Hoofdstuk 7 Examentraining. Kern 1 Statistiek

Transcriptie

1 Uitwerkingen Wiskunde A Netwerk VWO 6 Hoofdstuk 7 Examentraining Hoofdstuk 7 Examentraining Kern Statistiek a Noem de percentielscore S en het aantal goede antwoorden g. S 7 4 Op het interval [44, 4] geldt = = g 4 44 S Op het interval [4, ] geldt = = = 4 g 4 6 Er is dus geen sprake van constante stijging. b Een percentielscore van 7 betekent dat 4% het onderdeel Taal beter heeft gedaan. Een percentielscore van 8 betekent dat 9% het onderdeel Rekenen beter heeft gedaan. Een percentielscore van 4 betekent dat % het onderdeel Informatieverwerking beter heeft gedaan. c 00% 64% = 6%. De leerlingen die het onderdeel Taal beter hebben gedaan, zijn niet noodzakelijk dezelfde als de leerlingen die het onderdeel Rekenen beter hebben gedaan. Je kunt dus niet zomaar een gemiddelde nemen. d Het punt (40, 64) a klasse aantal Kreeft aantal Somberman b Voer de gegevens in in de grm. L =, 6, 0, en L = 9, 40, 9, Je vindt dan een gemiddelde zinslengte van 0, en een standaardafwijking van 9,. c Met de nieuwe frequenties vind je een gemiddelde zinslengte van 0, en een standaardafwijking van 6,. d e Hugo Claus gebruikt meer lange zinnen dan Remco Campert.

2 a jaar. b Deze berekening is met de GRM als volgt uit te voeren. In L voer je de klassenmiddens in:, 7,, 7, In L voer je de bijbehorende frequenties in: 94, 9, 98, Via STAT calc -Var Stats vind je dan een gemiddelde leeftijd van,69 c klasse klassemidden frequentie cum freq. rel. cum. freq (%) = , = , = , = , = , = , = , = , = , = ,0 Voer de nieuwe klassemiddens en de bijbehorende frequenties in. Je vindt dan als schatting een gemiddelde leeftijd van,77. d Voordeel: met minder categorieën is het rekenwerk eenvoudiger. Nadeel: er gaat informatie verloren en de schatting wordt daardoor minder nauwkeurig. e 00 cum. freq (%) f leeftijd De mediaan lees je af bij een cumulatief percentage van 0. Je komt dan op ongeveer, jaar. Het eerste kwartiel lees je af bij een cumulatief percentage van. Je komt dan op ongeveer 7,. Het derde kwartiel lees je af bij een cumulatief percentage van 7. Je komt dan op ongeveer Boxplot leeftijdsverdeling van de vrouwen. g Boxplot leeftijdverdeling van de mannen.

3 h Zowel de kwartielen als de mediaan liggen verder naar links. De spreidingsbreedte is ongeveer gelijk. i In de bevolkingspiramide ligt bij de mannen het zwaartepunt verder naar beneden. Vooral in de oudste categorieën komen beduidend minder mannen dan vrouwen voor. 4 a 90 cum. freq (%) 80 vrouwen mannen lengte (cm) b Bij 7 cm lees je in de figuur af: - voor de vrouwen een percentage van 7% - voor de mannen een percentage van % De gevraagde schattingen zijn dus 00% 7% = 4% en 00% % = 87%. c P( V > 7 µ = 70 en σ = 6) = normalcdf(7, 9999, 70, 6) = 0,48 P( M > 7 µ = 80 en σ = 8) = normalcdf(7, 9999, 80, 8) = 0,8697 d 48% van de totale bevolking is vrouw. Hiervan is 4,8% langer dan 7,0 m. % van de totale bevolking is man. Hiervan is 86,97% langer dan 7,0 m. Van de totale bevolking is 0, 48 0, , 0,8697 0, 66 = 66% langer dan 7,0 m. P( X 44, µ = 6,8 en σ =?) = 0,06 z = invnorm(0.06) =,47 g µ g µ 44, 6,8 z = σ = = =,4 < 4,7 σ z,47 Conclusie: de standaardafwijking van de scores van de A&B-groep is kleiner dan die van de hele steekproef.

