sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )"

Transcriptie

1 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g( x = cos( x g( x = cos( x heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. translatie (, 0 y = sin( x h( x = sin( x + h( x = sin( x + heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. translatie (, 0 y = cos( x j ( x cos( x j ( x cos( x = + = + heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. translatie (, 0 y = sin( x k( x = sin( x + k( x = sin( x + heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. translatie (, 0 y = cos( x l ( x = cos( x + l ( x = cos( x + heeft dezelfde grafiek als y = cos( x. a c sin( α O α α cos( α = sin( α α + O cos( α + α cos( α cos( α + = cos( α cos( α b d sin( α α + O α sin( α + = sin( α O α cos( α sin( α sin( α + De stelling van Pythagoras geeft: sin ( α + cos ( α = a sin( x + = cos( x + = cos( x. b cos( x + = sin( x + + = sin( x +. c sin( x = sin( x + = sin( x + = cos( x + = cos( x. d cos(x + = cos(x + + = cos(x + = sin(x + + = sin(x + = sin( x +. a (sin( x cos( x = sin ( x sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x sin( x cos( x = sin( x cos( x sin cos sin cos sin = + = + = tan ( x +. cos ( x cos ( x cos ( x x + x x x x b ( cos( x sin ( x + tan ( x cos ( x = + cos ( x cos ( x sin ( x. = + = cos ( x c a sin ( x + cos( x = cos ( x + cos( x. cos ( x + sin( x = sin ( x + sin( x = sin ( x + sin( x = sin ( x + sin( x. b c sin ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos ( x + cos( x = cos ( x + cos( x. sin( x = cos( x + cos( x = cos( x + + cos( x = cos( x + hiernaast gaat het verder x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] geeft x = x = x = x =.

2 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / 7a sin( x + = cos( x 7d cos( x = cos(x + cos( x + = cos( x cos( x = cos(x + + x = x k x = x + k x = x + k x = x + k x = + + k x = + k x = k x = k x = k x = k x = + k x = + k x op [0, ] x = 0 x = x = x op [0, ] x = + x = x = x =. x =. 7b sin( x = cos( x 7e sin( x + = sin( x cos( x = cos( x + sin( x = sin( x sin( x = x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k 8 x op [0, ] x = x =. x op [0, ] x = x = x = x = 7 x = x = c sin ( x + cos( x = 7f sin ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos( x = ( cos ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos( x = 0 cos ( x + cos ( x + cos( x = 0 cos( x ( cos( x = 0 cos ( x + cos( x + = 0 cos( x = 0 cos( x = cos ( x cos( x = 0 x = + k x = + k x = ( cos( x ( cos( x + = 0 + k cos( x = (kan niet cos( x = x op [0, ] x = x = x = x =. x = + k x op [0, ] x =. 8a cos( t = sin( t 8b cos( t = cos( t t = t + k t = t + + k t = + k t = + k t = + k t = + k t op [0, ] t = t = t = t = t =. sin( t = cos( t cos( t = cos( t + t = t + + k t = t + k t = + k 7t = + k t = 9 + k t = + k 7 7 t op [0, ] t = t = t =. 7 9a sin( x = sin( x 9d --- sin( x = 0 9e sin( x = sin( x + x = k x = x + + k x = ( x + + k 9b sin( x = sin( x x = x + k x = x + k x = + k x = x + k x = k x = + k x = + k x = + k x = k x = + k x = + k x = + k 9 9c --- 9f --- 0a verm. in de y -as, verm. in de x -as, y = cos( x y = cos( x g( x = cos( x. 0b Zie de schets hiernaast. f g 0c f ( x = sin( x = x = + k x = + k x op [0, ] x = 7 = x = =. 0e f ( x = g( x sin( x = cos( x 0d g( x = cos( x = cos( x = cos( x + cos( x = x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x = x =. x op [0, ] x = x = x =. f ( x g( x (zie de schets x = x

3 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / a f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand 0; amplitude ; periode = en beginpunt (, 0. g( x = cos( x + heeft evenwichtsstand 0; amplitude ; periode en laagste punt (,. b Gebruik de plot hiernaast voor een schets van de grafieken. c f ( x = sin( x = 0 g( x = cos( x + = 0 x = k g cos( x + = 0 x = + k x + = + k f x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x =. x op [0, ] x = x =. De nulpunten van f zijn, en. De nulpunten van g zijn en x =. d f ( x = sin( x = e f ( x = g( x sin( x = cos( x + x = + k x = + k cos( x = cos( x + + x = + k x = + k cos( x = cos( x + x = + k x = 7 + k x = x + + k x = x + k x op [0, ] x = x = x = 7. x = + k x = + k f ( x > (zie plot < x < 7 < x. x = + k x = + k 9 x op [0, ] x = 0 x = x =. 9 9 f ( x < g( x (zie plot < x <. 9 9 a AB = ya yb = ya = sin( α. b AB = OA + OB OA OB cos AOB b cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u ( sin( α = + cos( α u vervangen door u geeft sin ( α = cos( α cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u cos( α = sin ( α sin( t + u = cos( t sin( u sin( t cos( u cos( α = sin ( α. sin( t + u = cos( t sin( u + sin( t cos( u sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u. a cos( t u = cos( t cos( u + sin( t sin( u u vervangen door u geeft cos( t ( u = cos( t cos( u + sin( t sin( u cos( t + u = cos( t cos( u + sin( t sin( u cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u. c sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u u vervangen door u geeft sin( t + ( u = sin( t cos( u + cos( t sin( u sin( t u = sin( t cos( u + cos( t sin( u sin( t u = sin( t cos( u cos( t sin( u. a sin( t + u = sin( t cos( u + cos( t sin( u t en u beide vervangen door A geeft sin( A + A = sin( A cos( A + cos( A sin( A sin( A = sin( A cos( A. cos( t + u = cos( t cos( u sin( t sin( u t en u beide vervangen door A geeft cos( A + A = cos( A cos( A sin( A sin( A cos( A = cos ( A sin ( A. a cos( A = cos ( A cos ( A = cos( A cos ( A = + cos( A. b b cos( A = cos ( A sin ( A (zie a cos( A = cos ( A cos ( A cos( A = cos ( A + cos ( A cos( A = cos ( A. cos( A = cos ( A sin ( A cos( A = sin ( A sin ( A cos( A = sin ( A (zie ook b. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. a sin( x cos( x = sin( x c sin( x cos( x = sin( x sin( x = sin( x sin( x = sin( x x = x + k x = x + + k x = + k x = + + k x = + k x = + + k. sin ( x = cos( x + Gebruik: cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A cos( x = cos( x + cos( x = cos( x = x = + k x = + k.

