2 Financieel rekenen

Transcriptie

1 Noordhoff Utgevers bv 13 Faceel rekee.1 Iledg. Hoofdsom, omale e effecteve terest.3 Spare op bass va samegestelde varabele terest.4 Slotwaarde e cotate waarde.5 Meetkudge reekse e auïtete Samevattg Opgave

2 14 Noordhoff Utgevers bv.1 Iledg Rete of terest 1 s tegewoordg ee heel gebrukeljke wjze om de waarde va het gebruk va geld aa te geve. We spare e otvage rete om ets te kue kope waarvoor we og et voldoede geld beschkbaar hebbe. Of, adersom, we lee geld om datzelfde voorwerp te kue kope e zj bered rete te betale over het geleede geld. Iterest otvage of betale s welswaar al heel oud maar og et zo lag gemeegoed. Godsdestge regels verzette zch ertege. Dat gold zowel voor het chrsteljke geloof als het slamtsche geloof. Dat kwam doordat het betale va terest veel gevalle ledde tot woeker. Woeker werd als zode geze e woeker bregt ook vaak het slechte de mes aar bove. I vroegere tjde werde schuldeare ee soort ljfegee va hu leeheer e de stuate veraderde vervolges auweljks doordat de leeheer steeds hoge tereste vroeg. We tegewoordg de actualtet volgt, komt utwasse va hetzelfde soort tege: we kee de woekerpolsaffare, de hoge tereste op (verplcht) af te slute lege (bjvoorbeeld zoals utgegeve door de DSB Bak ). Klate va de bak werde door slechte formateverstrekkg msled tot het aagaa va hypotheeklege combate met overljdesrscoverzekerge e arbedsogeschkthedsverzekerge de vorm va koopsomstortge. Deze persoe krege vaak te hoge laste te opzchte va hu kome e werde herdoor slaaf va de bak. Zelfs het fallssemet va DSB heeft dt et kue kere. De persoe kweste ztte aa hu verplchtge vast. Dt voorbeeld geeft aa dat aa het berekee va terest derdaad rsco s verbode zj. Bj ee juste toepassg s terest echter het smeermddel om ecoomsche actvtet te verkrjge. Ee poteteel succesvolle oderemg ka met ee leg de vesterge doe om just succesvol te worde. Ee huzekoper ka het hus kope met geleed geld e er drect gaa woe plaats va eerst zeg 30 jaar te spare alvores hj het hus ka bewoe. De voorbeelde geve aa dat het verstadg s zch de theore va de terestberekeg, ofwel de facële rekekude, te verdepe alvores me zch ee faceel avotuur stort.. Hoofdsom, omale e effecteve terest We u aa ee bak te lee geeft tege ee terest va 3% op jaarbass, krjgt over 1 jaar 30 aa terest, ameljk 3% va = 30. Laat hj deze 30 op de bak staa e krjgt hj weer 3% op jaarbass, da heeft hj a jaar: 3% va = 30,90. Va deze 30,90 s 30 de terest over de hoofdsom, terwjl de 0,90 de terest over de terest s. Dt systeem va terest over terest heet samegestelde terest. 1 I dt boek wordt het begrp terest gebrukt plaats va het begrp rete. Dt om gee verwarrg te krjge met de adere betekes va rete: ee perodek terugkerede betalg. DSB Bak = Drk Scherga Bak. De DSB s oktober 009 fallet gegaa.