4 Kern Analyse 6 a W = O K = 0,q +,6 q (0,08q 0,9q +,6 q) = 0,08q + 0,6q b Bij de maximale winst moet gelden W = 0,4q +,q = 0 Oplossen geeft q ( 0, 4q +, ) = 0 q = 0 of q = De winst is maximaal als q =. De brouwerij moet dagelijks 000 liter bier produceren. c Voor de winst geldt dan W = 0,08 + 0,6 =.De winst is dan 000 euro per dag. d Dan moet gelden W = 0. Oplossen geeft q ( 0, 08q + 0, 6) = 0 q = 0 of q = 7,. Bij een productie van 700 liter bier per dag maakt het bedrijf winst noch verlies a TO = p q = p ( + 40) = p p b TK = 0,q = 0, ( 40) 0 p + = p c TW = TO TK = p ( + 0) = p p p 00 d TW = 40 + > 0 voor alle waarden van p. Als de afgeleide functie overal positief is, dan stijgt de p oorspronkelijke functie. Er is dus sprake van voortdurende toename. 8 a Omdat het aantal mensen op aarde eerder exponentieel dan lineair is toegenomen, terwijl er volgens het artikel sprake is van een toename van het methaangehalte onder invloed van menselijk ingrijpen. b In vier eeuwen tijd is het methaangehalte met 90 procent toegenomen. Voor het methaangehalte M als functie van het aantal eeuwen t verstreken sinds 600, geldt: 90 - bij lineaire groei M = 00 + t = 00 + t 4 t 4 t - bij exponentiële groei M = 00,9 = 00,74 c Y = 00 +.X en Y = 00*.74^X op WINDOW [0, ] [00, 0] geeft: d Dat zal het eerst gebeuren bij het exponentiële model, daarin stijgt het methaangehalte het snelst. e Een exponentieel model is aannemelijker, omdat ook het N O-gehalte toeneemt onder invloed van menselijk ingrijpen. Voor het N O-gehalte geldt: 8 - bij lineaire groei N = 00 + t = 00 + t 4 4 t - bij exponentiële groei N = 00,08 = 00,09 Bij het exponentiële model wordt het maximum het eerst bereikt. t

5 9 a C is het aantal mensen dat per uur vervoerd kan worden. Als de snelheid gelijk is aan v, dan is het aantal metro s dat per uur (= 600 sec.) voorbij een vast punt komt gelijk aan v v = L + L L + v + v r a 600 v Per metro kunnen N mensen vervoerd worden, dus geldt C = N L + v + v 600 v b L = 0, N = 8 en a = geeft C = = 0 + v + v 0 + v + v ( v + ) C = < 0 (0 + v + v) c = a v N C moet maximaal zijn. L + v + v 4 4 als v 0. De capaciteit neemt dus juist af bij toenemende snelheid! Verhogen van a maakt de noemer kleiner, dus C groter. We kiezen daarom a maximaal, a = 4. We vinden nu formules: 600 v 8 Bij metrostel: C = 0 + a v + v 600 v 70 Bij metrostellen: C = 0 + a v + v 600 v Bij metrostellen: C = 0 + a v + v Wanneer je de grafieken van deze functies op de GRM tekent, vind je dat C maximaal wordt bij metrostellen. De maximale capaciteit is 8886 personen, bij een snelheid van, m/s. a a In A geldt r = 0, dus S = = 00. Als S = 0, geldt = 0 r =, 60 m. 0 r 0 x = r 00 =, , 66 m b Omdat r = x + 00 geldt S = = ( x + 00) ( x + 00) ds 00000x c = ( x + 00) x = d x ( x + 00) x d De grafiek daalt het sterkst rond x =. S () = 8, 9 < 8 ( + 00) + 00 a Formule : minimaal c = 0 0, 0 = en maximaal c = 0 0, 0 = 0 Formule : minimaal c = 0,8 0 =,7 en maximaal c = 0,8 0 = 0 b Dan geldt 0 0, f = 0,8 f 0, f =,8 f 0, 09 =,8 f f = 0 f f f = 0 of f = 0 Het cijfer is dan een 0 of een 4.

