Hoofdstuk 3 Verdelingen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 3 Verdelingen Voorkennis: Statistische verwerking ladzijde 0 V-a inkomen in euro s cum. frequentie rel. cum. frequentie c d V-a [000; 000,9% [000; ,0% [00; ,0% [000; 000 0,0% [000; ,% [000; ,7% [7000; 00 9,9% [00; ,% [9000; ,0% Het gemiddelde wordt erekend met ehulp van de klassenmiddens en is ongeveer 87 euro. De modus is het klassenmidden van de modale klasse en de modale klasse is die met de hoogste frequentie (dus [000; 000 ), de modus is dan 00 euro. De mediaan is de middelste waarneming qua grootte, in dit geval de 8e nadat de waarnemingen op volgorde zijn geracht. Deze waarneming moet in klasse [000; 000 zitten, dit is de mediane klasse. Uitgaande van de veronderstelling dat de waarnemingen in die mediane klasse wel ongeveer homogeen verdeeld zullen zijn, 0, 0 38, 0 vind je de mediaan door interpolatie: mediaan = 00 euro., 0 38, 0 De relatieve cumulatieve frequenties worden uitgezet tegen de rechter klassengrenzen. recl. cum. freq inkomen Je leest af dat ongeveer 70,% van de huishoudens een inkomen heeft lager dan 00 en ongeveer 7,% een inkomen lager dan Dus ongeveer,7% heeft een inkomen tussen 0 en 00. Invoeren van de klassenmiddens en ijehorende frequenties in je GR levert σ(x) 77. Het percentage van de inkomens dat minder dan één standaardafwijking ligt van het gemiddelde ligt dus tussen = 90 en = euro. Op de manier van V-d lees je af: 8, %, % =, 8%. 8

2 ladzijde 3 V-3a P( X = 0) = P( rrrr) = = 0, 0 0 P( X = ) = P( wrrr), = 3 = P( X = ) = P( wwrr), = = P( X = 3 ) = P( wwwr), = 3 = P( X = ) = P( wwww) = = 0, E( X ) = =, 8 c Als Y het aantal rode allen is in de steekproef, dan is 9 Y = X E( Y) = E( X) = E( X) = =, 8. V-a % heeft cijfer hoger dan 7. c Het gemiddelde cijfer is 7,. In het staafdiagram is dit aangegeven door een stippellijn. V- De verwachting is ongeveer 0 0, + 0, + 0, + 3 0, + 0, , 0 + 0, 0 =, Standaardafwijking ij een kansverdeling ladzijde a schutter schutter schutter 3 ptn freq. ptn freq. ptn freq

3 a Gemiddelde score schutter is =. 0 Gemiddelde score schutter is + = 3. 0 Gemiddelde score schutter 3 is = 9. 0 Invoeren van de gegevens in je GR levert via -Var Stat achtereenvolgens de standaardafwijkingen,09, en voor schutter 3 nog eens. P( S = 0) = 0 = 0 = 0, s 8 0 P( S = s) 0,3 0,8 00 0, 0,0 c E( S ) = 0, 3 + 0, 8 + 0, 0 + 0, 8 + 0, 0 0 =,. ladzijde 3 3a De steekproefgrootte (de 3 flesjes die Claudia koopt) is klein ten opzichte van de omvang van de restpartij. Steekproef trekken met of zonder teruglegging maakt voor de verdeling van X niet zoveel uit en daarom is X ij enadering inomiaal verdeeld. Als o = onruikaar en = ruikaar, dan is P( X = ) P( o), (, ), 3 = = 0 3. c x 0 3 P( X = x) 0,87 0,3 0,007 0,000 a P( X = 0) = inompdf ( ; 0, ; 0) 0, 000 P( X ) = inomcdf ( ; 0, ; ), 0000 c P( X 8) = P( X 7) = inomcdf ( ; 0, ; 7) = 0, 00 d P( X 9) = inomcdf ( ; 0, ; 9) inomcdf ( ; 0, ; ) 0, 009 e P( X > ) = P( X ) = inomcdf ( ; 0, ; ) 0, f P( X < ) = P( X ) P( X ) = inomcdf ( ; 0, ; ) inomcdf( ; 0, ; ) 0, 8 a P( X 8) = P( X 7) = inomcdf ( ; 0, 8; 7) = 0, 97 Deze geeurtenis komt overeen met X = 8 en P( X = 8) = inompdf ( ; 0, 8; 8) = 0, 39. c Je verwacht % van is 9,. Of met gehele patiënten: 9 a 0. 0

