Zoekersrubriek P Q R S [ ] respectievelijk, zodanig dat Q tussen A en R ligt en zodanig dat

Transcriptie

1 Wskude & Oderwjs 38ste jaargag (0) Zoekersrubrek Are Smeets Chrstophe Debry Woord vooraf Als euwe redacteurs va de zoekersrubrek wese wj bj het verschje va de eerste volledge zoekersrubrek va oze had hulde te brege aa Reé Laume. Gedurede vele jare heeft hj op sprerede wjze zorg gedrage voor deze rubrek. Ee lage reeks prachtge zoekers s daarbj de revue gepasseerd. Wj zulle os uterste best doe om waardge opvolgers te zj voorwaar gee gemakkeljke opgave. Wj rekee daarvoor ook op talrjke zedge va de trouwe zoekersvrede. De start s goed, wat we ware alvast tevrede met de zedge voor de opgave ut ummer I47 va dt tjdschrft! We doe teves os best om zoekers aa te brege de voor ee breed publek toegakeljk zj e zoder te veel techsche bagage kue worde opgelost. We hope dat de zoekers her e daar zulle dee als teressat materaal voor het klaslokaal ; aar oze schattg ka er met de tweede euwe zoeker va deze edte ( vereevoudgde vorm) zelfs ets worde gedaa de eerste graad va het mddelbaar oderwjs! Ook de adere opgave ljke os poteteel brukbaar (maar da de hogere jare). Oplossge va de zoekers ut W & O 47 Opgave De eerste zoeker was ee opgave ut de klasseke vlakke meetkude e ludde als volgt : Zj ABC ee geljkzjdge drehoek. Zj,, e pute op de zjde AB, P Q R S [ ] [ AC ], [ AC ] e [ BC] respecteveljk, zodag dat Q tusse A e R lgt e zodag dat AP + AQ = BP + QR + BS = CR + CS. gevormd wordt door de twee rechte PR e QS. Bepaal de grootte va de scherpe hoek de Va deze opgave bestaa ee aatal oplossge varates op hetzelfde thema de weg meer gebruke da de bekede cogruetekemerke va drehoeke. We presetere heroder éé va deze oplossg. Oplossg (aar I. Verstuyft) Zj s = AB = BC = CA. 9

2 Omdat ( AP + AQ ) + ( BP + QR + BS ) + ( CR + CS ) = ( AP + BP ) + ( BS + CS ) + ( AQ + QR + CR ) = 3s vde we dat = AB + BC + CA AP + AQ = BP + QR + BS = CR + CS = s. Herut volgt oder adere dat AP + AQ = s = AP + BP dus AQ = BP, e CR + CS = BS + CS, dus CR = BS. Zj O het mddelput va de omgeschreve crkel va ABC., We bekjke u de rotate om O de A, B e C afbeeld op C, A e B respecteveljk. Omdat BP = AQ zal deze rotate P op Q afbeelde. Omdat CR = BS zal R op S worde afgebeeld. Bjgevolg wordt de rechte PR afgebeeld op de rechte QS. Daarut volgt drect dat de scherpe hoek de gevormd wordt door deze rechte geljk moet zj aa 60. Opmerkge C Ee aatal zoekersvrede preseteerde ee oplossg de gebaseerd s op ee mx va aalytsche e goometrsche berekege (G. Moes, D. Tat e A. Verroke). I elk va deze oplossge werd aagetood dat de tages va de scherpe hoek tusse de twee rechte geljk s aa 3. C Zoekersvred Maasse observeerde dat de opgave lcht ka worde veralgemeed door te werke met georëteerde legte. Door de gegeve geljkhede va legte te vervage door geschkte geljkhede va georëteerde legte ka worde aagetood dat de cocluse va de opgave ook og bljft gelde de sommge (of alle) va de pute P, Q, R e S et meer op de zjde va de drehoek lgge (maar uteraard wel op de dragers va de zjde). Correcte oplossge vawege : S. Cambe (Poperge), A. J. Th. Maasse (Mlsbeek, Nederlad), G. Moes (Belsele), D. Plessers (Neerpelt), D. Tat (Oedelem), D. Vaslembrouck (Get), A. Verroke (St Amadsberg) e I. Verstuft (Deure). 93

