Vaak moet je bij een tabel een grafiek tekenen. Je moet dan eerst nagaan wat voor soort grafiek het beste is. Je hebt 3 verschillende soorten:

Transcriptie

1 Samenvatting door een scholier 6135 woorden 24 maart ,8 228 keer beoordeeld Vak Wiskunde Samenvatting Wiskunde A 1,2 Vaak moet je bij een tabel een grafiek tekenen. Je moet dan eerst nagaan wat voor soort grafiek het beste is. Je hebt 3 verschillende soorten: Puntengrafiek. Grafiek met een vloeiende lijn Grafiek waarbij de punten verbonden worden door rechte lijnen. Let bij het tekenen op de volgende dingen: Bedenk eerst van te voren de grootheden of variabelen. Beslis welke op de x en welke op de y as komt. Zorg dat alle gegevens in de grafiek passen. Maak desnoods gebruik van een zaagtand Beslis hoe je de punten met elkaar verbindt. Door het verloop van een grafiek zo goed mogelijk te volgen, kun je tussenliggende waarden vinden. Dit heet ook wel interpoleren. Als je te maken hebt met een rechte lijn, maak je gebruik van lineair interpoleren. Je berekent dan eerst de toename per tijdseenheid. Dit vermenigvuldig je met het aantal tijdseenheden dat je verder moet tellen. Vervolgens tel je dit op bij de beginwaarde en je vind de gezochte waarde. Extrapoleren doe je door de lijn door te tekenen. In een grafiek kun je soms een bepaalde tendens ontdekken. Dit wordt ook wel een trend genoemd. Een trend maak je zichtbaar door het tekenen van een trendlijn. Bovendien kun je op deze manier veel gemakkelijker extrapoleren. Om een goede indruk te krijgen van een verband, moet je een complete grafiek maken. Hierbij horen dus ook de ligging van de snijpunten en de hoogste en laagste punten, als die er zijn. Pagina 1 van 23

2 Als je op het examen wordt gevraagd om een grafiek te plotten, dan zul je de grafiek moeten maken met behulp van je grafische rekenmachine. Als je een grafiek moet schetsen, dan moet je het verloop van een complete grafiek in het assenstelsel tekenen. Daarbij moet je de ligging van een aantal belangrijke punten aangeven. Als je een grafiek moet tekenen, houdt het in dat je een grafiek nauwkeurig moet tekenen. De ligging van de belangrijke punten moet precies kloppen. Ook zal het nodig zijn om enkele waarden precies te berekenen. In de geplotte grafieken kun je de oplossingen van vergelijkingen en de maximale of minimale waarden aflezen. Denk erom dat dit allen benaderingen zijn! Door het uitvergroten van een stuk van de grafiek, worden de waarden steeds betrouwbaarder. Je kunt dit doen door bijvoorbeeld het venster aan te passen of door te inzoomen. Bij een lineair verband is de grafiek een rechte lijn. De toename of afname is bij deze verbanden altijd gelijkmatig. Een voorbeeld van een lineaire formule is g = 4t + 8 Deze lineaire formules hebben altijd dezelfde vorm namelijk: y = ax + b A is dan het startgetal en b of x het richtingsgetal of hellingsgetal. Het startgetal vind je door voor x het getal 0 in te vullen. Het richtingsgetal is het vaste getal dat de grafiek omhoog gaat, als je een stapje naar rechts gaat. Een grafische rekenmachine kun je gebruiken om de oplossing van een vergelijking te benaderen. De oplossing is met de grafische rekenmachine ook exact te berekenen. Ook komt bij een grafiek de exponentiele groei vaak voor. Voorbeelden hiervan zijn de groei van waterplanten op het meer en de groei van geld op een spaarrekening. De formule voor een exponentiele groei heeft de volgende vorm: N = b * g^t ^ staat voor een macht b is de beginwaarde op tijdstip 0 en g is de groeifactor per tijdseenheid. De helling zegt iets over de snelheid van toe en afname. Hoe steiler de grafiek, hoe sneller de toe of afname. De toen en afnamen kun je ook weer verwerken in een toenamen diagram. Je tekent eerst een horizontale as Daar bij teken je ook nog een verticale as De horizontale as staat bij y = 0 Als de hoeveelheid toeneemt op een bepaald tijdstip, teken je bij dat tijdstip een lijn omhoog. Een afname wordt in beeld gebracht met een lijn omlaag. Pagina 2 van 23

3 De staven horen bij de grenzen, die je op de y as vermeldt. Dus in het kort: 1 Kies een stapgrootte 2 Bereken voor elke stap de toe of afname Zet deze resultaten in een tabel 3 Teken de staven omhoog of omlaag Probeer de stappen zo klein mogelijk te houden, want hoe kleiner de stappen, hoe beter het toenamendiagram een beeld geeft van de veranderingen. De gemiddelde groeisnelheid per jaar in cm per jaar over een bepaalde periode bereken je door de toename van de lengte in cm te delen door de toename van tijd in jaren. Voor toename wordt vaak het symbool van een driehoek gebruikt (delta) Ik gebruik daar in deze samenvatting dit teken voor: # De formule wordt dan als volgt: je deelt de toename in lengte door de toename in tijd. Dus: De gemiddelde groeisnelheid wordt dan # l / # t Om breuken bij elkaar op te tellen moeten de noemers gelijk zijn. De noemers zijn het onderste of laatste gedeelte van de breuk. 1/5 + 1/3 = 3/15 + 5/15 = 8/15 Op de rekenmachine zit een breuk en een decimale toets. Je kunt op je rekenmachine dus ook gewoon de breuk omzetten in decimalen en dan optellen, waarna je vervolgens dit antwoord weer kunt omzetten in een breuk. Let op! Het gebruik van haakjes is erg aan te raden. Je zet dat gedeelte van de berekening dat eerst moet gebeuren, tussen haakjes. Voor het rekenen met procenten kun je het beste verhoudingstabellen gebruiken. Je kunt ook vermenigvuldigen. Zorg eerst dat je het nagaan van een goed vermenigvuldigingsgetal goed onder de knie hebt, anders kan dit je punten kosten op het examen. Voorbeelden: keer 10% wordt x * 1,1 keer 1 % wordt x * 1,01 keer 100 % wordt x * 1 Zorg ervoor dat je geen fouten maakt met het overnemen van getallen van je display van je grafische reken machine. 3.4 wordt 3 4/10 en 3.4 wordt ook 3,4 Pagina 3 van 23