3 Noordhoff Utgevers bv FINANCIEEL REKENEN 15 De hoofdsom s het bedrag va het aavakeljk geleede of utgeleede kaptaal waarbj de evetuele lopede of vervalle terest bute beschouwg wordt gelate. Iterest s de vergoedg voor geleed of utgeleed kaptaal e samegestelde terest s de terest de bereked wordt over zowel de hoofdsom als over de geaccumuleerde terest zelf. We kee ook het begrp ekelvoudge terest, dt s de terest de bereked wordt over utsluted de hoofdsom. I de heravolgede paragrafe wordt de begrppe samegestelde e ekelvoudge terest e omale e effecteve terest verder utgewerkt...1 Spare op bass va samegestelde terest Eerst ets vooraf: het terestpercetage gedeeld door 100 wordt terestperuage geoemd. Als de terest dus 5% per jaar s, da s het terestperuage 0,05 per jaar. De hoofdsom op tjdstp t = 0 wordt aagegeve met K(0). De varabele staat voor het terestperuage per jaar. De terest per jaar wordt samegesteld toegepast (bjvoorbeeld ee spaarrekeg waar tussetjds gee extra geld op wordt gezet, e ook gee geld af wordt gehaald). Na jaar s het kaptaal K() da aagegroed tot: K() = K(0) # (1 + ) [.1] Herbj hoeft et ee gehele waarde te zj maar s wel altjd groter da of geljk aa 0. Voorbeeld.1 Samegestelde terest Iemad zet u ee bedrag va.500 op ee spaarrekeg va ee bak. De terest bedraagt,3% per jaar. Er wordt tussetjds gee geld opgeome va of gestort op deze spaarrekeg, e er wordt gespaard op bass va samegestelde terest. Da heeft deze persoo a 1 jaar spare ee kaptaal ter grootte va:.500 (1 + 0,03) =.500 1,03 =.557,50. Na jaar spare:.500 1,03 =.616,3. Merk op: dt s de a 1 jaar gespaarde.557,50 ogmaals vermegvuldgd met 1,03. Na 3 jaar spare s dt:.500 1,03 3 =.676,498 =.676,50. Afgerod s dt hetzelfde als het kaptaal a jaar (.616,3) vermegvuldgd met 1,03. Na 5 jaar spare s het:.500 1,03 5 = 4.413,98... Spare op bass va ekelvoudge terest Als bove, maar u wordt ekelvoudg toegepast. Na jaar s het kaptaal K() aagegroed tot: K() = K(0) # (1 + # ) [.] Voorbeeld. Ekelvoudge terest Iemad zet u ee bedrag va op ee spaarrekeg. De terest bedraagt 3,4% per jaar. Jaarljks haalt deze persoo echter het bedrag dat hj door de geote terest extra krjgt va deze spaarre keg weg (hj laat het bjvoorbeeld wegboeke aar ee adere rekeg). Zodoede wordt er gespaard op bass va ekelvoudge terest.

4 16 Noordhoff Utgevers bv Na 1 jaar spare heeft deze persoo op deze spaarrekeg da ee kaptaal ter grootte va: ,034 = 1.654,40 (waarva op de spaarrekeg, e 54,40 op bjvoorbeeld de adere rekeg). Na jaar spare heeft deze persoo ee kaptaal ter grootte va: (1 + 0,034) = ,068 = 1.708,80 (waarva op de spaarrekeg, e 54,40 = 108,80 op de adere rekeg). Na 0 jaar spare heeft deze persoo ee kaptaal ter grootte va: ( ,034) = ,68 =.688 (waarva op de spaarrekeg, e 0 54,40 = op de adere rekeg)...3 Nomale e effecteve terest Het s gebrukeljk om terest op jaarbass aa te dude. Echter de terest ka ook over adere perode da ee jaar worde toegeked. Ee bak bereket bjvoorbeeld 1% omale debet terest bj rood staa e bereket de rete per maad. Hermee bedoelt de bak dat zj 1% / 1 = 1% per maad rekeg bregt (va het systeem va samegestelde terest). Stel je staat 500 rood. Na 1 maad be je 1% 500 = 5 aa terest verschuldgd. Na maade wordt dt 500 (1 + 0,01) = 510,05 e a ee jaar 500 1,01 1 = 563,41. Je hebt dus effectef 63,41 / 500 = 1,68% aa rete betaald. Ee terest per perode wordt dus ekelvoudg op jaarbass weergegeve maar samegesteld toegepast. Herbj s de perode altjd korter da ee jaar e vrjwel altjd maade of kwartale. Soms halve jare e soms weke. De omale terest s de terest op jaarbass, waarbj gee rekeg s gehoude met het aatal rekemomete per jaar e de effecteve terest s de terest de daadwerkeljk betaald wordt, rekeg houded met alle rekemomete per jaar. Opmerkge 1 De term omale terest wordt ook gebrukt voor het terestveau gecorrgeerd voor het flatepel. Dat s dus ee geheel adere betekes. Oder effecteve terest wordt ook wel verstaa de totale koste va ee geldleg. Herbj worde ook og de bjkomede koste omgeslage over het geleede bedrag alsof het terest betreft. Zou bovestaad voorbeeld ook og 1,50 per maad aa admstratekoste verschuldgd zj, da komt het totale verschuldgde bedrag op 63, ,50 = 81,41, e wordt er utedeljk (effectef) betaald: 81,41 / 500 = 16,8%. Om het verschl tusse bede vorme aa te geve wordt deze varat de effecteve terest clusef koste geoemd. 3 De effecteve terest clusef koste (Egels: aual percetage rate) s de maat de het meest preces aageeft hoeveel ee leg kost. Deze maat beschermt de cosumet e det ee groot aatal lade (bjvoorbeeld de Veregde State e de EU) verplcht bj ee leg opgegeve te worde. Per jursdcte vareert het da wel weer welke koste meegeome dee te worde. I de EU moet voor lege oder de de gee hypothecare leg zj verplcht de effecteve terest clusef koste vermeld worde...4 Verbad omale e effecteve terest Bj gebruk va formules moete we ook u weer lette op het verschl tusse terest (bjvoorbeeld %) e het bjbehorede terestperuage ( dt

