Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Transcriptie

1 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine ladzijde V-a x+ x= x+ 6x= 9x a a= a a= 8a c x+ ( x- ) = x+ x+ - = x+ x- 6= x - 6 d a - ( a+ ) = a - a- = a -a-8 V-a 5xx ( - ) = 5x x- 5x = 5x - 5x pp ( - ) + p- p = p p- p+ p- p = p - p+ p- p = p - p - p+ p= p - p c t ( t 5 + t ) = t t 5 + t t = t + t d k + k ( k - k ) = k + k k + k - k = k + k - k 7 V-a x + 6= d p+ = 6p+ 8 x = - 6 p- 6p=- + 8 x = 6 - p = 6 x = 6: p = 6: - x = p =- x+ 6= x e ( x - ) = x- x=- 6 x - 6= x =- 6 x = + 6= 9 x =-6: x = 9: x =- x = c a+ 8= a+ f r- = ( r+ 5) a- a=- 8+ r- = r+ a =- r- r = + a =-: - r = a =- r = : - r =- V-a x = 6 d a( a+ ) = x= 6 of x=- 6 a= of a+ = x= of x=- a= of a=- a - 5 = a= of a=- : =- a = 5 e ( a- )( a+ ) = a= 5 of a=- 5 a- = of a+ = a= 5 of a=-5 a= of a=- c xx ( - ) = f ( x- )( x+ ) = x= of x- = x- = of x+ = x= of x= x= of x=- x= of x=- : =- 8 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

2 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine ladzijde 5 V-5a De grootste factor in 5p + 5p is 5p want 5p = 5p p en 5p = 5p Dit geeft voor h = 5p + 5p de ontinding h = 5p(p + ) De grootste factor in q 7q is q want q = q q en 7q = q 9 Dit geeft voor K = q 7q de ontinding K = q(q + 9) c De grootste factor in W(t) =,t +,t is,t want,t =,t t en,t =,t Dit geeft voor W(t) =,t +,t de ontinding W(t) =,t(t + ) d De grootste factor in p = 5q 6 q is 5q want 5q 6 = 5q q en q = 5q 6 Dit geeft voor p = 5q 6 q de ontinding p = 5q (q 6) V-6a Voor de ontinding van y= x + 8x + zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som +8. Die getallen zijn + en +6. Dus de ontinding is y= ( x+ )( x + 6) Voor de ontinding van fx ()= x + x+ 9 zoek je twee getallen waarvan het product +9 is en de som +. Die getallen zijn + en +9. Dus de ontinding is y= ( x+ )( x + 9) c Voor de ontinding van Nt ()= t - 5t+ zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som 5. Die getallen zijn 5 en. Dus de ontinding is Nt () = ( t-5)( t- ) d Voor de ontinding van Q( p)= p + p+ zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som +. Die getallen zijn + en +. Dus de ontinding is Qp ( ) = ( p+ )( p+ ) = ( p + ) e Voor de ontinding van v= r - 5r + zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som 5. Die getallen zijn en. Dus de ontinding is v= ( r-)( r - ) f fx ()= + x + x in de juiste volgorde zetten geeft fx ()= x + x+ Voor de ontinding hiervan zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som +. Die getallen zijn + en +. Dus de ontinding is fx () = ( x+ )( x+ ) = ( x + ) g hp ( )= p + + pin de juiste volgorde zetten geeft hp ( )= p + p+ Voor de ontinding hiervan zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som +. Die getallen zijn + en +. Dus de ontinding is hp ( ) = ( p+ )( p+ ) h Voor de ontinding van B= L -5L - zoek je twee getallen waarvan het product is en de som 5. Die getallen zijn +5 en. Dus de ontinding is B= ( L+ 5)( L - ) i k = 65-8m+ m in de juiste volgorde zetten geeft k = m - 8m + 65 Voor de ontinding hiervan zoek je twee getallen waarvan het product +65 is en de som 8. Die getallen zijn 5 en. Dus de ontinding is k = ( m-5)( m - ) j Voor de ontinding van gx ()= x - x+ zoek je twee getallen waarvan het product + is en de som -. Die getallen zijn en -. Dus de ontinding is gx () = ( x- )( x- ) Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 9

3 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine ladzijde 6 a c Er zijn drie snijpunten met de x-as, dus zijn er ook drie oplossingen. Voor de TI-rekenmachine: Kies CALC en dan ZERO. Zet de cursor iets links van een snijpunt met de x-as en toets ENTER. Verplaats vervolgens de cursor naar een punt dat iets rechts van het snijpunt ligt en toets ENTER. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G-Solv en dan ROOT. Bij eide rekenmachines wordt het snijpunt met de x-as nu automatische gevonden en kun je de oplossing aflezen. Om de volgende snijpunten met de x-as te vinden ga je als volgt te werk: ij de TI-rekenmachine: op dezelfde manier als ij het eerste snijpunt alleen plaats je de cursor nu rond het nieuwe snijpunt. ij de Casio: druk op de rechter pijltjestoets (met de de linker pijltjestoets vind je het vorige snijpunt). Je vindt hiermee als oplossingen: x,9 ; x,5 en x,9 Voor de top ij het maximum: ij de TI-rekenmachine: Kies CALC en dan MAXIMUM. Zet de cursor iets links van de top en toets ENTER. Herhaal dit voor een punt iets rechts van de top. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G-Solv en dan MAX. Bij eide rekenmachines worden de coördinaten van de top nu automatisch gevonden en kun je de oplossing aflezen. Je vindt (in twee decimalen) de coördinaten (,88;,6) voor de eerste top. Voor de top ij het minimum: ij de TI-rekenmachine: Kies CALC en dan MINIMUM. Zet de cursor iets links van de top en toets ENTER. Herhaal dit voor een punt iets rechts van de top. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G-Solv en dan MIN. Bij eide rekenmachines worden de coördinaten van de top nu automatisch gevonden en kun je de oplossing aflezen. Je vindt (in twee decimalen nauwkeurig) de coördinaten (,88;,6) voor de tweede top. a Op de manier die ij de uitwerking van opdracht c is gegeven vind je de nulpunten p, en p,8. Op de manier die ij de uitwerking van opdracht d is gegeven vind je (in drie decimalen nauwkeurig) de coördinaten (,57;,9). a Susan heeft de grafiek met de standaardinstellingen voor het venster geplot. Carl heeft Xmax van het venster vergroot tot ijvooreeld of hij heeft (een aantal keren) uitgezoomd. Kies daarvoor ZOOM en dan ZOOM OUT en ENTER ij de TI. Kies ij de Casio eerst ZOOM en OUT en daarna de EXE-knop. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

