Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden"

Transcriptie

1 Uitwerkingen ij _ Voorkennis: Sinusoïden V_ a A( π, ), B( π, ), C( π, ) en D(π, ) Met de rekenmachine : Y = sinx Y = Met CALC, Intersect of G-Solve, ISCT: c V_ a x,6, x,5 of x,67 Bij een verschuiving van naar rechts vervang je in een functievoorschrift de x door x, dus g(x) = sin(x ) d Je moet de grafiek van f dan π naar rechts schuiven. (of π naar links, of π, of 5π etc). De plot zie je hiernaast. Het ereik van y = cost is [, ], dus het ereik van f(t) = cost is [, ]. De periode van f is π, de amplitude. c Vervang t door t + en trek vervolgens van de functiewaarden af. Je krijgt: g(t) = cos(t + ) ofwel g(t) = cos(t + ) π π d = = = π periode π V_ a Periode = = 8, amplitude = =, ereik = [, ]. π π Periode = =,, amplitude =, ereik = [5, 5 + ] = [ 7, 7]. π π c Periode = = 6, amplitude = = π, ereik = [, - + ] = [, ]. 5 + V_ a Evenwichtsstand is y = =, amplitude = =. Verder snij de grafiek de evenwichtsstand ij x =, x = en x =, dus de periode is (-) = 6. Het eginpunt van een golf ligt ij x = -, dus c = -. π c d = -, a =, = = π, c = - dus f(x) = + sin π(x+) 6 d d, a en veranderen niet, c wel. + Het hoogste punt van een golf ligt ij x = = dus c =. g(x) = + cos π(x+ ) vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

2 V_5 a De plot zie je hiernaast. π De periode van f is = π. π De periode van g is = π. Veelvouden van π zijn: π, π, π, π, Veelvouden van π zijn: π, π, π, c De gemeenschappelijke periode is π. Met CALC Intersect of G-Solve, ISCT: t =, t,6, t,, t,7, t = π, t,, t,87, t 5,67, t = π d Per periode zijn er 9 oplossingen. Van de oplossingen ligt er één aan het egin en één aan het eind van de gemeenschappelijke periode. Het interval [-π, 8π] evat 8π : π = perioden. Op het interval [-π, 8π] heeft de vergelijking dus 8 + = 9 oplossingen. π π e De periode van h is = 6, de periode van k is =. π π De gemeenschappelijke periode is. Op het interval [, ] zijn er 6 snijpunten, zie plot. Op het interval [-5, 5] zijn dat er 55 : = 5,5 keer zoveel (op een halve periode zijn er snijpunten, zie plot). Dus het aantal snijpunten op [-5, 5] is 5,5 6 = 9 V_6 a Met de kettingregel: f (t) = cos t dus f (t) = cos t Met de kettingregel: g (t) = sin(t + ) dus g (t) = 6sin(t + ) c Met de kettingregel: h (t) = πsinπt d Met de kettingregel: k (t) = π -cos(-t) dus k (t) = πcos(-t) e l(t) = (cost) geeft met de kettingregel: l (t) = sint (cost) dus l (t) = 6sintcos t f Met de productregel: p (t) = cost + t sint dus p (t) = cost tsint 5 vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

3 Uitwerkingen ij _ Parametervoorstellingen a t = invullen geeft x = + = en y = = dus P(, ). a t = geeft (, -) t = geeft (, ) t = geeft (5, 5) c Zie de grafiek hiernaast. d Voor de punten op de x-as gel y = dus t t = t(t ) = t = of t = t = of t = - of t = De punten die hierij horen zijn (, ), (, ) en (weer) (, ). y = oplossen : t t = geeft t( t ) = t = of t = t = of t = - of t = Voor t =, t = - en t = snij de kromme de x-as in de punten (, ), (, ) en weer (, ). a Het minimum van x = t is voor t = dus gel x. Het maximum van y = t + t + vind je door t x y = op te lossen. = t + -t + = geeft t =. Het maximum van y is y = ( ) + + = 6 dus gel y 6. t - - -,5 x 8 -,5 8 5 y ,5 6 vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

4 c Het minimum van x = t is x = - ij t =, dan is y =, dus (-, ). d Het maximum van y = t + t + is = y 6 ij t =, dan is = x dus (,6 ). e Als y = x dan is t = t + t + f t t 5 = opolossen met de ac-formule: D = ( ) ( 5) = t = = of t = = t geeft het punt (5,5 ) = t = - geeft het punt (,). Inderdaad gel voor deze punten y = x. a t x y -,5 -,7 -,7,7,78 6,6 8,9 x = t t is minimaal x = - als t = want = t, t = als t =. t c Het minimum van y = te ereken je met t t t = e + t e ofwel = e + t e t = als e ( + t) = dus t = -. t Het minimum van y = te is dus y t = = e e voor t = -. d x = geeft t t = t t = geeft (t )(t + ) = dus t = of t = - t = geeft het punt (,e ). t = - geeft het punt (, e ). t e Voor grote negatieve waarden van t is y = te dus dan nadert het punt de x-as. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