4 a Invoeren van Y = inompdf( 3; 0, ; X) levert met TABLE de verdeling van M: 3 3 En dus is E( M ) = = Voer de kansverdeling via STAT EDIT in L en L je GR in. Via STAT CALC krijg je: σ( M ) = 0,. De helft daarvan, dus 0 keer. Bij 0 keer gooien dus 00 keer. c E( M) = p n of (geruikelijker) E( M) = n p. d De regel van Shamira levert σ( M ) = 3 = 3 0, en geeft dus hetzelfde resultaat. e Invoeren van Y = inompdf( 8; 0, ; X) levert met TABLE de verdeling van M: 7a m 0 3 P( M = m) 0,0039 0,03 0,09 0,88 0,73 m 7 8 P( M = m) 0,88 0,09 0,03 0,0039 Invoering van de kansverdeling via STAT EDIT in L en L van je GR geeft via STAT CALC: σ( M), 39 terwijl de formule σ( M) 8 =,. Deze waarden komen goed overeen. Het verschil is te verklaren uit afrondingen ij de geruikte kansverdeling. Als X het aantal zessen is dan is (indien er sprake is van een zuivere doelsteen) deze stochast Bin( 0, ) - verdeeld en is de verwachting E( X ) = 0 = 0 en de standaardafwijking σ( X ) = 0 =, E( Y ) = 00 0, = 0 en σ( Y ) = 00 0, 0, 8 = =

5 3. Verdelingen, continu en discreet ladzijde 8a Eén doelsteen: P( X = ) = Twee doelstenen: P( X = ) = P(, ) + P(, 3) + P( 3, ) + P(, ) = = 9 Drie doelstenen: P( X = ) = P(,, 3) + P(,, ) + P(, 3, ) + P(,, ) + P(,, ) P( 3,, ) Overeenkomsten: Ze zijn symmetrisch en nemen slechts gehele waarden aan. Verschillen zijn er in de range van mogelijke waarden en de vorm van de verdeling. c Het staafdiagram horend ij het werpen van zes doelstenen zal meer de klokvorm van de normale verdeling volgen, iets wat nog sterker het geval is ij het staafdiagram horend ij het werpen van twintig doelstenen. 9a c 0a c = ( ) = Het frequentiepolygoon zal meer lijnstukjes omvatten, maar verwacht mag worden dat de pieken en dalen in het polygoon minder scherp zullen zijn. Deze grafiek kan niet ij het werkelijke gewicht van de eieren horen omdat in het midden van de voorkomende waarden niet een dal kan zitten (vergelijk het staafdiagram ij onderdeel a). De continuïteit van de verdeling is wel reëel: in tegenstelling tot die ehorend ij meetwaarden, die altijd een afronding kennen en dus niet alle mogelijke waarden kunnen aannemen. Discreet. Continu. Beide zijn discreet. Bij meetwaarden (digitaal gemeten of analoog) is dat altijd het geval. ladzijde a Continu. Tussen twee mogelijke waarden kunnen alle waarden worden aangenomen. Dit is, gram (om symmetrieredenen). c De oppervlakte onder de curve is tussen en, groter dan tussen 3, en 3,. a Voor 9 van de rooksters geldt dat, 8 = x σ < geoortegewicht van kind < x + σ = 3, 8, dit is dus 3,3%. Voor 0 van de niet-rooksters geldt dat 3, = x σ < geoortegewicht van kind < x + σ =,, dit is dus 7,7%. 3 3

6 3a Voor 8 van de rooksters geldt dat, 3 = x σ < geoortegewicht van kind < x + σ =, 3, dit is dus 93,3%. Voor 9 van de niet-rooksters geldt dat, < x σ < geoortegewicht van kind < x + σ =, 08, dit is dus 9,7% Een vloeiende kromme als enadering van het relatieve frequentiepolygoon heeft duidelijk niet helemaal de klokvorm van de normale verdeling. In het interval x σ; x + σ = 0, ; 07, liggen ij enadering = 7, 8 waarnemingen, dit komt overeen met 8,0%. 0 In het interval x σ; x + σ = 0, ; 08, liggen ij enadering = 373, waarnemingen, dit komt overeen met 0 93,%. De meetresultaten voldoen dus perfect aan de eerste vuistregel en iets minder aan de tweede. 3.3 Rekenregels voor stochasten ladzijde a D = S + 00, E( D) = E( S) + 00 De verdeling van D is ten opzichte van die van S 00 euro verschoven, maar de vorm is identiek. Er zal hier dus voor de spreidingsmaten σ ( D) en σ ( S) gelden dat ze gelijk zijn. E( F) = E(, 8 C + 3) =, 8 E( C) + 3 =, = 77; σ( F) = σ(, 8 C + 3) =, 8 σ( C) =, 8, =, (want de verschuiving is niet van elang). a De verdelingen van X en X : x 3 P( X x) = x 3 P( X x) = Invoeren van de verdelingen in je GR en geruikmaken van STAT CALC levert E( X ) =, 7 ; σ( X ) 0, 89 ; E( X ) =, en σ ( X ),. 3

