Extra oefening bij hoofdstuk 1

Transcriptie

1 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel t a Van is de oplossing t log t Van 8 is de oplossing t log 8 t Van is de oplossing t log De vergelijking heeft als oplossing log De vergelijking 9 heeft als oplossing 9 log d De groeifator is, 8, dus er moet gelden, 8 t,, 8 log, Deze vergelijking heeft als oplossing t log, 8, uur log, 8 t, log e Dan moet gelden, dus t log, maand log, De verduelingstijd is, maand t log 8 a 8 geeft t log 8, log t t,, geeft,, dus t log( ),,, Uit, 8 t volgt : t 8 log t 8 log t,,, 8, d log, dus, 9, e log, dus log, en 9, 8 log, a y g O f Het domein van f is, en het ereik is Het domein van g is en het ereik is, De grafiek van f heeft de y-as als vertiale asymptoot en de grafiek van g heeft de -as als horizontale asymptoot De grafiek van f snijdt de -as in het punt (, ) en de grafiek van g snijdt de y-as in het punt (, ) In de plot vind je het snijpunt van de grafieken van f en g : (, ;, 9 ) d Plot de lijn met vergelijking y Het snijpunt met de grafiek van f is het punt (, ; ) Het snijpunt met de grafiek van g is het punt (, 7; ) Dus is de lengte van het lijnstuk gelijk aan, 7,, 7

2 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a Dan geldt dat g 87, 87,,, dus g (, ), 99 per jaar Na jaar geldt, 99, 98 Dat wil zeggen dat de groei afneemt met (, 98) % 7, % De vergelijking is, 99 t, 99, dus t log, jaar De vergelijking is, 99 t, 99, dus t log, 78 jaar 7 a Vul in T en de vergelijking wordt N, 89, 89, 9 hartslagen per minuut Vul in N, dus 89 7, T 7T Daaruit volgt dat, 89, dus, 89 7 T log( ) T 7

3 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a f: vershuif de grafiek van y drie eenheden naar links en één eenheid naar oven g: vershuif de grafiek van y één eenheid naar rehts en drie eenheden naar oven h: vershuif de grafiek van y vijf eenheden naar rehts, vermenigvuldig ten opzihte van de -as met fator twee en shuif dan drie eenheden naar oven y O De grafiek van f gaat door (, ) en (, 8) en heeft een horizontale raaklijn in het punt (, ) y 8 De grafiek van g gaat door (, ) en (, ) en heeft de lijn y als horizontale asymptoot y 8 O 8 De grafiek van h gaat door (, ) en (, ) en heeft vertiale asymptoot en horizontale asymptoot y als asymptoten a y ( ) en y sin ( ) 7

4 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a y 8 O De top is het punt ( (, 7 ) dus vijf eenheden naar rehts en 7 eenheid naar eneden shuiven g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 a f ( ) os heeft periode en gaat door (, ), dus moet sin ten opzihte van de y-as met fator vermenigvuldigd worden en dan nog naar links shuiven De grafiek van f ontstaat door de grafiek van y sin over eenheden naar links te shuiven Je moet dan de grafiek van os met vermenigvuldigen ten opzihte van de y-as, dus d Je moet dan de grafiek van os met vermenigvuldigen ten opzihte van de y-as, dus a k : spiegelen in de -as en dan twee eenheden naar oven shuiven m: vier eenheden naar rehts shuiven en vertiaal vermenigvuldigen met fator n: n( ) ( ), dus spiegelen in de y-as en drie eenheden naar rehts shuiven p: p( ) ( ), dus horizontaal vermenigvuldigen met fator, dan één eenheid naar links shuiven Vervolgens vertiaal vermenigvuldigen met drie en één een- heid naar oven shuiven want s: (, ); k: (, ); m: (, ); n: (, ) ; p: (, ) Er wordt gespiegeld in de y-as 7

5 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a t 9 t log 9 t t log log ( ) ( ) log( ) 8 log( ) d, a y O Het domein van de funtie f is, en het domein van g is, log geeft log dus log( ) geeft dus Het nulpunt van f is dus en het nulpunt van g is d Je lost de vergelijking log log( ) op Vervang in deze vergelijking door log Je krijgt log log log( ) Daaruit volgt dat log log( ), dus, en De y-oördinaat van het snijpunt is gelijk aan log( ) log 7 Het snijpunt heeft dus de oördinaten (, log 7 ) e Het snijpunt van y met de grafiek van f volgt uit log Daaruit volgt log, dus Het snijpunt heeft dus de oördinaten (, ) Het snijpunt van de grafiek van g met de lijn y ereken je door op te lossen log( ) Je vindt 9 en Het snijpunt heeft dus de oördinaten (, ) a f ( ) 9 ( ) De standaardgrafiek is de grafiek van y De grafiek van f ontstaat uit die van de standaardgrafiek door een vertiale vermenigvuldiging met fator 9 gevolgd door een vershuiving van twee eenheden naar oven Een andere mogelijkheid is om op de standaardgrafiek een horizontale vermenigvuldiging met fator toe te passen en vervolgens een vershuiving van twee eenheden naar oven Je past op de top (, ) van de standaardgrafiek de transformaties toe uit opdraht en je vindt dat de top van de grafiek van f: (, ) d Dan moet gelden dat f '( ), dus 8 Je vindt en y f ( ) a Uit de standaardgrafiek van y door deze één eenheid naar links te vershuiven en vervolgens een vertiale vermenigvuldiging met fator toe te passen ls je het punt (, ) één eenheid naar links vershuift, krijg je het punt (, ) Ver- volgens pas je een vertiale vermenigvuldiging toe met fator drie door de y-oördinaat met te vermenigvul-digen Je krijgt het punt (, ) 7

