sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )"

Transcriptie

1 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g( x = cos( x g( x = cos( x heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. translatie (, 0 y = sin( x h( x = sin( x + h( x = sin( x + heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. translatie (, 0 y = cos( x j ( x cos( x j ( x cos( x = + = + heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. translatie (, 0 y = sin( x k( x = sin( x + k( x = sin( x + heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. translatie (, 0 y = cos( x l ( x = cos( x + l ( x = cos( x + heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. a c sin( α O α α cos( α = sin( α α + O cos( α + α cos( α cos( α + = cos( α cos( α b d sin( α α + O α sin( α + = sin( α O α cos( α sin( α sin( α + De stelling van Pythagoras geeft: sin ( α + cos ( α = a sin( x + = cos( x + = cos( x. b cos( x + = sin( x + + = sin( x +. c sin( x = sin( x + = sin( x + = cos( x + = cos( x. d cos(x + = cos(x + + = cos(x + = sin(x + + = sin(x + = sin( x +. a (sin( x cos( x = sin ( x sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x sin( x cos( x = sin( x cos( x sin cos sin cos sin = + = + = tan ( x +. cos ( x cos ( x cos ( x x + x x x x b ( cos( x sin ( x + tan ( x cos ( x = + cos ( x cos ( x sin ( x. = + = cos ( x c a sin ( x + cos( x = cos ( x + cos( x. cos ( x + sin( x = sin ( x + sin( x = sin ( x + sin( x = sin ( x + sin( x. b c sin ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos( x. sin( x = cos( x + cos( x = cos( x + + cos( x = cos( x + hiernaast gaat het verder x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] geeft x = x = x = x =.

2 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / 7a sin( x + = cos( x 7d cos( x = cos(x + cos( x + = cos( x cos( x = cos(x + + x = x k x = x + k x = x + k x = x + k x = + + k x = + k x = k x = k x = k x = k x = + k x = + k x op [0, ] x = 0 x = x = x op [0, ] x = + x = x = x =. x =. 7b sin( x = cos( x 7e sin( x + = sin( x cos( x = cos( x + sin( x = sin( x sin( x = x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k 8 x op [0, ] x = x =. x op [0, ] x = x = x = x = 7 x = x = c sin ( x + cos( x = 7f sin ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos( x = ( cos ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos( x ( cos( x = 0 cos ( x + cos( x + = 0 cos( x = 0 cos( x = cos ( x cos( x = 0 x = + k x = + k x = ( cos( x ( cos( x + = 0 + k cos( x = (kan niet cos( x = x op [0, ] x = x = x = x =. x = + k x op [0, ] x =. 8a cos( t = sin( t 8b cos( t = cos( t t = t + k t = t + + k t = + k t = + k t = + k t = + k t op [0, ] t = t = t = t = t =. sin( t = cos( t cos( t = cos( t + t = t + + k t = t + k t = + k 7t = + k t = 9 + k t = + k 7 7 t op [0, ] t = t = t =. 7 9a sin( x = sin( x 9d --- sin( x = 0 9e sin( x = sin( x + x = k x = x + + k x = ( x + + k 9b sin( x = sin( x x = x + k x = x + k x = + k x = x + k x = k x = + k x = + k x = + k x = k x = + k x = + k x = + k 9 9c --- 9f --- 0a verm. in de y -as, verm. in de x -as, y = cos( x y = cos( x g( x = cos( x. 0b Zie de schets hiernaast. f g 0c f ( x = sin( x = x = + k x = + k x op [0, ] x = 7 = x = =. 0e f ( x = g( x sin( x = cos( x 0d g( x = cos( x = cos( x = cos( x + cos( x = x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x = x =. x op [0, ] x = x = x =. f ( x g( x (zie de schets x = x

3 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / a f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand 0; amplitude ; periode = en beginpunt (, 0. g( x = cos( x + heeft evenwichtsstand 0; amplitude ; periode en laagste punt (,. b Gebruik de plot hiernaast voor een schets van de grafieken. c f ( x = sin( x = 0 g( x = cos( x + = 0 x = k g cos( x + = 0 x = + k x + = + k f x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x =. x op [0, ] x = x =. De nulpunten van f zijn, en. De nulpunten van g zijn en x =. d f ( x = sin( x = e f ( x = g( x sin( x = cos( x + x = + k x = + k cos( x = cos( x + + x = + k x = + k cos( x = cos( x + x = + k x = 7 + k x = x + + k x = x + k x op [0, ] x = x = x = 7. x = + k x = + k f ( x > (zie plot < x < 7 < x. x = + k x = + k 9 x op [0, ] x = 0 x = x =. 9 9 f ( x < g( x (zie plot < x <. 9 9 a AB = ya yb = ya = sin( α. b AB = OA + OB OA OB cos AOB b cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u ( sin( α = + cos( α u vervangen door u geeft sin ( α = cos( α cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u cos( α = sin ( α sin( t + u = cos( t sin( u sin( t cos( u cos( α = sin ( α. sin( t + u = cos( t sin( u + sin( t cos( u sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u. a cos( t u = cos( t cos( u + sin( t sin( u u vervangen door u geeft cos( t ( u = cos( t cos( u + sin( t sin( u cos( t + u = cos( t cos( u + sin( t sin( u cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u. c sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u u vervangen door u geeft sin( t + ( u = sin( t cos( u + cos( t sin( u sin( t u = sin( t cos( u + cos( t sin( u sin( t u = sin( t cos( u cos( t sin( u. a sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u t en u beide vervangen door A geeft sin( A + A = sin( A cos( A + cos( A sin( A sin( A = sin( A cos( A. cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u t en u beide vervangen door A geeft cos( A + A = cos( A cos( A sin( A sin( A cos( A = cos ( A sin ( A. a cos( A = cos ( A cos ( A = cos( A cos ( A = + cos( A. b b cos( A = cos ( A sin ( A (zie a cos( A = cos ( A cos ( A cos( A = cos ( A + cos ( A cos( A = cos ( A. cos( A = cos ( A sin ( A cos( A = sin ( A sin ( A cos( A = sin ( A (zie ook b. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. a sin( x cos( x = sin( x c sin( x cos( x = sin( x sin( x = sin( x sin( x = sin( x x = x + k x = x + + k x = + k x = + + k x = + k x = + + k. sin ( x = cos( x + Gebruik: cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A cos( x = cos( x + cos( x = cos( x = x = + k x = + k.