4 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / b cos ( x = cos( x + cos ( x = cos ( x + cos ( x = cos ( x = cos( x = ± = ± = ± x = + k x = + k. 8 d sin( x + cos( x = sin ( x + sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x + sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. 7a Evenwichtsstand ; amplitude ; periode en beginpunt (hoogste punt bij cosinus (0,. Dus y = + cos( x. 7b cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A y = sin ( x + cos( x = cos( x + cos( x = + cos( x. 8 sin( x = sin( x + x = sin( x cos( x + cos( x sin( x = sin( x cos( x cos( x + sin ( x sin( x = sin( x cos ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x + sin( x sin ( x = sin( x sin ( x. 9b cos( x = cos( x + x = cos( x cos( x sin( x sin( x = cos ( x cos( x sin( x cos( x sin( x = cos ( x cos( x sin ( x cos( x = cos ( x cos( x cos ( x cos( x = cos ( x cos( x cos( x + cos ( x = cos ( x cos( x. 9a cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A. y = cos( x sin ( x = cos( x ( cos( x = cos( x. 9b staat hierboven uitgewerkt. 0a cos( A = cos( A +. 0c cos( A = sin ( A of sin ( A = cos( A. 0b sin( A = cos( A. 0d cos( A = cos ( A of cos ( A = + cos( A. 0e cos( A = sin( A +. Voor B geldt: xb = xa en yb = ya. Voor C geldt: xc = xa en yc = ya. a Voor elke p geldt: f ( p = p cos( p = p cos( p = f ( p. f ( p = f ( p f ( p + f ( p = 0 f is (puntsymmetrisch in O. b Voor elke p geldt: g( p = p sin( p = p sin( p = p sin( p = g( p g is (lijnsymmetrisch in de y -as. a b a Voor elke p geldt: f ( p = cos ( psin( p = cos ( p sin( p = cos ( psin( p = f ( p. f ( p = f ( p f ( p + f ( p = 0 f is symmetrisch in O. + p f ( p = cos ( psin( p = cos ( + psin( + p = f ( + p. Dus f is symmetrisch in de lijn x =. Gebruik: cos( p = cos( + p (kwadr. cos ( p = cos ( + p cos ( p = cos ( + p. O f ( p = sin( p cos( p = sin( cos cos( sin cos( cos + sin( sin ( p p ( p p ( p p ( p p = cos sin cos + sin = cos( p sin( p cos( p + sin( p = cos( p. p

5 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / b f ( + p = sin( + p cos( + p = sin( cos + cos( sin cos( cos sin( sin ( p p ( p p ( p p ( p p = cos + sin cos sin = cos( p + sin( p cos( p sin( p = cos( p. Voor elke p geldt: f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x =. a f ( p = cos( p + sin( p + = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = cos( p +. f ( + p = cos( + p + sin( + p + = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin( p + = cos( p +. Er geldt: f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x =. Alternatieve uitwerking f ( + p = cos( + p + sin( + p + (gebruik de eenheidscirkel hiernaast = sin( p + cos( p + = cos( p + sin( p + = f ( p. O f ( p = f ( + p f is symmetrisch in de lijn x = b f ( p = cos( p + sin( p + = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = sin( p +. f ( + p = cos( + p + sin( + p + = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin( p + = sin( p +. f ( p + f ( + p = sin( p + sin( p + = f is symmetrisch in het punt (,. + p p a b f ( x = sin( x waarschijnlijk is f '( x = cos( x. c f ( x = cos( x waarschijnlijk is f '( x = sin( x. 7a Zie de plot van y hiernaast. 7b f ( x = sin( x f '( x = cos( x. 7c f ( x = cos( x f '( x = sin( x. 8 f ( x = cosx = sin( x + f '( x = cos( x + = sin( x. 9 f ( x = sin( ax + b f '( x = cos( ax + b a = a cos( ax + b. g( x = cos( ax + b g '( x = sin( ax + b a = a sin( ax + b. 0a f ( x = + sin( x f '( x = cos( x = 8cos( x. 0b g( x = 0 + cos( ( x g '( x = sin( ( x = 8sin( ( x. 0c h( x = x cos( x h'( x = cos( x + x sin( x = cos( x x sin( x. 0d j ( x = x cos( x j '( x = cos( x + x sin( x = cos( x x sin( x.

6 0e G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / k( x = x sin( x k '( x = x sin( x + x cos( x = x sin( x + x cos( x. 0f l ( x = x sin( x l '( x = sin(x + x cos(x = sin(x + x cos(x. a f ( x = tan( x f '( x = =. cos ( x cos ( x tan tan ' tan sin( x sin( x g x = x = x g x = x = = cos cos( x. x cos ( x cos ( x b sin( x c h( x = cos( x tan( x = cos( x = sin( x h'( x = cos( x. cos( x I f ( x = sin ( x = sin( x sin( x f '( x = cos( x sin( x + sin( x cos( x = sin( x cos( x. II f ( x = sin ( x = sin( x f '( x = sin( x cos( x. III f ( x = sin ( x = cos( x f '( x = sin( x = sin( x. Mijn persoonlijke voorkeur gaat uit naar II omdat in dit geval f ( x niet hoeft te worden herschreven. a f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. b g( x = sin ( x = sin( x g '( x = sin( x cos( x. c h( x = + cos ( x = + cos( x h'( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. d j ( x = x + sin ( x = x + sin( x j '( x = + sin( x cos( x. f ( x = sin ( x = sin( x f '( x = sin ( x cos( x. a g( x = x sin ( x = x sin( x g '( x = sin ( x + x sin( x cos( x = sin ( x + x sin( x cos( x. b c h( x = cos ( x = cos( x h'( x = cos( x sin( x = sin( x cos( x. d j ( x = cos ( x = cos( x j '( x = cos( x sin( x x = x sin( x cos( x. f ( x = sin ( x + sin( x = sin( x + sin( x f '( x = sin ( x cos( x + cos( x a g( x = sin ( x cos( x = sin( x cos( x b = cos( x cos ( x + cos( x = cos( x cos ( x. g '( x = sin( x cos( x cos( x + sin ( x sin( x = sin( x cos ( x sin ( x = sin( x sin ( x sin ( x = sin( x sin ( x sin ( x = sin( x sin ( x. tan( x sin( x sin sin cos sin cos cos ' cos sin x x x x x. cos ( x c h x = = = = ( x h x = ( x x = a f ( x = + sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode en beginpunt (,. b Horizontale raaklijnen in de toppen bij x = + = en x = + =. f 7a f ( x = + sin( x = + sin(( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (,. Hoogste punten zijn ( + + k, + = ( + k, 0. Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. De toppen zijn ( + k, 0 en ( k,.

