ISBN WISKUNDE B UITWERKINGENBOEK HAVO BOEK

Transcriptie

1 ISBN WISKUNDE B _OM.in 1 UITWERKINGENBOEK HAVO BOEK I 17/06/15 11:28

2 1 1 HAVO WISKUNDE B UITWERKINGEN I MathPlus is een igitale wiskunemethoe geaseer op e open ontent van Math4all. In het olofon staan e namen van e etrokken auteurs. Eerste ruk MALMBERG s-hertogenosh 1 1

3

4 3 3 3 Inhou 1 Funties en grafieken Werken met formules Context Context Formules geruiken Formules hershrijven Formules en e grafishe rekenmahine Vergelijkingen Vooreel eintoets Verzamele figuren Funties en grafieken Lineaire veranen Context Context Lineaire funties Lineaire veranen Stelsels vergelijkingen Lineaire moellen Vooreel eintoets Funties en grafieken Funties en grafieken Context Context Het egrip funtie Domein en ereik Karakteristieken Samengestele funties Transformaties Vooreel eintoets Differentiaalrekening 4 Veraneringen Context Context Veraneringen in grafieken Veraneringen per stap Differentiequotiënt Differentiaalquotiënt Hellingsgrafiek Vooreel eintoets Verzamele taellen

5

6 5 5 Funties HOOFDSTUK en1 grafieken Werken met formules Werken met formules Context Formules geruiken a Reken eerst e snelheen om naar m/s: 7,2 3,6 = 2 m/s 28,8 3,6 = 8 m/s Shrijf nu e formule in e vorm D =... u 0,008 u 3 P = 0, 008 v 3 D 2 = D2 D = u 0,008 u 3 Vul het vermogen en e winsnelhei in om zo e rotoriameter te epalen: D = 40 0, = 25 m D = 40 0, , 13 m Als het twee keer zo har gaat waaien, wort het gelevere vermogen vermenigvulig met 2 3 = 8. Dit veran is us niet reht evenreig. 1.1 a Bijvooreel uren, jaren en weken. Bijvooreel volume. Inhou is ook goe. Als e formule een veran is tussen twee variaelen. De eerste formule gelt voor elke x; het is een rekenregel. De tweee formule is een vergelijking ie je voor x kunt oplossen. Deze formule gelt alleen als x = a A Een veran, e formule evat meerere variaelen. B Geen veran tussen variaelen, e formule evat één variaele. Dit is een vergelijking ie alleen waar is voor y = 40. B Geen veran tussen variaelen, e formule evat één variaele. Dit is een vergelijking ie alleen waar is voor x = 1, 2. A Een veran, e formule evat meerere variaelen. Context 2 Als eerste herlei je e formule naar e vorm R 1 =... 1 u tot = u u 1 2 geeft an u 1 1 = u 1 tot u a lengte reete = 50 lengte reete , ,5 2 1 Vervolgens verwerk je e linkerkant tot één reuk oor e losse reuken gelijknamig te maken: 1 u 1 = 1 u 2 u tot u 2 1 u tot u 2 u tot = u 2 u tot u 2 u tot Daarna raai je eie reuken om tot e gevraage vorm: R 1 = u 2 u tot u 2 u tot 1.4 a oppervlakte = 6 reete lengte reete =

7 6 6 6 DOMEIN Funties en grafieken lengte lengte = lengte 2 oppervlakte = lengte 2 oppervlakte = lengte 2 Neem lengte op e horizontale as. Op e horizontale as is elk roostervierkantje 1 m, op e vertiale as is elk roostervierkantje 4 m a Je etaalt 0,08 per elminuut. Daar ovenop moet je nog e aonnementskosten van 24,00 verrekenen per elminuut. Dus per elminuut is it 24 u. Bij elkaar is at us K = 0, u. a K - 1,68 0,88 0,48 0,35 0,28 0,24 0,21 0,19 0,18 grafiek I K = 0, 12 invullen levert: 0, 12 = 0, u 0, 04 = 24 u grafiek II a = 24 0,04 a = 600 Bij 600 elminuten etaal je 0,12 per minuut , 1 9, 8t = 0-9, 8t = - 24, 1 t = - 24,1-9,8 t 2, 46 grafiek III Neem als oorsprong van het assenstelsel het roosterpunt linksoner. Bij grafiek I hoort e formule uit : lengte reete = 12 Neem ijvooreel lengte op e horizontale as. Elk roostervierkantje is 1 m ij 1 m. Bij grafiek II hoort e formule uit a: oppervlakte = 6 reeteneem reete op e horizontale as. Op e horizontale as is elk roostervierkantje 1 m, op e vertiale as is elk roostervierkantje 5 m 2. Bij grafiek III hoort e formule uit : 1.7 a In het vooreel is het effet van e zwaartekraht op e snelhei van e steen weergegeven oor - 9, 8t. Op een tennisal is at effet preies hetzelfe (op e Aare), us met e eginsnelhei erij opgetel is e formule voor e snelhei v = 5 9, 8t. t 0 1 v 5-4, 8 6 6

8 7 7 HOOFDSTUK 1 Werken met formules a Dit is een veran tussen twee variaelen. r inhou Positieve snelhei: e al gaat omhoog; negatieve snelhei: e al gaat omlaag. 5 9, 8t = 0-9, 8t = -5 t = 5 9,8 t 0, 510 e Na ongeveer 0, 510 seone is e al op zijn hoogste punt. Gegeven is at e al na 2 seonen neerkomt, us v = 5 9, 8 2 = - 14, 6. 1 m/s = 3, 6 km/h De snelhei in km/h is us - 14, 6 3, 6 = - 52, 56; ofwel 52, 56 km/h naar eneen. 1.8 a K = K 8-4 e f Geen veran tussen twee variaelen. Dit is een veran tussen vier variaelen. Geen veran tussen twee variaelen. Dit is een rekenregel. Geen veran tussen twee variaelen. Deze vergelijking gelt alleen voor lengte = 100. Geen veran tussen twee variaelen. Deze vergelijking gelt alleen voor p = - 4, 4. Deel eie kanten van e vergelijking oor x en je vint y = 12 u. Dit is een veran tussen twee variaelen. x y K = 2a + 3 a 0 4 K

9 8 8 8 DOMEIN Funties en grafieken Deze formule eshrijft een veran tussen t en S. Je kunt er een grafiek ij tekenen. t a Grootheen: hoogte en tij. Eenheen: entimeter en minuten. De variaelen t en h. 82 m = 62 m S e t 0 10 h Dit is een veran tussen rie variaelen a m 3 V = π , 25 De inhou eraagt ongeveer 804, 25 m 3. V = 16πr 2 f 82 5t = 0 r V t = - 82 t = t = 16, 4 minuten 1.11 a Als je e haakjes wegwerkt, zie je at it een rekenregel is en geen veran. Deze formule eshrijft een veran tussen r en inhou. Je kunt er een grafiek ij tekenen. r inhou e 1 L = 1000 m 3 8 8

10 9 9 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 9 Vul e waare 1000 in voor V in e formule V = π r 2 h. Je vint 1000 = π r 2 h. Dit kun je shrijven als h = 1000 u u a De kosten per kwh (K) estaan uit e kosten per kwh enerzijs, en e vaste jaarlijkse kosten vereel over het totaal aantal geruikte kwh (a). K = 0, u Het vaste jaarlijkse erag is us 32,00. a K 1,40 0,76 0,44 0,28 0,23 0,20 0,17 0,16 0,15 I 15 = 200 I = I 13, 3 A 1.15 a Op het hoogste punt is e snelhei van e al 0. eginsnelhei 9, 8 2, 7 = 0 eginsnelhei = 26, 46 m/s v = 26, 46 9, 8t, met v e snelhei in meter per seone en t e tij in seonen. v = 26, 46 1, 5 9, 8 = 11, 76 m/s 42 km/h 1.16 lengte = x, reete = x 3 en hoogte = 5. 5x(x 3) = 140 0, 16 = 0, u 0, 04 = 32 u a = 32 0,04 a = a Vul 200 in op e plaats van U in e formule en je vint 200 = I R. Dit kun je ook shrijven als I = u. Of R = u. De eenheen zijn A en Ω. I R x inhou Dus e lengte is 7 m a De inhou van eie verpakkingen is nagenoeg gelijk, us welke van e twee e kleinste oppervlakte A heeft, heeft e kleinste F-waare. De oppervlakte van e alkvormige verpakking is: 2 (7, , 5 10) = 290 m 2. Als je een uitslag maakt van e ilinervormige verpakking he je twee irkels met een straal van 3 en een rehthoek van 2π 3 (omtrek van e irkel) ij 10, 6. Dus e oppervlakte is 2 π π 3 10, m 2. Dus e F-waare van e irkelvormige verpakking is het kleinst. r h

