Hoofdstuk 6 - Cirkeleigenschappen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Voorkennis: hoeken en irkels ladzijde 56 V-a 68 ; dus S 80 SE. us SE S 56 ES us SE 78. V- 60. Ook geldt 60. us. V-a 80 Er geldt: 80 ( ) en ( ) ( ) ( ) ( ) V-a In F geldt: F F 60 dus ook F 60. us F is gelijkzijdig. Net zo valt te ewijzen dat FE gelijkzijdig is. e driehoeken F en zijn gelijkzijdig, dus F. Net zo is te ewijzen dat E. us en E zijn de middens van en. 0 ; 90 V-5a In geldt: dus. us 80, dus. Ook geldt (F-hoeken), dus is issetrie van. E want straal irkel, E straal irkel en E (overstaande hoeken), ZHZ, dus E. Hieruit volgt dat E / / (Z-hoeken). E ladzijde 57 V-6 e raaklijnen staan loodreht op de stralen S en R. In vierhoek PRS zijn de hoeken R en S dus samen 80, dus geldt ook dat P 80. V-7 Omdat R (eigenshap raaklijn) en straal grote irkel. V-8a Hoekensom 8-hoek is 080. us H ; 5 5, 5 F ( 90 5) 5 dus F 80 5, 5 d EF 5 EF , 5 us FE F EF, 5 67,

2 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel V-9a Omdat E middenparallel is. Rehthoek want E F (gevolg middenparallel) en E / / F met verder nog 90 (geg). us vierhoek EF is parallellogram met een rehte hoek, dus een rehthoek. Volgens de omgekeerde stelling van Thales gaat er een irkel door driehoek E met middellijn E. Het zelfde geldt voor de driehoeken EG en EF. us alle genoemde punten liggen op deze irkel. d Het midden van E. 6. Hoeken en ogen ladzijde 58 a 85 g 0 60, 5 en g , 9 d keer een draaiing van 85, keer een draaiing van 0 en keer een hoek van 5. a Omdat g 80 d g en g. e Stel 80. us g 80. Verder geldt dat us g. ladzijde 59 a Noem het snijpunt van met de irkel. Uit opgave volgt g en g, dus g. Trek, deze snijdt de irkel in. Uit opgave volgt g en g. g 80 g g 80. us ( 90 ) ( 90 ( 90 )) (immers 90, Thales) us ( ) (. ) a 8

3 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel e driehoeken en zijn ongruent, want en (immers gelijk aan de gelijke ogen); ZHZ us. e driehoeken zijn dan ongruent volgens ZZZ en daaruit volgt de gelijkheid van de eide middelpuntshoeken en derhalve de gelijkheid van de ijehorende ogen en. 5a ( Z-hoeken ) ; ij gelijke hoeken horen gelijke ogen, dus g g. ls de ogen en gelijk zijn etekent dit dat de ijehorende omtrekshoeken en gelijk zijn. Hieruit volgt dat l en m evenwijdig zijn (Z-hoeken). 6a l R VS d Zie hieroven. e driehoeken RV en SV zijn ongruent volgens ZZZ want: RV SV(geg) V V R R 90 Uit deze ongruentie volgt dat R S dus S ook op de irkel. it laatste kan niet want dit zou etekenen dat de raaklijn in R de irkel ook nog in S snijdt. 9

4 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel 7a Teken een ij de koorde horende omtrekshoek. ie hoek is 90. Stel ; hieruit en omdat volgt dat us 90 ( 90 ). 6. e onstante hoek ladzijde 60 8a - d (eigenshap rehthoek); dus zijn de halve diagonalen ook gelijk en omdat de diagonalen elkaar ook middendoor delen geldt. 9a Omtrekshoek is gelijk aan de helft van de middelpuntshoek, dus gelijk aan Het midden. e helft. 0a P E 0

5 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel, P en E, en E d E 90 (Thales en P 90 E ). us gp g E. ladzijde 6 a F-hoeken. et Q innen de irkel estaat een driehoek QE en er kunnen geen twee zijden van een driehoek evenwijdig zijn. us Q innen de irkel kan niet. d Zie en. e Punt Q ligt op de irkel. a P Toelihting: is dan 60. us zijn de hoeken ij en gelijk aan 0. Hieruit volgt de ligging van het middelpunt. e straal is de lengte van. e straal is. Er geldt: sin 60, 6... en, 6... sin 80, dus,... sin, a l P, 80 90

