Hoofdstuk 6 Examenaanpak. Kern 1 Modelleren

Transcriptie

1 Uitwerkingen Wiskunde A Netwerk VWO 6 Hoofdstuk 6 Examenaanpak Hoofdstuk 6 Examenaanpak Kern Modelleren a De vrouwen van 8 jaar vallen in de categorie 5 9. Hoe de verdeling binnen deze categorie is, is niet uit de figuur af te lezen. b Het doel van de figuur is een totaalbeeld te geven van de bevolkingsopbouw. Dat lukt met deze figuur goed. Het is niet nodig om voor iedere individuele leeftijdsgroep de opbouw te zien. G 85 a Q = = 9, <. Er is dus geen sprake van overgewicht. L (.7) b Iemand is te zwaar als hij veel vetmassa heeft. Denk aan een bodybuilder, die heeft veel (spier)massa! Een hoog gewicht geeft een hoge waarde van de Quetelet-index. Toch noem je iemand met zo n gespierd lichaam niet te zwaar. a We noteren een + als de bloeddruk na toediening hoger is. We noteren een als de bloeddruk na toediening lager is. We noteren een als de bloeddruk na toediening even hoog is. Zo ontstaat de volgende rij symbolen X = het aantal plussen. We toetsen H : p = tegen H : p P( X 7 n = 9 en p = ) = P( X 6) binomcdf(9,.5, 6) =,898 >,5. H wordt niet verworpen, het middel beïnvloedt de bloeddruk niet. b Er gaat informatie verloren, bijvoorbeeld over de grootte van het verschil. Je zou kunnen kijken naar de gemiddelde waarde van de verschillen, waarbij je dan uitgaat van een verwachtingswaarde van. a langzaam 6 snel b Tellen in het rooster geeft. Ook met c ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF BCD BCE BCF BDE BDF BEF CDE CDF CEF DEF 6 = 6 ncr vind je mogelijkheden. 5 a De groeifactor per tijdseenheden is. De groeifactor per tijdseenheid is. Verder is de beginwaarde H =, dus de formule wordt dan H ( t ) = ( ) t b H () = ( ),8. Dat klopt niet erg met de grafiek! c Het zou een kwadratische functie kunnen zijn. d H = at + bt + c De grafiek van de functie gaat door de punten (, ), (, ) en (,.5)

2 Dat levert de volgende vergelijkingen. () = a + b + c c = () = a + b + c = a + b + b = a b = a () = a + b + c = a 9 + b + 9a = b Combineren van () en () geeft 9a = ( a) a = en b =. De formule wordt dan Controle met t = geeft H = t + H = ( ) + =. Dit lijkt wel te kloppen met de grafiek. 6 6 a p = = b Nee. Die kans zou volgens het model 5% moeten zijn. c De kansen zijn iedere trekking weer hetzelfde, omdat het om trekken met terugleggen gaat. De kansboom wordt dan zoals rechts is afgebeeld. 7 a 7 De kans die je vindt, is p = = =, Dat klopt wel met het gegeven van een kans van minstens % op het winnen van de hoofdprijs. L H L H,9 79,8 6,9 9,97,7,57 7,5,6 5,7 5 7, 6,6 6,5 7,5 7 5,8 8 9,5 8 67, 9 59,8 9 8, 69, 95,7 groen groen groen rood rood rood b Teken Y =.69*X^.5 op WINDOW [, ] [, ] c Voor de hermelijn klopt het model niet. d Nee, want voor de andere dieren klopt het wel. Als je de getallen aanpast om het model passend te maken voor de hermelijn, dan zal het voor de andere dieren niet meer passen.