11 DOMEIN Funties en grafieken (3x) 2 + (4x) 2 = 2 9x x 2 = 2 25x 2 = 2 = - 25x 2 = 25x 2 = - 5x = 5x De toegestane waaren liggen ongeveer tussen 8 m en 11, 3 m. Omat a, en lengtes van een riehoek zijn moet gelen at x > 0. Daarom gelt alleen = 5x. 2.3 a (x + 2)(x + 4) = 1.2 Formules hershrijven 2.1 a 2x 4y = 10-4y = 10 2x y = 0, 5x 2, 5 x (y + 2) = 6 y + 2 = 6 u x = 4y 2 y 2 = 1 4 x y = 6 u 2 y = x y = 1 2 x x 2 + y 2 = 25 y 2 = 25 x 2 y = - 25 x 2 y = 25 x a Een gelijkwaarige formule is een formule ie hetzelfe is, maar op een anere manier genoteer is. Je moet e formule us hershrijven. Als je van eie zijen 2 afhaalt krijg je e formule a 2 = 2 2. Als je van eie zijen a 2 afhaalt krijg je e formule 2 = 2 a 2. x 2 + 4x + 2x + 8 = x 2 + 6x + 8 2( + 4)( 2) = 2( ) = (l + 3)( 1 u + 6) = u u + 6l + 3 u + 18 = l + 3 u (5 4) 2 = (5 4)(5 4) = = a 2(y + 3) + x = 4 2y x = 4 2y = - x 2 y = - 0, 5x 1 2y 3(2x 5) = 11 2y 6x + 15 = 11 2y = 6x 4 y = 3x

12 11 11 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 11 (x 3) 2 + 4y + 2x 2 = x + y + 10 x 2 6x y + 2x 2 = x + y x 2 6x y = x + y a 2x x = 2x(x + 5) 3x 2 9x = 3x(x 3) x 2 + 5x + 4 = x x + 1 x + 4 x = (x + 1)(x + 4) = = ( 8)( 1) e k 2 17k + 16 = k 2 k 16k 1-16 = (k 1)(k 16) 2.6 a = ( ) = ( + 1)( + 1) = ( + 1) 2 p 3 p 5 = 3y = - 3x 2 + 7x + 1 y = - x u 8 u 2 = - 3u u u 8 u 2 = -3a 8 u 2 1 u + 1 u +1 = 1(u +1) u (u +1) + u (u +1) 1 u = 2u +1 u 2 +u 2 u 3 2u +1 = 2(2u +1) u (2u +1) u (2u +1) 3u = u +2 2u 2 +u 3u 2u 2 +u = u +2 2u 2 +u a 2 7 / 1 3 = = u u 2 u / 3 u = 2 u u 3 = 2u 3u 1 a u + u 2 = u u u + u u 2u = u +2u u u u 2 2u 1 = 2u 4 2u 1 = 2u 3 3 5u / 2u 5 = 3 5u 5 2u = 15 10u 2 = 3 2u 2 2 u 8 u +1 = 16 u (u +1) = 16 u 2 +u 2.7 p 3 (1 p 2 ) = p 3 (1 + p p p 2 ) = p 3 (1 p)(1 + p) 2x 4 + 8x 10 = 2x 4 (1 + 4x 6 ) 3y 4 6y 5 = y 4 (3 6y) a 2 u + 5 u = 2u u u + 5u u u = 2u +5u u u 2.10 a 1 u u = u u (u +2) + 2(u +2) u (u +2) = 3u +4 u 2 +2u 2 u 1 u 2 +u = 2(u +1) u (u +1) 1 u (u +1) = 2u +1 u (u +1) = 2u +1 u 2 +u 5 u u 4 + u 3 = u u 20 + u u 3u = 20+3u u u 11 11

13 DOMEIN Funties en grafieken 2.11 a 4 x + 10 = 3 x 2 y x + 10 = - 2y - 0, 5x 5 = y y = - 0, 5x 5 2 y + 2 x x + 4 x = 6 x 2 2y + 2x 2 + 4x = 6x 2 2y + 4x = 4x 2 4 x h + 2 x 2 = 100 2xh + x 2 = 50 2y = 4x 2 4x y = 2x 2 2x 2.13 a x 2y = 10-2y = 10 x y = 0, 5x 5 (x + 2) y = 6 x = 4 y 2 y 2 = 4 x y = 6 u +2 y = - 4 x y = 4 x xy 2 = 4 y 2 = 4 u y = - 2 u y = 2 u W = p (650 2 p) 20 (650 2 p) W = 650p 2p p W = - 2p p a 0, 5x + 1, 5y = 12 1, 5y = 12 0, 5x y = x 2.12 a 3 u + 5 u = (x + y) 3 = 8 3u u u + u u 5u = x + y = 2 3u +5u u u y = 2 x 3 u 2 2 u = x 2 y 2 = 25 3u u (u 2) 2(u 2) u (u 2) = y 2 = x 2 25 u +4 u 2 2u y = - x 2 25 y = x u / 3 u = 2 u u 3 = 2u 3u 2x 1 2u = 4u 2 2u 1 2u = 4u 2 1 2u e 2 u 3 u + 5 u = 6 u u + u u 5u = 6+5u u u 2x 2 + 4xy = 100 4xy = 100 2x 2 xy = x 2 y = 25 u 1 2 x 2.15 a (a 3)(a + 3) = a 2 + 3a 3a 9 = a 2 9 (6x 3) 2 = (6x 3)(6x 3) = 36x 2 18x 18x + 9 = 36x 2 36x

14 13 13 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 13 (a 1 u ) 2 = (a 1 u )(a 1 u ) = a u 2 = a u 2 (x 2) 3 = (x 2)(x 2)(x 2) = (x 2)(x 2 4x + 4) = x 3 4x 2 + 4x 2x 2 + 8x 8 = x 3 6x x xy 11x 4y = (x 4)(y 11) 44, us er moet gelen at (x 4)(y 11) 44 = 97 en hieruit volgt (x 4)(y 11) = 141. Verer kun je nagaan at 141 = Omat x en y positieve gehele getallen moeten zijn, is het aantal mogelijkheen eperkt: x 4 = 3 en y 11 = 47 of x 4 = 47 en y 11 = 3 of x 4 = 1 en y 11 = 141 of x 4 = 141 en y 11 = 1. Dit levert e volgene paren op: (5, 152), (7, 58), (51, 14) en (145, 12). 1.3 Formules en e grafishe rekenmahine 2.16 a 4k 2 16 = 4(k 2 4) = 4(k 2)(k + 2) 2p 3 2p 2 24p = 2p(p 2 p 12) = 2p(p 4)(p + 3) (4 p)(4 + p) (x 9)(x 1) 2.17 a Van het rehthoekige stuk weilan is e lengte tweemaal zo groot als e reete. Noem e reete x meter; an is e lengte natuurlijk 2x meter. Deze twee vermenigvuligen geeft e oppervlakte A = 2x a 4x + 2y = 10 2y = 10 4x y = - 2x + 5 Voer in: Y1=-2X+5 Venster ijvooreel: -10 x 10 en -20 y a x y = 12 - y = - x + 12 y = x 12 2x + 5y = 4 5y = 4 2x y = x (x + y) = 6 x + y = 3 Aan e kortste zije wort aan één kant 10 meter weggehaal. Je krijgt an 2x 10 meter. Aan e langste zije wort van eie zijen 3 meter weggehaal voor e oswal. Je krijgt us x 6 meter. De formule voor e oppervlakte wort us A = (2x 10)(x 6). (2x 10)(x 6) = 2x x 2 22x + 60 = 2x x = x = 125 De reete is 125 meter. 32x = 2y 2 16x = y 2 y = 3 x y = - 16x y = 16x y = - 4 x y = 4 x 3.3 a Als er a kopieën woren gemaakt, an kost it , 06a euro. De prijs per kopie krijg je oor te elen oor het aantal kopieën a. P = 250+0,06u u. Het aantal kopieën zal maanelijks in e uizentallen lopen, ijvooreel tot stuks. De prijs 13 13