6 c Teken Y = 0 0. * X en Y = 0 (.8X) op WINDOW [0, 0] [0, 0]. d Vanaf fouten is formule juist gunstiger, maar voor 0 tot 0 fouten is formule ongunstig. Bij 0 vragen is dat dus bijna altijd. Zelfs met gokken zul je gemiddeld 7 á 8 vragen goed hebben! e V = 0 0, f (0,8 f ) =,8 f 0, f f V 0,9 (,8 ),8 0, 0,,8 f = f = Als V maximaal is, geldt V = 0. Oplossen geeft f =. Het maximale verschil is V () =,8 0, =, De beide cijferformules zijn discrete functies. Eigenlijk kun je hier dus geen helling bepalen! 0,t dp 0,t 0,t a Als P = 8 e, dan geldt G = = 0, 8 e = 0, e dt 0,t G 0, e R = = = 0,, dus R is niet afhankelijk van t. P 0,t 8 e 0,4 b Uit de grafiek volgt R = 0,4 P = 0,4 0,000P 4000 Voor P = 0 volgt R = 0,4 0,000 0 = 0,70 c Als de populatie uit 4000 exemplaren bestaat, is de relatieve groeisnelheid gelijk aan 0. Dit is dus het maximaal haalbare aantal. G d Omdat R = geldt G = P R = P (0, 4 0,00 P) = 0,00P + 0, 4P P e Op t = 0 geldt P = 60, dus G = 0, ,4 60 = 6,4 f G is maximaal als G = 0 G = 0,4 0,000P = 0 als P = We zoeken nu de oplossing voor de vergelijking 000 = + 4 e 0,4t 0,4t + 4 e = e = 0,4t 4 0, 4t = ln = ln ln 4 = ln 4 4 ln 4 t = 7,9 0,4 Hij moet 8 maanden wachten.

7 a A() = 00 A() = 0 A() = 80 Gedurende de eerste drie dagen levert hij in totaal = 8 eenheden. 0,d 0,( d ) b A( d) A( d ) = e ( e ) = 0,d 0,( d ) 0,d 0, 400 e e = 400 e ( + e ) Deze uitdrukking is altijd positief als d > 0. Dat betekent dat het aantal geleverde eenheden elke dag toeneemt. c B(d) is de toename van het aantal geleverde eenheden op dag d. 0,d 0, 0,d d B( d) = 400 e ( + e ) 40 e e C 0 B f g d Bekijk TABLE voor Y = 40 * e^( 0.X). De eerste dag waarop B < 4 is dag. Op die dag geldt 0, A() = e = P( d) 0,d 0,d G( d) = ( ) ( e ) = (00 0 +, d) ( 4 e ) = 00 0,d (80 +, d) ( 4 e ) 4 a B: D: , 6 m. Midden: b CA = c AE = , 4 m , 70 m. CB + BA = 6 + x = 6 + x AD DE x x x CAE = CA + AE = + = ( ) + 4 = x + x 4x + 60 CAE = ( x + 6) x + ( x 4x + 60) (x 4) = x x + x + 6 x 4x CAE (6) = + = 0, Remco heeft geen gelijk. d Als BA : AD = :, dan geldt x = = 7, m CAE (7,) = Lia heeft wel gelijk. 7, + 6 7, 4 7, , 7, + = 0

8 a y = 74,044 t ln,044 t 0 In 000: y 0 = 74, 044 ln, 044, 0 In 990: y = 0 74, 044 ln, 044 7, 4,,, dus het klopt. 7,4 óf De afname van de oppervlakte wordt gegeven door 74,044 t Dit is exponentieel, dus de snelheid waarmee het afneemt is evenredig met de hoeveelheid. t 0 Op t = 0 geldt 74, 044 = 74, 044 = 74 t 0 Op t = 0 geldt 74,044 = 74,044 = 8,6 74,. De hoeveelheid die verdwenen is op t = 0 is, keer zo groot als de hoeveelheid die 8, 6 verdwenen is op t = 0. Dan zal de snelheid waarmee de oppervlakte afneemt ook, keer zo groot zijn. 6 a - b De grafiek wordt op dubbellogaritmisch papier een rechte lijn. De functie moet dus een n machtsfunctie van de vorm y = ax zijn. De grafiek gaat door het punt (08, ) en het punt (47, 07). Uit de vergelijkingen = a 08 n en 07 = a 47 n 47 07,volgt ( ) n =. Oplossen geeft n, 08, Nu weten we dat T = a A. Invullen van A = 08 en T = geeft dan a 0,., De gevraagde formule is T = 0, A c Nu geldt voor Venus: 08 0,7 A.E. Op dezelfde wijze vind je voor Mars:, A.E., 0 Jupiter:,9 A.E. en Saturnus 9, A.E. d Invullen van n = 0,,, geeft dat n venus = 0, n aarde =, n jupiter = 4 en n saturnus =. 6 e n = 6 geeft R = 0, 4 + 0, = 9, 6 A.E. = 940 miljoen kilometer. f T,, = 0, A = 0, dagen. 7 a In 0 jaar tijd ging het aantal inwoners van,4 miljoen naar miljoen. Dat betekent een jaarlijkse 0 groeifactor van ( ),07,4 b c A =,4,07 t A =,07 t t d Met de laatste formule: A =,07 > geeft t > log 0,,07 In het jaar 98 + = 0 zal het aantal in woners de miljoen overschrijden. e Tot 9 is de groeifactor kleiner omdat de helling van de grafiek daar kleiner is dan die van de stippellijn. Na 9 groeit de bevolking sneller dan de stippellijn aangeeft.

