Hoofdstuk 9 - Ruimtemeetkunde

Transcriptie

1 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Voorkennis: wee soorten tekeningen ladzijde 254 V-1a d wee lijnen zijn evenwijdig als ze elkaar nooit snijden, hoe ver je de lijnen ook doortrekt. In werkelijkheid zijn de rien, en evenwijdig aan rie. In figuur 1 zijn de rien ook daadwerkelijk evenwijdig getekend. In figuur 2 zijn de evenwijdige rien zo getekend dat hun verlengden elkaar wel snijden in een punt. it punt wordt het verdwijnpunt genoemd. In figuur 2 zijn de rien,, en allen met een andere lengte getekend. lle vier deze rien zijn korter getekend dan rie. iguur 2 is een perspetieftekening. ij perspetieftekeningen worden ver weg gelegen voorwerpen steeds kleiner getekend. ligt verder weg dan. ls en even groot waren dan zou dus kleiner getekend moeten zijn. aar is even groot getekend als, dus is in werkelijkheid groter dan. unt ligt dus niet in het midden. e middens van de rien kan je vinden door geruik te maken van diagonalen: teken daarom eerst de diagonalen. Voor de rien die in het vlak van de tekening liggen kan je door de snijpunten van de diagonalen een horizontale lijn en een vertiale lijn tekenen. e plaats waar deze lijnen de rien raken zijn de middens. iermee kan je de middens van,,,,,, en vinden. Zie de linker tekening. ij de andere rien kan je door het snijpunt van de diagonalen alleen een vertiale lijn trekken. iermee vind je de middens van de rien,, en. Zie de rehter tekening. N..: je kan de middelpunten van de rien in die in het vlak van de tekening liggen ook vinden door gewoon meten en het midden nemen. ladzijde 255 V-2a ieronder links is de alk met de onzihtare rien getekend. In het midden zijn de middens van de voorste zijden van de kuus getekend, samen met de hulplijnen (de diagonalen, et.) die nodig waren om deze middens te vinden. 210 Noordhoff Uitgevers v

2 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 ehts zijn de middens van de ahterste zijden van de kuus getekend. d r is geruik gemaakt van de eigenshap dat ij een parallelprojetie lijnen die in werkelijkheid evenwijdig lopen ook in de tekening evenwijdig lopen. Om een perspetieftekening te maken kan de je volgende stappen volgen. ij elk stap hoort een van onderstaande figuren: tap 1: teken het voorvlak, epaal een horizon en een verdwijnpunt en trek hulplijnen van de hoekpunten van het vlak naar het verdwijnpunt. tap 2: trek tussen twee hulplijnen een vertiale (of horizontale) lijn, dit is één van de ahterzijden. tap 3: door loodreht op deze zijde hulplijnen twee nieuwe lijnen te tekenen he je de volgende twee zijden. Verind deze zijden met een lijn om de laatste zijde te vinden. e middens van de rien kunnen net als ij opgave 1.d. met ehulp van diagonalen worden gevonden. In onderstaande tekeningen zijn de middelpunten aangegeven. V-3a e onzihtare rien kan je op de volgende wijze onstrueren: (ij elke stap hoort een van onderstaande figuren): tap 1: teken werklijnen van de punten en naar het verdwijnpunt. tap 2: teken vanuit de punten en een (gestippelde) vertiale lijn. e kruispunten van deze lijnen met de werklijnen zijn de twee onzihtare hoeken. tap 3: teken de nog ontrekende rien. Noordhoff Uitgevers v 211

3 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 e middens kan je vinden met ehulp van de diagonalen. Voor de rien die in het vlak van de tekening liggen kan je door de snijpunten van de diagonalen een horizontale lijn en een vertiale lijn tekenen. e plaats waar deze lijnen de rien raken zijn de middens. Zie de linker tekening. e andere zijvlakken liggen niet in het vlak van de tekening. ij deze vlakken kan je daarom door het snijpunt van de diagonalen alleen een vertiale lijn trekken. e plek waar deze vertiale lijn de ovenste en onderste rien raakt, zijn de middens van deze rien. Zie middelste tekening. Voor de vertiale rien aan de zijkanten (UV en WZ) kan het midden worden epaald door UVWZ als vlak te zien. it vlak ligt in het vlak van de tekening. eken de diagonalen en trek een horizontale lijn door het snijpunt van de diagonalen om de middens van UV en WZ te epalen. Zie rehter tekening. V W U Z ieronder links het vooraanziht en rehts het zijaanziht. et vooraanziht heeft een vierkant midden met zijden van lengte a. e rehthoeken heen een reedte van a os( 60 ). et zijaanziht estaat uit twee rehthoeken met een hoogte a en een reedte a sin( 60 ). Om in te zien waarom is hieronder een shets (dus niet op shaal) van het ovenaanziht getekend. a a a a sin ( ) a a os ( ) a a 212 Noordhoff Uitgevers v

4 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 en som van de hoeken van een zeshoek is 720 graden. (Immers, de som van de hoeken van een driehoek is 180 en de som van de hoeken van een vierkant is We kunnen op dezelfde wijze doorgaan: de som van de hoeken van een vijfhoek is en de som van de hoeken van een zeshoek is ) We heen te maken met een regelmatige zeshoek, dus elke hoek van de zeshoek (waaronder ) heeft een grootte van ieruit volgt dat us vanuit de voorkant gezien heen de dik gedrukte zijden een lengte a os( 60 ) en vanaf de zijkant gezien een lengte a sin( 60 ). V-4a e piramide is even hoog als de lengte. Vanuit kan je daarom een vertiale lijn omhoog tekenen met dezelfde lengte als. unt kan je vervolgens met rehte lijnen verinden met de punten,, en. e middens van de lijnen,, en kan je vinden door gewoon opmeten. Je krijgt dan onderstaande tekening. is een vierkant, dus alle zijden heen dus dezelfde lengte moeten heen. ls je in je oek zijde en zijde opmeet, zie je dat deze lengtes niet hetzelfde zijn. e lijnen die de tekening inlopen zijn verkort. e enige lijnen die niet het vlak inlopen en dus op werkelijke grootte zijn getekend zijn de lijnen, en. V-5a ij een perspetieftekening worden lijnen van gelijke grootte kleiner afgeeeld naarmate ze verder weg liggen. ligt verder weg dan en dus wordt kleiner getekend. Lijn (zie tekening hieronder) is parallel getekend aan en heeft in werkelijkheid dezelfde lengte. Immers: is een vierkant, dus de zijden en zijn overal even ver van elkaar verwijderd. ligt op dezelfde afstand als de te tekenen lijn en omdat in werkelijkheid dezelfde lengte heeft als kunnen we dus dezelfde lengte geven als. e lengte van kan je opmeten. eken vervolgens en de opstaande rien. Je krijgt dan onderstaande tekening. Noordhoff Uitgevers v 213

