en de rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Formules en de rekenmachine Havo A deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk - Formules en de rekenmahine ladzijde 8 V-a Een snijpunt met de x-as heeft y-oördinaat gelijk nul. = x + = x x = klopt! Begingetal (startgetal) = en

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Hoofdstuk 8 - De afgeleide Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

Nadere informatie

10e editie Inhoudsopgave leerjaar 6

10e editie Inhoudsopgave leerjaar 6 10e editie Inhoudsopgave leerjaar 6 Inhoudsopgave Deel 6 vwo A Hoofdstuk 1: Samengestelde functies Voorkennis: Differentiëren 1-1 Machtsfuncties 1-2 Machtsfuncties differentiëren 1-3 Wortelfuncties en

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt

Nadere informatie

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies

META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde A

Samenvatting Wiskunde A Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

Nadere informatie

Minima en maxima van functies

Minima en maxima van functies Les 3 Minima en maxima van functies Een reden waarom we de afgeleide van een functie bekijken is dat we iets over het stijgen of dalen van de functie willen weten. Als we met een differentieerbare functie

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Aantal fietsen 10 20 30 40 50 60 70 80 Kosten ( ) 2500 4500 6000 7000 7500 8700 10500 12800 Verandering kosten ( ) 2000 1500 1000 500 1200 1800 2300

Aantal fietsen 10 20 30 40 50 60 70 80 Kosten ( ) 2500 4500 6000 7000 7500 8700 10500 12800 Verandering kosten ( ) 2000 1500 1000 500 1200 1800 2300 Hoofdstuk 3, Veranderingen 1 Hoofdstuk 3 Veranderingen Kern 1 Stijgen en dalen 1 a In 2000. Begin 1993 was de stand 130, de top is 700. In totaal is er dus een toename van 570 punten. Die toename vond

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : De Tabel

Hoofdstuk 1 : De Tabel Hoofdstuk 1 : De Tabel 1.1 Een tabel maken De GR heeft 3 belangrijke knoppen om een tabel te maken : (1) Y= knop : Daar tik je de formule in (2) Tblset (2nd Window) : Daar stel je de tabel in. Er geldt

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 havo 2004-II

Eindexamen wiskunde B 1-2 havo 2004-II Eindexamen wiskunde B - havo 004-II 4 Beoordelingsmodel Bacteriecultuur Maximumscore beschrijven hoe met de GR het maximum van N = 00t 3 + 300t + 900t + 000 voor 0 t 4 kan worden berekend Het aantal bacteriën

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Formules en grafieken Hst. 15

Formules en grafieken Hst. 15 Formules en grafieken Hst. 5. De totale kosten zijn dan : 0,5. 0000 = 0.000 dollar. Dan zijn de kosten per ton, dollar. De prijs is dan :,. 0.000 = 4.000 dollar. 0,50 dollar per ton en 4000 mijl. Aflezen

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

Het berekenen van coördinaten van bijzondere punten van een grafiek gaat met opties uit het CALC-menu.

Het berekenen van coördinaten van bijzondere punten van een grafiek gaat met opties uit het CALC-menu. Toppen en snijpunten We gaan uit van de formule y 0,08x 1,44x 6,48x 3. Voer deze formule in op het formule-invoerscherm (via!) en plot de grafiek met Xmin = 0, Xmax = 14, Ymin = 5 en Ymax = 14. In de figuur

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 0 Voorkennis: Differentiëren en rekenregels lazije 0 V-a h ( ) 0 f () t 6 t + t 0 t + t n () t t t 7 t 6t e k ( p) p p + 0 0p 7 p g ( ) + 08 V-a f( ) ( + ) 6 f ( ) 6 h ( ) ( + 9) 8 gt () tt ( + t ) t +

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5 Hoofdstuk 6: De afgeleide functie 6. Hellinggrafieken Opgave : als je vanuit punt A naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te komen, dus rc 6 b. c. d. x 0 4 helling 6,5 0, 5, 5 0,5 Opgave

Nadere informatie

Straal van een curve

Straal van een curve Straal van een curve Arnold Zitterbart Schwarzwald-Gymnasium Triberg Duitsland (Vertaling: L. Sialino) Niveau Vwo-scholieren Hulpmiddelen Grafiek toepassing, Run-Matrix toepassing Doel Bepaal de straal