3 Kern Blikwisselen 8 a Die kans is gelijk aan,5, 5, 8, 65, 9 b De kans dat er geen gas vrij komt is gelijk aan,9 =,98 c De complementregel. 9 a P(er is iemand jarig) = P(er is niemand jarig) = P(eerste leerling niet jarig, tweede leerling niet jarig, ) = = ( ), b P(er is iemand jarig) = ( ),56 c Ja, die kans neemt toe. 65 a - b Er zijn 8 spelers die een wedstrijd verliezen. Dat betekent dat er 8 wedstrijden worden gespeeld. a Het eerste jaar: 8 % = 5% 8 Het tweede jaar: 5 % = 5% Het derde jaar: 5 5 % = % 5 b 5% + 5% % = 5% 5 8 c % =,5% 8 d De antwoorden zijn niet gelijk. De percentages die je bij a berekent hebt, hebben niet steeds betrekking op de beginkoers. e Het tweede jaar: 5,5 = Het derde jaar: 5,7 5 = f,5,5,7 =,5. Het resultaat over drie jaar is,5. g De groeifactor per drie jaar is,5. De groeifactor per jaar is,5,95. Het jaarlijkse groeipercentage is 9,5%. h 9,5% is het juiste stijgingspercentage. a Gemiddeld zijn er steeds 6 = 8 banden in voorraad. De kosten om één band in voorraad te houden bedragen 8, dus de totale voorraadkosten bedragen 8 8 =. b De totale opbrengsten bedragen 5 7 = 5.. Hier moeten vanaf: de voorraadkosten, de inkoopkosten en de leveringskosten. Dan winst is dan = 85. De winst per band bedraagt 85 : 5 =,8 x 5 c De totale winst is gelijk aan TW = 5 (7 ) 8 5 x TW 9x 5 5 De winst per band is dan = =, x 5 5 x x

4 5 W =, = als x 8,. Bij een bestelgrootte van 8 per keer is de winst per band x maximaal. d Kern Vereenvoudigen a Daar is de kans op twee verschillende soorten het grootst. b Div =,5,5 =,5. Div max =,5 c Er zijn manieren om verschillende soorten te pakken. d Div = = n e Div = n a Hij krijgt 5,75 =,75% van zijn salaris. Dat is,75 = 75,75 t b Het pensioen is P = s =, 75 t s 5 a Als h =, dan geldt l = b =. Er gaat immers aan kanten cm van af. De inhoud is gelijk aan = 78 cm. b Als h gegeven is, dan geldt l = b = h. De inhoud is gelijk aan I = l b h = ( h) h c d I = h h + h = h h + h = h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) I = als h = 5 of h = 5. De inhoud is maximaal als h = 5. De inhoud is dan I = ( 5) 5 = cm. = = I l b h (5 h) h I = h h + h = h h + h = h h (5 ) (5 ) (5 ) ( 5 ) (5 ) (5 6 ) I = als h = 7,5 of h = 7,5. De inhoud is maximaal als h = 7,5. De inhoud is dan I = (5 7,5) 7,5 = 675 cm. e De maximale inhoud is 6 cm. Dat is 8 keer zo groot als de doos uit onderdeel c. Als de inhoud 8 keer zo groot wordt, moeten de afmetingen allemaal 8 = keer zo groot zijn. De afmetingen van deze doos zijn. 6 a Er zijn 6 leugenaars en 8 eerlijke mensen. Van de leugenaars zal de detector 75% herkennen, dat betekent dat leugenaars worden herkend. Van de eerlijke mensen zullen van de ook als eerlijk bestempeld worden, dus in totaal 77 mensen. In totaal wordt voor + 77 = 89 mensen de juiste conclusie getrokken. De betrouwbaarheid is 89%. b Er zijn leugenaars, van wie er naar verwachting 7,5 worden herkend. Er zijn 9 eerlijke mensen, van wie gemiddeld 8,5 worden herkend. De totale betrouwbaarheid is 7,5 + 8,5 = 9%. Dat is hoger dan 85%. c Het aantal mensen dat juist herkend wordt, is x + ( x) = x + 9. De grafiek bestaat uit 6 losse punten, omdat alleen gehele waarden van x betekenis hebben. x + 9 = 87 d 6 x = 6 x = 8 Er bevinden zich 8 leugenaars in de groep. e We toetsen H o : p =,96 tegen H : p >,96 P( X 8 n = 9 en p =,96) P( N 8,5 µ = 8, en σ = 8,)