5 5 a t,5 x - -,5,9, 5,55 y -,5,69,,6 = lnt + t t dus = lnt + = als ln t = - dus t = e Het minimum is dus x = e lne = e dus x e. Het minimum van y = (t )lnt ereken je via een plot van Y = (X )ln(x) en CALC minimum. Dat geeft een minimum van y = als t =. Dus c = y x geeft (t ) lnt = t lnt = tlnt lnt tlnt geeft tlnt lnt = lnt( t ) = geeft ln t = of t = dus t = of t =. t = geeft het punt (, ). t = geeft het punt (ln, ln) (,9;,69). d De krommen K en M vallen samen, maar zijn niet identiek. Een punt op K dat ij een epaalde waarde t = a hoort, is ook een punt van de kromme M, namelijk voor t = a. y. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

6 Uitwerkingen ij _ Bijzondere punten 6 a y = dus sint = sint = dus sint =, dit geeft t =, t = π, t = π etc. dus t = + k π x = + cost is dan telkens x = + = of x = + - =. Snijpunten met de x-as: (, ) en (, ). c x = dus + cost = cos t = geeft t = π, t = π, t = 5π etc. y = sint is dan telkens. Snijpunt met de y-as: (, ). 7 a t = geeft het punt (6, 5). De helling van OA is y = = x 6 6 = 7 t geeft het punt (,) 8 De helling van OB is y = 6 = = = 7 5 x c t =, geeft het punt (,;,) De helling van K in O is ongeveer y, =,5 x, 5 8 a t x,8 -,65 -,99 -,,5,5 -, -,99 -,65,8 y,5 8,5,5,5,5 8,5 = sint en = t t = geeft = sin dus =, sin c t = geeft = sin dus = 5,9 sin d P(, ) hoort ij t =. t = geeft = sin = en = en = en = kun je nu niet erekenen, geeft geen uitkomst. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

7 9 a = t en = t e t + t e t ofwel = als t = dus t =. t t = als (t t ) e = dus als t t = ( e ) t( t) = geeft t = of t = Dus voor t = is = c t =, geeft =, én = en., 58 De helling van de raaklijn in (, ) is ongeveer,7. t t = te t e,58 dus,7, a = sint cost sint ofwel = sint + sintcost = cost( cost) + sint sint ofwel = cost cos t + sin t Voor punten met een horizontale raaklijn gel = en = geeft cost cos t + sin t = Oplossen met de rekenmachine: Y = cosx (cosx) + (sinx), CALC Zero og G-Solve Root geeft de oplossingen: t =, t = π, t,9, t,9 etc. = geeft sint( cost) = dus sint = of cost = sin t = geeft t = + k π cos t = geeft t,5, t 5,, etc. Voor punten met een horizontale raaklijn gel = t,9 geeft (-,7;,) t,9 geeft (-,75; -,) Voor punten met een verticale raaklijn gel = t,5 geeft (,5;,) t 5, geeft (,5; -,) t = π geeft (-, ) c Bij (, ) hoort t =. Voor t = is = én = Voor t =, is =,, dus (, ) is een keerpunt. en =, 5 en dus en dus,5 dus, De helling van de raaklijn in de oorsprong is vermoedelijk gelijk aan. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

8 Uitwerkingen ij _ Lissajousfiguren a Zie de plot hiernaast. cos t is maximaal = en minimaal = dus x + sin t is maximaal + = en minimaal = dus y De figuur wor dan een cirkel. c Zie de plot hiernaast. Vensterinstelling: Xmin =, Xmax = 5 Ymin = en Ymax = 6 π d De periode van x = cost is = π, π de periode van y = 5 + sint is = π. De gemeenschappelijke periode is π, dus dat is ook de periode van de kromme. a Zie de plot hiernaast. π De periode van x = + sint is = π, die van y = cost is π. De gemeenschappelijke periode is π, dus dat is ook de periode van de kromme. Snijpunt met de x-as als y =, dus cost = cost = geeft cos t = dus t,7 of t 5,6 (in één periode). t,7 geeft (,87; ) t 5,6 geeft (,; ) Snijpunt met de y-as als x =, dus + sint = sint = geeft t = π + k π ofwel t = π + k π dus t = π of t = π (in één periode). t = π geeft (;,) t = π geeft (; -,) c Uit de plot lees je af dat de kromme zichzelf snij in (, ). Voor = t π is x = + sin π = + = en y = cos π = - = en voor = t π is x = + sinπ = en y = cos π = Dus het punt (, ) komt ij twee waarden van t voor. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

9 a Zie de plot hiernaast. De kromme ligt op de lijn y = + x Omdat x = cost kun je ij y = + cost voor c cost een x invullen. Je krijgt dan y = + x. Omdat echter de waarde van cost maximaal is en minimaal, gel x. Je krijgt dus het deel van de lijn dat hoort ij x. Zie de plot hiernaast. De kromme ligt op de paraool die hoort ij f(x) = x. d De waarde van sin t is minimaal en maximaal, dus gel x. Als je het interval x als domein voor f kiest valt de grafiek van f precies samen met de kromme L. a x = dus sint = oplossen sint = geeft t = + k π ofwel t = + k π dus t = of t = π of t = π of t = π etc t = geeft (, ) t = π geeft (, ) (ook ij t = π ) t = π geeft (, ) De snijpunten met de y-as zijn (, ), (, ) en (, ). π π De periode van x = sint is = π, die van y = cost is = π. De gemeenschappelijke periode is π, dit is tevens de periode van de kromme. c y = dus cost = oplossen. cost = geeft t = π of t = π of t = π of t = π of t = 5 π etc dus t = π of t = π of t = 5 π of t = 7 π of t = π of t = π Bij (,6; ) horen t = 5 π en t = π, 6 6 ij (, ) horen t = π en t = π, ij (,6; ) horen t = 6 π en t = 7 6 π. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

