voorbeeldhoofdstuk havo wiskunde A

Transcriptie

1 voorbeeldhoofdstuk havo wiskunde A

2 havo wiskunde A Drs. F.C. Luijbe

3 Voorwoord Beste docent, Voor u ligt een deel van de nieuwe Samengevat havo wiskunde A. Dit katern bevat een voorbeeldhoofdstuk, waarmee u een goede indruk krijgt van de vernieuwde uitgave. In de zomer van 008 verschijnt de complete Samengevat. De inhoudsopgave hiervan vindt u ook in dit katern. Uw examenleerlingen kunnen zich met de meest actuele Samengevat voorbereiden op hun examen in 009! De belangrijkste wijziging in de nieuwe Samengevat is de aanpassing aan het examenprogramma dat vanaf 007 van kracht is. Daarnaast zijn nog andere verbeteringen doorgevoerd: Examenbundel en Samengevat zijn nog beter op elkaar afgestemd, doordat de hoofdstukindeling gelijk loopt. Het lettertype is aangepast om de leesbaarheid te vergroten. De onderwerpen voor het schoolexamen worden apart aangegeven. De didactische scheiding tussen de schematische theorie op de linker pagina en de toelichting en voorbeelden op de rechter pagina is duidelijker, mede door gebruik van een steunkleur. De tabellen zijn van kleur voorzien voor een betere leesbaarheid. Heeft u vragen over Samengevat en/of Examenbundel? Neem dan contact op met Anja Haggeman van Docentenlijn via telefoonnummer Ik wens u veel succes met de beoordeling van dit katern. Bent u enthousiast en wilt u de complete Samengevat ontvangen zodra het van de drukpers rolt? Mail dan uw gegevens naar: info.avo@thiememeulenhoff.nl en vermeld welke uitgave van Samengevat u wilt ontvangen. Judith ten Brummelhuis Uitgever Examentraining Zutphen, januari 008

4 inhoud (met verwijzing naar het examenprogramma) voorwoord hoe werk je met dit boek Algebraïsche vaardigheden (subdomein A3) Tabellen, grafieken, veranderingen (subdomeinen B, B, B3) 3 Formules met twee of meer variabelen (subdomein E) 4 Lineaire verbanden (subdomein E) 5 Exponentiële verbanden (subdomein E3) 6 Exponentiële functies * (subdomein F) 7 Gebroken lineaire functies en machtsfuncties * (subdomein F) 8 Tellen, kansen (subdomeinen C, C) 9 Statistiek * (subdomeinen D, D) 0 Normale verdeling (subdomein D3) Binomiale verdeling (subdomeinen G, G, G3) Grafische rekenmachine TI-83/84 (deel subdomein A5) 3 Grafische rekenmachine CASI CFX-9850GB (deel subdomein A5) trefwoordenregister

5 begrippen en relaties Tabellen, grafieken, veranderingen TABELLEN tabel overzicht van samenhangende begrippen; een opschrift vertelt waar de tabel over gaat willekeurige tabel bijvoorbeeld kalenderjaar tegenover geboortecijfer wiskundige tabel geeft wiskundig verband aan tussen variabelen getalsbegrippen frequentie absolute frequentie werkelijke aantallen relatieve frequentie aantal ten opzichte van het totale aantal, meestal in procenten; voor de berekening gebruikt men soms een verhoudingstabel indexcijfers geven veranderingen in de tijd weer; stijgt (daalt) het absolute aantal, dan stijgt (daalt) ook het indexcijfer; voor de berekening wordt soms gebruik gemaakt van een verhoudingstabel relatieve waarden geven de onderlinge verhouding weer; stijgt (daalt) het absolute aantal, dan hoeft het procentuele aantal niet te stijgen (dalen) tabel opstellen kies de variabelen en geef deze overzichtelijk weer gegevens kun je halen uit een grafiek lees de bij elkaar horende variabelen af 4 x y 3,5 0,8 4,5 3, ,7 3,9 formule reken de bij elkaar horende variabelen uit, bijvoorbeeld met y = x x x y tabel maken met de grafische rekenmachine stappen (zie ook hoofdstuk of 3) invoer formule Y maak tabel :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwias4g0L.doc /7

6 toelichting indexcijfers, relatieve frequentie en verhoudingstabel Gegeven: tabel van de bevolking van Amsterdam op januari (prognose 998) absoluut relatief absoluut relatief absoluut relatief man ,% vrouw ,9% totaal % a Bereken het indexcijfer van het aantal inwoners van Amsterdam in het jaar 005 volgens de prognose (stel het aantal inwoners in 999 op 00). b Bereken het relatieve aantal mannen van de Amsterdamse bevolking in het jaar 000 volgens de prognose. c Laat aan de hand van een rekenvoorbeeld zien dat als het absolute aantal stijgt dat dan het relatieve aantal niet hoeft te stijgen. a Zet eerste de gegevens die van belang zijn bij elkaar. Stel het indexcijfer voor 005 op q. absoluut index (999 = 00) q b Hieruit volgt q = , dus q = 03,4. Stel het relatieve aantal mannen op p%. Een bijbehorende verhoudingstabel is dan % p% c Hieruit volgt p = , dus p = 49,. Neem bijvoorbeeld het aantal vrouwen in 999 en 005 als uitgangspunt. Dit geeft dan het volgende overzicht: aantal inwoners aantal vrouwen relatief 50,9% 50,6% Het aantal vrouwen neemt toe, maar het totale aantal inwoners stijgt sneller, dus neemt het relatieve aantal vrouwen af. :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwia4sg0R.doc /7

7 begrippen en relaties tabellen, grafieken, veranderingen verband beschrijving van bijzonderheden tussen variabelen lineair verband het verschil van de (y) getallen is steeds hetzelfde kenmerken lineair verband in een tabel de bovenste rij getallen is opeenvolgend in de onderste rij is het verschil tussen twee opvolgende getallen steeds hetzelfde kwadratisch verband het verschil van de verschillen is steeds hetzelfde kenmerk kwadratisch verband in een tabel de bovenste rij getallen is opeenvolgend in de onderste rij is het verschil van de toe -of afname van twee opvolgende getallen steeds hetzelfde evenredig verband de uitkomst van de deling van onderste en bijbehorend bovenste getal is steeds hetzelfde kenmerk evenredig verband in een tabel de bovenste rij getallen (x) is opeenvolgend deel een getal (y) uit de onderste rij door het bijbehorende getal (x) uit de bovenste rij y het quotiënt x is dan steeds hetzelfde getal (c) notatie: y x = c of y = c x omgekeerd evenredig verband de vermenigvuldiging van bovenste en bijbehorend onderste getal is steeds hetzelfde kenmerk omgekeerd evenredig verband in een tabel de bovenste rij getallen (x) is opeenvolgend vermenigvuldig twee bij elkaar horende getallen (x, y) uit de bovenste en onderste rij het product x y is dan steeds hetzelfde getal (c) notatie: x y = c exponentieel verband vast getal voor de vermenigvuldiging kenmerk exponentieel verband in een tabel de bovenste rij getallen is opeenvolgend in de onderste rij getallen ontstaat een volgend getal door vermenigvuldiging van het voorafgaande met steeds hetzelfde getal :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwias4g0L.doc /7

8 toelichting verbanden Ga in de onderstaande tabellen na wat het verband is tussen de variabelen x en y a x y b x y c x y d x y e x y ,8 4 a b Het verschil van y is steeds 3, constant, dus een lineair verband. x y afname y verschil van afname Het verschil van de afnamen is steeds, constant, dus een kwadratisch verband. c Het quotiënt y x = 3 is constant, dus een evenredig verband. d e Een andere schrijfwijze van het verband is y = 3 x mdat het verschil van de y-waarden steeds 3 is, is het ook een lineair verband. Elk volgend getal y is steeds keer groter dan zijn voorganger, dus een exponentieel verband. Elk product x y 4, constant, dus een omgekeerd evenredig verband. :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwia4sg0R.doc /7

9 3 begrippen en relaties tabellen, grafieken, veranderingen 0 GRAFIEKEN grafiek tekenen bronnen gegevens om te tekenen kun je halen uit een tabel gebruik bij elkaar horende waarden formule bereken bij elkaar horende waarden van de variabelen tekst zoek bij elkaar horende waarden van de variabelen manieren van tekenen globaal geeft een indruk van het verband tussen de variabelen zonder dat de variabelen precies bekend zijn precies gebruik bekende waarden van de variabelen stappen bij het tekenen stel de variabelen vast bepaal om welke grootheden het gaat zet namen bij de assen omschrijf kort de variabelen kies een handige verdeling op de assen aangepast aan de grootte van de variabelen gebruik de coördinatenparen getallenparen die bij elkaar horen leveren coördinatenparen op teken punten in het assenstelsel gebruik de coördinatenparen teken door de punten een rechte lijn of een vloeiende kromme uiterste waarde grootste of kleinste waarde die een grafiek in verticale richting bereikt maximum grootste waarde die een grafiek in verticale richting bereikt minimum kleinste waarde die een grafiek in verticale richting bereikt maximum minimum soorten grafieken vloeiende kromme als alle punten een betekenis hebben aantal rechte lijnstukken al of niet met sprongen aantal losse punten worden voor het overzicht toch meestal verbonden door lijnstukken, ook al hebben de tussenliggende waarden misschien geen betekenis misleiding in grafieken gebruik van een scheurlijntje onderbreking in een as veranderen van eenheid op een as invloed op de helling van de grafiek :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwias4g0L.doc /7

10 3 toelichting grafiek tekenen De eigenaar van pub De Laatste Fase in Amsterdam heeft onderzocht dat 3% van de mensen die binnen een straal van 00 meter van zijn café wonen, regelmatig op bezoek komen. In elke ring van 00 meter zijn de percentages in een figuur gezet: zo is bijvoorbeeld in de ring van 00 tot 300 meter het percentage gelijk aan 9% Teken de grafiek die het verband aangeeft tussen de percentages mensen die regelmatig het café bezoeken en de afstand in ( meters) van hun woning tot het café. Grafiek 3% 9% 8% 3% cafe procenten meters soorten grafieken vloeiende kromme sprongen losse punten misleiding in grafieken met scheurlijntje uitgerekte :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwia4sg0R.doc /7

11 4 begrippen en relaties tabellen, grafieken, veranderingen bijzonderheden in een grafiek periodiciteit herhaling van een vast patroon; het kleinste interval waarover de grafiek zich herhaalt heet de periode schommeling het op en neer gaan, vaak om een trendlijn of evenwichtslijn trend een ontwikkeling over een langere periode, kan stijgend of dalend zijn; de lijn die de globale ontwikkeling van de grafiek op langere termijn aangeeft heet de trendlijn trendlijn periode gebied hoort bij een ongelijkheid x = a x < a x > a b y > b y < b y = b a waarden aflezen interpoleren een waarde tussen twee andere (bekende) waarden aflezen of berekenen extrapoleren een waarde buiten bekende waarden aflezen of berekenen, waarbij aangenomen wordt dat het getallenpatroon op dezelfde manier doorloopt interpoleren extrapoleren intervalnotaties [a,b] a x b, alle getallen tussen a en b met inbegrip van a en b a, b a < x < b, alle getallen tussen a en b a, x > a, alle getallen groter dan a, b x < b, alle getallen kleiner dan b :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwias4g0L.doc /7

12 4 toelichting 3 periodiciteit p Hawaï heeft de getijdenbeweging een periode van,5 uur. p maart is er om uur hoog water. p welk tijdstip zal er voor het eerst hoog water zijn na uur op 7 maart? Zet de gegevens op een tijdas. Het tijdstip hoog water op maart om uur noemen we t = 0. Van maart uur tot 7 maart uur zijn 6 4 = 384 uren. In die 384 uren is er 30 maal hoog water geweest ( 384 = 30,7). Als er op t = 0 hoog,5 water is geweest dan ook op t = 30,5 = 375; dat is op 6 maart om 8.00 uur (03.00 uur + 5 uur). Het volgende tijdstip van hoogwater is weer,5 uur verder, dus op 7 maart om uur. (6 maart om 8.00 uur +,5 uur = 7 maart om 6,5 uur) maart uur maart uur 3 maart uur 6 maart uur 7 maart uur trendlijn a De grafiek van de koers van een aandeel gaf het volgende globale beeld (zie de grafiek hiernaast). Trek een rechte trendlijn die zo goed mogelijk aansluit bij de getekende grafiek. koers in euro b Lees de koers af op september 007 volgens de getrokken trendlijn. 35 c a Bepaal uit de koersgrafiek door extrapolatie de mogelijke koers op september 007. juni 98 sept. 98 dec. 98 maart 99 juni 99 sept. 99 b Volgens de getrokken trendlijn is de koers van september 007 gelijk aan ongeveer 60. c De grafiek is doorgetrokken, waarbij rekening is gehouden met de schommelingen uit het verleden. De koers volgens extrapolatie van de grafiek is dan ongeveer 6. :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwia4sg0R.doc /7