5 Noordhoff Utgevers bv FINANCIEEL REKENEN 17 geval 0,0). Als het omale terestperuage p s (e de omale terest dus p 100%) e de betalgstermje maade zj, da wordt het effecteve terestperuage r (e dus de effecteve terest r 100%) gegeve door: r = (1 + p / 1 ) 1 1 [.3] Ga dt maar a aa de had va het voorbeeld ut subparagraaf..3: De effecteve terest bleek daar 63,41 / 500 = 1,68% te zj. Dt s derdaad (1 + 0,1/1) 1 1 = (1 + 0,01) 1 1 = 1, = 0,1683 = 1,68%. Het wskudge verbad verklaard De begschuld x s a ee jaar aagegroed tot x (1 + p/1) 1. Het verschl tusse beg- e edschuld s da x (1 + p/1) 1 x, ofwel x {(1 + p/1) 1 1}. Da s r = x # ((1 + p/1) 1 1) = (1 + p/1) 1 1 x Ga u zelf a, dat het geval va wekeljkse betalgstermje de volgede formule geldt: r = (1 + p / 5 ) 5 1 Nu ku je ook zelf wel verze wat de formule wordt geval va og weer adere betalgstermje (kwartale, halfjaarljks). Voorbeeld.3 Nomale terest Ee bak bereket 8% omale debet terest bj rood staa e bereket de rete per week. Me betaalt da effectef (1 + 0,08/5) 5 1 = 0,083 = 8,3% aa rete. Iedere schuld s a ee jaar dus gegroed tot schuld..3 Spare op bass va samegestelde varabele terest Ide je spaart bj ee bak, da zal de terest af e toe wjzge. Je krjgt et steeds dezelfde terest. We eme aa dat de terest per jaar mag verschlle maar gedurede het jaar veradert hj et. Stel dat de terest het eerste jaar 4,5% s, daara 4,9% e da 5,1%. Je spaart Na dre jaar s jouw spaarbedrag da aagegroed tot: (1 + 0,045) (1 + 0,049) (1 + 0,051) = ,045 1,049 1,051 = 1.15,11 Wj hebbe dus het product va dre jaar verschllede opretgsfactore gebrukt. We korte de terestperuages jaar t af als t. Dus bovestaad voorbeeld: = 0,049.

6 18 Noordhoff Utgevers bv Het product va de dre terestfactore kue we u schrjve als: (1 + 1 ) # (1 + ) # (1 + 3 ) = q 3 t=1 (1 + t ) De Grekse hoofdletter (de p, spreek ut pe ) geeft aa dat alle terme rechts va het -teke met elkaar vermegvuldgd moete worde, afhakeljk va de telvarabele t. De telvarabele begt bj 1 (t = 1) e edgt bj 3. Dt wordt respecteveljk oder e bove het -teke vermeld. Als het heel dudeljk s waarover het gaat, laat me dt weg. De telvarabele t wordt ee dummy varabele geoemd omdat hj zelf gee betekes heeft: hj s bedoeld om te telle e de opsteller va het product bepaalt zelf waarover geteld wordt. I dt voorbeeld telt t de jare. De otate met het -teke s bedoeld als ee verkorte otate voor ee rj geljksoortge terme. Voor 3 jaar valt dat atuurljk erg mee, maar als de perode 0 jaar s, s deze otate overzchteljker. Voorbeeld.4 Excel-berekeg product I Excel ka me eevoudg producte berekee met de fucte =PRODUCT( ). Als berek moet me da de te vermegvuldge getalle selectere. Voor het bovestaade voorbeeld zet dat er als volgt ut: FIGUUR.1 Berekeg product Excel A B C D E F 33 jaar opretg ,045 Product: 1, ,049 1,051 =PRODUCT(B34:B36) De algemee formule voor ee kaptaal K() a jaar, utgaade va ee kaptaal K() u e terestperuages 1 tot e met, wordt gegeve door: K() = K(0) # q (1 + t ) [.4] t=1 Vervolges behadele wj de zogeoemde regel va De regel va 7 Er bestaat ee hadge vustregel om de tjd de het duurt alvores ee kaptaal gegeve de terestvoet verdubbeld s, te berekee: = 7 / Herbj s het terestpercetage, zoder dat er gebrukgemaakt wordt va het %-teke. Dus 3% wordt als 3 gereked. Dus als = 3%, da wordt de verdubbelgstjd: = 7 / 3 = 4 jaar.