6 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel 90 ( 90 ) 0 80 en dus geldt: 50. us: teken het lijnstuk met lengte m. Teken door en lijnen l en m die hoeken van 50 met maken. Het snijpunt van de lijnen l en m is het punt. 6. Koordenvierhoeken ladzijde 6 a Gegeven: vierhoek. Te ewijzen: 80 en 80. eide zijn 90 (Thales); ja dan samen immers 80. Ook samen 80. Zie tekening waarin gelijke hoeken zijn aangegeven. Steeds omtrekshoeken op een zelfde koorde. Omdat de som van de hoeken van een vierhoek gelijk is aan 60, geldt: 60. Hieruit volgt: 80 en dus 80 en 80. 5a Zie de figuur ij. 6a dus vierhoek is koordenvierhoek. e omgeshreven irkel van driehoek gaat dus ook door. onstrueer het middelpunt van deze irkel door de middelloodlijnen van en te snijden.

7 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel Zie de figuur ij a. d Ja. 7a Uit volgt:, dus ligt ook op de middelloodlijn van lijnstuk. Punt heeft gelijke afstanden tot,, en en is dus middelpunt van de omgeshreven irkel van vierhoek. ladzijde 6 8a E Vierhoek is koordenvierhoek (gegeven), dus 80. Omdat E op de omgeshreven irkel van driehoek ligt is vierhoek E ook een koordenvierhoek, dus geldt: E 80. us is E en dat kan niet wanneer en E niet samenvallen. ewijs gaat net zo. d Punt ligt op de irkel. 9a riehoek P heeft een omgeshreven irkel, P is omtrekshoek op koorde. Omdat P Q is dus Q ook omtrekshoek op koorde, dus punt Q ligt op de omgeshreven irkel van driehoek P, oftewel vierhoek PQ is een koordenvierhoek. 0a Omdat 90, ligt vanwege Thales het punt op de irkel met middellijn. Hetzelfde geldt voor punt E, dus liggen de punten,, en E op één irkel. e overstaande hoeken F en zijn samen FHE, EH, F, FE a Omdat P 90, ligt vanwege Thales het punt P op de irkel met middellijn S. Van deze irkel is dus punt T het middelpunt. Er geldt dus: TP TS TPS TSP. Net zo ligt Q op de irkel met middellijn S, en dus punt U als middelpunt. Hieruit volgt: USQ UQS. Omdat (overstaande hoeken) USQ TSP, geldt: USQ UQS TSP TPS. Hieruit volgt: PTS 80.

8 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel e driehoeken TPS en USQ zijn gelijkvormig (HH) en dus zijn de driehoeken TUS en QPS ook gelijkvormig (hoek gelijk en evenredigheid zijden). Stel STU, dan geldt: TUS 80 ( 80 ). Vanwege de gelijkvormigheid geldt dit ook voor SQP. us T Q erhalve is vierhoek TUQP een koordenvierhoek. a F E 90 Stel: en Hieruit volgt: E (eide omtrekshoek op koorde F ) en er geldt 90. us E , dus is vierhoek FE een koordenvierhoek. 6. irkelogen ladzijde 6 a P N P X Stel XP, hieruit volgt dat XP en PX 80. us geldt: P 80 ( 80 ) XP. P is een onstante hoek (omtrekshoek op ), omdat XP de helft van deze hoek is, is dus ook XP een onstante hoek en doorloopt punt X een deel van de irkel die ook door en gaat. Het ewijs verloopt identiek aan dat van vraag a. d Het middelpunt N is het snijpunt van de middelloodlijnen van en X.

9 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel a eel van de irkel met middellijn (Thales). Idem. Zelfde middellijn (Thales). 5a Q S P T - Er geldt S koorde door P, dus (Thales) ligt S op irkel met middellijn P. d Er geldt ook hier T, dus (Thales) ligt T op irkel met middellijn Q. ladzijde 65 6a Er geldt, dus (Thales) ligt op irkel met middellijn. ezelfde irkel om dezelfde reden. 7a eide zijn gelijk aan 90. Omdat koorde een onstante lengte heeft, is een onstante (omtreks) hoek, dus zijn de hoeken S en T ook onstant, op te vatten als omtrekshoeken op en doorlopen S en T dus een irkel. en 5

