VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

Transcriptie

1 VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Populatemodelle e ormaal verdeelde populates. Werktekst voor de leerlg Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vacaudeberg

2 . Het gemddelde va kasmodelle.... Het gemddelde va dscrete kasmodelle..... Ee eerljke dobbelstee..... De rode dobbelstee Algemee defte Het gemddelde va cotue kasmodelle Algemee defte De uforme dchthed op [ 0 ; ] De dchthed f(x)=x op [ 0 ; ] De stadaardafwjkg va kasmodelle De stadaardafwjkg va dscrete kasmodelle De stadaardafwjkg va cotue kasmodelle Populatemodelle Populateparameters Notateafspraak.... Cetrum, spredg e vorm... Cetrum voor Statstek

3 . Het gemddelde va kasmodelle Ee kasmodel zegt op welke maer getalle tot jou kome - I het dscrete geval vertelt ee kasmodel je welke utkomste er allemaal mogeljk zj e met welke kas zj optrede. - I het cotue geval wordt de verzamelg va alle mogeljke utkomste aagedud door ee terval. Daar hoort ee dchthedsfucte bj de je toelaat om voor alle mogeljke deeltervalle de kas te berekee om daar terecht te kome. Over het gemddelde va ee kasmodel X ka je als volgt adeke. Stel je voor dat je heel veel kere (ee oedg aatal keer) het kasmodel X gebrukt om ee getal te geerere. Wat zou da het gemddelde va al de getalle zj? Wat verwacht je? Het gemddelde dat je verwacht wordt ook verwachtgswaarde geoemd. Het Egelse woord voor verwachtg s expectato e het s de E va Expectato de als afkortg wordt gebrukt. Het gemddelde of de verwachtgswaarde va het kasmodel X wordt geoteerd door EX ( ). Het gemddelde va ee kasmodel s ee vast getal. Het s ee kemerk voor het cetrum va dat model. Va zodra je het model ket zou je dus ook dat kemerk moete kue bepale, zelfs zoder dat je eerst getalle door dat model hebt late geerere. Kjk hoe dat gaat. Cetrum voor Statstek

4 . Het gemddelde va dscrete kasmodelle.. Ee eerljke dobbelstee Dek aa het model X voor ee eerljke dobbelstee. Je ka dat voorstelle door ee vaas of door ee staafdagram of met ee tabel. De zet er als volgt ut. x P(X=x) Als je deze dobbelstee heel veel kere zou gooe, bjvoorbeeld mljoe keer, da verwacht je dat je ogeveer mljoe keer ee, ogeveer mljoe keer ee, ez. zal hebbe. Als je da het gemddelde zou make va de mljoe getalle da zou je vde: ogeveer mljoe keer ogeveer mljoe keer ogeveer mljoe keer 3... mljoe ogeveer mljoe ogeveer mljoe ogeveer mljoe 3... mljoe mljoe mljoe ogeveer ogeveer ogeveer 3... Als je og veel meer kere zou gooe da zal ogeveer dchter e dchter aar de kas adere e er utedeljk mee samevalle. Het gemddelde va ee eerljke dobbelstee (wat je als gemddelde verwacht te vde als je oedg keer zou kue gooe) s dus geljk aa EX ( ) Als je dt utreket vd je dat EX ( ) 3.5. Cetrum voor Statstek