7 Noordhoff Utgevers bv FINANCIEEL REKENEN 19 E dt geeft ee goede beaderg: K(4) = K(0) 1,03 4 = K(0),033 Het werkt voor alle terestgroottes, maar het s het eevoudgst als het ee deler va 7 betreft. Wj geve de volgede tabel (fguur.). FIGUUR. Utwerkg regel va 7 voor delers va 7 /100 =7/ (1 + /100)^ 1% 0,01 7, % 0,0 36, % 0,03 4, % 0,04 18, % 0,06 1, % 0,08 9 1, % 0,09 8 1, % 0,10 7, 1, Voor ee aatal adere terestgroottes ka me beter 70 gebruke: FIGUUR.3 Utwerkg regel va 7 voor delers va 70 /100 =70/ (1 + /100)^ 3,5% 0, , % 0, , % 0, , Natuurljk ka met behulp va de hudge rekehulpmddele dt ook heel gemakkeljk bereked worde. Maar soms s het de kracht va de accoutat of adere professoal dat hj, stuates waarbj selhed bove auwkeurghed gaat, ee dscusse de juste rchtg ka sture door sel ee goede beaderg te geve..4 Slotwaarde e cotate waarde Het edkaptaal va ee kaptaal dat opgeret wordt met 4% per jaar gedurede 15 jaar, heet de slotwaarde va dat kaptaal. De slotwaarde va éé of meer betalge u of de toekomst s de waarde va deze betalge op ee vooraf bepaald momet de toekomst rekeg houded met samegestelde terest. Bj éé betalg spreekt me ook wel over ekelvoudge slotwaarde.

8 0 Noordhoff Utgevers bv Adersom, om de waarde u te berekee va ee kaptaal K dat over 15 jaar waard s bj ee terestvoet va 4%, moet teruggereked worde: K = / (1+4%) 15 = / 1,04 15 = # 1,04 15 = 555,6 K heet de cotate waarde va (over de bedoelde perode e tege de bedoelde terest). De cotate waarde va éé of meer betalge u of de toekomst s de waarde va deze betalge u, rekeg houded met samegestelde terest. Bj éé betalg spreekt me ook wel over ekelvoudge cotate waarde. Ut de deftes bljkt dat het et allee over éé betalg hoeft te gaa. De slotwaarde ka gerust bereked worde over ee sere va bedrage de va tjd tot tjd gespaard worde. Hetzelfde geldt voor de cotate waarde. Syoeme voor slotwaarde zj toekomstge waarde of edwaarde. Voor cotate waarde wordt ook het begrp hudge waarde gebrukt. Als er sprake s va éé betalg of kaptaal da zj er de volgede verbade tusse slotwaarde (SW) e cotate waarde (CW), waarbj weer het terestperuage per jaar s. SW = CW (1 + ) [.5] E CW = SW (1 + ) = SW # (1 + ) [.6].5 Meetkudge reekse e auïtete I deze paragraaf worde het somteke, de meetkudge reeks, slotwaarde e cotate waarde voor ee regelmatge rj betalge behadeld. Vervolges worde de auïtete behadeld e wj slute af met formules Excel waarmee de dverse berekege gemaakt kue worde..5.1 Het somteke Ut de vorge paragraaf bleek al dat slotwaarde e cotate waarde ook ut rje betalge kue bestaa. Vaak gaat het da over betalge de steeds eve groot zj e op regelmatge bass betaald worde. Bjvoorbeeld: emad spaart 100 per maad. Hj krjgt 3,30% terest omaal op jaarbass e hj houdt dt 5 jaar vol. Hj legt zj 100 steeds aa het ed va de maad. Hoeveel heeft hj a 5 jaar gespaard? Er zj dus 60 betalge. De eerste betalg redeert 59 maade (de eerste maad ameljk et, omdat pas aa het ed va de maad gelegd wordt), de tweede 58, de derde 57, ezovoort. De op éé a laatste betalg redeert 1 maad e de laatste betalg redeert et. De terest s 3,30% / 1 = 0,75% per maad. We moete berekee, beged met de laatste betalg: K(60) = 100 (1 + 1, , , , )