9 Kern Kansrekening 8 a Van elke kleur zijn er 8 kaarten in het spel. Dat zijn in totaal kaarten. Iedere speler krijgt hiervan drie kaarten. De eerste speler krijgt kaarten van de. De volgende speler krijgt kaarten van de b overgebleven 9 kaarten. De derde speler krijgt kaarten van de overgebleven 6 kaarten, etc.. 9 Met twee spelers zijn er = 8840 manieren Met drie spelers zijn er 4,7 0 manieren. 9 6 Met vier spelers zijn er 8, 0 manieren Met vijf spelers zijn er 9, 0 manieren Met zes spelers zijn er 6,47 0 manieren. Met zes spelers of meer 7 zijn er meer dan 0 manieren. 8 4 P(Jesse krijgt precies twee ruiten) = = 0, 9 a Het is hier handig om eerst een kansboom van de verschillende mogelijkheden te maken. Je vindt dan vervolgens: P( euro nog op zak) = P( keer euro) + P(twee keer euro en één keer 0 cent) = = P(,0 kwijt) = P( euro, euro en 0 cent) = 6 = P(meer dan,0 kwijt) = P(,0 kwijt) = = b Hij houdt precies,0 over als hij euro in het water gooit. Gooit hij minder dan komt hij een zakkenroller tegen, gooit hij meer, dan houdt hij vanzelf al minder dan,0 over! 4 P( euro) = = De gevraagde kans is P( euro) = =

10 0 a aantal worpen aantal treffers relatieve freq. 0,60 0, 0,67 0,69 0,668 0,6664 b Bij graaf Buffon is de meest betrouwbare schatting 0,67. Bij de computersimulatie 0,6664. Hoe vaker je het experiment herhaalt, hoe betrouwbaarder de schatting. c 0, π. De computerbenadering wijkt af in de 6e decimaal. d P( X = 8 n = 0 en p = ) = binompdf (0, / π,8) 0,60 π e P( X 8 n = 0 en p = ) = P( X 7) = binomcdf (0, / π, 7) 0, 7 π f De verwachte uitkering per spel is 0,7 =,68. Hij maakt per spel dus een winst van,68 = 0, Om al zijn kosten te dekken moet hij 09 klanten trekken. 0,87 a P( Ant 8 n = 0 en p = ) = P( X 7) = binomcdf(0,/6,7) = 0, P( Ams 8 n = 0 en p = ) = P( X 7) = binomcdf(0,/6,7) = 0, P( S 8 n = 0 en p = ) = P( X 7) = binomcdf(0,/6,7) =,0000 b P(Antwerpen) = + 4 0, P(Amsterdam) = ,4 P(Sauerland) = 0,4074 0,4 = 0,0494 c P( Ant 8 n = 0 en p = 0, 4) = P( X 7) = binomcdf(0,0.4,7) =,0000 P( Ams 8 n = 0 en p = 0, 4) = P( X 7) = binomcdf(0,0.4,7) =,0000 P( S 8 n = 0 en p = 0, 0) = P( X 7) = binomcdf(0,0.0,7) = 0,00 a P(alle drie ingeloot) = 0,6 = 0,44 b P(B en C wel,e niet) + P(B en E wel,c niet) + P(C en E wel,b niet) = 0, 70 0, 6 ( 0, 400) + 0, 70 0, 400 ( 0, 6) + 0, 6 0, 400 ( 0, 70) = 0, 46 c E(aantal ingeloot) = 7, , , , , , + 8 0, d Als alle aantallen met 78 0,80 worden vermenigvuldigd, dan komt het totaal op de gewenste e P(alle drie uitgeloot) = ( 0, 70) ( 0, 6) ( 0, 400) = 0, 06. Het feit dat ze alle drie al een keer zijn uitgeloot, beïnvloedt de kans voor de nieuwe loting niet! f E(aantal ingeschreven) = 0, , 6 + 0, 400,8 90 a = b Die kans is 90 c Hij ontvangt per lot,00. De verwachte uitbetaling per lot is = 0,8 euro. Hij ontvangt dus inderdaad meer dan hij uitbetaalt. 90