4 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine Geruik op je rekenmachine de instellingen Invoer: Y =.X^ X 6X Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Op de manier die ij de uitwerking van opdracht c is gegeven vind je de nulpunten x,787; x = en x 6,787 a c Bij de snijpunten van de grafieken f en g heen de functies ft () en gt () dezelfde uitkomst en geldt dus ft () = gt (). De t-waarde ij een snijpunt is dus een oplossing van t + t =- t + 7 Bij Xmin =, Xmax = 5, Ymin = en Ymax = krijg je wel alle snijpunten in eeld. Voor de TI-rekenmachine: Kies CALC en dan INTERSECT. Zet de cursor iets links van een snijpunt en toets ENTER. Verplaats vervolgens de cursor naar een punt dat iets rechts van het snijpunt ligt en toets ENTER. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G-Solv en dan ISCT. Bij eide rekenmachines wordt het snijpunt nu automatische gevonden en kun je de oplossing aflezen. Om de volgende snijpunten te vinden ga je als volgt te werk: ij de TI-rekenmachine: op dezelfde manier als ij het eerste snijpunt alleen plaats je de cursor nu rond het nieuwe snijpunt. ij de Casio: druk op de rechter pijltjestoets (met de de linker pijltjestoets vind je het vorige snijpunt). Je vindt hiermee als oplossingen: t 7,887 en t,887 ladzijde 7 5 Als je invoert Y = *.5^X voer je de functie fx () = 5, -in (want machtsverheffen gaat oven aftrekken). x- De juiste invoer voor fx () = 5, is Y = *.5^(X ). De haakjes zorgen ervoor dat de exponent nu x - is. x 6a Invoer: Y = X +X 7 Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x 5,66 en x,66 Toppen: Opties voor TI: CALC, MINIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MIN Coördinaten: (, ) Invoer: Y = X^ 5X Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x =,5 ; x = en x =,5 Toppen: Opties voor TI: CALC, MAXIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MAX Coördinaten (,89; 9,6) Opties voor TI: CALC, MINIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MIN Coördinaten: (,89; 9,6) Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

5 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine c Invoer: Y = *.^X Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin = 5, Ymax = Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossing: x,6 Toppen: Er zijn geen toppen. d Invoer: Y = 8 (8 5.X+X ) Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x,76 en x,6 Toppen: Opties voor TI: CALC, MAXIMUM. Opties voor Casio: G-Solv, MAX Coördinaten: (,65;,) x = 7a De vergelijking, 8 5 los je op door het snijpunt te vinden van de grafieken x van y = 8, en y = 5 Invoer: Y = *.8^X Y = 5 Venster: Xmin = 5, Xmax = 5, Ymin =, Ymax = Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: x 8,97 8a Invoer: Y = (X )^ Y = X+ Venster: Xmin =, Xmax = 6, Ymin =, Ymax = Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: x,56 Invoer: Y = 5/X Y = X + Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: n, c Invoer: Y = (X) Y =.5X+ Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Oplossing: geen, de lijn lijft oven de wortelfunctie d Invoer: Y = 5*.5^X Y = 8 Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: t, 9a Op t = zijn er 5-85, 89 = 5-85 = 685 vliegjes. t Los op: 5-85, 89 = Invoer: Y = 5 85*.89^X Y = Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = 5 Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: t,9 dagen Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

6 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine c Het tijdstip waarop er vliegjes zijn: t Los op: 5-85, 89 = Invoer: Y = 5 85*.89^X Y = Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: t,6 dagen Het tijdstip waarop er vliegjes zijn: t Los op: 5-85, 89 = Invoer: Y = 5 85*.89^X Y = Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: t 8, dagen De toename van naar vliegjes vindt plaats in 8,,6 6, dagen. d Als t zeer groot wordt nadert 89, t naar nul, dus lijft in de formule alleen 5 over. De asymptoot etekent dat er uiteindelijk zo n 5 vliegjes in leven lijven in de afgesloten ruimte. ladzijde 8 a Los op: q- =- 5q+ Invoer: Y = X Y = 5X+ Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: q = q- =- 5q+ c 6x- = x+ 5 +5q +5q x x 8q - = x - = 5 8q = + x = 5+ 8q = x = 5 q = : 8 x = 5 : q = x = 5 -( x- ) = x + - x+ 6= x x= x x= x + 6 x x - 6x = 6 x = 6: -6 x =- Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

7 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine a a + 5= d t- = t- a =- (5 afgetrokken) t- = t- a =- : =- t- t =- + p+ = - p t = p+ p= - e 8x- 7= x+ 5p = 5x = 9 p = x = 9 : 5= 5 5 c -( x- ) = ( x + ) f -( p - ) = 8 - x+ = x + (haakjes uitgewerkt) - p + 6 = 8 - x+ 7= x+ (vereenvoudigd) - p + = 8 - x =-5 (x en 7 afgetrokken) - p =- x =-5: - = p =- : - = a Taxidirect: Pa () = 75, a + ATAX: Pa () = 6, a + 6 De ritprijs ij eide edrijven is gelijk als geldt 75, a+ = 6, a+ 6 Oplossen geeft: 75, a-, 6a= 6-5, a = a = :, 5 a = Als a > km is de prijs van ATAX lager dan de prijs van Taxidirect. ladzijde 9 a De gele rozen zijn het goedkoopst en daarvan kun je dus de meeste kopen. Voor e 5,- kun je er een os met 5 : 5, = rozen mee maken. Tien rode rozen kosten,75 = 7,5 euro. Van de 5 euro lijft dus 5 7,5 = 7,5 euro over voor de gele rozen. Daarvoor kun je er 75, : 5, = 5 kopen. c De prijs van alle gele rozen samen = de prijs van één roos (e,5) het aantal gele rozen (g), dus,5 g ofwel,5g. De prijs van alle rode rozen samen is,75r. De prijs van de os estaat uit de prijs van de gele rozen en de prijs van de rode rozen ij elkaar opgeteld. Dat is,5g +,75r. De prijs van de os mag 5 euro zijn, dus er moet gelden,5g +,75r = 5. d De grafiek ij de formule kun je niet plotten want er staan twee variaelen in in plaats van één. Je kunt de formule niet invoeren in je rekenmachine in de vorm Y = waarij je alleen de X als variaele geruikt. e g r g r 8 6 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