9 Noordhoff Utgevers bv FINANCIEEL REKENEN 1 Dt ka gemakkeljker opgeschreve worde als: K(60) = 100 (1, , , , , ) = 100 # a 1,0075 t [.7] 59 t=0 We ze her weer et zo teke als bj het product. Dt keer s het het somteke. De Grekse hoofdletter Σ (de letter s; spreek ut sgma) wordt hervoor gebrukt. t s weer de telvarabele. Dt keer moet er va 0 tot e met 59 opgeteld worde, dus de otate met het Σ-teke s derdaad veel korter. Om dt hadg op te kue telle, hebbe wj de theore va de meetkudge reekse odg..5. De meetkudge reeks Ee rj getalle a wordt ee reeks als de terme va de rj opgeteld worde: r = a a t [.8] t=1 Als a = a, da spreke we va ee meetkudge rj. Telle we de terme op, da krjge we de meetkudge reeks, ook wel geometrsche reeks geoemd. Ee meetkudge reeks wordt gevormd ut ee meetkudge rj waarbj de terme bestaa ut de som va de terme ut de meetkudge rj. Ee meetkudge rj s ee rj waarbj elke volgede term de rj gevode wordt door deze te vermegvuldge met hetzelfde getal, de rede geoemd. Voorbeeld.5 Meetkudge rj e meetkudge reeks 1/9, 1/3, 1, 3, 9, s ee meetkudge rj, wat je vdt edere volgede term door de voorgaade met dre te vermegvuldge: 1/9 3 = 1/3, 1/3 3 = 1, ezovoort. De bjbehorede reeks s 1/9 + 1/ a, a, a 3, a 4, s ee meetkudge rj, wat je vdt edere volgede term door de voorgaade met a te vermegvuldge: a a = a, a a = a 3, ezovoort. De bjbehorede meetkudge reeks s a + a + a 3 + a 4 + We bekjke u de meetkudge reekse: a a t = a 0 + a 1 + a + a 3 + +a ( 1) + a [.9] t=0 a # a a t = a 1 + a + a 3 + a 4 +a + a +1 [.10] t=0 Trekke we [.9] va [.10] af, da krjge wj: a # a a t a a t = (a 1) # a a t = t=0 t=0 t=0 = a 1 + a + a 3 +a + a +1 a 0 a 1 a a 1 a [.11]

10 Noordhoff Utgevers bv I formule [.11] valle bja alle terme a t twee aa twee tege elkaar weg: Er staat a 1 a 1 = 0, a a = 0, ezovoort. Dt geldt voor alle terme, behalve voor a +1 e a 0 ofwel de mddelste terme ut [.11]. Dus: (a 1) # a a t = a +1 a 0 [.1] t=0 Merk op dat a 0 = 1. Deel u lker e rechterld door a 1 3. a t=0 a t = a+1 1 a 1 [.13].5.3 De slotwaarde voor ee regelmatge rj betalge Bekjk og ees het voorbeeld ut subparagraaf.5.1. Als we keze a = 1,0075, da vde we preces formule [.7] terug. Pas da formule [.13] toe: 59 K(60) = 100 # a 1,0075 t = 100 # 1, t=0 1, = 100 # 1, = 6.513,68 0,0075 Algemeer geldt dat de slotwaarde SW voor ee regelmatge rj aa betalge ter grootte 1 met duur e terestperuage e waarbj de betalge aa het ed va edere perode gedaa worde, geljk s aa: SW = s = (1 + ) 1 [.14] Het symbool s s de gagbare otate hervoor. Ee sere betalge de aa het ede va ee perode betaald worde hete postumerado betalge, terwjl ee sere betalge de aa het beg va ee perode betaald worde preumerado betalge hete. Het hervoor behadelde voorbeeld betrof dus postumerado betalge. Heel gemakkeljk ka u ook ee formule voor de slotwaarde va preumerado betalge gemaakt worde. Late we weer als voorbeeld het geval eme dat emad 100 per maad spaart, met 3,30% terest omaal op jaarbass e dt gedurede 5 jaar. Hj legt zj 100 steeds aa het beg va de maad. Er zj dus weer 60 betalge, maar de eerste betalg redeert u 60 maade, de tweede 59, de derde 58, ezovoort. De éé a laatste betalg redeert maade e de laatste betalg redeert og 1 maad. De terest was 3,30% / 1 = 0,75% per maad. We moete berekee, beged met de laatste betalg: K(60) = 100 (1, , , , ) = 100 1,0075 (1 + 1, , , , ), 3 Merk op dat dt geval a et geljk aa 1 mag zj. I dat geval zou er door 0 gedeeld worde. Wat komt er ut de som als a = 1?