4 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / b cos ( x = cos( x + cos ( x = cos ( x + cos ( x = cos ( x = cos( x = ± = ± = ± x = + k x = + k. 8 d sin( x + cos( x = sin ( x + sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x + sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. 7a Evenwichtsstand ; amplitude ; periode en beginpunt (hoogste punt bij cosinus (0,. Dus y = + cos( x. 7b cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A y = sin ( x + cos( x = cos( x + cos( x = + cos( x. 8 sin( x = sin( x + x = sin( x cos( x + cos( x sin( x = sin( x cos( x cos( x + sin ( x sin( x = sin( x cos ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x. 9b cos( x = cos( x + x = cos( x cos( x sin( x sin( x = cos ( x cos( x sin( x cos( x sin( x = cos ( x cos( x sin ( x cos( x = cos ( x cos( x cos ( x cos( x = cos ( x cos( x cos( x + cos ( x = cos ( x cos( x. 9a cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A. y = cos( x sin ( x = cos( x ( cos( x = cos( x. 9b staat hierboven uitgewerkt. 0a cos( A = cos( A +. 0c cos( A = sin ( A of sin ( A = cos( A. 0b sin( A = cos( A. 0d cos( A = cos ( A of cos ( A = + cos( A. 0e cos( A = sin( A +. Voor B geldt: xb = xa en yb = ya. Voor C geldt: xc = xa en yc = ya. a Voor elke p geldt: f ( p = p cos( p = p cos( p = f ( p. f ( p = f ( p f ( p + f ( p = 0 f is (puntsymmetrisch in O. b Voor elke p geldt: g( p = p sin( p = p sin( p = p sin( p = g( p g is (lijnsymmetrisch in de y -as. a b a Voor elke p geldt: f ( p = cos ( psin( p = cos ( p sin( p = cos ( psin( p = f ( p. f ( p = f ( p f ( p + f ( p = 0 f is symmetrisch in O. + p f ( p = cos ( psin( p = cos ( + psin( + p = f ( + p. Dus f is symmetrisch in de lijn x =. Gebruik: cos( p = cos( + p (kwadr. cos ( p = cos ( + p cos ( p = cos ( + p. O f ( p = sin( p cos( p = sin( cos cos( sin cos( cos + sin( sin ( p p ( p p ( p p ( p p = cos sin cos + sin = cos( p sin( p cos( p + sin( p = cos( p. p

5 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / b f ( + p = sin( + p cos( + p = sin( cos + cos( sin cos( cos sin( sin ( p p ( p p ( p p ( p p = cos + sin cos sin = cos( p + sin( p cos( p sin( p = cos( p. Voor elke p geldt: f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x =. a f ( p = cos( p + sin( p + = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = cos( p +. f ( + p = cos( + p + sin( + p + = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin( p + = cos( p +. Er geldt: f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x =. Alternatieve uitwerking f ( + p = cos( + p + sin( + p + (gebruik de eenheidscirkel hiernaast = sin( p + cos( p + = cos( p + sin( p + = f ( p. O f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x = b f ( p = cos( p + sin( p + = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = sin( p +. f ( + p = cos( + p + sin( + p + = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin( p + = sin( p +. f ( p + f ( + p = sin( p + sin( p + = f is symmetrisch in het punt (,. + p p a b f ( x = sin( x waarschijnlijk is f '( x = cos( x. c f ( x = cos( x waarschijnlijk is f '( x = sin( x. 7a Zie de plot van y hiernaast. 7b f ( x = sin( x f '( x = cos( x. 7c f ( x = cos( x f '( x = sin( x. 8 f ( x = cosx = sin( x + f '( x = cos( x + = sin( x. 9 f ( x = sin( ax + b f '( x = cos( ax + b a = a cos( ax + b. g( x = cos( ax + b g '( x = sin( ax + b a = a sin( ax + b. 0a f ( x = + sin( x f '( x = cos( x = 8cos( x. 0b g( x = 0 + cos( ( x g '( x = sin( ( x = 8sin( ( x. 0c h( x = x cos( x h'( x = cos( x + x sin( x = cos( x x sin( x. 0d j ( x = x cos( x j '( x = cos( x + x sin( x = cos( x x sin( x.

6 0e G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / k( x = x sin( x k '( x = x sin( x + x cos( x = x sin( x + x cos( x. 0f l ( x = x sin( x l '( x = sin(x + x cos(x = sin(x + x cos(x. a f ( x = tan( x f '( x = =. cos ( x cos ( x tan tan ' tan sin( x sin( x g x = x = x g x = x = = cos cos( x. x cos ( x cos ( x b sin( x c h( x = cos( x tan( x = cos( x = sin( x h'( x = cos( x. cos( x I f ( x = sin ( x = sin( x sin( x f '( x = cos( x sin( x + sin( x cos( x = sin( x cos( x. II f ( x = sin ( x = sin( x f '( x = sin( x cos( x. III f ( x = sin ( x = cos( x f '( x = sin( x = sin( x. Mijn persoonlijke voorkeur gaat uit naar II omdat in dit geval f ( x niet hoeft te worden herschreven. a f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. b g( x = sin ( x = sin( x g '( x = sin( x cos( x. c h( x = + cos ( x = + cos( x h'( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. d j ( x = x + sin ( x = x + sin( x j '( x = + sin( x cos( x. f ( x = sin ( x = sin( x f '( x = sin ( x cos( x. a g( x = x sin ( x = x sin( x g '( x = sin ( x + x sin( x cos( x = sin ( x + x sin( x cos( x. b c h( x = cos ( x = cos( x h'( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. d j ( x = cos ( x = cos( x j '( x = cos( x sin( x x = x sin( x cos( x. f ( x = sin ( x + sin( x = sin( x + sin( x f '( x = sin ( x cos( x + cos( x a g( x = sin ( x cos( x = sin( x cos( x b = cos( x cos ( x + cos( x = cos( x cos ( x. g '( x = sin( x cos( x cos( x + sin ( x sin( x = sin( x cos ( x sin ( x = sin( x sin ( x sin ( x = sin( x sin ( x sin ( x = sin( x sin ( x. tan( x sin( x sin sin cos sin cos cos ' cos sin x x x x x. cos ( x c h x = = = = ( x h x = ( x x = a f ( x = + sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode en beginpunt (,. b Horizontale raaklijnen in de toppen bij x = + = en x = + =. f 7a f ( x = + sin( x = + sin(( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (,. Hoogste punten zijn ( + + k, + = ( + k, 0. Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. De toppen zijn ( + k, 0 en ( k,.