7 De verdeling van S = X + X is: s 3 7 P( X + X = x) c Invoeren van de verdeling in je GR en geruikmaken van STAT CALC levert E( S) =, ; σ ( S), 399. d E( X + X ) = E( X ) + E( X ) =, 7 +, =, e σ( X ) + σ( X ) = 0, 89 +, =, 97 en σ( X + X ) =, 399 dus niet aan elkaar gelijk. f σ ( X + X ) = σ ( X ) + σ ( X ); eide grootheden zijn (ongeveer) gelijk aan,399. ladzijde 7 7a E( T) = E( C + L) = E( C) + E( L) = 7 + = 37 8a σ( T) = σ( C + L) = σ ( C) + σ ( L) = 3 + = 3, 37. De totale colaconsumptie zal voor 8% van de gevallen liggen tussen E( T) σ( T) liter en E( T) + σ( T) 38 liter De verdeling van X is: x 3 P( X x) = Via je GR of een symmetrieredenering vind je E( X ) = 3 en via je GR σ( X), 7078 X is het duele aantal ogen van de eerste worp, is dus ijv. altijd even en verder onafhankelijk van de uitkomst van de tweede worp. X + X is het aantal ogen van eide worpen samen, hangt dus af van de uitkomst van eide doelstenen en kan dus zowel even als oneven waarden aannemen. c E( S ) = E( X + X + X ) = E( X ) + E( X ) + E( X ) = 3 E( X) = 3 3 ; X, X en X zijn onafhankelijk en dus is 3 σ( S ) = σ( X + X + X ) = σ ( X ) + σ ( X ) + σ ( X ) = 3 σ( X), d E( S ) = E( X + X + X X ) = E( X ) + E( X ) + E( X ) E( X ) = E( X) = 0 3 = 3 e σ( S ) = σ( X + X + X X ) = σ ( X ) + σ ( X ) + σ ( X ) ( X ) = 0σ ( X) = 0 σ( X), 00 f E( S ) = n E( X), σ( S ) = n σ( X) n n g E( G) = E( S ) = E( S ) = 0 E( X) = E( X) = 3 en σ( X) σ( G) = σ( S ) = σ( S ) = 0 σ( X) = 0, a X, X, X,..., X zijn onafhankelijk en Norm( 0, ) verdeeld, dus is 3 0 E( T) = 0 E( X) = 0 0 = 00 en σ( T) = 0 σ( X) = 0 8, 97 σ( X) 3 E( X) = E( X) = 0 en σ( X) = = 0, σ 0

8 0a 3. De normale verdeling ladzijde µ µ µ + Met de eerste vuistregel. %. c Dit is natuurlijk 0%. d Het percentage van de potten met een gewicht tussen 00 en 0, gram is hoger dan de helft van het percentage van de potten met een gewicht tussen 00 en 0 gram (3%). De reden is dat de oppervlakte onder de kromme tussen 00 en 0, groter is dan de oppervlakte onder de kromme tussen 0, en 0 gram. e normalcdf( 00; 0, ; 00; ) 0, 9 a Voer in je GR in Y = / / e^( ( X 00) / 00) en geruik optie CALC 7. Je vindt: 0 ( x 00) 0 98 e π dx = 0, 3. De praktische etekenis: het gedeelte potten oploskoffie uit opdracht 9 met een nettogewicht tussen 98 en 0 gram. 0 ( x 00) 0 99 e π dx = 0, 37. c P( 99 < X < 0) = normalcdf( 99; 0; 00; ) 0, 37 d P( X > ) = normalcdf( ; 0 ^ 99; 00; ) 0, 008 dus ongeveer 0,8% ladzijde 9 a P( 0 < L < 70) = normalcdf( 0; 70; ; 7, ) 0, 08 Je kunt ijvooreeld als linkergrens 0 ^ 99 geruiken. c P( L < 8, ) = normalcdf( 0 ^ 99; 8, ; ; 7, ) 0, 7 d P( L > ) = normalcdf( ; 0 ^ 99; ; 7, ) 0, 03 e Deze kans is gelijk aan ( P( X > 70) ) = ( normalcdf ( 70; 0 ^ 99; ; 7, ) ) 0, 009 f Het aantal leerlingen met die eigenschap dat je mag verwachten is n p = 3 P( X 0) = 3 normalcdf ( 0 ^ 99; 0; ; 7, ) 3 0, 09 9 leerlingen. 3a P( X > 37, ) = normalcdf ( 37, ; 0 ^ 99; 3, 9; 0, ) 0, 87, dus ongeveer,9%. P( 3, 0 < X < 37, 0) = normalcdf ( 3, 0; 37. 0; 3, 9; 0, ) 0, 99, dus ongeveer 9,9%. σ( X) σ( X) = = σ( X) = 0, c X is Normal( 3, 9; 0, ) verdeeld, dus P( X > 37, ) = normalcdf ( 37, ; 0 ^ 99; 3, 9; 0, ) 0, 078