15 DOMEIN Funties en grafieken per kopie zal ij weinig kopieën oven e 10 euroent en altij oven e 6 euroent liggen. Neem ijvooreel a van 0 t/m en P van 0 t/m 0, 20 (in euro). Voer in: Y1=( X)/X Venster ijvooreel: 0 x 7000 en 0 y 10 Voer in: Y2=0.10 Je ziet at e grafieken elkaar ron e x = 6250 snijen. Met e tael vin je at ij 6250 kopieën e kosten preies 10 euroent zijn. Dus vanaf 6251 kopieën maakt e shool winst. 3.4 Voer in: Y1=5000/X en Y2=180-X Venster ijvooreel: 0 x 250 en 0 y 250 Teken e grafieken. Je ziet at e x-oörinaten van e snijpunten ron e 35 en 145 liggen. (Je kunt eventueel inzoomen op e snijpunten voor een preiezere shatting.) Maak een tael met stapgrootte 0, 1 en eginwaare 35 of 145. Je vint x 34 en x 146. l 146 en y = 9 x en y = x 3 Voer in: Y1=9-X en Y2=X^3 Venster ijvooreel: - 5 x 15 en - 5 y 15 Je vint: x 1, 9 (een tael met stapgrootte 0, 01). 3.6 a R = 2p + 3(2p 3) + 20 R = 2p + 6p R = 8p + 11 K = - 2(- v 3) 5v + 22 K = 2v + 6 5v + 22 K = - 3v z = 3x 4y 2(2x + 1) = 3x 4y - 4y = 2(2x + 1) 3x - 4y = 4x + 2 3x - 4y = x + 2 y = x a = en = = 12u +18 3u 6y = 12x + 18 y = 2x a Van het weilan hoeven slehts rie zijen voorzien te woren van een omheining: twee reetes, en een lengte. De omheining is in totaal 200 m lang. Kortom: 2 + l = 200 En met l uitgerukt in : l = De oppervlakte van het weilan is A = l en l = Sustitutie levert: A = (200 2) en us A = Voer in: Y1=200X-2X^2 Venster ijvooreel: 0 x 100 en 0 y 5000 In e grafiek zie je at het maximum ergens ron e 50 ligt. Een tael maken met stapgrootte 0, 1. Je vint = a V = 10πr 2 Voer in: Y1=10π X^2 Venster ijvooreel: 0 x 10 en 0 y 1500 Zoom in op het snijpunt. Je vint r 5, 64 (een tael met stapgrootte 0, 001). V = 2πr 3 en 0, 5 liter is 500 m 3. Voer in: Y1=2π X^3 en Y2=500 Venster ijvooreel: 0 x 10 en 0 y 1000 Zoom in op het snijpunt. Je vint r 4, 30 (een tael met stapgrootte 0, 001). 1 liter is 1000 m 3, us 1000 = πr 2 h. Als je h vrij maakt krijg je h = 1000 u u 2 Voer in: Y1= 1000/(π X^2) Venster ijvooreel: 0 x 10 en 0 y 1000 x = 5 geeft y = 12, h 12, a Voer in: Y1=250X-4.9X^2 Venster ijvooreel: - 10 x 60 en y 3500 Voer in: Y1= /X Venster ijvooreel: - 50 x 50 en - 50 y 50 Voer in: Y1=3+ (X-2) Venster ijvooreel: 0 x 100 en 0 y 15 Voer in: Y1=60/(30+0.5X^2) Venster ijvooreel: - 30 x 30 en - 1 y

16 15 15 HOOFDSTUK 1 Werken met formules a t = - s 2 + 3r t = - s 2 + 3(s 3) t = - s s 3 3 t = - s 2 + 3s 9 Bij s = 1, 5 is t zo groot mogelijk, namelijk t = -6, πr 2 h = 1000 πr 2 h = 3000 r 2 = 3000 u h r = 3000 u h 3000 u h = 10 (ij eenhei m) 3000 u h = πh = 3000 h = 100u , 55 m r = u 9, 77 m xy + 2x 2 = 100 4xy = 100 2x 2 y = 100 2u 2 4u y = 25 u 0, 5x Voer in: Y1=25/X-0.5X Venster ijvooreel: - 10 x 10 en - 15 y a K = , 04a I = 0, 10a Als iets kostenekken moet zijn, wil it zeggen at e kosten gelijk zijn aan e inkomsten , 04a = 0, 10a 0, 06a = 200 a = 200 0,06 = Dus minimaal 3334 kopieën a Oppervlakte van een irkel is πr 2. Dus G = πr 2. V = 1 3 πr 2 h 1 liter = 1000 m a l en zijn e lengte en reete van het erukte eel. Aan e reete lijft er aan eie zijen een strook van 10 m over. De reete van het affihe is us +20 m. Voor e lengte lijft aan e ovenkant een strook van 10 m en aan e onerkant een strook van 15 m over. Samen us 25 m. De lengte van het affihe is l + 25 m. De totale oppervlakte van het affihe is 1 m 2 ofwel m 2. Dus voor e oppervlakte gelt (l + 25)( + 20) = (l + 25)( + 20) = l + 25 = l = u u Voer in: Y1=10000/(X+20)-25 Venster ijvooreel: - 10 x 200 en - 10 y 200 l = Dus (l + 25)(l + 20) = Voer in: Y1=(X+25)(X+20) en Y2=10000 Venster ijvooreel: - 10 x 200 en - 10 y 200 Je vint x 77, 5 (een tael met stapgrootte 0, 01). De lengte van het affihe is l + 25 m us it wort 77, = 102, 5 m. De reete van het affihe is +20 m us it wort 77, = 97, 5 m. De maten van het affihe moeten an 97, 5 ij 102, 5 m zijn

17 DOMEIN Funties en grafieken 3.15 a , 15p = , 42p - 0, 15p = 0, 42p 741-0, 57p = p = 1300 u 3 4 = 1 5 (10 2x) 1 4 x 3 4 = x O = ( + h)(2l + 2h) O = 2l + 2h + 2hl + 2h 2 + h = 50 kun je herleien tot h = 50, nu kun je 2l +2h = 120 shrijven als 2l +2(50 ) = 120 en it geeft l = I = l h = ( + 10)(50 ) Voer in: Y1=X(X+10)(50-X) Venster ijvooreel: 0 x 50 en 0 y Je vint at ij 32 er een maximum is van ongeveer m a x = 11 4 x = x 4, 23 Je vint: x = ( 4 2 )2 3 en us x = Vergelijkingen Controle: = (x + 8) = x Zie vergrote figuur 1 op pagina 22. x + 8 = x x = a 3t 400 = 700 3t = 1100 t = Je vint: x = ( )2 2 en us x = - 1. Controle: = 8 2. Er is geen oplossing. Als je van een wortel af wilt komen ga je kwarateren. Maar als je gaat kwarateren kun je oplossingen genereren ie niet voloen. Dit komt oorat (- 1) 2 = 1, maar 1 = 1 en niet - 1. t 366, 67 3t 400 = 700 2t 3t = - 2t t = a t Je vint met terugrekenen: t = en us t = 24. t 3 20 (...) Je vint met terugrekenen: t = 220 t = ± en us t = 20 t = (...) 3 p Je vint met terugrekenen: p = en us p =

18 17 17 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 17 x Je vint met terugrekenen: f x 3 = 9x x 3 9x = 0 e x = ( 9 3 ) en us x = x Je vint met terugrekenen: x = ( ) en us x = 9. Controle: = Er is geen oplossing. Deze vergelijking heeft geen oplossing, want e wortel uit een (reëel) getal kan niet negatief zijn. Door het kwarateren is er een oplossing gegenereer ie niet voloet. 4.5 a 0, 5x 2 = 4x 0, 5x 2 4x = 0 x(0, 5x 4) = 0 x = 0 0, 5x 4 = 0 x = 0 x = 8 k 2 + 5k 6 = 0 (k + 6)(k 1) = 0 8p p 2 = 0 p(8 p) = 0 k = - 6 k = 1 p = 0 p = 8 x(x 2) = 3x 6 x 2 2x = 3x 6 x 2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 x = 2 x = 3 e x 2 = x + 12 x 2 x 12 = 0 (x 4)(x + 3) = 0 x = 4 x = - 3 x(x 2 9) = 0 x = 0 x 2 9 = 0 x = 0 x 2 = 9 x = 0 x = - 3 x = a Voer in: Y1=X^3 en Y2=4-X Venster: stanaar Je ziet at je x moet zoeken tussen 1 en 1, 5. Maak een tael met stapgrootte 0, 1. Je ziet at je verer moet zoeken tussen 1, 3 en 1, 4. Maak een tael met stapgrootte 0, 01. Je ziet at je verer moet zoeken tussen 1, 37 en 1, 38. Maak een tael met stapgrootte 0, 001. Je ziet at je verer moet zoeken tussen 1, 378 en 1, 379. Maak een tael met stapgrootte 0, Je ziet at je verer moet zoeken tussen 1, 3787 en 1, Hieruit volgt at x 1, 379. Voer in: Y1=600/X en Y2= X Venster ijvooreel: 0 x 20 en 0 y 50 Je ziet at je x moet zoeken tussen 31 en 32. Maak een tael met stapgrootte 0, 1. Je ziet at je verer moet zoeken tussen 31, 1 en 31, 2. Maak een tael met stapgrootte 0, 01. Je ziet at je verer moet zoeken tussen 31, 17 en 31, 18. Maak een tael met stapgrootte 0, 001. Je ziet at je verer moet zoeken tussen 31, 173 en 31, 174. Maak een tael met stapgrootte 0, Je ziet at je verer moet zoeken tussen 31, 1737 en 31, Hieruit volgt at x 31, a Voer in: Y1=X^3+2X en Y2=16 Venster ijvooreel: - 5 x 5 en - 25 y 25 x 2, 26 (een tael met stapgrootte 0, 001). Voer in: Y1=X+ (X) en Y2=10 Venster ijvooreel: 0 x 15 en 0 y 25 x 7, 30 (een tael met stapgrootte 0, 001). Voer in: Y1=X+10/X en Y=10 Venster ijvooreel: - 5 x 15 en - 25 y 25 l 1, 13 l 8, 87 (twee keer een tael maken met stapgrootte 0, 001). Voer in: Y1=300/(X+4) en Y2=20 Venster ijvooreel: - 20 x 20 en - 50 y 50 p = 11 (een tael met stapgrootte 1). 4.8 a Voer in: Y1=1/(x+3)+1/x en Y2=1/2 Venster ijvooreel: - 10 x 10 en 0 y

