Statistiek voor Informatiekunde (I00099)

Transcriptie

1 Statstek voor Iformatekude (I00099) Berd Souvger voorjaar 005

2 Ihoud Les 1 Beschrjvede statstek Represetate va gegeves Klasse Typsche waarde Spredg Momete Les Steekproeve e schatters De ormale verdelg Steekproeve Studet t-verdelg e χ -verdelg Schatters Les 3 Betrouwbaarhedstervalle Itervalschatters Betrouwbaarhedstervalle bj gegeve varate Betrouwbaarhedstervalle bj obekede varate Betrouwbaarhedstervalle voor de varate Les 4 Toetse va hypothese Hypothese Toetse e betrouwbaarhedstervalle Toetse op verschlle tusse twee verdelge Les 5 Vergeljke va verdelge De χ -aapassgstoets χ -toets voor cotgetetabelle Varate-aalyse Les 6 Regresse e correlate Regresse De regresselj Het leare regresse model Aabevole lteratuur Larray Gock, Woollcott Smth: The Cartoo Gude to Statstcs. HarperResource, 1993, 40 p., ISBN: ederladse verse herva: Larray Gock, Woollcott Smth: Het strpverhaal va de statstek. Epslo Utgave 3, 004, 40 p., ISBN:

3 Statstek voor Iformatekude, 005 Murray R. Spegel, Larry J. Stephes: (Schaum s Outle of Theory ad Problems of) Statstcs. McGraw-Hll Compaes, 1999, 51 p., ISBN:

4 Statstek voor Iformatekude, 005 Les 1 Beschrjvede statstek I de statstek gaat het erom, vaut waargeome gegeves ee model te otwkkele dat de gegeves goed ka verklare. Meestal houdt het model ee kasverdelg, daarom bestaat er ee grote overlap tusse de methode va de statstek e va de kasrekeg. Het verschl lgt er dat me de kasrekeg ee proces veroderstelt dat volges ee kasverdelg waarde met zekere kase produceert, terwjl me de statstek va gegeves utgaat de ee zekere frequeteverdelg hebbe e probeert cocluses over ee her achter lggede kasverdelg te trekke. I zekere z bekjke dus kasrekeg e statstek dezelfde vraagstukke ut verschllede valshoeke. 1.1 Represetate va gegeves I de statstek gaat het vooral om het oderzoeke va gegeves de op ee of ader maer verzameld zj, bjvoorbeeld door ee of meerdere metge of door ee equête. Om utsprake over de gegeves te kue doe e structure er te kue herkee, s het belagrjk om overzcht over de gegeves te krjge. Voorbeeld: We zulle deze les vaker aar het volgede voorbeeld va gegeves kjke (resultate bj ee zekere toets): 54, 41, 59, 45, 34, 49, 58, 30, 61, 47, 43, 48, 80, 7, 56, 45. Meestal s het et zo hadg, de gegeves gewoo op ee rj te zette, omdat de structuur da verborge bljft. Daarom worde verschllede maere toegepast om gegeves grafsch te represetere. We gaa er u va ut dat we het over gegeves hebbe, de umereke waarde voor ee egeschap va zekere dvduë zj. Dek herbj aa de utslage va studete bj ee tetame, de legte va kdere op tejarge leeftjd of ets dergeljks. Het s dudeljk dat het beschrjve va de type va de gegeves afhagt, deze kue dscrete waarde, zo als aatalle hebbe, maar ook cotue waarde, waar prcpe elke waarde mogeljk s. Natuurljk zj er ook gegeves de et umerek zj, zo als egeschappe, hobbes etc., maar deze kue we als gegeves met dscrete waarde behadele, door bjvoorbeeld de verschllede mogeljkhede te ummere. Maar egeljk bestaa er de praktjk bja oot gegeves met echt cotue waarde. Als je bjvoorbeeld aar de resultate va ee compette het versprge kjkt, da zj de altjd op cetmeters auwkeurg aagegeve, terwjl we toch ook makkeljk mllmeters zoude kue mete. Hetzelfde geldt voor tjde, de worde bjvoorbeeld bj het zwemme hoderdste secode aagegeve, ook al worde ze auwkeurger gemete (ameljk mstes op duzedste). Bj de olympsche spele va Müche 197 hadde er over de 400m wsselslag bj het zwemme de zweed Guar Larsso e de amerkaa Tm McKee ee tjd va 4:31,98 mute. Maar er werde ook duzedste secode gemete e de precezere tjde ware 4:31,981 voor 3