10 5 a π De periode van x = 5cost is π, die van y = sint is = π. De gemeenschappelijke periode is π, dus de periode van de kromme is π. Horizontale raaklijn als = en = 5sint en = cost (met de kettingregel) = als 5sint = sin t = geeft t = + k π dus t = of t = π of t = π etc = als cost = cost = geeft t = π + k π ofwel t = π + k π dus t = π of t = π of t = π etc Horizontale raaklijn als = en dus voor t = π, geeft (,5 ; ) t = π, geeft (,5 ; ) t = π, geeft (,5 ; ) t = π, geeft (,5 ; ) Verticale raaklijn als = en dus voor t =, geeft ( 5, ), evenals t = π t = π, geeft (5, ) c In (, ) gel x = 5cos t = én y = sint = d Dit geeft t = π of t = π. Bij t = π is = 5 en = dus = 5 dus = 5 y x Bij t = π. is = 5 en = De vergelijkingen zijn: y = x en = 5 5 De x en y zijn verwisseld, dus spiegel de gegeven grafiek in de lijn y = x. Zie de grafiek hiernaast. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

11 6 a De gemeenschappelijke periode van x en y is π, dus die van de kromme is ook π. y = cost is maximaal als cost = Dat is ij t = π, dus t = π, en ij t = π etc. c De keerpunten zijn (, ) en (, ). d Bij (, ) hoort t = π. = sint en = sint Voor t = π +, is =, en =, Voor t = π is, dus is de helling in (, ) gelijk aan. Bij (, ) hoort t =. Voor t =, is =, en =, Voor t= is, dus is de helling in (, ) gelijk aan. 7 a De gemeenschappelijke periode van x en y is 8π, dus kies voor t een interval met een reee van 8π, ijvooreeld [, 8π]. De periode van de kromme is 8π. = cos t en = sint Bij t = π is,768 en = De helling van de raaklijn is = =,768 c Horizontale raaklijn als = en = geeft sint = als sint = dus t = of t = π of t = π etc = geeft cos t = als cos t = dus = = dus t = π of t = 6π etc. Punten met een horizontale raaklijn ij t =, geeft (, ) t = π (of π), geeft (,7; ) t = 5π (of 7π), geeft (-,7; -) d = én = ij t = π en t = 6π, dus de keerpunten zijn (, ) en (-, ). vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

12 Uitwerkingen ij _ Vervormen 8 a Snijpunt met de x-as als y = dus cos6t = cos6t = geeft 6t = π + k π ofwel = + t π k π 6 dus t = π of t = π of t = π of t = π of t = 5 π of t = 5 π etc Bij deze t-waarden horen de punten (,78; ), (-,78; ),(,; ), (-,; ), (,9; ) en (-,9; ). Snijpunt met de y-as als x = dus sint = sin t = geeft t = + k π Bij elk van deze t-waarden hoort het punt (, ). = cost en = sin 6t = als cos t = dus t = π + k π t = π + k π invullen ij = sin 6t geeft = voor deze waarden van t De kromme heeft keerpunten voor t = π en t = π, daar horen de punten (, -) en (-, -) ij. c K K K De periode van x = sint is π, die van y = cost ook. De periode van K is π. De periode van y = cost is π, de periode van K dus π. De periode van y = cost is π, de periode van K dus π. d De krommen met een even parameter heen keerpunten, die met een oneven parameter niet. e De afmetingen zijn 6 ij. 9 a π π x = cost heeft periode = π, y = sint heeft periode = π. De gemeenschappelijke periode is π, dus de periode van de kromme is π. De krommen vallen samen, maar ij dezelfde waarde van t horen verschillende punten op de krommen. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

13 c d a = a = π De krommen zijn elkaars spiegeleeld in de y-as. De vorm is hetzelfde. De krommen liggen iets horizontaal verschoven ten opzichte van elkaar. a De periode van = π π x sin t is = 6π, die van y = cost is = π. De gemeenschappelijke periode is 6π, dus de periode van de kromme is 6π. y = geeft cost = dus cost = Oplossen: t = + k π ofwel t = + k π dus t = of t = π of t = π of t = π of t = π of t = π of t = π of t = π of t = 5 π of t = 6π. Invullen ij x = sin t geeft voor t = en t = 6π dezelfde waarde en voor de overige t-waarden verschillende uitkomsten, dus er zijn 9 punten op de kromme met y =. Voor = : y = geeft cost = dus cost = Oplossen: t = + k π ofwel t = + k π t = of t = π of t = π of t = π of t = π of t = 5π of t = 6π. Invullen ij x = sin t geeft ij t =, t = π en t = 6π dezelfde x-waarde, ij t = π en t = π dezelfde x-waarde en ij t = π en t = 5π dezelfde x-waarde. Er zijn dus drie raakpunten met de lijn y =. Zie de plot hiernaast. c De linkerfiguur lijkt op die ij =, de rechter op die ij =. Plot de kromme ij = en ij = 5 en tel het aantal raakpunten met de lijn y =. De plots komen overeen met de gegeven figuren. Bij de linkerfiguur hoort = 5 en ij de rechter =. a De periode van x = sin(t + a) is π, die van y = cos t is π. De periode van de kromme is de gemeenschappelijke periode, dus π. Plot de kromme x = sin(t + ) en y = cos t. De kromme snij zichzelf in (,8; ). Bij dit punt ij y =. Hier horen ij t = π en t = π. c = cos(t + a) en = sin t = geeft = + t k π ofwel t = + k π vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