11 d Er zijn ambo s die winnend zijn. Dit is immers het aantal manieren om twee uit de vijf getrokken nummers te kiezen. 90 Er zijn in totaal manieren om een ambo samen te stellen. Hieruit volgt de gegeven kans. e 0, f Hij ontvangt 0,00 + 0,60 + 0,00 = 8,00 De verwachte uitbetaling is = 8, De winstverwachting voor de exploitant is 8,00 8,4 =, 4 a Het gaat om een binomiale verdeling met n = en p = 0.4. Met binompdf(, 0.4, X) vind je de genoemde kansen. b E(X) = n p = 0,4 =, σ ( X ) = n p ( p) = 0, 8 0, 4,04 c Als r = 0 dan geldt Y = ( 0 ) = 0 Als r = dan geldt Y = ( 4 ) = Als r = dan geldt Y = ( ) = 0 Als r = dan geldt Y = ( ) = Als r = 4 dan geldt Y = ( 4 ) = 0 Als r = dan geldt Y = ( 4 ) = 4 y P(Y = y) 0,066 0,8 0,44 0,49 0,090 0,0 d Voor elke rode mutant krijgt de student van de drie andere studenten euro. Voor iedere niet-rode mutant moet hij aan studenten euro betalen. Zo levert iedere rode 9 euro op, en iedere niet-rode kost hem 6 euro. Dat betekent dat als X het aantal rode mutanten is, de totale opbrengst gelijk is aan 9X 6 ( X) = 9 X X = X 0. e E(Y) = E(X 0) = E(X) 0 =, 0 =,0. σ ( Y ) = σ ( X ) 6,6 f P(r, g) + P(g, r) = 0,4 0,8 + 0,8 0,4 = 0,487 g Bedenk dat bij een serie van bestralingen, er hooguit 4 kleurwisselingen kunnen zijn. E(aantal wisselingen) = n p = 4 0,487 = 6,808 h Hij vindt kleurwisselingen, van de maximaal 4 mogelijke kleurwisselingen. P( X n = 4 en p = 0, 487) = P( X ) = binomcdf(4, 0.487, ) = 0,0049. Het is erg onwaarschijnlijk dat hij deze serie in werkelijkheid krijgt, die kans is minder dan 0,%. a Het gaat hier niet om een continue variabele. b P(score < 4,) = P( X < 4, µ = 6 en σ = 6) = normalcdf( 9999, 4., 6, 6) 0,8 Ruim % van de leerlingen haalt 4 punten of minder. c P(score > 69,) = P( X > 69, µ = 6 en σ = 6) = normalcdf(69., 9999, 6, 6) 0,994 Bijna 0% van de leerlingen haalt 70 punten of meer.

12 d P(score <?) = 0,90 z = invnorm(0.90) =,8 g µ z = g = µ + z σ = 6 +,8 6 = 76, σ Het 90-percentielpunt ligt bij 76 punten. e P(alle drie boven de 6) = 0,0 = 0, 07 f 0% van 40 leerlingen is leerlingen. Je kunt hier niet uitgaan van een trekking met terugleggen! 0 P(alle drie boven de 6) = 0, a P( V < 0 µ = en σ = 4) = normalcdf( 9999, 0,, 4) = 0,60 Dat betekent dat 6,0% van de flesjes minder dan 0 ml bevat. Dat zijn 0, flesjes. b P( V < g µ = en σ = 4 ) = 0, 0 z = invnorm(0.0) =,64 g µ z = g = µ + z σ =,64 4 ml σ c P( V < 0 µ =? en σ = 4 ) = 0,0 g µ z = µ = g z σ = 0 +, ml σ d P( V < 0 µ = en σ =? ) = 0,0 g µ g µ 0 z = σ = =,0 ml σ z,64 e Per flesje is de kans dat de hoeveelheid meer dan éénmaal de standaardafwijking onder het gemiddelde ligt, gelijk aan normalcdf( 9, ) 0,87. Voor drie flesjes is die kans gelijk aan 0,87 0, H 0 : p = 0, 60 en H : p > 0,60 X = aantal opgeheven bedrijven P( X 8 n = 9 en p = 0, 6) = P( X 80) = binomcdf(9, 0.6, 80) = 0,04 < 0,0 Conclusie: de nulhypothese wordt verworpen, de kans in België is inderdaad groter dan 0,60. 8 a w is de maaswijdte. Uit de gegevens blijkt dat P( w < g µ = 0,0 en σ = 0, ) = 0,07. g µ z = g = µ + z σ = 0 + invnorm(0, 07) 0, 49, 6 mm σ b P( w < 49,44 µ = 0,0 en σ = 0, ) = normalcdf( 9999, 49.44, 0.0, 0.) 0,00 =,0% c Voor die mediaan m moet gelden P( w < m µ = 0,0 en σ = 0, ) = 0,00 = 0,0 m = µ + z σ = 0, 0 + invnorm(0, 0) 0, = 49, mm. d H 0 : µ = 0, 0 en H : µ 0, 0 0, P( X 0,0 µ = 0,0 en σ = ) = normalcdf(0.0, 9999, 0, 0.0) 0,04 > 0,0 00 H 0 wordt niet verworpen, dus men zal niet bij Doko aan de bel trekken.