6 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Door de eide genoemde transformaties gaat de grafiek van f over in de grafiek van g met g( ) a ( ) a ls de grafiek van g een vertiale asymptoot ( ) heeft, Dan geldt, dus ovendien moet het punt ( 9, ) op de grafiek van g liggen, dus g( ) 9 Daaruit volgt dat a 9, dus a 7 en a a De grafiek van de standaardfuntie y sin wordt vertiaal met en horizontaal met vermenigvuldigd om de grafiek van f te krijgen, De amplitude is dus a De periode is gelijk aan, dus De amplitude is dus a De periode is gelijk aan, dus a Door de vermenigvuldiging ten opzihte van de y-as met fator ontstaat de grafiek van y log Door de vershuiving van eenheden naar links krijg je de grafiek van g met het voorshrift g( ) log ( ) ls de volgorde van de transformaties verandert, krijg je door de vershuiving van vier eenheden naar links de grafiek van y log( ) en vervolgens door de horizontale vermenigvuldiging met fator ontstaat de grafiek van y log( ) De eeldgrafiek van f hoort ij het voorshrift f ( ) log log p ls je de vergelijking oplost, krijg je log log Het getal kun je vervangen door log, dus p log log Daaruit volgt dat p p, dus p 7a Vul in h 8, dus t, log(, ),, 8 7, Dus na 7 weken en 8 drie dagen Vul in t en je krijgt, log(, ) Dus log(, ), 9 h h,, 9,, 7, dus, 7 en h m h h, 7 De hoogte van de zonneloemen op het tijdstip t, vind je door op te lossen, log(, ), dus h h,,, en h 9, m h, d Het domein wordt epaald door de waarden van h waarvoor geldt dat h, Oplossen geeft h,, dus h, 7

7 Etra Oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a f '( ) 8, de eate helling in het punt met is dus f '( ) h( ), dus h'( ) De eate helling in het punt met is h'( ) k( ), dus k'( ) De eate helling in het punt met is gelijk aan k'( ) a f '( ), dus de helling van de raaklijn in het punt (, ) is gelijk aan f '( ) De vergelijking van de raaklijn is y f '( ), dus ( ) of Met ehulp van een plot van de grafiek van f vind je dat f ( ) een maimum f ( ) heeft en een minimum f ( ) f ''( ) ; f ''( ) geeft De eate oördinaten van het uigpunt zijn dus (, f ( )) (, ) a f '( ) f '( ) geeft ( ) Daaruit volgt, of, Met ehulp van een plot van de grafiek volgt dat f ( ) een maimumwaarde heeft namelijk f ( ) ( ) ( ), 9 en een minimumwaarde namelijk f ( ) ( ) ( ), 9 d f ( ) De oördinaten van het punt zijn (, ) De helling van de raaklijn in het punt (, ) is gelijk aan f '( ) De vergelijking van de raaklijn is y De waarde van vind je door de oordinaten van het punt (, ) in te vullen Je krijgt Daaruit volgt dat De raaklijnvergelijking is dus y e De helling is minimaal in het uigpunt van de grafiek want daar daalt de grafiek het meest f ''( ) als, dus voor is de helling minimaal a h( ) f ( g( )) f ( ) k( ) g( f ( )) g( ) k '( ), dus als 9 77

8 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a l( ) ( ) l'( ) ( ) ( ) 8 g( ) ( ) g'( ) ( ) ( ) h( ) ( ) h'( ) ( ) ( ) d k( ), dus k'( ) a Elke seonde stroomt er m in het akje, in t seonden stroomt er t m in het akje, dus V t Het volume van het water in het akje is lengte reedte hoogte= h h, dus V h of h V Uit de formules die ij opdraht a en zijn opgesteld volgt dat h t, dus h t d h'( t) ; per seonde stijgt de waterhoogte met m 78

9 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a De enadering van de oppervlakte van het gekleurde geied met een Riemannsom is 9, f (,, k), ( f (, ) f (, 7) f (, 7)) k, (,, 8, 78,,, 78, 8 8, +,, 8), 78 Een primitieve funtie van f ( ) is de funtie F( ) De oppervlakte is gelijk aan de integraal ( ) d F ( ) F ( ) De antwoorden ij de opdrahten a en zijn ongeveer gelijk aan elkaar, dus in dit geval geeft de Riemann-som een goede enadering van de eate oppervlakte a f ( ) ( ) ( )( ) dus F( ) f ( ), dus F ( ) f ( ), dus F( ) d f ( ), dus F ( ) e f ( ), dus F( ) f Proeer als primitieve funtie F( ) a ( ) Met de kettingregel vind je de afgeleide F '( ) a ( ) 8a ( ) Daaruit volgt dat 8a, dus a De 8 primitieve funties zijn dus de funties F( ) ( ) 8 a y O ( )( ) of of dus,, of h( ) ( )( ), dus H( ) De oppervlakte van het eerste geied is gelijk aan de oppervlakte van het derde geied en deze oppervlakte is h( ) d [ ] ( ) ( ) De oppervlakte van het middelste geied is h( )d H( ) H( ) 79

