Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Transcriptie

1 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 23 januari 2012 Tijd: uur Aantal opgaven: 8 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening of toelichting op gebruik van de grafische rekenmachine zien hoe het antwoord verkregen is. Schrijf leesbaar en met inkt. Gebruik geen tipp-ex o.i.d.. Gebruik van een potlood is alleen toegestaan bij het tekenen van grafieken. Bij het tentamen kunt u gebruik maken van een (grafische) rekenmachine van een type dat goedgekeurd is voor het Centraal Examen Wiskunde van het vwo. Overige hulpmiddelen, zoals formulekaart, BINAS en tabellenboek zijn NIET toegestaan. Op pagina 5 is een lijst van formules afgedrukt; op de laatste drie pagina s vindt u tabellen van de binomiale en de normale kansverdeling. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen is verboden. Op vindt u vanaf eind deze maand: de uitwerkingen van dit tentamen; de stand van zaken van de correctie van het tentamen. U wordt dringend verzocht om de Open Universiteit niet te bellen of te mailen over uw uitslag. Deze wordt zo spoedig mogelijk naar u opgestuurd. Te behalen punten per onderdeel: Opgave a b c d 5 6 Totaal Cijfer = behaald aantal punten

2 1 De kostenfunctie voor een zeker goed wordt gegeven door K(Q) = 2Q 3 Q 2 + 5Q + 10 Hierin is K de kosten in duizenden euro s en is Q het aantal geproduceerde stuks in duizenden. De vaste verkoopprijs van dit goed is 25 euro per stuk en alle geproduceerde stuks worden verkocht. 3 pt a Laat zien dat de winstfunctie van dit goed gegeven wordt door W(Q) = 20Q + Q 2 2Q 3 10 (W in duizenden euro s, Q in duizenden stuks.) 5 pt b Bereken algebraïsch het aantal geproduceerde stuks waarbij de winst maximaal is. De winst op de productie van een ander goed wordt gegeven door W(Q) = 96Q 4Q Q 1000 (W in duizenden euro s, Q in duizenden stuks.) 6 pt c Bereken algebraïsch bij welk aantal geproduceerde stuks de winst maximaal is en bereken de maximale winst in euro s. 6 pt 2 Van een rekenkundige rij is gegeven dat de eerste term gelijk is aan 5 en dat de som van de eerste honderd termen gelijk is aan Bereken de vierde term van deze rekenkundige rij. 3 Jeroen staat op de vrijmarkt met een vaas met acht balletjes, die genummerd zijn van 1 tot en met 8. Hij speelt hiermee het volgende spel: een deelnemer betaalt 4 euro aan Jeroen daarna trekt de deelnemer blindelings één balletje uit de vaas tenslotte betaalt Jeroen het aantal euro s dat gelijk is aan het nummer op het getrokken balletje als prijs aan de deelnemer. Na afloop van ieder spel wordt het getrokken balletje weer teruggelegd in de vaas. 2 pt a Bereken de kans dat de prijs van een willekeurige deelnemer aan dit spel kleiner is dan 3 euro. 4 pt b Bereken de kans dat de eerste drie deelnemers in totaal meer dan 4 euro betaald krijgen. Na verloop van tijd komt Jeroen er achter dat hij met dit spel niet veel verdient. Het lijkt er zelfs op dat hij er op moet toeleggen. 4 pt c Hoeveel winst of verlies maakt Jeroen met dit spel op de lange duur gemiddeld per deelnemer? pagina 1 van 8