19 DOMEIN Funties en grafieken Je vint x = 3 x = - 2 (een tael met stapgrootte 1). Algeraïsh: 1 u u = 1 2 u u (u +3) + u (u +3) u +3 = 1 2 2u +3 u (u +3) = 1 2 2(2x + 3) = x(x + 3) 4x + 6 = x 2 + 3x x 2 x 6 = 0 (x 3)(x + 2) = 0 x = 3 x = - 2 Voer in: Y1=20/(X^2+5) en Y2=2 Venster ijvooreel: - 10 x 10 en 0 y 3 Je vint x - 2, 24 x = 2, 24 (twee keer een tael met stapgrootte 0, 001). Algeraïsh: 20 u 2 +5 = 2 20 = 2(p 2 + 5) 20 = 2p = 2p 2 p 2 = 5 p = 5 p = - 5 x + 4 = 20 x + 4 = 400 x = 396 Controle: = 20 (2x 5) 3 = 125 2x 5 = 5 2x = 10 x = 10 2 x = 5 a = 0 a = 20 a = 400 a 2 = 396 a = a = 396 a - 19, 90 a 19, 90 e 2x 2 2 = 12x + 30 x 2 1 = 6x + 15 x 2 6x 16 = 0 (x + 2)(x 8) = 0 x + 2 = 0 x 8 = 0 x = - 2 x = 8 Voer in: Y1=10/X+1 en Y2=5/X Venster ijvooreel: - 10 x 10 en - 20 y 20 Je vint x = - 5 (twee keer een tael met stapgrootte 1). Algeraïsh: f (1 2x)(x + 3) = (4x + 13)(x + 3) (x + 3)(1 2x 4x 13) = 0 x + 3 = 0-6 x 12 = 0 x = -3 x = u + 1 = 5 u 5 u = a 12 u = v = 12 x = - 5 v = v = 0, a 2x 3(x + 4) = 5x 18 2x 3x 12 = 5x 18-6x = - 6 x =

20 19 19 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 19 2 u +1 3 u = u u (u +1) 3(u +1) u (u +1) = u u (u +1) 30(u +1) u (u +1) = 1 20u 30u 30 u (u +1) = 1 20x 30x 30 = x(x + 1) - 10x 30 = x 2 + x x x + 30 = 0 (x + 5)(x + 6) = 0 3u 9 u 3 +2u +1 = 0 3x 9 = 0 3x = 9 x = 3 x = - 5 x = a Voer in: Y1= (X) en Y2=6-X Venster ijvooreel: 0 x 10 en 0 y 10 Je vint x = 4 (een tael met stapgrootte 1). Voer in: Y1=X^4 en Y2=2+X Venster ijvooreel: - 5 x 5 en - 10 y 10 Je vint x = - 1 x 1, 35 (een tael maken met stapgrootte 1 en stapgrootte 0, 001) a h = 381 4, 9t 2 Als het steentje op e gron komt an etekent it h = 0. Vul it in ij e formule en los algeraïsh op: 381 4, 9t 2 = 0 v = 381 4,9 4, 9t 2 = 381 t 2 = 381 4,9 t = 381 4,9 8, 8 9, 8 = 86, , 42 m/s 311 km/h 4.13 a p = 0 geeft q = q = 0 geeft p = 325. q = 0 geeft W = 0 W = 0 geeft q = 0 q = 200-0, 25q(0, 5q 100) = 0-0, 25q = 0 0, 5q 100 = 0 q = 0 q = 200 l = 0 geeft k = - 96 k = 96 k = 100 k = 100 k 2 = 96 k = - 96 k = 96 k = 0 geeft l = 8 l = - 12 (l + 2) 2 = 100 l + 2 = 10 l + 2 = - 10 l = 8 l = - 12 = 0 geeft a = 1. a = a = 2 1 a = 1 a = 0 geeft = = ,2u 2 1 = ,2u 2 = , 2 2 = = 3000 = = 3000 e x = 0 geeft y = - 18 y = (y 2 9) = - 36 y 2 9 = 9 y 2 = 18 y = - 18 y = 18. y = 0 geeft x = - 8 x = (x 2 4) = - 36 x 2 4 = 4 x 2 = 8 x = - 8 x = 8 f x = 0 geeft y = y =

21 DOMEIN Funties en grafieken 4.14 y = 4 1 y = 4 y 4 = 3 y = 4 3 y = 0 geeft x = - 3 x = u 2 = x 2 = 4 2u u (u +1) + x 2 = 3 x = - 3 x = 3 2 u u = 0 2 u u = 0 u +1 u (u +1) = 0 zien als een inhou. De inhou van een iliner kan woren ereken met e formule I = πr 2 h. Bereken eerst e inhou K van e hele kaars. De hoogte is gelijk aan 20 m. De straal is 1, 5 mm (voor e eerste onerompeling is het alleen nog maar e lont) en wort ij elke onerompeling 0, 5 mm groter. Dus e lengte r van e straal is afhankelijk van het aantal onerompelingen volgens e formule r = 1, 5 + 0, 5a. Toegepast op e formule van e inhou geeft it K = π (1, 5 + 0, 5a) 2 200, oftewel K = 200π(1, 5 + 0, 5a) 2. Maar e inhou van e lont zelf moet er afgehaal woren. Deze lont heeft een iameter van 3 mm en us een straal van 1, 5 mm. Dit toegepast op e formule voor e inhou geeft it voor e inhou L van e lont: L = π (1, 5) = 450π. De hoeveelhei kaarsvet V kan an woren ereken oor V = K L ofwel V = 200π(1, 5 + 0, 5a) 2 450π. Voer in: Y1=200π( X)^2-450π Venster ijvooreel: 0 x 1000 en 0 y GR: 106 m³ = mm³ Voer in: Y2= Na 23 onerompelingen (zoom eventueel in op het snijpunt). Algeraïsh: 3u +1 u (u +1) = 0 3x + 1 = x = - 1 x = π(1, 5 + 0, 5a) 2 450π = π(1, 5 + 0, 5a) 2 = , 5 + 0, 5a = u 200u u 0, 5a = ( 200u 1, 5) Noem e lengte van het lan zoner oswal x. De oppervlakte van het lan zoner oswal is x 2. De lengte van het lan met oswal is x 4 en e reete x 8. De oppervlakte van het lan naat een stuk is afgestaan voor e oswal is volgens e oer e helft van zijn oorspronkelijke lan: 0, 5x 2. Je krijgt e vergelijking (x 4)(x 8) = 0, 5x 2. Voer in: Y1=(X-4)(X-8) en Y2= 0.5X^2 Venster ijvooreel: 0 x 50 en 0 y 800 Je vint x 20, 94 (een tael met stapgrootte 0, 001). (x 3, 06 kan niet). De oppervlakte van het oorspronkelijk stuk lan is ongeveer 20, , 5 m 2. De oer hout ongeveer 219 m 2 over. Na ongeveer 23 onerompelingen Omat eie reuken kleiner moeten zijn an 1 is x 3 en y 4. Verer moet gelen at x 8, want u 2 = 1 u = 1 4 en us u en it geeft x 8. Als x = 3, an u 3 = 1 3. Dit geeft y = 9. Als x = 4, an u 3 = 1 2. Dit geeft y = 6. Als x = 5, an u 3 = 3 5. Dit geeft y = 5. Als x = 6, an u 3 = 2 3. Dit geeft y = 4, 5; geen oplossing. Als x = 7, an u 3 = 5 7. Dit geeft y = ; geen oplossing. Als x = 8, an u 3 = 3 4. Dit geeft y = 4. Alle oplossingen zijn: (3, 9), (4, 6), (5, 5) en (8, 4) a V staat voor e hoeveelhei kaarsvet en moet je 20 20