5 Statstek voor Iformatekude, 005 Larsso e 4:31,983 voor McKee. Me heeft toe Larsso de goude e McKee de zlvere medalle toegeked. Maar sdsde s er beslote, om de metge achter de hoderdste secode gewoo te egere e bj ee dead race twee goude medalles ut te reke. Vaak worde waarde door afrode gedscretseerd, alle waarde de ee zeker terval lgge worde herbj door dezelfde waarde vervage. We zoude os daarom op gegeves met dscrete waarde kue beperke, maar we zulle ze dat het vaak hadg s, ee verdelg door ee cotue fucte te beschrjve. Merk op: Bj het rekee met afgerode waarde eemt de auwkeurghed ( het algemee) bj elke bewerkg af. Het s daarom verstadg, zo lag mogeljk met hoge auwkeurghed te rekee e pas het utedeljke resultaat af te rode. Bj het optelle worde de absolute foute bj elkaar opgeteld, wat (x + x) + (y + y) = (x + y) + ( x + y). Bj het vermegvuldge worde de relateve foute bj elkaar opgeteld, wat ut (x + x) (y + y) = x y + x y + y x + x y volgt voor (x y) = (x + x) (y + y) x y: (x y) x y x x + y y waarbj we de term met twee s hebbe weggelate. Als dus de zjde va ee blok met ee auwkeurghed va 5% gemete kue worde e het volume va de blok als product va de zjde wordt bereked, heeft het volume slechts og ee auwkeurghed va 15%. Stegel-e-blad dagram Ee eevoudge mogeljkhed om waarde te represetere bestaat er, de waarde op ee lj te markere. Dt geeft soms al ee overzcht waar de waarde lgge e waar bjvoorbeeld veel pute dcht bj elkaar lgge e hoe ver ze verspred zj. Voor os voorbeeld zet dt er zo ut: Natuurljk s er ee probleem als we twee keer dezelfde waarde hebbe, wat atuurljk vooral bj dscrete gegeves het geval s. We kue dt (zo als het plaatje) bjvoorbeeld oplosse, door pute voor dezelfde waarde bove elkaar te zette. Ee represetate de dt dee opeemt s het stegel-e-blad dagram, waarbj we alle waarde ee zeker terval aast elkaar schrjve. I het voorbeeld 4

6 Statstek voor Iformatekude, 005 eme we het eerste cjfer va ee waarde (de tee) als waarde op de stegel, het laatste cjfer komt da als blad erachter te staa. Vervolges worde de blade de achter ee waarde op de stegel staa op volgorde gesorteerd. Voor os voorbeeld zet het stegel-e-blad dagram als volgt ut: Deze maer om waarde same te vatte s al ee specaal voorbeeld voor het vorme va klasse de we u gaa behadele. 1. Klasse Vaak s het hadg om verschllede waarde same te vatte de op ee of ader maer op elkaar ljke. De zo samegevatte waarde oemt me da ee klasse va waarde. Als voorbeelde va klasse hebbe we al tervalle geze, waarbj alle waarde tusse zekere greze ee pot gegood worde. Maar er zj ook heel adere klasse mogeljk, bjvoorbeeld kue de woorde ee tekst op totaal verschllede maere klasse gedeeld worde: aatal letters het woord; aatal klkers het woord; sytactsche klasse (werkwoord, aamwoord, artkel ez.); sematsche klasse (wskudg begrp, kleur, utdrukkg va bewegg). Als we edg veel gegeves op klasse verdele, krjge we ee frequeteverdelg voor de klasse, e als we aar de relateve frequetes va de klasse kjke, voldoe deze aa de ese va ee kasverdelg. Merk op dat er ee subtel verschl s tusse ee kasverdelg e de frequeteverdelg va klasse: Bj ee kasverdelg veroderstelle we ee proces de waarde met zekere kase produceert, terwjl de frequeteverdelg gewoo ee verzamelg va gegeves beschrjft. Maar atuurljk s het vaak uttg ee waargeome frequeteverdelg met bekede kasverdelge te vergeljke. De delg klasse s ee belagrjke voorwaarde voor de terpretate va de gegeves. Te veel klasse geve vaak allee maar versplterde formate omdat heel weg gegeves ee klasse terecht kome, terwjl te weg klasse gee structuur meer late herkee. Soms wordt als vustregel gehateerd, bj gegeves het aatal klasse als 1+ log() te keze, maar dt s ook et meer da ee heurstsche gok. 5

