Hoofdstuk 3 - Conflictlijnen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen Voorkennis: eetkundige plaatsen ladzijde 78 V-1a ligt op middelloodlijn van, dus =. Verder ligt op middelloodlijn van, dus is ook =. Hieruit volgt dat = en ligt dus ook op de middelloodlijn van. V-2a De raaklijn aan een irkel staat loodreht op de straal naar het raakpunt. Dit etekent dat ijvooreeld NR en N. RN = N = 90 0 RN = N NR N ( ZZR) NR = N en ligt N op de N = N issetrie van. Op vergelijkare wijze is in te zien dat NQ N ( ZZR ) en dus ligt N ook op de issetrie van. ij het ewijs dat NR N ( ZZR ) en NQ N ( ZZR). Teken de issetries van de uitenhoeken van en. Deze snijden in punt N, het middelpunt van de gevraagde irkel. d (N, ) is de straal. 68

2 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen N V-3a S = SQ = 90 0 = Q S n SQ ( ZZR). S = S Daaruit volgt dat S = QS. Q S Een loodlijn door het midden van een koorde is niets anders dan de middelloodlijn van die koorde. Omdat de uiteinden van de koorden op de irkeloog liggen zijn ze even ver van het middelpunt verwijderd (namelijk afstand straal) en ligt het middelpunt dus op de middelloodlijn van de koorde. Kies twee koorden op de irkeloog, onstrueer ijhorende middelloodlijnen. Het snijpunt van deze middelloodlijnen is het gezohte middelpunt. 69

3 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen V-4a De gevraagde meetkundige plaats estaat uit twee irkels met hetzelfde middelpunt als, één met straal 1 en één met straal 5. De meetkundige plaats estaat uit een irkel met straal 6 en hetzelfde middelpunt als, samen met het middelpunt van zelf. De meetkundige plaats estaat uit een irkel met straal 7 en hetzelfde middelpunt als. 70

4 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen ladzijde 79 V-5a l m d De ononderroken lijn is de middenparallel, de meetkundige plaats van alle punten op gelijke afstand van l en m. n 3 l m De gevraagde verzameling estaat nu uit twee punten en. V-6a k Q R S De doorsnede van de ononderroken irkels en de twee evenwijdige ononderroken lijnen is de verzameling van de aangegeven vier punten, Q, R en S. 71

5 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen k Q R S Q = S = 3 R = R RQ RS QR = SR RQ = RS = 90 R = R = 2 SR = SR RS RS R = R RS = RS = 90 De diagonalen delen elkaar loodreht middendoor, dus SQ is een ruit. V-7a ls SE = S + SE = 180 dan liggen, S en E op één lijn. Volgens de koordenvierhoekstelling is SE + DE = 180. Verder is 1 S = = DE = 2 g, dus is inderdaad SE = S + SE = 180 en liggen, S en E op één lijn. 180 = S d SE + DE = 180 en het ewijs verloopt verder zoals ij onderdeel a. 3.1 fstand tot een geied ladzijde 80 1a edoeld wordt de stelling: De raaklijn aan een irkel staat loodreht op de straal naar het raakpunt. De raaklijn in R aan het golffront is ook de raaklijn aan het irkelvormige eiland. Het lijnstuk R staat loodreht op die raaklijn, evenals het lijnstuk R (zie stelling 0 0 ij onderdeel a), dus R = = en, R en moeten op één lijn liggen. 2 Ze zijn loodreht getekend op de randen van het geied die aan V 3 grenzen. 72