7 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 7/ 7b g( x = + cos( x + = + cos( ( x + heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (hoogste punt (, + = (,. Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. 7c h( x = sin( x + heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt ( +, = (,. Hoogste punten zijn ( + + k, + = ( + k,. beginpunt bij een sinus-grafiekis een punt waar de Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. grafiek STIJGEND door de evenwichtsstand gaat 7d j ( x = cos( x heeft evenwichtsstand ; ampl. ; periode = en beginpunt (0 +, + = (,. Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( k,. beginpunt van een cosinusgrafiek is een hoogste punt 8a 8b f ( x = cos( x sin( x + f '( x = sin( x cos( x. f '( x = 0 sin( x cos( x = 0 sin( x = cos( x cos( x = cos( x + x = x + + k x = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k. Dus x A = ; x B = ; x C = ; en x D =. y A = f = cos sin + = + = A(, ; y ( cos( sin( (, B = f = + = + = + + = B ; y ( cos sin( C = f = + = + = + + = C (, en y ( cos( sin( (, D = f = + = + = + + = D. f (0 = f = cos(0 sin(0 + = 0 + = Dus f ( x = p heeft vier oplossingen (zie ook figuur. voor p <. 9a f ( x = x + cos( x f '( x = sin( x. f '( x = 0 sin( x = 0 sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. x op [0, 7] x = x = x =. 9b f '( x = sin( x = sin( x = sin( x = x = + k x = + k x op [0, 7] x = x =. f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos ( x sin( x = sin( x cos ( x. 0 f '( x = 0 sin( x cos ( x = 0 sin( x = 0 cos( x = 0 x = k x = + k x op [0, ] x = 0 x = x = x = x =. De punten zijn (0, ; (, 0; (, ; (, 0 en (,. a cos( x ( sin( x sin( x cos( x cos( x sin( x + sin ( x + cos ( x sin( x + f ( x = f '( x = = =. sin( x ( sin( x ( sin( x ( sin( x cos( x f ( x = 0 = 0 (teller = 0 cos( x = 0 x = + k. Nu x op [0, ] x = x =. sin( x x = (en y = 0 S (, 0 y = x + b sin + 0 b b, dus k: y x. rc f ' + door S (, 0 = + = = + = = = = ( sin

8 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 8/ b x = (en y = 0 S (, 0 y = x + b sin b b, dus l : y x. rc f ' + door S (, 0 = + = = = = = = ( 9 sin( sin( x + f '( x = = 0 (teller = 0 sin( x + = 0 sin( x = sin( x = x = x = (op [0, ]. sin( x cos( randmaximum (zie plot is f = = = sin( 0 cos( maximum (zie plot is f = = = = > B sin f = [, ]. cos minimum (zie plot is f = = = =. sin( a F ( x = cos( x F '( x = sin( x = sin( x = f ( x. b G ( x = sin( x G '( x = cos( x = cos( x = g( x. a f ( x = sin( x F ( x = cos( x + c = cos( x + c. b g( x = x cos( x G ( x = x sin( x + c = x sin( x + c. c h( x = sin( x + H ( x = cos( x + + c = cos( x + + c. d j ( x = cos( x J ( x = sin( x + c = sin( x + c. + cos d = + sin = + sin = + = a ( x x x x x b ( x sin( x dx = x + cos( x = + cos ( + cos(0 7 = + + = f ( x = + cos( x = 0 cos( x = cos( x = x = + k x = + k x = 9 + k x = + k x = + k x = + k. Er geldt: x op [0, ] x = x =. O ( V = ( + cos( x dx = x + sin( x = + sin( + sin( V = + + = +. g( x = sin ( x = sin( x g '( x = sin ( x cos( x f ( x. Dus g( x = sin ( x is geen primitieve van f. a bc cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. f ( x = sin ( x = cos( x F ( x = x sin( x + c = x sin( x + c. 7a 7b 7c cos( A = cos ( A cos( A + = cos ( A cos( A + = cos ( A. f ( x = cos ( x = cos( x + F ( x = sin( x + x + c = sin( x + x + c. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. g( x = sin ( x = cos( x G( x = x sin( x + c = x sin( x + c. sin( A = sin( Acos( A sin( A = sin( Acos( A. h( x = sin( x cos( x = sin( x H ( x = cos( x + c = cos( x + c.

9 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 9/ 8a 8b f ( x = tan ( x = + tan ( x F ( x = tan( x x + c. g( x = x + tan ( x = x + + tan ( x G ( x = x + tan( x x + c. 9a 9b 0 sin( A = sin( Acos( A sin( A = sin( Acos( A. sin( x cos( x dx sin( x dx cos( x cos( cos(0 = = = = + = + = cos( A = sin ( A cos( A = sin ( A cos( A = sin ( A. ( sin ( x dx ( cos( x dx sin( x x = + = + = sin ( sin + 8 cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. I ( L = f ( x dx = sin ( x dx = cos( x dx = = =. ( x x = sin = sin 0 sin(0 = = V f ( x = sin( x + sin( x f '( x = sin( x cos( x + cos( x. a f '( x = 0 sin( x cos( x + cos( x = 0 cos( x sin( x + = 0 cos( x = 0 sin( x = x = + k sin( x = x = x = sin( x =. x f sin ( sin( = = + = + = + 0 =. x = f = sin + sin = ( + = = 0. sin( x = f ( x = ( + = = = = Randextreem: f (0 = f = =. Dus B [ f =, ]. 8 b f ( x = 0 sin ( x + sin( x = 0 (stel sin( x = t t + t = 0 D = b a c = = + 8 = 9 D =. t = sin( x = ± t = sin( x = t = sin( x = (met x op [0, ] x = (zoeken we niet x = x =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A. ( sin ( x sin( x dx ( cos( x sin( x dx sin( x cos( x + = + = = sin( cos( sin( cos( = = =. f ( x = 0 sin ( x + sin( x + = 0 sin( x + = 0 sin( x = x = x =. f (0 = = > 0 het ingesloten gebied loopt van x = tot x =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. ( sin ( x sin( x dx ( cos( x sin( x dx x sin( x cos( x + + = + + = ( = sin( cos( sin( cos( = = + + = + =

10 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 0/ a b f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (,. Zie de grafiek van f ( x = sin( x hiernaast. f ( x = 0 sin( x = 0 sin( x = sin( x = x = + k x = + k x = + k x = + k. x[0, ] x = x =. (het gevraagde gebied ligt ONDER de x -as O ( V f ( x dx = = ( + sin( x dx x cos( x x cos( x = + = = cos( cos( = cos( cos( = = =. c = = ( = ( + I ( L f ( x dx sin( x dx 9sin( x 9sin ( x dx Nu is: cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A. ( ( = 9sin( x + 9 cos( x dx = x cos( x x sin( x ( x 8cos( x sin( x + = + 7 ( 8cos( 9 sin( 7 9 ( 8cos sin ( ( 8 = + + = + + = = 9. a y P = sin( ct en de periode is = c =. c Of voor t = is y sin( P = = sin (de sinus heeft dan precies één periode doorlopen b Formule II: x cos( P = t. rcy = x + = AMB = ( AMB is een -- driehoek AB = MB. AM = AB = MB = = = =. xa = xm AB = en ya = ym + AB = +. t = y = x + A B a t = 0 P (,. P draait linksom. t op [0, ] driekwartcirkel. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt M(, en straal. t = M t = 0 b x = 0 + cos( t = 0 cos( t = cos( t = ( t op [0, ] t =. t = y sin( (0,. A = + = + = + A + c rc y = x + = bij B hoort t = en bij C hoort t =. t = x cos( en sin(. B = + = + y B = + = + t = x cos( en sin(. C = + = y C = + = C t = d x = + cos( t = (intersect of cos( t = cos( t = t = + k t = + k. t op [0, ] t =, 09 t =,9. x < (zie driekwartcirkel of plot, 09 < t <,9.

11 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / 7a xp = + cos( t en yp = + sin( t. (met t in seconden 7b De eerste rondgang van t = 0 tot t =. y = 0 ( x -as + sin( t = 0 (intersect t,9 t,78. y < 0 (zie plot,9 < t <,78. Dus 0,8 seconden per rondgang. 8a t = 0 P (,. P draait linksom. t op [0, ] t op [0, ]. De baan van P is driekwartcirkel met middelpunt M(, en straal. 8b y = 0 ( x -as + sin( t = 0 sin( t = sin( t = t = + k t = + k t = + k t = (deze zoeken we + k. x cos( ( A = + = + = A, 0. 8c x = + cos( t = cos( t = cos( t = t = + k t = + k t = + k t = + k. t op [0, ] t = t =. Dus x < (zie de baan bij 8a < t <. 8d y = + sin( t = (intersect t,. Dus y < (zie 8a of de plot, < t. x = A t = M t = t = y = t =0 9a y = x + sin( t = cos( t + (met 0 t < intersect geeft dan t, en y,8 x = y = 0,8 snijpunt (0,8;,8 of t,7 en y 0,8 x = y =,8 snijpunt (,8; 0,8. 9b 9c 9d x = cos( t = cos( t = t = + k t = + k. Er geldt nu: x > voor < t <. De baan van P is een cirkel met middelpunt (0, 0 en straal. Dus ligt = deel van de cirkel rechts van de lijn x =. (omtrek van een cirkel = r De lengte van het deel rechts van de lijn x = is =. P (cos( t, sin( t en Q(cos( t, sin( t. Nu de stelling van Pythagoras: PQ = ( cos( t cos( t + ( sin( t sin( t = cos ( t cos( t cos( t + cos( t + sin ( t sin( t sin( t + sin ( t = cos ( t + sin ( t + cos( t + sin ( t cos( t cos( t sin( t sin( t = cos ( t + sin ( t + cos( t + sin ( t cos( t cos( t + sin( t sin( t = + cos( t t = cos( t. Dus PQ = cos( t. PQ = cos( t = (intersect t 0,8 t, 7. PQ = cos( t > (zie plot 0,8 < t <, 7. Dus gedurende, seconde per rondgang. 0a De translatie (, 0. 0b x Q = cos( ( t en y sin(. (met t in seconden Q = t a De omlooptijd T = = = seconden. Na = seconde (voor t = bevindt P zich in (7,. Dus x cos( ( en sin( ( P = + t y. (met t in seconden P = + t b t = x cos( (, en sin( ( P = + y,8. P = + c Na = (voor seconde t = bevindt P zich voor het eerst in (,. t = 0 t =

12 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / d y = x + ( t = P ( P ( 0 ( -as sin 0 (intersect t 0, 9 x = + cos ( t, snijpunt met x -as (,; 0. t,9 x = + cos ( t, 7 snijpunt met x -as (, 7; 0. a b c xp = + cos ( yp = + sin ( ( t 0 ω = = ( t in seconden. = ( t 0 ( ( 0 0 ( t in seconden. ( 0 ( 0 ( ( ( 0 0 ( ( ( xq = + cos ( t + = + cos ( t + yq = + sin ( t + = + sin ( t + xr = + cos t = + cos ( t = + cos ( t yr = + sin t = + sin ( t = + sin ( t 0 0 Dus R loopt seconde achter op P of (omdat de omlooptijd seconde is ( t in seconden. (, seconde voor op P. t = 0 (, a b c Omlooptijd is = seconde. x cos cos cos P = + t xq = + t = + t y en P sin( t = + y Q = + sin ( t = + sin t ( ( ( ( ( t in seconden. Op t = 0 heeft P een fasevoorsprong van op (,. Q heeft een fasevoorsprong van op P fasevoorsprong van Q op (, is + =. xq = + cos( ( t + = + cos( ( t + ( t in seconden. y sin Q = + ( ( t + = + sin ( ( t + Op t = 0 heeft P een fasevoorsprong van op (,. Q heeft een faseachterstand van op P fasevoorsprong van Q op (, is =. xq = + cos( ( t + = + cos( ( t + 8 ( t in seconden. y sin Q = + ( ( t + = + sin ( ( t + 8 (, (, (, O (, a De fasevoorsprong van Q op P is. De faseachterstand van R op P is. c De fasevoorsprong van 7 Q op R is + = ( > 7 Q en R is = a b Omlooptijd in stand I is seconde ω = = = 0 rad/sec. Q heeft een faseachterstand van op P x 0cos ( 0 0cos ( 0 P = 0 cos(0 t xq = t = t en yp = 0 sin(0 t y 0 sin Q = ( 0 ( t = 0sin ( 0 ( t 0cos xr = ( 0 ( t + R P t y 0sin R = ( 0 ( t + ( t in seconden. heeft een fasevoorsprong van op, dus ( in seconden. v = 08 km/uur = 0 m/s = 000 cm/s. Omlooptijd bij II is 0 = sec Dus ω = : = 00 = 0 rad/sec. 00 xp = 0cos(0 t ( t in seconden. yp = 0sin(0 t

13 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / a De diameter van rol II is de helft van rol I, dus de omlooptijd van rol II is de helft van de omlooptijd van rol I. x 0cos( P = t = 0 cos( t cos xq = + t + en y 0sin( ( t in seconden. 0sin yq sin( P = t = t = t + b Omlooptijd rol II is sec. elke seconde loopt = 0 cm papier tussen de rollen door. Dat is per uur = 000 cm 097 cm m. 7a xp = + cos( t ( t in seconden. yp = + sin( t 7b t =, xp = + cos(,, en yp = + sin(,,. 7c De baan wordt in negatieve richting (met de wijzers van de klok doorlopen. (, periode is = seconde t =, t = en t =. M 7d x = 0 ( y -as + cos( t = 0 cos( t = cos( t = A B t = + k t = + k t = + k t = + k. t = y = + sin( = + = + P (0, +. (, t = y = + sin( = = Q(0,. Alternatieve uit werking: NP = = NP = = P (0, + en Q(0,. 7e cos AMB = AMB,8 (rad De lengte van de boog onder de x -as is Ans 0,. Alternatieve uitwerking: y = 0 ( x -as + sin( t = 0 (intersect t 0, 08 t 0, 9. y < 0 (zie plot 0,08 < t < 0,9. Dus ongeveer 0,8 seconden van de seconden per omwenteling onder de x -as. De lengte van de boog onder de x -as is Ans 0,. P (, N O Q 8a T = 0 ω = = rad/min. Op t = 0 zit Frits in het hoogste punt. 0 x Frits = 7 cos ( ( t + 0 = 7 cos( t + Voor Frits geldt: ( in m y Frits 7 7 sin ( ( t sin( t t inuten. = + + = + + 8b Saskia heeft = faseachterstand op Frits. 8 x Saskia = 7 cos ( ( t = 7 cos ( ( t ( t in minuten. y Saskia = sin ( ( t = sin ( ( t c De omtrek van het reuzenrad wordt afgelegd in 0 minuten Dus 7 meter in 0 minuten 88 m/uur de snelheid is ongeveer 0,8 km/uur. 8d y = sin( t = 00 (intersect t, 0 t, 0 y > 00 (zie plot, 0 < t <, 0. Dus gedurende ongeveer 0, minuten seconden boven 00 meter. Alternatieve uitwerking :, cos( α = α, 08 (rad. 7, Dus gedurende α 0 0, min. sec. boven 00 meter., α 7, 7, O

14 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / Diagnostische toets Da cos( x = cos( x + = cos( x + = sin( x + + = sin( x +. Db sin( x + cos( x = sin ( x + sin( x cos( x + cos ( x = sin ( x + cos ( x + sin( x cos( x = + sin( x. + cos( x sin ( x = + cos( x cos ( x = + cos( x + cos ( x = cos ( x + cos( x. Dc Da sin( x = cos( x Dc cos( t = sin( t cos( x = cos( x sin( t + = sin( t + x = x + k x = x + k t + = t + + k t + = t + k x = + k x = + k 7 t = + k 7 t = + k 0 0 x = + k x = + k 0 t = + k 0 t = + k x op [0, ] x = x = x = x = t op [0, 0] t = t = t = 0 t = Db sin ( x = sin( x + sin( x = sin ( x sin( x + = cos( x cos( x + = cos( x x + = x + k x + = x + k x = + k x = + k x = + k x = + k x op [0, ] x = x = x = 7 x = x = 9 x =. Da D sin( x + = sin( x cos( x Db sin ( x + = cos( x sin( x + = sin( x sin ( x + = sin ( x x + = x + k x + = x + k sin ( x = x = + k x = + k sin ( x = x = + k x = + k. 9 sinx = ± x = + k x = + k x = + k x = + k. sin( x cos( x sin( x sin( x sin( x cos( x sin( x cos( x cos ( x cos ( x cos( x tan( x tan( x = = = = = = cos( x. cos ( x sin ( x cos ( x sin ( x cos ( x sin ( x sin( x tan ( x cos ( x cos ( x cos ( x cos( x D f ( p + f ( + p = sin( p + cos( p + sin( + p + cos( + p = sin( p + sin( p sin( p sin( p = 0 f is symmetrisch in het punt (, 0. Da f ( x = cos( x + sin( x f '( x = sin( x + cos( x. f ( x = cos ( x = cos( x f '( x = cos( x sin( x = sin( x cos ( x. Db Dc Dd cos( x ' sin( x sin( x cos( x cos( x sin ( x cos ( x f x = f x = = =. sin( x sin ( x sin ( x sin ( x f ( x = x sin( x f '( x = x sin( x + x cos( x = x sin( x + x cos( x. De sin tan( ' cos tan sin sin cos cos tan x f x = x x f x = x x + x = x x + cos. x x Df sin( x sin( x sin( x tan( x cos( x cos( x tan( x cos ( x cos ( x cos( x cos ( x f ( x = f '( x = = sin( x sin ( x sin ( x cos ( x sin( x sin( x cos( x cos( x =. sin ( x cos ( x tan( x sin( x + tan ( x tan( x cos( x sin( x + sin( x tan ( x tan( x cos( x OF... f ( x = f '( x = =. sin( x sin ( x sin ( x

15 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / D7a f ( x = sin( x heeft evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt ( +, = (,. Hoogste punten zijn ( k, + = ( + k,. Laagste punten zijn ( + + k, = ( 8 + k, = ( + k,. D7b f ( x = + cos( x = + cos(( x heeft 8 evenwichtsstand ; amplitude ; periode = en beginpunt (, + = (,. 8 8 Hoogste punten zijn ( + k, + = ( + k,. 8 8 Laagste punten zijn ( + + k, = ( + k,. 8 8 D8a f ( x = sin( x sin( x f '( x = cos( x cos( x. f = sin sin = 0 0 = 0 A(, 0 en rc = f ' = cos cos = = + =. y = x + b 0 = + b = b. Dus de raaklijn in A(, 0 is y = x. door A(, 0 D8b f '( x = cos( x cos( x = 0 cos( x = cos( x cos( x = cos( x x = x + k x = x + k x = k x = k x = k x = k. Dus (zie ook figuur. x en. B = x C = y ( sin( sin( B = f = = = = B(,. y 8 C = f = sin sin = = + = C (,. D8c f '( x = cos( x cos( x = cos( x cos( x = cos ( x cos( x + = 0 cos ( x cos( x = 0 cos( x ( cos( x = 0 cos( x = 0 cos( x = x = + k x = + k x = + k. x op [0, ] x = x = x = x =. f ( = sin( sin( = = = raakpunt (,. f ( = sin sin( = 0 = raakpunt (,. f ( = sin sin( = 0 = raakpunt (,. f ( = sin( sin( = = + = raakpunt (,. D9a f ( x = sin( x + F ( x = cos( x + + c = cos( x + + c. D9b g( x = x + cos( x G( x = x + sin( x + c = x + sin( x + c. h( x = x sin ( x = x + sin ( x = x + cos( x H ( x = x + sin( x x + c. D9c D9d k( x = + tan ( x = + + tan ( x K ( x = x + tan( x + c. D0a ( sin( x + cos( x dx = cos( x + sin( x = cos + sin ( cos + sin D0b sin ( x dx cos( x dx x sin( x = = = + + = + + =. cos( A = sin ( A sin ( A = cos( A sin ( A = cos( A = sin( ( sin = + =. D ( f ( x dx = cos ( x dx = ( + cos( x dx = ( x + sin( x cos( A = cos ( A + cos( A = cos ( A + cos( A = cos ( A = ( + sin ( + sin = =.