22 21 21 HOOFDSTUK 1 Werken met formules 21 Vooreel eintoets V1 Voer in: Y1=X^2+ (2X) en Y2=20 Venster ijvooreel: - 10 x 10 en 0 y 30 Je vint x 4, 138 (een tael met stapgrootte 0, 0001). V2 a , 2q = 55 0, 3q 0, 5q = q = (x 2) = 4 + 3(4 x) 2 8x + 16 = x 4 t 3 = 16 t 3 = 4 t = 3 4-5x = - 2 t = 1, 59 x = 2 5-0, 15 (x + 25) = 0-0, 15(x + 25) = 0-0, 15(x + 25) 2 = - 15 (x + 25) 2 = 100 x + 25 = - 10 x + 25 = 10 x = - 35 x = - 15 V4 e f 100 meter Na 8 seonen heeft e vuurpijl weer ezelfe hoogte. Na 4 seonen was e vuurpijl op het hoogste punt. Toen was hij 180 meter oven e egane gron. Als t = 10, an is h = 0 (zie grafiek). Dus na 10 seonen kwam e vuurpijl op e gron tereht. Nee, je weet niet oner welke hoek e pijl is afgeshoten. In e formule wort h uitgezet tegen e tij, us je weet alleen het verloop van e hoogte. a De oppervlakte van e oem is x 2. De oppervlakte van e ovenkant is hetzelfe. De oppervlakten van e opstaane zijvlakken zijn alle vier xh. Dus 4xh + 2x 2 = 800. Voer in: Y1=48X+2X^2 en Y2=800 Venster ijvooreel: 0 x 15 en 0 y 1000 Je vint x 11, 32 (een tael met stapgrootte 0, 001). Dus x 113 mm. 4xh + 2x 2 = 800 4xh = 800 2x 2 h = 800 2u 2 4u x = 8 geeft h = 21. V5 a T = - 27, 4 geeft V 314, 0 T = 38, 6 geeft V 353, 6 Het vershil is ongeveer 40 m/s. V = ,5h 273 = ,5 273 h V3 a Voer in: Y1=100+40X 5X^2 Venster ijvooreel: - 5 x 10 en - 5 y , , 0238h 270, ,

23 DOMEIN Funties en grafieken Verzamele figuren Figuur 1 ij opgave

24 23 23 Funties HOOFDSTUK en2 grafieken Funties en grafieken Funties en grafieken Context 1-273, 16 = u F 32 1,8 T F 32 = - 273, 16 1, 8 T F = - 459, 688 Het aantal graen Fahrenheit is - 459, 688 of hoger. Context 2 Er zijn twee manieren om erahter te komen of e fietsenhanelaar oven het reak-even punt zit: Manier 1: Je kunt e ehaale winst (of het verlies) epalen oor e gemaakte kosten van e ehaale omzet af te halen. Als e winst positief is zit e fietsenmaker oven het reak-even punt en als e winst negatief is (verlies) zit hij oner het reak-even punt. De gemaakte kosten kunnen epaal woren oor e formule g(x) in te vullen. Hieruit volgt at e totale kosten g(120) = euro zijn. Vervolgens kun op vergelijkare wijze e totale omzet epaal woren. Uit f(x) volgt at met 120 verkohte fietsen een omzet van f(120) = euro ehaal is. Hieruit kun je afleien at e gemaakte winst gelijk is aan = Dit is een positieve winst, us e fietshanelaar zit oven het reak-even punt. Manier 2: Je kunt ook eerst erekenen waar het reak-even punt ligt en vervolgens ekijken of e fietshanelaar meer of miner an it aantal fietsen verkoopt. Het reak-even punt vin je oor e twee funties aan elkaar gelijk te stellen f(x) = g(x). Hieruit volgt 250x = x. Dus 100x = 8000 en us is x = 80. De fietshanelaar heeft 120 fietsen verkoht en us zit hij us oven het reak-even punt. Opstellen van formules: De vaste kosten woren gegeven oor 8000,00 en vervolgens komt er per verkohte fiets nog 150, 00 aan kosten ij. Hieruit is op te maken at e totale kosten, gegeven oor f(x), op te stellen is als f(x) = x. Om e totale omzet te epalen, kun je geruikmaken van het feit at per fiets 250,00 wort uitgegeven. Hieruit volgt at e formule voor e omzet, gegeven oor g(x), op te stellen is als g(x) = 250x. 2.1 Het egrip funtie 1.1 a A I(6) = = = 72 I(2) = = 8 3 I(10) = = = Dus I x 3 = 200 x 3 = 600 x = , a Kies voor x een willekeurig getal kleiner an 10, ijvooreel 2. Je krijgt an: x 2 + y 2 = y 2 = y 2 = 100 y 2 = 96 y = 96 y = - 96 Er zijn ij eze waare van x meerere waaren voor y, us het is geen funtie. x 2 + y 2 = 100 y 2 = 100 x 2 y = x 2 y = 100 x 2 y 1 (x) = 100 x 2 e 1.3 C D y 2 (x) = x 2 Voer in: Y1= (100-X^2) en Y2=- (100-X^2) Venster ijvooreel: - 18 x 18 en - 12 y 12 y 1 (5) = 75 y 2 (5) =

25 DOMEIN Funties en grafieken 1.4 a x 2 4x = 0 x(x 4) = 0 x = 0 x = 4 x 2 4x = 5 x 2 4x 5 = 0 (x + 1)(x 5) = 0 x = - 1 x = 5 - x 2 x + 6 = 0 x 2 + x 6 = 0 (x + 3)(x 2) = 0 x = - 3 x = 2 De nulpunten van y 2 : x = - 3 x = 2 Voer in: Y1=(X^2-4)(X^2-9) en Y2=-X^2-X+6 Venster ijvooreel: - 10 x 10 en - 50 y a T(15) = 0, 64 Ja, ij elk gewiht hoort preies één tarief (oven 250 gram is het geen rief meer, maar een pakket). Nee, je weet alleen in welke gewihtsategorie e rief zit. 50 G < 100 e Nee, ij elke waare van T horen meerere waaren van G. 1.6 Alleen ij grafiek B is het zo at er x-waaren zijn waarvoor geen unieke y-waare is. Daarom is hier geen sprake van een funtie. 1.7 a Ja, want je vint ij elke waare van x preies één waare voor y. Nee, want je vint ijvooreel voor y = 4 meerere oplossingen voor x, namelijk x = - 1 en x = 1. Ja, want je vint ij elke waare van preies één waare voor a. Ja, want je vint ij elke waare van a preies één waare voor. 1.8 (- 10, 0), (1, 13; 11, 13) en (8, 87; 18, 87). 1.9 a Van y 1 : (x 2 4)(x 2 9) = 0 x 2 4 = 0 x 2 9 = 0 x 2 = 4 x 2 = 9 x = 2 x = - 2 x = 3 x = - 3 De nulpunten van y 1 : x = - 2 x = 2 x = - 3 x = 3 Van y 2 : (- 3, 0), (- 1, 79; 4, 58), (2, 0) en (2, 79; - 4, 58) a f(3) = = x + x 3 = 8 x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 x = 0 x 2 4 = 0 x = 0 x 2 = 4 x = 0 x = 2 x = - 2 Venster ijvooreel: - 5 x 5 en - 25 y 25 Ja, er kunnen geen tegenvooreelen gevonen woren. e Nee, ijvooreel voor y = 8 hoort x = 0 x = - 2 x = 2 (zie antwoor ij ) a Nee, ijvooreel voor x = 1 zijn er twee mogelijkheen namelijk y = - 1 y = 1. Nee, ijvooreel voor y = 1 zijn er rie mogelijkheen namelijk x = - 1 x = 0 x = a Ja, ij elke waare van x hoort één waare van y. Nee, ijvooreel e lijn y = 12 snijt e grafiek van y = x 4 + 3x + 2 twee keer. Dit etekent at voor y = 12 er twee mogelijke x-waaren zijn. Ja, ij elke waare van hoort één waare van a. Ja, ij elke waare van a hoort één waare van a Bij elke waare van a hoort preies één waare van K. K(100) = 35, , =

26 25 25 HOOFDSTUK 2 Funties en grafieken 25 K(a) = 35, , 77a , 77a = 500 0, 77a = , 77a = 465 a = 465 0,77 Dus maximaal 603 m a f(x) = 0 geeft 100x x 2 = 0: x 4 2x 2 = 0 x 2 (x 2 2) = 0 x 2 = 0 x 2 2 = 0 x = 0 x 2 = 2 x = 0 x = 2 x = - 2 Nulpunten van y 1 : x = 0 x = 2 x = - 2 Van y 2 : 100x x 2 = 0 x(100 x) = 0 x = 0 x = 100 Nulpunten: x = 0 x = 100 Venster ijvooreel: - 20 x 120 en y 3000 g(x) = 0 geeft 10x(x 50) = 0: 10x(x 50) = 0 x = 0 x = 50 Nulpunten: x = 0 x = 50 Venster ijvooreel: - 10 x 60 en y 7000 h(x) = 0 geeft (x 10) = 0: (x 10) = 0 (x 10) 2 = 1600 x 10 = 40 x 10 = - 40 x = 50 x = - 30 Nulpunten: x = - 30 x = 50 Venster ijvooreel: - 50 x 70 en y 2000 k(x) = 0 geeft , 6x = 0: 1, 6x = x 2 + 4x = 0 x(- x + 4) = 0 x = 0 x = 4 Nulpunten van y 2 : x = 0 x = 4 Bij een goee vensterinstelling krijg je e snijpunten van e grafieken van e funties met e oörinaatassen en e snijpunten van e grafieken van e funties onerling in eel. Venster ijvooreel: - 2 x 5 en - 2 y 6 Met e GR vin je (0, 0) en (1, 8; 4, 0) a Plot e funtie van f. Voer in: Y1=-X^2+8X Je kunt an het maximum laten epalen. De uitkomst is a 2 + 8a = 7 - a 2 + 8a 7 = 0 a 2 8a + 7 = 0 (a 1)(a 8) = 0 a 1 = 0 a 8 = 0 a = 1 a = 8 Je kunt e oplossing ook vinen met ehulp van e GR oor Y2=7 te plotten en e snijpunten met Y1 te epalen a Van y 1 : x = ,6 x = Nulpunt: x = Venster ijvooreel: x 150 en - 40 y = = 0 - ( 7) = 0 - = 0 7 = 0 = 0 = 7 Je kunt e oplossing ook vinen met ehulp van e GR oor Y2=X te plotten en e snijpunten met Y1 te epalen

27 DOMEIN Funties en grafieken 1.17 Maak een tael. x f(x) In e tael zie je e regelmaat f(x + 3) = f(x)+1. Dus als x met 3 toeneemt, an neemt f(x) met 1 toe = f(1990) = f(1) = Domein en ereik 2.1 D u = [0, 25] P(0) = 0 en P(25) = , 25 Dus B u = [0; , 25] 2.2 a h(14) = - 0, 0625(14 6) = = 0 De kogel wort weggestoten ij x = 0 en komt ij x = 14 op e gron tereht. Dus D h = [0, 14]. Uit e gegeven grafiek kun je e top van e paraool aflezen: T(6, 4). B h = [0, 4] 2.3 Bij grafiek II: D = [- 1, B =, 4] Bij grafiek III: D = [- 1, 5] B = [3, 6] 2.6 2x 4 staat oner het wortelteken en kan us alleen groter of gelijk aan 0 zijn. Dit geeft e ongelijkhei 2x 4 0, oftewel x 2. D u = [2, Het ereik loopt an van f(2) en alle waaren aaroven. B u = [0, 2.7 D u = R en B u = [- 4, D u = R en B u = R D h = R en B h = [- 6, 25; D u = [- 7, en B u = [- 6, 2.8 a h(x) = 0 25 x 2 = 0 25 x 2 = 0 x 2 = 25 x = 5 x = a Uit alle getallen groter of gelijk aan 0. De wortel uit een negatief getal heeft geen reële waare. De pijl naar rehts etekent at e x-waaren niet egrens zijn. Het rehterhaakje krijgt een anere vorm omat er aan e rehterkant geen einwaare is te vinen ie nog ij het interval hoort. Je kunt stees maar oorgaan. Bijvooreel f(0) = 3, f(1) = 4, f(4) = 5, enzovoort. Alleen funtiewaaren van 3 en hoger komen voor. e De funtiewaaren kunnen niet lager at 3 zijn, maar kunnen wel oneinig groot woren. B u = [3, Afstan is 5-5 = 10 meter De nulpunten zitten op - 5 en 5. Omat er alleen maar positieve waaren voorkomen, is it ook het omein. D h = [- 5, 5] De top zit in het mien van e funtie, tussen - 5 en 5, en zit us op 0. f(0) = = 25 = 5. B h = [0, 5] De punten waar e waterspiegel tegen e oog aankomt, zijn e punten waarvoor gelt h(x) = x 2 = 2 25 x 2 = 4 x 2 = 21 x = - 21 x = 21 De reete van e waterspiegel is e afstan tussen - 21 en 21, us e reete van e waterspiegel is , 17 meter. 2.5 Bij grafiek I: D = R B = [- 1, 7] 2.9 a Er zijn geen getallen voor x ie je niet mag geruiken. Dus D u = R. De grafiek van f is een alparaool met top 26 26

28 27 27 HOOFDSTUK 2 Funties en grafieken 27 (0, 5; - 6, 25) en us B u = [- 6, 25;. Met e GR vin je als kleinste minimum - 1, 62. D u = R B u = [- 1, 62; D h = R B h = R D u = [0, B u = [1, e 2 + 6x 0, us x x 0, us x - 3. D u = [- 1 3, B u = [- 3, 2.10 a f(x) = 0 geeft: x 2 2x 4 = 0 x 2 (1 2x 2 ) = 0 x 2 = 0 1 2x 2 = 0 x = 0 x 2 = 1 2 x = 0 x = ± a Je ziet in e grafiek at e vuurpijl na 6 seonen niet meer op het hoogste punt is. Je moet us e oorinaten van e top uitrekenen. Die zit ij t = 4. Dan gelt voor e hoogte h: h(4) = = 80. Dus het hoogste punt van e vuurpijl is 80 meter. De vuurpijl spat na zes seonen uit elkaar; het omein is D h = [0, 6]. De vuurpijl komt maximaal 80 meter hoog en start vanaf e gron, us het ereik is B h = [0, 80]. h(6) = 60, us op een hoogte van 60 meter spat e vuurpijl uit elkaar. Voer in: Y1=40X-5X^2 en Y2=40 Venster ijvooreel: [0, 6] [0, 100] Er is één snijpunt (let op het omein). De optie interset geeft x 1, 17. De vuurpijl is ongeveer 6 1, 17 = 4, 83 seonen oven 40 meter. e h is tegen e tij t uitgezet. Als e aan van e vuurpijl geteken zou zijn, zou op e horizontale as ook een afstanseenhei moeten staan. x = 0 x = x = Bij een goee vensterinstelling moet je zorgen at e snijpunten met e oörinaatassen en e toppen in eel komen. Venster ijvooreel: [- 1, 5; 1, 5] [- 2, 1] Zet eie funties in e GR en ereken e toppen. Voor f(x) vin je voor e oörinaten van e toppen (0, 5; 0, 125) en (- 0, 5; 0, 125). 0, 125 is e maximale y-waare. Dus B u = ; 0, 125]. Voor g(x) vin je (0, 0) voor e top. Dus B u =, 0]. f(x) = g(x) x 2 2x 4 = - x 2 2x 2 2x 4 = 0 2x 2 (1 x 2 ) = 0 2x 2 = 0 1 x 2 = 0 x = 0 x 2 = 1 x = 0 x = 1 x = - 1 Snijpunten: (- 1, - 1), (0, 0) en (1, - 1) a De oprengst van het prout kun je erekenen oor e prijs te vermenigvuligen met het aantal verkohte exemplaren. Noem e oprengst R, e prijs p en het aantal verkohte exemplaren q. Je krijgt an R = p q. Er gelt ook q = 400 0, 5p en us volgt uit sustitutie R = p(400 0, 5p). Hoe uurer e prijs p, es te miner exemplaren zal e hanelaar vermoeelijk verkopen. Voor p kun je maximaal e waare 800 invullen ( 400 0,5 ). Vul je iets in at hoger is, an wort q negatief. En at kan niet. p kan alle waaren aannemen in het interval [0, 800]. Voer in: Y1=X( X) Venster ijvooreel: [0, 800] [0, ] Je vint max. R = R kan alle waaren aannemen in het interval [0, ]

29 DOMEIN Funties en grafieken 2.13 a y(x) = x 4 8x 2 y(3) = y(3) = y(3) = y(3) = 9 y(- 3) = y(- 3) = y(- 3) = y(- 3) = 9 y(x) = 0 geeft: x 4 8x 2 = 0 x 2 (x 2 8) = 0 x 2 = 0 x 2 8 = 0 x = 0 x 2 = 8 x = 0 x = - 8 x = 8 Voer in: Y1=X^4-8X^2 Venster ijvooreel: [- 5, 5] [- 20, 10] min. y = - 16 ij x = - 2 x = 2. max. y = 0 ij x = 0. Toppen: (- 2, - 16), (0, 0) en (2, - 16). e B u = [- 16, 2.14 a Voer in: Y1=-2(X-10)^2+60 Venster ijvooreel: [0, 40] [- 2000, 200] max. f(10) = 60 en e kleinste funtiewaare is f(40) = B u = [- 1740, 60] 2 5x 0 geeft 5x 2 en x 2 5 = 0, 4. g(0, 4) = - 3 D u = ; 0, 4] B u = [- 3, 2.15 a S ligt op e y-as, us x = 0 f(0) = = 1 S(0, 1) Voor T gelt at e y-oörinaat 0 is. 0 = 1 2x 0 = 1 2x 2x = 1 x = 0, 5 T(0, 5; 0) D u = ; 0, 5] B u = [0, Voer in: Y1=X en Y2= (1-2X) Venster ijvooreel: [0, 1] [0, 1] Interset geeft x 0, 41 en y 0, 41. De oörinaten van eze plaats zijn (0, 41; 0, 41). De oppervlakte van OABC is x 1 2x. Voer in: Y1=X (1-2X) Venster ijvooreel: [0, 1] [0; 0, 5] Het maximum is y = 0, 125 ij x = 0, 25. Dus het vermoeen is niet juist. 2.3 Karakteristieken 3.1 a K(10 000) = , 075 = 0, 095 De kosten zijn 9, 5 euroent per kopie. K( ) = , 075 0, 075. Dat is 7, 5 euroent per kopie. De grafiek van K enaert 0, 075 ij hele grote waaren van a, us e horizontale asymptoot is y = 0, 075. Hoe miner kopieën, hoe uurer e kopieën per stuk. Dus minimale waare invullen: K(1) = , 075 Dus 200, a Delen oor 0 kan niet. Dus x+2 kan geen 0 zijn, us x kan geen - 2 zijn. De vertiale asymptoot is us: x = f(1000) = , 0 Dus e funtiewaaren enaeren het getal 0. 4 f(- 1000) = , 0 Dus e funtiewaaren enaeren het getal 0. De funtiewaaren naeren het getal 0. De asymptoot is us y = 0. e x kan alles ehalve - 2 zijn, us: D u =, - 2-2, y kan alles ehalve 0 zijn, us: B u =, 0 0, 3.3 a Voer in: Y1=4/X

30 29 29 HOOFDSTUK 2 Funties en grafieken 29 Venster ijvooreel: [- 10, 10] [10, 10] Er is een horizontale asymptoot ij y = 2 en twee vertiale asymptoten ij x = - 4 en x = 4. Er is een lokale top met oörinaten (0; - 0, 25). f estaat voor alle x-waaren ehalve e vertiale asymptoten, oftewel D u =, - 4-4, 4 4,. Alle y-waaren woren aangenomen, ehalve het interval tussen e lokale top en e horizontale asymptoot, oftewel, B u = ; - 0, 25] 2,. x = 0 Je ziet at in e tael omat er ij X=0 ERROR of iets ergelijks staat. 2 2 (heel klein etekent hier heel ver negatief). e y = 2 f D u =, 0 0, B u =, 2 2, 3.4 a Je krijgt an e grafiek niet goe in eel, hij lijkt niet op een ergparaool. Om te epalen welke instelling voor x geshikt is. x h(x) Venster ijvooreel: [0, 200] [0, 50] 3.5 a Los op f(x) = 0: 100x(x 10)(x 20) 2 = 0 x = 0 x = 10 x = 20 Er is geen reuk met een variaele in e noemer. Venster ijvooreel: [- 10, 30] [ , ] min. f(3, 6) max. f(13, 9) min. f(20) = 0 e B u = [ , 3.6 a Je wilt ij het plotten e nulpunten en asymptoten in eel rengen. Venster: stanaar 3.7 a 1 + x 2 > 0 Je krijgt een vertiale asymptoot als e noemer van e reuk 0 kan woren. 1+x 2 wort ehter nooit 0, omat x 2 nooit kleiner an 0 wort. Los op f(x) = 0: 4u 1+u 2 = 0 4x = 0 x = 0 g(10 000) = g( ) = , ( ) 2 0, 0 Bij hele hoge en lage waaren van x enaeren e funtiewaaren het getal 0. De horizontale asymptoot is us: y = 0. x kan elke waare aannemen, us: D u = R. In e toppen is y = 2 of y = - 2, us: B u = [- 2, 2]. 3.8 a R(20) = ,2 0,0785 0, ,2 0,0785 0, R(10) = 15 + De overlevingstij is us 700,7 176,8 700, 7 minuten. 176, 8 minuten. 4, 0 keer zo groot. 5, 0 uur staat gelijk aan 5 60 = 300 minuten. Los op R(T) = ,2 0,0785 0,0034u = 300 7,2 0,0785 0,0034u = 285 7, 2 = 285 (0, , 0034T) 7, 2 = 22, 37 0, 97T - 15, 17 = - 0, 97T 16 T De karakteristieken kun je met ehulp van e GR vinen. Je ziet in e plot at er geen snijpunten zijn met e x- en e y-as. Dus e temperatuur is ongeveer 16 C. De vertiale aysmptoot zit ij e T waar in e funtie R(T) oor 0 wort geeel. Oftewel, 0, , 0034T = 0. Dit geeft T = 0,0785 0, , 1 C. Dit etekent at in water met een temperatuur oven e 23, 1 C e te water geraakte persoon niet 29 29

31 DOMEIN Funties en grafieken in een levensereigene situatie zal komen. 3.9 a De noemer van e reuk mag geen 0 zijn, us e vertiale asymptoot ij x = 0. f(1000) = en f(- 1000) = Bij hoge en lage waaren van x enaeren e funtiewaaren 4, us e horizontale asymptoot is y = 4. x kan alle waaren aannemen ehalve 0, us D u =, 0 0,. y kan alle waaren aannemen ehalve 4, us B u =, 4 4,. De noemer van e reuk mag geen 0 zijn, us e vertiale asymptoot is e lijn x = 0. g(1000) = en 4 (- 1000) g(- 1000) = Bij hoge en lage waaren van x enaeren e funtiewaaren - 1, us e horizontale asymptoot is y = - 1. x kan alle waaren aannemen ehalve 0, us D u =, 0 0,. y kan alle waaren aannemen ehalve - 1, us B u =, - 1-1,. De noemer van e reuk mag geen 0 zijn. x 2 4 = 0 ij x 2 = 4, us ij x = - 2 x = 2. Dus zijn er vertiale asymptoten ij x = - 2 en x = 2. h(1000) = h(- 1000) = (- 1000) Bij hoge en lage waaren van x enaeren e funtiewaaren 0, us e horizontale asymptoot is y = 0. x kan alle waaren aannemen ehalve - 2 en 2, us D h =, - 2-2, 2 2,. y kan alle waaren aannemen, ook y = 0 (ij x = 0), us B h = R. De noemer van e reuk mag geen 0 zijn. x 2 +4 = 0 komt ook niet voor, want x 2 is nooit negatief. Geen vertiale asymptoten us. k(1000) = k(- 1000) = (- 1000)2 (- 1000) Bij hoge en lage waaren van x enaeren e funtiewaaren 1, us e horizontale asymptoot is y = 1. x kan alle waaren aannemen, us: D u = R. y kan alle waaren tussen 0 en 1 aannemen ehalve 1, us B u = [0, Voer in: Y1=3X/(2X+3) Venster: stanaar Er is een snijpunt met zowel e x- als e y-as in het punt (0, 0). Er is één horizontale asymptoot op y = 1, 5 en één vertiale asymptoot op x = - 1, 5. Verer zijn er geen toppen. De funtie estaat voor alle x-waaren ehalve e vertiale asymptoot. D u = ; - 1, 5-1, 5; De funtie neemt alle y-waaren aan ehalve e horizontale asymptoot. B u = ; 1, 5 (1, 5; 3.11 De grafiek van h is een paraool. Bepaal eerst e nulpunten: - 0, 1x 2 + 8x = 0 Door ontining in fatoren vin je x(- 0, 1x + 8) = 0 en it geeft x = 0 x = 80. Omat een paraool symmetrish is, zit het maximum ij x = 40. h(40) = 160 Het voorwerp komt maximaal 160 meter hoog a W = = 22 W = = 0, 011 B u = [0, 011; 22] Hoe hoger e frequentie, hoe hoger het gelui. Het is us een heel hoog gelui. W = = 0, meter Bassen e W = = 16, 5 meter of langer f W = W naert us tot 0 meter a Los op: f(x) = 0 10u (u 20) 2 = 0 10x = 0 x = 0 Vertiale asymptoot: x = 20 Horizontale asymptoot: y = 0 Venster ijvooreel: [- 30, 60] [- 5, 20] Links van e oorsprong komt e grafiek oner e x-as. Rehts niet. Min. f(- 20) = - 0, 125. B u = [- 0, 125, 30 30

32 31 31 HOOFDSTUK 2 Funties en grafieken a 89 u 2 = 10 T 2 = = 8, 9 T = 10, 9 Dus oven 10, 9 C. 2, Vertiale asymptoot: T = 2 Horizontale asymptoot: K = 0 0, 3.15 a T u = , = 1540 euro Kosten per exemplaar = u u u = = 12, 83 euro GT u = u u u Als t heel groot of heel klein wort, enaeren e funtiewaaren het getal 200. Er zit us een horizontale asymptoot ij Z = 200. t = - 10 heeft geen etekenis want t kan hier niet negatief zijn. De horizontale asymptoot etekent at het zuurstofgehalte langzaam terugkeert naar 200, wanneer e storing erg lang uurt. Voer in: Y1=200(1-10/(X+10)+100/(X+10)^2) Venster ijvooreel: [0, 100] [100, 250] Er is een minimum ij t = 10. Normale niveau: Z(0) = 200( (0+10) 2 ) = % van 200 is 200 0, 8 = 160. Z(t) = 160 Met GR snijpunten van Z(t) met y = 160 epalen: (3, 82; 160) en (26, 18; 160). Hiertussen is het zuurstofgehalte ontoelaataar, us 26, 18 3, 82 = 22, 36 minuten. Hellingsgetal = u u 0 u 0 GT K = u K u = u u u = 100+0,1u 2 u = 100 u + 0, 1q De noemer kan geen 0 zijn, us q = 0 heeft geen uitkomst. Vertiale asymptoot ij q = 0. Als q heel groot of klein wort, enaeren e funtiewaaren niet een epaal getal, us er is geen horizontale asymptoot. q kan alle positieve waaren heen ehalve 0. D u u = 0, GTK kan alles vanaf het minimum 6, 32 ij q = 31, 62 heen. B u u = [6, 32; 2.4 Samengestele funties 4.1 a v R a Z(0) = 200( (0+10) 2 ) = 200 De noemers van e reuken kunnen geen 0 zijn. De noemers van eie reuken zijn 0 wanneer t = Dus zit er een vertiale asymptoot ij t = Z(10 000) = 200( ( ) 2 ) 200 Z( ) = D u = [0, 140] B u = [0, 147] Door ij elke shakel van e gegeven funtie het omgekeere te oen en it ook in e omgekeere volgore toe te passen. e De grafiek wort het spiegeleel van ie van f ij spiegeling in e lijn met punten waarvoor gelt R = v, omat je eie assen moet omwisselen. 200( ( ) 2 )

33 DOMEIN Funties en grafieken 4.4 a Maak een rekenshema zoals in het vooreel. Je moet alleen e eerste en e ere shakel omwisselen. Je krijgt an g(x) = ( x + 9) 2. Ook nu ziet het terugrekenshema er ongeveer zo uit als at in het vooreel met e eerste en e ere shakel verwissel. Je krijgt g inv (x) = ( x 9) 2. f D u inv = [0, 147] B u inv = [0, 140] Denk erom at ook nu [0 het omein van x is. 4.2 a h(4) = = = 7 h(x) = x + 5 h inv (y) = (y 5) 2, het is geruikelijk om an toh h inv (x) = (x 5) 2 te shrijven. k(4) = = 9 = 3 e k(x) = x + 5 f k inv (y) = y 2 5, het is geruikelijk om an toh k inv (x) = x 2 5 te shrijven. 4.3 a x = - 3 x = 3 f inv (9) = 9 = 3. Als je ij funtie f terugrekent he je meestal twee uitkomsten (alleen ij y = 0 niet) en e inverse funtie kan nooit meer an één uitkomst heen (omat het een funtie is). 4.5 a De terugrekenewerking is elen oor 1 2 ofwel vermenigvuligen met 2. De inverse funtie is (ijvooreel) f inv (x) = 2x. De waare van x wort omgekeer: 3 wort 1 3 en 1 3 wort 3, 2 3 wort 3 2, enzovoort. De inverse funtie is opnieuw omkeren, us f inv (x) = u 1. e Bij terugrekenen vanuit een kwaraat krijg je meestal twee mogelijke uitkomsten. Bij een inverse funtie mag at niet. Je moet aarom het omein van e funtie ie e rekenstap kwarateren voorstelt (f(x) = x 2 ) eperken, ijvooreel tot [ a k(x) = - 3(2x + 1) 5 = - 6x 3 5 = - 6x 8 k inv (x) = u +8-6 = x e f Alleen het geeelte waarvoor x 0. Bij elke waare van y in het ereik van e funtie moet preies één waare van x horen, aners kun je niet eenuiig terugrekenen. Als je eerst funtie f toepast en aarna zijn inverse, krijg je e oorspronkelijke invoerwaare weer terug. Ja, f en f inv zijn elkaars inverse. 4.7 a In eie gevallen vin je als uitkomst 6. f(g(6)) = g(f(6)) = 6 f(g(x)) = 3( 1 3 x ) 1 = x g(f(x)) = 1 3 (3x 1) = x Ja, ze zijn elkaars inverse. Je ziet at ze elkaars spiegeleel zijn ij spiegeling in e lijn y = x

34 33 33 HOOFDSTUK 2 Funties en grafieken , 81t = 0 9, 81t = 15 t = 9, , 53 seonen 4.8 a Nu moet je ahtereenvolgens eerst met 3 vermenigvuligen, an oor 10 elen en tenslotte 1 ij het resultaat optellen. Maak een net rekenshema. Terugrekenen gaat in stappen: eerst 1 aftrekken, an met 10 vermenigvuligen en ten slotte oor 3 elen. Je vint p = (u 1) u = 9u = 1 + 3u 10 Dan vervang je oor X en p oor Y. Je krijgt an e grafiek van e funtie (p) en zijn inverse in één figuur. 4.9 a f(g(4)) = 4 g(h(4)) = 4 h(f(4)) = 1 f(g(x)) = x 2 = x (met x 0) g(h(x)) = ( 1 2 x)2 = 1 4 x 2 h(f(x)) = 1 2 x De inverse van a(x): f(g(x)) = x 2 = x is a inv (x) = x De inverse van (x): g(h(x)) = ( 1 2 x)2 = 1 4 x 2 is inv (x) = 4x De inverse van (x): h(f(x)) = 1 2 x is inv (x) = (2x) Stel twee willekeurige funties samen en ontroleer of er x uit komt. Bijvooreel f(h(x)) = 1 2 (2x ) + 2 = x us f en h zijn niet elkaars inverse. Maar in f(k(x)) = 1 2 (2x 4) + 2 = x, zijn f en k wel elkaars inverse. f en k zijn an natuurlijk niet ook e inverse van een van e anere gegeven funties a Het ojet gaat naar oven met positieve snelhei. Dat wil zeggen at wanneer e snelhei negatief wort, het ojet egint te vallen. Los op v(t) = 0: t = u 15-9,81-0, 10v + 1, 53 Het ojet gaat naar oven met positieve snelhei. Dat wil zeggen at wanneer e snelhei negatief wort, het ojet egint te vallen. Je lost us e vergelijking voor v = 0 op. v = 0 geeft t 1, 53 seonen a t 2, 84 seonen l = 9, 81 ( u 2u )2 0, 25t 2 l(3, 2) 2, 54 Dus ongeveer 2, 54 meter a Rekenshema: x x 4 x 4 = y Terugrekenshema: x = y y 2 y Dus (f 1 ) inv (x) = x met omein [0,. Rekenshema: x x y = x 4 Terugrekenshema: x = (y + 4) 2 y + 4 y Dus (f 2 ) inv (x) = (x + 4) 2 met omein [- 4,. Rekenshema: x x x 2 y = 1 2 x Terugrekenshema: x = 2y 10 2y 10 y 5 y Dus is (f 3 ) inv (x) = 2x 10 met omein [5,. Rekenshema: x x+5 (x + 5) 2 y = 1 2 (x + 5)2 Terugrekenshema: x = 2y 5 2y 2y y Dus (f 4 ) inv (x) = 2x 5 met omein [0, f(g(x)) = 3(0, 5x + ) + 8 = 1, 5x g(f(x)) = 0, 5(3x + 8) + = 1, 5x , 5x = 1, 5x geeft 2 = - 4 en = De grafieken van f en f inv moeten elkaar snijen op e lijn y = x. De oörinaten van het snijpunt zijn us (7, 7). Dus f(7) = 7. Dit etekent = 7, us 21 + = 7 en = Al puzzelen merk je at je eter eerst kunt elen oor 100 en an e wortel kan trekken, want elen oor 100 en worteltrekken heeft op een groot getal een groot effet. Verer kun je er eter eerst 7 ij optellen (ij een positief getal) en an kwarateren, an omgeraai. En je kunt ook eter eerst kwarateren en an er 7 van af trekken ( ij een positief getal), an omgeraai. Je vint: BECAFD