10 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a y O f ( ) en g( ) ( ) De grafieken van f en g gaan ( ) alleei door het punt (, ) De oppervlakte van dit vlakdeel wordt erekend met de volgende integraal: ( f ( ) g( )) d f ( ) ( ) ( ) ; proeer als primitieve funtie F( ) a ( ) Dan moet gelden dat F '( ) a( ) Kies dus a Een primitieve is dus F( ) g( ) ( ) ( ) Een primitieve is dus G( ) De oppervlakte is dus ( f ( ) g( )) d ( F( ) G( )) ( F( ) G( )) ( ) ( ) a ls k de tijd is die Kees nodig heeft voor de meter, dan moet gelden dat k v dt ; v,, t dus V t t,, k k k Je moet dus oplossen, k, k Met de a-formule of met de opties van je rekenmahine vind je k 78, seonden ls s de tijd is die Syrand nodig heeft voor de meter dan moet gelden: s v dt ; v,, t en V t t,, s s s Er moet dus gelden dat, s, s Met de a-formule of met de opties van de rekenmahine vind je d 78, seonden Het vershil in eindtijden is dus ongeveer 78, 78, =,7 seonden a a Kees en Syrand liggen na a seonden gelijk als geldt: v dt v dt k s Dus moet gelden, a, a, a, a 8, 7, 8a, 7a a(, 8a, 7) Dus a of a 8,, 8 ls ze langer lijven doorshaatsen, komen ze elkaar na 8, seonden weer tegen, maar dan shaatsen ze meer dan kilometer Tijdens de rit liggen de shaatsers nooit gelijk, maar ligt Kees steeds voor

11 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a f ( ), f '( ) g( ) ( ), g'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h( ) '( ) 8 8 d k( ) ( ), dus k '( ) ( ) ( ) ( ) e l( ), dus l'( ) f m( ) ( ), dus m'( ) ( ) a De grafiek van f gaat door (, ) etekent dat moet gelden f ( ), dus 8a 8a De grafiek van f gaat door (, ) etekent dat moet gelden f ( ), dus a a Daaruit volgt dat 8a a, dus 9a en a Verder geldt f '( ) a ( ) a( ) De helling van de grafiek in het punt (, ) is gelijk aan f '( ) a ( ) a Uit de vergelijking van de raaklijn volgt dat ook geldt f '( ), dus a en a De grafiek gaat door (, ) dus geldt ovendien dat a Invullen van a geeft dan a f ( ) ( )( ) = 8, dus f '( ) en f ''( ) Uit f '( ) volgt of Met een plot van de grafiek van f volgt dat f ( ) een minimumwaarde f ( ) heeft en een maimumwaarde f ( ) Er is een uigpunt als f ''( ), dus als of 8 Het uigpunt heeft de oördinaten ( (, ( ) ) (, ) (, ) 7 7 g( ) ( ), dus g'( ) 8 en g''( ) 8 8 Uit g'( ) volgt dat ( ), dus of 8 Met ehulp van een plot volgt dat g( ) als maimumwaarde g( ) en als minimumwaarde g( ) 9 aanneemt Er is een uigpunt als g''( ) dus als 8 Het uigpunt heeft de oördinaten (, ( )) (, ) (, ) h( ) ( ), dus h'( ) en h ''( ) Uit h'( ) volgt dat ( ), dus of Met ehulp van een plot wordt duidelijk dat h( ) 7 minimumwaarde van h( ) is en dat de grafiek van h ook twee uigpunten heeft nl het punt (, ) en het punt (, ) In (, ) is dus sprajke van een uigpunt met horizontale raaklijn d k( ) ( )( ) 8 dus k'( ) en k''( ) 8 Uit k'( ) volgt dat ( 8) of ( )( ) dus, of Met ehulp van een plot volgt dat k( ) k( ) een minimumwaarde van k( ) is en k( ) is een maimumwaarde 8

12 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel uigpunten vind je door op te lossen 8 of 8 Met de a-formule volgt er 8 of 8 Er zijn dus uigpunten a y De vier deelintervallen zijn,,,,, en, De Riemann-som die hoort ij de middens van de deelintervallen is gelijk aan f (, ) f (, ) f (, ) f (, ), 7 f ( ), dus F( ) De eate oppervlakte is dus gelijk aan f ( ) d F( ) F( ) ( ) ( ), 7 d De enadering van opdraht wijkt %, 9%af van het eate antwoord ij opdraht a Proeer als primitieve funtie F( ) a ( ) Dan geldt met de kettingregel F '( ) a( ) a ( ) Daaruit volgt dat a en dus a De primitieven zijn de funties F( ) ( ) g( ), dusg ( ) h( ), dus H( ) d l( ) ( ) Proeer als primitieve funtie L ( ) a ( ) Dan geldt met de kettingregel dat L'( ) a ( ) a( ) Daaruit volgt dat a en dus dat a De primitieven zijn de funties L( ) ( ) a f ( ) ( ) ( ) ; proeer als primitieve funtie F( ) a ( ) Dan geldt F '( ) a ( ) a ( ) Daaruit volgt a en a Een primitieve funtie van f is dus F( ) ( ) ( ) ( ) 8