16 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / t = A Da De baan is een driekwartcirkel met middelpunt (, 0 en straal. t op [0, ] t op [0, ] driekwartcirkel. Db x = + cos( t = cos( t = cos( t = t = + k t = + k t = + k t = + k. Dus t = en y sin( sin( (,. A = = = A Dc In MDC geldt: sin M = CD = = M =. MC CME = =. Dus de lengte boog CE is omtrek cirkel = = = 8. t = E M O t = x = C y = t = 0 D Da Db Dc De omlooptijd is seconden ω = =. cos( xp = + ( t De parametervoorstelling voor de baan van punt P is: (met t in seconden. y sin( P = + ( t Punt Q met seconde achterstand op P geeft als parametervoorstelling voor de baan van Q : xq = + cos( ( t cos( xq = + t (met t in s y sin( econden. ( sin( Q = + t y Q = + t Punt R met een fasevoorsprong van op P geeft een voorsprong van = seconde. De parametervoorstelling voor de baan van R is: xr = + cos( ( t + x cos( ( R = + t y sin( ( (met t in seconden. R = + t + y sin( ( R = + t

17 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 7/ Gemengde opgaven 0. Goniometrie en beweging sin( x cos( x sin( x Ga = = tan( x. sin ( x cos( x Gb cos ( x sin ( x = cos ( x + sin ( x cos ( x sin ( x = cos( x = cos( x. sin( x sin( x cos( x sin( x Gc = = = tan( x. + cos( x cos ( x cos( x Gd cos( x y cos( y sin( x y sin( y = cos( x y + y = cos( x. Ga sin( x cos( x = Gc cos( x + = sin( x sin( x cos( x = sin( x + + = sin( x + sin( x = x + = x + + k x + = x + k x = + k x = + k geen oplossing x = + k x = + k x = + k. x = + k. Gb cos( x = sin( x Gd cos( x sin ( x = cos( x = cos( x cos( x + cos( x = x = x + k x = x + + k cos( x = cos( x = x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k x = + k. x = + k x = + k. 8 G7a f ( x = f ( x = g( x g( x = sin( x = sin( x = cos( x cos( x = x =. x =. x =. O V = ( sin( x dx ( cos( x dx cos( x x sin( x x + = + = cos( cos( + sin( sin( = = G7b I ( L = sin d cos d ( x x + x x = ( cos( x dx + ( + cos( x dx ( x sin( x ( x sin( x sin( ( sin( + ( + sin ( + sin = + + = = = omtrek f '( x dx g '( x dx G7c = = + cos ( x dx sin ( x dx (fnint, f ( x = cos( x + sin( x f '( x = cos( x sin( x + cos( x = sin( x + cos( x. G8a f '( x = 0 sin( x + cos( x = 0 cos( x = sin( x cos( x = sin( x cos( x = cos( x x = x + k (geen oplossing x = x + + k x = + k x = + k. 8 f ( x = cos ( x + sin( x = cos ( x + + sin( x = cos( x + + sin( x. absoluut maximum (zie fig G. : f ( = cos( + + sin( = + + = + 8 absoluut minimum (zie fig G. : f ( B f = [, + ]. = cos + + sin = + = 8

18 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 8/ G8b f ( x = g( x cos ( x + sin( x = sin( x O ( V = ( sin( x ( cos ( x + sin( x dx cos ( x = sin( x cos ( x = sin( x cos( x = cos ( x sin( x cos( x = 0 ( sin( x cos ( x dx cos( x ( cos( x sin( x = 0 cos( x = 0 cos( x = sin( x = ( sin( x cos( x dx x = + k cos( x = cos( x x = + k x = x + k x = x + + k = cos( x sin( x x x = + k geen oplossing x = + + k x = + k x = = cos sin + cos( + sin( + + k. x op [0, ] x = x = = =.. G8c C het midden van AB als g( p = f ( p sin( p = cos ( p + sin( p sin( p = cos ( p sin( pcos( p = cos( pcos( p sin( p cos( p = 0(voldoet niet sin( p = cos( p = tan( p = tan( p =. cos( p G9a De grafiek van f (dezelfde als in G8 is vermoedelijk lijnsymmetrisch in de verticale lijn door de eerste top rechts van de y -as. Vermoedelijk lijnsymmetrisch in de lijn x =. (zie de berekening in G8a 8 f ( + p = cos ( + p + sin( + p = cos ( + p + + sin( + p = cos( + p + sin( + p = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p sin( p + cos( p + sin(p + = cos( p +. f ( p = cos ( p + sin( p = cos ( p + + sin( p = cos( p + sin( p = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p + sin( p + cos( p sin( p + = cos( p +. f ( + p = f ( p (voor elke p de grafiek van f is symmetrisch in de lijn x = G9b Vermoedelijk puntsymmetrisch in A(,. ( A precies midden tussen de toppen bij x = en x = zie G8a f ( + p = cos ( + p + sin( + p = cos( + p + sin( + p = cos( cos( p sin( sin( p + sin( cos( p + cos( sin( p + = cos( p + sin( p cos( p + sin( p + = sin( p +. f ( p = cos ( p + sin( p = cos( p + sin( p = cos( cos( p + sin( sin( p + sin( cos( p cos( sin( p + = cos( p sin( p cos( p sin( p + = sin( p +. f ( + p + f ( p = sin( p + + sin( p + = f is symmetrisch in A(, f ( x = 0 sin ( x + sin( x = 0 sin( x sin( x + = 0 sin( x = 0 sin( x = x = k x = + k x = + k. x op [0, ] nulp.: x = 0 x = x = x = x =. O ( V = sin ( x sin( x dx cos( x sin( x dx x sin( x cos( x = = sin cos ( 0 sin(0 cos(0 = 0 + ( 0 0 = +. G0a G0b G0c f ( x = sin ( x + sin( x = sin( x + sin( x f '( x = sin( x cos( x + cos( x f '( x = 0 sin( x cos( x + cos( x = 0 cos( x = 0 sin( x + = 0 x = + k sin( x =. x = f ( x = f = sin + sin = ( + = =. sin( x = f ( x = ( + = = =. 8 f ( x = p heeft precies vier oplossingen (zie figuur G. en de berekening hierboven voor < p < 0 0 < p <. 8

19 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 9/ L(grafiek van f = + f '( x dx = + sin( x cos( x + cos( x dx (fnint,07. G0d 0 0 Ga g( x = sin( x + cos( x g '( x = cos( x sin( x. g '( x = 0 cos( x = sin( x cos( x = cos( x x = x + k x = x + + k A x = + k x = + k x = + k x = + k. x op [0, ] x = x = x = x =. Dit geeft toppen: A(,, B(,, C (, en D(,. f = cos sin = = = = A en C liggen op de grafiek van f. f cos sin = = = = Gb = ( + ( = ( + + O ( V sin( x cos( x cos ( x sin( x dx sin( x cos( x cos ( x sin( x dx ( sin( x cos( x ( cos( x dx ( sin( x cos( x dx cos( x sin( x x = + + = = = cos( sin( cos( sin( = ( = =. omtrek( V f '( x dx g '( x dx Gc = = + 8cos( x sin( x cos( x dx + + cos( x sin( x dx (fnint, 7. f ( x = sin ( x + p cos( x = sin ( x + p sin ( x = p (de andere termen vallen weg voor p =. Ga p Gb fp ( x = sin ( x + p cos( x = ( sin( x + p cos( x fp '( x = sin( x cos( x p sin( x = sin( x p sin( x = p sin( x. fp '( x = ( p sin( x < p < < p < 0 > p > 0 0 < p <. a a a a f ( x dx sin ( x p cos( x dx cos( x p cos( x d x ( p cos( x dx a = x + ( p sin( x = a + ( p sin( a ( 0 + ( p sin(0 = a + ( p sin( a. 0 Onafhankelijk van p als sin( a = 0 a = k a = k. Gegeven: a op [0, ] a = 0 a = a =. Gc p = ( + = ( + = ( + cos( x ( + sin( x sin( x cos( x cos( x sin( x sin ( x cos ( x sin( x Ga f ( x = f '( x = = =. + sin( x ( + sin( x ( + sin( x ( + sin( x f '( x = 0 (teller = 0 sin( x = 0 sin( x = x = + k x = + k. Gegeven: x op [, ] x = x =. cos( minimum (zie plot : f ( = = = = + sin( cos( B f = [, ]. maximum (zie plot : f ( = = = = + sin( 9 cos( x cos( x 9 cos( x cos( x 9 cos ( x Gb f ( x f ( x = = = = 7 + sin( x + sin( x 7 + sin( x sin( x 7 sin ( x 7 7 cos ( x = ( cos ( x cos ( x = cos ( x = cos( x = ± = ± = ± x = + k. Gegeven: x op [, ] x = x = x = x =. B C V f g D