6 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen ladzijde 81 3a V 5 = V 8 D V 8 1 V 7 6 V 1 V G 6 V 2 = V V 3 4 V 5 H G V 4 H V 1 V 3 3 V 2 = V 6 = V Voor die punten geldt d(, G) = ( straal kwartirkel). ls D het middelpunt is van de kwartirkel, dan is voor de punten in de gele setor d(, H) = ( straal kwartirkel) D. 4a geied voetpt geied voetpt geied voetpt H geied voetpt geied voetpt G geied voetpt 5a unt kan geen voetpunt zijn. De geieden met en als voetpunt, zijn in de figuur hiernaast aangegeven. De punten die eventueel nog als voetpunt zouden kunnen heen, liggen in het geied onder. Voor elk punt in dat geied geldt ehter dat de afstand tot of kleiner is dan de afstand tot, en dus kan geen voetpunt zijn. Er zijn twee mogelijkheden: Of dergelijke punten liggen even ver van en en dus op ijehorende middelloodlijn m, of even ver van de lijnstukken en en dus op de issetrie van. geied voetpt S D geied voetpt 73

7 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen D geied voetpt geied voetpt m Het lijnstuk, de deellijn van en de halflijn m, de middelloodlijn van, vormen samen niet alle punten met preies twee voetpunten. Tussen het eindpunt van lijnstuk en het egin van de halflijn m zitten ook nog punten met twee voetpunten, namelijk punten met gelijke afstand tot punt en lijnstuk. Verderop in het hoofdstuk ga je ook die punten tekenen. 6 Drie randen van het geied raken aan een irkel met middelpunt. G V 1 V 2 V 3 7 De meetkundige plaats van alle punten met d(, G) = 3 wordt gevormd door een irkel met als middelpunt en straal Iso-afstandslijnen ladzijde 82 8a d(, G) =1 G 74

8 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen Deze meetkundige plaats estaat uit vier lijnstukken en vier kwartirkels. d(, G) =2 G 9a geied 1: kwartirkels met middelpunt geied 2: lijnstukken evenwijdig aan geied 3: kwartirkels met middelpunt geied 4: lijnstukken evenwijdig aan geied 5: kwartirkels met middelpunt geied 6: kwartirkels met middelpunt maar dan met een straal die 3 langer is dan die van de andere kwartirkels. G ls je de ahtereenvolgende geieden langs gaat krijg je π π π π 5 = π. 10a l Het gaat hier om de middelloodlijn van. 75

9 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen lleen de punten op de aangegeven halfrehte heen en als voetpunten d geied 1: lijnstukken evenwijdig aan geied 2: kwartirkels met middelpunt en straal 2. geied 3: lijnstukken evenwijdig aan geied 4: irkelogen met middelpunt en straal 2. geied 5: irkelogen met middelpunt en straal 2. geied 6: kwartirkels met middelpunt en straal 1. e ls je de ahtereenvolgende geieden langs gaat krijg je π π 2 + 2π 2 + 2π 1 = π

10 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen ladzijde 83 11a G N Er zijn dus elf setoren G N De lengte van de iso-2-lijn estaat uit de onderdelen ehorend ij de geieden 1 t/m 11. De irkelogen ehorend ij geieden 1, 2, 5, 7 en 9 vormen samen driekwart irkel met straal 2, de totale lengte voor die geieden is dus 4 3 2π 2 = 3π. De irkeloog ij geied 3 is een kwartirkel met straal 1. ijehorende lengte is dus π 1 = 2 π. ij geied 10 hoort een halfirkel met straal 8, met lengte 1 2 2π 8 = 8π. De lengte van de rehte stukken ij de geieden 4, 6, 8 en 11 zijn resp. 3, 17, 2 17 en 6, dus totaal De lengte van de iso-2-lijn is dan 3π + π + 8π = π 57, 50. d Voor 0 < a < estaat de iso-a-lijn uit zeven irkelogen en vier lijnstukken. Voor a 3 is er één irkeloog minder omdat de isolijn dan niet door geied 3 gaat. Het antwoord is dus a 3. 77

11 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 12a D E an de figuur hieroven zie je dat de gevraagde waarde van a tussen 2 en 3 moet liggen. De gevraagde waarde van a hoort ij het snijpunt van de lijn door loodreht op E en de lijn door loodreht op E (zie oven). En dus is de kleinste waarde van a: a = 2 2 ( 2, 83). Naast de iso -a- lijnen met a = 1, 2, 3 zijn nu ook de iso-7-lijn en de iso-10-lijn getekend. Je ziet dat de ewering in de opgave redelijk klopt. 3.3 fstanden tot de rand ladzijde 84 13a Het snijpunt van de drie issetries van een driehoek (of driehoekig gat) is even ver van de drie zijden verwijderd. 78

