a) Bereken het middelpunt van van cirkel C, door omzetting van de gegeven formule.

Transcriptie

1 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT KLAS 12 T212-HNGNT-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 59 punten Tijd: 70 min, Dyslecten: 90min. 1. (3,3,4,2p) cirkels Gegeven cirkel c: x y 2x 6y 5 0 met Middelpunt M. Behalve M is er ook punt A (5,0) dat rechts buiten de cirkel op de x-as ligt. Lijnen k en l raken de cirkel in resp. C en B en gaan ook door punt A. Punt O is Oorsprong. a) Bereken het middelpunt van van cirkel C, door omzetting van de gegeven formule. Ga nu uit van M (1,3) als coördinaten. b) Bereken hoek AMO in gehelen graden nauwkeurig. c) Bereken de hoek die lijnen k en l met elkaar maken. d) Er is een tweede cirkel die punt A als midden heeft en ook gaat door punt M. Toon aan dat deze cirkel de y-as raakt. (Ga echter nooit uit van de exactheid van de figuur). 2. (3,3,3 p) Cirkels2. Er zijn twee cirkels: c1: ( x 2) y 16 en c2: x ( y 2) 8 Door de haakjes weg te werken en de formule c2 van c1 af te trekken ontstaat de expressie: y=x+2. a) Toon dat aan met algebra. b) Gebruik de genoemde expressie om de snijpunten van beide cirkels algebraïsch op te lossen. c) Leg uit dat het niet verwonderlijk is dat indien men een cirkelformule van een andere cirkelformule aftrekt, er altijd een lineair verband tussen x en y overblijft en dat hiermee de snijpunten gevonden kunnen worden middels substitutie.

2 3. (2,2,3,4,3,3p) Sterfgevallen In de USA is een onderzoek gedaan naar het aantal sterfgevallen s per inwoners voor een aantal leeftijden l. In de grafiek hieronder is log (s) uitgezet tegen de leeftijd l. a) Bij de leeftijd van 10 jaar is punt P getekend. Welke waarde van s hoort hierbij? b) Bereken het aantal sterfgevallen per inwoners bij de twintigjarigen. c) Welk percentage van de pasgeboren baby's sterft binnen een jaar? d) Tussen l=30 en l=90 is ene rechte lijn getekend. Neem de punten (30; 2,3) en (90; 4,7) De formules luistert naar log( s) a l b. met l als variabele. Bereken a en b. s b g e) Herschrijf de formule in de vorm: Geef b en g in drie decimalen nauwkeurig. f) Voor inwoners van Canada geldt voor hetzelfde lijntraject met l tussen 30 en 90 de formule: s = 4,8 * 1,109 l. Bereken hiermee bij welke leeftijd het aantal sterfgevallen per inwoners in de VS en Canada gelijk zijn. Rond af op helen. l 4. (3,3,3,3,3p) Losse functie-vragen: 4 Gegeven f ( x) (2x 1) 6. a) Geef domein en bereik van deze functie b) Los de vergelijking f(x)=-10 algebraïsch op. c) Op de grafiek van f laat men een translatie (-1,-4) los waarna vermenigvuldigd wordt t.o.v. de x-as met een factor -0,5. Geef de beeldformule? d) Los algebraïsch op: 3 log(2x 5) log( x 5) e) Schrijf als N=b*g t : 2t 3log( N) 2,4 f) Van een grote partij tomaten is van enkele exemplaren de diameter en het volume gemeten. diam. D vol. V Volgens de onderzoekers moet het Volume V evenredig zijn met een macht van diameter D volgens het model: V=aD m Bereken met behulp van de tabel de waarden van a en m. 5. (10p) Examensom volgende pagina

3

4

5 RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT UITW KLAS 12 T212-HNGNT-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting of argumentatie. MAX: 59 punten Tijd: 70 min, Dyslecten: 90min PUNTENAANGEPAST: EXAMENSOMpunten vervallen, som 3f vervalt, som 3c: Punt niet goed zichtbaar. dus totaal 16 punten lager MAX en wordt dus (3,3,4,2p) cirkels Gegeven cirkel c: x y 2x 6y 5 0 met Middelpunt M. Behalve M is er ook punt A (5,0) dat rechts buiten de cirkel op de x-as ligt. Lijnen k en l raken de cirkel in resp. C en B en gaan ook door punt A. Punt O is Oorsprong. a) Bereken het middelpunt van van cirkel C, door omzetting van de gegeven formule. (x-1) 2 +(y-3) 2 =5 dus M(1,3) Ga nu uit van M (1,3) als coordinaten. b) Bereken hoek AMO in gehelen graden nauwkeurig. (1) straal is V5 dus (2) AM = 5 (ga zelf na) (3) Afstand M-x-as 3: dus afstand A naar K (loodrecht onder M): 4. (4) Dus Hoek KMA = tan -1 (4/3) = (5) dus hoek KMO = tan -1 (1/3) = (6) Samen: dus 72. c) Bereken de hoek die lijnen k en l met elkaar maken. (1) B raakpunt van l. dus loodrecht op BM. BM=V5 (2) AM = 5 dus hoek BAM = sin -1 (V5/5)= (3) Hoek CAM hetzelfde. dus samen: d) Er is een tweede cirkel die punt A als midden heeft en ook gaat door punt M. Toon aan dat deze cirkel de y-as raakt. (Ga echter nooit uit van de exactheid van de figuur). (1) Afstand AM = 5 (2) x-coordinaat A = 5.. Qed.

6 2. (3,3,3 p) Cirkels2. Er zijn twee cirkels: c1: ( x 2) y 16 en c2: x ( y 2) 8 Door de haakjes weg te werken en de formule c2 van c1 af te trekken ontstaat de expressie: y=x+2. a) Toon dat aan met algebra. ( x 2) y 16 en c2: x ( y 2) 8 dus x 4x 4 y 16 x y 4y x +4y = 8 dus y=x+2. b) Gebruik de genoemde expressie om de snijpunten van beide cirkels algebraïsch op te lossen. subs y=x+2 in de 2e formule: x 2 +x 2 =8.. x=2 of -2 en dus invullen y=4 of 0. c) Leg uit dat het niet verwonderlijk is dat indien men een cirkelformule van een andere cirkelformule aftrekt, er altijd een lineair verband tussen x en y overblijft en dat hiermee de snijpunten gevonden kunnen worden middels substitutie. Je elimineert de kwadraten van x en y. Dus blijft er een betrekking over met termen x en y van de eerste graad. Na substitutie in één van de cirkels, vind je de snijpunten. 3. (2,2,3,4,3,3p) Sterfgevallen In de USA is een onderzoek gedaan naar het aantal sterfgevallen s per inwoners voor een aantal leeftijden l. In de grafiek hieronder is log (s) uitgezet tegen de leeftijd l. a) Bij de leeftijd van 10 jaar is punt P getekend. Welke waarde van s hoort hierbij? Aflezen: log(s)=1,7 of 1,6 dus s=10 1, tot b) Bereken het aantal sterfgevallen per inwoners bij de twintigjarigen. Idem: aflezen: 2,4 of 2,5. dus 10 2,4 ca 251 tot c) Welk percentage van de pasgeboren baby's sterft binnen een jaar? Weer aflezen: bij leeftijd =0, log(s)=4. dus sterfgevallen per is dus 10% d) Tussen l=30 en l=90 is ene rechte lijn getekend. Neem de punten (30; 2,3) en (90; 4,7) De formules luistert naar log( s) a l b. met l als variabele. Bereken a en b. (1) dus rc=0,04 (ga na) dus a=0,04 (2) y=0,04x + b. door 30, 2.3 levert: b=1,1 e) l Herschrijf de formule in de vorm: s b g Geef b en g in drie decimalen nauwkeurig.

7 log( s) 0, 04l 1.1 s (10 ) ) l 1,1 dus b= en g=1.096 f) Voor inwoners van Canada geldt voor hetzelfde lijntraject met l tussen 30 en 90 de formule: s = 4,8 * 1,109 l. Bereken hiermee bij welke leeftijd het aantal sterfgevallen per inwoners in de VS en Canada gelijk zijn. Rond af op helen. dus vergelijk je 4,8*1,109 t met 12,6*1,09 of vergelijk log(s)=tlog1,09647)+1.1 met log(s) = tlog(1,109) + 0,68 levert t=85,109, dus (3,3,3,3,2,1p) Losse functie-vragen: 4 Gegeven f ( x) (2x 1) 6. a) Geef domein en bereik van deze functie domein R of <<-,->>, bereik <<-,6] b) Los de vergelijking f(x)=-10 algebraïsch op. (1) -(2x-1) 4 +6=-10 (2) (2x-1) 4 = 16 (3) 2x-1=2 of -2! dus x=1,5 of x=-0,5 c) Op de grafiek van f laat men een translatie (-1,-4) los waarna vermenigvuldigd wordt t.o.v. de x-as met een factor -0,5. Geef de beeldformule? Dus 1 naar links en 4 naar beneden: -(2(x+1)-1) 4 +2=-(2x+1) 4 +2 en dan x -0,5: 0,5(2x+1) log(2x 5) log( x 5) d) Los algebraïsch op: log 2 log(2x 5) log( x 5) log log( x 5) 2x 5 8 x 5 8 (2x 5)( x 5) 2x 5 2 2x 5x 33 0 abc... x=5,5 en -3. e) Schrijf als N=b*g t : 2t 3log( N) 2,4 3log( N) 2,4 2t log( N) 0, ,8 2t 2 3 0,8 t 3 N 10 N=10 10 t f) Van een grote partij tomaten is van enkele exemplaren de diameter en het volume gemeten. diam vol Volgens de onderzoekers moet het Volume V evenredig zijn met een macht van diameter D volgens het model: V=aD m Bereken met behulp van de tabel de waarden van a en m. (1) Neem 5,5 en 2,8: 5,5=a*2,8 m (2) Neem 36 en 5,2 36=a*5,2 m. (3) Los op: a=5,5/2,8 m en a=36/5,2 m (4) in GRM: x=3.034: dus m=3,034 en Y=0,24 (5) Dus model: V=0,2416 * D 3,034

8