8 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine 5a 5, g+, 75r = 5. Als g een functie van r moet zijn dan moet je de formule zó schrijven dat er alleen maar g links van het isgelijkteken komt te staan. Dus 5, g = 5-, 75r (,75 afgetrokken) g = -5, r (met vermenigvuldigd) Het antwoord is dus g = -5, r De plot komt overeen met de tekening van de tael in opdracht e. 6a a- = 5 c a+ =- a= + 5 a+ 8=-6 a= + a=-8-6 a= a- 5 = 5-6a= a= a Er kunnen : = zwarte dakpannen die dag gemaakt worden. Eén rode dakpan weegt kg, dus R rode dakpannen wegen R kg. Eén zwarte dakpan weegt kg, dus Z zwarte dakpannen wegen Z kg. Samen wegen de rode en zwarte dakpannen dus R + Z kg. Dat moet gelijk zijn aan de totale hoeveelheid verwerkte klei van kg, dus moet gelden R + Z =. c R+ Z = R=- Z+ R=- Z+ 6 r z Let er ij je tekening op dat R en Z alleen positieve waarden kunnen heen. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 5

9 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine d Om de grafiek van de dagproductie te kunnen plotten moet je R+ Z =7 ook schrijven als functie van Z. Dus R=- Z+ 7 Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: Z = 6 en R = Het snijpunt is dus (6, ) e Uit de oplossing ij d vind je meteen dat het aantal rode dakpannen R gelijk aan is, en het aantal zwarte dakpannen Z gelijk is aan 6. Je kunt dat op de volgende manier ook met algera uitrekenen: Als het totale aantal geproduceerde dakpannen 7 is geldt R + Z = 7 Maar voor het aantal kilo s klei moet ook gelden R+ Z = De waarden van R en Z die hieraan voldoen liggen ij het snijpunt van de grafieken van de formules (zie ook opdracht d). Schrijf ij eide formules R als functie van Z en ereken de coördinaten van het snijpunt. Dat geeft R+ Z = R+ Z =7 R=- Z+ R=- Z+ 7 R=- Z+ 6 Voor het snijpunt geldt - Z+ 6 =- Z Z+ =- Z Z =-6 Z = 6 De waarde van R ereken je het eenvoudigst uit R=- Z+ 7 en geeft R = =. Er zijn dus rode en 6 zwarte dakpannen geproduceerd. Controle: de waarde van R erekend uit R=- Z+ 6 geeft eveneens. ladzijde 8a De totale oprengst TO kan alleen maar een positieve waarde zijn, dus alleen voor de waarden van a waar dat het geval is zijn zinvol. Zoek met de Cals > Zero (TI) of G-Solv > ISCT (Casio) het snijpunt met de horizontale as. Je vindt dat voor a = 67,5 Voor a 675, is a dus zinvol. 6 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

10 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine Een waarde van 67,5 etekent 67,5 aardappels per m ofwel 67,5 = 5 aardappels per m. Plot de lijn Y = ij de plot uit vraag a en zoek de snijpunten op. Je vindt de waarden a en a 6 c De top van de grafiek vindt je met Calc > Maximum (TI) of G-Solv > Max (Casio) voor a =,75 d Plot de functie Y = 6.X ij de plot uit vraag a en zoek de snijpunten op. Je vindt de waarden a = en a = 5 e Voor a tussen en 5 ligt de grafiek van TO oven de lijn TK = 6, a, dus voor deze waarden van a wordt er winst gemaakt. 9a Invoer: Y = X X Venster: standaardinsteling Opties: CALC, ZERO (TI) of G-Solv, ROOT (Casio) Oplossing: x = en x = Voor het ontinden in factoren van x -x- zoek je twee getallen die als product leveren en als som. Die getallen zijn + en. Het voorschrift wordt dus fx () = ( x+ )( x- ) c Voor de nulpunten geldt fx ()=. In het voorschrift staat een vermenigvuldiging van ( x + ) met ( x - ). De uitkomst is dus nul als ( x + ) = of ( x - ) =. De nulpunten vind je dus door ( x + ) = en ( x - ) = op te lossen. De oplossingen hiervan zijn direct af te lezen als x = en x =. xx ( - ) = x + x - x= x + x -x- = ( x+ )( x- 6) = x+ = of x- 6= x=- of x= 6 a x -x- 6 =- d t - t+ = x -x- = t - 5t+ 6= ( x+ )( x- ) = ( t-)( t- ) = x + = of x - = t - = of t - = x =-of x = t = of t = x + 6x+ 9= e A( A+ ) = ( x+ )( x+ ) = A= of A+ = x + = A= of A=- x =- A= of A=- c q - 5q= 5 f 5, v = 9 q -5q- 5 = v = 9:, 5 = 6 ( q+ 5)( q- ) = v= 6 of v=- 6 q + 5 = of q - = v= 6 of v=-6 q =-5 of q = a fx ()= x + x- fx () = ( x- )( x+ 6) Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 7