12 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen Je kunt deellijnen trekken vanuit de hoeken, maar zoals je hieroven ziet is er geen gemeenshappelijk snijpunt van de vier issetries. 14a d ij een vierkant kun je zo n punt wel vinden, namelijk het snijpunt van de diagonalen. Een diagonaal is in dit geval namelijk ook tegelijkertijd issetrie van eide elkaar verindende hoeken en dus is er inderdaad een gemeenshappelijk snijpunt van de vier issetries. ij een rehthoek kan dat in het algemeen niet omdat de vier issetries meestal niet door één punt gaan (tenzij het een vierkant is natuurlijk). ij een ruit kun je zo n wel vinden, dit is opnieuw het snijpunt van de diagonalen. Een diagonaal is namelijk ook hier tegelijkertijd issetrie van eide elkaar verindende hoeken en dus is het gemeenshappelijke snijpunt van de vier issetries. ij een parallellogram kan dat in het algemeen niet omdat de vier issetries meestal niet door één punt gaan (ehalve in het geval van een ruit of vierkant natuurlijk). 15a De issetries van de hoeken en snijden elkaar in een punt dat even ver verwijderd is van drie van de vier zijden van de vierhoek. Dus kan er een irkel worden getekend die aan deze drie zijden raakt. D Het lijkt te lukken om hier een irkel te tekenen die aan alle zijden raakt. Het lijkt dat + D D +. 79

13 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen ladzijde 85 16a nalysefiguur: S Dit zijn rehte hoeken. Een raaklijn staat loodreht op ijehorende straal. S want: d = = S S ( ZZR) = S, = = 90 0 D + D = ( α + β) + ( γ + δ) = ( α + δ) + ( β + γ ) = D +, waarmee de eigenshap is ewezen. 17a R D Q S 80 De niet onderroken irkel is de irkel die in onderdeel wordt gevraagd, de straal van deze irkel is 1 groter dan de straal van de oorspronkelijke irkel en heeft middelpunt. Verplaats de vier rehte lijnstukken van de uitenkant van geied G over een afstand a van af. Je krijgt dan preies de rehte lijnstukken van de iso a lijn en verder onderling een even grote afstand heen tot. Er is dan dus een irkel die al deze lijnstukken raakt, met middelpunt en een straal die a groter is dan de oorspronkelijke irkel.

14 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 0 0 d R + Q = = 180 0, dus vierhoek QR is koordenvierhoek. e Stel R = Q = x. Vierhoek D is een raaklijnenvierhoek, dus is + D = D +. Omdat D = DR + x en = Q + x geldt dus ook + DR + x = D + Q + x. Hieruit volgt + DR = D + Q en dus D = DR Q. 18a Zoals je ij de uitwerkingen van opgaven 9 t/m 12 ook ziet worden de grillige ontouren van een geied ij iso-a -lijnen voor grotere a steeds meer afgerond. Deze afronding heeft te maken met het feit dat de ligging van een isolijn vooral samenhangt met uitsteeksels van een geied en vrijwel niet met inhammen. Deze lijkt in orde. Deze lijkt ook in orde. 19a D De irkelogen ij de hoekpunten vormen samen een hele irkel omdat ( 180 α ) + ( 180 β ) + ( 180 γ ) + ( 180 δ ) = 720 ( α + β + γ + δ) = De straal is 2 dus de totale lengte van de vier irkelogen is 2 2 = 4. De totale lengte van de rehte stukken is = 15 en de lengte van de iso-2-lijn is dan naloog is de exate lengte van een iso-1000-lijn dan d De exate lengte van een iso-2000-lijn is De ijdrage 15 in deze uitdrukking legt relatief weinig gewiht in de shaal (iets meer dan 0,1 %), dus is 4000 een redelijke enadering. lengte iso lijn e Voor grote a is a = a = a a a 81