3 4 Het gewicht van de mandarijnen in de oogst van dit jaar is normaal verdeeld met een gemiddelde van 25 gram en een standaardafwijking van 2 gram. 2 pt a Hoeveel procent van de mandarijnen weegt dit jaar meer dan 28 gram? De mandarijnen worden verpakt in netjes van 20 stuks. De mandarijnen in één netje worden lukraak en onafhankelijk van elkaar gepakt. 5 pt b Bereken de kans dat het totale gewicht van de mandarijnen in een willekeurig netje tussen 490 en 505 gram ligt. In één netje zitten vijf beschimmelde mandarijnen. Jos pakt blindelings en zonder terugleggen drie mandarijnen uit dit netje. 4 pt c Bereken de kans dat Jos zo precies één beschimmelde mandarijn pakt. 5 Bij de invoering van de ov-chipkaart zijn er nogal wat kinderziektes. Eén van de problemen is dat de apparatuur waarmee in de bus in- en uitgecheckt moet worden het vaak niet doet. Bij een zekere busmaatschappij is de kans dat deze apparatuur niet functioneert 20%. Joris reist komende week 10 keer met een bus van deze maatschappij. 4 pt a Bereken de kans dat Joris bij meer dan 3 van 10 ritten een bus treft waarvan de apparatuur voor de ov-chipkaart niet functioneert. Als de reizigers niet met hun ov-chipkaart kunnen betalen, loopt de maatschappij inkomsten mis. Men overweegt daarom om in iedere bus twee onafhankelijk van elkaar functionerende systemen te plaatsen, zodat de kans dat de passagiers niet kunnen betalen een stuk kleiner wordt. 3 pt b Bereken de kans dat de passagiers wel met hun ov-chipkaart kunnen betalen als er twee systemen in een bus zitten die onafhankelijk van elkaar werken en die beide met een kans van 20% niet functioneren. De kosten van het plaatsen van twee systemen zijn nogal hoog, vandaar dat er eerst een aantal andere maatregelen genomen wordt, zoals vaker onderhoud en betere instructie van het personeel dat de apparatuur moet bedienen. Men wil toetsen of als gevolg van deze maatregelen minder dan 20% van de bussen defecte apparatuur heeft. Dit doet men door van 50 aselect gekozen bussen te kijken of de apparatuur defect is. Men neemt daarbij een onbetrouwbaarheidsdrempel van α = 0, pt c Wat zijn de hypothesen bij deze toetsingsprocedure? 5 pt d Wat is de conclusie van deze toetsingsprocedure als bij 5 van de 50 bussen de apparatuur defect is? pagina 2 van 8

4 6 Uit overzichten van de Verenigde Naties blijkt dat de bevolking van Afrikaanse landen tussen 1960 en 1980 exponentieel groeide en dat de bevolking van Europese landen in die periode lineair groeide. Het Afrikaanse land A en het Europese land E hadden op 1 januari 1960 beide 10 miljoen inwoners en hadden op 1 januari 1980 beide 15 miljoen inwoners. 4 pt a Bereken het aantal inwoners van land E op 1 januari pt b Bereken het aantal inwoners van land A op 1 januari Neem aan dat het aantal inwoners van land A na 1980 exponentieel is blijven groeien. 2 pt c Is het aantal inwoners van land A in 2000 volgens deze aanname groter of kleiner dan 20 miljoen? Onderbouw uw antwoord met een berekening of een redenering. De tijd waarin het aantal inwoners van land A volgens bovenstaand model vertienvoudigt, kan worden uitgedrukt in een logaritme. 6 pt d Geef deze logaritme en bereken met behulp van deze logaritme het jaar waarin land A volgens dit model 100 miljoen inwoners zal hebben. 7 Een veer hangt verticaal boven een tafel. Aan deze veer hangt een voorwerp. Dit voorwerp wordt naar beneden getrokken en op t = 0 wordt het losgelaten. Als het gewicht van het voorwerp 1 kg is, dan heeft de hoogte van het voorwerp boven de tafel (H, in cm) als functie van de tijd (t, in seconden) een functievoorschrift van de vorm H(t) = E A cos ( t k ) In deze formule is k de veerconstante, die aangeeft hoe stijf of stug de veer is. De hoogte van het voorwerp op t = 0 is 2 cm. Op t = 4 bereikt het voorwerp voor het eerst zijn maximale hoogte van 12 cm. 3 pt a Bepaal de waarden van E en A in bovenstaande formule. 3 pt b Bereken de eerste drie tijdstippen na t = 0 waarop het voorwerp door de evenwichtsstand gaat. 3 pt c Bereken de veerconstante k. pagina 3 van 8