11 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine x + x- = ( x- )( x+ 6) = x- = of x+ 6= x= of x=-6 c Functie gx () is functie fx ()vermenigvuldigd met de waarde. Als fx () nul is dan is - fx ()ook nul. De nulpunten van fx ()zijn dus ook nulpunten van - fx ()ofwel van gx (). Je kunt dit ook aan de ontinding in factoren van gx () zien: -x - x + 6= - ( x + x - ) = -( x- )( x + 6) = ( x- )( x+ 6) = (delen door ) x - = of x + 6= x = of x =-6 ladzijde a x + x- 8= ( x- )( x+ ) = x- = of x+ = x= of x=- x - x= x -x- = In de ac-formule is a =, =- en c =- D= - ac = (-) - - = x = - + D = + of x = - - D = - a a x 58, of x -58, c x = - 6x x + 6x- = In de ac-formule is a =, = 6 en c =- D= - ac = = 8 x = - + D = of x = - - D = a 6 a 6 x 5, of x -5, d aa ( - ) = 6 a -a- 6= Dit los je weer op met de ac-formule, maar schrijf eerst de vergelijking met de letter x als variaele om niet in de war te komen met de letter a uit de ac-formule: x -x- 6= In de ac-formule is a =, =- en c =-6 D= - ac = (-) - - 6= 8 x = - + D = + 8 of x = - - D = - 8 a 6 a 6 x = of x =- Schrijf de oplossing tenslotte weer op met de oorspronkelijke letter a als variaele: a = of a =- 8 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

12 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine e ( t+ )( t- ) = t+ = of t- = t =- of t = t =- of t = f 8TO - TO =- 8TO - TO + = In de ac-formule is a = 8, =- en c = D= - ac = (-) - 8 =-9 De discriminant is negatief, dus er zijn geen oplossingen. a Bij een prijs van 5 euro is de verwachte vraag q=- p+ 8 = = 5 duizend computerspellen. De totale oprengst hiervan is 5 5 =,55 miljoen euro. Totale oprengst TO = prijs per spel p aantal verkochte spellen q TO = pq = p ( - p+ 8) =- p + 8p Met de formule voor q ereken je het aantal verkocht spellen in duizentallen. De prijs p voor een enkel spel is in euro s. De formule drukt de waarde voor TO dus uit in duizenden euro s. c Het edrag 5,7 miljoen euro druk je eerst uit in duizenden euro s omdat dit de eenheid is van de formule voor TO. Dat is 57 duizend euro, dus los op TO = 57 - p + 8p = 57 - p + 8p - 57 = In de ac-formule is a =-, = 8 en c =-57 D= - ac = = p = - + D = of p = - - D = a -6 a -6 p = of p = 6 Bij een prijs van,- of 6, euro per spel zal de totale oprengst dus 5,7 miljoen euro zijn. d TK = q + TK = ( - p + 8) + TK =- 69p TK =- 69p + 7 e TO = TK - p + 8p=- 69p p + 9p - 7 = In de ac-formule is a =-, = 9 en c =-7 D= - ac = = 5 p = - + D = of p = - - D = a -6 a -6 p 8, of p 88, 5a Invoer: Y = (X+) Y = 5 Venster: standaardinstellingen Opties: CALC, INTERSECT (TI) of G-Solv, ISCT (Casio) Oplossingen: ( 6,; 5,) en (,76; 5,) Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 9

13 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine ( x + ) = 5 ( x+ )( x+ ) = 5 x + x+ x + 6 = 5 x + 8x+ 6= 5 x + 8x+ = a =, = 8 en c = D = 8 - = x = , of x = , c Als je een ordje legt op x + krijg je = 5. Dus = 5 of =- 5. Dat etekent x + = 5 of x + =- 5 x = , of x = , d De manier met het ordje is het handigst. ladzijde 6a Het antwoord van Anne is exact en correct. Yasser heeft het antwoord van Anne enaderd in twee decimalen. De antwoorden van Anne zijn goed. Die geven ij het invullen in de vergelijking exact als uitkomst. 7a 9x + = 9x =- x =- 9 -, x- 7= 6x+ 7x = 8 x = 8: 7= 7, c x = 5 x = 5 : = 5 x= 5, of x=- 5 -, d 5, n - 9= 7 5, n = 6 n = 5 n= 5 7,5 of n=- 5-75, 8a De tweedegraadsvergelijking y= x + x - heeft een positieve waarde voor de discriminant ( - ac = - - = 9 ) dus er zijn twee nulpunten. Door de tael uit te reiden vind je als andere oplossing, Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

14 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine ladzijde 9a Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x,86 en x,686 Bij x, zie je de eerste verandering van teken. Bij x,7 zie je de tweede verandering van teken. c x -x- = In de ac-formule is a =, =- en c =- D= - ac = (-) - - = x = - + D = + of x = - - D = - a a x, 686 of x -, 86 a Toyota: de huurprijs voor vier weken is e,- = e,- de enzinekosten zijn e,9 a Samen: TK = + 9, a Renault: de huurprijs voor vier weken is e 5,- = e 6,- de enzinekosten zijn e, a Samen: TK = 6 +, a De auto s zijn even duur als de kosten gelijk zijn, dus los op + 9, a= 6 +, a + 6, a = 6 6, a = a = :,6 =,... Afgerond op tientallen kilometers is dat km a W = 6 6 = 8 -t t = t = 6 De auto is 6 jaar oud. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

15 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine t Los op: 8 - t = 8, 8 Plot de grafieken en epaal het snijpunt. Geruik Invoer: Y = 8 X Y = 8*.8^T Venster: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = 8 Snijpunt: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Je vindt de oplossingen t = en t 7,9 Bij het egin is de auto evenveel waarde en na ongeveer 7,9 jaar. ladzijde a Firma A: K = +, a Firma B: K = 57 +, 6a Een geschikte vensterinstelling is: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = c Het snijpunt vind je met de rekenmachine voor a 9 m Vanaf dit verruik ligt de grafiek van Firma B hoger dan de grafiek van Firma A en is Firma B dus het duurst. a Voor de snijpunten geldt fx () = gx (), dus los op x + x- 5= 7x + x -x- 6= (herleiden op ) x -x- = ( x+ )( x- ) = x+ = of x- = x=- of x= De grafiek van f is een paraool en van g een lijn. Plot f en g op je rekenmachine en kijk waar de paraool oven de lijn ligt. Invoer: Y = X +X 5 Y = 7X+ Venster: Xmin = 5 en Xmax = 5 Ymin = en Ymax = Opties: CALC, INTERSECT (TI) of G-Solv, ISCT (Casio) De x-waarden van de snijpunten zijn x = en x =. Voor x < en x > ligt de grafiek van f oven de grafiek van g. c Als de grafiek van f oven de grafiek van g ligt is f > g, dus de ongelijkheid x + x- 5> 7x + hoort daarij. a Uit de tekening lees je snijpunten van f met g af voor x =, x = en x = 6. Voor fx () > gx () ligt de grafiek van f hoger die van g. Aflezen geeft de intervallen -, of 6, Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