13 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel De oppervlakte van het geied V is gelijk aan f ( ) d F( ) F( ) Er moet dus gelden dat ( ), dus ( ) en ( ) ( ) en ( ), 7a f ( ), dus F( ) f ( ) d F( ) F( ) ( 8 ) ( ) f ( ), dus F( ) f ( ) d F( ) F( ) ( ) ( ) f ( ) Dus d F( ) f ( ) F ( ) F ( ) ( d ) ( ) f ( ) ( ) = ( ) Dus proeer als primitieve funtie F( ) a ( ) F '( ) a ( ) a ( ) Daaruit volgt a, dus a Een primitieve funtie van f is dus F( ) ( ) ( ) f ( ) d F( ) F( ) ( ) 8 y g f O Eerst ereken je de snijpunten van eide grafieken Je lost op f ( ) g( ), dus Daaruit volgt, ( ), ( )( ), Dus, of Er zijn dus drie snijpunten: (, ), (, ) en (, 8 ) Primitieve funties van f en g zijn F( ) eng( ) 8

14 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel De oppervlakte van het eerste geied is gelijk aan f ( ) g( ) d ( F( ) G( )) ( F( ) G( )) ( ) ( ) De oppervlakte van het tweede geied is gelijk aan f ( ) g ( ) d ( F ( ) G ( )) ( F ( ) G ( )) ( ) ( ) 9a y f ( ), dus F( ) p Uit f ( ) d, 8 volgt dat F p F ( ) ( ), 8 Dit geeft de vergelijking, 8 en daaruit volgt,, p en dus p, want p p p (Opmerking: ls p dan f ( )d f ( )d 99 geeft F( ) F( q) 99, dus 99, q q p q want <q< dus de negatieve oplossing voldoet niet 99 ) 99 q, q dus 99 8

15 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel M P Gegeven: irkel met middelpunt M, punt P uiten de irkel P en P raken de irkel in en Te ewijzen: P P ewijs: PM PM ( 9 ) PM PM MP MP ( ZZR) P P M M ( stralen) Gegeven: is een middellijn en D Te ewijzen:, M en D liggen op één lijn ewijs: Teken de hulplijnen M en DM MD M M M MD M( ZHH ) DM M M M MD DM DM M en, M en op één lijn geeft, M en D op één lijn a T Gegeven: Driehoek en de deellijnen van en van de uitenhoeken van en Te ewijzen: De drie deellijnen gaan door één punt ewijs: De deellijnen van de uitenhoeken van en snijden elkaar in T Dan geldt d( T, ) d( T, ) d( T, ) d( T, ) T op de deellijn van d( T, ) d( T, ) Dus gaan de drie deellijnen door één punt 8

16 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Het middelpunt van deze irkel is het snijpunt S van de deellijn van en de deellijnen van de uitenhoeken van en De straal is de afstand van S tot, de gevraagde irkel is dus (S, d(s, )) a S M P S Q Gegeven: irkel met middelpunt M Op de irkel de punten,, P en Q zodat PQ Te ewijzen: d( M, ) d( M, PQ) ewijs: Stel S is het midden van en S is het midden van PQ M MP M MQ M MPQ ( ZZZ) PQ De driehoeken M en MPQ zijn ongruent dus d( M, ) MS MS d( M, PQ) ls twee koorden in een irkel even lang zijn dan zijn de afstanden van het middelpunt tot elk van de koorden gelijk ls in een irkel de afstanden van het middelpunt tot twee koorden gelijk zijn dan zijn de koorden even lang M' M P M'' Q Gegeven: irkel met middelpunt M en koorden en PQ waarvoor geldt d( M, ) d( M, PQ) Te ewijzen: PQ ewijs: Stel M en M zijn de middens van de koorden respetievelijk PQ MM MM ( gegeven) M MP ( straal) MM MMP ( ZZR) () MM MM P ( 9 ) Op dezelfde manier volgtmm MMQ () Uit () en () volgt PQ 8

17 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a Voorpunt M geldt: M M Teken de irkel door, en M De gezohte punten P liggen op oog M van deze irkel Dit omdat voor elk punt P op deze oog geldt P M Zie de figuur ij opdraht F E D Gegeven: Driehoek met hoogtelijn D en een irkel met middellijn D Te ewijzen: FE is een koordenvierhoek ewijs: g D g ED 9 g ED () EF g E ( g D g ED) 9 g ED () Uit () en () volgt EF en dus geldt EF EF EF 8 FE is een koordenvierhoek D P Q Gegeven: Gelijkenig trapezium D met //D Punt P op D en Q op met PQD is koordenvierhoek Te ewijzen: QP is koordenvierhoek ewijs: D gelijkenig dus en D Dan is 8 () PQD koordenvierhoek dus P 8 () Uit () en () volgt P Omdat volgt dat P P P P 8 En dus is QP een koordenvierhoek 87