5 8 Het aantal auto s dat op een werkdag per minuut een meetpunt passeert wordt gegeven door de formule N(t) = 1000t t In deze formule is t de tijd in uren met t = 0 om 4.00 uur s morgens. De formule geldt tot middernacht, dus voor 0 t 20. In de figuur hieronder ziet u de grafiek van deze functie. N 5 pt a Bereken algebraïsch gedurende welke periode er meer dan 80 auto s per minuut het meetpunt passeren. 6 pt b Bereken met behulp van de afgeleide op welk moment van de dag de meeste auto s per minuut passeren. t pagina 4 van 8

6 Lijst van formules voor het voortentamen Wiskunde A Kansrekening Voor alle toevalsvariabelen X en Y geldt: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ(x + Y) = σ 2 (X) + σ 2 (Y) n-wet: Bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en voor het gemiddelde X van de uitkomsten X: E(S ) = n E(X) E(X) = E(X) σ(s ) = n σ(x) σ(x) = σ(x) n Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k met k = 0, 1, 2,..., n k Verwachting: E(X) = n p Standaardafwijking: σ(x) = n p (1 p) Normale verdeling Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking σ geldt: Z = X µ ( is standaard normaal verdeeld en P(X < g) = P Z < g µ ) σ σ Differentiëren naam van de regel functie afgeleide Somregel s(x) = f (x) + g(x) s (x) = f (x) + g (x) Productregel p(x) = f (x) g(x) p (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) Quotiëntregel q(x) = f (x) g(x) q (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) (g(x)) 2 Kettingregel k(x) = f (g(x)) k (x) = f (g(x)) g (x) of dk dx = d f dg dg dx Logaritmen regel voorwaarden g log a + g log b = g log ab g > 0, g 1, a > 0, b > 0 g log a g log b = g log a b g > 0, g 1, a > 0, b > 0 g log a p = p glog a g > 0, g 1, a > 0 g log a = p log a p log g g > 0, g 1, a > 0, p > 0, p 1 Rijen Rekenkundige rij: Som = 1 2 aantal termen (u e + u l ) Meetkundige rij: In beide formules geldt: Som = u l+1 u e (r 1) r 1 e = rangnummer eerste term; l = rangnummer laatste term. pagina 5 van 8

7 pagina 6 van 8

8 pagina 7 van 8

9 pagina 8 van 8

10 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 23 januari 2012 Opgave 1a De opbrengst in duizenden euro s bij een productie van Q 1000 stuks is R = 25Q Dit geeft W = R K = 25Q (2Q 3 Q 2 + 5Q + 10)... = 25Q 2Q 3 + Q 2 5Q 10 = 20Q + Q 2 2Q 3 10 Opgave 1b dw dq = Q 6Q2 = 0 3Q 2 Q 10 = 0 De discriminant van deze vergelijking is D = ( 1) = = 121 Oplossingen: Q = en Q = = 1 11 = = Omdat Q niet negatief kan zijn, is de winst maximaal bij Q = 2, dat is bij 2000 geproduceerde stuks. Opgave 1c = 2 W(Q) = 96Q 4Q Q 1000 = 96Q 4Q 3/ Dit geeft dw dq = Q1/2 = 96 6 Q dw dq = 0 6 Q = 96 Q = 16 Dit geeft Q = 16 2 = 256. De winst is dus maximaal bij en productie van stuks. Hieruit volgt W = = 7192 (in duizenden euro s). De maximale winst is dus euro. Opgave 2 v, het verschil tussen twee opeenvolgende termen, kan bepaald worden met behulp van de formules S 100 = (u u l ) en u 100 = u v waarbij u 1 = 5 en S 100 = Combineren van de eerste drie formules geeft S 100 = 50 (5 + 99v + 5) = 50 ( v) = v Uit S 100 = volgt dan v = v = v = De vierde term wordt berekend met u 4 = u 1 + 3v... = = = 15 Opgave 3a Dit is het geval als hij balletje 1 of balletje 2 trekt. De kans dat hij één van deze twee balletjes trekt is 2 8 = 1 4