13 5 begrippen en relaties tabellen, grafieken, veranderingen 4 snijpunten van twee of meer grafieken betekenisvol snijpunt de coördinaten zijn zinvol voor zowel grafiek als grafiek onzinnig snijpunt snijpunt heeft geen betekenis dit kan zich voordoen als de variabelen van de twee grafieken verschillend zijn als de eenheden voor de variabelen verschillend zijn als de grafieken eigenlijk uit losse punten bestaan samenstellen van twee grafieken/tabellen twee grafieken/tabellen met dezelfde variabelen kunnen worden gecombineerd tot een nieuwe grafiek/tabel somgrafiektabel tel de coördinaten in verticale richting bij elkaar op verschilgrafiek/tabel trek de coördinaten in verticale richting van elkaar af I II I II x tabel t tabel t somtabel S = t + t verschiltabel V = t t x- as som- of verschiltabel maken met de grafische rekenmachine stappen (zie ook hoofdstuk of 3) invoer formule Y invoer formule Y invoer formule Y3 = Y ± Y maak tabel grafiek plotten met de grafische rekenmachine stappen (zie ook hoofdstuk of 3) invoer formule F(x) plot de grafiek som- of verschilgrafiek plotten stappen (zie ook hoofdstuk of 3) invoer formule F(x) invoer formule F(x) invoer formule F3(x) = F(x) F(x) plot de grafiek :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwias4g0L.doc /7

14 5 toelichting 5 twee grafieken q. Ibrahim, een accountant, geeft in zijn vrije tijd juridische en economische adviezen aan kleine ondernemers. Voor elk uur dat hij aan een advies werkt, rekent hij 50 euro. Eén op de drie adviezen kost gemiddeld twee uur werken en de overige adviezen kosten gemiddeld vier uur werken. Zijn overige kosten zijn gemiddeld per maand 300 euro aan vaste kosten en ongeveer 0 euro per advies aan postzegels en telefoonkosten. a Geef een formule voor het verband tussen de kosten K en het aantal adviezen per maand. b Geef een formule voor het verband tussen de opbrengst en het aantal adviezen. c Teken in één figuur de grafieken van K en. d Bepaal het snijpunt van de grafieken van K en. e Wat betekent dit snijpunt? f Geef een formule voor de winst W. g Bepaal waar de grafiek van W de q-as snijdt. h Wat valt op bij het vergelijken van de snijpunten bij vraag d en vraag g? i Teken de grafiek van W in dezelfde figuur. a Noem het aantal adviezen q dan is K = q. b = 3 q q 4 50 = c en i d plossingsmanieren: - Berekenen: q = 500 q ; q = 500q; 3 470q = 900; q = (,9). - Aflezen uit de grafiek: q,9. - Met de grafische rekenmachine (zie ook hoofdstuk of 3): - Plot de grafieken en zoek het snijpunt met intersect (TI-83) Maak tabellen en zoek het snijpunt (TI-83). e In het snijpunt zijn opbrengst en kosten gelijk. Bij of meer adviezen gaat Ibrahim winst maken. 500 f W = K = q ( q) = 470 q g Zie antwoord d; q,9. h Zelfde uitkomsten, want W = 0 als kosten K en opbrengst gelijk zijn. i Zie bij c en i (gebruik de verschilgrafiek van en K of de formule W = q 300). :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwia4sg0R.doc /7

15 6 begrippen en relaties tabellen, grafieken, veranderingen 6 VERANDERINGEN verandering en grafiek stijging van links naar rechts worden de uitkomsten groter constante stijging horizontaal toename met één stap dan is het verschil verticaal steeds hetzelfde toenemende stijging horizontaal toename met één stap dan wordt het verschil verticaal steeds groter afnemende stijging horizontaal toename met één stap dan wordt het verschil verticaal steeds kleiner constante stijging toenemende stijging afnemende stijging daling van links naar rechts worden de uitkomsten kleiner constante daling horizontaal toename met één stap dan is het verschil verticaal steeds hetzelfde toenemende daling horizontaal toename met één stap dan wordt het verschil verticaal steeds groter afnemende daling horizontaal toename met één stap dan wordt het verschil verticaal steeds kleiner differentie verandering delta-notatie x is verandering in x-richting, y is bijbehorende verandering in y-richting differentiequotiënt gemiddelde verandering van een grafiek op een bepaald interval andere namen hellingscoëfficiënt hellingsgetal richtingscoëfficiënt y f(b) - f(a) = formule van het differentiequotiënt op het interval a, b x b a - :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwias4g0L.doc /7

16 6 toelichting 7 verandering en grafiek Johan blaast een ballon op; de grafiek geeft aan hoeveel lucht (in cm 3 ) er in de ballon aanwezig is vanaf het moment dat Johan begint te blazen. 900 volume in cm t in minuten a Gedurende welke minuut wordt er de meeste lucht de ballon in geblazen? b Geef een mogelijke verklaring waarom er gedurende het interval,3 slechts weinig lucht bij komt? c Wat gebeurt er tijdens de 4 e minuut? d Wat betekent de toenemende daling op het tijdsinterval 4,5? a Kijk waar de grafiek het steilst loopt. Dat is gedurende de tweede minuut. b Twee mogelijke verklaringen zijn: - Johan raakt buiten adem - De ballon is moeilijker op te blazen naarmate hij groter wordt. c De grafiek loopt bijna horizontaal, dus er komt geen lucht meer bij in de ballon. d De ballon loopt steeds sneller leeg; per tijdseenheid een steeds kleiner volume. differentiequotiënt Ga uit van de getekende grafiek. a Bereken het differentiequotiënt op het interval,. b Bereken het differentiequotiënt op het interval,5. p een bepaald interval is het differentiequotiënt negatief. c Wat kun je zeggen van de grafiek op dat interval?,3 a,3,9 b 0,475 5 c Alleen maar dat op dat interval het beginpunt van de grafiek hoger ligt dan het eindpunt. :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwia4sg0R.doc /7

17 7 begrippen en relaties tabellen, grafieken, veranderingen 8 toenamendiagram grafiek van de veranderingen in verticale richting van een grafiek als je steeds één stap naar rechts gaat grootte van verandering geeft informatie over de steilheid van de oorspronkelijke grafiek tekenen de staven van een toenamendiagram worden getekend boven de rechtergrens van het interval positief toenamendiagram bij een stijgende grafiek; staven zijn getekend boven de interval toename 0,,,3 3,4 toename y ,5 negatief toenamendiagram bij een dalende grafiek; staven zijn getekend onder de 5 interval toename ,,,3 3,4 4,5 toename y

18 7 toelichting 9 toenamendiagram Hiernaast is een toenamendiagram getekend. a Waar zal de bijbehorende grafiek het steilst lopen? b De bijbehorende grafiek gaat door (0,3). Door welke punten gaat de grafiek in ieder geval ook nog? a Kijk waar de staaf het langst is, daar is de toename het grootst; dat is op het interval, b De eerste staaf geeft aan dat x toeneemt van 0 naar ; de bijbehorende y stijgt ook één stap; de grafiek gaat dus ook door (,4). Bij de tweede staaf neemt x weer één stap toe, terwijl de y-waarde dan met drie stappen stijgt; de grafiek gaat dus door (,7). p deze manier geeft dit de punten (3,9), (4,0), (5,9), (6,), (7,) en (8,). toename y kwadratische verband en toenamendiagram Gegeven de formule van het verband y = x x. a Teken het toenamendiagram met x =. b Teken het toenamendiagram van de verschillen met x =. a Maak eerst een tabel en teken dan het toenamendiagram. x y toename y 3 5 toename y b Breid de tabel van a uit en teken dan het toenamendiagram. x y verschil toename y 4 toename y 3 5 verschil van de toenamen van y 3 4 :\THIEMEME\36746\PMAAK\WISKUNDE_A\hwia4sg0R.doc /7

19 examenbundels - zelfstanding voorbereiden op het examen - examen voorbereiden op basis van persoonlijk studieadvies - stapsgewijs toewerken naar het examenniveau - oefenen met recente examens havo Duits havo Engels havo Frans havo Nederlands havo biologie havo natuurkunde havo scheikunde havo wiskunde A havo wiskunde B havo aardrijkskunde havo economie havo geschiedenis havo M& examenbundel + samengevat = jouw succesformule samengevat - schematisch overzicht van alle examenstof - beknopte en heldere uitleg - snel en overzichtelijk door te nemen en te herhalen - het perfecte uittreksel havo biologie havo natuurkunde havo scheikunde havo wiskunde A havo wiskunde B havo aardrijkskunde havo economie havo M& I S B N