5 normalcdf(8.5, 9999, 8., 8.) =,7 >,5 De nulhypothese kan niet worden verworpen, de nieuwe versie is niet beter. Kern Aantonen 7 a Als t heel groot wordt, wordt de noemer ongeveer + =. Het percentage nadert dan tot 7 =. t t, ln, b P ( t) =, ln, =. t t ( +, ) ( +, ) De noemer van de afgeleide functie is een kwadraat, dus nooit negatief. De teller is ook altijd positief. Omdat de hellingfunctie altijd positief is, kun je concluderen dat de grafiek van P(t) overal stijgt. c Teken Y = / ( + *. ^X) en Y = 7.99 op WINDOW [,5] [, ]. Via CALC intersect vind je X =.7. Vanaf zal het percentage internetboekingen boven de 7,99% liggen. 8 a De kans dat Herman minstens drie van de ja/nee vragen goed heeft, is P( X n = en p = ) = P( X ) = binomcdf(,.5, ) =,5 De kans dat Herman twee ja/nee vragen goed heeft én de -keuzevraag goed heeft is P( X = n = en p = ) = binompdf(,.5, ) =,5 De kans dat Herman slaagt is gelijk aan,5 +,5, b De kans dat iemand keer zakt, is gelijk aan %. Hieruit volgt dat ( pzakken ), pzakken =,,58 c P( X 7 n = en p =, 655) = P( X 6) binomcdf(,.655, 6) =,88 >,. De resultaten van de rijschool wijken niet significant af van het landelijk gemiddelde. 9 a gem CRL (in mm) leeftijd (in weken) Er zou sprake kunnen zijn van een machtsfunctie. 7 b,7 = ;, 7 = ;,75 = ;, = ; 55,79 = ; 68,6 55 =. Er is geen sprake van een vaste groeifactor. c Eén tegenvoorbeeld is genoeg om aan te tonen dat iets niet altijd juist is. Eén voorbeeld is niet genoeg om aan te tonen dat iets altijd juist is. d Omdat het in tegenspraak is met het gestelde. e CRL = a L = a = a a =, f De formule klopt redelijk met de gegevens uit de tabel. g P( L > 9 µ = en σ = ) normalcdf(9, 9999,, ) =,8. Dat is ongeveer,5%.

6 Kern 5 Toepassen a,, 6, b c C w 5 C w d Voor 6 werknemers is de schatting 5 contacten, voor 7 werknemers is de schatting contacten. e De formule is passend voor de waarden uit de tabel. De schattingen komen ook overeen met de formule. a Inkomen is een kwantitatieve, continue variabele. Huishouden is een kwantitatieve, discrete variabele. Stad is een kwalitatieve variabele. b Een positief effect. c K = 5 +, = 575 d De coëfficiënt van stad is -. Als de variabele stad de waarde heeft, zal K met afnemen. e K = 5 +,5 inkomen + 5 huishouden = 5 +,5 inkomen + 5 huishouden f - g Voor de Zwollenaar geldt: inkomen =, huishouden =. Dat geeft K = 5 +,5 + 5 = 8 Voor de Hagenaar geldt: inkomen =, huishouden =. Dat geeft K = 5 +,5 + 5 = 8 De drang tot het kopen van een auto is voor beide even groot a natuurwaarde = ( log( )) 8 5 b Een zeldzame plant zal weinig vindplaatsen voor die soort kennen en/of een lage bedekkingsgraad hebben. totaal aantal vindplaatsen Als het aantal vindplaatsen klein is, dan wordt de breuk aantal vindplaatsen met soort A groot. Als de bedekking klein is, dan wordt de factor ( log(bedekking)) groot. De natuurwaarde voor een zeldzame soort is dus groot. c Voor B geldt: natuurwaarde = 5 ( log( )) 87, Voor C geldt: natuurwaarde = ( log( )) 9,56 5 Soort B heeft een hogere natuurwaarde en is volgens de formule dus zeldzamer.

7 d Bedenk dat log( b) = log() + log( b) = + log( b) De breuk verandert niet, de factor ( log(bedekking)) wél. Als de bedekking keer zo groot wordt, wordt deze factor kleiner. De natuurwaarde wordt kleiner. e Als een soort op alle vindplaatsen voorkomt en een volledige bedekking heeft, is de natuurwaarde 5 5 ( log( )) = 5 5 Voor een zeldzamere soort geldt een hogere natuurwaarde. Dit betekent dat natuurwaarde. f Er zijn + 55 waarnemingen waar iets is veranderd. Als de aanwezigheid van het plantje niet is veranderd, moet de kans op een wel-niet situatie gelijk zijn aan de kans op een niet-wel situatie. Toetsmodel: H : p =,5 tegen H : p,5 X = het aantal plaatsen waar het herderstasje tussen 975 en 995 verdwijnt. P( X 55 n = 95 en p =, 5) = P( X 5) = binomcdf (95,.5, 5), 75 >,5. De nulhypothese kan niet worden verworpen. a Voor de vragen geldt: E(punten) = = 5 5 Voor de vragen geldt: E(punten) = 5 = 5 5 b Het verwachte aantal punten dat je haalt bij gokken is. Het maakt dus niet uit of je de vraag onbeantwoord laat of gokt.