10 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel d T S is onstant (omtrekshoek op ) is onstant (omtrekshoek op ) S 80 is ook onstant, en dus ook S dus S doorloopt irkel T 80 T 80 ( 80 ) is dus ook onstant, dus T doorloopt irkel 6.5 ewijzen ladzijde 66 8a - - P en Q d P Q want dit zijn de asishoeken in de gelijkenige driehoek ( ). e P Q want:, P Q, P Q (ZHZ). Hieruit volgt dat P Q en dus RP SQ (eide straal minus een gelijk lijnstuk P). 9a Gegeven: een driehoek met zijn omgeshreven irkel, S is middelloodlijn van en S is issetrie van hoek. Te ewijzen: S op omgeshreven irkel. S 6 issetrie: punten hierop heen gelijke afstanden tot de enen van de hoek. iddelloodlijn: punten hierop heen gelijke afstanden tot de eindpunten van het lijnstuk.

11 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel d e ogen (en koorden) T en T zijn gelijk dus de ijehorende hoeken en zijn gelijk, dus T op de issetrie van hoek. oog T = oog T, dus de ijehorende koorden T en T zijn ook even groot dus ligt T op de middelloodlijn van. us vallen S en T samen. ladzijde 67 0a - F en F F en F d FI FI e stel, hieruit volgt dat F F stel I 80 FI 80 ( 80 ) aar ook geldt FI, dus geldt FI F. a - Te ewijzen: I. Er geldt al, I is in opgave 0 ewezen, dus I. d Ook nu geldt I want op gelijke wijze als hiervoor is I (zie figuur) I e Het zelfde geldt: I. I + 7

12 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel 6.6 Gemengde opdrahten ladzijde 68 a - g en g P 80 P 80 ( 80 ) g g d - e g en g f P 80 P 80 ( 80 ) it is gelijk aan g g. a - rehthoekig (Thales) overstaande zijden even lang en evenwijdig, diagonalen delen elkaar doormidden de evenwijdigheid d Q en R dus H / / R P en R dus P / / R dus HR is een parallellogram ladzijde 69 a Het punt K is middelpunt van de omgeshreven irkel van S (Thales) hieruit volgt KS K en dus KS KS en deze laatste hoek is gelijk aan SL. Stel KS KS en omdat KS K : KS KS ; Er geldt dus: 90 Ook SL (omtrekshoek op ) us LS en derhalve KL 5a vierhoek EH is koordenvierhoek want E Het staat al ij a. net zo 8

13 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel IT irkelogen ladzijde 70 I-a E is onstant; dus E 80 is ook onstant, stel gelijk aan Omdat E is E 80 90, dus ook onstant, dus doorloopt E een irkel ( E is een omtrekshoek). I-a E Een irkel met middellijn (Eis rehthoekig, Thales). E F 9

14 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel d - e Ook is rehthoekig. ladzijde 7 I-a E F F is rehthoekig in F, dus F doorloopt irkel met middellijn. E H G H staat altijd loodreht op de lijn door G, dus H doorloopt deel irkel met middellijn G (Thales). I-a E F e driehoeken F en E zijn rehthoekig in respetievelijk F en E, dus eshrijven deze punten irkels met middellijnen en (Thales). I-5a eide 90. Omdat koorde een onstante lengte heeft, is een onstante (omtreks) hoek, dus zijn de hoeken S en T ook onstant, op te vatten als omtrekshoeken op en doorlopen S en T dus een irkel. en d is onstant (omtrekshoek op ). is onstant (omtrekshoek op.) 0

15 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel S 80 is ook onstant, en dus ook S dus S doorloopt irkel. T 80 T 80 ( 80 ) is dus ook onstant, dus T doorloopt irkel. Test jezelf ladzijde 7 T-a oog , dus Hieruit volgt oog 70 en oog E 70 ; dus oog E E d 90 e E 80 ( 90 ) 90 (koordenvierhoek). T- Stel en (omtrekshoek op E) E (omtrekshoek op ) Q 80 QP Net zo is EP 80 QP us in driehoek PQ zijn de hoeken ij P en Q gelijk, dus geldt P Q. T-a PQ, PQ P Q 80 (koordenvierhoek) P 80 (koordenvierhoek) us Q / / (F-hoeken). T-a Omtrekshoek op. Ook omtrekshoek op, maar nu in de andere irkel. PQ 80 TQ 80 ( 80 T QT ) T QT ; dit is de som van twee onstante hoeken, dus is PQ ook onstant. d Ook onstant.