5 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 e middens kan je op onderstaande wijze vinden. (ij elk van onderstaande stappen hoort een figuur.) tap 1: om de middens van de opstaande rien te vinden, is het nodig eerst de middens van,, en te epalen. e middens van en kan je vinden door een lijn te tekenen die parallel is aan en door gaat. In feite dus door lijn van vraag V-5. Om de middens van en te vinden: trek een lijn van het verdwijnpunt door. e punten waar deze lijn en raakt zijn de middens van deze zijden. Zie de linker tekening. In feite is nu in vier delen verdeeld:,, en. tap 2: eken de lijnen,, en. eze lijnstukken vormen samen met de al getekende lijnen,, en de diagonalen van de vier stukken van het ondervlak. tap 3: vanuit de snijpunten van de diagonalen kan je een vertiale lijn omhoog trekken. e snijpunten van deze vertiale lijnen en de opstaande rien is de middens van de opstaande rien. Zie rehter tekening. 9.1 ekeningen maken in parallelprojetie ladzijde 256 1a e rien die in het vlak van de tekening liggen en alle vlakken die evenwijdig zijn aan het tekenvlak zijn in hun ware vorm getekend. it zijn de rien,, en alsmede de rien,, en. e rien die de tekening ingaan zijn korter getekend dan ze werkelijk zijn. it zijn de rien,, en. Ze zijn getekend met een lengte van 1 m, dus op 1 100% 50% van de werkelijke grootte en dus 50% korter. 2 e medeleerling heeft drie gegevens nodig: (i) de alk is in parallelprojetie getekend; (ii) hoeveel proent korter de rien zijn getekend die de tekening ingaan en (iii) onder welke hoek deze rien getekend zijn (wat de hoek is tussen ijvooreeld en ). 214 Noordhoff Uitgevers v

6 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 ladzijde 257 2a Op een lano papier krijg je onderstaande afeelding: Op roosterpapier krijg je de volgende afeelding: 3 e linkerafeelding is het antwoord op 3a, de rehterafeelding het antwoord op 3 en 3 samen. N N Noordhoff Uitgevers v 215

7 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 4a riehoek is een gelijkzijdige driehoek met zijden van 4 m. staat loodreht op en gaat van het midden van zijde naar punt. e lengte van (notatie: ) kunnen we dus vinden met ythagoras: , 5 m. et grondvlak kan nu op de volgende manier worden getekend: (i) teken ; (ii) teken onder een hoek van 60 en de helft van de lengte (zie linker tekening) en (iii) teken ten slotte vanuit een lijn naar en een lijn naar (zie rehter tekening). 60 e hoek tussen en is 60. ij opmeten van vind je een lengte van 1,3 m. In werkelijkheid is 3,5 m (zie uitleg ij vraag 4a). heeft dus 1, 3 100% 37% van de werkelijke lengte en is dus 3, 5 verkort met 63%. d KL moet op ware grootte worden getekend, dus KL moet in het vlak van de tekening liggen. eken daartoe eerst KL. eken vervolgens onder een hoek van 60 lijn L (want KL staat loodreht op L) en verind tenslotte K en. Je krijgt dan de linkertekening. rek vervolgens vanuit de hoekpunten vertiale lijnen met een lengte van 5 m omhoog en teken de ovenkant van het prisma. Zie rehtertekening. K L K L 60 5a ij regelmatige piramides is het grondvlak een vierkant. us de rien en lopen in werkelijkheid evenwijdig en zijn even lang. In de rehtertekening zijn de rien ook daadwerkelijk evenwijdig en even lang getekend, in de linkertekening niet. us de linkertekening is geen paralleltekening. e rien en liggen evenwijdig aan het tekenvlak. us als we lijn evenwijdig aan en tekenen, dan ligt ook evenwijdig aan het tekenvlak. eruik je geodriehoek om een lijn evenwijdig aan de tekenen, ijvooreeld een lijn die door gaat. 216 Noordhoff Uitgevers v

8 oderne wiskunde 9e editie vwo deel Vlakken en lijnen in de ruimte ladzijde 258 6a e lijnen KL en N zijn evenwijdig aan elkaar. (i) de lijnen KL en ; (ii) de lijnen KL en en (iii) de lijnen KL en N. 7a e punten N, en. Ja,, N en liggen in hetzelfde vlak van K, L en, dus het omgekeerde is ook waar: K, L en liggen in hetzelfde vlak als, N en. r zijn zes punten die in hetzelfde vlak liggen: K, L,, N, en. lke ominatie van deze drie punten duidt hetzelfde vlak aan, zolang de drie punten niet op één lijn liggen. us alle mogelijke aanduidingen zijn: KL, KLN, KL, KL, KN, K, KN, KN, K, LN, L, L, LN, L, N, N, en N. 8a Lijn ligt in de volgende drie vlakken: (i) het vlak gedefinieerd door de punten, en ; (ii) het vlak gedefinieerd door de punten, en en (iii) het vlak gedefinieerd door de punten, en. en lopen evenwijdig, er estaat dus een vlak waar eide lijnen in liggen. en snijden elkaar, er estaat dus een vlak waar eiden in liggen. d en lopen niet evenwijdig en snijden elkaar niet. r kan daarom geen vlak zijn waar eide lijnen in liggen. Neem ijvooreeld het vlak vastgelegd door de punten, en, dan ligt niet in dit vlak. ls we het vlak nemen vastgelegd door, en, dan ligt niet in het vlak, et etera. ladzijde 259 9a d en kruisen elkaar. Uitleg: en liggen niet in één vlak en daarom snijden ze elkaar niet en lopen ze niet evenwijdig aan elkaar. Ze kruisen elkaar dus. en kruisen elkaar. Uitleg: en liggen niet in één vlak en daarom snijden ze elkaar niet en lopen ze niet evenwijdig aan elkaar. Ze kruisen elkaar dus. en snijden elkaar. Uitleg: en liggen in hetzelfde vlak. us of ze snijden elkaar of ze zijn evenwijdig. Uit de tekening is te zien dat ze elkaar snijden, en wel in het midden van de kuus. en snijden elkaar. Uitleg: en liggen in hetzelfde vlak. us of ze snijden elkaar of ze zijn evenwijdig. Uit de tekening is de zien dat ze elkaar uiten de kuus zullen snijden. Noordhoff Uitgevers v 217

9 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 10a et ovenaanziht van de glasak ziet er als volgt uit (voor de overzihtelijkheid zijn de ingooi-rondjes weggelaten): K J L I d e f Ja, en J lopen evenwijdig aan elkaar. r is dus een vlak dat door deze lijnen en dus ook door deze punten gaat. Nee, J en I lopen niet evenwijdig en snijden elkaar ook niet. r is dus geen vlak dat door deze lijnen gaat. ls punt L in het vlak zou liggen, dan moeten de lijnen L en elkaar snijden of evenwijdig aan elkaar lopen. L en snijden elkaar niet. Ze lopen ook niet evenwijdig aan elkaar. Immers: de lijnen en K lopen evenwijdig aan elkaar en de lijn L maakt een hoek met lijn K. ls L een hoek maakt met een lijn evenwijdig aan, dan kan L nooit zélf evenwijdig aan lopen. unt L ligt dus niet in het vlak. Ja, L en snijden elkaar in de uurt van het midden van de glasak. r is dus een vlak mogelijk door eiden lijnen. e lijnen en J zelf. 11a wee mogelijke ovenaanzihten zijn:, N,,,, N,,, K L,, K L,, e lijnen, L,, I en J. (ierij is I het punt dat reht onder J ligt, net zoals reht onder ligt.) e lijnen en liggen eiden in hetzelfde vlak (het grondvlak) dus of ze zijn evenwijdig aan elkaar of ze snijden elkaar. ij 11a heen we gezien dat ze niet evenwijdig aan elkaar zijn, dus snijden ze elkaar. d ls punt N in het vlak K zou liggen, dan zouden de lijnen KN en of evenwijdig aan elkaar zijn of elkaar snijden. een van eiden is het geval, dus punt N ligt niet in het vlak K. e e lijnen KN en kruisen elkaar, zie ook de uitleg ij 11d. 218 Noordhoff Uitgevers v

10 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 f KN en L liggen in hetzelfde vlak (het gele vlak) en dus of ze snijden elkaar of ze lopen evenwijdig aan elkaar. e lijnen lopen duidelijk niet evenwijdig aan elkaar, dus ze snijden elkaar. 12a e lijnstukken kruisen elkaar. Uitleg: als ze evenwijdig aan elkaar zouden lopen, dan had je ij alle aanzihten van de kuus de lijnen evenwijdig aan elkaar zien lopen of je had maar één lijn gezien (waar de andere lijn ahter versholen lag). Op de linkeren middelste afeelding is lijken de lijnen elkaar te snijden. ij evenwijdige lijnen is zo n aanziht niet mogelijk, dus de lijnen lopen niet evenwijdig. ls de lijnen elkaar snijden, dan zou je op elk aanziht snijdende lijnen zien. ij de laatste afeelding is dit duidelijk niet het geval. us de lijnen lopen niet evenwijdig en snijden elkaar niet, dus ze moeten elkaar kruisen. e kuus komt er als volgt uit te zien: 9.3 wee, drie en meer vlakken ladzijde a e lijn. Nee, de vlakken IJ en KL lopen parallel aan elkaar en heen dus geen snijlijn a ekenen van de snijvlakken geeft de volgende figuur: Noordhoff Uitgevers v 219

11 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 lle punten op de snijlijn van de twee vlakken liggen in eide vlakken, zie onderstaand figuur. e snijlijn is de dikke lijn. Ja, zie onderstaand figuur. e drie vlakken snijden elkaar in één snijlijn (de dikke lijn). lle punten op deze snijlijn liggen in alle drie de vlakken. d Ja, zie onderstaand figuur. e vlakken en snijden elkaar in één lijn (de dikke lijn). eze lijn snijdt vlak is één punt. it punt ligt in alle drie de vlakken. e een, zie onderstaand figuur. e drie vlakken snijden elkaar niet in één lijn. lk ominatie van twee vlakken heeft wel een snijlijn, maar deze snijlijnen lopen parallel aan elkaar. e drie vlakken snijden elkaar daarom niet in één punt. 220 Noordhoff Uitgevers v

12 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 ladzijde a d ijvooreeld de drie vlakken, en. ijvooreeld de drie vlakken, en. e vlakken, en snijden elkaar in één punt (zijnde punt ). it komt overeen met geval 5. e vlakken, en snijden elkaar zoals in geval 5, zie onderstaand figuur. e dikke lijnen geven de onderlinge snijlijnen weer, zoals te zien snijden de snijlijnen elkaar in één punt. 17a Nee, twee vlakken heen maar één snijlijn. wee vlakken die geen enkele rehte lijn gemeenshappelijk heen lopen evenwijdig aan elkaar. 18 e dikke lijnen zijn steeds de snijlijnen van twee vlakken, het punt is het snijpunt van drie vlakken. a e lijnen snijden elkaar in één punt, zie onderstaand figuur. e vlakken snijden elkaar in een punt (het punt ligt uiten de piramide), zie onderstaand figuur. Noordhoff Uitgevers v 221

13 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 drie snijlijnen zijn evenwijdig aan elkaar, de situatie is vergelijkaar met geval 2. r is geen gemeenshappelijk snijpunt. 9.4 Lijn en vlak ladzijde a e lijnen en snijden elkaar en zoals uitgelegd in paragraaf 9.2 duiden de lijnen dus samen een vlak aan, namelijk vlak. Lijn ligt dus zeker in vlak. aar vlak is hetzelfde vlak als vlak, dus ligt in. Om de snijlijn van de vlakken en te vinden teken je eerst de vlakken zelf. Je ziet dan waar de vlakken en je kunt een snijlijn tekenen. Je krijgt dan onderstaand figuur: s nijlijn s en lijn liggen eide in vlak. Voor twee lijnen in een vlak geldt dat of ze snijden elkaar of ze zijn evenwijdig aan elkaar. en s zijn duidelijk niet evenwijdig aan elkaar, dus ze snijden elkaar. aar s was de snijlijn tussen en. ls lijn s snijdt, snijdt het dus ook vlak. et snijpunt tussen en wordt dus gegeven door het snijpunt van de lijnen s en. Zie onderstaande tekening, het snijpunt is aangeduid met K. K 20a 222 Lijn ligt in vlak, dit vlak kan je als hulpvlak geruiken. Zie linker tekening. e vlakken en snijden elkaar in lijn, dit is je hulplijn. et snijpunt van en is het snijpunt van met vlak. et snijpunt is aangeduid met, zie rehtertekening. Noordhoff Uitgevers v

14 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Lijn en vlak heen geen snijpunt omdat ze evenwijdig aan elkaar lopen. ladzijde a Lijn ligt in vlak, dit vlak kan je geruiken als hulpvlak. e vlakken en snijden elkaar in snijlijn. ls we lijn en lijn doortrekken snijden ze elkaar in punt x. it is het snijpunt van lijn en vlak, zie onderstaande tekening. Lijn ligt in vlak, dit vlak kan je geruiken als hulpvlak. e vlakken en snijden elkaar in snijlijn. ls we lijn en lijn doortrekken snijden ze elkaar in punt x. it is het snijpunt U van lijn met vlak, zie onderstaande tekening. U 22a Vlak snijdt V in snijlijn. ls lijn l in ligt, dan snijdt lijn l vlak V dus ook in snijlijn. Zie onderstaande tekening, met K het snijpunt van l en V. l V K Noordhoff Uitgevers v 223

15 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Vlak snijdt V in snijlijn. ls lijn l in ligt, dan snijdt lijn l vlak V dus ook in snijlijn. Zie onderstaande tekening, met L het snijpunt van l en V. l L V 23a Lijn N ligt in vlak, dit is het hulpvlak. snijdt in lijn. et snijpunt van de lijnen N en is daarom ook het snijpunt van N en : punt. naloog: lijn ligt in vlak, dit is het hulpvlak. snijdt in lijn. et snijpunt van de lijnen en is daarom ook het snijpunt van en : punt. ovenstaande samengenomen geeft de volgende tekening (verkleind afgeeeld; merk op dat voor de duidelijkheid de het vlak inlopende lijnen onder een andere hoek staan dan normaal). N d e unt ligt op de lijn N. e lijn N ligt in vlak N, dus punt ligt in vlak N. naloog: punt ligt op de lijn. e lijn ligt in vlak N, dus punt ligt in vlak N. en zijn de snijpunten van de lijnen N respetievelijk en vlak. en liggen dus in vlak en daarmee de lijn ook. ij opgave 23d heen we net uitgelegd dat en ook in vlak N liggen, en daarmee de lijn ook. Lijn ligt in vlak en in vlak N, dus is de snijlijn van deze twee vlakken. 24a Lijn ligt in het vlak, dit is het hulpvlak. snijdt het grondvlak in snijlijn. et snijpunt van de lijnen en is dus het snijpunt tussen het grondvlak en lijn. Zie onderstaande tekening, het snijpunt is aangeduid met. N 224 Noordhoff Uitgevers v

16 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Je kunt de snijlijn tussen het grondvlak en vlak N tekenen als je twee punten van de snijlijn het. Je het al één punt: snijpunt x van opgave 24-a. Immers: ligt op lijn en lijn ligt in vlak N, dus punt ligt in vlak N. aar punt lag ook in het grondvlak. Om een tweede punt te krijgen kan je het snijpunt van N met het grondvlak epalen (op dezelfde wijze als punt is epaald). Immers: ligt op de lijn N en de lijn N ligt in vlak N, dus punt ligt in vlak N. aar punt lag ook in het grondvlak. e lijn is de snijlijn van het grondvlak en vlak N. N 25a lle punten op de lijn liggen in het grondvlak. et snijpunt van met is dus het snijpunt van met het grondvlak. naloog: alle punten op de lijn liggen in het grondvlak. et snijpunt van met is dus het snijpunt van met het grondvlak. Opgave 25a en 25 samen geven onderstaande tekening. X d Y lle punten op l liggen in vlak, alle punten op het verlengde van liggen in het vlak. et snijpunt tussen l en het verlengde van ligt dus zowel in als in. We heen nu twee punten die zowel in als in liggen: (i) het snijpunt tussen l en en (ii) punt. e verindingslijn tussen eide punten is de snijlijn tussen en vlak. lle punten op deze snijlijn liggen in eide vlakken. et snijpunt tussen deze snijlijn en lijn is dus het gezohte punt. Noordhoff Uitgevers v 225

17 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Opgave 25 en 25d samennemend geven onderstaande tekening. Z l X e Y en liggen in hetzelfde vlak maar lopen niet evenwijdig, dus ze snijden ergens. ligt in vlak, ligt in. Lijn l was de snijlijn tussen deze vlakken, dus en snijden in lijn l. 9.5 oorsneden tekenen ladzijde ij figuur 1 vind je de doorsnede gewoon door de lijnen, en te trekken. eef het vlak eventueel een leuk kleurtje. Zie linkertekening. Om in figuur 2 de doorsnede van de kuus met vlak te vinden moet je de snijlijnen van vlak met de grensvlakken van de kuus vinden. Om deze snijlijnen te vinden kan je het volgende doen: 1. eken eerst de lijnen, en. e lijn is de eerste snijlijn tussen een grensvlak van de kuus en vlak. 2. erk op dat de rie waarop ligt, rie, zelf in vlak ligt. (Zie rehtertekening voor de punten en.) ie is een tweede snijlijn tussen een grensvlak van de kuus en vlak. 3. rek nu de lijnen en. it zijn de twee laatste snijlijnen tussen de grensvlakken van de kuus en. Je het nu alle snijlijnen gevonden en krijgt onderstaand figuur rehts. e doorsnede kan je eventueel een leuk kleurtje geven. 27a e snijlijnen van met het ovenvlak en het ahtervlak van de kuus zijn niet getekend. e snijlijn is te zien in onderstaande tekening. et snijpunt van deze snijlijn met de ahter-oven-rie van de kuus heen we punt genoemd. 226 Noordhoff Uitgevers v

18 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 e snijlijn van opgave 27-a was de snijlijn van met het ovenvlak van de kuus. We hoeven nu nog alleen het snijvlak van met het ahtervlak van de kuus te tekenen, lijn. an is de doorsnede ompleet, zie onderstaande tekening. et verkregen vlak kan je eventueel een leuk kleurtje geven. 28a ls eerst zijn de hoekpunten en getekend, vervolgens het hoekpunt op de lijn en hoekpunt. ij stap 3 tekent art de snijlijn tussen vlak en het linker grensvlak. Om dit te kunnen doen heeft art twee punten nodig die zowel in als in liggen, de verindingslijn tussen eide punten is de snijlijn van eide vlakken. art heeft al één punt: punt. Om het tweede punt te vinden, edenk het volgende. lle punten op de lijn liggen in vlak, alle punten op de lijn liggen in vlak. et snijpunt tussen de lijnen en ligt dus zowel in vlak als in vlak en is het gezohte tweede punt. ls derde stap tekent art dus de lijn vanuit het snijpunt van en een verindingslijn naar. Omdat het linkervlak en het rehtervlak van de kuus evenwijdig zijn, zal de snijlijn van en het rehtervlak evenwijdig zijn met de ij stap 3 gevonden lijn. ij stap 4 tekent art dus vanuit een lijn die evenwijdig is aan de ij stap 3 gevonden lijn. it is de snijlijn tussen en het rehtervlak. tap 5: omdat het ondervlak en ovenvlak van de kuus evenwijdig zijn, zal de snijlijn in het ovenvlak evenwijdig zijn aan. ij stap 5 tekent art deze snijlijn vanuit punt naar de rie. tap 6: nu is zowel het snijpunt van met als het snijpunt van met ekend. iermee kan de snijlijn van met het voorvlak worden getekend. ladzijde a ieronder staat een tekening van het snijvlak en een toelihting ij de stappen. tap 1: de lijn geeft de snijlijn van vlak met het rehtervlak van de alk. e lijn wordt ver doorgetrokken voor stap 2. Noordhoff Uitgevers v 227

19 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 tap 2: om de snijlijn tussen de vlak en de onderzijde van de alk te epalen heen we twee punten nodig die zowel in als in liggen. We heen al één punt: punt. Om het tweede punt te vinden, edenk het volgende: alle punten op de lijn liggen in vlak, alle punten op de lijn liggen in vlak. et gezohte tweede punt is dus het snijpunt van en. Om dit snijpunt te vinden trekken we lijn door, we krijgen het punt K. tap 3: We heen nu twee in punten die in en liggen. e verindingslijn tussen eide punten de lijn K is de snijlijn van met het ondervlak van de alk. We tekenen deze lijn. tap 4: e ij stap 3 getekende lijn ligt in vlak en snijdt vlak in de rie. it geeft een eerste snijpunt tussen vlak en vlak. We heen ook een tweede snijpunt tussen deze vlakken: punt. e verindingslijn tussen de twee snijpunten,, geeft de snijlijn tussen eide vlakken: de snijlijn tussen en het voorvlak van de alk. We tekenen deze lijn. tap 5: et voorvlak en het ahtervlak zijn evenwijdig, de snijlijn in het ahtervlak zal dus evenwijdig liggen aan de snijlijn in het voorvlak. Vanuit punt kunnen we daarom een lijn trekken die evenwijdig loopt met de lijn, dit is de snijlijn tussen en het ahtervlak. tap 6: We heen nu twee snijpunten tussen en het linkervlak: punt en het snijpunt van de ij stap 5 getekende lijn en de rie. e verindingslijn tussen eiden is de snijlijn tussen en het linkervlak. iermee is de doorsnede getekend. et verkregen vlak kan je eventueel een leuk kleurtje geven. K 228 Noordhoff Uitgevers v

20 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 30a Je krijgt onderstaande shets: X Om de snijlijn tussen vlak en het grondvlak te kunnen trekken he je twee punten nodig die in eide vlakken liggen. e verindingslijn tussen deze twee punten is dan de snijlijn. Je het al één punt: punt. et tweede punt is het ij 30-a geonstrueerde punt X. Immers: alle punten op de lijn liggen in vlak. unt X ligt op de lijn en ligt dus in vlak. aar punt X ligt ook in het grondvlak. e verindingslijn van en X is dus de snijlijn tussen vlak en het grondvlak. Zie tekening ij. Om de snijlijn tussen vlak en het rehtervlak te kunnen trekken he je twee punten nodig die in eide vlakken liggen. e verindingslijn tussen deze twee punten is dan de snijlijn. Je het al één punt: punt. et tweede punt is punt Y. Immers: alle punten op de lijn X liggen in vlak. unt Y ligt op de lijn X en ligt dus in vlak. aar punt Y ligt ook het rehtervlak van de kuus. e verindingslijn Y is dus de snijlijn tussen vlak en het rehtervlak van de kuus en ehoort dus tot de gevraagde doorsnede. e snijlijnen van en zijn hieronder getekend. 2 X 1 Y d e doorsnede kan ijvooreeld worden afgemaakt met de volgende stappen (er zijn meerdere oplossingen mogelijk): tap 1: et linkervlak en het rehtervlak van de kuus zijn evenwijdig. e snijlijn in het linkervlak zal daarom evenwijdig zijn aan lijn Y. e snijlijn in het linkersnijvlak kan je dus tekenen door een lijn te trekken vanuit die evenwijdig loopt met Y. tap 2: We heen nu twee punten die zowel in vlak als in het voorvlak liggen: (i) het snijpunt van de ij stap 1 getrokken lijn met de linker-voor-rie en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is het snijvlak van met het voorvlak. tap 3: et ovenvlak en het ondervlak van de kuus zijn evenwijdig. e snijlijn in het ovenvlak zal daarom evenwijdig zijn aan Y. e snijlijn in het ovenvlak kan je dus tekenen door een lijn te trekken vanuit die evenwijdig loopt met Y. Noordhoff Uitgevers v 229

21 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 tap 4: We heen nu twee punten die zowel in vlak als in het ahtervlak liggen: (i) het snijpunt van de ij stap 3 getrokken lijn met de ahter-ovenrie en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is het snijvlak van met het ahtervlak. ieronder staat een tekening van het verkregen vlak X 1 Y 31a lle punten op de lijn liggen in het grondvlak. et snijpunt van en is dus het snijpunt tussen en het grondvlak, zie onderstaande tekening. et snijpunt heeft de letter Y gekregen. Y In de opgave is gegeven dat evenwijdig loopt aan. tel dat door een vlak Z zou gaan dat evenwijdig loopt met het grondvlak, zie onderstaande tekening (Z is hierin grijs geareerd). Vlak snijdt dan zowel vlak Z als het grondvlak en omdat vlak Z en het grondvlak parallel lopen, he je in feite geval 2 van de uitleg op pagina 261. e dik afgeeelde snijlijnen van de twee evenwijdige vlakken (het grondvlak en vlak Z) lopen dan dus evenwijdig. it zijn de lijnen en de snijlijn van met het grondvlak en die lopen dan dus evenwijdig. aar is evenwijdig met, dus de snijlijn van met het grondvlak is evenwijdig aan. Z Y 230 Noordhoff Uitgevers v

22 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 e doorsnede kan ijvooreeld worden afgemaakt met de volgende stappen: tap 1: eken de lijn van opgave 31-. tap 2: rek lijn door tot het de ij stap 1 getekende lijn raakt. tap 3: We heen nu twee punten die zowel in vlak als in het linkervlak liggen: (i) het snijpunt van het verlengde van met de lijn van stap 1 en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is het snijvlak van met het linkervlak. tap 4: Nu heen we ook twee punten die zowel in vlak als in het voorvlak liggen: (i) het snijpunt van de ij stap 3 getrokken lijn met de links-voorrie en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is het snijvlak van met het voorvlak. tap 5: e verindingslijn geeft het snijvlak tussen en het ahtervlak. ieronder staat een tekening van het verkregen vlak Y Verwerken en toepassen ladzijde a lle zijvlakken van het prisma zijn parallellogrammen. ieruit volgt dat alle overliggende zijden evenwijdig aan elkaar zijn. In het ijzonder is dus het voorvlak evenwijdig aan het ahtervlak en is het ondervlak evenwijdig aan het ovenvlak. tap 1: Omdat het voorvlak en het ahtervlak evenwijdig zijn, zal de snijlijn in het voorvlak evenwijdig zijn aan de snijlijn in het ahtervlak. e snijlijn van het voorvlak kunnen we dus tekenen door door punt een lijn te trekken die evenwijdig loopt aan. tap 2: We heen nu twee punten die zowel in vlak als in het ovenvlak liggen: (i) het snijpunt van de ij stap 1 getrokken lijn met rie en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is het snijvlak van met het ovenvlak. tap 3: We heen ook twee punten die zowel in vlak als in het ondervlak liggen: (i) het snijpunt van de ij stap 1 getrokken lijn met rie en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is het snijvlak van met het ondervlak. Noordhoff Uitgevers v 231

23 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 ieronder staat een tekening van de verkregen doorsnede. 2 K 1 3 Om het snijpunt tussen lijn en vlak te epalen geruiken we een hulpvlak waar in ligt (zie de theorie op pagina 262). Lijn ligt in vlak. oor de lijnen en te trekken kan je de snijlijn XY epalen tussen de vlakken en. lle punten op lijn XY liggen zowel in vlak als in vlak. et snijpunt tussen XY en lijn is dus het snijpunt tussen vlak en lijn, zie onderstaande tekening. et snijpunt is aangegeven met punt. Y X tap 1: eken de lijn. tap 2: Omdat het voorvlak en het ahtervlak evenwijdig zijn, zal de snijlijn in het voorvlak evenwijdig zijn aan de snijlijn in het ahtervlak. e snijlijn van het voorvlak kunnen we dus tekenen door door punt een lijn te trekken die evenwijdig loopt aan. et snijpunt van deze lijn met de doorgetrokken rie is punt. tap 3: We heen nu twee punten die zowel in vlak als in het rehtervlak liggen: (i) het snijpunt van de ij stap 2 getrokken lijn met rie en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is het snijvlak van met het rehtervlak. tap 4: We heen ook twee punten die zowel in vlak als in het linkervlak liggen: (i) het snijpunt van de ij stap 2 getrokken lijn met rie en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is het snijvlak van met het linkervlak. ieronder staat een tekening van de verkregen doorsnede. d rek de lijn. et snijpunt van lijn en lijn 2 is het gezohte snijpunt. 232 Noordhoff Uitgevers v

24 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 33a e drie vlakken snijden elkaar zodanig dat de snijlijnen van de vlakken evenwijdig lopen. (e situatie is vergelijkaar met geval 4 van de theorie op pagina 261). Uit het antwoord ij opgave 33a volgt dat de snijlijn van V met vlak evenwijdig moet lopen met lijn. eken daarom vanuit een lijn die evenwijdig loopt met. Je krijgt dan onderstaande tekening, waarij het snijpunt tussen de lijn uit en de rie punt is genoemd. d e Lijn. e rien en. tap 1: Verleng de rien en. tap 2: lle punten op de lijn liggen in vlak, alle punten op de lijn liggen in vlak V. We heen dus nu twee punten die zowel in vlak als in vlak V liggen: (i) het snijpunt van met en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is dus de snijlijn tussen en V. tap 3: ls gevolg van stap 2 heen we nu ook twee punten die zowel in vlak als in vlak V liggen: (i) het snijpunt van de ij stap 2 getekende snijlijn met rie en (ii) punt. e verindingslijn tussen eiden is dus het snijlijn tussen en V. tap 4: rek de lijn. ieronder staat een tekening van de verkregen doorsnede a ls V een vierkant is dan ligt V evenwijdig aan het grondvlak. ieronder is een mogelijke situatie getekend: Noordhoff Uitgevers v 233

25 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Ja, als doorsnede kan je een gelijkzijdig driehoek krijgen. Zie onderstaand vooreeld. d en vijfhoekige doorsnede is mogelijk, zie ijvooreeld onderstaande tekening. en zeshoekige doorsnede is niet mogelijk. it komt omdat je maximaal of vier hoekpunten op de rien kunt heen of twee hoekpunten in het grondvlak en drie op de rien ladzijde a e lijnen,, et etera zijn evenwijdig met lijn. e lijnen en kruisen elkaar. e punten,,,,,,, en liggen in vlak. d e snijlijnen zijn getekend in onderstaand figuur. N O e f e getekende snijlijnen lopen evenwijdig aan elkaar. e situatie is vergelijkaar met geval 4 van de theorie op pagina 261. Ja, de lijnstukken kunnen evenwijdig zijn. ls we de groene lijn links in punt vastmaken dan liggen de rode en de groene lijn in hetzelfde vlak, namelijk vlak. ls twee lijnen in hetzelfde vlak lopen snijden ze elkaar of lopen ze evenwijdig. an de tekening is te zien dat eide lijnen elkaar niet snijden, dus ze lopen evenwijdig. 234 Noordhoff Uitgevers v

26 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 I Vlakken en lijnen in de ruimte ladzijde 268 I-1a d e Klik op de knop voor eken een lijn, rehts in eeld vershijnt de knop Verdeel rien in. eruik dit om in drie stukken te verdelen en teken lijnstuk I. et is alleen mogelijk I en ij een epaalde stand van de kuus over elkaar te laten heen vallen als I evenwijdig is aan. it is niet het geval, dus er is geen stand van de kuus mogelijk waarij I en over elkaar heen vallen. e lijnen I en snijden elkaar niet. ijvooreeld de lijnstukken,, en. Ja, de lijnen I en snijden elkaar. Ja, als je de lijnen I en ver genoeg doortrekt zie je dat ze een snijpunt heen (zoom het eeld eventueel wat uit). ladzijde 269 I-2a - e lijnen kruisen elkaar. unt J ligt niet in vlak I. d e lijnen J en snijden elkaar. Je kan dit op twee manieren inzien. anier 1: verleng eide lijnen en kijk of ze elkaar snijden. ls je dit voor J en doet zul je zien dat ze elkaar snijden. anier 2: kijk of eide lijnstukken in hetzelfde vlak liggen. ls je dit doet voor J en is te zien dat ze in hetzelfde vlak liggen. Omdat J en duidelijk niet evenwijdig zijn, zullen ze elkaar dan dus snijden. e IJ en kruisen elkaar; I en snijden elkaar; en lopen evenwijdig; I en snijden elkaar. I-3a - ls en elkaar snijden, dan liggen ze in hetzelfde vlak. In dit vlak liggen in ieder geval de punten, en. unt moet dus zo worden gekozen dat het in vlak ligt, maar ligt ook op de lijn. unt ligt dus op het snijpunt van vlak met lijn. I en kruisen elkaar, immers: ze liggen niet in één vlak; K en kruisen elkaar, immers: ze liggen niet in één; I en J liggen in één vlak en lopen niet evenwijdig, dus ze snijden elkaar; K en kruisen elkaar, immers: ze liggen niet in één vlak. I-4a - ekening 1: de lijnen kunnen evenwijdig zijn of elkaar kruisen. ekening 2: de lijnen kunnen elkaar snijden of kruisen. ekening 3: de lijnen kunnen elkaar snijden of evenwijdig aan elkaar lopen. Noordhoff Uitgevers v 235

27 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 I wee, drie of meer vlakken ladzijde 270 I-5a I-6a d e lijn. Nee, de vlakken IJ en KL lopen evenwijdig aan elkaar en heen dus geen snijlijn. lle punten op de snijlijn van de twee vlakken liggen in eide vlakken. r is maar één punt dat zowel in IJKL, en ligt. e vlakken en lopen evenwijdig. eiden snijden ze vlak IJKL r zijn dus twee snijlijnen. et snijpunt van deze snijlijnen zou het punt zijn waarop alle drie de vlakken elkaar snijden, maar omdat en, en daarmee hun snijlijnen met IJKL, evenwijdig lopen, is er geen punt waarop de snijlijnen elkaar snijden en zijn er dus geen gemeenshappelijke punten. lle punten op de lijn liggen in alle drie de vlakken, en. ladzijde 271 I-7a d ijvooreeld de drie vlakken, en. ijvooreeld de drie vlakken, en. e vlakken, en snijden elkaar in één punt (zijnde punt ). it komt overeen met geval 5. e vlakken, en snijden elkaar zoals in geval 5, het gemeenshappelijk snijpunt is punt. I-8a e drie vlakken staan loodreht op elkaar. (In andere woorden: de hoek tussen alle vlakken onderling is 90.) Vlakken die loodreht op elkaar staan snijden elkaar in één punt. e drie vlakken snijden elkaar in één punt (het snijpunt van de verlengden van en ), maar staan niet loodreht op elkaar. Ook deze drie vlakken snijden elkaar in één punt (zijnde punt ), maar staan niet loodreht op elkaar. I-9 1-III: e vlakken, J en KL staan evenwijdig aan elkaar heen dus geen snijlijnen. 2-I: e vlakken O, I en heen drie evenwijdige snijlijnen. 3-II: e vlakken L, en heen één gemeenshappelijk snijpunt. 4-I: e vlakken J, K en L heen drie evenwijdige snijlijnen. I-10a ijvooreeld de vlakken, en KLN heen één snijpunt dat uiten het prisma ligt. Noem het punt halverwege LN punt en het punt halverwege punt Z. e vlakken IJ, Z en heen één gemeenshappelijke snijlijn uiten het prisma. 236 Noordhoff Uitgevers v

28 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 est jezelf ladzijde e piramide kan je op onderstaande wijze tekenen. tap 1: teken het grondvlak. tap 2: vind met ehulp van de diagonalen of door opmeten het midden van vlak. tap 3: trek vanuit het middelpunt een lijn van 6 m omhoog, hiermee he je het toppunt. Verind met,, en. Je krijgt dan onderstaande figuur. -2a e punten,, N, en W. oor twee lijnen is een vlak mogelijk als de lijnen evenwijdig lopen of elkaar snijden. W en lopen evenwijdig, dus een vlak door deze lijnen is mogelijk. oor twee lijnen is een vlak mogelijk als de lijnen evenwijdig lopen of elkaar snijden. aar en kruisen elkaar. r is dus geen vlak door deze lijnen mogelijk. d ls lijn N in vlak V zou liggen dan moeten alle punten van N in V liggen. unt N ligt wel op de lijn N, maar niet in vlak V, dus lijn N ligt niet in vlak V. -3a ieronder zijn de vlakken en getekend, samen met hun snijlijn. Noordhoff Uitgevers v 237

29 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 ieronder zijn de vlakken en getekend, samen met hun snijlijn V. V e snijlijnen van, en liggen evenwijdig aan elkaar, zie onderstaande tekening. e situatie is vergelijkaar met geval 2 van de theorie op pagina 261. it komt door het volgende: Vlak ligt evenwijdig aan vlak, dus elk ander vlak dat deze vlakken snijdt zorgt voor twee evenwijdige snijlijnen in en. ij vlak zijn dat de lijnen en de lijn ij, ij vlak zijn dit de lijnen en de lijn ij. is een vierkant, dus de lijnen en zijn evenwijdig aan elkaar. ls evenwijdig is aan, terwijl de lijn ij evenwijdig is aan en de lijn ij evenwijdig ligt aan, dan zijn dus ook de lijnen ij en evenwijdig aan elkaar. Omdat de lijnen en evenwijdig zijn zullen ovendien alle vlakken die door deze lijnen gaan elkaar snijden in een lijn die evenwijdig is aan en, en daarmee aan de lijn ij en de lijn ij -4a Lijn ligt in vlak, geruik dit als hulpvlak. eken de snijlijn van met het grondvlak, dit is lijn. lle punten op lijn liggen dus zowel in als in het grondvlak. et snijpunt x van met is daarom gezohte snijpunt tussen en het grondvlak, zie onderstaande tekening. 238 x Noordhoff Uitgevers v

30 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 We gaan verder met het resultaat van opgave -4a en lijven vlak als hulpvlak geruiken. Om de snijlijn tussen vlak en vlak te epalen zijn er twee punten nodig die in eide vlakken liggen. e verindingslijn tussen deze punten is dan de snijlijn. én punt is al ekend: punt. et andere punt is het snijpunt tussen en. eken nu de snijlijn tussen en. et snijpunt y van deze snijlijn met is het snijpunt van vlak met. Zie ter illustratie onderstaande tekening. y x r zijn twee snijpunten tussen en het grondvlak nodig om de snijlijn tussen eiden te kunnen epalen. Lijn ligt in vlak, dus het eerste punt is epaald ij opgave -4a. ls tweede punt geruiken we het snijpunt z van met. e verindingslijn tussen X en Z is de gezohte snijlijn, zie onderstaande tekening. x z d e punten en moeten even hoog oven het grondvlak komen te liggen. ladzijde 275-5a e doorsnede kan je op de volgende wijze tekenen: tap 1: eken. tap 2: eken. tap 3: et ovenvlak ligt evenwijdig aan het ondervlak, dus ook de snijlijn in het ovenvlak ligt evenwijdig aan het ondervlak. eken dus door punt een lijn evenwijdig aan. tap 4: eken de lijn van naar het snijpunt van lijn 3 met rie. Je krijgt dan de volgende doorsnede: Noordhoff Uitgevers v 239