18 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a d Evenwijdige lijnen in een irkel geeft gelijke koorden tussen de evenwijdige lijnen De middellijn verdeelt de koordenvierhoek in twee rehthoekige driehoeken ij een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang en evenwijdig Je kunt evenwijdigheid geruiken Gegeven: Driehoek met omgeshreven irkel en hoogtelijnen P en Q Verder is R een middellijn Te ewijzen: HR is een parallellogram ewijs: R 9 want R is middellijn Ook is P 9 (P is hoogtelijn) Dus is P//R en daarmee zijn in vierhoek HR twee overstaande zijden evenwijdig Omdat R 9 (R is middellijn) en Q 9 (Q is hoogtelijn) geldt ook Q//R Dus is in HR ook het andere paar overstaande zijden evenwijdig Daarmee is HR een parallellogram 88

19 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a P m S P S S P r PS is een ruit PS m In dat geval wordt PS een vlieger en ook dan staan de diagonalen loodreht op elkaar a k E S D n Q De deellijn van een hoek is de meetkundige plaats van de punten met gelijke afstanden tot de enen van die hoek d( S, ) d( S, ) d( S, ) d( S, ) S op deellijn van d( S, ) d( S, ) Zie de tekening ij opdraht a d k is de deellijn van de uitenhoek ij, dus van de hoek gevormd door de lijnen en Voor een punt P op k geldt: d( P, ) d( P, ) 89

20 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel e Ook voor een punt R op lijn n geldt d( R, ) d( R, ) ls Q het snijpunt is van k en n dan geldt: d( Q, ) d( Q, ) d( Q, ) d( Q, ) Q op deellijn van d( Q, ) d( Q, ) Dus gaan de lijnen k, n en S door één punt Q f De irkel met middelpunt Q en straal d( Q, ) raakt de zijden, en a Het middelpunt moet je dan vinden door de middelloodlijnen van en D die elkaar op D moeten snijden S g 8 en S g D Dus is g D g g D 8 8 en dus is D een middellijn Dus is het midden van D het middelpunt van de irkel Vierhoek DF is een koordenvierhoek FD D 8 () D 8 () Uit () en () volgt FD () E g () () en () geeft FD E E / / FD ( Z-hoeken ) Vierhoek DE is een koordenvierhoek E ED 8 E ED a ED E ED D ED ~ DE E E E 8 en D D 7 D 7 P D m De gevraagde verzameling is de middelloodlijn m van 9

21 Oefentoets ij hoofdstuk en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel Punt P op de lijn m, dan geldt: d( P, ) P P d( P, ) Q Q d Punten Q waarvoor geldt Q en Q zijn de snijpunten van de irkels (, ) en (, ) M is het midden van irkel (M, ) raakt de gegeven irkels inwendig Teken de irkel (, 7) Deze snijdt de middelloodlijn m in de punten P en Q De irkels (P, ) en (Q, ) raken de gegeven irkels uitwendig 9

22 Etra oefening ij hoofdstuk 7 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a Periode ; frequentie ; amplitude Periode ; frequentie ; amplitude, Periode ; frequentie 8 ; amplitude d Periode ; frequentie ; amplitude 8 a Periode van eide is, 8 en voor de tweede funtie geldt u sin ( t, ) dus is het fasevershil gelijk aan,, Dit is groter dan één periode Je redueert dit fasevershil tot, De periode van eide is en de tweede funtie kun je hershrijven als u, sin ( t ) dus is de vershuiving Het fasevershil is dan in eerste instantie Dit redueer je tot,8 Omdat sin os( ) geldt voor de eerste funtie 8, u os( 8t ) os 8( t ) De periode van eide funties is 8 Dus is het fasevershil, a y O Stel tan, dan is tan, Dus is, k (k geheel) en is k (k geheel) Op het gegeven interval krijg je als oplossingen of Stel tan, dan is tan, Dus is, k k (k geheel) Met dit domein krijg je als oplossing Met ehulp van de plot van opdraht a vind je dan of a De afzonderlijke perioden zijn en zodat de gemeenshappelijke periode is Invoeren en plotten en vervolgens L, INTERSET of G-Solv, IST geeft de oplossingen:, ;, ;, 7;, 8; 8, 9;, De afzonderlijke perioden zijn en zodat de gemeenshappelijke periode is Met de rekenmahine vind je de oplossingen:, ;, 9;, 9;, 79;, 8;, 7;, ;, ;, 89 9

23 Etra oefening ij hoofdstuk 7 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel De perioden zijn en 8 Dus is de gemeenshappelijke periode Invoeren en plotten laat zien dat er innen een interval met lengte preies 8 oplossingen zijn Dus zijn er op het interval [, 8] preies 8 8 oplossingen a De evenwihtsstand is h meter en de amplitude is meter De maimale hoogte is dan meter Met de somregel en de kettingregel volgt: h'( t) sin(, t), sin, t Dan is h'( ) sin,, Dat wil zeggen dat seonden na het passeren van het laagste punt de vertiale snelheid ongeveer, m/s is De afgeleide funtie is maimaal, dus is de vertiale snelheid maimaal m/s Deze snelheid wordt ereikt als sin, t Dus als, t, k t, k seonden 7a f '( ) sin,, sin, g'( ) os( ) os ( ) h'( ) ( os ) ( sin ) sin ( os ) d k( ) (os ) k'( ) (os ) ( sin ) 8 sin os 8a ( sin os ) d [ os sin ] ( ) ( ) ( sin os ) d [ os sin ] ( ) ( ) ( sin os sin ) d [ os sin os ( ) ( ) ] 9