5 .. De rode dobbelstee Het kasmodel va de rode dobbelstee zet er als volgt ut. x 3 P(X=x) 3 Opdracht Stel je u voor dat je met deze dobbelstee heel veel kere zou gooe e da het gemddelde berekee va de gevode getalle. Gebruk ee redeerg zoals herbove e beg met te oderstelle dat je mljoe keer zou gooe. Too aa hoe je da verder moet redeere om aa het echte gemddelde va de rode dobbelstee te kome. Bereke teslotte dat gemddelde. Ht voor de leerkracht. De mogeljke utkomste zj {, 3, } maar de kome et allemaal met dezelfde kas voor. Bj ee eerljke dobbelstee verwacht je dat elk getal ogeveer eveveel kere voorkomt, maar wat verwacht je her? Als je her mljoe keer goot zal je ogeveer 3 mljoe keer ee hebbe, ogeveer mljoe keer ee 3 e ogeveer mljoe keer ee. Het gemddelde va de mljoe getalle zal er als volgt utze: mljoe ogeveer 3 mljoe keer ogeveer mljoe keer 3 ogeveer mljoe keer ogeveer 3 mljoe ogeveer mljoe ogeveer mljoe 3 mljoe mljoe mljoe 3 ogeveer ogeveer 3 ogeveer 3 Als je og veel meer kere zou gooe da zal ogeveer dchter e dchter aar 3 adere e er utedeljk mee samevalle. Op dezelfde maer adert ogeveer aar e ogeveer aar. Het gemddelde va de rode dobbelstee (wat je als gemddelde verwacht te vde als je oedg keer zou kue gooe) s dus geljk aa geljk aa EX ( ) 3 3 zodat EX ( ).5. Cetrum voor Statstek 3

6 .3. Algemee defte Als je goed aar de twee voorgaade voorbeelde kjkt da ka je daar ee algemee structuur otdekke. De formule voor het gemddelde EX ( ) va ee kasmodel X zet er ut als ee som. I de som kome alle mogeljke utkomste éé keer voor. Maar zj staa daar et zomaar. Zj worde vermegvuldgd met ee getal. I de wskude spreekt me da soms over gewchte e over ee gewoge som. Het s alsof je elke utkomst ee gewchtje geeft waarmee het de som moet voorkome. Het gemddelde EX ( ) va ee dscreet kasmodel X s ee gewoge som va utkomste. Het gewcht dat je aa ee bepaalde utkomst geeft s de kas va de utkomst. Als ee utkomst met ee grotere kas voorkomt da krjgt de utkomst ee groter gewcht. Voor de rode dobbelstee heb je: 3 EX ( ) 3 P( X ) 3 P( X 3) P( X ) Als je de dre mogeljke utkomste va de rode dobbelstee met ee algemee otate voorstelt door x, x e x 3, da ka je dat gemddelde schrjve als: E( X ) P( X ) 3 P( X 3) P( X ) of E( X ) x P( X x ) x P( X x ) x P( X x ) 3 3 I woorde zeg je dat het gemddelde va ee dscreet kasmodel geljk s aa de som va de utkomste maal hu kase. Voor ee algemee dscreet kasmodel X met utkomste x (dus met utkomste va de vorm x, x,, x,, x ) wordt het gemddelde gegeve door E( X ) x PX x x PX x... x PX x of korter E( X ) x P X x Cetrum voor Statstek 4

7 Opdracht Wat s het verschl tusse het gemddelde va ee kasmodel X e het gemddelde va 400 utkomste de door dat kasmodel X zj gegeereerd? Om dat te oderzoeke gebruk je het model X va de rode dobbelstee. Schrjf de frequetes va de 400 getalle de je vroeger hebt gevode ( opdracht va de werktekst De wereld va de kasmodelle ) over oderstaade tabel. Bereke da het gemddelde va de 400 getalle. Herer je va vroeger dat het gemddelde va getalle voorgesteld wordt door x. utkomst x 3 frequete f M o g e ljke oplossg: x utkomst x frequete f Wat heb jj gevode voor x e wat was je utkomst voor EX ( )? Kjk u wat je medeleerlge gevode hebbe voor x e voor EX ( ). Vat dt same oderstaade tabel (bjvoorbeeld voor 5 leerlge). EX ( ) x leerlg leerlg leerlg 3 leerlg 4 leerlg 5 Welk belagrjk verschl tusse x e EX ( ) heb je u otdekt? Is het gemddelde EX ( ) ee vast getal of s EX ( ) aa het toeval oderhevg? Is dat ook zo voor x? E(X) s ee vast getal omdat het gemddelde va het kasmodel X opgebouwd s ut ee som va gewoge getalle waarbj zowel de getalle als de gewchte vast zj (et oderhevg aa het toeval wat ze zj volledg bepaald door het kasmodel X ). Het gemddelde x va 400 getalle de door X gegeereerd worde zal heel waarschjljk veradere waeer je og ees 400 getalle door X laat geerere, wat dat zulle et dezelfde 400 getalle zj. De zj wel aa het toeval oderhevg. Cetrum voor Statstek 5