16 Hoofdstuk 6 - irkeleigenshappen oderne wiskunde 9e editie vwo deel ladzijde 75 T-5a RQ is koordenvierhoek PQR d R 80 Q P 80 ( 80 Q) Q Raaklijneigenshap: ( t, P) omtrekshoek op P P PQR dus t / / QR (Z-hoeken). T-6 P P P P (omtrekshoeken op P, P) P P is koordenvierhoek, dus 80 Ook is, dus de hoek tussen en het verlengde van is 80 Hieruit volgt / / (Z-hoeken). T-7 is gelijkzijdig, dus 60 0 (omtrekshoek is de helft van middelpuntshoek). T-8 (omtrekshoek op ) R 90 (Thales) sin a Rsin a R us R a sin T-9a 80 en dit is gelijk aan 80 PQ 80 ( 80 QP PQ) QP PQ PS P ( 80 ) 90 ( ) QS Q ( 80 ) 90 ( ) d Stellen we en, dan is 80 (koordenvierhoek) PSQ 80 QS SP ( PQ QP ) dit is gelijk aan: 80 ( 90 ) ( ) (zie a, en ) us PSQ us PS QS.

17 lok - Vaardigheden oderne wiskunde 9e editie vwo deel ladzijde 78 a Elke uur wordt een hoeveelheid vermenigvuldigd met,09. Na uur is er, 09. Na dag = = uur is er (, 09), 09, 09 e groeifator per dag is, 09, 9 e groeifator per dag wordt 7 keer toegepast innen een week. at is 7 g (, 09 ), 09,. e groeifator per 8 uur wordt keer toegepast innen uur. at is g, 09 g, 09, 06 d e groeifator per uur wordt keer toegepast innen uur. at is g, 09 g, 09, 0 a t t t Ja, want t t t t t t t t ( ) ( ) 8. t tt t t Nee, want en niet t t. t t t t t Ja, want t t t. d Ja, want 8 ( ) t. t t t t t t tt e Nee, want ( ) en niet ( ). f Ja, want t t t t t a t ( ) t t t t 9 t t t ( ) t 9 t t t ( ) ( ) t ( ) ( t t ) ( ) ( ) t t t t t t t t t t t t t t d 8 ( ) t t ( ) t ( ) ( ) ( ) t t t t t t 6t t 5t t e 0 t t t t 8 f , t t t 5 ladzijde 79 a d 6 5a t t t t f ( t) ( ) ( t t ) ( ) Uit een vergelijking met het formuleshema f ( t) g t volgt dat de eginhoeveel- heid en de groeifator g 0, 5 is. t t g( t) ( ) ( ) ( ) ( ) t ( ) ( ) ( t ) ( t ) 6 t t t ( ) 6 ( ) 6 ( ) 8 e eginhoeveelheid 6 en de groeifator g 0, 5. 8 t t t h( t) e eginhoeveelheid 5 en de groeifator g.

18 lok - Vaardigheden oderne wiskunde 9e editie vwo deel ( t ) t t d k( t) t t ( ) ( ) t e eginhoeveelheid en de groeifator g 0, 5. 6a Voor het snijpunt met de y-as geldt t 0. Invullen in de funtie geeft f ( 0) 5 5. e oördinaten zijn dus (0, 5). t t t f ( t) ( ) Uit een vergelijking met het formuleshema f ( t) g t volgt dat de eginhoeveelheid 5 en de groeifator g 5. f ( t) 5 t 5 t 5 t t t t 8 7a Voor het snijpunt geldt f ( t) g( t). Oplossen geeft 9 t t 9 t t t ( ) t t t t t t e y-waarde hierij is 9 9 Het snijpunt is (, 9). t t t h( t) f ( t) g( t) 9 9 ( ) t t t t t t t t 9 Hierij hoort de eginhoeveelheid 9 en de groeifator g. 0 8a Voor t 0 is de y-waarde f ( 0), 5. e funtie f moet dus naar eneden geshoven worden. Funtie g wordt dus t t g( t) f ( t) f ( 0), 5 (, 5 ). Voor een vershuiving van twee eenheden naar links wordt t vervangen door t. t t t Funtie h wordt dan h( t), 5, 5, 5 7, 5. 0 h( 0) 7, Voor een spiegeling in de y-as wordt t vervangen door t. Funtie j wordt dan t t t j( t), (, ) (( ) 5 5 ) ( )t. ladzijde 80 9a =, =, =, =, =, =,50 0 d 0,0 =, : 00 =, 0 e 0, = 9, : = 9, 0 7 f 0, = 5,6 : = 5,6 0

