Hoofdstuk 9 De Normale Verdeling. Kern 1 Normale verdelingen. Netwerk, 4 Havo A, uitwerkingen Hoofdstuk 9, De Normale Verdeling Elleke van der Most

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9 De Normale Verdeling Kern Normale verdelingen a percentage De polygoon heeft een klokvorm. b De gemiddelde lengte valt in de klasse cm. Omdat 8 precies in het midden ligt, schatten we dat ongeveer de helft van de recruten uit deze klasse kleiner is dan 8 cm en de andere helft groter. Een schatting van het percentage recruten dat kleiner is dan 8 cm is daarom 0, + 0,9 + 3,3 +,0 +,3 + 7,3 = 50,5. c Alle recruten kleiner dan 74,5 cm vallen in de klassen tot 74 cm. In totaal is 0, + 0,9 + 3,3 +,0 = 5,3 procent van de recruten kleiner dan 74,5 cm. a Wel klokvorm. Het gewicht zal zich symmetrisch rond de gemiddelde waarde verdelen. Hoe groter de afwijking van het gemiddelde, hoe kleiner de kans. Afwijkingen naar boven zijn even waarschijnlijk als even grote afwijkingen naar beneden. b Geen klokvorm. Uitgaand van alle salarissen van werknemers kunnen we een gemiddeld salaris bepalen. De verdeling rond dit gemiddelde zal echter niet symmetrisch zijn. De frequentie van heel hoge salarissen zal niet even hoog zijn als de frequentie van salarissen die evenveel van het gemiddelde afwijken, maar nu naar beneden! c Wel klokvorm. Voor iedere man die x cm kleiner is dan de gemiddelde lengte is ook wel een man te vinden die x cm groter is. Afwijkingen naar boven zijn net zo waarschijnlijk als even grote afwijkingen naar beneden. d Geen klokvorm. Er worden 5 ronden geschaatst. Dit zijn te weinig waarnemingen om een mooie klokvorm op te leveren. e Geen klokvorm. De zomervakantie duurt 6 weken, dus 4 dagen. Vaak heb je in de zomer een paar stevige buien en ook een heleboel (min of meer) droge dagen. De frequentie polygoon zou juist bij hele hoge en hele lage waarden een piek laten zien en geen klokvorm waarbij de meeste dagen rond het gemiddelde uitkomen.

2 3 a lengte (cm) <59,5 <64,5 <69,5 <74,5 <79,5 <84,5 <89,5 <94,5 <99,5 <04,5 <09,5 cum. perc. 0,,0 4,3 5,3 36,6 63,9 84,4 95,6 99,0 99,8 00,0 b m s = 8 7,5 = 74,5. 5,3% van de dienstplichtigen is kleiner dan m s 63,9 36,6 m = 8. 36,6 + = 50,5 % van de dienstplichtigen is kleiner dan m m + s = 8 + 7,5 = 89,5. 84,4% van de dienstplichtigen is kleiner dan m + s. 4 Uitgaande van de gegevens kunnen we het volgende plaatje maken. De antwoorden op de vragen kunnen we dan aflezen uit het plaatje. a 6% van de sinaasappels bevat minder dan 05 ml sap. b De % minst sappige sinaasappels bevatten minder dan 90 ml sap. c De 6% meest sappige sinaasappels bevatten meer dan 50 ml sap. 34% 34% ½% ½% 3½% 3½% a De percentages zijn af te leiden uit de vuistregel én het feit dat de verdeling symmetrisch is. Voorbeeld: 3 procent van de champignons weegt tussen de 6 en 8 gram. Hieruit volgt dat 3 9 = 5 weegt. procent tussen de 7 en 8 gram b 8 procent van de champignons weegt minder dan gram. c 8,5 procent van de champignons weegt tussen de en 8 gram. d 69 procent van de champignons weegt minstens 3 gram. ½ 5½ ½ ½ 6 Maak eerst weer een plaatje waarin je de gegevens verwerkt. a 68 procent van natuurlijke melk heeft een vriespunt tussen 0,553 C en 0,537 C. b,5 procent van natuurlijke melk heeft een vriespunt boven de 0,59 C. c De kans dat dat één keer gebeurt, is gelijk aan %. De σ=0,008-0,56-0,553-0,545 0,537-0,59 kans dat dat 5 keer achter elkaar gebeurt, is daarom 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 = 9, De kans dat dat gebeurt met natuurlijke melk, is dus zeer gering. De kaasmakerij zal daarom concluderen dat de melk is aangelengd met water.