4 Ook bij tijden moet je erg op je hoede zijn. 7.14,13 wordt bijvoorbeeld bij schaatsen 7 minuten en 14 13/100 seconden. Ook het afronden van getallen is verbonden aan een aantal regels. Als er staat dat je moet afronden op twee decimalen, betekent het dat je na het afronden nog steeds 2 getallen achter de komma overhoudt. Soms mag je ook echter zelf bepalen op hoeveel cijfers je achter de komma afrond. Dit hangt af van de gewenste nauwkeurigheid. Er wordt ook afgerond op 1000 tallen of honderdtallen. Dit doe je allen bij grote getallen. Je kunt dan natuurlijk ook in duizendvoud opschrijven. Zie het volgende voorbeeld: wordt dan 569 ( * 1000) * staat voor keer of maal. Pas op! Rond nooit tussentijds af. Dit kan namelijk het eindantwoord beïnvloeden. Je mag alleen maar op het eind van de berekening afronden. 10^6 wordt ook wel uitgesproken als 10 tot de macht 6. In dit geval is 10 het grondtal en 6 de exponent. Grote getallen worden ook wel in de standaard vorm geschreven. Bijvoorbeeld: = 8,7 * 10^11 Op het beeldscherm wordt dit aangegeven als 8.7e11 Ook negatieve exponenten hebben een betekenis. Zo is 10^-1 1/10 = 0,1 10^-7 wordt dan 1/10^7 = Op je rekenmachine doe je dat als volgt: 4 * 10 ^ - 7 enter met als resultaat 4e-7 Machten met een ander grondgetal dan 7 bestaan natuurlijk ook. In 2^7 is 2 het grondgetal en 7 de exponent. Bij het vermenigvuldigen van twee machten met hetzelfde grondtal worden de exponenten opgeteld. Dat werkt ook als de exponenten negatief zijn. Een boomdiagram is een manier om alle mogelijkheden bij een telprobleem weer te geven. Bij elke keuze hoort een aantal takken. Bij elke tak wordt de betreffende keuze genoteerd. Pagina 4 van 23

5 Elke route van het beginpunt naar een eindpunt is een mogelijkheid bij een telprobleem. Zo n route wordt ook wel volgorde of rangschikking genoemd. De routes hoeven bij een boomdiagram echter niet altijd even lang te zijn. Op de volgende manier maak je een boomdiagram. 1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen. Deze takken vertrekken uit het beginpunt. 2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken. 3 bij elk resultaat van de eerste keuze volgt eventueel een tweede keuze. Zoek uit hoeveel takken daarbij horen. 4 teken de takken die horen bij de tweede keuze en zet de keuzemogelijkheden erbij. 5 doe hetzelfde voor elke volgende keuze. Kansen kun je op verschillende manieren aangeven. Dit kan bijvoorbeeld in procenten. Voorbeeld: De kans dat jij een rode bal pakt is 13% Dit kan echter ook met breuken Voorbeeld: De kans dat jij een rode bal pakt is 13/100 Het kan ook anders. Voorbeeld: De kans dat jij een rode bal pakt is 13 op 100 Het kan ook met getallen tussen 0 en 1 Voorbeeld: De kans dat jij een rode bal pakt is 0.13 Je hebt 2 manieren om kansen te vinden: 1 Door te redeneren: Dit is een weetkans of theoretische kans. 2 Door het uitvoeren van een experiment. Dit is een zweetkans of experimentele kans. Voor kansen is vaak een speciale notatie gebruikelijk: Bij dobbelstenen: eerst 2 ogen gooien en daarna 3 ogen gooien wordt als volgt genoteerd: P(2,3) Als in een boomdiagram bij de takken de kansen geschreven worden, spreek je van en kansboom. Hoe maak je bij een kansprobleem gebruik van een kansboom? 1 teken een kansboom met alle volgorden en zet bij elke tak de bijbehorende keuze. 2 zet bij elke tak de bijbehorende kans. 3 bereken de kans op een bepaalde volgorde door de kansen bij de takken van die volgorde met elkaar te Pagina 5 van 23