20 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg 0/ Ga t op [0, ] t op [0, ]. De baan is driekwartcirkel met middelpunt (, en straal. t = Gb y = x + + sin( t = cos( t + B sin( t = cos( t cos( t = cos( t + y = x + t = t + + k t = t + k t = t = (, geen oplossing t = + k t = + k. 8 t op [0, ] t = t = A. 8 8 t = 0 t = x cos( en sin( (,. 8 P = + = + = + y P = + = + = A + t = x cos( en sin( (,. 8 P = + = + = y P = + = + = + B + Gc x = 0 ( y -as y = 0 ( x -as + cos( t = 0 + sin( t = 0 cos( t = sin( t = cos( t = sin( t = t = + k t = + k t = + k t = + k t = 7 + k t = + k t = + k t = + k t = 7 + k t = + k t = + k t = + k x > 0 (zie de baan van P 0 t < 7 y > 0 (zie de baan van P < t Uit bovenstaande regel volgt dan: x > 0 en tevens y > 0 (zie de baan van P < t < 7. 0, 0, Ga v = 0, m/s per seconde gedeelte van de cirkel rad/s = rad/s.,, Gb x =,cos( t + t = 0 ( t in seconden en x en y in meters. y =,sin( t + (,;0 Gc De volgende koker loopt cirkel = = radialen achter. x =,cos( t + ( t in seconden en x en y in meters. y =,sin( t + Gd y = 0, 8,sin( t = 0, 8 (intersect t 8, 70 t, 0. y < 0, 8 (zie plot 8, 70 < t <, 0. Dus gedurende, seconde. O wateroppervlak y = 0,8 Ga f( x = + sin ( x + cos( x = + cos( x + cos( x = + cos( x = + sin( x + = + sin(( x +. Dit geeft a =, b =, c = en d =. Gb f n = + sin + cos( n = + ( + cos( n = cos( n = n = + k n = + k. 0 < n < 0 n = n = 8 n = 0 n =. Gc f( x = + sin ( x + cos( x = + cos( x + cos( x = cos( x + cos( x. Gd O ( V = ( f( x dx 0 = ( ( cos( x + cos( x dx 0 = ( + cos( x cos( x dx 0 V = x + sin( x sin( x 0 = + sin sin(8 0 + sin(0 sin(0 = ( =. O (rechthoek ABCD = = 0. Dus de grafiek van f verdeelt de rechthoek in twee gebieden met dezelfde oppervlakte.

21 G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / G 7a x = sin( t en y = cos( t geeft de ciirkel met middelpunt (0, 0 en straal. x = sin( t en y = cos( t geeft de ciirkel met middelpunt (0, 0 en straal. t =, de grote wijzer heeft rondgang gemaakt het is 8 minuten over. 0 G7b Wijzers (niet de eindpunten vallen over elkaar sin( t = sin( t en cos( t = cos( t. ( t = t + k t = t + k en tevens ( t = t + k t = t + k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k ( t = k t = + k en tevens ( t = k t = k t = k het eerste tijdstip na t = 0 is dus t =. G7c afstand = ( sin( t sin( t + ( cos( t cos( t = 9 sin ( t sin( t sin( t + sin ( t + 9cos ( t cos( t cos( t + cos ( t = 9( sin ( t + cos ( t + ( sin ( t + cos ( t cos( cos( ( t t + sin( t sin( t = 9 + cos( t t = cos( t. G7d Een gelijkbenige driehoek als afstand = afstand = cos( t = cos( t = cos( t = 9 cos( t = cos( t = cos( t = 9 cos( t = cos( t = Het eerste moment na t = 0 (cos(0 = volgt uit cos( t = t 0, 7 t 0,. G8a f ( x = sin( x T = (, en A(, 0. g(0 = 0 (0 = 0 de grafiek van g gaat door O. g = ( = = = de grafiek van g gaat door T. g = ( = 0 = 0 de grafiek van g gaat door A. G8b f ( x = sin( x f '( x = cos( x. g( x = x ( x = x + x g '( x = 8 x +. f '(0 = cos(0 = en g '(0 = = > g '(0 > f '(0. G8c ( g( x f ( x d x ( ax ( x sin( x dx ( ax ax sin( x dx ax ax cos( x = = = a a + cos ( a 0 a 0 + cos(0 = a a ( = a. ( g( x f ( x dx = 0 a = a = a =. 0

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW)

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW) Hoofdstuk 8 Goniometrie 8. De eenheidscirkel Opgave : PQ a. sin 6 PQ sin 6 0,9 OQ cos6 OQ cos 6 0, b. P0,;0,9) Opgave : a. POQ 80 6 PQ 0,9 OQ 0, P0,;0,9) b. cos 0, sin 0,9 x P cos 0, y P sin 0,9 c. POQ

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1 Beoordelingsmodel Vraag Antwoord Scores Gelijke oervlakte maximumscore f' ( x) = x x = geeft x = Dit geeft x = ( ) ( ) f = = (dus de coördinaten van T zijn ( ) maximumscore 6 De oervlakte van V is ( )

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km)

80 is het vaste bedrag. (moet je betalen onafhankelijk van het aantal km) C. von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1d t = 10 A = 0, 8 10 + 3 = 8 + 3 = 26 (miljoen ha). Bij halverwege 1985 hoort t = 15, 5 A = 0, 8 15, 5 + 3 = 21, 6 (miljoen ha). Het snijpunt met de verticale as is

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5

Opgave 1: a. als je vanuit punt A 1 naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te 5 0 2,5 Hoofdstuk 6: De afgeleide functie 6. Hellinggrafieken Opgave : als je vanuit punt A naar rechts gaat, moet je 6 omhoog om weer op de raaklijn te komen, dus rc 6 b. c. d. x 0 4 helling 6,5 0, 5, 5 0,5 Opgave

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

Lessen wiskunde uitgewerkt.

Lessen wiskunde uitgewerkt. Lessen Wiskunde uitgewerkt Lessen in fase 1. De Oriëntatie. Les 1. De eenheidscirkel. In deze les gaan we kijken hoe we de sinus en de cosinus van een hoek kunnen uitrekenen door gebruik te maken van de

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvak wiskunde B (pilot) Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vakspecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links.