9 3. Terugrekenen ladzijde 70 a a = µ σ = 7 = 9; = µ σ = 7 = 33; c = µ + σ = + 7 = 377; d = µ + σ = + 7 = 0; P( X < c) = 0, 8 en P( X < d) = 0, 97, dus r ligt tussen c en d. c P( X > ) = 0, 0 en P( X > 377) = 0,. Lineair interpoleren geeft 3 r + ( 377 ), maar misschien moet je iets dichter ij zoeken 3 omdat daar de klokvormige kromme daar hoger is. r 39 zou een goede schatting kunnen zijn. a, + 3, = % 3% r? r zou in de uurt van 88 kunnen liggen. Voer in GR in Y = normalcdf( 0 ^ 99; X; 00; ). Via TABLE en TBLSET vind je de gevraagde r op twee decimalen nauwkeurig: En dus is r 88, 9 c Uiteraard is P( Y < 88, 9) = normalcdf ( 0 ^ 99; 88, 9; 00; ) 0, 0. De methode die ij is gevolgd maakt het overodig dat er nog wordt gecontroleerd. a Longcapaciteit L is Norm(00, 00)-verdeeld. Voor welke r is P( L r) = 0, 0 of P( L < r) = 0, 9? Dit is dan invnorm( 0, 9; 00; 00) 0, 3. Dus % van de studenten heeft een longcapaciteit van 0,3 cm 3 of hoger. P( L r) = 0 0, 3, dus r = 33 invnorm( 0, 3 ; 00 ; 00 ) 390, 7. Dus 0 van de 33 studenten heen een longcapaciteit van 390,7 cm 3 of lager. ladzijde 7 7a P( I < 0) = normalcdf( 0 ^ 99; 0; ; 38) 0, 09, dus ongeveer 9,%. Als de minimale inhoud voor een sticker r is, dan is dus P( X r) = 0, 0 en dus ook P( X < r) = 0, 9 en r = invnorm( 0, 9; ; 38) 9, 0 ml. 8a Hij moet het gemiddelde volume naar oven ijstellen omdat dan de kans op een fles met een volume van minder dan 0 ml eginnend ij 9,% (zie uitkomst opgave a) naar eneden kan gaan.

10 Voer in je GR in Y = 00 normalcdf( 0 ^ 99; 0; X; 38). Als je TBLSET op de juiste manier instelt, vind je via TABLE de hele tael: c De gewenste instelling is dan te vinden door verder te zoeken tussen 88 en 890 ml: Dus is het antwoord 888 ml. 9 Voer nu in je GR in Y = 00 normalcdf( 0 ^ 99; 0; ; X). Via TABLE vind je na enig zoeken dat de standaardafwijking ongeveer, ml moet zijn: 3. Normaal of niet-normaal ladzijde 7 a P( L < 0) = normalcdf ( 0 ^ 99; 0; ; ) 0, 00en P( L < ) = normalcdf ( 0 ^ 99; ; ; ) 0, 9. Voer in je GR in Y = normalcdf( 0 ^ 99; X; ; ). Met TABLE vind je de in de tael in te vullen kansen: 7

11 c d e f x P( L < x) 0 0, , , , , , , , , , ,00 0,07 0,08 3 0,8 0,8 0,0000 0,9 7 0,83 8 0, , , ,998 0,99977 De cumulatieve verdeling van L wordt: P(L>,) P(L<,) Er is geen waarde waarij de cumulatieve verdeling exact is. Rechts van die waarde zou de oppervlakte onder de normale verdelingsfunctie gelijk zijn aan 0. Dit is niet het geval omdat altijd geldt: 8 e ( x ) > 0. De afgeleide van de cumulatieve normale verdelingsfunctie is de gewone normale verdelingsfunctie. Deze laatste is altijd positief en heeft zijn maximum ij de verwachtingswaarde. Voor de cumulatieve verdelingsfunctie etekent dit dat deze overal stijgt, maar het steilst stijgt rond de verwachtingswaarde van de verdeling. Op die manier is in te zien dat de cumulatieve verdelingsfunctie van een normale verdeling altijd een S-vorm heeft. 8