7 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 7/ 7b g( x = + cos( x + = + cos( ( x + heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (hoogste punt (, + = (,. Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. 7c h( x = sin( x + heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt ( +, = (,. Hoogste punten zijn ( + + k, + = ( + k,. beginpunt bij een sinus-grafiekis een punt waar de Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. grafiek STIJGEND door de evenwichtsstand gaat 7d j ( x = cos( x heeft evenwichtsstand ; ampl. ; periode = en beginpunt (0 +, + = (,. Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( k,. beginpunt van een cosinusgrafiek is een hoogste punt 8a 8b f ( x = cos( x sin( x + f '( x = sin( x cos( x. f '( x = 0 sin( x cos( x = 0 sin( x = cos( x cos( x = cos( x + x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k. Dus x A = ; x B = ; x C = ; en x D =. y A = f = cos sin + = + = A(, ; y ( cos( sin( (, B = f = + = + = + + = B ; y ( cos sin( C = f = + = + = + + = C (, en y ( cos( sin( (, D = f = + = + = + + = D. f (0 = f = cos(0 sin(0 + = 0 + = Dus f ( x = p heeft vier oplossingen (zie ook figuur. voor p <. 9a f ( x = x + cos( x f '( x = sin( x. f '( x = 0 sin( x = 0 sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. x op [0, 7] x = x = x =. 9b f '( x = sin( x = sin( x = sin( x = x = + k x = + k x op [0, 7] x = x =. f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos ( x sin( x = sin( x cos ( x. 0 f '( x = 0 sin( x cos ( x = 0 sin( x = 0 cos( x = 0 x = k x = + k x op [0, ] x = 0 x = x = x = x =. De punten zijn (0, ; (, 0; (, ; (, 0 en (,. a cos( x ( sin( x sin( x cos( x cos( x sin( x + sin ( x + cos ( x sin( x + f ( x = f '( x = = =. sin( x ( sin( x ( sin( x ( sin( x cos( x f ( x = 0 = 0 (teller = 0 cos( x = 0 x = + k. Nu x op [0, ] x = x =. sin( x x = (en y = 0 S (, 0 y = x + b sin + 0 b b, dus k: y x. rc f ' + door S (, 0 = + = = + = = = = ( sin

8 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 8/ b x = (en y = 0 S (, 0 y = x + b sin b b, dus l : y x. rc f ' + door S (, 0 = + = = = = = = ( 9 sin( sin( x + f '( x = = 0 (teller = 0 sin( x + = 0 sin( x = sin( x = x = x = (op [0, ]. sin( x cos( randmaximum (zie plot is f = = = sin( 0 cos( maximum (zie plot is f = = = = > B sin f = [, ]. cos minimum (zie plot is f = = = =. sin( a F ( x = cos( x F '( x = sin( x = sin( x = f ( x. b G ( x = sin( x G '( x = cos( x = cos( x = g( x. a f ( x = sin( x F ( x = cos( x + c = cos( x + c. b g( x = x cos( x G ( x = x sin( x + c = x sin( x + c. c h( x = sin( x + H ( x = cos( x + + c = cos( x + + c. d j ( x = cos( x J ( x = sin( x + c = sin( x + c. + cos d = + sin = + sin = + = a ( x x x x x b ( x sin( x dx = x + cos( x = + cos ( + cos(0 7 = + + = f ( x = + cos( x = 0 cos( x = cos( x = x = + k x = + k x = 9 + k x = + k x = + k x = + k. Er geldt: x op [0, ] x = x =. O ( V = ( + cos( x dx = x + sin( x = + sin( + sin( V = + + = +. g( x = sin ( x = sin( x g '( x = sin ( x cos( x f ( x. Dus g( x = sin ( x is geen primitieve van f. a bc cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. f ( x = sin ( x = cos( x F ( x = x sin( x + c = x sin( x + c. 7a 7b 7c cos( A = cos ( A cos( A + = cos ( A cos( A + = cos ( A. f ( x = cos ( x = cos( x + F ( x = sin( x + x + c = sin( x + x + c. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. g( x = sin ( x = cos( x G( x = x sin( x + c = x sin( x + c. sin( A = sin( Acos( A sin( A = sin( Acos( A. h( x = sin( x cos( x = sin( x H ( x = cos( x + c = cos( x + c.

9 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 9/ 8a 8b f ( x = tan ( x = + tan ( x F ( x = tan( x x + c. g( x = x + tan ( x = x + + tan ( x G ( x = x + tan( x x + c. 9a 9b 0 sin( A = sin( Acos( A sin( A = sin( Acos( A. sin( x cos( x dx sin( x dx cos( x cos( cos(0 = = = = + = + = cos( A = sin ( A cos( A = sin ( A cos( A = sin ( A. ( sin ( x dx ( cos( x dx sin( x x = + = + = sin ( sin + 8 cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. I ( L = f ( x dx = sin ( x dx = cos( x dx = = =. ( x x = sin = sin 0 sin(0 = = V f ( x = sin( x + sin( x f '( x = sin( x cos( x + cos( x. a f '( x = 0 sin( x cos( x + cos( x = 0 cos( x sin( x + = 0 cos( x = 0 sin( x = x = + k sin( x = x = x = sin( x =. x f sin ( sin( = = + = + = + 0 =. x = f = sin + sin = ( + = = 0. sin( x = f ( x = ( + = = = = Randextreem: f (0 = f = =. Dus B [ f =, ]. 8 b f ( x = 0 sin ( x + sin( x = 0 (stel sin( x = t t + t = 0 D = b a c = = + 8 = 9 D =. t = sin( x = ± t = sin( x = t = sin( x = (met x op [0, ] x = (zoeken we niet x = x =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A. ( sin ( x sin( x dx ( cos( x sin( x dx sin( x cos( x + = + = = sin( cos( sin( cos( = = =. f ( x = 0 sin ( x + sin( x + = 0 sin( x + = 0 sin( x = x = x =. f (0 = = > 0 het ingesloten gebied loopt van x = tot x =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. ( sin ( x sin( x dx ( cos( x sin( x dx x sin( x cos( x + + = + + = ( = sin( cos( sin( cos( = = + + = + =

10 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 0/ a b f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (,. Zie de grafiek van f ( x = sin( x hiernaast. f ( x = 0 sin( x = 0 sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. x[0, ] x = x =. (het gevraagde gebied ligt ONDER de x -as O ( V f ( x dx = = ( + sin( x dx x cos( x x cos( x = + = = cos( cos( = cos( cos( = = =. c = = ( = ( + I ( L f ( x dx sin( x dx 9sin( x 9sin ( x dx Nu is: cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. ( ( = 9sin( x + 9 cos( x dx = x cos( x x sin( x ( x 8cos( x sin( x + = + 7 ( 8cos( 9 sin( 7 9 ( 8cos sin ( ( 8 = + + = + + = = 9. a y P = sin( ct en de periode is = c =. c Of voor t = is y sin( P = = sin (de sinus heeft dan precies één periode doorlopen b Formule II: x cos( P = t. rcy = x + = AMB = ( AMB is een -- driehoek AB = MB. AM = AB = MB = = = =. xa = xm AB = en ya = ym + AB = +. t = y = x + A B a t = 0 P (,. P draait linksom. t op [0, ] driekwartcirkel. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt M(, en straal. t = M t = 0 b x = 0 + cos( t = 0 cos( t = cos( t = ( t op [0, ] t =. t = y sin( (0,. A = + = + = + A + c rc y = x + = bij B hoort t = en bij C hoort t =. t = x cos( en sin(. B = + = + y B = + = + t = x cos( en sin(. C = + = y C = + = C t = d x = + cos( t = (intersect of cos( t = cos( t = t = + k t = + k. t op [0, ] t =, 09 t =,9. x < (zie driekwartcirkel of plot, 09 < t <,9.