13,5% 13,5% De normaalkromme heeft dezelfde vorm als A (even breed en even hoog), maar ligt meer naar links. G&R havo A deel C. von Schwartzenberg /8 a Er is uitgegaan van de klassen: < 60; 60 < 6; 6 < 70;... 8 < 90. b c De onderzochte groep bestaat uit 000 personen. (neem nog eens GRpracticum uit hoofdstuk 4

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

Eerste en derdegraadsfunctie

Eerste en derdegraadsfunctie Eerste en derdegraadsfunctie Gegeven zijn f (x) = (x 2 1)(x 1½) en g (x) = x + 1½ ; De grafieken van f en g snijden beide de y-as in A(0, 1½) en de x-as in B(1½, 0). De grafiek van g raakt in punt A aan

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

tan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN

tan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN ) Gegeven: een rechthoekige driehoek ABC. Schrijf de volgende goniometrische getallen in functie van de lengten van de zijden van

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5

a. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 015 tijdvak 1 woensdag 13 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 17 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Over de functies arcsin, arccos en arctan

Over de functies arcsin, arccos en arctan Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang:

Voor de beoordeling zijn de volgende passages van de artikelen 41, 41a en 42 van het Eindexamenbesluit van belang: wiskunde B, Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel Regels

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1

Vraag Antwoord Scores. M π 35,5 en dit geeft M 3959 ) (cm 2 ) 1 ( ) 2. 93 (2642 4 3959 2642) ) 1 De inhoud van de ton is dus 327 (liter) 1 Eindexamen wiskunde B havo 0 - II Beoordelingsmodel Tonregel van Kepler maximumscore 6 G = B = π 9 ( 64) (cm ) Voor de cirkel op halve hoogte geldt: πr = (met r de straal van de cirkel in cm) Hieruit volgt

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H24 GONIOMETRIE VWO 1 H GONIOMETRIE VWO.0 INTRO 6 km : 0.000 = cm b b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de 00 vergrotingsfctor is 0 = 7. Dus PQ = 680 = 0, dus zeilt ze 0 meter 7 in minuten. Dt is,8 km/u.. HOOGTE

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B pilot havo 2011 - I Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - I Beoordelingsmodel Overlevingstijd maximumscore 3 Voor T 0 geldt: Voor T 0 geldt: R 7, ( ) 77 0,0780,0030 R 7, ( ) 70 0,0780,0030 Dus de overlevingstijd is 70 keer

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2001-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2001-I Eindexamen wiskunde B- vwo 00-I 4 Antwoordmodel Boottocht Het gezochte punt is het snijpunt van en de middelloodlijn van het lijnstuk van het punt P aximumscore 6 = =, met het midden van dus = 90 Het punt

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

2 maximumscore 4 10 km komt overeen met cm cm heeft ( =) 6666,66 seconden nodig

2 maximumscore 4 10 km komt overeen met cm cm heeft ( =) 6666,66 seconden nodig Beoordelingsmodel Domino Day maximumscore snelheid = 9 snelheid = 3 = (cm/s) maximumscore 4 0 km komt overeen met 000 000 cm 000 000 000 000 cm heeft ( =) 6666,66 seconden nodig Dit zijn, minuten Het tijdstip

Nadere informatie

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = =

( ) 1. G&R vwo A deel 4 16 Toepassingen van de differentiaalrekening C. von Schwartzenberg 1/13 = = C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b 1c 1 1 1 4 5 4 6 4 4 5 f ( ) 6 + 6 6 + 6 6 f '( ) 4 + + 4 4 + + 4 g( ) 5 8 g '( ) 5 1 5 Onthou: y y '( ) 1 8 8 1 1 1 h + + + h'( ) 1 1 7 6 6 k ( ) ( 1) + 8 k '( ) 1( 1 )

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vaksecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO. wiskunde B1,2

Correctievoorschrift HAVO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs 0 04 Tijdvak inzenden scores Verwerk de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school in het programma Wolf of vul

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II

Eindexamen wiskunde b 1-2 havo 2002 - II Pompen of... Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 dm heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm 3 ). figuur 1 4p 1 Bereken de diameter van het vat. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Voorbeeldexamen Wiskunde B Havo

Voorbeeldexamen Wiskunde B Havo Voorbeeldexamen Wiskunde B Havo Datum: Tijd: 13:00-16:00 Aantal opgaven: 6 Aantal subvragen: 18 Totaal aantal punten: 67 ) Zet uw naam op alle blaadjes die u inlevert. ) Laat bij iedere opgave door middel

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1

Examen VWO. wiskunde B1 wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 5 Voor dit eamen zijn maimaal 87 punten te behalen; het eamen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer is

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden Uitwerkingen ij _ Voorkennis: Sinusoïden V_ a A( π, ), B( π, ), C( π, ) en D(π, ) Met de rekenmachine : Y = sinx Y = Met CALC, Intersect of G-Solve, ISCT: c V_ a x,6, x,5 of x,67 Bij een verschuiving van

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

GONIOMETRIE MAAR DAN ANDERS. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14

GONIOMETRIE MAAR DAN ANDERS. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14 GONIOMETRIE MAAR DAN ANDERS Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 3 Docentenhandleiding... 5 BIJLAGEN... 10 Goniometrie, leerling blad 1... 10 INTRODUCTIE sinusoïde... 11 WISKUNDIGE DENKACTIVITEIT GONIOMETRIE...

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B, (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 0 ijdvak Inzenden scores Uiterlijk op 0 mei de scores van de alfabetisch eerste tien kandidaten per school

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 2 De staplengte is 1600 : 2754 1 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) (of 0,58 meter) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 2 De staplengte is 1600 : 2754 1 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) (of 0,58 meter) 1 Eindexamen wiskunde vmbo gl/tl 00 - I Beoordelingsmodel Stappenteller maximumscore De staplengte is 600 : 754 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) ( 0,58 meter) Als het antwoord in meters gegeven

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Eindexamen vmbo gl/tl wiskunde 2011 - I

Eindexamen vmbo gl/tl wiskunde 2011 - I OVERZICHT FORMULES: omtrek cirkel = diameter oppervlakte cirkel = straal 2 inhoud prisma = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak hoogte inhoud kegel = 1 3 oppervlakte grondvlak

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2008 tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.

Nadere informatie

Antwoorden SpiroSporen

Antwoorden SpiroSporen Antwoorden SpiroSporen Paragraaf 2 Tanden, toppen, toeren 1 1200 : (3,14 0,7) = 546. 2 2 keer. 3 a. 4 keer. b,c,d 4 a. b. c. Een sterachtige kromme, draaisymmetrisch van orde n. 5 Een lijnstuk door het

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Opgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule

Opgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 009 Datum: 14 jan 009 Aantal opgaven: 6 Beschikbare tijd: 100 minuten De maximale score is 90 punten, vooraf 10 punten: totaal 100 punten. Aantal te

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur Examen VWO 2007 tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie