Snel, sneller, snelst: statistiek en 1500 m schaatsen

Transcriptie

1 Oot moet het toch echt et meer seller kue, zou je zegge. Door techsche verbeterge (overdekte bae, euwe schaatspakke, klapschaatse, ezovoort) worde steeds sellere tjde gerealseerd. Maar zelfs als deze vloede erut geflterd worde s het ed og et zcht. Ruud Kog laat de extreme waarde theore los op schaatstjde e voorspelt og veel scherpere wereldrecords. Sel, seller, selst: statstek e 500 m schaatse Iledg Ctus, Altus, Fortus: seller, hoger, sterker. Iederee ket dt motto va het Iteratoaal Olympsch Comté. Toch roept het metee ee vraag op: kue we egeljk wel seller gaa da vorg jaar? Hoe vaak zj records og te verbetere? Per slot va rekeg zj er greze aa de atletsche vermoges va mese! Toch s het mogeljk gebleke om regelmatg wereldrecords te verbetere. De belagrjkste rede hervoor s de techologsche voorutgag: sportkledg s u beter da vroeger, schoesel s verbeterd, de klapschaats s beter da de oude Noor, trags- e voedgsmethode zj verbeterd e dopg s verbeterd (deze laatste vorm va techsche voorutgag s overges et toegestaa). Het bljkt dat de wskude ets heeft te vertelle over de frequete va recordverbeterge. Het verwachte aatal records eemt slechts lagzaam toe met het aatal eveemete, dus als ee sport ege tjd bestaat zj er weg recordverbeterge meer te verwachte. Verder bljkt dat de statstek ook ets beked s over hoe extreme zch gedrage, dus we kue et allee utsprake doe over het aatal records, maar ook over recordtjde. Deze aalyses zj echter allee toepasbaar op ee statoare stuate, waar dus ets veradert. Gelukkg s er sprake va voorutgag, dus de loop va de tjd s me seller gaa lope, schaatse, ezovoort. Dt s elk geval dudeljk zchtbaar het ledede voorbeeld va dt artkel: de toptjde va 500 m schaatseveemete (mae). Bovede maakt het ogal wat ut voor de tjd of er wordt geschaatst op hoogte Salt Lake Cty, of op het schuurpaperjs va Albertvlle. Hermee bljke we rekeg te kue houde, e we kue de effecte va schaatse op hoogte, techsche voorutgag e toeroo-effecte va elkaar schede. Zo s het mogeljk om toch ets te zegge over de kas dat de.43:95 va Parra bekort weer ut de boeke verdwjt als modale toptjd. Hoeveel records zj te verwachte? Vaak worde sportprestates gemodelleerd als toevalsvarabele. Dat s ook wel redeljk, wat emad s staat om op determstsche wjze aa te geve hoe hard de selste loper tjdes ee bepaald eveemet zal lope of hoe scherp de wede tjd op de Olympsche 500 m zal zj. Iederee de wel ees aa sport doet weet dat het op de ee dag u eemaal beter gaat da op de adere! Als we sportprestates beschrjve met behulp va toevalsvarabele, doe we dat soort determstsche utsprake et. Wel probere we bjvoorbeeld de kasverdelg va wede tjde te bepale of de kas dat ee bestaad record wordt verbeterd. Hoeveel euwe records kue we egeljk verwachte als er meer eveemete (of metge) plaatsvde? Om de gedachte te bepale kjke we aar de 500 m schaatstjde, waarbj we voor het gemak et doe alsof elke schaatser allee schaatst. Naarmate er meer schaatsers de afstad hebbe afgelegd, zal de selste tjd scherper kome te staa. De eerste schaatser heeft atuurljk eve de selste tjd hade. Het verwachte aatal records bj éé metg s dus éé. Voor de tweede schaatser zj er twee mogeljkhede: hj s seller da de eerste schaatser of hj s dat et. Als hj seller s, s er sprake va ee recordverbeterg e s het aatal records twee. Als we u aaeme dat de schaatstjde oderlg oafhakeljke trekkge zj ut ee deteke verdelg, da bljkt dat het aatal records R metge de volgede verwachtg e varate heeft: E R = -- () = var R = (2) 2 = Deze verwachtg e varate zj oafhakeljk va de verdelg va de schaatstjde zelf. Ee ets precezere formulerg va dt resultaat e het bewjs staat de Appedx. Veel formate over de kasverdelg va het aatal recordverbeterge staat Glck (978). Als het Neuwe Wskrat 22-4/ju

2 aatal metge groot s, kue we de verwachtg e varate eevoudg beadere. Aageze -- l = = s de costate va Euler) e = E R l (3) 2 var R l (4) 6 Dt s ee sombere boodschap voor topsporters. Het aatal records groet slechts logartmsch met het aatal pogge! Verdubbelg va het aatal schaatseveemete zou, aar verwachtg, slechts lede tot 0.7 ( l 2) euwe records. Gelukkg ze we de praktjk dat records regelmatg worde verbeterd. De aaame dat de tjde deteke kasverdelge volge s et erg realstsch. De kasverdelg va extreme Het s et allee mogeljk om ets te zegge over de frequete va records, maar ook over de scherpte va de records! De statstsche theore de dt allemaal behadelt staat beked oder de aam extreme value theory. I zekere z s deze theore vergeljkbaar met de cetrale lmetstellg. Stelt u zch voor dat we va ee aatal oderlg oafhakeljke metge ut ee deteke verdelg het gemddelde berekee. I dat geval volgt dat gemddelde ee ormale verdelg als het aatal waaremge maar groot geoeg s. Iets precezer geformuleerd: als T,, T oderlg oafhakeljk verdeelde toevalsvarabele zj ut ee verdelg met verwachtg e varate 2, da geldt, als het aatal waaremge groot geoeg s: (T ) ~ N (0, 2 ). De afwjkge va het steekproefgemddelde rod het populategemddelde volgt ee ormale verdelg, als de afwjkg temste wordt geschaald met ee factor. Bestaa er u ook dergeljke lmetstellge voor het maxmum va ee reeks toevalsvarabele, waarbj we het steekproefmaxmum cetrere e mssche schale? Het atwoord op de vraag s, merkwaardg geoeg, bevestged. Als we bjvoorbeeld ees aaeme dat de T s ee expoetële verdelg volge, met parameter (dus Pr(T t) = exp (-t)). Het s et erg teressat om aar de kasverdelg va M = max(t,,t ) te kjke voor toeemede : het maxmum zal groter e groter worde. Is het da wel mogeljk om ets te zegge over de kasverdelg va het maxmum als we va dat maxmum ets aftrekke? Dat s derdaad het geval, e her s l ee goede keuze: Pr(M l x) = Pr(M x+l ) = Pr(T x + l,, T x +l ) = Pr(T x + l ) = ( exp( l )exp( x)) = -- exp x exp exp x. Net zoals het geval s bj de cetrale lmetstellg heeft het maxmum ee welgedefeerde kasverdelg, mts het maxmum goed geormalseerd s. De kasverdelg dt geval s de Gumbel-verdelg. Het bovestaade voorbeeld s eevoudg, omdat de kasverdelg va T eevoudg s. Echter, er bestaat ee algemeer resultaat: Stellg Als de verdelg va M =max(t,,t ) bestaat, da s de va de vorm -- Pr ---- x M (5) c d x exp = exp exp x""= 0 Oafhakeljk va de kasverdelg va de toevalsvarabele waarut we trekke, heeft het geormalseerde maxmum ee bekede kasverdelg! Deze kasverdelg heet de gegeeralseerde extreme waarde verdelg, omdat hj ee geeralsate s va de dre klasseke extreme waarde verdelge: de Webull-, Gumbel- e Fréchetverdelge. De verdelg waarut we trekke bepaalt atuurljk wel wat we moete gebruke voor c e d. Als de T s ee expoetële verdelg volge, da hebbe we c =, d = l, e = 0. Trekke we ut ee stadaardormale verdelg, da hebbe we l l + l4 c ~ , d ~ e= 0 2 l 2 l 2 2l e kome de gegeves ut ee uforme (0,)-verdelg e hebbe we c = --, d =, e =. I fguur staa de kasdchthede va M als we gegeves hebbe de ormaal verdeeld zj. Dudeljk s dat de kasverdelg va het maxmum verder aar rechts lgt als de steekproef groter s. Dat s et zo verbazgwekked. Verder s spredg va de kasverdelg voor = 50 groter da de voor =20. fg. De kasdchthed va het maxmum ut ee ormaal verdeelde populate 22 Sel, seller, selst: statstek e 500 m schaatse

3 Deze stellg s butegewoo belagrjk. De hoogte va de Delta-werke s erop gebaseerd (ze De Haa, 990), bake bepale zo hu reserves e de stellg vormt de bass voor het verzekere va grote rampe, zoals ee orkaa het zude va de Veregde State. Echter, ook de capactet va bjvoorbeeld het telefooetwerk wordt op bass va deze stellg bepaald: per slot va rekeg wl je graag dat met grote kas aa de maxmale belastg voldaa ka worde, e et de gemddelde belastg! De theore aa het werk I deze paragraaf zulle we de theore va extreme llustrere aa de had va de otwkkelg va toptjde op de 500 m. De voorutgag va het wereldrecord op deze afstad staat grafsch weergegeve fguur 2. Het eerste offcële wereldrecord werd geschaatst op jauar 893 door Jaap Ede op de atuurjsbaa Groge. Zj tjd toe was 2.35, metge va tede of hoderdste va secode ware og et mogeljk. Het hudge wereldrecord staat op.43:95 e s tjdes de Olympsche Spele va Salt Lake Cty geschaatst door Derek Parra. Uteraard zj de omstadghede sds 893 veraderd: de schaatse zj verbeterd, de pakke zj verbeterd, het js s beter, de tragsmethode zj voorutgegaa, e topprestates kue tegewoordg worde geleverd doorbae op hoogte. Kortom, de kasverdelg va toptjde 893 s verschlled va de va toptjde ao fg. 3 De verdelg va 500 m tjde per sezoe Allereerst ze we fguur 3 dat de toptjde (de staafjes aa de lkerkat va de doos) ee lcht dalede tred volge. Dat ka et worde gezegd va de medae tjd (de bolletjes de doos): de gemddelde schaatser s de afgelope vjf sezoee et veel harder gaa schaatse, terwjl het ljkt alsof de selste schaatsers wel ets seller zj gaa schaatse. fg. 4 De verdelg va 500 m schaatstjde per hoogte fg. 2 De otwkkelg va het wereldrecord 500 m Teede het effect va al de factore egzs te kue kwatfcere, moete we eerst meer detal ze hoe de tjde zch hebbe otwkkeld. Voor dt oderzoek gebruke we schaatstjde de zj gerealseerd a de voerg va de klapschaats. De gegevesverzamelg bestaat ut alle tjde gerealseerd tjdes Olympsche Spele, wereldbekerwedstrjde e wereldkampoeschappe afstade sds het sezoe 996/97 2. I de fgure 3 e 4 ze we door mddel va boxplots hoe de verdelg va de tjde zch heeft otwkkeld. Bj de terpretate va de fgure moet et worde vergete dat het sezoe 2002/2003 tjdes het schrjve va dt artkel og bezg was. Het effect va hoogte op schaatstjde ze we fguur 4. Op de vertcale as staat de hoogte va de baa, e voor elke baa s ee boxplot gemaakt va alle tjde de op de baa zj gerealseerd. De bae op 035 m e 423 m sprge er dudeljk ut: dat zj Calgary e Salt Lake Cty. Er ljkt gee groot verschl