11 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / 7a xp = + cos( t en yp = + sin( t. (met t in seconden 7b De eerste rondgang van t = 0 tot t =. y = 0 ( x -as + sin( t = 0 (intersect t,9 t,78. y < 0 (zie plot,9 < t <,78. Dus 0,8 seconden per rondgang. 8a t = 0 P (,. P draait linksom. t op [0, ] t op [0, ]. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt M(, en straal. 8b y = 0 ( x -as + sin( t = 0 sin( t = sin( t = t = + k t = + k t = + k t = (deze zoeken we + k. x cos( ( A = + = + = A, 0. 8c x = + cos( t = cos( t = cos( t = t = + k t = + k t = + k t = + k. t op [0, ] t = t =. Dus x < (zie de baan bij 8a < t <. 8d y = + sin( t = (intersect t,. Dus y < (zie 8a of de plot, < t. x = A t = M t = t = y = t =0 9a y = x + sin( t = cos( t + (met 0 t < intersect geeft dan t, en y,8 x = y = 0,8 snijpunt (0,8;,8 of t,7 en y 0,8 x = y =,8 snijpunt (,8; 0,8. 9b 9c 9d x = cos( t = cos( t = t = + k t = + k. Er geldt nu: x > voor < t <. De baan van P is een cirkel met middelpunt (0, 0 en straal. Dus ligt = deel van de cirkel rechts van de lijn x =. (omtrek van een cirkel = r De lengte van het deel rechts van de lijn x = is =. P (cos( t, sin( t en Q(cos( t, sin( t. Nu de stelling van Pythagoras: PQ = ( cos( t cos( t + ( sin( t sin( t = cos ( t cos( t cos( t + cos( t + sin ( t sin( t sin( t + sin ( t = cos ( t + sin ( t + cos( t + sin ( t cos( t cos( t sin( t sin( t = cos ( t + sin ( t + cos( t + sin ( t cos( t cos( t + sin( t sin( t = + cos( t t = cos( t. Dus PQ = cos( t. PQ = cos( t = (intersect t 0,8 t, 7. PQ = cos( t > (zie plot 0,8 < t <, 7. Dus gedurende, seconde per rondgang. 0a De translatie (, 0. 0b x Q = cos( ( t en y sin(. (met t in seconden Q = t a De omlooptijd T = = = seconden. Na = seconde (voor t = bevindt P zich in (7,. Dus x cos( ( en sin( ( P = + t y. (met t in seconden P = + t b t = x cos( (, en sin( ( P = + y,8. P = + c Na = (voor seconde t = bevindt P zich voor het eerst in (,. t = 0 t =

12 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / d y = x + ( t = P ( P ( 0 ( -as sin 0 (intersect t 0, 9 x = + cos ( t, snijpunt met x -as (,; 0. t,9 x = + cos ( t, 7 snijpunt met x -as (, 7; 0. a b c xp = + cos ( yp = + sin ( ( t 0 ω = = ( t in seconden. = ( t 0 ( ( 0 0 ( t in seconden. ( 0 ( 0 ( ( ( 0 0 ( ( ( xq = + cos ( t + = + cos ( t + yq = + sin ( t + = + sin ( t + xr = + cos t = + cos ( t = + cos ( t yr = + sin t = + sin ( t = + sin ( t 0 0 Dus R loopt seconde achter op P of (omdat de omlooptijd seconde is ( t in seconden. (, seconde voor op P. t = 0 (, a b c Omlooptijd is = seconde. x cos cos cos P = + t xq = + t = + t y en P sin( t = + y Q = + sin ( t = + sin t ( ( ( ( ( t in seconden. Op t = 0 heeft P een fasevoorsprong van op (,. Q heeft een fasevoorsprong van op P fasevoorsprong van Q op (, is + =. xq = + cos( ( t + = + cos( ( t + ( t in seconden. y sin Q = + ( ( t + = + sin ( ( t + Op t = 0 heeft P een fasevoorsprong van op (,. Q heeft een faseachterstand van op P fasevoorsprong van Q op (, is =. xq = + cos( ( t + = + cos( ( t + 8 ( t in seconden. y sin Q = + ( ( t + = + sin ( ( t + 8 (, (, (, O (, a De fasevoorsprong van Q op P is. De faseachterstand van R op P is. c De fasevoorsprong van 7 Q op R is + = ( > 7 Q en R is = a b Omlooptijd in stand I is seconde ω = = = 0 rad/sec. Q heeft een faseachterstand van op P x 0cos ( 0 0cos ( 0 P = 0 cos(0 t xq = t = t en yp = 0 sin(0 t y 0 sin Q = ( 0 ( t = 0sin ( 0 ( t 0cos xr = ( 0 ( t + R P t y 0sin R = ( 0 ( t + ( t in seconden. heeft een fasevoorsprong van op, dus ( in seconden. v = 08 km/uur = 0 m/s = 000 cm/s. Omlooptijd bij II is 0 = sec Dus ω = : = 00 = 0 rad/sec. 00 xp = 0cos(0 t ( t in seconden. yp = 0sin(0 t