8 3. Het gemddelde va cotue kasmodelle 3.. Algemee defte Voor cotue kasmodelle moet je wskudge techeke voor dscrete getalle overzette aar wskudge techeke voor ee cotuüm. I plaats va de utkomste x te vermegvuldge met hu bjhorede kas P( X x) moet je u de waarde x vermegvuldge met de dchthedsfucte f( x ). E plaats va te sommere moet je u tegrere. Dat wordt dus E( X ) x f ( x) dx De bepaalde tegraal ka je prcpe altjd late lope va tot + wat je ka elke dchthedsfucte utgebred defëre over de volledge getalleas. Als je ee model hebt dat ekel leeft op het terval [ 0 ; ] da ka je evegoed schrjve dat het gemddelde va dat model geljk s aa aa ul voor alle x-waarde bute het terval [ 0 ; ]. E( X ) x f ( x) dx wat de fucte f( x ) s da toch geljk Ht voor de leerkracht Als je leerlge et geleerd hebbe om met tegrale te werke s dat gee probleem. Alles wat we odg hebbe voere we ut met de GRM. 3.. De uforme dchthed op [ 0 ; ] 0 Het cotue kasmodel voor lukraak trekke ut het terval [ 0 ; ] heeft als dchthedsfucte f(x) = voor 0 x (ze fguur ). Fguur Als je met dt model werkt, wat verwacht je da gemddeld ut te kome? Herer je dat alle deeltervalle va geljke legte geljkwaardg zj e dat je daar met dezelfde kas terechtkomt. Bj heel veel trekkge verwacht je dus getalle va alle soorte, zowel dcht bj ul als het mdde als dcht bj éé. Het gemddelde va heel veel dergeljke getalle zal da mssche wel het mdde va het terval [ 0 ; ] lgge? Het echte gemddelde EX ( ) va dt uforme kasmodel X ka je eevoudg berekee met je GRM. Kjk daarbj goed aar de defte va het gemddelde va ee cotu kasmodel. I dt voorbeeld moet je ee tegraal utrekee de loopt va 0 tot e de fucte de je moet tegrere s volges de algemee defte altjd geljk aa x f ( x). Je moet daarbj de juste dchthed f( x ) vulle. Her s f( x) zodat x f ( x) her gewoo geljk s aa x. Het gemddelde va de uforme op [ 0 ; ] s dus geljk aa bereke je u met je GRM. Opdracht 3 E( X ) Druk, loop aar 9:fIt( e druk. Vul zoals aagegeve e druk. De waarde va de tegraal s geljk aa 0.5. Dus s EX ( ) 0.5 voor het kasmodel X waarbj je lukraak trekt ut [ 0 ; ]. x dx. Dt gemddelde 0 Cetrum voor Statstek

9 3.3. De dchthed f(x)=x op [ 0 ; ] Opdracht 4 Werk met het kasmodel X waarva de dchthedsfucte gegeve s door f ( x) x, 0 x. Kjk goed aar de grafek va de dchthed (fguur ) e doe da ee gok aar wat het gemddelde EX ( ) her zou kue zj. Motveer je atwoord. De grafek va de dchthed toot dat er veel meer kas s om gebede dcht bj te valle da gebede dcht bj ul. Als gemddelde verwacht je dus et het mdde (ameljk /) va het volledge terval, maar ee waarde de meer aar rechts lgt. Mssche s EX ( ) wel geljk aa /3. Bereke EX ( ) met je GRM. Fguur o Schrjf eerst de algemee formule voor het gemddelde va ee cotu kasmodel: EX ( ) Volges de algemee formule s voor ee cotu kasmodel E( X ) x f x dx o Vul de algemee formule de juste dchthedsfucte waarmee je her moet werke (let ook op de greze va de tegraal): EX ( ) E( X ) x x dx x dx I dt voorbeeld wordt dat 0 0 o Om het gemddelde te kee moet je de tegraal berekee. Doe dat met je GRM zoals je dat opdracht 3 gedaa hebt. Vul da de oderstaade utspraak : Het kasmodel X met dchthedsfucte f ( x) x, 0 x heeft ee gemddelde dat geljk s aa EX ( )... Oplossg: EX ( ) Cetrum voor Statstek 7

10 4. De stadaardafwjkg va kasmodelle Bj ee statstsche stude zj de getalle de je observeert aa het toeval oderhevg. Maar toeval s helemaal et geljk aa wllekeur. Het kasmodel bepaalt op welke maer je de toevallge getalle te ze krjgt. De maer waarop ee kasmodel X de getalle rod het gemddelde EX ( ) laat valle ka ogal verschlled zj. Sommge kasmodelle zorge ervoor dat de meeste getalle dcht bj het cetrum EX ( ) terechtkome. Bj adere kasmodelle kome de getalle met ee veel grotere spredg rod het gemddelde terecht. De stadaardafwjkg s ee maat voor de spredg rod EX ( ). De stadaardafwjkg va ee kasmodel X s ee vast getal, geoteerd door sd X. De afkortg komt va het Egelse stadard devato. De stadaardafwjkg va ee kasmodel s, just zoals de verwachtgswaarde, ee modelegeschap. Het s ee vast getal. Als je het model ket da ka je de stadaardafwjkg berekee, je hebt daarvoor gee observategetalle odg. 4.. De stadaardafwjkg va dscrete kasmodelle Het kasmodel va de rode dobbelstee staat heroder. x 3 P(X=x) 3 Het gemddelde va dt model heb je al bereked, dat s EX ( ).5. Ee maat voor de spredg waarmee de utkomste, 3 e rod het gemddelde.5 valle bereke je als volgt. Beg met de eerste bouwstee. Dat s het kwadraat va de afwjkg va elke mogeljke utkomst tot aa het gemddelde. Her s dat.5, 3.5 e.5. Daara maak je de som va de kwadratsche afwjkge. Net zomaar ee som, maar ee gewoge som. Utkomste de met grotere kas voorkome krjge bj hu kwadratsche afwjkg ee groter gewcht. Dat gewcht s, zoals vroeger, de bjhorede kas. Het model zegt dat de utkomst met kas 3 voorkomt. Dus moet je.5 met vermegvuldge. Alles same krjg je da Cetrum voor Statstek 8

11 De gewoge som oem je de varate va het model X, geoteerd als var( X ). Voor de rode 3 dobbelstee s var( X ) De stadaardafwjkg s de posteve verkatswortel ut de varate. Dat s her sd( X ) Je hebt zopas stap voor stap de formule opgebouwd voor de stadaardafwjkg va de rode dobbelstee. Het s et moeljk om u over te stappe op de algemee otate bj dscrete kasmodelle, waar de utkomste door x e de kase door P( X x) worde voorgesteld. Let er herbj op dat je het gemddelde.5 vervagt door de algemee otate voor het gemddelde EX ( ). Voor de varate heb je da: var( X ) x E( X ) P( X x )... x E( X ) P( X x )... x E( X ) P( X x ) of korter var( X ) x E( X ) P( X x ) De stadaardafwjkg va ee dscreet kasmodel X s geljk aa sd( X ) var( X ) x E( X ) P( X x ) Opdracht 5 Het kasmodel X heeft maar mogeljke utkomste: 0 (= mslukkg) of (= succes). De bjhorede kasverdelg ze je heroder. x 0 P(X=x) Zoek het gemddelde E( X ) x P X x x P X x x P X x.. Oplossg: EX ( ) 0 (0.4) (0.) 0. Pas de formule voor de stadaardafwjkg aa voor dt voorbeeld (zoals herbove ook gedaa s voor het gemddelde). Vul da de waarde e gebruk je GRM om de utkomst te berekee. Dt levert: sd( X ) = Oplossg: sd( X ) x E( X ) P( X x ) x E( X ) P( X x ) Cetrum voor Statstek 9

12 4.. De stadaardafwjkg va cotue kasmodelle Bj cotue modelle moet je terug overstappe va dscrete wskudetecheke op cotue wskudetecheke, just zoals je dat bj de verwachtgswaarde hebt gedaa. De eerste bouwstee s terug de kwadratsche afwjkg va de waarde x tot aa het gemddelde EX ( ). Dat s dus x E( X ). Deze utdrukkg moet je u vermegvuldge met de dchthedsfucte f( x) e plaats va te sommere moet je u tegrere. var( X ) x E( X ) f ( x) dx. Voor cotue kasmodelle geldt dat De stadaardafwjkg va ee cotu kasmodel X s geljk aa sd( X ) var( X ) x E( X ) f ( x) dx Voor het kasmodel X met dchthed f ( x) x, 0 x heb je bereked dat vult de algemee formule da krjg je voor de varate va X dat EX ( ). Als je dt Deze varate bereke je u met je var( X ) x E( X ) f ( x) dx x ( x) dx GRM. Daara trek je de posteve verkatswortel om de stadaardafwjkg te vde. Opdracht Je weet u al hoe je tegrale met de GRM bereket. Zoek var( X ) x ( x) dx 3. 0 Vul : het kasmodel X met dchthed f ( x) x, 0 x heeft ee varate de geljk s aa var X ee stadaardafwjkg de geljk s aa sd X var Oplossg: X e sd X Cetrum voor Statstek 0

13 stadaardafwjkg gemddelde Statstek voor het secudar oderwjs 5. Populatemodelle 5.. Populateparameters Je hebt geleerd dat voor elk kasmodel X het gemddelde geoteerd wordt als EX ( ) de stadaardafwjkg geoteerd wordt als sd( X ) [ e de varate als var( X ) ]. Als het kasmodel X ee populatemodel s, da gebruk je ee specale otate. Het gemddelde EX ( ) va ee populate X stel je voor als (Grekse letter mu) De stadaardafwjkg sd( X ) va ee populate X stel je voor als (Grekse letter sgma) I het kader va statstsche studes maak je ee dudeljk odersched tusse ee populate e ee steekproef. Om goed te ze dat het over ee populate gaat gebruk je de specale otate. Als je erges zet staa da weet je dat het gaat over het gemddelde va de populate de dat oderzoek wordt bestudeerd. Als je tegekomt da gaat het over de stadaardafwjkg va de populate. Het gaat dus altjd over de bestudeerde populate, of de u de aam X of Y of Z heeft. Het gemddelde va ee populate oem je altjd e de stadaardafwjkg altjd. Het populategemddelde e de populatestadaardafwjkg hete populateparameters. 5.. Notateafspraak algemee kasmodel X populatemodel X dscreet E( X ) x P X x x P X x cotu E( X ) x f ( x) dx x f ( x) dx dscreet sd( X ) x ( ) E X P( X x) x P( X x ) cotu sd( X ) x E( X ) f ( x) dx x ( ) f x dx Cetrum voor Statstek

14 . Cetrum, spredg e vorm Sommge egeschappe va kasmodelle ka je weergeve met ee getal. Dat s zo voor het gemddelde EX ( ) e voor de stadaardafwjkg sd( X ). Maar je moet ook altjd aar de globale vorm kjke. Om te bege kjk je aar symmetre e scheefhed bj curve met éé top. Daara ka je evetueel adere egeaardge patroe otdekke zoals verschllede toppe ez. Ee symmetrsche dchthedsfucte. Ee dchthedsfucte de scheef aar lks s. Ee dchthedsfucte de scheef aar rechts s. Cetrum voor Statstek