13 9 a X = het aantal keer dat Robert een toets heeft gemist. b P( X 4 n = 00 en p = 0,) = P( X ) = binomcdf(00, 0., ) 0,09 > 0,0, dus H 0 kan niet worden verworpen, dus Robert s afwezigheid bij toetsen is normaal. c Omdat X niet binomiaal verdeeld is. Immers, de steekproef van 00 proefwerken genomen uit de populatie van alle lessen: - is niet aselect, - is getrokken zonder terugleggen, - is erg groot t.o.v. de populatie. d H 0 : p = 0, en H : p > 0, P( X 4 n = 00 en p = 0,) P( N, µ = en σ = 00 0, 0,87 ) = normalcdf(., 9999,, (,)) = 0,0009 < 0,0, dus H 0 wordt verworpen, Robert s afwezigheid bij toetsen is niet normaal. 0 H 0 : µ = 8, en H : µ > 8, 0 P( X 86,8 µ = 8, en σ = ) = normalcdf(86.8, 9999, 8., 0/(0)) 0,006 < 0,0. 0 Conclusie: er is voldoende aanwijzing om het vermoeden van de onderzoeker te bevestigen.

14 Kern 4 Gemengde opgaven (0 0) a Als d = 0 geldt p = = 0 en als d = 6 geldt p = = (6 0) De kans op een lekke band varieert tussen 0 en 7 b Je zou het gemiddelde mogen nemen als er sprake was van een lineair verband. Hier is echter sprake van afnemende daling. De lijn door (0,0) en (6, ) ligt boven de grafiek en geeft dus steeds een te 7 hoge kans. c 0,06 0,94 0,06 lek 0,94 0,06 niet-lek 0,94 0,06 lek 0,94 niet-lek lek niet-lek 0,06 0,94 0,06 0,94 0,06 0,94 0,06 lek niet-lek lek niet-lek lek niet-lek lek niet-lek 0,94 0,06 0,94 0,06 0,94 0,06 0,94 0,06 0,94 0,06 0,94 0,06 0,94 0,06 0,94 lek niet-lek lek niet-lek lek niet-lek lek niet-lek lek niet-lek lek niet-lek lek niet-lek lek niet-lek d Het gaat hier om een binomiale kansverdeling. Je kunt de kansen berekenen aan de hand van de kansboom hierboven, je kunt ook gebruik maken van de GRM. Met Y = binompdf(4, 0.06, X) vind je dan de gevraagde kansverdeling. x 0 4 P(X = x) 0,7808 0,99 0,09 0,0008 0,0000 e P(meer dan één lek) = 0,09 + 0, ,0000 = 0,099 f De kans dat je aan één reservewiel niet genoeg hebt, is heel klein. Hoeveel risico ben je bereid te nemen? a We gebruiken de middelste formule: GT = 0, 087 (,8 +,9 0,6 ) ( 60 ) + 9 C b Nu gebruiken we de onderste formule: GT =, = 6 C c We zoeken de oplossing van GT = 0,087 (,8 +,9 v 0,6 v) ( 60 ) + 07 C Oplossen geeft v = 47,9 km/uur. d Als t = 6 en v = 7 geldt T =, = 9, M v = 0, , + 0, = 0, 78 kg. Zijn massa neemt in 6 dagen af met 6 0,78 = 4, kg. Hij weegt dan nog 0 4, =,9 kg. e M = 0, 0009 (, 6t 0) + 0, v t = 6 geeft M v = 0,0009 (,6 60 0) + 0, = 0,78 f P( X = 0 n = en p = 0,87) = binompdf(, 0.87, 0) 0,77 g P( X 0 n = en p = 0,87) = ~ P( X 9) 0,80