6 vermenigvuldigen. Let op! Voor alle kansproblemen geldt dat de som van de kansen op de afzonderlijke volgorden 0 is. Soms zijn er meer volgorden die bijdragen tot een gevraagde kans. De gevraagde kans is dan de som van de kansen op de afzonderlijke volgorden. Belangrijk is of de situatie verandert door een bepaalde keuze te maken. Bijvoorbeeld als je uit een vaas een knikker pakt, die niet teruglegt en weer een knikker pakt. De verschillende kansen zijn dan veranderd. Voorbeeld: Je trekt een knikker uit een vaas met 6 rode en 4 witte knikkers, legt hem niet terug en trekt nog een knikker. Hoe groot is de kans op 1 rode en 1 witte knikker? P(r,w) + P(w,r) = 6/10 * 4/9 + 4/10 * 6/9 = 24/ /90 = 48/90 = 0,53 Het is niet altijd eenvoudig om een experimentele kans te maken. Dit komt omdat deze vaak te ingewikkeld zijn om uit te voeren. Door het experiment na te bootsen kun je uitzoeken hoe groot de kans is. Een ander woord dat vaak gebruikt wordt voor simuleren is nabootsen. Experimenten kun je goed simuleren met toevalsgetallen. Dat zijn de getallen waarvan de cijfers in willekeurige volgorde staan. Je kunt toevalsgetallen eventueel maken met een kanstol. Daar staan de cijfers van 0 tot en met 9 op. Hieronder staan 2 blokken van 5 toevalsgetallen Een rooster is een handig model voor telproblemen waarbij je steeds uit 2 alternatieven moet kiezen. Je kunt dan makkelijk nagaan hoeveel stappen er moeten worden gezet naar een bepaald punt. Zo kun je dus eigenlijk telproblemen simuleren Voorbeeld: Je hebt een vaas met 4 gele en 4 witte knikkers. Pagina 6 van 23

7 Hoeveel mogelijkheden zijn er om 2 gele en 2 rode knikkers te pakken? Je kunt zeggen dat wit naar rechts staat op het rooster en geel naar boven. Je moet dus 2 keer naar boven en 2 keer naar rechts. Het cijfer dat op dit punt staat in het rooster, is je aantal mogelijkheden. In dit geval is dat dus 6. Een omgekeerd rooster wordt wel de driehoek van Pascal genoemd. Hoe gebruik je de driehoek van Pascal? 1 stel vast wat de 2 alternatieven zijn. 2 ga na hoe vaak elk van de alternatieven voorkomt. 3 maak in een rooster of in de driehoek van Pascal het aantal stappen dat daarbij hoort. 4 lees het aantal routes naar dat punt af. Ook bij het berekenen van kansen kun je rooster heel goed gebruiken. Hoe kun je met behulp van een rooster de kans op een bepaalde uitslag berekenen? 1 teken in een rooster 1 route die bij die uitslag hoort. 2 bereken de kans op die route. 3 bereken het aantal routes naar die uitslag. 4 de kans op de uitslag naar is het aantal routes maal de kans op 1 zo n route. Hoe maak je een lineaire formule? 1 schrijf eerst een algemene formule op. Dit is altijd y = a * x + b a is het hellingsgetal. B is het startgetal Soms is het ook makkelijk om even een grafiek bij de situatie te schetsen. 2 zoek uit wat het hellingsgetal is. Dat is dus de toename per eenheid. 3 zoek uit wat het startgetal is. Dat is dus het beginpunt op de verticale as. 4 schrijf de formule op. 5 controleer de formule door bekende punten in te vullen. Dit laatste moet je echt even doen. Het id de enige manier om erachter te komen of de formule goed is. Denk erom: Pagina 7 van 23

8 Bij lineaire groei is de toename per tijdseenheid constant. Bij exponentiele groei is de groeifactor per tijdseenheid constant. Let op! Bij een groeifactor groter dan 1, is er sprake van een exponentiele toename. Is de groeifactor kleiner dan 1, maar groter dan 0, dan is er sprake van een exponentiele afname. De hoeveelheid wordt in dat geval steeds minder. Hoe maak je een exponentiele formule? 1 Schrijf eerst de algemene formule op. Dit is N = b * g^t N geeft meestal een hoeveelheid aan en de exponent t de tijd. B is de beginhoeveelheid op tijdstip t = 0 g is de groeifactor per tijdseenheid. 2 zoek uit wat de groeifactor per tijdseenheid is. 3 zoek uit wat de beginwaarde is, dus de hoeveelheid op tijdstip 0. 4 schrijf de formule op. Let op! Geef bij een exponentiele formule aan wat de tijdseenheid is die bij de groeifactor hoort. 5 controleer ook hier de formule door de bekende waarden weer in te vullen. Let op! Vergeet ook nu dit laatste niet, als je dit niet doet, kan je dit punten kosten op het examen. Als je bij een hoeveelheid een bepaald percentage moet optellen kun je de hoeveelheid met de groeifactor vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld: % = 100 * 1,12 = 112%. Ook voor het aftrekken van percentages kun je de groeifactor berekenen. Dit gaat als volgt: Bijvoorbeeld: 100-5% = 100 * 0,95 = 95% Als bij een exponentieel proces de groeifactor 1,1 is, per kwartier, dan is de groeifactor per uur 1,1^4. De hoeveelheid wordt namelijk vier keer na elkaar met 1,1 vermenigvuldigt. Pagina 8 van 23