24 Etra oefening ij hoofdstuk 8 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a g( ) 9 en h( ) ( )( ) of Er moet gelden h( ) dus moet en Dus estaat het domein uit de intervallen,,, en, d f ( )( ) ( ) 9 mits ( )( ) ls dan f ( ) ls dan f ( ) ls dan f ( ) ls dan f ( ) e f ( ) en dit is een zinloze uitdrukking ls je de grafiek plot lijkt die toh door te lopen en door het punt (, ) te gaan Je ziet niet dat er preies één punt mist, een perforatie a Het domein estaat uit de intervallen, en, Vertiale asymptoot en horizontale asymptoot y ( ) f '( ) ( ) ( ) Domein, Vertiale asymptoot g ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) Het domein estaat uit de intervallen, en, Geen asymptoten h'( ) ( ) ( ) d e Het domein estaat uit de intervallen,,, en, Vertiale asymptoot en horizontale asymptoot y Perforatie (, ) want j( ) mits ( )( ) j( ) ( ) j'( ) ( ) mits ( ) Het domein estaat uit de intervallen,,, en, Vertiale asymptoot en horizontale asymptoot y Perforatie (, ) want m( ) mits ( ) m ( ) ( ) m'( ) ( ) ( ) mits 9

25 Etra oefening ij hoofdstuk 8 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel f Het domein estaat uit de intervallen, en, Vertiale asymptoot t t( t ) ( t ) 8 Omdat r( t) t 8 t t ( t ) ( t ) ( t t) r'( t) t t 9 ( t ) ( t ) is er een sheve asymptoot r t a Vertiale asymptoot en horizontale asymptoot y als en ( ) g( ) als ( ) De waarde van g( ) is altijd groter of gelijk aan Dus is er een minimum g( ) Met ehulp van een plot kun je inzien dat er een maimum is voor ( ) ( ) ( ) ( ) Daar is g'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Er is een maimum (, ) De toppen zijn (, ) en (, ) a f ( ) ( ) ( ) ( ) Dus is de sheve asymptoot y Dan moet de situatie kunnen ontstaan Dat is het geval als a Dan is f ( ) mits De perforatie in de grafiek is dan het punt (, ) a f ' ( ) a ( ) a a ( a) a a a a Voor volgt f ( ) en dus is de helling van elke eventuele sheve a asymptoot steeds en dus zijn alle sheve asymptoten evenwijdig 9

26 Oefentoets ij hoofdstuk 7 en 8 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel f ( ) os os sin sin os sin (os ) os a Ook geldt f ( ) os sin os os os os sin sin tan os os Het domein estaat uit de intervallen,,, en, De term nadert als Dus is y a de (sheve) asymptoot Dit is voor a de horizontale asymptoot y f ( ) ( ) 7 d Zie opdraht : y a e (, ) want y a voor elke waarde van a f en a d, ( t ), t ( ( t )), t, mg per liter per uur dt ( t ) ( t ) d t,, als t dt ( t ), De onentratie is maimaal ( ), mg per liter ( ) Plot de grafieken van en y, en ereken de snijpunten Dan vind je t, en t,, t lgeraïsh kan het als volgt: t t t ( t ) Uit t t volgt met de a-formule weer t, en t, Duidelijk zal zijn dat alleen t, voldoet Dus na ruim uur moet de volgende injetie worden gegeven d '(, ), en voor de nieuwe injetie geldt'( ), De veranderingssnelheid op dat moment is,,, en dat is niet te groot a f '( ) os f '( ) dus a, de lijn y raakt f Uit opdraht a volgt dat er voor a preies één snijpunt is Voor negatieve a krijg je dat er drie snijpunten zijn als de lijn raakt aan de grafiek van f Dat is het geval als f ( ) a en f '( ) a in een raakpunt Dus als geldt sin a en os a Hieruit volgt tan sin a in een raakpunt os a Met ehulp van de rekenmahine vind je dat dit het geval is als, 9 en daarmee is a os(, 9), 7 Met ehulp van de grafieken kun je inzien dat voor a, 7 er één snijpunt is Dus één snijpunt voor a, 7 of a Nee, want de grafieken zijn puntsymmetrish in (, ) en dan is er naast (, ) altijd een even aantal snijpunten d Van de vijf snijpunten zijn er twee raakpunten Dan geldt weer tan De na, 9 volgende positieve oplossing is 7, 7 Dus voor a os( 7, 7), 8 zijn er vijf snijpunten waarvan twee raakpunten Voor een andere waarde van a, dihter ij nul, zijn meer dan vijf snijpunten 9