15 a P(ziekte A) = 4 P(ziekte B) = = 4 4 P(ziekte C) = = 4 4 P(ziekte D) = = 4 4 b aantal testen kans P c Strategie (test, test, test ) Strategie (test, test, test ) Strategie (test, test, test ) aantal testen kans P Strategie (test, test óf test ) aantal testen kans P 0 d Bij de laatste strategie geldt: E(aantal testen) = 0 + = Bij de overige strategieën geldt: E(aantal testen) = + + = De laatste strategie lijkt dus het handigst. e De verwachte kosten zijn ( ) + ( ) = 700 euro. 4 4 f De strategie (test, test, test ) kost naar verwachting 70 euro De strategie (test, test, test ) kost naar verwachting 70 euro De strategie (test, test, test ) kost naar verwachting 80 euro De strategie (test, test óf test ) kost naar verwachting 700 euro De eerste en de laatste strategie geven de laagste kosten. g Rond t =, zie grafiek. 4 ( t + ) 4t t 4t + 4 C = = ( t + ) ( t + ) C () = = 0, dus het klopt. ( + ) h Eerst is sprake van toenemende daling, daarna van afnemende daling. 4t + 4 i C = heeft een minimum als de afgeleide van C gelijk is aan 0. ( t + ) 8 t ( t + ) ( 4t + 4) ( t + ) t C = 4 ( t + ) 8 ( + ) ( 4 + 4) ( + ) C ( ) = = 0 4 ( + ) Bij t = is de afnamesnelheid het hoogst. Die is dan per uur. 4 4 aantal testen kans P 4 4 aantal testen kans P ( ) C = = = (( ) + ) 6 mg per liter

16 j C = 4t t + als 4t = t +. Dat geeft t 4t + = 0, en vervolgens t = ± Op t = neemt de concentratie nog toe. Na t = +,7 wordt de concentratie te laag, dat is uur en 44 minuten na de injectie. 4 a Teken Y = 80X en Y = 0.X + 0X op WINDOW [0, 400] [0, 40000] b Met CALC intersect vind je het snijpunt van beide grafieken: X = 0. en Y = 4,. Dat betekent dat vanaf leden het subsidiebedrag wordt overtroffen. c B = S E = 80x (0,x + 0x ) = 0,x + 0x d 0 Het maximum van deze functie wordt bereikt bij xtop = = 0. Het maximale bedrag is 0, B (0) = 0, = 0 euro. S E x + x x x + x + R = = = S 80x x ( 0, x + 0)(80x + 000) ( 0,x + 0x + 000) 80 R = = (80x + 000) , , x x + x + + x x (80x + 000) x x + (80x + 000) Als x = 0 geldt R = = 0, dus bij x = 0 is R maximaal. ( ) R(0) = 0,. e P( X = n = 0 en p = 0,0) = binompdf(0, 0.0, ) 0,849 f De actie slaagt niet als er 4 of minder jongeren lid worden. P( X 4 n = 0 en p = 0,0) = binomcdf(0, 0.0, 4) 0,4 = a De kans dat een visje een dag overleeft, is gelijk aan 0,0 = 0,97. b Het aantal visjes dat na t dagen nog in leven is, is gelijk aan N = ,97 t t 0,97 c Dat is het geval als geldt 0,97 = 0, t = log 0,, 76 Op de e dag zal de school visjes zijn gehalveerd. d Op t = 0 zijn er = 4000 visjes. Op t = 60 zijn er = 00 visjes. Dat 00 0 betekent een groeifactor per dag van ( ) 0,97. De kans dat een visje sterft, is dus gelijk aan ,97 = 0,0. Die kans is dus nog steeds gelijk aan 0,0. e T = ,97 t f Dat is het geval als N < 000. t N = ,97 < 000 t 0,97 < 0,0 0,97 > t log 0,0 76 Na 76 dagen bestaat de school voor het eerst uit minder dan 000 exemplaren.