16 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine Voor fx () gx () ligt de grafiek van f lager die van g of valt ermee samen. Aflezen geeft de intervallen,-] of [, 6]. ladzijde 5 5a Een geschikte vensterinstelling is: Xmin =, Xmax =, Ymin =, Ymax = 5 Met de rekenmachine vind je het snijpunt voor t = en t 6,56 weken. c De grafiek van de exponentieel groeiende amoescheut B ligt na L = 6,56 weken oven de lineaire grafiek van scheut A. Na 6,56 weken is scheut B dus langer dan scheut A. 6a De totale oprengst is de prijs van één strippenkaart keer het aantal verkochte strippenkaarten. In een formule uitgedrukt, wordt dat TO = P A= P( - P+ 95, ) =- P + 95, P. De eenheid van TO is de eenheid van P A, dat is euro s miljoenen = miljoenen euro s. miljard = miljoen, dus los op - P + 95, P = met de rekenmachine: Plot de grafieken van Y =- P + 95, Pen Y = Invoer: Y = X +95.X Y = Venster: Xmin = en Xmax = 5 Ymin = en Ymax = Opties: CALC, INTERSECT (TI) of G-Solv, ISCT (Casio) Lees de snijpunten af ij P 5,65 en P,95. De grafiek van TO ligt tussen deze punten oven de lijn Y =. Als de prijs tussen e 5,65 en e,95 ligt is de oprengst groter dan miljard euro. c Je kunt nog in centen etalen dus de kosten wil je in centen nauwkeurig weten. Dat zijn twee decimalen ij een prijs in euro s. 7 De eerste formule geeft een hogere tellerstand indien geldt 5 6t > 85t Plot de grafieken van y = 5 6t en y= 85t Invoer: Y = 5 (6X+5) 75 Y = 85X Venster: Xmin = en Xmax = 6 Ymin = en Ymax = 5 Opties: CALC, INTERSECT (TI) of G-Solv, ISCT (Casio) De snijpunten liggen ij t = en t 5,7 Lees de oplossing af waar Y (de kromme) hoger ligt dan Y (de lijn). Je vindt in aantallen minuten het interval, 5]. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

17 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine ladzijde 6 8a f( 5) =- + =- f( ) =- 9 + =- 5 f( 7) =- 6 + = c Vul in aan het eind van de ketting en werk de pijlen af naar voren. + : Je vindt als laatste waarde, dus fx ()= heeft als oplossing x = Vul in aan het eind van de ketting en werk de pijlen af naar voren. + : Je vindt als laatste waarde, dus fx ()= heeft als oplossing x = 9a Bij gx ()= x + 7 hoort de pijlenketting: + 7 en de omgekeerde pijlenketting: : 7 Bij hx ()=- x + hoort de pijlenketting: + en de omgekeerde pijlenketting: : Vul voor gx ()=- de waarde in aan het eind van de omgekeerde pijlenketting en werk naar voren: : 7 : 9 7 De oplossing is dus x =-9 Op dezelfde manier voor hx ()=- geeft : De oplossing is dus x = a stap ) vermenigvuldig met stap ) tel er 5 ij op stap ) trek de wortel stap ) vermenigvuldig met stap 5) tel er ij op Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

18 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine De omgekeerde pijlenketting is : 5 : Vul in en werk naar voren: : 5 : 7 9 De oplossing van fx ()= is dus x = 7 Vul in en werk naar voren: : 9 5 De oplossing van fx ()= is dus x =- 9 : a De omgekeerde pijlenketting is : 5 De oplossing van A = volgt uit de omgekeerde pijlenketting: :,5 De oplossing is p =,5 5 De oplossing van A = 6, 5 volgt uit de omgekeerde pijlenketting: 7,65 : De oplossing is p = 7,65 5 5,5,5,5 6,5 ladzijde 7 fx ()= x - + fx () = ( x -) fx ()= x + = - x + - a Op t = heeft de melk nog de temperatuur in de koelkast, dus - 78, + 9= 6 C t, T c d Voor het omkeren van de ewerking,78 t ken je nog geen mogelijkheid. t Plot y =- 78, + 9 en de lijn y = 5, en epaal het snijpunt met de rekenmachine. Geruik Invoer: Y = *.78^X+9 Y = 5 Venster: Xmin = en Xmax = 5 Ymin = en Ymax = 5 Opties: CALC, INTERSECT (TI) of G-Solv, ISCT (Casio) Het snijpunt ligt ij t,7 minuten Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 5

19 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine e f Op dezelfde manier met Y = 8.9 vind je het snijpunt ij t 9,6 minuten De omgevingstemperatuur wordt ereikt als t zeer groot is. De waarde van t - 78, gaat dan naar nul en je houdt T = 9 over. De omgevingstemperatuur is dus 9 C a r = , cm π O : π + 9 r c Voor het erekenen van O he je de omgekeerde pijlenketting nodig: O π 9 r 9,6 9,8 8,8 6, Bij een oppervlakte van 9,5 cm is de straal dus 6, cm d Or () = ( r -9) π e Stel de koppelingsplaat van de romfiets is 5 cm. De straal die daarij hoort is volgens opdracht a ongeveer 5, cm. Voor de auto geldt O = 5 = cm. De straal die daarij hoort is volgens de formule r = + 9 6, 9 cm. π Dat is niet twee keer zo groot als 5, cm. ladzijde 8 5a Als er machines ijgeplaatst worden is de extra oprengst EO = = = 9 euro per uur. Plot de functie voor EO en zoek het maximum. Je ziet dat de extra oprengst per uur ij 7 ijgeplaatste machines het maximum ereikt. Daarna neemt de extra oprengst per uur alleen maar af. Het ijplaatsten van een machine kost klaarlijkelijk steeds meer geld terwijl de extra oprengst per uur per machine constant is. Bij een epaald aantal machines wegen de kosten van een extra machine niet meer op tegen de extra oprengst per uur die die machine nog zal leveren en ereikt de grafiek zijn maximum. c De extra winst per uur EW = de extra oprengst per uur de extra kosten per uur EW = EO - EK EW =- q + q + 5q- q=- q + q - 8 q Plot de functie voor EW en zoek de waarden waarvoor EW positief is. Je vindt een positieve waarde van EW tussen de nulpunten q, en q =. Het ijplaatsen van 5 tot en met 9 machines levert de farikant dus extra winst per uur op. 6 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