te zj tusse de tjde de geschaatst worde op de adere bae. Klaarbljkeljk weegt het hoogtevoordeel va de bae Izell (690 m) e Baselga d Pe (000 m) et op tege het fet dat dt butebae zj. Als we de parameters va de extreme waarde verdelg voor schaatstjde wlle schatte, moete we rekeg houde met deze heterogetet: et elke waaremg komt ut dezelfde kasverdelg. Bovede kue we et alle waaremge gebruke, wat de extreme waarde theore gaat over extreme e et over alle waaremge. Om de rede kjke we het oderstaade allee maar aar de vjf selste tjde per eveemet. Teede rekeg te houde met de heterogetet, volge we ee aapak de ecoometrste et vreemd zal Neuwe Wskrat 22-4/ju

4 voorkome. De fgure 3 e 4 suggerere dat de locate va de verdelg va de toptjde vareert over tjd e hoogte. We eme aa dat de varabltet costat s, e dat we de locate kue modellere.we eme aa dat de gemete toptjde de volgede kasverdelg volge: -- t exp Pr (T t) = exp exp t 0 = 0 + H+ 2 D + 3 O + 4 S98/ S99/ S0/ S02/03 De parameter va de extreme waarde verdelg hagt af va de omstadghede waaroder de tjd werd gerealseerd: het sezoe (S98/99 tot e met S02/03), de baahoogte H e het toeroo (D e O). Zo s de voor ee wedstrjd de op hoogte s geschaatst, gee Wereldkampoeschappe afstade of Olympsche Spele, het sezoe 2000/0, geljk aa Dezelfde wedstrjd éé sezoe later heeft ee geljk aa Op deze wjze late we toe dat toptjde varëre per sezoe. De effecte staa vermeld de tabel heroder. hoogte afstade olympsch s98/99 s99/00 s00/0 s0/02 s02/03 Schattgsresultate schattg stdfout We ze de tabel dat de waarde va voor ee wereldbekerwedstrjd op ee laagladbaa 0.3 s. Tjdes specale toerooe wordt harder geschaatst: deze parameter daalt met 0.76 als het ee wereldkampoeschap afstade betreft, e met.26 als het om de Olympsche Spele gaat. I de tabel ze we verder dat schaatse op hoogte ledt tot dudeljk lagere tjde, e dat elk sezoe gemddeld geome seller wordt geschaatst da het refereteput 996/97. Grafsch worde de resultate weergegeve fguur 5. De meest rechter kasverdelg s de va de wede tjd tjdes ee wereldbekerwedstrjd het sezoe 997/98. De kasverdelg de daar lks va lgt, s de va de wede tjd tjdes eezelfde wedstrjd op ee hoogladbaa. De du gestppelde lj geeft de kasverdelg va ee wede tjd va ee wereldbekerwedstrjd het sezoe 200/02, op ee laagladbaa. Deze verdelg lgt lks va de verdelg ut 997/98, e dat geeft de mate va techsche voorutgag weer. Dt verschl s de grafsche weergave va de fg. 5 De extreme waarde verdelg va 500 m schaatstjde geschatte coëffcët tabel. De meest lker kasverdelg te slotte s de va de wede tjd tjdes ee va de Olympsche Spele, als de wedstrjd op ee hoogladbaa wordt geschaatst. Het hudge wereldrecord va Derek Parra staat aagegeve de fguur, e dudeljk s te ze dat dt ee topprestate was: het s ee tjd ut de lkerstaart va de kasverdelg va toptjde. Hoe groot s u de kas dat het wereldrecord wordt verbeterd? Late we aaeme dat er W wedstrjde per jaar zj de oder dezelfde optmale codtes worde georgaseerd als de Olympsche Spele va Dt zj bjvoorbeeld specale recordwedstrjde, de tjdes slecht weer op hoogte worde gehoude. De kas dat de wede tjd seller s da het hudge wereldrecord s Als we verder aaeme dat er K rjders zj de mogeljk ee euw wereldrecord zoude kue rjde s de kas dat het