12 3a - Voor geen enkele Normale verdeling estaat er een waarde x zodat P( X x) gelijk is aan 0 of. c In de eerste grafiek zijn de percentages lineair uitgezet, terwijl = 7. Bij de tweede grafiek is dat niet geval. Omdat de klokvorm van de normale verdeling ij µ hoger is dan verderop, hoort ij intervallen met gelijke lengte in de uurt van µ een hoger(e) kans/percentage. d e Beide grafieken schuiven eenheden naar rechts op. Beide grafieken worden ten opzichte van de lijn x = 3 horizonttaal vermenigvuldigd met factor. ladzijde 73 3a lengte in dm freq. cum. freq. rel.cum. freq.(%) [, ; 7, 0, [ 7, ; 8, 3 0,8 [ 8, ; 9, 8, [ 9, ; 0, 0 3,8 [ 0, ;, 8, [, ;, 9 9 7,7 [, ; 3, 8, [ 3, ;, 9 7 8, [, ;, 9 33, [, ;, ,3 [, ; 7, 3 8 9,3 [ 7, ; 8, 0 9, [ 8, ; 9, 99, [ 9, ; 0, ,8 [ 0, ;, 00,0 99,99 99,9 99,9 99,8 99, , 0, 0, 0,0 0,0 c 0,0 0,0 0, 0, 0, , 99,8 99,9 99,9 99,99 7, 8, 9, 0,,, 3,,,, 7, 8, 9, 0,, De relatief cumulatieve frequenties geven aan hoeveel procent kleiner is dan de rechter klassengrens. Dit oven het klassenmidden of zelfs aan het egin van de klasse zetten geeft dus een verkeerd eeld. De punten liggen ongeveer op een rechte lijn en dus mag je aannemen dat de lengtes van de maïsplanten ongeveer normaal verdeeld zijn. 9

13 d Bij,3 dm lees je af ongeveer %, dus % heeft een lengte van minder,3 dm. e Bij dm lees je af ongeveer 8%, dus 8% heeft een lengte van hoogstens dm en dus % heeft een lengte van meer dan dm. f Aflezen ij 0% levert het gemiddelde op. Dit is ongeveer,. Aflezen ij % levert op de waarde van het gemiddelde minus één standaardafwijking. Bij onderdeel heen gezien dat ij % de waarde,3 hoort en dus is de standaardafwijking ongeveer,, 3 =, 3. 33a tijd aantal cum.freq. rel.cum. freq. % [ 0; 0 3 3, [ 0; 70, [ 70; 3 0 7,9 [ ; ,8 [ 90; ,3 [ 00; ,9 [ 0; , [ 0; 79 99, [ ; 0 00 c 99,99 99,9 99,9 99,8 99, , 0, 0, 0,0 0, ,0 0,0 0, 0, 0, , 99,8 99,9 99,9 99,99 De relatieve frequenties op normaal waarschijnlijkheidspapier uitgezet tegen de rechterklassengrenzen geeft punten die erg goed op een rechte lijn liggen en de tijden zijn dus vrijwel normaal verdeeld. Aflezen ij 0% levert het gemiddelde op. Dit is ongeveer 9, seconden. Aflezen ij % levert de waarde van het gemiddelde minus één standaardafwijking op. Je vindt de waarde 77, en dus is de standaardafwijking ongeveer 9, 77, =, 0 seconden. Invoeren in je GR van klassenmiddens met ijehorende frequenties geeft als gemiddelde tijd 9,9 seconden. Redelijk in de uurt dus van het gemiddelde dat ij onderdeel. 3 Als Jan grafisch te werk gaat moet hij zijn gemiddelde met een halve klassenreedte ( seconden)ophogen. De door hem gevonden standaardafwijking zal correct zijn. 0