13 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / a De diameter van rol II is de helft van rol I, dus de omlooptijd van rol II is de helft van de omlooptijd van rol I. x 0cos( P = t = 0 cos( t cos xq = + t + en y 0sin( ( t in seconden. 0sin yq sin( P = t = t = t + b Omlooptijd rol II is sec. elke seconde loopt = 0 cm papier tussen de rollen door. Dat is per uur = 000 cm 097 cm m. 7a xp = + cos( t ( t in seconden. yp = + sin( t 7b t =, xp = + cos(,, en yp = + sin(,,. 7c De baan wordt in negatieve richting (met de wijzers van de klok doorlopen. (, periode is = seconde t =, t = en t =. M 7d x = 0 ( y -as + cos( t = 0 cos( t = cos( t = A B t = + k t = + k t = + k t = + k. t = y = + sin( = + = + P (0, +. (, t = y = + sin( = = Q(0,. Alternatieve uit werking: NP = = NP = = P (0, + en Q(0,. 7e cos AMB = AMB,8 (rad De lengte van de boog onder de x -as is Ans 0,. Alternatieve uitwerking: y = 0 ( x -as + sin( t = 0 (intersect t 0, 08 t 0, 9. y < 0 (zie plot 0,08 < t < 0,9. Dus ongeveer 0,8 seconden van de seconden per omwenteling onder de x -as. De lengte van de boog onder de x -as is Ans 0,. P (, N O Q 8a T = 0 ω = = rad/min. Op t = 0 zit Frits in het hoogste punt. 0 x Frits = 7 cos ( ( t + 0 = 7 cos( t + Voor Frits geldt: ( in m y Frits 7 7 sin ( ( t sin( t t inuten. = + + = + + 8b Saskia heeft = faseachterstand op Frits. 8 x Saskia = 7 cos ( ( t = 7 cos ( ( t ( t in minuten. y Saskia = sin ( ( t = sin ( ( t c De omtrek van het reuzenrad wordt afgelegd in 0 minuten Dus 7 meter in 0 minuten 88 m/uur de snelheid is ongeveer 0,8 km/uur. 8d y = sin( t = 00 (intersect t, 0 t, 0 y > 00 (zie plot, 0 < t <, 0. Dus gedurende ongeveer 0, minuten seconden boven 00 meter. Alternatieve uitwerking :, cos( α = α, 08 (rad. 7, Dus gedurende α 0 0, min. sec. boven 00 meter., α 7, 7, O

14 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / Diagnostische toets Da cos( x = cos( x + = cos( x + = sin( x + + = sin( x +. Db sin( x + cos( x = sin ( x + sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x + sin( x cos( x = + sin( x. + cos( x sin ( x = + cos( x cos ( x = + cos( x + cos ( x = cos ( x + cos( x. Dc Da sin( x = cos( x Dc cos( t = sin( t cos( x = cos( x sin( t + = sin( t + x = x + k x = x + k t + = t + + k t + = t + k x = + k x = + k 7 t = + k 7 t = + k 0 0 x = + k x = + k 0 t = + k 0 t = + k x op [0, ] x = x = x = x = t op [0, 0] t = t = t = 0 t = Db sin ( x = sin( x + sin( x = sin ( x sin( x + = cos( x cos( x + = cos( x x + = x + k x + = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x = 7 x = x = 9 x =. Da D sin( x + = sin( x cos( x Db sin ( x + = cos( x sin( x + = sin( x sin ( x + = sin ( x x + = x + k x + = x + k sin ( x = x = + k x = + k sin ( x = x = + k x = + k. 9 sinx = ± x = + k x = + k x = + k x = + k. sin( x cos( x sin( x sin( x sin( x cos( x sin( x cos( x cos ( x cos ( x cos( x tan( x tan( x = = = = = = cos( x. cos ( x sin ( x cos ( x sin ( x cos ( x sin ( x sin( x tan ( x cos ( x cos ( x cos ( x cos( x D f ( p + f ( + p = sin( p + cos( p + sin( + p + cos( + p = sin( p + sin( p sin( p sin( p = 0 f is symmetrisch in het punt (, 0. Da f ( x = cos( x + sin( x f '( x = sin( x + cos( x. f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos( x sin( x = sin( x cos ( x. Db Dc Dd cos( x ' sin( x sin( x cos( x cos( x sin ( x cos ( x f x = f x = = =. sin( x sin ( x sin ( x sin ( x f ( x = x sin( x f '( x = x sin( x + x cos( x = x sin( x + x cos( x. De sin tan( ' cos tan sin sin cos cos tan x f x = x x f x = x x + x = x x + cos. x x Df sin( x sin( x sin( x tan( x cos( x cos( x tan( x cos ( x cos ( x cos( x cos ( x f ( x = f '( x = = sin( x sin ( x sin ( x cos ( x sin( x sin( x cos( x cos( x =. sin ( x cos ( x tan( x sin( x + tan ( x tan( x cos( x sin( x + sin( x tan ( x tan( x cos( x OF... f ( x = f '( x = =. sin( x sin ( x sin ( x

15 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / D7a f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt ( +, = (,. Hoogste punten zijn ( k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( 8 + k, = ( + k,. D7b f ( x = + cos( x = + cos(( x heeft 8 evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (, + = (,. 8 8 Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. 8 8 Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. 8 8 D8a f ( x = sin( x sin( x f '( x = cos( x cos( x. f = sin sin = 0 0 = 0 A(, 0 en rc = f ' = cos cos = = + =. y = x + b 0 = + b = b. Dus de raaklijn in A(, 0 is y = x. door A(, 0 D8b f '( x = cos( x cos( x = 0 cos( x = cos( x cos( x = cos( x x = x + k x = x + k x = k x = k x = k x = k. Dus (zie ook figuur. x en. B = x C = y ( sin( sin( B = f = = = = B(,. y 8 C = f = sin sin = = + = C (,. D8c f '( x = cos( x cos( x = cos( x cos( x = cos ( x cos( x + = 0 cos ( x cos( x = 0 cos( x ( cos( x = 0 cos( x = 0 cos( x = x = + k x = + k x = + k. x op [0, ] x = x = x = x =. f ( = sin( sin( = = = raakpunt (,. f ( = sin sin( = 0 = raakpunt (,. f ( = sin sin( = 0 = raakpunt (,. f ( = sin( sin( = = + = raakpunt (,. D9a f ( x = sin( x + F ( x = cos( x + + c = cos( x + + c. D9b g( x = x + cos( x G( x = x + sin( x + c = x + sin( x + c. h( x = x sin ( x = x + sin ( x = x + cos( x H ( x = x + sin( x x + c. D9c D9d k( x = + tan ( x = + + tan ( x K ( x = x + tan( x + c. D0a ( sin( x + cos( x dx = cos( x + sin( x = cos + sin ( cos + sin D0b sin ( x dx cos( x dx x sin( x = = = + + = + + =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A = sin( ( sin = + =. D ( f ( x dx = cos ( x dx = ( + cos( x dx = ( x + sin( x cos( A = cos ( A + cos( A = cos ( A + cos( A = cos ( A = ( + sin ( + sin = =.

