(6 2 )( 6 ). 10 2x. ) h( ) ( 1) 1. schrijf als functie van p: K(p)= 12 p. b) substitueer zodat H een functie is van alleen q. 2.

Transcriptie

1 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT KLAS 1 Periode Diff/Int. Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 3 punten Tijd tot 9:40, Dyslecten: tot 10:00 uur. 1. (6p) Optimalisatie oppervlakte. y x 6x. Gegeven de functie Men plaats op de positieve x-as een rechthoek, zodanig dat deze op de x-as staat en tevens onder de boog van de parabool blijft met de hoekpunten op de parabool. Het linkeronderpunt van de rechthoek wordt punt P genoemd en het rechteronderpunt punt Q. De oppervlakte van deze rechthoek wordt weergegeven door de A p p p (6 )( 6 ). formule: a. Toon aan dat de formule juist is. b. Differentieer de functie. c. Bereken de exacte waarde van de x-coördinaat van P waarvoor de oppervlakte maximaal is.. (6p) Differentieer de volgende drie functies: a) x 3 f ( x) 10 x b) g( x) sin( x ) xcos( x) c p p p ) h( ) ( 1) 1 3. (4p) Werk onderstaande formule om zoals is aangegeven: a) p 1 schrijf als functie van p: K(p)= 1 p b) substitueer zodat H een functie is van alleen q. H ( p, q) pq q 1 1 p(q)=q+ q 4. (4p) We hebben in deze periode vaak gesproken over logaritmen. De afgeleide van een logaritme is geen HAVO-B stof; toch kunnen we met de GRM wel de snelheid op één punt bepalen in de 5 f ( x) log(x 4) kromme van een logaritme. Gegeven de functies: 10 g( x) log(x 4) De functies verschillen in steilheid in het punt met x=4. Onderzoek met de GRM wat op dit punt x=4 de waarde van de afgeleide is in beide functies, stel vast hoeveel keer groter de ene functie is ten opzichte van de andere en beredeneer (exact dus) dat dat antwoord ook zonder differentiëren of GRM-gebruik kan worden gevonden.

2 5. (3+3+6p) Maak deze onderstaande opgave:

3

4 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT KLAS 1 UITW Periode Diff/Int. Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 8 punten Tijd tot 9:40, Dyslecten: tot 10:00 uur. 1. (6p) Optimalisatie oppervlakte. y x 6x. Gegeven de functie Men plaats op de positieve x-as een rechthoek, zodanig dat deze op de x-as staat en tevens onder de boog van de parabool blijft met de hoekpunten op de parabool. Het linkeronderpunt van de rechthoek wordt punt P genoemd en het rechteronderpunt punt Q. De oppervlakte van deze rechthoek wordt weergegeven door de A p p p (6 )( 6 ). formule: a. Toon aan dat de formule juist is. (1) nulpunten 0 en 6 () dus lengte rechthoek is Xq-Xp = 6-p (3) p ingevuld: (-p 6 p) dus formule klopt b. Differentieer de functie. 3 (1) haakjes weg: p 18p 36 p () diff 6p 36 p 36 c. Bereken de exacte waarde van de x-coördinaat van P waarvoor de oppervlakte maximaal is. (1) afgeleide op 0. 6(p 6 p 6) 0 () D= =1 (3) p=3-0,5 1 of p= 3+0,5 1. deze waarden corresp. met P en Q.. (6p) Differentieer de volgende drie functies:

5 a) x 3 f ( x) 10 x dus: df (10 x)() (x 3) 6 dx (10 x) (10 x) b) g( x) sin( x ) x cos( x) dg cos( x ) x sin( x) cos( x) dx cos( x ) x sin( x) cos( x) c) h( p) ( p 1) p 1, lees als A A ofwel A dh dx 1,5. 0,5 1,5( p 1) ( p) 3. (4p) Werk onderstaande formule om zoals is aangegeven: a) p 1 schrijf als functie van p: K(p)= 1 p (1) (1-p)K=p-1 dus 1K-pK=p-1 dus p+pk=1k+1 dus p(+k)=1k+1 1K 1 p= K b) substitueer zodat H een functie is van alleen q. H ( p, q) pq q 1 1 p(q)=q+ q 1 q q 1 q 1 dus: H ( q) (q+ ) q 4q 4. (4p) We hebben in deze periode vaak gesproken over logaritmen. De afgeleide van een logaritme is geen HAVO-B stof; toch kunnen we met de GRM wel de snelheid op één punt bepalen in de kromme van een logaritme. Gegeven de functies: 5 10 f ( x) log(x 4) als log(x 4) / log(5) g x 10 ( ) log(x 4) De functies verschillen in steilheid in het punt met x=4. Onderzoek met de GRM wat op dit punt x=4 de waarde van de afgeleide is in beide functies, stel vast hoeveel keer groter de ene functie is ten opzichte van de andere en beredeneer (exact dus) dat dat antwoord ook zonder differentiëren of GRM-gebruik kan worden gevonden. (1) Orientatie leert dat f boven g ligt. Plot Y1= 10 log(x 4) / log(5) () dus zal f 1/log(5) groter zijn dan g (ca 1,43) (3) dus kan je f differentieren door deze te lezen als: 1 log(5) 10 x log( 4) (4) hierdoor isoleer je de factor 1/log(5) uit het differentieren. Ongeacht het punt x.!!

6 5. (3+3+6p) Maak deze onderstaande opgave:

7

8