14 3.7 Normale verdeling met discrete waarden ladzijde 7 3a Om P( X ) te epalen via het staafdiagram moet je qua oppervlakte ij, eginnen. Bij de enadering met de normale verdeling moet je dat natuurlijk aanhouden. P( X ) = P( X*, ) normalcdf (, ; 0 ^ 99; ;, ) 0, 9 3a P( X > 3) = P( X* 3, ) normalcdf ( 3, ; 0 ^ 99; 7, 3;, 8) 0, 987 P( X ) = P( X*, ) normalcdf ( 0 ^ 99;, ; 7, 3;, 8) 0, 7778 c P( X > 7) = P( X* 7, ) normalcdf ( 7, ; 0 ^ 99; 7, 3;, 8) 0, 97 d P( X 78) = P( X* 77, ) normalcdf ( 77, ; 0 ^ 99; 7, 3;, 8) 0, 373 e P( < X < 8) = P(, X* 8, ) normalcdf (, ; 8, ; 7, 3;, 8) 0, 837 f P( X < 70) = P(, X* 9, ) normalcdf (, ; 9, ; 7, 3;, 8) 0, 98 37a P( A ) = P( A*, ) normalcdf ( 0 ^ 99;, ;, 9; 0, 3) 0, 09 P( A = ) = P(, A*, ) normalcdf (, ;, ;, 9; 0, 3) 0, 08 ; de verwachting van het aantal loemen met precies kelkladeren in de steekproef is dan ongeveer 0, 08 =, De enadering met de normale verdeling is eter naarmate p dichter ij ligt. De normale enadering van Bin( 0; 0, ) lijkt niet zo goed. ladzijde 7 39a P( X 8) = inomcdf ( ; 0, 0; 8) 0, 73 en P( Y ) = inomcdf ( ; 0, 0; ) 0, E( X) = 0, 0 = 0 en σ ( X) = 0, 0 0, 0 = ; de normale enadering geeft P( X 8) = P( X* 8, ) normalcdf ( 0 ^ 99; 8, ; 0; ) 0, 70 en E( Y) = 0, 0 =, en σ( Y ) = 0, 0 0, 9, 09 P( Y ) = P( Y*, ) normalcdf ( 0 ^ 99;, ;, ;, 09) 0, 000. De normale enadering van P( X 8) is dus vrij goed, maar de enadering van P( Y ) geeft een grote procentuele fout. c P( 000 < T 0) = inomcdf ( 000; 0, ; 0) inomcd f( 000; 0, ; 000) 0,. 0a P( R ) = inomcdf ( 8; 0, ; ) 0, 83; P( T 0) = inomcdf ( ; 0, ; 0) 0, 8 P( R ) = P( R*, ) = normalcdf ( 0 ^ 99;, ; 8 0, ; 8 0, 0, 9) 0, 793; P( T 0) = P( T* 0, ) = normalcdf ( 0 ^ 99; 0, ; 0, ; 0, 0, 9) 0, 83 c Voor waarden van p die ver van af liggen (zoals 0,) is voor een goede normale enadering een wat grotere n nodig. a E( W) = n p = 0, 8 = en σ( W) = n p ( p) = 0, 8 0, = 3 P( W 70) = inomcdf ( ; 0, 8; 70), 000 ; P( N 70, ) = normalcdf ( 0 ^ 99; 70, ; ; 3), 000; het verschil is dus 0,000.

15 c P( 0 W 700) = P( W 700) P( W 9) 0, 90; P( 9, N 700, ) = normalcdf ( 9, ; 700, ; ; 3) 0, 9 ; verschil is nu 0,00. d P( W a) < 0, 0 P( W a ) > 0, 9; voer in je GR in Y = inomcdf( ; 0, 8; X ) + via TABLE vind je als oplossing a 700. a De kans op een lik met verstreken houdaarheidsdatum verandert steeds per trekking (ook al is het niet veel) want hij trekt zonder teruglegging en voldoet dus niet aan voorwaarden voor een inomiaal toevalsexperiment. P( B ) = P( X = ) + P( X = ) + P( X = 0) P( B = 0) = P( ggggg) = 0, P( B = ) = P( ggggv) = , P( B = ) = P( gggvv) = P( B ) 0, , 8 en dus is 97 9 c Omdat de steekproefgrootte klein is ten opzichte van de populatiegrootte is het verschil tussen trekken met en zonder teruglegging klein, zodat de verdeling van B hier goed enaderd kan worden door een Bin( ; ) = Bin( ; ) verdeling. 0 d P( B ) inomcdf ( ; ; ) 0, 878. De enadering is dus inderdaad wel redelijk. e Je gaat uit van de formules voor verwachting en standaardafwijking van de inomiale verdeling en dus krijg je E( B) = = en σ ( B) = =. De normale 3 enadering is dan P( B, ) normalcdf ( 0 ^ 99;, ; ; ) 0, 8. Dit is toevallig een goede enadering. Vaak zal zo n enadering niet goed uitpakken vanwege 3 de geringe steekproefgrootte. 3.8 Gemengde opdrachten ladzijde 7 3a De kans op een vangst- en sorteertijd die minder dan 0 minuten edraagt is 0,0 evenals de kans op een tijd van meer dan 70 minuten. Gegeven is dat X een normale verdeling heeft, dus is volgens de vuistregels µ σ = 0 en µ + σ = 70 en is dus µ = 0 en σ =. T = X + X X en de X 0 i onderling onafhankelijk en allemaal Norm( 0; ) -verdeeld. Dat etekent dat T ook normaal verdeeld is parameters µ = 0 E( X) = 00 en σ = 0 σ( X ) = 0. c Negen en een half uur komt overeen met 70 minuten en dus is P( T 70) = normalcdf ( 0 ^ 99; 70; 00; ) 0, 08. Het uitgangspunt van uur is dus niet erg realistisch. 9 a Laat V het vetgehalte zijn van de melk in een willekeurig pak, dan is P( V < 3, ) = normalcdf ( 0 ^ 99; 3, ; 3, 0; 0, 0) 0, 00 en dus zal ongeveer % van de pakken een vetgehalte van minder dan 3,% heen. P( V x) = 0, P( V < x) = 0, 8 en dus is x = invnorm( 0, 8; 3, 0; 0, 0) 3,.