16 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / t = A Da De baan is een driekwartcirkel met middelpunt (, 0 en straal. t op [0, ] t op [0, ] driekwartcirkel. Db x = + cos( t = cos( t = cos( t = t = + k t = + k t = + k t = + k. Dus t = en y sin( sin( (,. A = = = A Dc In MDC geldt: sin M = CD = = M =. MC CME = =. Dus de lengte boog CE is omtrek cirkel = = = 8. t = E M O t = x = C y = t = 0 D Da Db Dc De omlooptijd is seconden ω = =. cos( xp = + ( t De parametervoorstelling voor de baan van punt P is: (met t in seconden. y sin( P = + ( t Punt Q met seconde achterstand op P geeft als parametervoorstelling voor de baan van Q : xq = + cos( ( t cos( xq = + t (met t in s y sin( econden. ( sin( Q = + t y Q = + t Punt R met een fasevoorsprong van op P geeft een voorsprong van = seconde. De parametervoorstelling voor de baan van R is: xr = + cos( ( t + x cos( ( R = + t y sin( ( (met t in seconden. R = + t + y sin( ( R = + t

17 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 7/ Gemengde opgaven 0. Goniometrie en beweging sin( x cos( x sin( x Ga = = tan( x. sin ( x cos( x Gb cos ( x sin ( x = cos ( x + sin ( x cos ( x sin ( x = cos( x = cos( x. sin( x sin( x cos( x sin( x Gc = = = tan( x. + cos( x cos ( x cos( x Gd cos( x y cos( y sin( x y sin( y = cos( x y + y = cos( x. Ga sin( x cos( x = Gc cos( x + = sin( x sin( x cos( x = sin( x + + = sin( x + sin( x = x + = x + + k x + = x + k x = + k x = + k geen oplossing x = + k x = + k x = + k. x = + k. Gb cos( x = sin( x Gd cos( x sin ( x = cos( x = cos( x cos( x + cos( x = x = x + k x = x + + k cos( x = cos( x = x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k. x = + k x = + k. 8 G7a f ( x = f ( x = g( x g( x = sin( x = sin( x = cos( x cos( x = x =. x =. x =. O V = ( sin( x dx ( cos( x dx cos( x x sin( x x + = + = cos( cos( + sin( sin( = = G7b I ( L = sin d cos d ( x x + x x = ( cos( x dx + ( + cos( x dx ( x sin( x ( x sin( x sin( ( sin( + ( + sin ( + sin = + + = = = omtrek f '( x dx g '( x dx G7c = = + cos ( x dx sin ( x dx (fnint, f ( x = cos( x + sin( x f '( x = cos( x sin( x + cos( x = sin( x + cos( x. G8a f '( x = 0 sin( x + cos( x = 0 cos( x = sin( x cos( x = sin( x cos( x = cos( x x = x + k (geen oplossing x = x + + k x = + k x = + k. 8 f ( x = cos ( x + sin( x = cos ( x + + sin( x = cos( x + + sin( x. absoluut maximum (zie fig G. : f ( = cos( + + sin( = + + = + 8 absoluut minimum (zie fig G. : f ( B f = [, + ]. = cos + + sin = + = 8

18 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 8/ G8b f ( x = g( x cos ( x + sin( x = sin( x O ( V = ( sin( x ( cos ( x + sin( x dx cos ( x = sin( x cos ( x = sin( x cos( x = cos ( x sin( x cos( x = 0 ( sin( x cos ( x dx cos( x ( cos( x sin( x = 0 cos( x = 0 cos( x = sin( x = ( sin( x cos( x dx x = + k cos( x = cos( x x = + k x = x + k x = x + + k = cos( x sin( x x x = + k geen oplossing x = + + k x = + k x = = cos sin + cos( + sin( + + k. x op [0, ] x = x = = =.. G8c C het midden van AB als g( p = f ( p sin( p = cos ( p + sin( p sin( p = cos ( p sin( pcos( p = cos( pcos( p sin( p cos( p = 0(voldoet niet sin( p = cos( p = tan( p = tan( p =. cos( p G9a De grafiek van f (dezelfde als in G8 is vermoedelijk lijnsymmetrisch in de verticale lijn door de eerste top rechts van de y -as. Vermoedelijk lijnsymmetrisch in de lijn x =. (zie de berekening in G8a 8 f ( + p = cos ( + p + sin( + p = cos ( + p + + sin( + p = cos( + p + sin( + p = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin(p + = cos( p +. f ( p = cos ( p + sin( p = cos ( p + + sin( p = cos( p + sin( p = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = cos( p +. f ( + p = f ( p (voor elke p de grafiek van f is symmetrisch in de lijn x = G9b Vermoedelijk puntsymmetrisch in A(,. ( A precies midden tussen de toppen bij x = en x = zie G8a f ( + p = cos ( + p + sin( + p = cos( + p + sin( + p = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p + sin( p cos( p + sin( p + = sin( p +. f ( p = cos ( p + sin( p = cos( p + sin( p = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p sin( p cos( p sin( p + = sin( p +. f ( + p + f ( p = sin( p + + sin( p + = f is symmetrisch in A(, f ( x = 0 sin ( x + sin( x = 0 sin( x sin( x + = 0 sin( x = 0 sin( x = x = k x = + k x = + k. x op [0, ] nulp.: x = 0 x = x = x = x =. O ( V = sin ( x sin( x dx cos( x sin( x dx x sin( x cos( x = = sin cos ( 0 sin(0 cos(0 = 0 + ( 0 0 = +. G0a G0b G0c f ( x = sin ( x + sin( x = sin( x + sin( x f '( x = sin( x cos( x + cos( x f '( x = 0 sin( x cos( x + cos( x = 0 cos( x = 0 sin( x + = 0 x = + k sin( x =. x = f ( x = f = sin + sin = ( + = =. sin( x = f ( x = ( + = = =. 8 f ( x = p heeft precies vier oplossingen (zie figuur G. en de berekening hierboven voor < p < 0 0 < p <. 8

19 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 9/ L(grafiek van f = + f '( x dx = + sin( x cos( x + cos( x dx (fnint,07. G0d 0 0 Ga g( x = sin( x + cos( x g '( x = cos( x sin( x. g '( x = 0 cos( x = sin( x cos( x = cos( x x = x + k x = x + + k A x = + k x = + k x = + k x = + k. x op [0, ] x = x = x = x =. Dit geeft toppen: A(,, B(,, C (, en D(,. f = cos sin = = = = A en C liggen op de grafiek van f. f cos sin = = = = Gb = ( + ( = ( + + O ( V sin( x cos( x cos ( x sin( x dx sin( x cos( x cos ( x sin( x dx ( sin( x cos( x ( cos( x dx ( sin( x cos( x dx cos( x sin( x x = + + = = = cos( sin( cos( sin( = ( = =. omtrek( V f '( x dx g '( x dx Gc = = + 8cos( x sin( x cos( x dx + + cos( x sin( x dx (fnint, 7. f ( x = sin ( x + p cos( x = sin ( x + p sin ( x = p (de andere termen vallen weg voor p =. Ga p Gb fp ( x = sin ( x + p cos( x = ( sin( x + p cos( x fp '( x = sin( x cos( x p sin( x = sin( x p sin( x = p sin( x. fp '( x = ( p sin( x < p < < p < 0 > p > 0 0 < p <. a a a a f ( x dx sin ( x p cos( x dx cos( x p cos( x d x ( p cos( x dx a = x + ( p sin( x = a + ( p sin( a ( 0 + ( p sin(0 = a + ( p sin( a. 0 Onafhankelijk van p als sin( a = 0 a = k a = k. Gegeven: a op [0, ] a = 0 a = a =. Gc p = ( + = ( + = ( + cos( x ( + sin( x sin( x cos( x cos( x sin( x sin ( x cos ( x sin( x Ga f ( x = f '( x = = =. + sin( x ( + sin( x ( + sin( x ( + sin( x f '( x = 0 (teller = 0 sin( x = 0 sin( x = x = + k x = + k. Gegeven: x op [, ] x = x =. cos( minimum (zie plot : f ( = = = = + sin( cos( B f = [, ]. maximum (zie plot : f ( = = = = + sin( 9 cos( x cos( x 9 cos( x cos( x 9 cos ( x Gb f ( x f ( x = = = = 7 + sin( x + sin( x 7 + sin( x sin( x 7 sin ( x 7 7 cos ( x = ( cos ( x cos ( x = cos ( x = cos( x = ± = ± = ± x = + k. Gegeven: x op [, ] x = x = x = x =. B C V f g D

