Voorkennis meetkunde (tweede graad)

Transcriptie

1 Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is Bij een rechthoekige driehoek zijn de scherpe hoeken complementair - Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet-aanliggende binnenhoeken - Een driehoek is gelijkbenig asa twee hoeken van de driehoek gelijk zijn - Een driehoek is gelijkzijdig asa de drie hoeken van de driehoek gelijk zijn. - De som van de hoeken van een vierhoek is Een trapezium is gelijkbenig asa de aanliggende hoeken van een basis zijn gelijk - Bij een gelijkbenig trapezium is de middelloodlijn van een basis ook de middelloodlijn van de andere basis. Deze middelloodlijn is bijgevolg een symmetrieas van het trapezium - Een vierhoek is een parallellogram asa de overstaande zijden even lang zijn - Een vierhoek is een parallellogram asa de overstaande hoeken even groot zijn - De middelloodlijnen van de zijden van een rechthoek zijn symmetrieassen van de rechthoek - De dragers van de diagonalen van een ruit zijn symmetrieassen van de ruit - Een rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek vormt met de twee andere zijden een driehoek die gelijkvormig is met de eerste driehoek (3) Diagonalen van vierhoeken - Een vierhoek is een parallellogram asa de diagonalen elkaar middendoor delen - Het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram is een symmetriemiddelpunt van het parallellogram - Bij een rechthoek zijn de diagonalen even lang (en snijden elkaar middendoor) - Bij een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar (en snijden elkaar middendoor) - Bij een vierkant delen de diagonalen elkaar middendoor, zijn gelijk en staan loodrecht op elkaar. Hoeken bij twee evenwijdige rechten en een snijlijn Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte dan zijn: - elke twee overeenkomstige hoeken gelijk

2 - elke twee verwisselende binnenhoeken gelijk - elke twee verwisselende buitenhoeken gelijk - elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair - elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair De omgekeerde stelling geldt eveneens. Middelloodlijn van een lijnstuk, bissectrice van een hoek - Een punt ligt op de middelloodlijn van een lijnstuk asa het punt ligt even ver van de grenspunten van het lijnstuk - Een punt ligt op de deellijn van een hoek asa het punt ligt op gelijke afstanden van de benen van de hoek waartepunt van een driehoek - Een zwaartelijn van een driehoek verbindt een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. - De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door 1 punt, zwaartepunt genoemd. - Het zwaartepunt van een driehoek verdeelt elke zwaartelijn in twee lijnstukken waarvan het ene dubbel zo lang is als het andere Driehoeksongelijkheid tussen de zijden van een driehoek - Bij een rechthoekige driehoek is lengte de schuine zijde groter dan de lengte van elke rechthoekzijde - Bij een driehoek is de som van de lengten van twee zijden groter dan de lengte van de derde zijde Merkwaardige lijnen in bijzondere driehoeken - Bij een gelijkbenige driehoek vallen alle merkwaardige lijnen (deellijn, hoogtelijn, middelloodlijn, zwaartelijn) naar de basis samen. Deze lijn is tevens symmetrieas van de driehoek. Spiegeling, verschuiving, draaiing Elke spiegeling, elke verschuiving, elke draaiing behoudt: - de lengte van een lijnstuk - de oppervlakte - de evenwijdigheid

3 - de grootte van een hoek, en bijgevolg ook de loodrechte stand en de afstand van een punt tot een rechte. Isometrieën - Het beeld van een figuur door een isometrie is een congruente figuur - De samengestelde relaties van twee isometrieën is een isometrie - De samengestelde relatie van twee spiegelingen met evenwijdige assen is een verschuiving Omgekeerd: elke verschuiving kan beschouwd worden als de samengestelde relatie van twee spiegelingen met evenwijdige assen - De samengestelde relatie van twee spiegelingen met snijdende assen is een draaiing Omgekeerd: elke draaiing is de samengestelde relatie van twee spiegelingen met snijdende of samenvallende assen - De samengestelde relatie van twee verschuivingen is een verschuiving Omgekeerd: elke verschuiving kan ontbonden worden in twee verschuivingen - De samengestelde relatie van twee draaiingen met eenzelfde centrum is een draaiing met datzelfde centrum Omgekeerd: elke draaiing kan ontbonden worden in twee draaiingen Homothetieën - Een homothetie met factor k (strikt positief) vermenigvuldigt de afstand met k - Het beeld van een rechte door een homothetie is een rechte evenwijdig met de gegeven rechte - Een homothetie bewaart de hoekgrootte - Een homothetie met factor k (strikt positief) beeldt een veelhoek met oppervlakte S af op een veelhoek met oppervlakte k²s Congruentiekenmerken van driehoeken - congruentiekenmerk H: Twee driehoeken zijn congruent asa twee zijden van de ene driehoek even lang zijn als twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken even groot zijn. - congruentiekenmerk HH: Twee driehoeken zijn congruent asa één paar zijden van de twee driehoeken even lang zijn en twee paar hoeken even groot zijn. - congruentiekenmerk : Twee driehoeken zijn congruent asa drie zijden van de ene driehoek even lang zijn als drie zijden van de tweede driehoek.

4 - congruentiekenmerk rechtehoek: Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent asa de schuine zijde en een rechthoekzijde van de ene driehoek even lang zijn als de schuine zijde en een rechthoekzijde van de andere driehoek. Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken - Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de eerste driehoek gelijk zijn aan twee hoeken van de tweede driehoek (~ HH) - Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paar zijden een evenredigheid vormen en zij de ingesloten hoek gelijk hebben (~ H ) - Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen (~ ) Stelling van Thales - De evenwijdige projectie behoudt de verhouding van evenwijdige lijnstukken - Omgekeerde stelling: Als AA //BB en AC A'C' dan is CC //AA CB C' B' Stelling van Pythagoras In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekzijden Omgekeerd: Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden, dan is deze driehoek rechthoekig. Middenparallel van een driehoek - Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden verbindt. - Een middenparallel van een driehoek is evenwijdig met één zijde van die driehoek heeft een lengte die gelijk is aan de helft van die evenwijdige zijde

5 - Bij een driehoek gaat een rechte die het midden van een zijde bevat en evenwijdig is met een tweede zijde ook door het midden van de derde zijde. Projectiestellingen in een rechthoekige driehoek - In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van een rechthoekzijde gelijk aan het product van de schuine zijde met haar loodrechte projectie op de schuine zijde Of: in een rechthoekige driehoek is een rechthoekzijde middelevenredig met de schuine zijde met haar loodrechte projectie op de schuine zijde - In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hoogte op de schuine zijde gelijk aan het product van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt Of: In een rechthoekige driehoek is de hoogte op de schuine zijde middelevenredig met de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt Omtrek- en oppervlakteformules

6 2. Ruimtemeetkunde Inhouds- en oppervlakteformules Kubus (z) S = 6z² V = z³ Balk (b, l, h) S = 2(l.b+l.h+b.h) V = l.b.h. Prisma met grondvlak g en hoogte h S = Og.h + 2.Sg V = Sg.h Cilinder met r als straal van het grondvlak en met h als hoogte S = 2..r.h + 2..r² V =.r².h

7 Piramide met grondvlak een regelmatige n-hoek en hoogte h S = Sg + n.sz V = 3 1.Sg.h Kegel met r als straal van het grondvlak en met h als hoogte S =.r² +.r r h V =..r².h 3 Bol met r als straal S = 4..r² V = 3 4..r³