9 Uiteindelijk is er dan een uur verstreken. De tijd die nodig is in een groeiproces om de hoeveelheid te verdubbelen wordt de verdubbelingstijd genoemd. De halveringstijd is de tijd die nodig is om de hoeveelheid te halveren. Deze tijden kun je vinden met behulp van de grafiek of de tabel. Allerlei factoren in het dagelijks leven bevatten meer dan twee factoren. Het is dan ook goed mogelijk dat je meer dan twee variabelen kunt vinden in een formule. Door bekende variabelen in de formule in te vullen, kun je achter de waarden van de andere variabelen komen. Op elke grafische rekenmachine is een functie aanwezig, die de waarden van variabelen kan berekenen, indien er enkele bekende waarden van variabelen zijn gegeven. Het is niet eenvoudig om een grafiek te tekenen van een formule die meer variabelen heeft. Dit komt omdat je dan meer assen moet maken. Toch zijn er ook andere mogelijkheden om een grafische voorstelling te maken bij zulke formules. Het is bijvoorbeeld mogelijk een voor een aantal variabelen in een formule een vast waarde te kiezen. Dit wordt ook wel het vastzetten van variabelen genoemd. Bijvoorbeeld: I = h * z^2 Je kunt dan de variabele z vastzetten door z = 6 te kiezen. De formule I = 36 * h geeft het verband tussen I en h als z = 6. Je kunt dus door variabelen vast te zetten nieuwe formules maken en die dan verder gaan onderzoeken. Soms zul je zelf moeten bedenken welke variabele nuttig is om vast te stellen. Een statistisch onderzoek wordt vaak gedaan onder een hele groep mensen. Omdat je niet alle mensen kunt ondervragen, wordt er meestal een steekproef genomen. Je verricht een onderzoek onder een veel kleinere groep. Een steekproef is een klein gedeelte van een hele grote groep, de populatie genoemd. Met de waarnemingen uit een steekproef kun je iets te weten komen over de totale populatie. Als iedereen uit de populatie evenveel kans heeft om in de steekproef te komen spreekt men ook wel van a-selecte steekproef. Data is een andere naam voor de waarnemingsgetallen. Pagina 9 van 23

10 Data kun je absoluut weergeven, dus met werkelijke aantallen, of relatief, dus in verhouding tot het totale aantal. Bijvoorbeeld met percentages. Het absolute aantal wordt wel absolute frequentie genoemd. Een percentage of per duizend heet relatieve frequentie. Deze frequenties kun je overzichtelijk maken in een frequentie tabel. Voorbeeld: In een klas zitten 30 kinderen, waarvan 16 knikkers mee hebben. 16 is de absolute frequentie, 16/30 * 100 = 53% is een relatieve frequentie. Frequentiepolygoon: Dit is een grafiek met op de verticale as de frequenties van de waarnemingen. De bijbehorende punten worden verbonden met rechte lijnen. Als het niet nuttig is om de data apart weer te geven, kun je de data ook weergeven in een klassenindeling. Klassebreedte: dit is de afstand tussen de twee grenzen van een klasse. Intervalnotatie: de klassengrenzen worden op de volgende manier opgeschreven: [141,5;143,5> De linkergrens zit nog wel in de klasse, de rechter net niet. Dit wordt dus de intervalnotatie genoemd. De klassemiddens vind door de linker-klassegrens van de rechter-klassegrens af te trekken. Bij het tekenen van de frequentiepolygoon moet je de frequentie boven de klassemiddens zetten. De somfrequentie en cumulatieve frequentie van de waarnemingsgetallen, is de som van alle frequenties vanaf het kleinste waarnemingsgetal. De grafiek van de cumulatieve frequenties heet een somfrequentiepolygoon. Hoe teken je een somfrequentiepolygoon? Pagina 10 van 23

11 1 maak de tabel van de cumulatieve frequenties. 2 zet de cumulatieve frequenties uit boven de rechter klassengrenzen. 3 verbind de punten met rechte lijnstukjes. Bij data dat op de een of andere manier is geordend, spreekt men ook wel van een verdeling. Dit kan op verschillende manieren gebeuren: Bijvoorbeeld: grafieken, tabellen, diagrammen e.d. Statistische gegevens worden vaak samengevat in een aantal karakteristieke getallen, namelijk de centrummaten. Er zijn de volgende centrummaten: Gemiddelde: Dit is de som van alle waarnemingsgetallen gedeeld door het aantal waarnemingsgetallen. Mediaan: Dit is het middelste waarnemingsgetal nadat alle waarnemingsgetallen naar grootte zijn gerangschikt. Bij een even aantal waarnemingsgetallen, neem je het gemiddelde van de middelste twee. Modus: Dit is het waarnemingsgetal dat het meeste voorkomt. Als er twee of meer waarnemingen zijn met de grootste frequentie, dan is er geen modus. Let op! Je moet voorzichtig zijn met het trekken van conclusies uit statistische gegevens. Vraag je eerst af of deze gegevens wel volledig genoeg zijn. De keuze van de centrummaat hangt af van de situatie. Uitschieters in de verdeling hebben vaak meer invloed op het gemiddelde dan op de mediaan of de modus. 50% van de data ligt links van de mediaan en 50% rechts. De mediaan van de linker helft wordt het eerste kwartiel genoemd. Dit noteer je als Q1 De mediaan van de rechter helft wordt het derde kwartiel genoemd. Dit noteer je als Q3. Een boxplot is een plaatje van de kleinste waarde, Q1, de mediaan, Q3 en de grootste waarde. Pagina 11 van 23