11 Noordhoff Utgevers bv FINANCIEEL REKENEN 3 e dus 1,0075 keer zo veel als het postumerado geval (egeljk logsch: elk gelegd bedrag trekt u ee extra keer terest te opzchte va de stuate dat je aa het ed va de maad zou storte). We krjge dus: 59 K(60) = 100 1,0075 # a 1,0075 t = 100 1,0075 # 1, , = t= ,0075 # 1, = 6.531,59. 0,0075 Algemeer geldt dus voor preumerado betalge: SW = s $ = (1 + ) # s = (1 + ) # (1 + ) 1 [.15] Het symbool s $ s de otate hervoor. De pute op de s geve aa dat de betalg aa het beg va edere perode gedaa wordt..5.4 De cotate waarde va ee regelmatge rj betalge De cotate waarde va ee rj postumerado betalge ter grootte va 1 met duur e terestperuage s: De cotate waarde va de eerste stortg + de cotate waarde va de tweede stortg + = (1 + ) 1 + (1 + ) + +(1 + ) ( 1) + (1 + ) = a (1 + ) t = a Nu geldt echter dat: a (1 + ) t = (1 + ) + (1 + ) (1 + ) + (1 + ) 1 = t=1 (1 + ) # {1 + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) 1 } = (1 + ) # a (1 + ) # (1 + ) 1 E dus t=1 1 t=0 (1 + ) t = a = 1 (1 + ) [.16] a s het symbool voor de cotate waarde va ee postumerado geljkmatge betalg ter grootte va 1. Ee ader woord hervoor s ee auïtet, waarover later meer. De cotate waarde va ee preumerado rj va betalge ter grootte va 1 s: a $ = 1 + (1 + ) 1 + (1 + ) + +(1 + ) ( ) + (1 + ) ( 1) = (1 + ) # ((1 + ) 1 + (1 + ) + +(1 + ) ( 1) + (1 + ) ) Kjk u terug aar de formules bj [.16] e je zet: a $ = (1 + ) # a = (1 + ) # 1 (1 + ) [.17]

12 4 Noordhoff Utgevers bv Voorbeeld.6 De cotate waarde va ee regelmatge rj betalge I ee garage staat ee auto te koop voor Het s mogeljk om deze auto te kope tege betalg maadeljkse termje gedurede 5 jaar. Herbj wordt ee omale terest bereked ter grootte va 4%. De maadeljkse termje zj aa het ed va elke maad te voldoe. De maadeljkse termje zj u als volgt te berekee (voor de maadeljkse termje gebruke we de varabele T): 0,04 1 A = T # a = T # 1 (1 + ) = T # 1 B 60 0,04 1 = T # 54,99 Dus T = / 54,99 = 847,14. Merk op: utedeljk betaal je u ,14 = 50.88,40 voor deze auto..5.5 Auïtete De symbole a e a $ worde respecteveljk post- e preumerado auïtet geoemd. Het woord auïtet komt va het Latjse woord aus dat jaar beteket. Met behulp va ee auïtet ka ee geljk betalgsbedrag per perode bereked worde voor aflossg e terest gezameljk. Het meest veel voorkomede voorbeeld s de hypotheek op auïtetebass. De geldleer leet geld va de geldverstrekker e afgesproke wordt dat het (maadeljks) terug te betale bedrag edere maad preces eve hoog s. Het s gebrukeljk dat er per maad achteraf betaald wordt. b s de maadeljkse betalg e K s het geleede bedrag. Het maadeljks geljke bedrag b moet ut de volgede vergeljkg opgelost worde: K = b # { (1 + ) 1 + (1 + ) + +(1 + ) ( 1) + (1 + ) } = b # a E: b = K / a [.18] Voorbeeld.7 Auïtet Je verkrjgt ee hypotheek va op auïtetebass. De hypotheek heeft ee looptjd va 30 jaar, e de omale terest s 5,3%. Da s: 0,053 1 (1 + ) 1 A1 + 1 a = = B (1 # 30) = 180,0813 0,053 1 Dus het maadeljks te betale bedrag aa aflossg e terest s / 180,0813 = 1.388, Formules Excel I Excel bestaa heel hadge formules waarmee auïtete e slotwaarde bereked kue worde.