16 c Laat H het vetgehalte zijn van de melk in een willekeurig pak halfvolle melk. Voer nu in je GR in Y = normalcdf(, ; 0^ 99;, 0; X) en Y = 0, 0. Intersect geeft σ( H) 0, 039. ( ) = ( = ) a P P = P P = 8 en P P P P pleiten voor symmetrie. a De oxplot is niet compleet omdat het maximum en het minimum van de inkomensverdeling niet ekend is. c Stel dat hier sprake is van een normale verdeling, dan is µ = P 0 =. Voer in je GR in Y = normalcdf( 0 ^ 99; 3; ; X) en Y = 0, 7. Intersect geeft σ, 8. Er zou dus sprake zijn van een Norm( ;, 8) verdeling. Omdat P 90 = 9 zou dit gelijk ook moeten zijn aan invnorm( 0, 9; ;, 8 ), maar deze laatste is ongeveer 0, en dus is de verdeling niet (helemaal) normaal. ladzijde 77 Je voorziet de tael van cumulatieve en relatief cumumlatieve gegevens: gevraagd aantal fietsen per dag aantal dagen aantal dagen cumulatief relatief cum. in % -9 3, , , , , , De rel. cumulatieve gegevens zet je uit tegen de rechterklassengrenzen op normaal waarschijnlijkheidspapier: 99,99 99,9 99,9 99,8 99, , 0, 0, 0,0 0,0 9, 7, 99,, 9, 7, 99, 0,0 0,0 0, 0, 0, , 99,8 99,9 99,9 99,99 De punten liggen vrijwel perfect op een rechte lijn en dus mag je aannemen dat het hier om een normale verdeling gaat. Bij 0% lees je af µ 0 en ij % lees je af µ σ 7 en dus is σ 3. P( F > 9) = P( F > 9, ) normalcdf ( 9, ; 0 ^ 99; 8; 37) 0, , 0, dus er zullen in 0% van de dagen niet genoeg fietsen zijn. 3

17 ( ) = (euro). Voor c De verwachte extra netto winst per dag zou zijn 0 0, 8 + 0, een jaar zou hij 3 = 7 euro meer winst kunnen verwachten. d Stel je het ij n fietsen een kans p dat er fietsen te weinig zijn. De verwachte extra netto winst in het geval van één fiets extra is p 8 + ( p) ( ) = 0p. Deze grootheid is voor het eerst gelijk aan 0 als p = 0,. Dus P( F > n) = 0, of P( F n) = P( F n + 0, ) = 0, 8 en er geldt n + 0, = invnorm ( 0, 8; 8; 37) 7, n 7. 7 Als X het aantal enodigde trekkingen voorstelt dan is 3 3 P( X = ) = P( r) = = 0, ; P( X = ) = P( wr) = = 0, 3; P( X = 3) = P( wwr) = = 0, 3 3 en P( X = ) = P( wwwr) = = 0,. Met ehulp van STAT EDIT invoeren van 3 deze verdeling in je GR levert met STAT CALC op E( X) = en σ ( X) =. 8a X is het aantal keren dat het door de klant gekozen getal ij een doelsteen verschijnt. Deze stochast is Bin( 3; ) verdeeld. E( X ) = 3 = c w P( W = w) 0 = P( X = 0) = inompdf ( 3; ; 0) 0, 787 d 0 = P( X = ) = inompdf ( 3; ; ) 0, = P( X = ) = inompdf ( 3; ; ) 0, 09 0 = P( X = 3) = inompdf ( 3; ; 3) 0, 00 E( W) = 0 0, , , , 00 3, 9. Test jezelf ladzijde T-a P( X ) = 0, + 0, , , 0 = 0, 8 E( X ) = 3 0, , , 0 = 39, c Voor elke zaterdag is de kans dat niet aan de vraag kan worden voldaan gelijk aan 0,8 (zie onderdeel a). En of al dan niet aan de vraag kan worden voldaan is verder voor een zaterdag onafhankelijk van de geeurtenissen op andere zaterdagen. En dus is Y Bin( n; 0, 8) verdeeld, waarij n het aantal zaterdagen is in een jaar (dit kan of 3 zijn). T-a B is een continue variaele: tussen een tweetal mogelijke waarden kan elke waarde worden aangenomen.