wereldrecord da wordt gebroke ( 0.006) WK. Redeljke waarde voor W e K zj 2 e 4, e da s de kas op ee verbeterg ogeveer Uteraard s deze kas groter als de kasverdelg va wede tjde verder opschuft aar lks, als gevolg va óg betere pakke, schaatse, ezovoort. I elk geval geeft de statstsche aapak deze paragraaf aa dat de gres va wereldrecords op de 500 m og et s berekt: de verdelg va wede tjde s et costat de loop va de tjd, e de sombere cocluse dat het aatal records slechts logartmsch met het aatal pogge toeeemt, gaat et op. Cocluses I dt artkel hebbe we met behulp va statstek beargumeteerd dat de gres va de mogeljkhede op de 500 m schaatse og et zcht s. Va jaar tot jaar verbetere de schaatsers zch, e oder ee deale costellate va factore s het zeker mogeljk om het hudge record scherper te stelle. De techek de gebrukt s, s extreme waarde theore. Dt s ee va de modere stukke wskudg gereedschap dat wordt gebrukt bj met ame de aalyse va facële gegeves. Modelle waar 24 Sel, seller, selst: statstek e 500 m schaatse

5 de varabltet va facële gegeves wordt gemodelleerd, worde ook meer e meer gebrukt bj het maagemet va bake, verzekeraars e pesoefodse. Ruud Kog, Vakgroep Ecoometre, Fac. der Eco. Weteschappe, Postbus 800, 9700 AV Groge. emal: r.h.kog@eco.rug.l; Ik bedak Elea va der Velde voor commetaar e Jeroe Hejmas voor het beschkbaar stelle va de gegeves. Lteratuur Coles, S. (200). A troducto to statstcal modelg of extreme values. Hedelberg: Sprger. Haa, L. de (990). Fghtg the arch-eemy wth mathematcs. Statstca eerladca 44, Glck, N. (978). Breakg records ad breakg boards. Amerca mathematcal mothly, 85(), Note [] Ee toegakeljke ledg tot deze theore s Coles, 200. [2] De gegeves zj beschkbaar gesteld door Jeroe Hejmas, ze: ~speedskatg/ Appedx Stellg 2 Laat T,,T oderlg oafhakeljke toevalsvarabele zj, de allemaal dezelfde kasverdelg hebbe. De verwachtg e varate va het aatal records R deze reeks zj: E R = -- (6) = var R = (7) 2 = Het bewjs va deze stellg s verrassed eevoudg. Laat Y aageve of de laatste waaremg de grootste s: ""alsx = maxx X Y = { 0""aders Y geeft dus aa of de laatste waaremg ee recordverbeterg s. We wete atuurljk et welke va de waaremge de grootste s, dus de kas dat de laatste dat s, s /. De verwachtg va Y s da: E Y = Pr(Y =) + 0 Pr(Y = 0) = -- = --. Het aatal records ee reeks va waaremge s geljk aa de som va het aatal recordverbeterge: R = = Y e dus s het verwachte aatal recordverbeterge de reeks: E R = EY = --. = = Verder zj Y e Y j ogecorreleerd (eem < j). Dat beteket dat E (Y Y j ) = E(Y ) E(Y j ). Dt volgt ut: E(Y Y j ) = Pr(Y = e Y j =) = Pr(X = max(x,, X ) e X j = max(x,, X j )) = Pr(X = max(x,, X ) < max(x +,, X j )=X j ) = Pr(X = max(x,, X )) Pr(max(X,, X ) < max(x +,, X j )) Pr(X j =max(x +,, X j )) j = = j j j = Pr(Y =)Pr(Y j = ) = E(Y ) E(Y j ). De varate va Y s vary = E Y 2 (E Y ) 2 = Omdat Y e Y j ogecorreleerd zj, s de varate va de som geljk aa de som va de varates, e s de varate va R : var R = var Y = = = De kasverdelg va R s lastg te bepale e hagt af va de kasverdelg va X. Uteraard kue we aaeme dat R bj beaderg ee ormale verdelg volgt met bovestaade verwachtg e varate. Het s et moeljk om met ee smulatestude a te gaa wat de kwaltet va de beaderg s. 2 Neuwe Wskrat 22-4/ju