13 Noordhoff Utgevers bv FINANCIEEL REKENEN 5 Voorbeeld.8 De fucte HW Excel Met de fucte HW Excel ka me alle auïtete berekee. We geve ee voorbeeld fguur.4 e lchte het daara toe. FIGUUR.4 Berekeg auïtet Excel A B C D Iterest Duur postumerado Auïtet formule 3% 1 0 9,954 jaar =HW(C;C3;-1;0;C4) Ee auïtet wordt bepaald door de terest (cel C), de duur (het aatal termje, cel C3) e de betalgsmodaltet (preumerado = 1 of postumerado = 0, cel C4). De derde poste de formule wordt gegeve door de omvag va de auïtet. Wj rekee echter steeds met ee betalg va 1. Er moet da 1 gevuld worde omdat Excel utgaat va teke tegegestelde strome va geld. Dus: de u eemalg otvage +9,954 s equvalet aa 1 betalge va 1. Met de tekewsselg wordt dus de rchtg va het geld (betale of otvage) aagegeve. De verde poste s waarde va het geld dat a de termj (1 jaar) og over mag zj (ee soort schuldrest). Dt s meestal et erg hadg te gebruke, vadaar dat wj hem op 0 zette. Voorbeeld.9 De fucte TW Excel Met de fucte TW Excel ka me slotwaarde va ee regelmatge rj betalge berekee. We geve weer ee voorbeeld fguur.5. FIGUUR.5 Berekeg slotwaarde Excel A B C D Iterest Duur preumerado Slotwaarde formule 5% ,579 jaar =TW(C;C3;-1;0;C4)

14 6 Noordhoff Utgevers bv Dezelfde systematek als bj de fucte HW (hudge waarde of cotate waarde), maar u wordt de slotwaarde bereked. Voorbeeld.10 Excel voor ekelvoudge slotwaarde e cotate waarde Me ka met behulp va bovestaade formule ook ekelvoudge slotwaarde berekee, ze fguur.6. FIGUUR.6 Ekelvoudge slotwaarde met de fucte TW A B C D Iterest Duur preumerado Slotwaarde formule 5% 14 1 jaar 1,980 =TW(C;C3;0;-1;C4) We berekee zo (1,05) 14, e make daarbj gebruk va de verde varabele de de eemalge betalg u weergeeft (weer met tegegesteld teke aa de terugbetalg a 14 jaar). Het vjfde gegeve (preof postumerado) s u overbodg. Bovestaade s echter wel met ee kao op ee mug schete. Wj mee dat het veel eevoudger e zchteljker s om voor ekelvoudge slotwaarde e cotate waarde de orgele (e veel smpeler) formules te gebruke, ze fguur.7. FIGUUR.7 Ekelvoudge slotwaarde met ee eevoudge formule A B C D Iterest Duur Slotwaarde formule 5% 14 jaar 1,980 =(1+C)^C3

15 Noordhoff Utgevers bv FINANCIEEL REKENEN 7 Voorbeeld.11 De fucte RENTE Excel Er bestaat og ee zeer hadge fucte Excel: de fucte RENTE. Deze fucte reket, gegeve de auïtet (of de slotwaarde), de terest terug. Probeer maar ees om met je rekemache de terest te vde bj ee rj postumerado betalge ter grootte va 1 met duur 10, de ee cotate waarde heeft va 8. Je moet da oplosse: 8 = 1 (1 + ) 10 Probeer dat maar ees Excel doet het echter moeteloos, ze fguur.8. FIGUUR.8 Het terugrekee va de terest va ee auïtet A B C D E Autet Duur postumerado Iterest formule 8, ,8% jaar =RENTE(C3;-1;C;0;0) Vul duur, de betalg ( 1), auïtet, het resterede toekomstge bedrag (0) e de betalgsmodaltet (postumerado = 0) e de fucte reket de terest terug. Cotroleer maar: 8 = 1 (1 + 0,048) 10. 0,048

16 8 Noordhoff Utgevers bv Samevattg Op bass va samegestelde terest s als volgt het edkaptaal a perode te berekee (waarbj K(0) het begkaptaal s, K() het edkaptaal, e het terestperuage): K() = K(0) # (1 + ) Bj varabele terestperuages wordt dt: K() = K(0) # q (1 + t ) t=1 Op bass va ekelvoudge terest s als volgt het edkaptaal a perode te berekee (waarbj K(0) het begkaptaal s, K() het edkaptaal, e het terestperuage): K() = K(0) # (1 + # ) De slotwaarde SW voor ee regelmatge rj va postumerado betalge ter grootte 1 met duur e terestperuage s: SW = s = (1 + ) 1 E voor preumerado betalge: SW = s $ = (1 + ) # s = (1 + ) # (1 + ) 1 De cotate waarde va ee rj postumerado betalge ter grootte va 1 met duur e terestperuage s: 1 (1 + ) a = E voor preumerado betalge: a $ = (1 + ) # a = (1 + ) # 1 (1 + )