20 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 0/ Ga t op [0, ] t op [0, ]. De baan is driekwartcirkel met middelpunt (, en straal. t = Gb y = x + + sin( t = cos( t + B sin( t = cos( t cos( t = cos( t + y = x + t = t + + k t = t + k t = t = (, geen oplossing t = + k t = + k. 8 t op [0, ] t = t = A. 8 8 t = 0 t = x cos( en sin( (,. 8 P = + = + = + y P = + = + = A + t = x cos( en sin( (,. 8 P = + = + = y P = + = + = + B + Gc x = 0 ( y -as y = 0 ( x -as + cos( t = 0 + sin( t = 0 cos( t = sin( t = cos( t = sin( t = t = + k t = + k t = + k t = + k t = 7 + k t = + k t = + k t = + k t = 7 + k t = + k t = + k t = + k x > 0 (zie de baan van P 0 t < 7 y > 0 (zie de baan van P < t Uit bovenstaande regel volgt dan: x > 0 en tevens y > 0 (zie de baan van P < t < 7. 0, 0, Ga v = 0, m/s per seconde gedeelte van de cirkel rad/s = rad/s.,, Gb x =,cos( t + t = 0 ( t in seconden en x en y in meters. y =,sin( t + (,;0 Gc De volgende koker loopt cirkel = = radialen achter. x =,cos( t + ( t in seconden en x en y in meters. y =,sin( t + Gd y = 0, 8,sin( t = 0, 8 (intersect t 8, 70 t, 0. y < 0, 8 (zie plot 8, 70 < t <, 0. Dus gedurende, seconde. O wateroppervlak y = 0,8 Ga f( x = + sin ( x + cos( x = + cos( x + cos( x = + cos( x = + sin( x + = + sin(( x +. Dit geeft a =, b =, c = en d =. Gb f n = + sin + cos( n = + ( + cos( n = cos( n = n = + k n = + k. 0 < n < 0 n = n = 8 n = 0 n =. Gc f( x = + sin ( x + cos( x = + cos( x + cos( x = cos( x + cos( x. Gd O ( V = ( f( x dx 0 = ( ( cos( x + cos( x dx 0 = ( + cos( x cos( x dx 0 V = x + sin( x sin( x 0 = + sin sin(8 0 + sin(0 sin(0 = ( =. O (rechthoek ABCD = = 0. Dus de grafiek van f verdeelt de rechthoek in twee gebieden met dezelfde oppervlakte.

21 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / G 7a x = sin( t en y = cos( t geeft de ciirkel met middelpunt (0, 0 en straal. x = sin( t en y = cos( t geeft de ciirkel met middelpunt (0, 0 en straal. t =, de grote wijzer heeft rondgang gemaakt het is 8 minuten over. 0 G7b Wijzers (niet de eindpunten vallen over elkaar sin( t = sin( t en cos( t = cos( t. ( t = t + k t = t + k en tevens ( t = t + k t = t + k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k t = k het eerste tijdstip na t = 0 is dus t =. G7c afstand = ( sin( t sin( t + ( cos( t cos( t = 9 sin ( t sin( t sin( t + sin ( t + 9cos ( t cos( t cos( t + cos ( t = 9( sin ( t + cos ( t + ( sin ( t + cos ( t cos( cos( ( t t + sin( t sin( t = 9 + cos( t t = cos( t. G7d Een gelijkbenige driehoek als afstand = afstand = cos( t = cos( t = cos( t = 9 cos( t = cos( t = cos( t = 9 cos( t = cos( t = Het eerste moment na t = 0 (cos(0 = volgt uit cos( t = t 0, 7 t 0,. G8a f ( x = sin( x T = (, en A(, 0. g(0 = 0 (0 = 0 de grafiek van g gaat door O. g = ( = = = de grafiek van g gaat door T. g = ( = 0 = 0 de grafiek van g gaat door A. G8b f ( x = sin( x f '( x = cos( x. g( x = x ( x = x + x g '( x = 8 x +. f '(0 = cos(0 = en g '(0 = = > g '(0 > f '(0. G8c ( g( x f ( x d x ( ax ( x sin( x dx ( ax ax sin( x dx ax ax cos( x = = = a a + cos ( a 0 a 0 + cos(0 = a a ( = a. ( g( x f ( x dx = 0 a = a = a =. 0

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW)

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW) Hoofdstuk 8 Goniometrie 8. De eenheidscirkel Opgave : PQ a. sin 6 PQ sin 6 0,9 OQ cos6 OQ cos 6 0, b. P0,;0,9) Opgave : a. POQ 80 6 PQ 0,9 OQ 0, P0,;0,9) b. cos 0, sin 0,9 x P cos 0, y P sin 0,9 c. POQ

Nadere informatie

x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b

x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

m: y = 0, 5x + 21 snijden met de x -as ( y = 0) 0 = 0, 5x , 5x = 21 x = 42. Snijpunt met x -as: (42, 0).

m: y = 0, 5x + 21 snijden met de x -as ( y = 0) 0 = 0, 5x , 5x = 21 x = 42. Snijpunt met x -as: (42, 0). C. von Schwartzenberg 1/1 1a In 1 minuut zakt het watereil 1 0 = cm (in 10 minuten zakt het water 0 cm). 10 Na 1 minuut is de waterhoogte 0 = 6 cm en na minuen is de waterhoogte 0 = cm. 1b II h = 0 t,

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1 Beoordelingsmodel Vraag Antwoord Scores Gelijke oervlakte maximumscore f' ( x) = x x = geeft x = Dit geeft x = ( ) ( ) f = = (dus de coördinaten van T zijn ( ) maximumscore 6 De oervlakte van V is ( )

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel

Nadere informatie

80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km)

80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km) C. von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1d t = 10 A = 0, 8 10 + 3 = 8 + 3 = 26 (miljoen ha). Bij halverwege 1985 hoort t = 15, 5 A = 0, 8 15, 5 + 3 = 21, 6 (miljoen ha). Het snijpunt met de verticale as is

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

Bij een tonnage van ton (over mijl) kost het 0,75 $/ton totale kosten ,75 = ($).