11 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 23 januari 2012 Opgave 3b Als T de totale prijs van de eerste drie deelnemers is in euro s, dan geldt P(T > 4) = 1 P(T 4) T 4 als alle drie de spelers 1 euro winnen of als één van de spelers twee euro wint en de andere twee 1 euro. De kans hierop is = = Dit geeft P(T > 4) = = = 0, Opgave 3c Als X de hoogte van de prijs is, dan geldt E(X) = 1 P(X = 1) + 2 P(X = 2) P(X = 8)... = = ( ) 1 8 = = 4,5 Dit is precies het gemiddelde van de getallen 1 t/m 8. De gemiddelde uitbetaling per spel is dus 50 cent hoger dan de inzet van 4 euro per spel. Opgave 4a Dit ( percentage wordt ) gegeven door normalcdf(28,1e99,25,2) of door P Z > = P(Z > 1,5) = 1 P(Z 1,5) 2 Dit is (afgerond) gelijk aan 0,0668, ofwel 6,68%. Opgave 4b T, het totale gewicht van de mandarijnen in dit netje, is normaal verdeeld met een gemiddelde van µ T = = 500 gram. De standaardafwijking van T is σ T = 20 2 = 2 20 De kans dat het totale gewicht tussen 490 en 505 gram ligt wordt gegeven door normalcdf(490,505,250, 2 ( 20 ) of door P < Z < 20 2 P(Z < 0,56) P(Z 1,12) 20 Dit is (afgerond) gelijk aan 0,5801 resp. 0,5809. Opgave 4c De kans dat het eerste mandarijntje dat Jos pakt beschimmeld is en het tweede en derde niet, is gelijk aan Ook het tweede of het derde mandarijntje kan beschimmeld zijn (en de andere twee niet), dus de gevraagde kans is Dit is gelijk aan = ,4605. Alternatief: Deze kans wordt gegeven door (5 1) ( 15 2 ) ( 20 3 ) Dit is gelijk aan = = ,4605.

12 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 23 januari 2012 Opgave 5a X, het aantal keer dat Joris een bus treft waarin de apparatuur niet functioneert, is binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 0,2. Dit kan ook blijken uit het gebruik van de juiste tabel of de juiste GR-functie. P(X > 3) = 1 P(X 3) P(X 3) wordt gegeven door binomcdf(10,.2,3) of wordt afgelezen uit de tabel voor n = 10 en p = 0,2. Dit geeft P(X > 3) = 1 P(X 3) 1 0,8791 = 0,1209 Opgave 5b P(wel betalen) = 1 P(beide apparaten werken niet) P(beide apparaten werken niet) = 0,2 0,2 = 0,04 P(wel betalen) = 1 0,04 = 0,96 Opgave 5c H 0 : p = 0,2; H 1 : p < 0,2 Opgave 5d Als H 0 waar is, dan is X, het aantal bussen met defecte apparatuur, binomiaal verdeeld met n = 50 en p = 0,2. Dit kan ook blijken uit het gebruik van de juiste tabel of de juiste GR-functie. De overschrijdingskans is P(X 5) P(X 5) wordt gegeven door binomcdf(50,.2,5) of wordt afgelezen in de tabel voor n = 50 en p = 0,2. Dit geeft P(X 5) = 0,0480 Deze kans is groter dan de onbetrouwbaarheidsdrempel, dus wordt de nulhypothese niet verworpen. Er is niet aangetoond dat de maatregelen effect hebben. Opgave 6a 5 De bevolking van land E groeit met 20 = 1 4 miljoen inwoners per jaar. Het aantal inwoners in miljoenen t jaar na 1960 wordt dus gegeven door A(t) = t. Deze formule hoeft niet expliciet genoemd te worden. Op 1 januari 1965 had land E dus 10 miljoen miljoen inwoners. Dat is 11,25 miljoen inwoners.

13 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 23 januari 2012 Opgave 6b De groeifactor over 20 jaar is = 1,5 De groeifactor over 5 jaar is dus 4 1,5 Het aantal inwoners van land A op 1 januari 1965 is dus ,5 miljoen. Dat is (afgerond) 11,0668 miljoen inwoners. Alternatief: ( ) 1/20 15 De groeifactor over 1 jaar is = 1,5 1/20 10 Het aantal inwoners in miljoenen t jaar na 1960 wordt dus gegeven door A(t) = 10 1,5 1/20 t Het aantal inwoners van land A op 1 januari 1965 is dus 10 1,5 5/20 miljoen. Dat is 10 1,5 1/4 11,0668 miljoen inwoners. Opgave 6c Het aantal inwoners is groter dan 20 miljoen. In 20 jaar wordt het aantal inwoners 1,5 keer groter. 20 jaar na 1980 is het aantal inwoners dus 1,5 keer het aantal in 1980, dat is 1,5 15 = 2,25 miljoen. Anders gezegd: De bevolking neemt toe in 20 jaar toe met 50% dus over de periode van 1980 tot 2000 neemt de bevolking toe met de helft van het aantal inwoners uit 1980 en dat is met meer dan 5 miljoen. Opgave 6d De groeifactor over 20 jaar is 1,5. Voor vertienvoudiging moet gelden 1,5 t = 10. Dit geeft t = 1,5 log 10 1,5 log 10 log 10 = 5,6787, dus de bevolking van land A vertienvoudigt in log 1,5 5, ,6 jaar = 2073, dus als het aantal inwoners blijft groeien volgens bovenstaand model zal land A in miljoen inwoners hebben. Alternatief: ( ) 1/20 15 De groeifactor over 1 jaar is g = = 1,5 1/ CI: Als bij b nog geen punten gescoord zijn, hiervoor 1 punt geven bij b. Voor vertienvoudiging moet gelden g t = 10. Dit geeft t = g log 10 g log 10 log 10 = 113,6, dus de bevolking van land A vertienvoudigt in 113,6 log 1,51/20 jaar = 2073, dus als het aantal inwoners blijft groeien volgens bovenstaand model zal land A in miljoen inwoners hebben.

14 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 23 januari 2012 Opgave 7a Het verschil tussen de hoogste en de laagste positie van het voorwerp is 10 cm. De amplitude A is dus 5 cm. De evenwichtsstand E is dan = 7 cm. Opgave 7b Eerste tijdstip: halverwege t = 0 en t = 4, dat is op t = 2. Het voorwerp doet er ook 4 seconden over om van zijn hoogste positie naar zijn laagste positie te gaan. Het tweede tijdstip ligt dus halverwege t = 4 en t = 8, dat is t = 6. Op t = 8 is het voorwerp weer in zijn laagste stand en 2 seconden later is het weer in de evenwichtsstand. Dat is op t = 10. Opgave 7c De periode van deze functie is twee keer de tijd die nodig is om van de laagste naar de hoogste positie te gaan. Dat is dus 8 seconden. Bij een sinusoïde is de periode gelijk aan 2π, waarbij b de coëfficiënt van t is. b Er geldt dus 2π = 8. k Dit geeft k = 2π 8 = 2π 8 = 1 4 π k = 1 16 π2 Opgave 8a N(t) = t t = t = 80t t 2 100t = 0 2t 2 25t + 50 = 0 D = ( 25) = = 225; D = Dit geeft t = = 2,5 of t = = Tussen 6.30 en uur passeren meer dan 80 auto s per minuut het meetpunt. Opgave 8b N is een quotiëntfunctie N(t) = f (t) g(t) met f (t) = 1000t en g(t) = t N (t) = f (t) g(t) f (t) g (t) g 2 (t)... = 1000t t 2 ( t ) 2 = 1000 (t2 + 25) 1000t 2t ( t ) 2 = t2 ( t ) 2 N (t) = t 2 = t 2 = t 2 = 25 Dit geeft t = 5 De andere oplossing is negatief! 5 uur na t = 0 passeren de meeste auto s per minuut het meetpunt, dat is om 9.00 uur.