15 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 3.4 onflitlijnen ladzijde 86 20a D Viente S Domenio Op deze manier wordt natuurlijk wel evenveel geied aan Viente als aan Domenio toegedeeld. Dus aan de voorwaarde van Viente is voldaan. an de voorwaarde van Domenio is niet voldaan omdat ijvooreeld punt S dihter ij het geied van Domenio ligt dan ij het geied van Viente. D Viente Domenio Viente kan die grens ook aepteren want de oppervlakten van eide delen zijn gelijk. 21a De middelloodlijn van. 82

16 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen l s m t In het geval van twee snijdende lijnen estaat de onflitlijn uit twee gedeelten, namelijk de issetrie van de hoek die lijnen maken en die van ijehorende uitenhoek. ij twee evenwijdige lijnen estaat de onflitlijn maar uit één lijn, namelijk de middenparallel van de twee lijnen. iddelloodlijn, twee issetries, middenparallel. ladzijde 87 22a Dat middelpunt vind je ijvooreeld door drie punten op de irkeloog te kiezen en vervolgens daarij twee middelloodlijnen te tekenen. Het snijpunt van de middelloodlijnen is het gezohte middelpunt. Vanuit het gevonden middelpunt trek je de onflitlijnen over het aangeslide land naar de grenspunten tussen de geieden en en die tussen en. 23a G H De onflitlijn estaat hier uit de grenslijn tussen G en H (ononderroken halflijn) en de gestippelde halflijn, samen de loodlijn op de horizontale lijn. 83

17 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen U V De onflitlijn estaat hier uit de gestippelde lijn en de grenslijn tussen U en V, samen de issetrie van de hoek ij (in dit geval ) het middelpunt van de irkeloog. X Y De onflitlijn komt overeen met de getekende straal en het verlengde daarvan. 24ad D De drie ononderroken middelloodlijnen sluiten het ij onderdeel edoelde driehoekige geied in. 25a R Q 84

18 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen Er zijn drie landen en er kunnen geen twee punten zijn waar alle drie die landen samenkomen. 26a D In eerste instantie zijn de relevante middelloodlijnen getekend. Het Voronoi-diagram omvat nu een veelhoekig geied om en min of meer evenwijdige stroken om de op één lijn liggende punten. Er zijn hier drie drielandenpunten. De onflitlijnen tussen n op een lijn k liggende punten vormen een ( n 1) -tal evenwijdige halflijnen. De Voronoi-el om het punt dat niet op k ligt heeft veel maar hoogstens ( n 1 ) hoekpunten. 3.5 onflitlijnen met GeoGera ladzijde 88 27ad Q r ls je alle stappen het gedaan zie je een plaatje als hieroven. 85

19 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 28ad l V m r ls je alle stappen het gedaan zie je een plaatje als hieroven, de onflitlijn lijkt een paraool. ladzijde 89 29a l V m r ls dihter naar lijn r wordt gewogen dan wordt de paraool spitser. ls aan de aan andere kant van lijn r komt te liggen dan komt wisselt de paraool ook van kant. 30a V E Zet optie spoor voor punt uit. Kies meetkundige plaats en klik eerst punt E aan en daarna punt V. Je krijgt dan ongeveer hetzelfde plaatje op als hieroven. 86

20 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen d e ls je in de rihting van vershuift dan krijg je een ellips die steeds meer een op een irkel lijkt. ls je en laat samenvallen wordt het een irkel met middelpunt =. Je krijgt dan één tak van een hyperool. et alleen de straal V had je geen punt gevonden dat ij die meetkundige plaats hoort. ls je een lijn door en V had getrokken, dan zouden eide takken van een hyperool zijn vershenen. 31a m l V H Je krijgt ijvooreeld ovenstaande figuur. Dit komt omdat er hier een rehte door en V is getrokken en niet een halfrehte zoals ij opgave 30. ls V en H aan vershillende kanten van liggen, dan zit je op een punt van de linkertak van de hyperool. m V d l Ze zijn dan evenwijdig. Er is een andere positie van V waarij l en m ook evenwijdig zijn. Dit levert de andere asymptoot op. 87

21 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 3.6 araool ladzijde 90 32a Q R k l m Dit is punt, halverwege de loodlijn vanuit op lijn l. De lijnen k en m zijn de iso-2-lijnen van l. unten die op de onflitlijn van en l liggen zijn de snijpunten van k met een irkel met middelpunt en straal 2, dus de punten Q en R. d Zie de figuur voor zes nieuwe punten van de onflitlijn. e De manier van werken om punten van de onflitlijn te vinden is symmetrish ten opzihte van de loodlijn van op lijn l. f Q R k l m 33a Laat een loodlijn neer van op lijn r. Het snijpunt met r is het voetpunt S. unt ligt halverwege tussen en S. De punten L en N vind je door de lijn door evenwijdig aan r te snijden met de issetries van de rehte hoeken ij S, dit zijn tevens de diagonalen van de vierkantjes in de figuur. KV = K, dus ligt K op de middelloodlijn van V en. 88

22 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 34a l m 1 r V 1 V 2 V 3 V 4 1 ligt op de middelloodlijn van V1 en, dus 1 = V 1 1. V 1 1 is de loodrehte afstand van 1 tot r en dus ligt 1 even ver van als van r en dus ligt 1 op de onflitlijn. d m l r V 1 V2 V 3 V 4 ladzijde 91 35a r Kies een punt op r, riht in dat punt een loodlijn op r op, teken de middelloodlijn van dat punt en punt. Het snijpunt van de loodlijn op r en de middelloodlijn is een punt van de paraool. 89

23 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 36a Er is maar één top. ls de top niet op de symmetrie-as zou liggen zouden er twee toppen zijn. r Verduel de afstand van tot de top en je krijgt het voetpunt van de rihtlijn. Riht de loodlijn in dat voetpunt op de symmetrieas op en je het de rihtlijn van de paraool. 37a ekijk de lijnen die geen punt gemeenshappelijk heen met de getekende paraolen. Kleur dan de tweede van oven rood. De afstand tot de rode lijn en tot het punt zijn voor de rode punten steeds gelijk. De rihtlijn van de groene paraool ligt in de figuur twee lijnen lager dan de rode rihtlijn a = ( 2 0) + ( 1 1) = = ( 4 0) + ( 4 1) = 5 en d(, r) = 1 ( 1) = 2, dus is = d(, r). en d(, r) = 4 ( 1) = 5, dus is ook = d(, r). = d(, r) ( x 0) 2 + ( y 1) 2 = y ( 1) x 2 + ( y 1) 2 = ( y + 1) x + y 2y + 1 = y + 2y + 1 x = 4y y x Ga nu uit van y = 1 4 x Dit etekent ( x, y) = ( x, 4 x ). Je moet nu laten zien dat = d(, r) = ( x 0) + ( 4 x 1) = x + x x + 1 = x + = d(, r) = x ( 1) = 4 x + 1, dus het klopt x + 1 = 4 x + 1. verder is 90

24 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 3.7 Ellips en hyperool ladzijde 92 39a V T 2 1 S Trek door en een rehte lijn. Deze snijdt de irkel in S en T. De middens van S ( 1 ) en T ( 2 ) liggen op de onflitlijn. V is het snijpunt van V en de middelloodlijn van V en. Hieronder op dezelfde manier nog 5 punten van de onflitlijn geonstrueerd. V d Er geldt d(, ) = d(, ), maar steeds is d(, ) = r d(, ) (zie ijvooreeld de figuur ij onderdeel ). Dus is d(, ) = r d(, ) d(, ) + d(, ) = r. 91

25 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen 40a Neem ijvooreeld = en = en ekijk 1 2 de meetkundige plaats van alle punten met d(, ) + d(, ) = k. unten en zijn hieronder getekend samen met irkel (, k). voor een punt innen een irkel geldt ook d(, ) = k d(, ) en dus geldt ook dat d(, ) = d(, ). En dat moest worden ewezen. unten en Q hieronder horen ij de onflitlijn en verder vormt Q de lange as van de ellips. Voor de lengte geldt : Q = + Q Q k Q = = + = S V Q T 41a 1 N 2 Hier is één van de rihtirkels getekend, de irkel met middelpunt 1 en straal 10. Je kunt dan ijvooreeld de onstrutiemethode van opgave 39 geruiken. N in de figuur hieroven is de helft van de korte as. Omdat = 10 en 2 2 = is 1 = 5. Verder is N = en dus is N = 5 4 = 3 en de lengte 1 2 van de korte as is ladzijde 93 42a unt vind je door de halfrehte door en V te snijden met de middelloodlijn van V. V 92

26 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen d d(, ) = en voor een punt uiten irkel geldt d(, ) = 3, dus d(, ) = d(, ) = 3 = 3. e Sustitueren ( Q,, ) geeft Q Q = 3. 43a Voor de punten op de rode hyperooltak geldt 1 2 = 6 2 = 7 3 =... = 4, dus Voor de punten op de groene hyperooltak geldt 1 2 = 2 5 = 3 6 =... = 3, dus k = 3 k = 4 44a 1 T 1 T 2 2 Noem de toppen T1 en T2. T1 T2 = 1 T2 1 T1, maar 1 T1 = 2 T2 (symmetrie om ), dus T1 T2 = 1 T2 2 T2. omdat T 2 hoort ij de rehtertak van de hyperool, is 1 T2 2 T2 = k en dus T T = 1 2 k. De symmetrieassen zijn: de rehte door 1 en 2 en de middelloodlijn van Gemengde opdrahten ladzijde 94 45a onflitlijn van: punt lijn irkel punt lijn paraool ellips of hyperool lijn lijn(en)? irkel? De onflitlijn van punt en de lijn l is een paraool. Zoals hieronder getekend. a r H a l Voor een punt op de paraool geldt: d(, ) = d(, l) = Q a = Q a = H. Dus ligt op de onflitlijn van de irkel en lijn r. Q 93

27 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen ( ) en ( N ) Teken de irkels : 1, a :, 2 Voor een punt op de onflitlijn moet gelden: d(, 1 ) = d(, 2) = E + a + = E + a + + = N + a + a = N ( a ) = N d(, 3) = N De punten liggen dus op een hyperooltak met rihtirkel = ( 3,( a ) ) en randpunt N 46a D lleen de twee rehte stukken hangen niet van a af. Elk zijn ze steeds 3 lang. Dat klopt wel. Je ziet het ook al aan het plaatje ij onderdeel a. lengte iso-a-lijn 6 drie irkelogen d d = + = 6 rie irkelogen a = 2. a a a a a 47a De grens tussen Dorius en lavius evat een stukje paraool, namelijk de punten op gelijke afstanden van het hoekpunt van Dorius (randpunt) en de rehte oever van lavius (rihtlijn). Hieronder zijn de geieden shematish weergegeven. De grens tussen Egilius en Dorius estaat uit de deellijn van hoek. De grens tussen Egilius en lavius uit de deellijn van hoek. De grens tussen Dorius en lavius estaat uit een rehte lijn tot punt een stukje deellijn, QS, van hoek, en een stukje paraool van tot Q. lavius Q lavius S Dorius Dorius Egilius Egilius 94

28 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen ladzijde 95 48a T L V R U E D Teken een irkeloog met middelpunt E door. Teken ook een irkeloog door met middelpunt. Teken lijnstuk E dat de irkeloog ij en in U snijdt. De afstand U is epalend voor de isolijn. Teken vervolgens een irkeloog met middelpunt en straal 6 U en het figuurtje dat ij hoort is ompleet. In het algemeen is LE = 3+ a en L = 6 a, dus L + LE = ( 6 a) + ( 3+ a)= 9. S 9 x x 3 E 6 T Volgens de stelling van ythagoras is dus ( 9 x) + ( x + 3) = 36 x 24x + 36 = 0 x = 12 ± 6 3. De oplossing x = is onruikaar, want deze maakt 9 x negatief. lijft over S = x = a E Q D Het voor relevante gedeelte Q van de middelloodlijn van wordt gemarkeerd door de middelloodlijnen van en. Door drie punten die niet op één lijn liggen gaat preies één irkel. Het middelpunt van die irkel, dat dus even ver van de drie punten verwijderd is, is hier het drielandenpunt. In ieder geval ij lusters van drie punten die relatief diht ij elkaar liggen. Dus voor de landen, en D, maar ook voor, en ;, en ;, E en. Zie ook hieronder. 95

29 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen d E D Test jezelf ladzijde 98 T-1a L E R N D K Q S O unt d( K, G) = r K d unt, want dat is het middelpunt van de halve irkel. e unt, want dat is het hoekpunt van een inham. 96

30 oderne Wiskunde Uitwerkingen ij 1a vwo Hoofdstuk 5 f t R H s E N D u O Deze punten X treden op in de uurt van inhammen en inkepingen van het geied. ij de inham ij hoort een gedeelte van de middelloodlijn van D, de halfrehte ( u ). ij de inham ij horen een gedeelte van de deellijn van ( s ) en een gedeelte van de middelloodlijn van E, ook weer in de vorm van een halfrehte ( t ). Overigens sluiten s en t niet preies op elkaar aan, er hoort nog een stukje paraool, met rihtlijn en randpunt E, ij tussen H en R. T-2a Het uitengeied telt 14 setoren. 97

31 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen d De iso lijn heeft in de setoren 3, 6, 8 en 10 een totale lengte van = 24. In elk van de setoren 1, 2, 4, 5, 7 en 9 is er sprake van een kwartirkel met straal , dus in totaal = 1 2. In elk van de setoren 11 t/m is sprake van een lengte 4-2 = 3 2, in totaal dus = 14. De iso lijn heeft lengte π + 14 = ls a 4 komt de iso- a -lijn slehts in setoren 1 t/m 10. Zo n isolijn heeft in de setoren 3, 6, 8 en 10 een totale lengte van = 24. In de setoren 7 en 9 is er in eide gevallen sprake van een kwartirkel met straal a en in setoren 1, 2, 4 en 5 he je steeds te maken met een ahtste irkel met straal a. De lengte van de iso- a 1 1 -lijn is dan 24 + ( ) 2 a = a. En dus 4 8 lengte van een iso- a -lijn = a = a a a T-3a Het middelpunt kun je onstrueren door de issetries van en te tekenen. Het snijpunt is dan het middelpunt van de ingeshreven irkel. D N L K DN D omdat D = D, N = en ND = D = 90 0 ( ZZR) en dus is D = DN. Voor raaklijnenvierhoek D geldt + D = D +. Verder is D = N + DN en D = + D, dus + + D = N + DN +. Omdat D = DN geldt nu + = N +. 98

32 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen ladzijde 99 T-4a De onflitlijn van de geieden en is een loodlijn. De onflitlijn van de geieden en is een deel van de deellijn van de oude rehte oevers van en en een irkelstraal. T-5a m V T m V 1 V T V 3 3 V 4 4 Neem punt V1 op m, riht in dat een punt een loodlijn op en snijdt deze loodlijn met de middelloodlijn van V 1 en je krijgt punt 1 van de paraool, enzovoort. 99

33 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen d m V V = d(, ) en V m = en is V gelijkenig. = d(, ). Voor punt geldt d(, ) = d(, m) en dus is T-6a 1 V W d(, ) = V = = d(, ), dus 2 is rihtirkel voor de ellips

34 Hoofdstuk 3 - onflitlijnen d 1 V W e Zoals in de figuur hieroven te zien is d(, 1 ) = d(, 3) en dus ligt op de hyperool. T-7a G De tekening van geied G is niet eenduidig. ij de twee inhammen kan die inham groter worden gemaakt zonder dat de iso-2-lijn verandert. 101