20 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine 6a Los op: (, - x ) = 5 - x = 5 x = 5 x =, 5 x=, 5 7, of x=-, 5-7, Voor een afstand heeft alleen de positieve waarde etekenis, dus op ongeveer,7 cm vanuit het midden van de ader is de stroomsnelheid 5 cm/s. (, -, 7 ) 5, klopt c Plot de functie en vind de maximale waarde. Die vind je ij x =. De maximale stroomsnelheid in deze ader is dus (, - ) = cm/s 7a Een printer wordt in vier jaar afgeschreven, dus per jaar zijn de vaste kosten een kwart van de aanschafprijs. Voor de HP 9 is dat 65 =, 5 euro en voor de HP 96 is dat 95 = 7, 75 euro. De kosten per zwart-wit afdruk zijn,6 euro voor de HP 9 en, euro voor de HP 96. De jaarlijkse kosten ij uitsluitend x zwart-wit afdrukken zijn dus voor de HP 9: K =, 5 + 6, x voor de HP 96: K = 7, 75 +, x HP 9 HP 96 De jaarlijkse kosten ij eide printers zijn gelijk als geldt K = K HP 9 HP 96, 5 +, 6x= 7, 75+, x 6, x-, x= 7, 75 -, 5, x = 5, x =, 5:, = 65 Bij 65 zwart-wit afdrukken zijn de jaarlijkse kosten gelijk. c De kosten per kleurafdruk zijn,56 euro voor de HP 9 en,5 voor de HP 96. De jaarlijkse kosten ij uitsluitend p kleurafdrukken zijn dus voor de HP 9: K =, , p HP 9 voor de HP 96: K = 7, , p HP 96 De jaarlijkse kosten ij eide printers zijn gelijk als geldt K = K HP 9 HP 96, 5 +, 56p= 7, 75+, 5p 56, p-, 5p= 7, 75 -, 5, p = 5, p =, 5:, = 95, 5 Bij p = kleurafdrukken zijn de jaarlijkse kosten van de HP 9 lager dan de HP 96, dus als tussen de en 95 kleurafdrukken per jaar worden gemaakt zijn de jaarlijkse kosten van de HP 9 lager dan die van de HP 96. d Bij de HP 9 zijn de kosten voor kleurafdrukken,56 = 56 euro. Bij de HP 96 zijn de kosten voor kleurafdrukken,5 = 5 euro. De jaarlijkse kosten ij x zwart-wit afdrukken zijn dus voor de HP 9: K =, 5 + 6, x + 56 = 975, +, 6x HP 9 voor de HP 96: K = 7, 75 +, x + 5 = 8, 75 +, x HP 96 De jaarlijkse kosten ij eide printers zijn gelijk als geldt K = K HP 9 HP 96 97, 5 +, 6x= 8, 75 +, x, 6x-, x= 8, 75-97, 5 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 7

21 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine, x = 5, x =, 5:, = 75 De prijs per zwart-wit afdruk is ij de HP 96 lager, dus ij meer dan 75 zwart-wit afdrukken per jaar is de HP 96 te verkiezen oven de HP 9. ladzijde 9 8a c d Geruik je rekenmachine om het snijpunt te vinden tussen de grafieken met vergelijking y= h h+ h en y = 65. Invoer: Y = X+5 (6 X+X ) Y = 65 Venster: Xmin = en Xmax = Ymin = 5 en Ymax = Opties: CALC, INTERSECT (TI) of G-Solv, ISCT (Casio) Snijpunten vind je voor h =, en h =, Uit de plot lees je af dat de inhoud tussen deze punten meer dan 65 m edraagt. Het antwoord is dus 7, < h <, 98 meter waarij afgerond is op cm nauwkeurig. Geruik je rekenmachine om het maximum te vinden tussen tussen de snijpunten. Invoer: Y = X+5 (6 X+X ) Venster: Xmin = en Xmax = Ymin = 5 en Ymax = Opties: CALC, MAXIMUM (TI) of G-Solv, MAX (Casio) Je vindt de top op X= en Y=7.577 De maximale inhoud is de Y-waarde en edraagt 7 m afgerond. De X-waarde is de hoogte ij de maximale inhoud en edraagt,5 m afgerond. De lengte van het zeil dat schuin hangt is 5 meter min de hoogte h van de tentstokken. Je kunt het aanzicht van de houtopslag verdelen in een rechthoek met zijden en h, en een driehoek met zijde en schuine zijde 5 h. Zie de tekening hiernaast. De hoogte waarop het zeil aan de schutting gemonteerd moet worden is h+ ( 5-h) -. Voor h =,5 m volgt hieruit een hoogte van,6 m 9a Bij e,- per kg gist is er vraag naar - + 6= tientallen kg gist per dag, ofwel naar = kg gist per dag. De totale dagoprengst is dus e,- = e,- De totale dagoprengst TO in euro s = het aantal verkochte kg gist per dag de prijs in euro s per kg gist = q p De totale dagoprengst TO in tientallen euro s = (q p) : = q p In de gegeven formule komt p niet voor als variaele maar alleen q. Druk dus eerst p uit in q. Uit q=- p+ 6 volgt p=- q+ 6 p=- q+ Invullen in de formule voor TO in tientallen euro s geeft TO = q (- q+ ) =- q + q 8 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