12 Ook met de grafische rekenmachine kun je een boxplot maken. Hoe teken je een boxplot? 1 bepaal de mediaan. 2 bepaal ook het 1e en 3e kwartiel. 3 teken de getallenlijn en geef de plaats aan van de mediaan, de beide kwartielen, het kleinste en het grootste getallen. 4 teken de boxplot. Bij een somfrequentiepolygoon kun je het volgende aflezen: De mediaan ligt bij de 50% lijn. Het eerste kwartiel ligt bij de 25% lijn. Het derde kwartiel ligt bij de 50% lijn. Naast een centrummaat wordt vaak een spreidingsmaat berekend. Deze geeft aan hoever de data in een verdeling uit elkaar liggen. De eenvoudigste maat hiervoor is de spreidingsmaat. Dit is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal. Een tweede maat is de kwartielafstand. Dit is het verschil tussen Q1 en Q3. Een spreidingsmaat die gebaseerd is op het gemiddelde wordt ook welk standaarddeviatie genoemd of standaardafwijking. De standaarddeviatie kun je gemakkelijk berekenen, door de waarnemingsgetallen in de rekenmachine in te voeren. Een x met een streepje erboven geeft dan het gemiddelde. Een o met een streepje eraan vast geeft de standaarddeviatie. Een ander gegeven dat goed een spreiding weer kan geven is het volgende: Het percentage van de waarnemingsgetallen tussen het gemiddelde min 1 keer de standaarddeviatie en het gemiddelde plus 1 keer de standaarddeviatie. Bij een indeling in klassen zijn de waarnemingen niet altijd gelijkmatig verdeeld. Wanneer dat wel het geval is, kun je een percentage dat hoort bij een deel van de klasse schatten. Pagina 12 van 23

13 Hoe schat je een percentage bij een deel van een klasse? 1 ga na wat de linker klassengrens en wat de rechter klassengrens precies is. 2 teken vervolgens de klasse en geef de klassengrenzen aan. 3 geef vervolgens in die tekening van die klasse het deel aan dat geschat moet worden. 4 ga na welk deel van de klasse dat is. 5 bereken welk percentage er bij dat deel hoort. Bij een indeling van een groot aantal waarnemingen, kun je staafdiagrammen met verschillende klassebreedten tekenen. De vorm van de grafiek van de verdeling kan wijzigen als je de klassebreedte varieert. Een frequentiepolygoon kan ook met een vloeiende lijn worden getekend. Je ziet dan bij veel verdelingen een klokvorm. De belangrijkste kenmerken bij een klokvormige verdeling zijn: 1 de grafiek is symmetrisch. 2 de symmetrieas ligt precies bij het gemiddelde. 3 rond het gemiddelde liggen de meeste data. 4 hoe verder de data van het gemiddelde afliggen, hoe minder vaak ze voorkomen. De grenzen gemiddelde min standaarddeviatie en de gemiddelde plus standaarddeviatie bevinden zich bij de buigpunten van de grafiek. Voor de ideale klokvormige verdeling, gelden de volgende vuistregels: 1 van de data ligt 95% tussen het gemiddelde min twee keer de standaarddeviatie en het gemiddelde plus twee keer de standaarddeviatie. 2 van de data ligt 68% tussen het gemiddelde min de standaarddeviatie en het gemiddelde plus de standaarddeviatie. Deze ideale klokvormige verdelingen worden normale verdelingen genoemd. Hoe kun je nagaan of je met een normale verdeling te maken hebt? 1 teken een frequentiepolygoon als een vloeiende grafiek die de verdeling goed weergeeft. 2 als de grafiek niet aan deze kenmerken van een klokvormige verdeling voldoet, dan is het zeker geen normale verdeling. 3 controleer de vuistregels als de grafiek hier wel aan voldoet. 4 als beide vuistregels kloppen, dan heb je waarschijnlijk met een normale verdeling te maken. Pagina 13 van 23

14 Met de vuistregels kun je de grafiek opdelen in 6 stukken. Door een deel nog verder op te splitsen kun je vragen over tussenliggende waarden preciezer beantwoorden. Een speciale normale verdeling is de standaard normale verdeling. Deze verdeling heeft een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1. Voor het gedeelte dat kleiner is dan een bepaalde grenswaarde z, wordt bij de standaardnormale verdeling een speciale notatie gebruikt, namelijk een o met een verticaal streepje door het midden. Je spreekt het uit als fie. Je krijgt een tabel erbij op het examen. Hierbij kun je gemakkelijk waarden van fie uitrekenen. Fie(0) is 0,50. Dat is logisch, omdat 50% van de waarden kleiner dan 0 is. Hoe kun je een grootheid x, die normaal verdeeld is terugbrengen tot de standaardnormale verdeling? 1 teken de klokvorm, met daaronder de x-as, de (x-m)-as en de z-as. 2 kleur het juiste gebied. 3 bereken de bijbehorende getallen op de z-as met de drie assen of met de formule: z = (x-m)/s 4 zoek fie(z) op in de standaardnormale tabel. 5 bereken het gevraagde percentage. Bij een normale verdeling kun je een grenswaarde berekenen als een percentage bekend is. Zo kun je ook een onbekende standaarddeviatie of een onbekend gemiddelde berekenen. Maak eerst een tekening met alle gegevens erin. Wanneer drie van de vier waarden bekend zijn, dan kun je met de drie assen of met de formule z = (x-m)/s de onbekende waarden berekenen. Als een hoeveelheid exponentieel groeit, kan die hoeveelheid op den duur heel groot worden. Een hoeveelheid die exponentieel afneemt, wordt op den duur erg klein. Een exponentieel groeiproces kun je in plaats van in een formule, ook in een functie opschrijven. Voorbeeld: De formule is: A = 4 * 1,5^t A is de hoeveelheid op tijdstip t. De functie wordt dan: A(t) = 4 * 1,5^t Pagina 14 van 23