19 lok - Vaardigheden oderne wiskunde 9e editie vwo deel 0a 00 ligt oven en is kleiner dan 8 5. ij log 00 is de uitkomst de maht waartoe verheven moet worden om 00 te geven. 00 ligt tussen 8 en 8, dus log 00 ligt tussen en ligt tussen 8 7 en , dus log 75 ligt tussen 7 en 8. ligt tussen 0 en, dus log ligt tussen 0 en. d 0, ligt tussen ( ) en ( ), dus log 0, ligt tussen en Het grondtal g is het grondtal dat geldig is ij eponentiële funties. at zijn alle positieve getallen ehalve 0 en, dus 0 g. Uit p g q volgt g log p q. e eponentiële funtie p g q is altijd positief, dus p 0. e logaritme van een negatief getal of 0 erekenen kan dus niet. In het theorievlak zijn a en de getallen waarvan je de logaritme erekent. Er moet dus gelden a 0 en 0. 5 a log log log log log( ) log log log 6 log log 8 log 6 log log log 6 9 log 6 log log log log 6 log log log 6 log 8 log 6 log 6 log 8 6 log 6 d log log 5 log 5 log log 5 log 5 log 8 log 5 log 5 log log 00 a log log log log( ) log( ) log( ) d log log( ) log log( ) log( ) log( )( ) log( 6 ) of 8 ladzijde 8 a Het domein van log is 0,, dus voor f moet 0 zijn. at geeft voor f het domein. Voor g moet 0 zijn, dus het domein van g is. Voor het snijpunt geldt f ( ) g( ). Oplossen geeft log( ) log( ) log( ) log( ) log 5

20 lok - Vaardigheden oderne wiskunde 9e editie vwo deel ( ) Hierij hoort y-waarde f ( ) log( ) log. e oördinaten van het snijpunt zijn dus (, ). 5a log log log 5 log log log log log d 8 8 ( ) log 80 e log 7 f ( 6 8) 6 8 of of log 0 of 6a Voor f geldt als eis 0 ( ) 0 voor 0 of. e grafiek van is een dalparaool, dus tussen 0 en is de waarde negatief en niet toegestaan. aarmee wordt het domein van f de intervallen, 0 en,. Voor g geldt als eis e ongelijkheid geldt voor 6 dus het domein van g is, 6. Los op: f ( ) log( ) 0 log( ) log 0 met de a-formule volgt ( ) 8 of Los op: f ( ) g( ) log( ) log( 6 ) ( )( ) 0 of e y-waarden zijn g( ) log( 6 ) log en g( ) log( 6 ) log 8 log log e eate oördinaten zijn (, log ) en (, ). d et ehulp van de eate snijpunten en het domein uit opdraht a lees je de oplossing van f ( ) g( ) in de grafiek af. e oplossing is, 0 en,. 7a y log y log y y y log( ) y log( ) y y y y 6

21 lok - Vaardigheden oderne wiskunde 9e editie vwo deel y log 5 y 5 y 5 y 5 8a log log log log( ) log log log log log log log log log log log log l log log log 5 log og 5 log log log log log log 5 log ( log ) ( log ) log log log log log log log 9 log 9 9a Voor f geldt als eis 0 0. Het domein van f is dus,. f ( ) log log( ) log log( ) log( ) log( ) d e f ( ) log log log log log log log log log 7 Los op: f ( ) log 0 log log log 7 8 et ehulp van het nulpunt en het domein uit opdraht a lees je de oplossing van f ( ) 0 in de grafiek af. e oplossing is,. 7