18 T-3a µ µ µ + c P( B < 00) = normalcdf ( 0 ^ 99, 00, 000, 00) 0, 8. De verwachting van het aantal Lumilampen onder de 0 met minder dan 00 randuren is dan ongeveer n p = 0 0, 8 = 7 spaarlampen. d P( 00 < B < 0) = normalcdf ( 00, 0, 000, 00) 0, 88. De verwachting van het aantal Lumilampen onder de 0 met minder dan 00 randuren is dus ongeveer n p = 0 0, 88 = spaarlampen. Laat X i het aantal randuren zijn van het i-de lok en S die van een doos, dan is S = X + X X en E( S) = E( X ) + E( X ) E( X ) = 0 = 0 (uren). 0 0 Omdat redelijk is te veronderstellen dat de X i onafhankelijk van elkaar zijn is σ( S) = σ ( X ) + σ ( X ) σ ( X ) = 0, 0 0, 79 (uren). 0 E( X) E S = E( S) = = 0 = (uren) en σ( X) = σ S σ( S),, = 0 79 = T-a Dit is P( ph < 7, ) 00% = normalcdf ( 0^ 99; 7, ; 7, ; 0, ) 00%, 7%. P( 7, 3 < ph < 7, ) 00% = normalcdf ( 7, 3; 7, ; 7, ; 0, ) 00%, % c P( ph < 7, of ph > 7, 7) 00 % = ( normalcdf ( 0 ^ 99; 7, ; 7, ; 0, ) + normalcdf ( 7, 7; 0 ^ 99; 7, ; 0, ) ) 0, 7 Dus 7,%. d Het gemiddelde ph is Norm 7 0,, ; verdeeld en dus is, P( ph > 7, ) = normalcdf ( 7, ; 0 ^ 99; 7, ; 0 ) 0, 08. ladzijde 8 T-a Het percentage meetwaarden tussen 9,0 en 9, cm ongeveer normalcdf( 9, 0; 9, ; 9, ;, 0) 00% 8, %. Het gaat dan om 8, % van 8 3 leerlingen. Dit interval ligt symmetrisch ten opzichte van het gemiddelde 9,. De rechtergrens is ij enadering gelijk aan invnorm( 0, ; 9, ;, 0) 9, 83 ( = 9, + 0, 33). De linkergrens is dan ongeveer 9, 0, 33 = 9, 07. c Het komt erop neer dat moet gelden voor de score X van een willekeurige leerling. uit deze nieuwe klas dat P( X < 8, 0) = 0, 3 terwijl X is Norm ( 9, ; σ) -verdeeld. Voer in je GR in Y = normalcdf( 0 ^ 99; 8, 0; 9, ; X). Met TABLE vind je σ, Noordhoff Uitgevers v

19 T-a 99,99 99,9 99,9 99,8 99, , 0, 0, 0,0 0,0 9,, 9,, 9, 7, 79, 8, 89, 0,0 0,0 0, 0, 0, , 99,8 99,9 99,9 99,99 Er gaat ij enadering een rechte lijn door de data en dus is er hier ij enadering sprake van een normale verdeling. Je leest hieroven af dat het percentage auto s met een snelheid van minder dan 8 km per uur ongeveer gelijk is aan 9,%. c Je leest µ af ij 0% en dus is µ 8,. Bij % hoort µ σ 9, 7 en dus is σ 8, 9, 7 = 8, 8. d P( S < 8) = normalcdf( 0 ^ 99; 8; 8, ; 8, 8) 0, 937. Deze normale enadering komt redelijk in de uurt van de 9,% die ij onderdeel werd gevonden. T-7a Laat S het aantal schuen zijn, dan is P( S < 7) = P( S < 7, ) normalcdf ( 0 ^ 99; 7, ; 8; ) 0, 0. P( S 87) = P( S > 8, ) normalcdf ( 8, ; 0 ^ 99; 8; ) 0, 3. c Volgens een vuistregel voor de normale verdeling geldt P( µ σ S µ σ) 0, 9. Het gaat dus hier om het interval 7; 90. Je het nu echter geen rekening gehouden met de continuïteitscorrectie. Als je deze correctie echter toepast op dit interval krijg je P( 7 S 90) = P( 73, < S < 90, ) normalcdf ( 73, ; 90, ; 8; ) 0, 9. Zo gek dus nog niet. d Als s de gevraagde grens is, dan is s = invnorm( 0, 9; 8; ) 87, 3 s 87, T-8a Dat de verdeling spitser wordt ij kleinere standaardafwijkingen is duidelijk. Omdat de oppervlakte onder klokvormige grafiek steeds is, zal deze grafiek in de uurt van de verwachtingswaarde dus smaller en tegelijk hoger zijn. Dit is het geval als trekken zonder teruglegging goed enaderd kan worden door trekken met teruglegging (steekproefgrootte klein ten opzichte van populatiegrootte) en als vervolgens de ijehorende inomiale verdeling weer goed enaderd wordt door de normale verdeling (als de steekproefgrootte niet te klein en de ijehorende p niet te ver van de waarde ).