14 Dus t = of t = π of t = π. In een keerpunt gel = én = dus = voor t = geeft cos( + a) = dus a = π + k π. = voor t = π geeft cos(π + a) = geeft ook a = π + k π. Evenzo voor t = π. Dus voor a = π + k π zijn er twee keerpunten. a Zie de plot hiernaast. De kromme snij zichzelf in (, ). Bij dit punt horen de t-waarden,5; 5, en π. Immers: x = geeft ( cost)sint = dus cost = of sint = cos t = geeft t,5 of t 5, etc. sin t = geeft t = + k π Invullen ij y = ( + cost)sint geeft y = ij de genoemde waarden van t. = sint sint + ( cost) cost ofwel = sint t + cost cos t = sint cost + ( + cost) sint ofwel = sintcost sint Een waarde dicht ij t = π is t =,9. Voor t =,9 is, 88 en, 5 dus voor t = π is, 5,58, 88 c Voor grote waarden van a is cost verwaarloosaar ten opzichte van a, dus is x a sint en y a cost. De krommen die hierij horen zijn cirkels. a Voor even waarden van n zijn x en y eide voor elke waarde van t. Voor oneven waarden van n nemen x en y ook negatieve waarden aan. K K K 5 K Naarmate n groter wor komt de kromme steeds dichter ij de oorsprong te liggen. De waarde van cost en sint ligt voor elke waarde van t tussen en. Voor elk getal p tussen en gel dat p n naar nadert naarmate n toeneemt. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

15 Uitwerkingen ij _5 Baansnelheid a = cost, = geeft t = π + k π. De kromme heeft daar een verticale raaklijn of een keerpunt. == sint, = geeft t = + k π ofwel t = + k π, dus t = of t = π of t = π etc. c In het plaatje is de lengte van de pijl ij v te erekenen met de stelling van Pythagoras, waarij de rechthoekszijden de pijlen met en zijn. d Bij t = π is = en = De snelheid op t = π is = + v = e In een keerpunt gel = 5 a = cost en = sin t + Bij t = π is =,5 én = sint dus v = + =. Bij t = π is = dus de snelheid in horizontale richting is. Bij t = π is = dus de snelheid in verticale richting is. en = 6 a = cost + cost = Zie a. en = sin t + oplossen met de rekenmachine dus de aansnelheid is v =,5 + =,5. sint geeft t,5 en t = π en t 5,. = oplossen met de rekenmachine op soortgelijke wijze geeft t = en t,5 en t = π en t 5, en t = π. De keerpunten zijn : ij t,5 (,6;,5) ij t = π (, -) ij t 5, (-,6;,5) Punt P(,6;,5) vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

16 c Bij t = 5, is, 6 en, 86, 86 De helling in P is,6, 6 d Bij t = π is = v = ( ) + ( ) = 8 en = dus de aansnelheid is 7 a Met de y-as, dus x =, geeft sint =. sint = geeft t = of t = π of t = π t = geeft (;,) t = π geeft (: -,) t = π geeft (;,) π Met de x-as, dus y =, geeft cos(t ) = π π π cos(t ) = geeft t = π of t = π dus t = π of t = π t = π geeft (,; ) t = π geeft (-,; ) = cost c en = sin(t π ) = als t = π of t = π π π = als t = of t = π dus t = π of t = π Horizontale raaklijn als = dus ij t = π, geeft (,; ) en t = π, geeft (-,; -). Verticale raaklijn als = dus ij t = π, geeft (;,) en t = π, geeft (-; -,). Een punt P doorloopt nu de kromme van t = tot en met t = π. Je kunt de kromme in omgekeerde richting laten doorlopen door met π te eginnen. Vervang daarvoor in de parameterkromme t door π t. Je krijgt dan: π x = sin(π-t) en y = cos((π-t)- ) d Bij t = is,8 v (,8) + (,875),5 en,875 dus de aansnelheid is vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

17 8 a In de figuur zie je dat er punten zijn met een horizontale raaklijn en met een verticale raaklijn. = sin t(cos t + ) + (cos t ) sin t ofwel = sintcost + sint = als sint( cost + ) = dus als sint = of cost = t = of t = π of t = π of t, of t,97 Bij t = en t = π hoort (, ) ij t = π hoort (, ) ij t, hoort (,9; -,5) ij t,97 hoort (-,9; -,5) c = cost dus = als cost =, dat geeft t = π of t = π. Bij t = π is = en = dus v = + =. Bij t = π is = en = dus v = + ( ) =. d Snijpunt met de x-as als y = dus (cost )(cost + ) = cost = geeft t = of t = π of t = π cos t = geeft t,9 of t,9 Bij t = is = en = dus v = + =, ij t = π idem. Bij t,9 is =,5 en,6 Bij t,9 is =,5 en,6 dus v (,5) +,6,. dus v (,5) +,6,. vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