22 lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera oderne wiskunde 9e editie vwo deel ladzijde 8 I-a H Het spoor van lijkt een irkel te zijn. e irkel is de meetkundige plaats van een onstante hoek. Het ewijs komt voor ij de stelling van Thales. Gegeven: een rehthoekige driehoek met = 90. Te ewijzen: ligt op de irkel met middellijn. ewijs: onstrueer het midden van. Trek lijn m door en en onstrueer punt op m met =. Punt is puntsymmetrish met ten opzihte van = 90 en zijn lihaamsdiagonalen van rehthoek = = = er is een irkel met middelpunt en straal die door, en gaat. m I-a Geruik de knop Veelhoek voor het tekenen van. Geruik de knop irkel door drie punten om de irkel door,, en te tekenen. Geruik de pijl (de knop Verplaatsen) om, en/of naar een andere plaats te slepen en te zien hoe de driehoek en de irkel veranderen. Kies de knop idden of middelpunt en klik de irkel om het middelpunt van de irkel te tekenen. Verplaats weer,, en/of en kijk hoe het middelpunt meeverplaatst. ij een sherpe driehoek zijn alle hoeken kleiner dan 90 en ligt altijd innen de driehoek. ij een rehthoekige driehoek is een hoek 90 en ligt altijd op een driehoekszijde. ij een stompe driehoek is een hoek groter dan 90 en ligt altijd uiten de driehoek. 8

23 lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera oderne wiskunde 9e editie vwo deel I-a P F a O E Geruik de knop idden of middelpunt om in het midden van te tekenen. e meetkundige plaats van punten is het lijnstuk EF evenwijdig aan dat het midden van O en het midden van O verindt. OP OP 90 OP is een rehthoek P naar OE O en OP zijn diagonalen van rehthoek OP P naar OF O P naar OP ~ OEF EF // P op OP ~ OE op EF I-a y O 70 E Het middelpunt van de ingeshreven irkel ligt op de het snijpunt van de deellijnen (issetries). Teken de issetrie door met de knop issetries. Seleteer de lijn en de halve lijn. GeoGera tekent twee issetries. Verwijder de issetrie die niet door de driehoek gaat. e straal van de irkel is dus de afstand van het middelpunt E tot is. Trek een parallelle lijn oven op afstand. Het snijpunt van de parallelle lijn met de issetrie is het middelpunt E van de irkel. onstrueer voor de parallelle lijn eerst een loodlijn op en pas hier een lijnstuk op af van (zet de optie Vastzetten op Rooster aan. egin het lijnstuk op het snijpunt van de loodlijn met. raai het eindpunt naar oven tot het samenvalt met de loodlijn.) Trek de parallelle lijn met de knop Evenwijdige rehte door dit eindpunt. Geruik de knop Snijpunt(en) van ojeten en klik op het snijpunt van de parallelle lijn en de issetrie. Teken tenslotte de irkel met de knop irkel met middelpunt en straal. 9

24 lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera oderne wiskunde 9e editie vwo deel anier : et de knop Raaklijnen wordt de zijde als raaklijn van de ingeshreven irkel getekend die door punt gaat. anier : Trek issetrie E en verduel hoek E door middel van een loodlijn en een spiegeling van P naar P' in de issetrie via de knop Lijnspiegeling. Hoek is PP'. Opmerking: Ga na, door te vershuiven, dat het ene snijpunt van de issetrie van met de irkel niet samenvalt met het raakpunt van de raaklijn die door gaat en slehts op het oog zo lijkt ij de gegeven afmetingen in de opgave. y E P O ladzijde 8 I-5a oor de onstrutie met de irkel zorg je ervoor dat PQ = 8. Zet het Rooster aan en trek horizontale lijn a door twee punten. Teken daarna een loodlijn op a. Geruik het hulppunt om de loodlijn te trekken niet als middelpunt van de irkel anders vershuift de loodlijn tijdens het verplaatsen van Q. Geruik de knop Snijpunt(en) met ojeten om snijpunt P te reëren. Trek met de knop Lijnstuk tussen punten een lijnstuk tussen P en Q. reëer het punt met de knop idden of middelpunt en klik de lijn PQ. Q a O P d e irkel heeft het snijpunt O van a en als middelpunt. ls Q naar O gaat valt OP samen met QP. e straal is Q = PQ =. Trek lijn O. is het midden van PQ de loodlijn op OQ door deelt OQ middendoor OQ is gelijkenig O = OQ. O = PQ = onstant = straal van irkel met O als middelpunt ligt op de irkel met O als middelpunt en straal PQ. ao verdeelt de irkel in vieren. e ladder (= het lijnstuk PQ) ligt in het e kwadrant hiervan. op PQ ligt altijd in het e kwadrant doorloopt een kwartirkel. 0