17 Noordhoff Utgevers bv 9 Opgave.1 Ee ma heeft 30 jaar gelede (ee bedrag guldes ter waarde va).150 op ee spaarrekeg gezet, op bass va samegestelde terest. Tussetjds heeft hj gee geld meer gestort of opgeome. De eerste 5 jaar kreeg hj 6,5% terest per jaar, de daaropvolgede 15 jaar kreeg hj 4,5% terest per jaar, e de laatste 10 jaar og maar 3% terest per jaar. a Hoeveel geld heeft hj u op zj spaarrekeg staa? b Wat s, op decmale auwkeurg, het gemddelde retepercetage dat hj de afgelope 30 jaar heeft moge geete?. Ee vrouw wl ee geldbedrag op de bak zette. Ze heeft de keuze ut twee spaarvorme op bass va samegestelde terest: ee maadeljkse terest va 0,5%; ee jaarljkse terest va 6%. Ze zal tussetjds gee geld storte of opeme. a Welke spaarvorm zal het meeste oplevere? b Ze kest atuurljk voor de spaarvorm de het meeste oplevert. Verder wl ze over 10 jaar ee bedrag va bjee hebbe gespaard. Wat s da het bedrag dat ze u op de bak moet zette?.3 Ee gez beslut om te gaa spare voor de aakoop va ee jacht. Daartoe wordt er jaarljks op ee spaarrekeg gestort. De eerste stortg vdt op 18 december 00 plaats, e de laatste zal plaatsvde op 18 december 010. De terest op de gekoze spaarrekeg s 6,5% e wordt jaarljks bjgeschreve. Hoeveel geld heeft dt gez ee jaar a de laatste stortg op de spaarrekeg staa om aa ee jacht te bestede?.4 Ee gez beslut om ee auto te gaa kope. het krjgt va de dealer twee betaaloptes: aakoop tege ee cotate betalg va.995, of ee betalg 30 maadeljkse termje ter grootte va 800, waarbj de te berekee omale terest jaarljks de marktrete va 5,4% bedraagt. De termje zj te betale aa het beg va elke maad, e ook over de laatste maad wordt og terest geheve. a Gaat het her om ee pre- of postumerado rete? b Wat s de cotate waarde va deze rete? c Welke soort aakoop s dus (zuver faceel geze) het voordelgst?.5 Ee ld va ee ftessclub betaalt aa het beg va elke maad 9. Voor dt bedrag mag hj éé keer per week trae. Hj stapt a ee poos over op ee jaaraboemet (te betale aa het beg va elk jaar). De hervoor berekede samegestelde terest bedraagt 0,4% per maad. a Wat worde de koste va dt jaaraboemet? b Waarom s dt jaaraboemet goedkoper da 1 9 = 348?

18 30 Noordhoff Utgevers bv.6 Ee verzekeraar vraagt voor ee bepaald pakket ee jaarljkse, vooraf te betale, preme va Bereke de overeekomstge (ook vooraf te betale) maadpreme, allee rekeg houded met de factor terest (7,3% omaal op jaarbass)..7 Iemad betaalt voor ee aboemet 55 aboemetskoste aa het ed va elk kwartaal, e wl dt aboemet vervage door ee jaarljks aboemet, dat aa het beg va elk jaar moet worde betaald. De bj deze vervagg te berekee omale terest bedraagt 3% per jaar. Hoe hoog wordt de jaarljkse preme voor het aboemet?.8 Ee autodealer beslut om zj klate de gelegehed te geve auto s te kope op afbetalg, waarbj de auto 4 jaar afbetaald moet zj. Jj krjgt als faceel expert de opdracht om te berekee wat de maadeljkse afbetalge da moete worde. De dealer wl dat je ee omale jaarljkse terest toereket ter grootte va 3,96%, e de berekege utvoert voor ee auto de bj cotate betalg bj aakoop kost. a Hoe groot worde de maadeljkse afbetalge als de klat zj schuld aflost va betalge aa het beg va elke maad? b Hoe groot worde de maadeljkse afbetalge als de klat zj schuld aflost va betalge aa het ed va elke maad? c Als extra servce deel je de dealer mee dat hj vaaf u heel smpel de aflossgstermje ka berekee voor wllekeurg welke autoprjs. Hoe ludt jouw adves?.9 Iemad beweert: Ee percetage va 3% terest per jaar s hetzelfde als 30% per 10 jaar. Wat vd je va deze bewerg?.10 Bewjs: a s = (1 + ) # a b a $ = (1 + ) ( 1) # s.11 Ee ma heeft ee leg va afgeslote met ee duur va 14 jaar. Hj betaalt.00 postumerado per jaar aa aflossg e terest. Bereke decmale auwkeurg de terest de hj op jaarbass betaalt.