18 Uitwerkingen ij _6 Verwerken en toepassen 9 a x kan waarden uit [-, ] aannemen, y uit [-, ]. De periode van x is π, die van y is π, dus de periode van de kromme is π. c = sint en = cost = als sint = dus ij t = of t = π of t = π. = als cost = dus als t = π + k π ofwel t = π + k π Dus ij t = π of t = π of t = π of t = π. Verticale raaklijn als = dus ij t =, geeft (, ) (ook ij t = π) en ij t = π, geeft (-, ). Horizontale raaklijn als = dus ij t = π, geeft (,; ) en t = π, geeft (-,; -) t = π, geeft (-,; ) en t = π, geeft (,; -) d Bij (, ) horen t = π en t = π. Bij t = π is = en = dus De vergelijking is y = x. Bij t = π is = en = dus De vergelijking is y = -x. e = sin(t + π) en = cost = = = = = ij t = π of t = π of t = π of t = π. Voor t = π en t = π is ook =. De keerpunten zijn dus voor t = π het punt (-, -) en voor t = π.het punt (, -). vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

19 a x = dus cos(t + π)= oplossen. cos(t π)= geeft t + π = π of t + π = π dus t = π of t = π. 6 + Snijpunt met de y-as (;,87). y = dus sint = t = + k π ofwel t = + k π Dus t = of t = π of t = π of t = π of t = π. t = (en t = π) geeft (, ) t = π geeft (-,7; ) t = π geeft (-, ) t = π geeft (,7; ) c = sin(t + π) en = cost Bij (-,7; ) hoort t = π. Bij t = π is = en = dus v = ( ) + ( ) = 5 a Een punt op een cirkel met middelpunt (, ) en straal voldoet aan x = cost en y = sint. Met middelpunt (, ) wor dat x = cost en y = + sint. In dat geval start de kromme op t = ij (, ). Er moet echter gelden: x() = -8, dus cos( + a) = 8. Dit geeft a,875. De ewegingsrichting is met de klok mee. De omtrek van de kleine cilinder is π, de periode van c is π, dus de π aansnelheid is = m/s. π c Straal 5 en middelpunt (-, 5) en periode π geeft x = + 5cost en y = 5 + 5sint als het startpunt op (-8, 5) zou zijn en de draairichting tegen de klok in. De draairichting omdraaien etekent dat ij dezelfde x-waarde y eerst moet afnemen in plaats van toenemen, dus: y = 5 5sint. Verder moet x() = -8 dus + 5cos( + a) = 8, dit geeft cosa =,8 en a,6 of a,6. Ook moet y() = 8, dus 5 5sin( + a) = 8 ofwel sin a =,6. Uit dit alles volgt a,6 en dus x = + 5cos(t,6) en y = 5 5sin(t,6). d y = geeft sin(t,6) = dus t,6 = π ofwel t,7 e = sin(t, 6) Bij t,7 is =. De snelheid waarmee C over de x-as schuift is gelijk aan de snelheid van c in punt Q, dus m/s. 6 vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

20 Uitwerkingen ij Testeeld π T_ a De periode van x is = π, die van y is π. De periode van de kromme is π. π x = cos5t heeft periode = π, de 5 5 gemeenschappelijke periode is π, dus die van de kromme ook. c = asinat en = cost = voor t = π + k π De kromme heeft keerpunten als voor deze waarden ook gelijk is aan. t = π geeft = a sin(a π)= als a π = + k π dus als a = of a = of a = etc, ofwel als a even is. d x = dus cosat = oplossen. Per periode heeft x = cosat twee nulpunten. De periode van de kromme is π. In één periode van de kromme heeft x = cosat a perioden, dus a nulpunten. Op twee nulpunten van x na snij de kromme zichzelf in een snijpunt met de y-as. a Het aantal snijpunten met de y-as is dus + = a +. e Bij een even waarde van a doorloopt een punt de kromme tweemaal zodat elk snijpunt met de y-as twee keer gepasseerd wor. a Het aantal snijpunten is dus dan = a. Zie ook de plot hiernaast van de kromme ij a =. f y = voor t = of t = π of t = π etc. Voor t = is x = voor elke waarde van a. Dus elke kromme snij de x-as in het punt (, ). vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

21 T- a = sin t en = 5cost = als sin t = dus t = + k π ofwel t = + k π dus t = of t = π of t = π of t = π etc. = als cost = dus t = π + k π ofwel t = π + k π 6 dus t = π of t = π of t = 5 π etc. 6 6 In een keerpunt gel = ij de punten (8, -5) en (8, 5). én = dus ij t = π of t = π, ehorende De ewering is onjuist, want onvolledig. Er moet ovendien gelden dat, omdat er anders spake is van een keerpunt. c Bij (8, 5) hoort t = π (,7 ). Bij t =,7 is, 979 en, 75, 75 De helling van de kromme is,5., 979 T- a Voor t = π is x = en y =. = cost cost en = sin t + sint Bij t = π is = en = dus = = Los op : sint sint = met de rekenmachine: t = of t,5 of t = π of t 5, of t = π. t,5 en t 5, geven eide het punt (, ). c Snijpunten met de y-as ij t = of t,5 of t = π of t 5, of t = π. Bijehorende punten: (, ), (, ) en (, -). Snijpunten met de x-as als y = dus cost cost = Oplossen met de rekenmachine geeft t = of t,9 of t,9 of t = π. Bijehorende punten: (, ), (,7; ) en (-,7; ). d Horizontale snelheid = cost cost Verticale snelheid = sin t + sint e Bij t = π is = en = dus de aansnelheid is v = + ( ) = 5 vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

22 T_ a Voor a = is x = cost en y = cost dus y = x. Voor a = π is x = cost en y = cos(t π). De grafiek van y = cos(t π) ontstaat uit die van y = valt dan samen met die van cost door een horizontale verschuiving van π naar rechts en c Voor een cirkel gel x = cost en y = sint y = cost. De kromme ligt dus op de lijn y = -x. Voor a = π is y = cos(t π) en dat is gelijk aan y = sinx T_5 a x en y dus de kromme past in een rechthoek van 8 ij. c d = sint en = 6cos(t a) = als t = + k π In een keerpunt is ook = t = geeft = 6cos( a) = als a = π + k π, dus a = π of a = π of a = 5 π. 6 6 Bij t = π is = 6cos(π a) = dus π a = + 6 als (π a) = π + k π 5 π k π ofwel a = π + k π, dit geeft dezelfde waarden als ij 6 t =. Dus keerpunten ij t = en t = π voor a = 6 π of a = π of a = 5 6 π. Voor t = π idem. = sint en = 6cos(t, 7) Bij t = 5 is,85697 en 5, 6696 De aansnelheid is v, ,669 6,8 Keerpunten voor t = en t = π (zie ). = sint en = 6cos(t π) Voor t =, is, en,8., 8 De helling ij t = is =,5., Voor t = π +, is, en,8., 8 De helling ij t = π is =,5., vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

23 T-6 a Met de y-as, dus x =, geeft cost = dus t = π of t = π. Snijpunten met de y-as: (, ) en (, -). Met de x-as, dus y =, geeft sin t sint = Oplossen met de rekenmachine geeft t = of t,5 of t,6 of t = π of t,67 of t 5,76 of t = π. Snijpunten met de x-as: (, ), (,7; ), (-,7; ), (-, ) x = geeft cos t = dus t,7 of t 5,6 x = - geeft cos t = dus t,9 of t,89 sin t y = geeft sin t asint = ofwel a = = sint t,7 invullen geeft a = t 5,6 invullen geeft a = t,9 invullen geeft a = t,89 invullen geeft a = sin t Dus voor a = gaat de kromme door (, ) én (-, ). c x = voor t = π en t = π (zie a). Als de kromme de x-as raakt in de oorsprong is y = én = = sin tcost acost Bij t = π is y = a = en = a = dus a =. Bij t = π is y = - + a = en = a = dus a =. Voor a = raakt de kromme de x-as in de oorsprong. d y = geeft sin t asint = sint(sin t a) = sint = of sin t = a sint = geeft t = of t = π of t = π dus (, ) en (-, ). sin t = a heeft géén oplossingen voor a < of a > sin t = a heeft dezelfde oplossingen als sint = als a = sin t = a heeft als oplossing t = π of t = π als a =. Bij deze eide t-waarden hoort het punt (, ). Voor < a < heeft sin t = a vier andere oplossingen die twee aan twee een snijpunt met de x-as geven. Dus snijpunten voor a of a > snijpunten voor a = snijpunten voor < a < vwob deel Analyse_ Periodieke ewegingen

24 Uitwerkingen ij _ Voorkennis: Herleiden V_ a Er gel f(x) = x x 5 en g(x) = (x x + ) 6 = x x 5 De grafiek van k is een rechte lijn en dus is k een eerstegraads functie. c k(x) = ( x + x ) ( + x + x ) dus k(x) = -x. V_ a De eide grafieken zijn hetzelfde f(x) = (sin x) c Dat weet je omdat gel (sin x) + (cos x) = dus g(x) = (cos x) = (sin x) = f(x) V_ Nee, je ziet twee verschillende grafieken.

25 V_a, f(x) = (sin x + sinxcosx + cos x) + + (sin x sinxcosx + cos x) = = sin x + cos x = (sin x + cos x) = = V_5 Er gel h(x) = sin x(sin x + cos x) = sin x = sin x = k(x) V_6 a De vergelijking cos x + cos x + = is een kwadratische vergelijking met als variaele cos x. De discriminant van de vergelijking is gelijk aan = <, dus er zijn geen oplossingen. p(x) = ( + cosx + cos x)( cosx) = c V_7a,,c cosx + cosx cos x + cos x cos x = cos x Er gel dat de minimumwaarde van p(x) gelijk is aan =, dus is er wel sprake van raken, maar niet van snijden. v(x) = ( + sin x) ( sin x) = sin x en dit is een periodieke functie met periode π. d p(x) = ( sin x)( + sin x) = sin x = cos x. Ook p is een periodieke functie met periode π V_8 a h(x) = + cos x sin x + cos x( + sin x cos x) sin x( + sin x cos x) = = + sin x cos x + cos x + sin x cos x cos x sin x sin x + sin x cos x = = sinxcosx sin x cos x + = = sinxcosx (sin x + cos x) + = = sin x cos x + = sin x cos x. De nulpunten volgen uit de vergelijkingen sin x = en cos x =. Dit geeft x = k π (met k een geheel getal). V_9 Er gel f(x) = sin x sin x = sin x( sin x) = sin x cos x = g(x)