25 lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera oderne wiskunde 9e editie vwo deel I-6a P E H G Q F d e figuur laat zien dat punt H het lijnstuk PQ als aan doorloopt. ls naar gaat dan gaan G en FE naar de hoogtelijn door en H naar het midden P van de hoogtelijn. ls naar gaat dan gaat E naar en H naar het midden Q van. In is de zwaartelijn uit de lijn Q. E en heen gemeen het midden van E doorloopt de zwaartelijn Q. e zwaartelijn is een rehte. Het snijpunt H van EG en F is het midden van rehthoek GFE H heeft dezelfde horizontale plaats als en de halve afstand tot de lijn H ligt op de rehte met eindpunten P en Q. I-7a a is S is S S F S G Een punt dat even ver van lijn a als lijn ligt evindt zih op de issetrie tussen eide lijnen. onstrueer met de knop issetries en aanklikken van lijn a en de innen- en uitenissetries is en is. Een punt dat op een afstand van lijn ligt evindt zih op een parallelle lijn hieraan aan die raakt aan de irkel met straal en middelpunt op heeft. onstrueer met de knop irkel met middelpunt en straal een irkel op met straal. onstrueer met de knop Loodlijn een loodlijn door het middelpunt van de irkel en door het het middelpunt en aan te klikken. onstrueer de snijpunten van de loodlijn met de irkel door middel van de knop Snijpunt(en) van ojeten. onstrueer twee parallelle lijnen aan met de knop Evenwijdige rehte en aanklikken van en een snijpunt. onstrueer met de knop Snijpunt(en) van ojeten de vier snijpunten S, S, S en S tussen de twee issetries en de twee parallelle lijnen. Er zijn dus vier punten die even ver van lijn a als lijn liggen en die op een afstand van lijn liggen.

26 lok IT - eetkundige plaatsen met Geogera oderne wiskunde 9e editie vwo deel In het algemene geval zijn er vier snijpunten. Zie de figuur ij opdraht. In het geval dat de parallelle lijnen parallel zijn aan een issetrie zijn er slehts twee snijpunten: a is a is is S S F is G S F G S In het geval G een afstand van tot heeft (een van de parallelle lijnen gaat door G) vallen twee snijpunten samen en zijn er drie snijpunten: a S is a is is S F S G S is S G S S S F

27 lok Praktishe opdraht - Gewogen entra oderne wiskunde 9e editie vwo deel ladzijde 87 a m h g f e d R P s r q p k fstand = en h is de 6e irkel rond, dus de afstand tussen de irkels is. ls Op lijn m ligt punt P op het snijpunt van irkel f met straal en irkel p met straal. m h g f e d P R s r q p k Q Verleng m en reid de irkels rond uit met een irkel die door gaat. Voor het snijpunt Q met m geldt P P. d Punt R voldoet aan de formule R R want R = en R =. m h g f ed P R s r q p k Q reid het aantal irkels uit en zoek de snijpunten waar de stralen een verhouding : heen. Je vindt 8 snijpunten, inlusief P en Q die op lijn m liggen. e geshetste lijn lijkt op de grijze irkel met middellijn PQ te liggen. a Een enadering van de ligging kun je op het oog aangeven: P ligt tussen. ls P P dan P ( P ), dus een halve lengte P moet keer passen in P. Q ligt voorij. ls Q Q dan Q ( Q ), dus een halve lengte Q moet keer passen in Q.

28 lok Praktishe opdraht - Gewogen entra oderne wiskunde 9e editie vwo deel Kies P = en P = om aan P P te voldoen. an volgt = + = 5, maar lengte moet zijn volgens opdraht a, dus vergroot P en P met. 5 at geeft P =, en P =, =, Kies Q = en Q = om aan Q Q te voldoen. Q = Q + = Q Q = =, maar lengte moet zijn volgens opdraht a, dus vergroot Q en Q met. at geeft Q = en Q = 8. Voor een punt R op de grens geldt R R R R. Teken irkels rond met stralen,, 6 en 8 en irkels rond met stralen die keer groter zijn, dus, 6, 9, en. Teken de snijpunten op de irkels die voldoen aan R R en shets de verinding tussen de snijpunten. In de tekening is de grenslijn de vette irkel. y O 6 9 R R P 6 9 R 5 R 6 d ls entrum gewiht a heeft en entrum gewiht dan geldt voor de grenslijn per definitie P = a P P. P a Op lijn geldt = P + P = P + P P = P. Invullen geeft P P P P P P a a a P P a a a a a a P a a. e e hoeken zijn R P en R P zijn gelijk. Hetzelfde geldt voor de hoeken ij R en R. y 6 R y 6 R y 6 0, R R R 0,69 0,69 R 0, R R 0 R 5, 5, 0 P Q P Q 0 P Q 6 6 6