Bij een tonnage van ton (over mijl) kost het 0,75 $/ton totale kosten ,75 = ($). C von Schwartzenberg 1/14 1a 0,5 $/ton (zie de verticale as bij punt A) 0 000 0,5 = 10 000 ($) 1b,1 $/ton (ga vanuit A verticaal omhoog naar de rood gestippelde grafiek) 0 000,1 = 4000 ($) us 4, keer zoveel

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 - Periodieke functies

Hoofdstuk 7 - Periodieke functies Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5 Hoofdstuk 6: De afgeleide functie 6. Hellinggrafieken Opgave : als je vanuit punt A naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te komen, dus rc 6 b. c. d. x 0 4 helling 6,5 0, 5, 5 0,5 Opgave

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Eindexamen vwo wiskunde B 0 - II Een regenton maximumscore 5 h V= ( rx ( )) d x 0 00 ( rx ( )) ( 5 5x 5x ) = + Een primitieve van 5+ 5x 5x is 5x+ 7 x 5x Dus = ( 5 + 7 5 ) V h h h 00 V = h+ h h = h+ h h

Nadere informatie

Opmerking In de berekening mogen v = 0 en/of v = 187,5 zonder toelichting zijn weggelaten.

Opmerking In de berekening mogen v = 0 en/of v = 187,5 zonder toelichting zijn weggelaten. HAVO wb 00-I Weerstand De formules voor P rol en P lucht invoeren in de grafische rekenmachine (GR) en bepalen voor welke waarde van v deze gelijk zijn v,7 P lucht > P rol voor v > =,7 (km/uur) (v >,7

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 havo 2004-II

Eindexamen wiskunde B 1-2 havo 2004-II Eindexamen wiskunde B - havo 004-II 4 Beoordelingsmodel Bacteriecultuur Maximumscore beschrijven hoe met de GR het maximum van N = 00t 3 + 300t + 900t + 000 voor 0 t 4 kan worden berekend Het aantal bacteriën

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

Eindexamen vmbo gl/tl wiskunde I

Eindexamen vmbo gl/tl wiskunde I Beoordelingsmodel Snelwandelen maximumscore 4 50 km is 50 000 meter 3 uur, 35 minuten en 47 seconden is gelijk aan 947 seconden 50 000 = 3,86 (m/s) 947 Het antwoord: 3,9 (m/s) maximumscore maximale snelheid

Nadere informatie

Lessen wiskunde uitgewerkt.

Lessen wiskunde uitgewerkt. Lessen Wiskunde uitgewerkt Lessen in fase 1. De Oriëntatie. Les 1. De eenheidscirkel. In deze les gaan we kijken hoe we de sinus en de cosinus van een hoek kunnen uitrekenen door gebruik te maken van de

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet Wiskunde D voor HAVO Periodieke functies Gert Treurniet . Inleiding Een toon is een trilling. De trilling van lucht brengt ons trommelvlies in beweging. De beweging van ons trommelvlies nemen we waar als

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo II

Eindexamen wiskunde B pilot havo II Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - II Beoordelingsmodel Mosselen maximumscore L = 9 invullen in de gegeven formule geeft C 5 De hoeveelheid gefilterd water is (ongeveer) 5 = 8 ml per dag Dit is meer

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links.

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links. G&R havo A deel C. von Schwartzenberg /8 a Er is uitgegaan van de klassen: < 60; 60 < 6; 6 < 70;... 8 < 90. b c De onderzochte groep bestaat uit 000 personen. (neem nog eens GRpracticum uit hoofdstuk 4

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2004-I

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2004-I Eindexamen wiskunde - havo 004-I 4 eoordelingsmodel Kogelstoten De score van André is,8 De score van ernard is,55 De conclusie dat voor k = 0, ernard niet de hoogste score heeft de vergelijking die hoort

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvak wiskunde B (pilot) Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vakspecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

wiskunde B havo 2015-II

wiskunde B havo 2015-II Veilig vliegen De minimale en de maximale snelheid waarmee een vliegtuig veilig kan vliegen, zijn onder andere afhankelijk van de vlieghoogte. Deze hoogte wordt vaak weergegeven in de Amerikaanse eenheid

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I Eindexamen wiskunde B- vwo 005-I 4 Beoordelingsmodel Inademen Maximumscore,5t, 6( e ), 4,5t (: e 0,90) beschrijven hoe de oplossing van deze vergelijking (met de GR) kan worden gevonden t 0,9 ( t 0,9)

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Kaas. foto 1 figuur 1. geheel aantal cm 2.

Kaas. foto 1 figuur 1. geheel aantal cm 2. Kaas Op foto 1 zie je drie stukken kaas. Het zijn delen van een hele, ronde kaas. Het grootste stuk is precies de helft van een hele kaas. Deze halve kaas heeft een vlakke zijkant. De vorm van de vlakke

Nadere informatie

tan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN

tan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN ) Gegeven: een rechthoekige driehoek ABC. Schrijf de volgende goniometrische getallen in functie van de lengten van de zijden van

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B Profi (oude stijl) Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs. Tijdvak 1

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B Profi (oude stijl) Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs. Tijdvak 1 Wiskunde B Profi (oude stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 0 ijdvak 0006 CV7 Begin Regels voor de beoordeling Het werk van de kandidaten wordt beoordeeld met inachtneming

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

7 a. 8 a. de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE HAVO 1

7 a. 8 a. de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE HAVO 1 H GONIOMETRIE HAVO.0 INTRO a : 00 (het touw is in de tekening 6 cm) a 6 km : 00.000 = 6 cm b 6 a Schaal :. b 9. TEKENEN OP SCHAAL a 7 a (moeilijk nauwkeurig te meten) b : 000 c Ik meet cm dus in werkelijkheid

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit examen

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores

Vraag Antwoord Scores Beoordelingsmodel VMBO GL/TL 2008-I Vraag Antwoord Scores Golfbaan maximumscore 4 Een kijklijn tekenen van het putje langs de punt van de bosrand 90 m in werkelijkheid komt overeen met 6 cm in de tekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie