RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM PROEFTOETS klas 11 HA

Transcriptie

1 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM PROEFTOETS klas 11 HA Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel unten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. 1. Boeken (2+2) O een boekenlank bij Bregje staan zes Engelse, vijf Franse en drie Duitse boeken. a) O hoeveel manieren kan zij deze 14 boeken o de boekenlank neerzetten? b) Bregje is heel netjes en zet alle boeken van dezelfde taal bij elkaar. O hoeveel manieren kan dat? 2. Bonbons ( ) a) In een luxe doos zitten 12 dure, maar erg lekkere bonbons. Ze zijn allemaal verschillend van vorm en kleur. Kees-Jan houdt zich niet in en besluit ze allemaal o te eten. O hoeveel manieren kan Kees-Jan dat doen? b) Een andere doos kent slechts één tye bonbon. Ze zijn allemaal donker bruin en hebben dezelfde vorm en grootte. In deze doos zitten er 20. Marie besluit er maar 5 te nemen en o te eten. O hoeveel manieren kan zij die vijf bonbons kiezen? 3. Kosten (2,3,3,3,1) 3 2 Gegeven is de kostenformule K q 6q 13q 15 Hierin is K in duizenden euro's en q aantallen in ook duizenden. De maximale roductie is 8000 stuks. a) Zet de functie in de GRM en lot deze in een window van [0,9] x [ 0, 250]. Teken de grafiek redelijk netjes na. b) Bereken het differentiequotiënt o het interval [4,6] c) Bereken de gemiddelde toename als de roductie verandert van 5000 naar 5001 stuks. Vergelijk het antwoord met de CALC-otie dy/dx o unt x=5. d) Maak een toenamediagram met staen van 1000 stuks. Pas de Vertikale as wel aan zodat het figuurtje niet te groot wordt. e) Is er ergens een moment waaro het differentiequotiënt negatief is? Hoe komt dat? 4. Verdelingskromme Bovenstaande verdelingskromme toont de relatief cumulatieve verdeling van een serie waarnemingen. a) Geef een schatting van de mediaan.

2 b) Beargumenteer of de to van de verdelingskromme links, exact ó, of rechts van de mediaan zal liggen. c) Schets in dit bovenstaande laatje de verdelingskromme. 5. Sinaasaels. (14 (7x2)) Het gewicht van sinaasaels is normaal verdeeld met een gemiddelde van 86 gram en een standaardafwijking van 6 gram. a) Bereken in twee decimalen de kans dat een sinaasael uit deze artij een gewicht heeft tussen de 74 en 86 gram. b) Bij welk gewicht ligt de grens waaronder de lichtste 16% van de sinaasaels zit? c) Bij welke grenzen zal de middelste 68% van deze artij zijn? Wie een groot aantal steekroeven doet van zeg 120 stuks, zal een steekroefroortie vinden die zich tussen grenzen bevindt. Een groothandel slaat zijn sinaasaelen o in een koelhuis en neemt een jaar lang elke dag een steekroef van 120 sinaasaels. Hierbij let hij o of de sinaasaels schimmels bevatten. Het blijkt dat de gemiddelde steekroefroortie (feitelijk de oulatieroortie dus..) = =0,125 is. d) Hoe groot is nu de gemiddelde steekroefroortie in aantallen sinaasaelen? De steekroefroorties van vele steekroeven levert de steekroevenverdeling o en zijn zelf normaal verdeeld. Het gemiddelde u komt overeen met de oulatieroortie. (1 ) De standaardafwijking die deze verdeling beaalt is gegeven door n e) Bereken de standaardafwijking van een steekroefroortie van 0,125 en de steekroeflengte = 120. f) Beredeneer dat als men steeds meer sinaasaelen in de steekroeven betrekt (stel 300 iv 120) dat hiermee de standaardafwijking kleiner wordt. Geef een berekening met n=300. en laat zien wat het 95% betrouwbaarheidsinterval wordt in dat geval. =0,125 6 Wasmiddel OMO (8) Een fabrikant van wasmiddelen neemt een jaar lang 365 dagen elke dag een steekroef van 117 akken OMO. Hieruit blijkt dat 12,0% van de akken te weinig wasmiddel bevat. Hierbij is uitgerekend dat de standaardafwijking ongeveer 3 is. a) Bereken in drie decimalen wat de standaardafwijking is. b) Bij hoeveel van de steekroeven verwacht je dat er minstens 18 akken zijn met te weinig inhoud? c) Hoeveel dagen (=steekroeven) van het jaar zullen naar verwachting 7 of minder akken laten zien met te weinig wasmiddel? d) De bedrijfsleider beweert dat het vaak genoeg voorkomt dat in een steekroef hooguit 2 akken zitten met te weinig wasmiddel. Kan dit kloen? Geef jouw argumenten.