26 Uitwerkingen ij _ Symmetrie eigenschappen a De grafiek van f heeft als symmetrieassen de lijnen x = π + k π (met k een geheel getal). De grafiek van g heeft de lijnen x = k π (k geheel) als symmetrieassen. Juist is sin(-a)= -sin a, want de functiewaarden f(a) en f( a) zijn tegengesteld aan elkaar. c Er gel cos(π a) = cos a, want de functiewaarden g(a) en g(π tegengestelde. d sin(π + a) = sin a, want f(a) en f(π + e a) zijn elkaars tegengestelde. a) zijn elkaars Het lijkt dat cos (π + t) = cost want de grafiek van k is het spiegeleeld van de grafiek van h ij spiegeling in de x-as. a f(t) = sin(7π + t) = sin(7π + t π) = sin(π + t) = sint g(t) = cos( π t) = cos( π t + π) = cos( t) = cost c h(t) = sin( π t) = sin( π t + π) = sin(π t) = sint d k(t) = sin( t π) = sin( t π + π) = sin( t + π) = sint a

27 c d Bij spiegeling in de lijn y = x moeten de coördinaten van een punt verwisseld worden om de coördinaten van het spiegelpunt te krijgen. Dus de x-coördinaat van P is gelijk aan de y-coördinaat van Q en andersom. Als je in het punt S(, ) langs de cirkel zover in de richting van punt P gaat tot je in punt Q ent, dan gel vanwege de symmetrie dat SOQ = t radialen dus hoort ij punt Q een hoek van ( π t) radialen. Je het op twee manieren de coördinaten van punt Q erekend. Dus de y-coördinaat van Q is volgens opdracht gelijk aan cos t en volgens opdracht c is de y- coördinaat van Q gelijk aan sin( π t). a Zie de tekening ij de uitwerking van opdracht a De lijn y = x is de spiegellijn. c De x-coördinaat van P is het tegengestelde van de y-coördinaat van R dus er gel cost = sin( π t). Verder is de y-coördinaat van P het tegengestelde van de x-coördinaat van R, dus sint = cos( π t) 5 a c Alle parametervoorstellingen geven dezelfde kromme. De parametervoorstellingen K en M zijn identiek. x = cos t Er gel namelijk K : y = sin t, x = cos t L : ; y = sin t x = cos t M : y = sint en N: x = cos t y = sin t Het is mogelijk dat de krommen samenvallen, maar er hoeft niet ij elke waarde van t op eide krommen hetzelfde punt te horen. 6 a Je moet oplossen cost =. Dit geeft t = π + k π dus t = π + k π 6 Bijvooreeld a = π en = π. De keuze voor a laat x onveranderd en door de keuze voor verandert de y-coördinaat van een punt op de kromme van teken. Het gevolg is een spiegeling in de x-as, maar de kromme is symmetrisch in de x-as dus de kromme lijft dezelfde.

28 Uitwerkingen ij _ Somformules 7 a De grafieken van de functies f en h zijn gelijk. Dan krijg je drie verschillende grafieken. 8 a f(x) = sin x cos, + cos x sin, g(x) = cos x cos + sin x sin en h(x) = sin x cos7 cos x sin 7 f(x) = cos π cos x sin π sin x = cos x sin x = cos x c g(t) = sin π cos t + cos π sin t = cos t + sin t = cos t 9 sin(u t) = sin(u + t) = sinu cos( t) + cosu sin( t) = sinu cos t cosu sin t cos(u t) = cos(u + t) = cosu cos( t) sinu sin( t) = cosu cos t + sinu sin t a De lijn heeft de vergelijking y = x sint = sin(t + t) = sin t cos t + cos t sin t = sin tcos t c cost = cos(t + t) = cos t cos t sin t sin t = cos t sin t d Uit sin t + cos t = volgt dat sin t = cos t, dus cost = cos t sin t = = ( sin t) sin t = sin t en cost = cos t ( cos t) = cos t. a cos x = cos x dus cos x = cosx + en cos x = cosx + π π π cos x = ( cosx + ) = [ sinx + x] = π a, sin(t + t) = sint cos t + cost sin t = = sin tcos t cos t + ( sin t) sin t = = sin t cos t + sin t sin t = = sin t( sin t) + sin t sin t = = sin t sin t + sin t sin t = = sin t sin t

29 a Nee, dat klopt niet; je ziet twee verschillende grafieken. sin t = sin(t + t) = sint cost + cost sint = sint cost = sin tcos t (cos t sin t) = sin t cos t sin t cos t a Er volgt cos t(sin t ) = dus cos t = of sin t = 5 a t = π + k π (k een geheel getal).. Dit geeft de oplossingen sint = sin t. Door de verduelingsformule te geruiken gaat de vergelijking over in sin t cos t = sin t. Op nul herleiden geeft sin tcos t sin t = of sin t(cos t ) =. Hieruit volgt sin t = of cos t =. Dit geeft de oplossingen t = k π (k een geheel getal). In het interval [, π ] zijn dus t = en t = π oplossingen. Om de coördinaten van het snijpunt te vinden los je op y =, dus sin tcos t =. Hieruit volgt sin t = of cos t =. Dit geeft t = k π (k een geheel getal). Het snijpunt is dus het punt (,).,c Om de keerpunten te vinden los je op = en = Hieruit volgt dat = cost = cost en = sint cost = sintcost = sint (Bedenk dat y = (sin cos t) = (sint)!) Er moet dus gelden dat cost = en sint = Dit geeft t = π+k π of t = π + k π (k een geheel getal) en t = k π of t = k π (k een geheel getal). De gemeenschappelijke oplossingen zijn de getallen t = π + k π met k een geheel 5 getal. In het interval [, π ] vind je t = π,t = π,t = π en t = 7 π. Bij deze waarden horen de punten (,5; ) en (,5; )..