15 A(2) betekent de waarde van A voor t = 2. Als je een grafiek maakt, met formules, bijvoorbeeld y = 2^x en y = 0,35^x dan kun je deze formules ook onderscheiden door ze namen te geven. Dit kan bijvoorbeeld een letter zijn. Dit maakt alles een stuk overzichtelijker. Bij een exponentieel groeiproces heb je vaak dat de grafiek daarvan een bepaalde waarde dicht nadert. Dit kan bijvoorbeeld y = 8 zijn. Over deze waarde kun je dan een lijn trekken, dit wordt de asymptoot genoemd. Een kenmerk is dat de grafiek, de asymptoot nooit zal bereiken. Machten waarvan de exponent negatief of nul is, hebben een betekenis. Voorbeeld: g^0 = 1 g^-1 = 1/g, g^-2 = 1/g^2, g^-3 = 1/g^3 enzovoort... Bij een exponentieel groeiproces, met een groeifactor van 5 per jaar, is de groeifactor per half jaar 5^1/2 is ongeveer 2,24 Dit klopt want 5^1/2 * 5^1/2 = 5 5^1/2 kun je ook schrijven als (wortel)5 Hoe bereken je bij exponentiele groei het groeipercentage voor een andere tijdseenheid? 1 bereken eerst de groeifactor per tijdseenheid. 2 bereken nu de groeifactor voor de gevraagde tijdseenheid. 3 leid het gevraagde percentage af uit deze groeifactor. In een grafiek heb je vaak assen met een lineaire schaalverdeling. Dit kan soms erg lastig zijn als je getallen moet gebruiken die ver uit elkaar liggen. Bij zo n as wordt er per eenheid namelijk een vast getal bij opgeteld. Je kunt in zo n geval beter gebruik maken van een logaritmische verdeling. Dan wordt er namelijk per eenheid met hetzelfde getal vermenigvuldigt. Vaak is dat het getal Pagina 15 van 23

16 Voorbeeld: 0,01 0, Twee grootheden A en B die een verband hebben van de vorm A = c/b of B= c/a waarbij c een constant getal is, noem je omgekeerd evenredig. De volgende functie is een gebroken functie, de variabele p staat namelijk in de noemer van de breuk. K = 8-3/p De grafiek die hier bij hoort heet een hyperbool. Voor p = 0 bestaat de functie niet, je kunt namelijk niet delen door 0. De functie R = 12/I is ook een gebroken functie. Een machtsfunctie is een functie in de vorm van A(t) = c * t^n Voor positieve waarden van n doen zich de volgende mogelijkheden voor: 1 het getal n ligt tussen 0 en 1. De grafiek begint verticaal in punt (0,0) en is afnemend stijgend. 2 het getal n is groter dan 1. De grafiek begint horizontaal in punt (0,0) en is toenemend stijgend. 3 het getal n is gelijk aan 1. De grafiek is een rechte lijn door (0,0) De volgende functie is iets complexer: y = a + b/x + cx^n Je kunt dit opvatten als de som van een gebrokenfunctie en een machtsfunctie. Zo n functie heeft de naam somfunctie. Als je een vergelijking wilt oplossen, moet jee eerst goed bedenken welke manier je daar voor wilt gebruiken. Je kan een vergelijking oplossen met een grafiek of een tabel, maar het gaat sneller via een berekening. Daarmee stel je direct de gewenste nauwkeurigheid vast. Pagina 16 van 23

17 Als het verband tussen twee variabelen k en x ook nog afhangt van een derde variabele p, dan kun je het beste deze p vastzetten. Je krijgt dan een bundel grafieken. De variabele p wordt dan een parameter genoemd. Een hoogtelijn is een lijn die punten op gelijke hoogte met elkaar verbindt. Een hoogtekaart is een kaart waarop de hoogte van een bepaald gebied wordt aangegeven met hoogtelijnen. Hoe teken je een doorsnede? 1 trek een lijn tussen de twee uiterste punten van de doorsnede en meet de afstand tussen deze punten. 2 meet vervolgens de horizontale afstanden tussen de hoogtelijnen die je op de getrokken lijn tegenkomt. 3 teken vervolgens het assenstelsel met op de horizontale as de afstanden tussen de hoogtelijnen en op de verticale as de hoogten. 4 Teken de gevonden punten en verbind de punten vervolgens met een vloeiende lijn. Met een hoogtekaart krijg je een goed beeld van de situatie, allen is een ruimtelijke grafiek nog veel beter. Deze maak je door van een hoogtekaart de hoogtelijnen stuk voor stuk op te tillen, naar de juiste hoogte. Ruimtelijke coördinaten kun je als volgt noteren: (10,6,240) (lengte, breedte, hoogte) Hoogtelijnen zijn voorbeelden van isolijnen. Dit zijn lijnen die punten met dezelfde uitkomsten, met elkaar verbindt. Andere voorbeelden zijn: isothermen: gelijke temperatuur. isoquant: gelijke hoeveelheid. Ook bij een ruimtelijke grafiek kan een formule horen. Met deze formule kun je de coördinaten berekenen van bepaalde punten op de grafiek. Door 1 van de variabelen vast te zetten kun je de formules voor de isolijnen vinden. Je kunt dan vervolgens je rekenmachine gebruiken om een isolijnenkaartje te tekenen. Soms wordt er bij het oplossen van een of meer variabelen een voorwaarde opgelegd. Deze randvoorwaarden bepalen hoe het gebied eruit gaat zien en waar de oplossingen van het probleem gezocht mogen worden. Pagina 17 van 23