27 Oefentoets ij hoofdstuk 7 en 8 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a y 8 O 8 Horizontale asymptoot y naar rehts en horizontale asymptoot y naar links Voor grote positieve of negatieve waarden van geldt 9 Dus geldt f ( ) als en f ( ) als a d De hoogste stand is en de laagste is dus is de evenwihtsstand h 8 en het amplitude is 8 omwentelingen per seonden dus is de periode, seonden en dus is, Dus is de formule van de vorm h 8 8 sin t ( ), m oven het laagste punt dus de helft van de amplitude onder de evenwihtsstand dus moet gelden dat sin ( t ), als t Dus is ( ),, dh 8 os( ( t, )) os( ( t, )) dt,,,, Voor t geldt d h dt os( (, )) os 99 os,,,,, De zuiger evindt zih op het hoogste of het laagste punt Omdat h( ) 8 8 sin 8 8 evindt de zuiger zih op het hoogste punt De afgeleide is maimaal gelijk aan zijn amplitude, dus is de maimale snelheid 8, 8 m/s, 97

28 Etra oefening ij hoofdstuk 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a H G E F D M I H G II M M E III M I: III: I F E III M 9 II: De doorsnede is een vierkant met zijde m a d 98 en, D en HK, FL en F, G en FG, EK, KL, E, F, D en HG, EF, en D HK ligt in het vlak HKED In dit vlak wordt HK gesneden door EK, E, D, DH en EH HK ligt ook in het vlak HKLG In dit vlak wordt HK gesneden door KL, GL en GH

29 Etra oefening ij hoofdstuk 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a ligt niet in het vlak TEF dus kruisen Liggen in het vlak FE en zijn niet evenwijdig, dus snijden Liggen in het vlak FTH en zijn niet evenwijdig, dus snijden ligt niet in het vlak TFG dus kruisen Liggen in het vlak TEG en zijn niet evenwijdig, dus snijden T S E F G a Er is geen gemeenshappelijk snijpunt maar een gemeenshappelijke snijlijn E H G E F Q D P Het gaat om drie vertiale vlakken In de figuur zie dat elk tweetal een vertiale snijlijn heeft Dit geeft drie vertiale snijlijnen en dus is er geen enkel gemeenshappelijk punt H G K E F Q D P L De snijlijn van de vlakken DHF en PHG is de lijn HP De snijlijn van PHG en EPQ is de lijn PK De snijlijn van DHF en EPQ is de lijn door P en het snijpunt van HF en EG De drie snijlijnen gaan alle drie door P Punt P is het gemeenshappelijke punt H G K E F Q D P 99

30 Etra oefening ij hoofdstuk 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a, () Teken HN en HM () Teken in het voorvlak de lijn door N evenwijdig aan HM () Ten door M in het rehter zijvlak de lijn evenwijdig aan HN () Voltooi in het grondvlak de doorsnede E () H () F Q G M N () D () () P () Teken NP () Teken in het ahtervlak de lijn door M evenwijdig aan NP () Teken in het linker zijvlak de lijn door het snijpunt van () met DH en N () Teken in het rehter zijvlak door M de lijn evenwijdig aan de lijn van () () Voltooi in het grondvlak de doorsnede E () H F Q () G M N D () () () P

31 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a De hoek tussen F en D is DF Er geldt DF tan 8 Met Pythagoras: P PF 9 en F De osinusregel in PF geeft: P F PF os PF, 7 PF P F De hoek tussen F en is F a De hoek tussen PG en HD is PG 9 De hoek tussen PG en D is PGH tan De hoek tussen PG en ED is GPM als M het midden is van D Met Pythagoras: PG GM en PM 7 Met de osinusregel in GPM volgt: os GPM 7, 88 GPM 7 d Stel N is het midden van Dan is de hoek tussen PG en H gelijk aan HN Met Pythagoras vind je dat: H, N en HN 88 De osinusregel geeft HN 88, HN a H G E F M D P 8 8 Neem P het midden van D Dan is: D 8, P 8 en GP 7 Oppervlakte driehoek DG is D GP 8 7 8, 7 De afstand tussen en het vlak DG kun je erekenen in vlak PG d Met de oppervlakte van driehoek PG vind je de afstand G P, 7 GP 7 e In vlak PG zie je met ehulp van een evenredigheid dat de afstand van M tot GP de helft is van de afstand vanuit Dus is de afstand van M tot DG gelijk aan, 87 7

32 Etra oefening ij hoofdstuk Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a De lijn PQ moet evenwijdig zijn aan het vlak FD en dus aan F De afstand van P tot is dus gelijk aan de afstand van Q tot F Zie driehoek ED in de figuur Teken de hoogtelijn P uit op FQ is de hoogtelijn uit F op DE Vlak V is nu het vlak PQF P D F Q F E d, P Q 7 7 en P PQ Dan geldt voor de afstand h dat h, 7 Q 7 P h Q a Omdat DH evenwijdig is aan F Het grondvlak D staat loodreht op TF Trek hierin T en D door tot hun snijpunt S Dan is driehoek SDT een vergroting met fator van driehoek S Dus is de afstand van D tot ST het duele van de afstand van tot ST Ook deze afstand kun je in het grondvlak erekenen, want TE staat loodreht op D Uit D DT volgt T De gezohte afstand is de afstand van D tot T Deze is, 8 S D T