22 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine c TW = TO - TK TW = (- q + q) -(, q + C) TW =- 5, q + q-, q - C TW =- 9, q + q-c d Plot de functie met waarden voor C tussen en. Geruik Y =.9X +X en verander dit na een plot in stappen naar Y =.9X +X Venster: Xmin = en Xmax = 5, Ymin = en Ymax = Voor C = zie je een ergparaool die met toenemende waarde van C steeds meer naar eneden schuift. Voor C = ligt de paraool zelfs geheel onder de horizontale as. Zoek de maximum Y-waarde voorc =. Je vindt ongeveer 7,76. Als de grafiek hiermee naar eneden geschoven wordt raakt de top de horizontale as en is er één nulpunt. Je kunt dit ook exact erekenen: De formule voor TW is een kwadratische functie en heeft één nulpunt als de discriminant gelijk is aan nul. In de ac-formule geldt hier a =-9,, = en c=- C en voor de discriminant D= - ac = - -, 9 -C = 9-, 6C = C =-9: -, 6 776, e Er wordt winst gemaakt als TW positief is, dus als C < 7, 76 f De plaats van de top van TW vind je met de rekenmachine steeds ij q 5,7, dus ij e 5,7/kg. ladzijde 5 I-a Het vastrecht moet altijd etaald worden dus ook als er geen verruik is. Bij een verruik van m ligt de grafiek van firma A hoger dan de grafiek van firma B. Dus firma A rekent het hoogste vastrecht. Hoe steiler de lijn loopt des te hoger is de prijs per m gas. De lijn van firma B loopt het steilst dus firma B rekent de hoogste prijs per kuieke meter. c De firma s zijn even duur ij het snijpunt. Met de trace-functie vind je de waarde 9,6 m. Zoom eventueel (sterk) in rond het snijpunt met ehulp van het vergrootglas-icoon en het hand-icoon voor je de trace-functie geruikt. d Vanaf het snijpunt ligt de grafiek van firma B hoger dan de grafiek van firma A, dus vanaf 9,6 m is firma B het duurste. I-a f( ) hoort ij het punt Q en g( ) ij het punt P. Punt Q ligt lager dan punt P dus f() < g(). f( -) hoort ij het punt R en g( -) ij het punt S. Punt R ligt hoger dan punt S dus f( - ) > g( -). c x 5 f g > > = < < < = > > d Voor de snijpunten geldt fx () = gx (), dus los op x + x- 5= 7x +. Uitwerken geeft x + x-7x -5- = x -x- 6= ( x -x- ) = x -x- = ( x+ )( x- ) = Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 9

23 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine e x+ = of x- = x=- of x= Voor x <- en x > ligt de grafiek van f hoger dan die van g. In de intervalnotatie schrijf je dit als,- en,. ladzijde 5 I-a Uit de tekening lees je snijpunten van f met g af voor x =, x = en x = 6. Voor fx () > gx () ligt de grafiek van f oven die van g. Aflezen geeft de intervallen -, of 6,. Voor fx () gx () ligt de grafiek van f onder die van g of valt ermee samen. Aflezen geeft de intervallen,- ] of [, 6]. I-a 5 g f - x + 8x- = x + x- - x + 8x--x - x+ = - x + 6x= -x( x- ) = - x= of x- = x= of x= c fx () > gx () als de grafiek van f hoger ligt dan de grafiek van g. Je leest uit de plot af dat dat tussen de snijpunten is. De oplossing is dus,. I-5a Bij het oude systeem is de tellerstand voor t = gelijk aan = Bij het nieuwe systeem is de tellerstand voor t = gelijk aan 85 = De eerste formule geeft een hogere tellerstand indien geldt 5 6t > 85t Plot de grafieken van y= 5 6t en y= 85t en zoek het snijpunt met de Trace-functie. De snijpunten liggen ij t = en t 5,7 Lees de oplossing af waar de wortelfunctie hoger ligt de lijn. Je vindt voor t de waarden tussen en 5,7 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

24 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine I-6 Vink twee functies aan uit de functies f, g, h en p. Kijk of ze snijpunten heen voor x =- en x =. In dat geval kun je een ongelijkheid opschrijven. Schrijf de functie waarvan de grafiek het hoogst ligt vóór het groterdanteken (>). Of schrijf de functie waarvan de grafiek het laagst ligt vóór het kleinerdanteken (<). Staat in de intervalnotatie een vierkante haak ([ of ]) dan geruik je ook het isgelijkteken in de ongelijkheid. a Voor [-, ] vind je g f of f g (de snijpunten tellen mee wegens de rechte haken) Voor, vind je p> h of h< p Voor -, vind je p> f of f < p Voor [-, ] vind je h f of f h Voor,- en, vind je f > g of g < f Als [-, ] de oplossing is dan moet je a zó instellen dat ij x =- en x = de grafiek van f snijpunten heeft met de grafiek van q. Dit kan alleen voor a =. ladzijde 5 T-a De nulpunten van f ereken je met je rekenmachine. Invoer: Y = X^ 7X +9X+ Venster: Xmin = 5, Xmax = 7, Ymin =, Ymax = Nulpunten: Opties voor TI: CALC, ZERO. Opties voor Casio: G-Solv, ROOT Oplossingen: x,9, x = en x 5,9 Geruik Calc > Minimum en Calc > Maximum (TI) of G-Solv > Min en G-Solv > Max (Casio) voor het vinden van de toppen met je rekenmachine. Je vindt het maximum op (,77; 5,) en het minimum op (,9;,5) c Bereken met je rekenmachine het snijpunt van fx () met de lijn y =. Invoer: Y = X^ 7X +9X+ Y = Venster: Xmin = 5, Xmax = 7, Ymin =, Ymax = Snijpunten: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Oplossing: x 5,86 d Bereken met je rekenmachine het snijpunt van fx () met gx (). Invoer: Y = X^ 7X +9X+ Y = X Venster: Xmin = 5, Xmax = 7, Ymin =, Ymax = Snijpunten: Opties voor TI: CALC, Intersect. Opties voor Casio: G-Solv, ISCT Je vindt (,;,), (,57;,7) en (5,86; 5,58) T-a Schrijf q als functie van p. -q- p = 8 - q= p + 8 q=- p- 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