18 Een voorbeeld hiervan is bijvoorbeeld: H < 1000 en R > 250 Bij het bepalen van de coördinaten van punten op een ruimtelijke grafiek kun je gebruik maken van gegevens die duidelijk uit de grafiek afleesbaar zijn. Ook kun je de bijbehorende formule gebruiken. Met de tabel van veranderingen over geschikt gekozen perioden kun je het verloop van een grafiek goed weergeven. Een toenamediagram is hier ook heel geschikt voor. De tijdsperiode kun je noteren als [14, 16] Je hebt de periode nu geschreven als interval. De groei van bijvoorbeeld een boom kun je bestuderen door in verschillende perioden de gemiddelde groei te bekijken. In het algemeen geldt dat de gemiddelde verandering gelijk is aan de verandering op de verticale as gedeeld door de verandering op de horizontale as. De gemiddelde verandering is dus delta h/delta t dit wordt ook wel het differentiequotiënt genoemd. Differentie betekent verschil. Voor het berekenen van differentiequotiënten hoeven de toenamen delta t niet steeds even groot te zijn. De raaklijn in een punt van een grafiek is de lijn door dat punt, die daar precies bij de grafiek aansluit. De helling in een punt van de grafiek is gelijk aan het hellingsgetal van de raaklijn. De helling in een punt van de grafiek kun je benaderen door het differentiequotiënt of de helling over een klein interval. Deze benadering wordt beter naarmate het interval kleiner wordt genomen! Bij een tabel met hellingen kun je weer een grafiek maken, de zogenaamde hellinggrafiek. De functie die hier dan bij hoort heet de hellingfunctie. Wanneer de hellingfunctie 0 is heeft de oorspronkelijke grafiek een horizontale raaklijn. Waar de hellingfunctie positief is, stijgt de oorspronkelijke grafiek. En waar de hellingfunctie negatief is, daalt deze grafiek. Hoe vind je bij een hellinggrafiek de waarden van x waarvoor de oorspronkelijke functie een minimum of maximum heeft? Pagina 18 van 23

19 1 teken eerst een getallenlijn en geef aan waar de hellingfunctie positief is waar negatief en waar 0. 2 teken vervolgens daaronder nog een getallenlijn. Geef daarbij voor elke waarde van x aan of de grafiek stijgt of daalt of een horizontale raaklijn heeft. 3 voor de waarde van x waar de grafiek overgaat van dalen in stijgen is er een minimum. Gaat de grafiek over van stijgen naar dalen, dan is er sprake van een maximum. Met de formule voor de hellinggrafiek kun je in elk punt van de grafiek precies de helling berekenen. Deze formule heet de afgeleide en wordt genoteerd als dy/dx De afgeleide voor de machtsfunctie y = x^n is dy/dx = n * x^n-1 Bij een functie als f(x) = x^2 noteer je de afgeleide als f (x) = 2x Als je bij een functie een constant getal optelt, dan verandert de afgeleide niet. Als je de functie met een constant getal vermenigvuldigt, dan moet je de afgeleide ook met dit getal vermenigvuldigen. Voorbeeld: bij f(x) = x^1,7 + 5 is f (x) = 1,7x^0,7 bij p = 3 * A^4 is dp/da = 3 * 4A^3 = 12A^3 De afgeleide functie van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van die functies. Voorbeeld: bij R = 3a^2-6a is dr/da = 6a-6 Hoe vind je de maximale en minimale waarden van een functie f(x)? 1 bereken eerst de afgeleide functie f (x) 2 schets de grafiek van de afgeleide. 3 teken een getallenlijn en geef daarop aan waar de afgeleide functie positief, waar negatief en waar 0 is. 4 teken dan een tweede getallenlijn en geef daarop aan voor welke x-waarden de grafiek van f(x) stijgend of dalend is of horizontaal loopt. 5 als de grafiek van f(x) eerst stijgt, dan horizontaal loopt en vervolgens daalt, dan heeft de functie een maximum. Als de grafiek echter eerst daalt, dan horizontaal loopt en vervolgens stijgt, dan heeft de functie een minimum. Het bedrag aan meerkosten bij een extra productie van een eenheid wordt aangeduid met de term marginale kosten. De marginale kosten kun je benaderen met de afgeleide van de totale kosten. Pagina 19 van 23

20 In de economie worden de functies die de verandering in de kosten of de opbrengst weergeven als de productie q stapsgewijs met een eenheid toeneemt, de marginale kosten MK of marginale opbrengst MO genoemd. Ze worden goed benaderd door de afgeleide functies. Als de marginale kosten gelijk zijn aan de marginale opbrengst, dan heeft de totale winst een uiterste waarde. De gemiddelde totale kosten geven de totale kosten per eenheid product weer. TK is totale kosten q is aantal producten. GTK = TK/q De marginale kosten MK zijn de meerkosten bij een extra productie van een eenheid. De marginale kosten kun je benaderen door de afgeleide van de totale kosten te berekenen: MK is ongeveer dtk/dq De grafiek bij het verband tussen de prijs en de verkochte hoeveelheid heet de vraagcurve. In tegenstelling tot bij wiskunde zet je bij economie bij de vraagcurve de q altijd bij de horizontale as. De gevoeligheid van de vraag q voor veranderingen van de prijs p heet de prijselasticiteit van de vraag. Die bereken je door de procentuele verandering van de vraag te delen door de procentuele verandering van de prijs. De formule is: Epq =(delta q/q * 100%)/(delta p/p * 100%) Het product 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 heet 6-faculteit en wordt als 6! Genoteerd. Er is afgesproken dat 0! = 1 Een faculteitsboom is een boomdiagram waarbij na elke keuze het aantal mogelijkheden dus ook het aantal takken 1 minder is. Een ander woord voor volgorde is permutatie. Bij een permutatie van 3 uit 10 maak je een selectie van drie dingen uit 10 dingen. Daarbij is zowel wat er gekozen wordt als de volgorde van belang. Het aantal permutaties van 3 uit 10 is 10 * 9 * 8. Op veel grafische rekenmachines tref je de notatie npr aan. Dit berekent het aantal permutaties van r uit n. De algemene formule voor het aantal permutaties van r uit n is: n!/(n-r)! Pagina 20 van 23