3 UITWERKING WISKUNDE HAVO CM/EM PROEFTOETS Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel unten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. 1. Boeken (2+2) O een boekenlank bij Bregje staan zes Engelse, vijf Franse en drie Duitse boeken. a) O hoeveel manieren kan zij deze 14 boeken o de boekenlank neerzetten? 14! want je akt ze één voor één en zet ze neer. b) Bregje is heel netjes en zet alle boeken van dezelfde taal bij elkaar. O hoeveel manieren kan dat? 3! (6! 5! 3!) Alle Engelse o 6! manieren, Alle Franse o 5! manieren, en de Duitsers o 3! manieren. Daarna kan je o 3! manieren deze drie 'blokken' neerzetten. 2. Bonbons ( ) a) In een luxe doos zitten 12 dure, maar erg lekkere bonbons. Ze zijn allemaal verschillend van vorm en kleur. Kees-Jan houdt zich niet in en besluit ze allemaal o te eten. O hoeveel manieren kan Kees-Jan dat doen? 12! lijkt me helder. (hij suugt ze niet uit en eet ze onieuw ) b) Een andere doos kent slechts één tye bonbon. Ze zijn allemaal donker bruin en hebben dezelfde vorm en grootte. In deze doos zitten er 20. Marie besluit er maar 5 te nemen en o te eten. O hoeveel manieren kan zij die vijf bonbons kiezen? 5 uit 20 of 20Ncr 5: Kosten (2,3,3,3,1) 3 2 Gegeven is de kostenformule K q 6q 13q 15 Hierin is K in duizenden euro's en q aantallen in ook duizenden. De maximale roductie is 8000 stuks. a) Zet de functie in de GRM en lot deze in een window van [0,9] x [ 0, 250]. Teken de grafiek redelijk netjes na. OK dat zal wel lukken toch? b) Bereken het differentiequotiënt o het interval [4,6] K(6)=93 en K(4)=35. dus dk/dq=29 c) Bereken de gemiddelde toename als de roductie verandert van 5000 naar 5001 stuks. Vergelijk het antwoord met de CALC-otie dy/dx o unt x=5. Zelfde vraag: (55,028-55,000)/1 is 0,028 ofwel 28 er 1000 stuks d) Maak een toenamediagram met staen van 1000 stuks. Pas de Vertikale as wel aan zodat het figuurtje niet te groot wordt. DOEN e) Is er ergens een moment waaro het differentiequotiënt negatief is? Hoe komt dat? Nee; De kosten zullen nooit afnemen met toenemende roductieaantallen. zie laatje. 4 Verdelingskromme (1,2,3) Bovenstaande verdelingskromme toont de relatief cumulatieve verdeling van een serie waarnemingen.

4 a) Geef een schatting van de mediaan. Simel: lees af bij 50% = 7 b) Beargumenteer of de to van de verdelingskromme links, exact ó, of rechts van de mediaan zal liggen. Links van med. 50% vd wn lager dan 7. andere 50 vult aan tot 20: beduidend mee. Anders gezegd: de eerste 50% van de waarnemingen zijn dus best lage getallen De tweede helft bestaat uit getallen van 7 tot en met 20. Dit geeft een verdeling die naar rechts uitwaaiert. c) Schets in dit bovenstaande laatje de verdelingskromme. Rechtsscheef: to links van mediaan 5. Sinaasaels. ( ) Het gewicht van sinaasaels is normaal verdeeld met een gemiddelde van 86 gram en een standaardafwijking van 6 gram. a) Bereken in twee decimalen de kans dat een sinaasael uit deze artij een gewicht heeft tussen de 74 en 86 gram. Dit is 34% + 13,5% (vuistregels) dus 47.5% b) Bij welk gewicht ligt de grens waaronder de lichtste 16% van de sinaasaels zit? dus de sigma-links grens: 2,5+13,5=16%. dus 86-6 = 80 gram. c) Bij welke grenzen zal de middelste 68% van deze artij zijn? dus links en rechts één sigma: tussen 80 en 92 gram Wie een groot aantal steekroeven doet van zeg 120 stuks, zal een steekroefroortie vinden die zich tussen grenzen bevindt. Een groothandel slaat zijn sinaasaelen o in een koelhuis en neemt een jaar lang elke dag een steekroef van 120 sinaasaels. Hierbij let hij o of de sinaasaels schimmels bevatten. Het blijkt dat de gemiddelde steekroefroortie (feitelijk de oulatieroortie) = =0,125 is. d) Hoe groot is nu de gemiddelde steekroefroortie in aantallen sinaasaelen? dus 0,125 * 120 = 15 stuks. De steekroefroorties van vele steekroeven levert de steekroevenverdeling o en zijn zelf normaal verdeeld. Het gemiddelde u komt overeen met de oulatieroortie. (1 ) De standaardafwijking die deze verdeling beaalt is gegeven door n e) Bereken de standaardafwijking van een steekroefroortie van 0,125 en de steekroeflengte = ,0302 f) Beredeneer dat als men steeds meer sinaasaelen in de steekroeven betrekt (stel 300 iv 120) dat hiermee de standaardafwijking kleiner wordt. Geef een berekening met n=300. en laat zien wat het 95% betrouwbaarheidsinterval wordt in dat geval. nu sigma 0,0191 dus 95%: tot.1632 =0,125 6 Wasmiddel OMO (8) Een fabrikant van wasmiddelen neemt een jaar lang 365 dagen elke dag een steekroef van 117 akken OMO. Hieruit blijkt dat 12,0% van de akken te weinig wasmiddel bevat. Hierbij is uitgerekend dat de standaardafwijking ongeveer 3 is. a) Bereken in vier decimalen wat de standaardafwijking is b) Bij hoeveel van de steekroeven verwacht je dat er minstens 18 akken zijn met te weinig inhoud? Pˆ = 18/117 = 0, u=0,12 en sigma dus u + s= 0,15 dus rechts van deze grens = 0,1538 Dat is ongeveer bij de u+s grens: dus 16%. 0,16*365 = 58 steekroeven. (vuistregels dus).

5 c) Hoeveel dagen (=steekroeven) van het jaar zullen naar verwachting 7 of minder akken laten zien met te weinig wasmiddel? 7/117 = 0,0598 De vraag is waar ligt deze grens? u-2s = 0,12-2*0,03 = 0,12-0,06=0,06. Dus links van de 2s grens is nog 2,5%. Dus 0,025 * 365= ca 9 dagen. d) De bedrijfsleider beweert dat het vaak genoeg voorkomt dat in een steekroef hooguit 2 akken zitten met te weinig wasmiddel. Kan dit kloen? Geef jouw argumenten. 2/117 = 0,0170. u-3s = 0,030 en 0,017 zit nog verder naar links. Dus dat is onwaarschijnlijk. Nee, klot niet dus.