3 Kern Z-waarden 7 a Links van g = 6 ligt %. Links van g = ligt 84%. b Links van g = 4 ligt %. Links van g = 3 ligt 84%. c In beide gevallen ligt g evenveel keer de standaardafwijking vanaf het gemiddelde. d grenswaarde g µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ aantal keer σ vanaf µ 0 3 cumulatief percentage a ligt midden tussen en 0. Voor het percentage heeft Karel het midden van 6% en 50% genomen. b Van de 34 procent die tussen z = en z = 0 ligt, ligt minder dan de helft links van z =, omdat de kromme stijgt. 9 a,b z-waarde berekening cum. perc. normalcdf( 9, ) = 0,08,8 normalcdf( 9, ) = 0,587 5,87 0 normalcdf( 9, 0) = 0, ,00 normalcdf( 9, ) = 0,843 84,3 normalcdf( 9, ) = 0,977 97,7,95 normalcdf( 9,.95) = 0,006 0,6 3,04 normalcdf( 9, 3.04) = 0, ,88,65 normalcdf( 9, 0.65) = 0,74 74, 0, normalcdf( 9, 0.) = 0,45 45,,39 normalcdf( 9,.39) = 0,083 8,3 z= z=½ z=0 0 a = 0 60 km minder. Dat is 060, = keer de standaardafwijking. b De z-waarde geeft aan hoeveel keer g van µ vandaan ligt. Hier geldt daarom z =,7. c normalcdf( 9,.7) = 0,00. Het cumulatieve percentage is 0,0. d Ruim 0 procent van de banden zal minder dan km meegaan. Het is dus niet echt uitzonderlijk dat dit gebeurt. De man heeft gewoon pech σ=8000

4 a 4 cum. perc. z-waarde b cum. perc. z-waarde,5 invnorm(0.05) =,96 99,40 invnorm(0.9940)=,5 6 invnorm(0.6) = 0,9945 8,69 invnorm(0.0869)=, invnorm(0.50) =0 9,8 invnorm(0.98)= 0, invnorm(0.84) =0,9945 0,47 invnorm(0.0047)=,597 97,5 invnorm(0.975) =, ,08 invnorm(0.6808)=0,4699 a z-waarde = invnorm(0.05) =,4. b,4 6 dagen 36 dagen. c = 30 dagen. σ=6,5% 66

5 5 Kern 3 Percentage en grenswaarde 3 a Omdat anders de helft van de flessen te weinig bevat. Daar zouden de consumenten over kunnen gaan klagen. b Tellen geeft ongeveer 8 %. g µ 7, a De z-waarde = = =. σ 3,5 7 Hieruit volgt dat P(V<7,5 µ = 5 en σ = 3,5) = normalcdf( 9, 5/7) = 0,765. b Bij 3,7 hoort een z-waarde van g µ 3, = = σ 3,5 7 P(V 3,7 µ = 5 en σ = 3,5) = P(V < 3,7) = normalcdf( 9, 3/7) 0,6659 = 66,59%. c Bij 33,5 hoort een z-waarde van g µ 33, 5 5 = 0, σ 9,5 Bij 8,7 hoort een z-waarde van g µ 8, 7 5 = 0, 663. σ 9,5 P(8,7 V < 33,5 µ = 5 en σ = 9,5) = P(V < 33,5) P(V < 8,7) = normalcdf( 9, ) normalcdf( 9, 0.663) 0,845 0,7464 = 0,068=6,8%. σ=3,5 3,7 5 σ=9, ,5 5 a Bij 44,5 hoort een z-waarde van 44,5 56,5 =,6. P(g < 44,5) = normalcdf( 9,.6) = 0, ,5 b In totaal raapt men 00 eieren. Hiervan is 5,48% lichter dan 44,5. Dat komt overeen met 0, eieren. 6 a Bij 69,5 hoort een z-waarde van 69,5 56,5,73. 7,5 P(g > 69,5) = P(g < 69,5) = normalcdf( 9,.73) = 0,9585 = 0,045. σ=7,5 Van de 00 eieren zijn naar verwachting 0, = 50 eieren zwaarder dan 69,5 gram. b In de klasse 54,5 59,5. Bij 54,5 hoort een z- waarde van 54,5 56,5 = 0, 7. 7,5 Bij 59,5 hoort een z-waarde van 59,5 56,5 44,5 56,5 69,5 = 0,4. 7,5 P(54,5 < g < 59,5) = P(g < 59,5) P(g < 54,5) = normalcdf( 9, 0.4) normalcdf( 9, 0.7) = 0,606. Van de 00 eieren zijn naar verwachting 0, = 33 eieren van klasse 4. 7 a 8%. b 030 ml.

6 6 8 a z = invnorm(0.534) = 0,6638. g = 5 0, ,5 =,7 b z = invnorm(0.45) =,58. g = 50,58 75 = 63,5 c z = invnorm(0.4377) =,568. g = 0,568 8 = 8,7. 9 a Gevraagd wordt de kans P(S < 99,5 µ = 0 en σ = 5). Bij g = 99,5 hoort een z-waarde van 99,5 0 = 0, 4. 5 Hieruit volgt dat P(g < 99,5) = normalcdf( 9, 0.4) = 0,337. b Bij een cumulatief percentage van 5 hoort een z-waarde van invnorm(0.5) 0,6745. Hieruit volgt dat g 0 0, = 93, a P(g > 755 µ = 7500 en σ = 6) = P(g < 755) Bij g = 755 hoort een z-waarde = =,5. 6 De gevraagde kans is normalcdf( 9, 0.5) = 0,006. Dus 0,6% is te zwaar om in omloop te worden gebracht. b Bij een cumulatief percentage van 0,003 hoort een z-waarde van invnorm(0.003)=,7370. Hieruit volgt g = 7500,7370 7,5= Het minimale gewicht is 7479 mg. a Gevraagd wordt dus P(afstand < 60). Bij g = 60 hoort een z-waarde van =, P(afstand < 60) = normalcdf( 9,.486) = 0,934. Van de 00 studenten kunnen 0, = 85 niet aan de eis voldoen. b De z-waarde bij g vinden we door invnorm(0.95) =,645. g = 50 +, ,5 m. De beste werpers kunnen minstens 6,5 meter gooien. σ=5 99,5 0 σ= σ= Bij een cumulatief percentage van 0 hoort een z-waarde van invnorm(0.0) =,8. Bij een cumulatief percentage van 90 hoort een z-waarde van invnorm(0.90) =,8. Bij z =,8 hoort een g van 45, km per uur. Bij z =,8 hoort een g van 45 +, km per uur. De auto s die niet zeer snel of zeer langzaam rijden, hebben een snelheid tussen 36 en 54 km per uur. 0% σ=7 45 0%

7 7 Kern 4 Gemiddelde en standaardafwijking 3 a Je telt ongeveer 5 hokjes tot de grens van 000 ml. b Het gemiddelde is ongeveer 06,5 ml. 4 a z = invnorm(0,534) = 0,6638. µ = g z σ = 9,3 + 0,6638 3,5 =,6. b µ = g z σ = 5,7 + invnorm(0.3456), = 5,. c Bij een cumulatief percentage van 0,976 hoort een z van invnorm(0.970) =,979. Hieruit volgt µ = g z σ = 950,979 3 = 78,48. 0,534 σ=3,5 0,3456 σ=, σ=3 0,039 9,3 µ 5,7 µ µ a Bij een cumulatief percentage van 90 hoort een z-waarde van invnorm(0.90) =,8. Hieruit volgt µ = g z σ = 50 invnorm(0.90) 8 = 39,75. b Bij een cumulatief percentage van 40 hoort een z-waarde van invnorm(0.40) = 0,5. Hieruit volgt µ = g z σ = 50 invnorm(0.40) 8 = 5,03. 6 a De z-waarde is invnorm(0.0) =,05. µ = g z σ = 985 +,05 0 = 005,5 ml. b De z-waarde is invnorm(0.96) =,75. µ = g z σ = 985,75 0 = 967,49 ml. 7 a De afwijking van het gemiddelde is 340 kg. Dat is 340, keer de standaardafwijking, dus de z-waarde 80 is,. normalcdf( 9,,) = 0,3. Dat betekent dat op,3 procent van de dagen de productie onder de kg blijft. σ=80 8 a Je telt ongeveer 5 hokjes voor de grens van 000 ml. b 5 procent van de flessen bevat minder dan 000 ml. Bij een cumulatief percentage van 5 hoort een z-waarde van invnorm(0.05)=,645. Dus een afwijking van 0 ml is,645 maal de standaardafwijking. De 0 standaardafwijking is dan 6,08,645.

8 9 8 0,3456 σ=, 0,054 σ=, σ= 0,987 5,7 0 z = invnorm(0.3456) = 0,397 5,7 0 σ = 0,8 0,397,6 30 a Met 0% van de blikken verf je minder dan 8 of meer dan m. Uitgaande van de symmetrie, kunnen we zeggen dat 5% van de blikken voor minder dan 8 m verf bevat. Met de GRM vind je dan voor de z-waarde: z = invnorm(0.05) =,6449. De gevraagde 8 0 standaardafwijking is dus: σ =,., 6449 b Gevraagd wordt de kans P(V < 7 µ = 0 en σ =,). Bij g = 7 hoort een z-waarde van 7 0 =,459. De, gevraagde kans is dan normalcdf( 9,,459) = 0,0070. Met 0,70% van de blikken kun je nog geen 7 m verven. z = invnorm(0.054) =,605 z = invnorm(0.703) = 0,58 5,6,6 σ = 4,4, σ = 57,5 0,58 σ=, 5% 5% a P(K 9,5 µ = 5,8 en σ = ) = 0%. 9,5 4,6 b Bakker A: z = invnorm(0.80) = 0,846. σ = 5,8 0,846 9,5 5,8 Bakker B: z = invnorm(0.90) =,86. σ =,89, 86 c Bakker A: Gevraagd wordt P(K 0,5 µ = 4,6 en σ = 5,8) z = 0,5 4,6 = 0,704. De kans is dus normalcdf( 9, 0.704) = 0,407. 5,8 Ongeveer 4% van de krentenbollen bevat minstens 0 krenten. Bakker B: Gevraagd wordt P(K 0,5 µ = 5,8 en σ =,89) z = 0,5 5,8 =,834. De kans is dus normalcdf( 9,.834) = 0,0333.,89 Ongeveer 3,33% van de krentenbollen bevat minstens 0 krenten. Bij bakker A heb je veel meer kans op tenminste 0 krenten, je kunt dus het best bij bakker A kopen.

9 3 a We zoeken de kans dat meer dan 400 biljetten gevraagd worden. Dat is P(U 399,5 µ = 36 en σ = 4). z-waarde = 399,5 36 =,793. Hierbij hoort een 4 cumulatief percentage van normalcdf( 9,.805) = 96,35%. Op 3,65% van de dagen wordt meer dan 400 briefjes gevraagd. Dat is op 0, dagen = 3 dagen. 9 σ= ,5 b Gegeven is P(U 74,5 µ = 40 en σ = ) = 0,05. Bij een cumulatief percentage van 98,5 hoort een z-waarde van invnorm(0.985),7. Hieruit volgt g µ 74,5 40 σ = = 5,9. z,7 c A: deze uitspraak is uit de figuur niet af te leiden. B: Het kleinste bedrag is in beide gevallen 0,. Het grootste bedrag is in beide gevallen 400,. C: Bij geldautomaat I ligt de mediaan bij 00,. dat betekent dat 50% van de opnamen kleiner dan 00 is geweest. Bij geldautomaat II is slechts 5% van de opnamen kleiner dan 00, geweest. Bij geldautomaat I worden dus relatief meer kleine bedragen opgenomen. σ= 40 74,5 0,05

10 0 Kern 5 Twee directe berekeningen 33 a normalcdf(8.7, 33.5, 5, 9.5) = 0,5609. b normalcdf(3.7, 9999, 5, 3.5) = 0,6448. c normalcdf( 9999, 7.5, 5, 3.5) = 0, P(X > 80 µ = 66 en σ = 6) = normalcdf(80, 9999, 66, 6) = 0,908. 9,08% van de zwangerschappen is overdragen. 35 a g = invnorm(0.733, 5, 3.5) =7,7. b g = invnorm(0.4377, 0, 0) = 8, P(NO > g µ = 870 en σ = 60) = 0,0. g = invnorm(0.90, 870, 90) = 3,5. De importeur zal als grenswaarde 3,5 mg/km doorgeven. H 5 37 a Q = =. Een lagere waarde van B geeft een grotere waarde voor Q. De minimale waarde van B B B vinden we dus bij Q =,05. H 5 B = = = 3,8 mm. Q,05 b Er is sprake van een ronde mond als 0,95 < Q <,05. P(0,95 < Q <,05 µ =,3 en σ = 0,06) = normalcdf(0.95,.05,.3, 0.06) = 0,0899. Bijna 9% van de soort Gibbosus heeft een ronde mond. c P(Q > g µ =,3 en σ = 0,06) = 0,37. g = invnorm(0.63,.3, 0.06) =,5 mm. Als Q minimaal,5 is spreken we over echt ovaal.