21 Een boomdiagram waar bij elke keuze het aantal takken hetzelfde is heet een machtsboom. Het aantal mogelijke routes neemt na elke keuze toe volgens een macht. Bij een combinatie van 3 uit 10 maak je dus een selectie van drie dingen uit 10 dingen waarbij alleen de keuze van beland is en de volgorde niet. Het aantal combinaties wordt genoteerd als een 10 met een 3 eronder en haakjes eromheen. Je kunt het als volgt berekenen: (10 * 9 * 8)/(3 * 2 * 1) Boven en onder de streep staan drie getallen. Op veel rekenmachines wordt een combinatie van r dingen uit n dingen met ncr aangegeven. Algemeen geldt voor het aantal combinaties van r uit n de formule: n!/r!(n-r)! Er zijn dus verschillende hulpmiddelen om een telprobleem op te lossen. Hoe pak je een telprobleem aan? 1 ga na of je bij het probleem een boomdiagram, faculteitsboom, machtsboom of rooster kunt maken. 2 teken het diagram of een deel ervan. 3 tel het aantal routes. Bij het tellen kun je gebruik maken van: Faculteiten bij faculteitsbomen. Machten bij machtsbomen. Combinaties bij roosters. Hoe bereken je de kans op een gebeurtenis waarbij alle routes dezelfde kans hebben. 1 bereken het aantal volgorden 2 bereken de kans op een van die volgorden 3 de gevraagde kans krijg je door het aantal volgorden te vermenigvuldigen met de kans op een van die volgorden. Bij kansrekenen kun je ook gebruik maken van het vaasmodel: Het willekeurig trekken van knikkers uit een vaas met gekleurde of genummerde knikkers. Twee manieren om te trekken zijn daarbij belangrijk. Trekken met terugleggen. Pagina 21 van 23

22 Bij elke trekken zijn de opeenvolgende kansen onveranderd. Trekken zonder terugleggen. Door elke trekking veranderen de opeenvolgende kansen langs de takken. Twee knikkers tegelijk pakken komt op hetzelfde neer als twee knikkers trekken zonder terugleggen. Een kansverdeling van een kansexperiment is een overzicht waarin alle mogelijkheden en de bijbehorende kansen staan. Bij een kansverdeling is de som van de kansen 1. Een kansverdeling kun je in de vorm van een tabel of grafiek of histogram weergeven. De verwachtingswaarde van een kansexperiment is het gemiddelde dat je mag verwachten als het experiment een groot aantal keren zou worden herhaald. De verwachtingswaarde zou je dus een theoretisch gemiddelde kunnen noemen. Een verwachtingswaarde bereken je door eerst elke mogelijke uitkomst met de bijbehorende kans te vermenigvuldigen en daarna alle producten bij elkaar op te tellen. Veel kansexperimenten bestaan uit herhalingen van een kansexperiment met maar twee mogelijke uitkomsten. Deze uitkomsten heten succes en mislukking. De kansen op een succes en een mislukking blijven bij elke herhaling even groot. Deze kansexperimenten heten binominale kansexperimenten. Bij een binominaal kansexperiment moet je letten op: n, het aantal herhalingen van het experiment p, de kans op succes van een experiment. N en p heten parameters. De kans op mislukking geef je aan met q. Er geldt q = 1 - p Bij een binominaal kansexperiment geef je het aantal keren succes aan met x. De kansverdeling van x heet een binominale verdeling. P (x = 4) betekent de kans op precies vier keer succes. In het rooster komt een punt overeen met n herhalingen van een experiment waarbij er k successen zijn. Er zijn (n k) routes naar dat punt. De kans op een zo n route is p^k * q^n-k Er geldt: P(X = k) = (n k) * p^k * q^n-k P(X=<2) heet een cumulatieve kans betekent de kans op 0, 1 of 2 successen. Bereken je door P(x = 0), P(x = 1) en P(x = 2) op te tellen stellen. Pagina 22 van 23

23 Hoe werk je met een binominale verdeling? 1 stel vast wat je succes noemt en geef het aantal successen aan met x. 2 stel de parameters n en p vast. 3 schrijf zo nodig de gevraagde kans als een verschil van cumulatieve kansen. 4 zoek deze kansen op in de cumulatieve binominale tabel of bereken ze met je rekenmachine. 5 bereken de gevraagde kans. Als je een kleine steekproef neemt uit een grote populatie, mag je dit opvatten als trekken met terugleggen. Als het in de steekproef bovendien gaat om twee mogelijke uitkomsten (succes-mislukking) mag je een binominale verdeling gebruiken. Bij een binominaal kansexperiment kun je het aantal successen dat je mag verwachten berekenen door het aantal experimenten te vermenigvuldigen met de succeskans. Kortom: Van een binominaal kansexperiment met parameters n en p is de verwachtingswaarde n *p. Pagina 23 van 23