3 Opgave We herhale og eve de opgave va de tweede zoeker, ee vermakeljk spelletje : Zj N ee gegeve atuurljk getal (verschlled va 0). Twee spelers de we A e B oeme spele ee spel met N kaarte. Op elk va de kaarte staat ee reëel getal. De kaarte worde op ee rj gelegd e de getalle zj voor bede spelers zchtbaar. Om de beurt moge A e B ee kaart ut de rj eme, tot er gee kaarte meer overbljve, maar ze moete wel telkes éé va de twee kaarte aa de utede va de rj keze. Speler A mag bege. Aa het ede va het spel hebbe bede spelers dus N kaarte hu hade. Laat ze dat speler A er altjd voor ka zorge dat de som va de getalle op zj kaarte mstes zo groot s als de som va de getalle op de kaarte va speler B. Oplossg (aar D. Vaslembrouck) Zj a het getal op de -de kaart. We moge zoder verles va de algemeehed aaeme dat de ogeljkhed a + a a a + a a 3 N 4 N geldt de et, da kue we de rj de omgekeerde volgorde leze. Speler A kest de kaart met het getal a. Speler moet dus de kaart met het getal a of de kaart met het getal a keze. B A 3 Speler kest vervolges de kaart met het getal a het eerste geval e de kaart met het getal a het tweede geval. N Deze procedure wordt verdergezet : speler A de B gekoze heeft. kest dus steeds de kaart aast de laatste kaart Zo zorgt A er voor dat hj altjd ee kaart kest met oeve ummer, e verhdert hj B zo kaart ka keze. Bjgevolg edgt A dakzj deze stratege altjd met ee som de mstes eve groot s als de som de B bekomt. Opmerkg De oplossg va deze zoeker verest helemaal gee techsche bagage scherp redeeervermoge s voldoede. Alle correcte zedge ware gebaseerd op dezelfde stratege. Correcte oplossge : S. Cambe (Poperge), A. J. Th. Maasse (Mlsbeek, Nederlad), D. Plessers (Neerpelt), D. Tat (Oedelem), D. Vaslembrouck (Get), A. Verroke (St Amadsberg) e I. Verstuyft (Deure). N Opgave 3 De laatste (e meest pttge) opgave ut de zoekersrubrek va W & O 47 was de volgede : Bestaa er veelterme e g X met gehele coëffcëte de aa de volgede twee 94

4 egeschappe voldoe? C Zowel als g X heeft ee coëffcët de groter s da 0. ( ) ( ) f ( X ) g ( X ) C Elke coëffcët va het product f X g X s geljk aa -, 0 of. Cosrueer dergeljke veelterme e, of bewjs dat ze et kue bestaa. Oplossg (va de redacteurs) Dergeljke veelterme bestaa! Defeer voor elk atuurljk getal e ( ) = ( ) f X X + de veelterme X ( ) = = ( ) g X = 0 X = 0 X X... X X. We merke eerst op dat voor elke geldt dat het product f ( X ) g ( X ) elke coëff- cët geljk s aa, 0 of. Immers, het product f ( X ) g ( X ) s geljk aa ( X ). Ut het fet dat elk atuurljk getal ee ueke bare schrjfwjze heeft, volgt dat elke macht X l + met 0 l preces éé keer zal voorkome waeer dt product de haakjes worde utgewerkt, e wel met coëffcët ±. Aderzjds geldt : C Voor voldoede grote heeft f X ee coëffcët de groter s da 0. Ider- daad, eg opzoekwerk de drehoek va Pascal leert os dat dt reeds het geval s voor 3. ( ) = 0 C Voor elke s de coëffcët va g X geljk aa (eevoudge observa- te). I het bjzoder heeft voor elke 0 de veelterm g ( X ) ee coëffcët de strkt groter s da 0. X ( ) Bjgevolg voldoe de veelterme e g X voor voldoede grote waarde va bjvoorbeeld voor alle 0 zeker aa de voorwaarde ut de opgave, e daarmee s beweze dat dergeljke veelterme bestaa. Opmerkge C Bestaade costructe ljkt eevoudg, maar s dat et. Ee aatal zoekersvrede ware erva overtugd dat dergeljke veelterme zeker et kode bestaa e dede ook pogge om dat te bewjze. C Zoekersvrede Tat e Verroke (de de ege twee correcte oplossge stuurde) schreve zeer leesbare tekste waar ze heel explcet dergeljke veelterme costruere, met meer gedetalleerde formate over de coëffcëte da bovestaade oplossg. Zoekersvred Tat merkte teves op dat het getal 0 de opgave ka worde vervage door eerder welk (wllekeurg groot) atuurljk getal. 95

5 Correcte oplossge : D. Tat (Oedelem) e A. Verroke (St Amadsberg). Neuwe zoekers Zeher de euwe zoekers (et oodzakeljk geragschkt volgorde va moeljkheds- graad!) : Γ. Zj e Γ crkels ( het vlak) de elkaar twee pute sjde. Beschouw de gemeeschappeljke raaklje l e l aa deze crkels. De rechte de het raakput va Γ e verbdt met het raakput va e bepaalt koorde Γ e Γ. l Γ l Laat ze dat deze twee koorde eve lag zj.. Reé heeft ee kapot reketoestel : de ege toetse de og fuctoere zj de haakjes, /, =, -, /x e π. Zj F X ee wllekeurge veelterm met ratoale coëffcëte. ( ) Laat ze dat Reé het getal zj reketoestel. F ( π ) ka bekome als utkomst va ee geldge bewerkg op 3. Zj ee wllekeurg atuurljk getal e bekjk de veelterm X + + X. Deze veelterm mag worde afgeled aar X of vermegvuldgd met X + wllekeurge volgorde e ee wllekeurg aatal kere tot het resultaat ee veelterm va de eerste graad s. Bewjs dat voor elke veelterm ax + b met a, b Z de zo ka worde bekome zal gelde dat a b deelbaar s door. Veel zoekgeot! Izedge te laatste op aprl 0 (ee, dt s gee grap...). Oplossge aar E-mal : are.smeets@ws.kuleuve.be of chrstophe.debry@ws.kuleuve.be. Post :Are Smeets, Departemet Wskude (0.3), Celestjelaa 00B, 300 Heverlee. 96