31 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 e doorsnede kan je op de volgende wijze tekenen: tap 1: eken. tap 2: et ovenvlak ligt evenwijdig aan het ondervlak, dus ook de snijlijn in het ovenvlak ligt evenwijdig aan het ondervlak. eken dus door punt een lijn evenwijdig aan. it is de rie. tap 3: eken de lijn. tap 4: eken de lijn. Je krijgt dan de volgende doorsnede: Lijn ligt in vlak, dit vlak geruiken we als hulpvlak. erst vinden we de snijlijn l tussen en, het snijpunt Z tussen l en is het gezohte snijpunt. tap 1: Omdat het ovenvlak evenwijdig ligt aan het ondervlak ligt de snijlijn van met het ondervlak dus evenwijdig met de snijlijn van met het ovenvlak. e snijlijn van door het ondervlak kan dus worden getekend door vanuit een lijn te trekken die evenwijdig loopt met. et snijpunt van deze lijn vanuit met de lijn ligt in zowel vlak als in vlak. tap 2: Op dezelfde wijze: omdat het ondervlak evenwijdig is aan het ovenvlak kunnen we de doorsnede van met het ovenvlak tekenen door vanuit een lijn te trekken die evenwijdig loopt met. et snijpunt van deze lijn vanuit met de lijn ligt in zowel vlak als in vlak. tap 3: We heen nu twee punten die zowel in als in liggen. e verindingslijn tussen eiden is snijlijn l. tap 4: et snijpunt Z tussen verindingslijn l en lijn is het snijpunt tussen vlak en lijn. Zie onderstaande tekening ter illustratie. l Z -6a In de ruimte zijn er drie mogelijkheden voor de ligging van twee lijnen: (i) ze kunnen elkaar snijden; (ii) ze kunnen evenwijdig lopen of (iii) ze kunnen elkaar kruisen. e lijnen en lopen duidelijk niet evenwijdig en ze snijden elkaar ook niet. us ze kruisen elkaar. e lijnen,, U en U kruisen. 240 Noordhoff Uitgevers v

32 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2 Intekenen van de punten geeft de onderstaande afeelding:,,,, U -7 et de volgende stappen kan je de doorsnede van de piramide met vlak tekenen. tap 1: rek de rie door. tap 2: eken de lijn (de snijlijn met het voorvlak)) en trek deze door tot je de lijn snijdt. Noem het snijpunt X. unt X ligt zowel in vlak als in het grondvlak. tap 3: rek de rie door. tap 4: eken de lijn (de snijlijn met het rehtervlak) en trek deze door tot je de lijn raakt. Noem het snijpunt Y. unt Y ligt zowel in vlak als in het grondvlak. We heen nu twee punten die zowel in vlak als in het grondvlak liggen: de punten X en Y. e verindingslijn van eide punten vormt dus de snijlijn tussen en het grondvlak. eze verindingslijn kunnen we geruiken doorsnee-lijnen van het ahtervlak en het rehtervlak te tekenen. tap 5: rek de rie door. tap 6: eken de lijn XY en trek deze door tot je de lijn raakt. Noem het snijpunt Z. unt Z ligt op XY en ligt dus in. aar punt Z ligt ook op lijn en daarmee in vlak. We heen nu twee punten die zowel in vlak als in vlak liggen: punt Z en punt. e verindingslijn van eide punten vormt dus de snijlijn tussen en en geeft dus de snijlijn van de doorsnede met het ahtervlak. tap 7: us teken de lijn Z (de snijlijn met het ahtervlak). tap 8: We heen nu twee punten die zowel in vlak als liggen: (i) het snijpunt van Z met en (ii) punt. e verindingslijn van eiden is de snijlijn tussen en en geeft dus de snijlijn van de doorsnede met het linkervlak. Vergelijk deze stappen ook de stappen ij opgave 25. Je krijgt onderstaande tekening: Y X Z Noordhoff Uitgevers v 241

33 oderne wiskunde 9e editie vwo deel 2-8a Vier vlakken kunnen één snijlijn heen. Zie ijvooreeld de tekening van geval 3 van de theorie op pagina 261 en denk een extra vlak dat ook door dezelfde snijlijn gaat. Vier vlakken met twee snijlijnen is niet mogelijk, vier vlakken met drie snijlijnen daarentegen weer wel. Ook vier vlakken met vier snijlijnen en vier vlakken met vijf snijlijnen zijn mogelijk. lk vlak kan een ander vlak maximaal één keer snijden. et maximaal aantal snijlijnen wordt dus ereikt als elk vlak elk ander vlak snijdt. Vlak snijdt dan 3 andere vlakken, vlak snijdt ook de andere 2 en ook vlak drie en vier snijden elkaar onderling. r zijn dan dus = 6 snijlijnen. Zie hieronder enkele ovenaanzihten van snijdende vlakken als vooreeld. (e vlakken staan dus loodreht het papier in, waardoor je van elk vlak maar een lijn ziet. e snijlijnen van de vlakken gaan eveneens loodreht het papier in en van de snijlijnen zie je dus maar een punt.) Vier vlakken met 3 snijlijnen Vier vlakken met 4 snijlijnen Vier vlakken met 5 snijlijnen Vier vlakken met 6 snijlijnen ij twee lijnen weet je dat als ze eiden in één vlak liggen, dat ze elkaar snijden of evenwijdig aan elkaar lopen. (et omgekeerde geldt ook: als twee lijnen elkaar snijden of evenwijdig aan elkaar lopen liggen ze in één vlak.) ij drie lijnen geldt ook dat als ze in één vlak liggen ze elkaar snijden of dat ze evenwijdig zijn. at is ook egrijpelijk. tel dat de lijn, en in één vlak liggen. We weten dan dat (i) de lijnen en elkaar snijden of evenwijdig zijn; (ii) de lijnen en elkaar snijden of evenwijdig zijn en (iii) de lijnen en elkaar snijden of evenwijdig zijn. us of, en snijden elkaar alle drie of twee lijnen lopen evenwijdig en de derde snijdt eiden of ze zijn alle drie evenwijdig. (et omgekeerde geldt nu ehter niet: als de drie lijnen evenwijdig zijn of elkaar snijden hoeven ze nog niet in één vlak te liggen. Zie ook de vooreelden hieronder.) e drie lijnen liggen evenwijdig aan elkaar, maar liggen niet in hetzelfde vlak. e drie lijnen snijden elkaar, maar liggen niet in hetzelfde vlak. 242 Noordhoff Uitgevers v