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

: de diepte wordt 10 m/min minder, dus hij stijgt 10 m/min 46: op t 0 is de diepte 46 m, dus het wrak ligt op 46 m diepte

: de diepte wordt 10 m/min minder, dus hij stijgt 10 m/min 46: op t 0 is de diepte 46 m, dus het wrak ligt op 46 m diepte Hoofdstuk : Functies en grafieken.. Lineaire functies Opgave : a. d b. t, 75 dus d 8, 5 m c. 0 : de diepte wordt 0 m/min minder, dus hij stijgt 0 m/min 46: op t 0 is de diepte 46 m, dus het wrak ligt op

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE Lesrief EERSTE AFGELEIDE etreme waarden raaklijn normaal TWEEDE AFGELEIDE uigpunten 6/7Np GGHM03 Inleiding Met ehulp van de grafische rekenmachine kun je snel zien of de grafiek daalt of stijgt. Het horizontaal

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Bij een tonnage van ton (over mijl) kost het 0,75 $/ton totale kosten ,75 = ($).

Bij een tonnage van ton (over mijl) kost het 0,75 $/ton totale kosten ,75 = ($). C von Schwartzenberg 1/14 1a 0,5 $/ton (zie de verticale as bij punt A) 0 000 0,5 = 10 000 ($) 1b,1 $/ton (ga vanuit A verticaal omhoog naar de rood gestippelde grafiek) 0 000,1 = 4000 ($) us 4, keer zoveel

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine Havo B deel Uitwerkingen hoofdstuk Moderne wiskunde Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine bladzijde 6 V- is : 9,... Afgerond op twee decimalen is dat,6. Dus,6 9 9 is : 8,8. Dus,8. Afgerond op twee decimalen

Nadere informatie

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis

Wiskunde. voor. economie. drs. H.J.Ots. Hellevoetsluis Wiskunde voor economie drs. H.J.Ots Hellevoetsluis 15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl Wiskunde voor economie Drs. H.J. Ots ISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis,

Nadere informatie

METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen

METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen METACOGNITIEVE VRAGEN-kaart V4WA MW 10 H3: Telproblemen Beschrijf in eigen woorden: Waar gaat de opdracht over? Welke signaalwoorden staan in de tekst? Wijst een signaalwoord naar een strategie? Welke

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

1.6 Gebroken lineaire functies

1.6 Gebroken lineaire functies .6 Gebroken lineaire functies.58 Twee zusjes schelen nagenoeg 5 jaar in leeftijd. Toen de oudste 0 werd zei ze trots tegen haar zusje: Nu ben ik twee keer zo oud als jij. Vijf jaar later, toen de oudste

Nadere informatie

~ (" 3 5x5 + 3x3 - gx + C. ~ 1 1-6/5 f (x =~=X65= x. = x~~5 + c = 55X + c V I NTEGRAALREKENING.

~ ( 3 5x5 + 3x3 - gx + C. ~ 1 1-6/5 f (x =~=X65= x. = x~~5 + c = 55X + c V I NTEGRAALREKENING. 1 I NTEGRAALREKENING. Onder een primitieve funktie F(x) van een funktie f(x) verstaan we de funktie F(x) waarvoor geldt: F ' (x) = f (x) B i j v. f (x) = x F (x) = x + c (c R) een primitieve funktie f(x)

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

De grafische rekenmachine en de afgeleide

De grafische rekenmachine en de afgeleide Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres Jan de Geus 11 January 2011 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/27841 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Vergelijkingen. Kern 1 Numeriek oplossen. Netwerk 4 HAVO B uitwerkingen, Hoofdstuk 4, Vergelijkingen 1

Hoofdstuk 4 Vergelijkingen. Kern 1 Numeriek oplossen. Netwerk 4 HAVO B uitwerkingen, Hoofdstuk 4, Vergelijkingen 1 Netwerk HAVO B uitwerkingen, Hoofdstuk, Vergelijkingen Hoofdstuk Vergelijkingen Kern Numeriek oplossen a Teken Y = + 0.* (X) en Y = + 0.00 * X op WINDOW [0,00] [0, 0]. b X = 6.5 en Y =.78. Dus na 6,5 dag

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007

Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 Bijlage bij Eindverslag van de Nomenclatuurcommissie Wiskunde september 2007 zie havo vwo aantonen 1 aanzicht absolute waarde afgeleide (functie) notatie met accent: bijvoorbeeld f'(x), f' notatie met

Nadere informatie

1.1 Differentiëren, geknipt voor jou

1.1 Differentiëren, geknipt voor jou 1.1 Differentiëren, geknipt voor jou Je hebt leren omgaan met hellings of, wat hetzelfde is: s. We frissen de begrippen en rekenmethoden die hierbij horen nu wat op. Stel dat je met een (gewone) schaar

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = =

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = = C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1 1 1 4 5 4 6 4 4 5 f ( ) 6 + 6 6 + 6 6 f '( ) 4 + + 4 4 + + 4 g( ) 5 8 g '( ) 5 1 5 Onthou: y y '( ) 1 8 8 1 1 1 h + + + h'( ) 1 1 7 6 6 k ( ) ( 1) + 8 k '( ) 1( 1 )

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De normale verdeling

De normale verdeling De normale verdeling Les 2 De klokvorm en de normale verdeling (Deze les sluit aan bij paragraaf 8 en 9 van Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode) De grafische rekenmachine Vooraf

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p gghm Functies Verdieping 6N-p 010-011 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

Keuzemenu - Wiskunde en economie

Keuzemenu - Wiskunde en economie 1a a Keuzemenu - Wiskunde en eonomie ladzijde 6 TK( 00) GTK( 00) = = 300 = 71 euro per ezoeker 00 00 TK( 600) 800 = = 71, 33 euro per ezoeker 600 600 TK( 800) 9 00 GTK( 800) = = = 7 euro per ezoeker 800

Nadere informatie

Graph 35+ Verkenning van de menu s. van de. www.cas-bel.com JANUARI 2008. Sportvliegen is leuk. Spectaculaire luchtballonvaart.

Graph 35+ Verkenning van de menu s. van de. www.cas-bel.com JANUARI 2008. Sportvliegen is leuk. Spectaculaire luchtballonvaart. JANUARI 2008 Verkenning van de menu s van de Graph 35+ Sportvliegen is leuk. Spectaculaire luchtballonvaart. Japan regelmatig geteisterd door tsunami s. Ontdekkingsaanbod voor de leraar. www.cas-bel.com

Nadere informatie

8.0 Voorkennis ,93 NIEUW

8.0 Voorkennis ,93 NIEUW 8.0 Voorkennis Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 Aantal 2012

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties Hoofdstuk - Machtsfuncties Voorkennis: Functies en symmetrie ladzijde 9 V-a Kies als vensterinstelling voor je GR ijvooreeld X en Y en voer in Y = X X + Je krijgt: + = 0, dan D = ( ) = en = = = + = of

Nadere informatie

1,12 = 1,06. De quotiënten zijn niet bij benadering gelijk, dus geen exponentiële groei. 1,28 1,20

1,12 = 1,06. De quotiënten zijn niet bij benadering gelijk, dus geen exponentiële groei. 1,28 1,20 Groei 2 a, 4 =,4, 5,,8 8,2, 4 5, =,6 5, De quotiënten zijn niet bij benadering gelijk, dus geen exponentiële groei. 8,2 38 5, 5,22 4, 4,28 8 7, 6,2 5, 5, 8 4,,23 4 Ook het aantal woningen groeit niet exponentieel.

Nadere informatie

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni 13:30-16:30 uur

Examen VWO. wiskunde A (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni 13:30-16:30 uur Examen VWO 2016 tijdvak 2 woensdag 22 juni 13:30-16:30 uur wiskunde A (pilot) Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

Functiewaarden en toppen

Functiewaarden en toppen Functiewaarden en toppen Formules invoeren Met [Y=] kom je op het formule-invoerscherm. Reeds ingevoerde formules wis je met [CLEAR]. Krijg je niet een scherm waarop Y1, Y2,... te zien zijn, kies dan bij

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO. wiskunde B1,2

Correctievoorschrift HAVO. wiskunde B1,2 wiskunde B,2 Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs 20 04 Tijdvak 2 inzenden scores Verwerk de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school in het programma Wolf of

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

integreren is het omgekeerde van differentiëren

integreren is het omgekeerde van differentiëren Integraalrekening Als we een functie f(x) differentiëren is het resultaat de eerste afgeleide f (x). Dezelfde functie f(x) kunnen we ook integreren met als resultaat de zogenaamde primitieve functie F(x).

Nadere informatie