29 lok Praktishe opdraht - Gewogen entra oderne wiskunde 9e editie vwo deel ewijs van de issetriestelling: Gegeven: P : P = R : R = a : Te ewijzen: RP is issetrie van R ewijs: neem aan dat de stelling waar is, dan moet ewezen worden dat RP = PR. PR // E PR = RE (Z-hoeken) () RP E RP = E () Uit (), () en het eweerde volgt RE = E RE heeft twee gelijke hoeken RE is gelijkenig te ewijzen R = RE. Noem P = a, P =, R = k a en R = k waarin k een vergrotingsfator is in overeenstemming met het gegeven, dan RP E RE P RE R k a k RE R, R P a a a dus de ewering is waar. ladzijde 88 a a E R P k ka Q Gegeven: Q : Q = R : R = a : Te ewijzen: RQ is issetrie van QR ewijs: neem aan dat de stelling waar is, dan moet ewezen worden dat RQ = RQ. E // RQ RQ = ER (Z-hoeken) en RQ = RE (F-hoeken), ER = RQ ER is gelijkenig te ewijzen RE = R E RQ E R a Q k a k E ( ka k ) a k k RE = R E = a (a ) = RE = R klopt, dus de ewering is waar. PRQ is 90. ewijs: ERP = RP =, RQ = RQ = PRQ R 80 ( ) 90 PRQ 90 e hoek PRQ is onstant 90 in PRQ, dus volgens de stelling van Thales ligt R op de irkel met middellijn PQ. 5

30 lok Praktishe opdraht - Gewogen entra oderne wiskunde 9e editie vwo deel 5a Q K P P P X Y Q Q Q geied van geied van P, dan P P : P : gewiht : = :. 7 7 entrum is het midden vanq, dus Q : Q : gewiht : = :. Zie de irkel met middellijn Q en als middelpunt. Kies =, dan volgt uit : = : dat =. Uit : = : volgt = : =. Werk de in de verhouding weg door met te vermenigvuldigen: : : = : :. d X: ligt in irkel k voor : wint het van, ligt in irkel r voor : wint het van, ligt in irkel q voor : wint het van, maar wint het weer van. Uiteindelijk wint steeds, dus de gasten uit geied X gaan naar. Y: ligt uiten irkel k voor : wint van, ligt in irkel r voor : wint van, maar wint het weer van, ligt in irkel q voor : wint van. Uiteindelijk wint steeds, dus de gasten uit geied Y gaan naar. ladzijde 89 6a Verleng de lijn in de rihting van. Het snijpunt met de irkelrand tot entrum is iets groter dan de afstand, dus als gewiht zou krijgen (zie het antwoord op vraag 5) gaat de irkel rond door het snijpunt met de rand en steekt de irkel iets uiten het geied van entrum. Rehte grenslijnen zijn te zien ij en een aantal aangrenzende entra. e gewihten zijn dan gelijk: de afstand tot ieder entrum is gelijk, dus de grenslijn is de middelloodlijn op de verindingsas. Ja, maar er kunnen ook meer entra zijn uiten de tekening. entrum heeft met 7 het grootste gewiht van alle entra dus heeft ten opzihte van deze entra geen grensirkel. 7a 6

31 lok Praktishe opdraht - Gewogen entra oderne wiskunde 9e editie vwo deel ij drie entra met gelijk gewiht ( : : ) zijn de grenslijnen de middelloodlijnen op het lijnstuk tussen de entra. ij entra op één lijn heen de middelloodlijnen geen snijpunt met elkaar. ij entra die de hoekpunten van een driehoek vormen snijden de middelloodlijnen elkaar in een punt dat het entrum is van de omgeshreven driehoek. e dikke lijn is de grenslijn tussen en, de dunne lijn tussen en en de gestreepte lijn tussen en. y 5 O 5 e gewihten van de entra, en verhouden zih als : :. e dikke lijn is de grenslijn tussen en, de onderste irkel tussen en en de ovenste irkel tussen en. e gewihten van de entra, en verhouden zih als : 0 : 50. e linker irkel is de grenslijn tussen en en de rehter irkel tussen en. Hoe groter de gewihtsverhouding is hoe kleiner de irkel is rond het entrum met het kleinste gewiht. 8 7