17 g H 0 : µ = 09 en H : µ < 09 P( X < 04 µ = 09 en σ = ) = normalcdf ( 9999,04,09,/ ) 0, 07 < 0,0. De H 0 kan worden verworpen. Het vermoeden wordt bevestigd. h Als P( X < g µ = 09 en σ = ) < 0, 0, dan wordt H 0 verworpen. g = µ + z σ = 09 + invnorm(0, 0) = 04, 7 Bij gemiddelden kleiner dan 04,7 gram wordt H 0 verworpen, bij gemiddelden groter dan 04,7 gram wordt H 0 wel verworpen. 6 a Eerste generatie Homozygote: = 000 Heterozygote: 8000 = 4000 Tweede generatie Homozygote: = 4000 Heterozygote: 4000 = 000 b Van de heterozygote planten blijft steeds de helft hetrozygoot. Omdat iedere generatie het aantal gehalveerd wordt, zullen de heterozygote planten uitsterven. c p == 0 ( ) n d 0 ( ) n Voor de e generatie vind je Voor de e generatie vind je p = 0 ( ) 0,0 % > 0,% p = 0 ( ) 0,006 % < 0,% De e generatie is de eerste waarbij het percentage onder de 0,% komt. H : p = en H : p > e 0 P( X > k n = 0 en p = ) = P( X k ) > 0, 0 Voer in Y = binomcdf(0, 0., X ) en kijk in TABLE. Voor alle x 40 klopt de ongelijkheid. f Nee. Bij het toetsmodel wordt uitgegaan van H : p >. Lage aantallen wijzen in het voordeel van 0 H : p = en niet direct in de richting van p <. Je mag niet het model aanpassen aan de waarnemingen!

18 7 a aantal duizendtallen 0 7% 4% % jaar b In de periode % c , 00 d Zie afbeelding rechts. e H 0 : p = 0, 7 en H : p > 0, 7 P( X 60 n = 70 en p = 0, 7) = P( X 9) = binomcdf(60, 0.7, 9) 0,00 < 0,0 H 0 wordt verworpen. Er zijn significant meer ruimtevaarders onder de 70 lijders aan ruimteziekte. 8 a Er worden 0 9 = 90 wedstrijden gespeeld. b P( X 4 n = en p = 0,) = binomcdf(, 0., 4) 0,8 c De diameter van de bal is gelijk aan 7,4 4 π cm. De hoogte van de onderzijde van de bal is nu achtereenvolgens: 80 cm, 0 cm, 80 cm = ; = Er is een vaste vermenigvuldigingsfactor d Voor de hoogte van de onderkant van de bal geldt h = 80 ( ) n. Als de bal volledig onder de cm moet blijven, dan komt de bal dus minder dan cm van de grond! Dat betekent dat moet gelden n h = 80 ( ) < Teken Y = 80 * (/)^X en Y = op WINDOW [0, ] [0, 0]. Met CALC intersect vind je als snijpunt voor deze twee grafieken het punt met X =.807. Dus bij de e keer stuiteren blijft de bal volledig onder de cm. e P( X < 7 µ = 76, en σ = 0,70) = normalcdf( 9999, 7, 76., 0.70) 0,06. P( X > 78 µ = 76, en σ = 0, 70) = normalcdf(78, 9999, 76., 0.70) 0,06. P(bal voldoet niet) = 0,0. Het verwachte aantal ballen dat niet voldoet is daarom gelijk aan 0,0 4. f P(bal voldoet) = 0,0 = 0,9679 P( X = n = en p = 0,9679) = binompdf(, , ) 0,849 = 84,9% H : p = en H : p > g Als P( X x n = en p = ) < 0, 0 dan geldt P( X x n = en p = ) > 0,9 0 Voer in Y = binomcdf(, /0, X ) en kijk in TABLE. Je vindt dan dat de kleinste waarde van x waarvoor dit geldt, is x = 0

19 9 Als E( A ) =, en σ ( A) =, 6 dan geldt E( S ) = 00, = en σ ( S) = 00,6 =, 6 We toetsen H 0 : µ = en H : µ < P( S 0, µ = en σ =, 6) = normalcdf( 9999, 0.,,.6) 0,0496 < 0,0 H 0 wordt verworpen, er is voldoende aanleiding om te veronderstellen dat het programma te weinig klaverenkaarten geeft.