33 Oefentoets ij hoofdstuk 9 en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel a PQ en liggen in het vlak GE en zijn evenwijdig PR en E kruisen want P, R en liggen in het ahtervlak en E ligt daar niet in QR en DF kruisen want D, F en R liggen in het vlak DEF en Q ligt daar niet in P en EG snijden want ze liggen in het vlak GE en ze zijn niet evenwijdig Dat zijn:fq, R, GHR, FP en DHP De vlakken EPQ en DFH zijn dezelfde als de vlakken GE en DHF Deze laatste twee vlakken snijden elkaar in een vertiale lijn De vlakken E en DR zijn dezelfde vlakken als de vlakken GE en D Deze laatste twee heen als snijlijn De vlakken en PQR heen punt R gemeenshappelijk en snijden elkaar in de lijn door R evenwijdig aan PQ of d lle drie liggen onder het vlak EG e () Teken PR H 8 () () Teken door Q de lijn evenwijdig aan PR E () Teken het snijpunt L van PR en HG en daarna KL K Q () () Teken in het rehter zijvlak de snijlijn door P () Teken in het linker zijvlak de snijlijn door Q () D () Teken in het grondvlak de snijlijn door R evenwijdig aan KL R 8 () F () () 8 G L ( ) P f PR 7, PQ 8 8 en QR Om de hoogte h te kunnen erekenen he je QPR nodig Met de osinusregel vind je os QPR os QPR, en dus is QPR Dan is h PR sin en dus is de gevraagde oppervlakte 8, a Dit is het vlak DM, waarij M het midden is van Dat is de lijn PM Dat is een driehoek, gelijkvormig met driehoek DM en vergrotingsfator Q D d Dat is de lijn PQ in de figuur Het punt D vind je door M te snijden met N waarij N het midden is van De punten P en Q vind je door de lijnen door P en Q evenwijdig aan DD te snijden met M respetievelijk N a Met Pythagoras vind je G 9 zodat G tan EG 9, P PE tan 7, en dus is PE 8 P PE Hiervoor moet je HD erekenen Omdat D geldt HD tan

34 Oefentoets ij hoofdstuk 9 en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel d Neem Q als het midden van F Dan is QG evenwijdig aan P, zodat de gezohte hoek tussen P en EG gelijk is aan QGE Voor de zijden van driehoek QGE geldt: EQ, QG en EG Met de osinusregel vind je os QGE, 7 QGE os, 7 8 e Voor de zijden van driehoek EG geldt: E, EG en G Met de osinusregel vind je os GE, GE, Voor de lengte van de hoogtelijn h vanuit G op E geldt: h G sin GE sin,, 8 De gevraagde oppervlakte is EG h, f Inhoud (EFG) Opp( EF ) FG EF F FG g Noem de gezohte afstand a en geruik dat Inhoud(EFG) = Inhoud(EGF) = Opp( EG) a EF G Dan geldt a Inhoud( ) EG, Opp ( ), a D staat loodreht en loodreht T dus staat D loodreht het vlak T Dus staat D loodreht elke lijn in T en dus ook staat D loodreht P Deze hoek is gelijk aan P T P Er geldt P tan P 7 Zie de figuur, hierin is, d Stel M is het midden van Dan is M M 8 Vlak T staat loodreht op DP In het vlak T ereken je dus de gezohte afstand h Uit gelijkvormigheid van de driehoeken MQ en PM volgt h P M P h M MP MP 8, h Q M a Omdat evenwijdig is aan NM Het vlak HFN, want MN staat loodreht op HFN, dus MN loodreht HFN En dus kun je de afstand van H tot MN erekenen in rehthoek HFN In de regelmatige zeshoek met zijde die het grondvlak is ereken je de lengte van F Er geldt F os d e Met Pythagoras vind je N Stel de gevraagde afstand is h Omdat N h F FN h Omdat de vlakken KG en FDLN evenwijdig zijn Lijn D loodreht vlak FDL, dus is de gevraagde afstand gelijk aan de lengte van D, dus

35 Oefentoets ij hoofdstuk 9 en Moderne wiskunde 9e editie vwo deel f De vlakken FH en EL zijn evenwijdig G P K want F, HM, E en LK zijn evenwijdig Hiernaast is de doorsnede van KG met g het prisma getekend Daarin in P het snijpunt van GK en HM en is Q het snijpunt van en E Q In deze figuur is K, PK en QK 7 g K De gezohte afstand g ereken je met g, PK QK 7 a D E F Stel h is de afstand van EF tot het grondvlak Met Pythagoras volgt dan dat h h Stel is de gezohte hoek tussen F en D, dan tan h tan Stel is de hoek tussen FE en D dan is tan h tan 9, De gezohte hoek is dan 8 8 d Stel F is de projetie van F op D Dan is os FF h, 9 FF, F De gezohte hoek is twee keer FF (vershuif DE evenwijdig aan zihzelf naar rehts), dus ongeveer 9 e Zie opdraht a: h f Kies P op zodat P, dan is hoek EP reht, P en EP en E 7