25 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine 5 p- q= p- q= 5 - q=- p + 5 q=, p-5, Voor het snijpunt zijn de functies, waarij q uitgedrukt wordt in p, aan elkaar gelijk, dus - p- 9=, p-5, -p- 8=, p- -, p = 5 p = 5 :-, -, De q-waarde hierij is, -, -, 5 -, 8 Het snijpunt is dus (,;,8) T-a 5x- = x+ 7 5x- x= 7+ x = 8 x = 8: = 6( x + ) = ( x + ) = : 6= x + = = of x + =- =- x = of x =- c - x + x + = In de ac-formule is a =-, = en c = D= - ac = - - = 9+ = x = - + D a = , of x D = - - a = d 6x - 9= x 6x -x- 9= In de ac-formule is a = 6, =- en c =-9 D= - ac = (-) = = 5 5, x = - - D a = - 5 -, of x D = - + a = + 5 8, T-a Het grasveld heeft een lengte van x meter en een reedte van 5 x meter. De oppervlakte is lengte reedte = ( -x)( 5 - x) = -x- 5x+ x = x - 9x+. De oppervlakte van de gehele ruimte is 5 = m. Voor het loemperk lijft dus over de oppervlakte A= -( x - 9x+ ) =- x + 9x, ofwel A= 9x-x 9x- x = x - 9x+ = x - 5x+ = ( x-5)( x- ) = x = 5 of x = x = voldoet niet want zo reed kan het loemperk niet worden. Voor x = 5 meter is de oppervlakte van A dus gelijk aan m. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

26 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine c De oppervlakte van het grasveld is A, dus los op A= - A A = A = 5 9x- x = 5 x - 9x+ 5 = x - 5x+ 5 = In de ac-formule is a =, =-5 en c = 5 D= - ac = (-5) - 5 = 5 - = 5 x = - - D a = , of x D = - + a = alleen x 6,9 meter voldoet. 8, 5 T-5a Voor cd s geldt q =. De totale kosten zijn TK = + 9, 5, dus e 95,- De cd s rengen 8 = 8 euro op. Totale oprengst in euro s = oprengst per cd in euro s aantal verkochte cd s Vervang de termen door formules: Totale oprengst in euro s = TO oprengst per cd in euro s = 8 aantal verkochte cd s = q Vul dit in voor de termen: TO = 8 q TO = 8, q (delen door ) c Los op: TO > TK ofwel, 8q> + q Plot de grafieken van Y = 8, q en Y = + q Invoer: Y =.8X Y = + (X) Venster: Xmin = en Xmax = Ymin = en Ymax = Opties: CALC, INTERSECT (TI) of G-Solv, ISCT (Casio) Lees het snijpunt af ij q,67. Vanaf 6 cd s is de oprengst groter dan de kosten en maakt het andje winst. T-6 De pijlenketting ij 6( x - ) is 6 De omgekeerde pijlenketting voor het oplossen van 6( x - ) = is : : 6 De oplossing is x =. De pijlenketting ij x - is Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

27 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine De omgekeerde pijlenketting voor het oplossen van x - = 5 is 7 8 : : 5 De oplossing is x = 7 8 ladzijde 55 T-7a De maandelijkse totale kosten zijn de vaste kosten per maand en de productiekosten voor q tennisallen per maand. In formulevorm is dat TK = +, 5q De maandelijkse totale oprengst TO is het aantal verkochte tennisallen de prijs per tennisal, dus TO =, q c De kosten zijn even hoog als de oprengst als geldt TK = TO, dus +, 5q=, q Oplossen geeft =, 85q q = :, tennisallen per maand. Het is niet zinvol naar een exact antwoord te vragen omdat het edrag voor de vaste kosten duidt op een schatting. d TO > TK De gelijkheid vond je ij vraag c. Zowel TO als TK zijn rechte lijnen en TO loopt het steilst. Voor waarden van q groter dan ij het snijpunt is TO dus groter dan TK en is de oplossing q > 7 6 e TW = TO - TK TW =, q- ( +, 5q) TW =, q- -, 5q TW =, 85q - f Als TO > TK dan is TO - TK >, met andere woorden: als de totale oprengst groter is dan de totale kosten wordt er winst gemaakt, ofwel TW >. T-8a Na seconden heeft de laag vloeistof een straal van 5 85 π, cm. 5 : π c d e f Terugrekenen met de omgekeerde pijlenketting geeft: = ; π = π; π : 5 = π 6,8 seconden R t = 5 π 5t R π = t = πr 5 Verduel je de seconden uit opdracht a tot 6 seconden dan wordt de straal 5 6 9, cm. Dat is geen verdueling van,85 cm dus de straal verduelt niet. π De tweede laag wordt na seconden uitgegoten, op t =. Vijf seconden na het uitgieten van de tweede vloeistof is de laag van de eerste vloeistof dus 5 seconden gegroeid en heeft een straal R van oppervlakte van πr = π 89, 75, cm 55 89, cm en een π Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v

28 Hoofdstuk - Algera of rekenmachine g h De straal S van de tweede laag is na 5 seconden 85 ( - ) 57, cm en heeft een π oppervlakte van πs = π 57,, cm. De oppervlakte van eide lagen samen is dus 75, +, = 5, cm Beide lagen zijn even groot als ze dezelfde straal heen, dus als geldt 5t 8( t - ) =. Plot eide functies en ereken het snijpunt met je rekenmachine. π π Invoer: Y = (5X/π) Y = (8(X )/π) Venster: Xmin = en Xmax = Ymin = en Ymax = 8 Het snijpunt vind je voor t = 6, 7 seconden Beide vloeistoffen worden naast elkaar op de plaat uitgegoten. De totale oppervlakte van de vloeistoflagen voor t > is πr πs π 5t 8( t - ) + = + π = 5t + 8( t - ) = 5t + 8t -8 = t -8cm π π De oppervlakte van de halve plaat is 5 : = 75 cm, dus los op t - 8 = 75 t = 8 t 55, Na 55, seconden is de helft van de plaat vol vloeistof. T-9 Sneller oplossen met algera dan met de rekenmachine kun je opdracht a en c. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers v 5