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2010-2011 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2010-2011 gghm Functies Verdieping 6N-p 010-011 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de ijehorende grafiek. Je mag de GRM hierij geruiken. Y f ( x) x X

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

29 Parabolen en hyperbolen

29 Parabolen en hyperbolen 39 0 1 9 Paraolen en hyperolen 6 5 5 6 3 3 1 5 h = 0,065 0 = 100 meter + (5 ) = 5 6,5 ; 5 ; 56,5 ; 100 meter ( 3 9 ) + (3 ) = 8 16,96.. afstand PE < afstand P tot de x-as Nee! y (alleen als y > 0) 0,065

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

Extra oefening bij hoofdstuk 1

Extra oefening bij hoofdstuk 1 Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Extra oefening ij hoofdstuk a y y f(x) g(x) Plot van f Invoer: Y.X^ X Venster: Xmin en Xmax Ymin en Ymax x x y y f(x) g(x) x Plot van g Invoer: Y (X+6X+99) Venster:

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren

Hoofdstuk 8 - Ruimtefiguren Voorkennis V-a De oppervlakte van ABC is 2 5 : 2 = 0 cm 2. c d AB = 2 AC = 5 BC = 44 25 + 69 BC = 69 = cm De omtrek van ABC is 5 + 2 + = 0 cm. BD = 2 4 = 8 cm De oppervlakte van BCD is 8 5 : 2 = 20 cm

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-1a c d e 1 Voorkennis D C B N A K L Vierhoek ABCD is een vierkant. Vierhoek KLMN is een rechthoek en vierhoek PQRS is een parallellogram. De oppervlakte van vierhoek KLMN is 7 3 4 = 8 roostervierkantjes.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan.

De twee schepen komen niet precies op hetzelfde moment in S aan. Gevaar op zee Schepen die elkaar te dicht naderen worden gewaarschuwd door de kustwacht. Wanneer schepen niet op zo n waarschuwing hebben gereageerd, stelt de Inspectie Verkeer en Waterstaat een onderzoek

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Hoofdstuk 8 - De afgeleide Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Machtsverbanden

Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Opstap Derdemachten O-1a I r r r 1 De inhoud van een kuus met r is 1 cm 3. Als I 7 geldt r 3 want 3 3 7. Een kuus met I 7 heeft een rie van 3 cm. c r in cm 1 3 d I in cm 3 1 7 6 1 l in cm 3 9 7 6 3 - -1-3

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1.0 16.0 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B 1,2

Examen HAVO. wiskunde B 1,2 wiskunde 1, Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit 18 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B (oude stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B (oude stijl) Wiskunde B (oude stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Maandag 27 mei 1330 1630 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit 18 vragen

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen Toets om inhoudsopgave (bladwijzers) wel/niet te tonen Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Vergelijkingen oplossen! " #$ % & '&() '*& ) '#! " #" ),-. % / ---.01 2 3 ---. - / %3 -.1-01 2 4 & * 5 5 & %

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H25 RUIMTELIJKE FIGUREN IN HET PLAT VWO 1 H5 Ruimtelijke figuren in het plat VWO 5.0 INTRO a een vierkant ; een lijnstuk ; een vierkant Bijvooreeld zo: Het laagste punt is het midden van het grondvlak. Snij van een kurk aan weerszijden een stuk

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II ppervlakte Gegeven is de functie f ( x) x. De lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt (0, 3). Zie figuur. figuur y k f x 5p Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van k. De grafiek

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : De Tabel

Hoofdstuk 1 : De Tabel Hoofdstuk 1 : De Tabel 1.1 Een tabel maken De GR heeft 3 belangrijke knoppen om een tabel te maken : (1) Y= knop : Daar tik je de formule in (2) Tblset (2nd Window) : Daar stel je de tabel in. Er geldt

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1 Eindexamen wiskunde B havo 0 - II Beoordelingsmodel Tonregel van Kepler maximumscore 6 G = B = π 9 ( 64) (cm ) Voor de cirkel op halve hoogte geldt: πr = (met r de straal van de cirkel in cm) Hieruit volgt

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2001-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2001-I Eindexamen wiskunde B- vwo 00-I 4 Antwoordmodel Boottocht Het gezochte punt is het snijpunt van en de middelloodlijn van het lijnstuk van het punt P aximumscore 6 = =, met het midden van dus = 90 Het punt

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

wiskunde B havo 2016-I

wiskunde B havo 2016-I Blokkendoos Op foto 1 zie je een blokkendoos gevuld met houten blokken. De blokkendoos bevat onder andere vier cilinders met een diameter van 5 cm en een hoogte van 10 cm. Deze vier cilinders zijn op foto

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007 MINISTERIE VAN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXAMENUREAU UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 007 VAK : WISKUNE ATUM : TIJ : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 007 VK : WISKUNE TUM: WOENSG 04 JULI 007 TIJ : 09.45.5 UUR (TOELTING VWO/HVO/NTIN) 09.45.45

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld.

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt voorspeld. Windenergie Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1 (nieuwe stijl) Wiskunde B (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 0 Tijdvak Inzenden scores Uiterlijk op 0 mei de scores van de alfaetisch eerste tien kandidaten per school op

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I

Eindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I Eindexamen wiskunde B1 vwo 00-I Verschuivend zwaartepunt Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten 10 bij 10 bij 10 cm en weegt 1 kilogram. Het zwaartepunt B van de bak ligt in het centrum van

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Examen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 201 tijdvak 1 vrijdag 17 mei 1.0-16.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met

Nadere informatie