7 Statstek voor Iformatekude, 005 Soms ka zelfs de verschuvg va de klasse krtek zj, omdat er ee dudeljk grootste klasse over twee ogeveer eve grote maar veel kleere klasse verdeeld wordt. De frequeteverdelge va klasse late zch op verschllede maere grafsch represetere. We zulle de meest belagrjke vorme kort bespreke. Hstogram Bj ee hstogram worde de klasse door balke vertegewoordgd, waarbj de oppervlakte va de balke de frequetes represeteert. Als de balke ook dezelfde breedte hebbe, zj atuurljk ook de hoogtes va de balke proportoeel met de frequetes. I Fguur 1 zj twee hstograms voor os voorbeeld te ze: I het lkerplaatje zj de klasse tervalle va breedte 10, het rechterplaatje zj de klasse automatsch zo gekoze dat elke klasse eve veel ( dt geval 4) pute bevat, e de balke dezelfde oppervlakte hebbe Fguur 1: Hstograms met balke va dezelfde e verschllede breedtes. Als we os voorbeeld het aatal klasse volges de formule 1 + log() zoude keze, hadde we 5 klasse odg. De hstograms Fguur late ze dat ee opspltsg 5 of 6 klasse ee dudeljk kwaltatef verschl de hstograms veroorzaakt: I het eerste geval s er ee dudeljk grootste klasse, het tweede geval zj er twee grootste klasse e me ka ze dat er ee utscheter s, omdat er ee gat tusse de klasse met de maxmale waarde e de adere klasse valt. Er kue ook hstograms va meerdere verzamelge gegeves ee grafek gecombeerd worde. Dt wordt vaak gebrukt om de otwkkelg over de tjd te late ze. De volgede tabel geeft het aatal zetels de Tweede Kamer weer voor de verkezge sds 1989 (beperkt tot partje de ee va de verkezge mstes 10 zetels heeft gehaald). 6

8 Statstek voor Iformatekude, Fguur : Hstograms met 5 e 6 klasse. Partj CDA PvdA VVD D GroeLks LPF Als we voor elke partj ee hstogram voor het aatal zetels de verschllede verkezge make, zet de combate va deze hstograms ut als Fguur 3 te ze. Natuurljk ka me ook de verdelge va zetels ee verkezg als hstogram ze, da worde deze grafek gewoo verschllede hstograms aast elkaar gezet zetels CDA PvdA VVD D66 GL LPF Fguur 3: Verdelg va zetels de Tweede Kamer. 7

9 Statstek voor Iformatekude, 005 Taart-dagram Bj ee taart-dagram (pe chart) wordt ee crkelschjf zo oderverdeeld dat de oppervlaktes va de sectore de frequetes va de klasse represetere. Omdat de oppervlakte va ee sector everedg s met de hoek va de sector, geve ook de hoeke va de sectore de frequetes weer. Voor de verkezge va 003 s dt Fguur 4 te ze. SGP CU LPF CDA VVD SP D66 PvdA GL Fguur 4: Taart-dagram voor de verdelg va zetels de Tweede Kamer. Frequetepolygoo I plaats va verschllede hstograms ee grafek te combere, ka me ook de waarde va verschllede verdelge over de tjd door frequetepolygoe aageve. Herbj worde de waarde voor verschllede tjdstppe (bjvoorbeeld) door ljstukke verbode. Merk op dat de tussewaarde meestal gee betekes hebbe. Ook al ku je op ee ljstuk tusse de verkezge va 1994 e 1998 ee waarde voor het jaar 1996 afleze, zegt dat ets over ee mogeljke utslag va verkezge het jaar De otwkkelg va het aatal zetels de Tweede Kamer de Fguur 3 door ee combate va hstograms beschreve werd, wordt Fguur 5 door frequetepolygoe gerepreseteerd. Vervalsede represetate Het keze va ee vorm va represetate houdt altjd ee mapulate va de gegeves. Dt hoeft et per se egatef te zj, wat ee plaatje zegt meer da duzed woorde. Maar door ee specfeke keuze va represetate ka er wel ee zekere tedete aa de gegeves gegeve worde. Dt ledt soms - bewust of obewust - tot ee vervalsg va de gegeves. Ee paar bekede vervalsge zj: Schalg va de asse. Herdoor wordt het stjge of dale stjler of vlakker e de veraderge worde versterkt of verzwakt weergegeve. 8

10 Statstek voor Iformatekude, 005 zetels CDA PvdA VVD D66 GroeLks LPF Fguur 5: Frequetepolygoe voor de verdelg va zetels de Tweede Kamer. Afbreke va de y-as bove het ulput. Herdoor ljke veraderge veel extremer da ze werkeljkhed zj. Slmme keuze va klasse. Herdoor kue effecte kustmatg voortgebracht of oderdrukt worde. Represetere va de frequete door ee fguur waarva de hoogte proportoeel met de frequete s. Omdat de oppervlakte e et de hoogte va de fguur waargeome wordt, ljkt ee twee keer zo hoge fguur ver keer zo groot. Suggerere va ee otwkkelg door represetate mddels frequetepolygoe. 1.3 Typsche waarde Om verschllede verzamelge va gegeves te kue vergeljke, s het vaak hadg om ee typsche waarde voor ee verzamelg aa te geve. Er zj verschllede maere, om zo typsche waarde te defëre, e er s gee juste maer. Het gemddelde Het rekekudg gemddelde (meestal kort gemddelde geoemd) va waarde x 1, x,..., x s gedefeerd door x := 1 x. =1 9

11 Statstek voor Iformatekude, 005 De terpretate herva s dat de gegeves bj elkaar opgeteld worde e vervolges de som geljkvormg over de dvduë verdeeld wordt. Ee karakterserg va het gemddelde s de egeschap dat de verschlle tusse de gegeves e het gemddelde bj elkaar opgeteld 0 geve, dus dat =1 (x x) = 0. Maar de belagrjkste egeschap va het gemddelde x s, dat het just de waarde x s waarvoor de som va de kwadratsche afstade va de x mmaal wordt, dus waarvoor de fucte f(x) := (x x) =1 mmaal wordt. Dt wordt vaak zelfs als defte va de gemddelde gebrukt. Ee mmum va f(x) vde we als ulput va de afgelede f (x). Er geldt f (x) = =1 (x x ) e dus f (x) = 0 voor x = =1 x = =1 x. Omdat de fucte f(x) ee aar bove geopede parabool s, s dus x = x het eedudge mmum va de fucte. We kue het gemddelde ook samehag met kasverdelge terpretere. Als we os voorstelle dat de x waarde va ee stochast X zj, de met kas p x het resultaat x oplevert, da zulle we de waarde x ee verzamelg va waarde ogeveer p x keer verwachte. Maar als we u bj het gemddelde x et meer de som over de x maar over de waarde x met hu frequetes eme, ze we dat x ee beaderg va de verwachtgswaarde E[X] = x x p x va de stochast X s. Met ee aaloog argumet ze we voor ee stochast X met cotue kasverdelg met dchthedsfucte f(x) dat x ook her ee beaderg va de verwachtgswaarde E[X] = x f(x) dx s. De medaa De medaa x va ee verzamelg gegeves s gedefeerd als de waarde de het mdde va de geordede waarde lgt. Dt wl zegge dat er eve veel waarde kleer da x zj als er waarde groter zj. Als we aaeme, dat de waarde opstjged georded zj, dus x 1 x... x, da s voor oeve = m + 1 de medaa x just de mddelste waarde x m. Voor ee eve aatal = m eemt me gewoo het gemddelde va de twee mddelste waarde, dus x = 1 (x m + x m+1 ). Voor opstjgede waarde x 1 x... x hebbe we dus: { x +1 als oeve x = 1 (x + x +1 ) als eve. We hebbe geze dat de som va de verschlle tusse de waarde e het gemddelde x ul geeft e dat het gemddelde de kwadratsche afstade mmalseert. De medaa heeft de egeschap dat hj de gewoe afstade mmalseert, dus dat x de waarde s waarvoor g(x) := x x =1 10

12 Statstek voor Iformatekude, 005 mmaal wordt. Dt zet me (voor oeve ) als volgt : Stel we hebbe x > x, da lgge er r waarde rechts va x e l waarde lks va x e we hebbe l > r. Als we u x om x aar rechts schuve, da eemt g(x) om x(l r) toe, als we x om x aar lks schuve, eemt g(x) om x(l r) af. Dus s g(x) et mmaal als l > r s. Met hetzelfde argumet, toegepast of x < x, ze we dat g(x) ook voor l < r et mmaal s. Dus moet l = r gelde, e herut volgt x = x. Voor eve = m s g(x) op het terval [x m, x m+1 ] horzotaal met mmale waarde. Me eemt daarom het mddelput va dt terval als medaa. De modus Ee verdere mogeljkhed om ee typsche waarde te defëre s de modus ˆx de de waarde met de hoogste frequete s. I veel gevalle geeft de modus ee goede beschrjvg de ook redeljk dcht bj het gemddelde e de medaa lgt, maar dt hagt sterk va de stuate af. Het ka bjvoorbeeld zj, dat ee verdelg twee dudeljke sptse heeft, da s de modus de hogere va de twee sptse, maar gemddelde e medaa lgge waarschjljk tusse de sptse. Ee verdelg met twee sptse heet bmodaal, ee verdelg met og meer sptse multmodaal x x 4 8 Fguur 6: Bmodale e multmodale verdelge. Het lkerplaatje Fguur 6 laat ee bmodale verdelg ze. De modus va deze verdelg s ˆx = 1, de medaa s x 1.9 e het gemddelde s x =.. I het rechterplaatje va Fguur 6 vde we ee multmodale verdelg met ver sptse. I dt geval s de modus ook weer ˆx = 1, de medaa s x 0.39 e het gemddelde s x = 0.4. Soms ka bj ee multmodale verdelg de modus just wel teressat zj, maar vaak s het dt geval odg de verdelg als combate va ee aatal umodale verdelge te beschrjve e door de typsche waarde va deze verdelge te karaktersere. 11

13 Statstek voor Iformatekude, 005 Samehag tusse gemddelde, medaa e modus Als ee verzamelg va gegeves ee symmetrsche umodale verdelg heeft, valle de waarde va het gemddelde, de medaa e de modus redeljk goed same. Als de verdelg et symmetrsch s e ee lagere staart aar rechts heeft, oemt me de verdelg aar rechts scheef. I dt geval s ˆx < x < x. Omgekeerd heet ee verdelg aar lks scheef als hj ee lagere staart aar lks heeft. I dt geval geldt x < x < ˆx. Ee typsche aar rechts scheve verdelg s f(x) = λ xe λx met x = 1, x λ λ, ˆx = 1 λ. Deze verdelg s Fguur 7 voor de parameter λ = 1 te ze. I het plaatje lgt dus de modus bj ˆx = 1, de medaa bj x e het gemddelde bj x = x Fguur 7: Naar rechts scheve verdelg f(x) = xe x. Omdat de modus vaak et eevoudg te berekee valt, wordt er voor umodale verdelge soms ee heurstsche formule voor de samehag tusse modus, medaa e gemddelde toegepast, ameljk x ˆx = 3(x x). Voor de bove aagegeve verdelg f(x) = λ xe λx ze we dat dt ee utstekede vustregel s, maar let wel dat dt bj multmodale verdelge meestal vreseljk ms gaat (ze de voorbeelde Fguur 6). Merk op: Het gemddelde s veel gevoelger voor utscheters da de medaa. Op de modus heeft ee utscheter helemaal gee vloed. Als het erom gaat ee robuuste schattg voor de typsche waarde te hebbe e er gevaar op utscheters bestaat, s de medaa soms ee betere keuze da het gemddelde. I os voorbeeld va de tetame resultate kue we het gemddelde e de medaa makkeljk bepale, we hebbe x = e x = Voor 1

14 Statstek voor Iformatekude, 005 de modus moete we aar klasse kjke, als we bjvoorbeeld als klasse de tervalle va breedte 10 eme, lgt de modus het terval [40, 50] e me eemt hervoor de mddelste waarde va het terval, dus ˆx = 45. Als we u de utslag va 80 pute als utscheter beschouwe e weglate, veradert dt het gemddelde behoorljk, we krjge da als euwe gemddelde x = 46.47, terwjl de medaa veel mder veradert e u x = 47 wordt. De modus bljft overaderd. We kue zelfs algemee aageve hoe veel het weglate va ee waarde het gemddelde veradert. Stel we hebbe bj waarde e gemddelde x e wlle de waarde x weglate. Het euwe gemddelde wordt da x x 1 e voor het verschl va het oude e het euwe gemddelde krjge we: x x x 1 = ( 1) x x + x 1 = x x 1. Het gemddelde veradert dus om de afstad va de utscheter va het gemddelde, gedeeld door 1. Adere gemddelde Soms s het rekekudg gemddelde et geschkt om ee geljkmatge herverdelg te beschrjve. Dt s bjvoorbeeld het geval als de gegeves x ee varabel beschrjve de et opgeteld maar vermegvuldgd wordt, zoals bj groeprocesse. Stel ee populate groet jare met factore x 1, x,..., x, da s de totale groe het product =1 x va de x. Om u ee gemddelde groe te berekee, waarmee jare dezelfde totale groe berekt wordt, moete we ee waarde x 0 vde zo dat x 0 = =1 x. We moete dus ut het product de -de wortel trekke, dt geeft x 0 = x 1 x... x e x 0 heet het meetkudg gemddelde va de x. Ee adere vorm va gemddelde bestaat bj gegeves waarvoor egeljk x 1 opgeteld moet worde. Ee beroemd voorbeeld hervoor s het probleem va de ploot de op de heeweg wd tege heeft maar de vertragg op de terugweg door de wd mee weer te hale dekt. We oeme de afstad va de twee vlegvelde s, de tjd voor de heeweg t 1 e de tjd voor de terugweg t. Als de ploot zoder wd met ee selhed va v 0 vlegt, zou hj zoder wd de tjd t = s v odg hebbe. Bj wd met selhed w s de selhed op de heeweg v 1 = v 0 w e op de terugweg v = v 0 + w. De tjde voor heee terugweg zj t 1 = s v 1 e t = s v. De vraag s u, of t 1 + t geljk aa t s. Voor de gemddelde selhed v = geldt: v = s t 1 + t = s s v 1 + s = v s t 1 +t 1 v = v 1v v v 1 + v e dus 1 v = 1 v v. 13

15 Statstek voor Iformatekude, 005 Me oemt v = v 1v v 1 +v het harmosch gemddelde va v 1 e v e dt s gewoo het verse va het rekekudg gemddelde va de verse va v 1 e v. I het geval met v 1 = v 0 w e v = v 0 + w hebbe we v = (v 0 w)(v 0 + w) (v 0 w) + (v 0 + w) = (v 0 w ) = v 0 w < v 0. v 0 v 0 De vlegres duurt dus derdaad lager. Tusse de verschllede gemddelde bestaat altjd de volgede kete va ogeljkhede: mmum harmosch meetkudg rekekudg maxmum. 1.4 Spredg Het s dudeljk dat ee verzamelg gegeves met ee gemddelde waarde (of zelfs de verschllede soorte va gemddelde) og et goed beschreve s, wat de verdelge kue er og erg verschlled ut ze. Bjvoorbeeld ka het zj dat bj ee tetame met ee gemddelde va 7 ederee het gehaald heeft, omdat er eve veel 6e als 8e e gee 9e e 10e ware. Maar het ka ook zj, dat slechts 40% het gehaald hebbe, omdat 40% ee 10 e 60% e 5 gehaald hebbe (dt s ee typsch voorbeeld va ee bmodale verdelg). Me wl daarom ook ee utspraak over de afwjkg va de waarde va het gemddelde hebbe. Ook hervoor zj er verschllede mogeljkhede. Stadaardafwjkg We hebbe al geze dat het gemddelde x de waarde s waarvoor de kwadratsche afstade va de gegeves mmaal s. De wortel ut dt mmum heet de stadaardafwjkg s, we hebbe dus s := 1 (x x). =1 Voor veel (e belagrjke) verdelge lgt ee groot deel va de waarde be ee afstad va s va het gemddelde. Voor de ormale verdelg zj dt bjvoorbeeld 68% (e 95% lgge be ee afstad va s). Met behulp va het gemddelde e de stadaardafwjkg late zch gegeves ormalsere: De verschuvg x := x x geeft ee verzamelg gegeves met gemddelde 0 e z := x x s geeft ee verzamelg gegeves met stadaardafwjkg 1. Me oemt de waarde z := x x s ook de z-waarde va x. De z-waarde geeft de afwjkg va ee waarde va het gemddelde veelvoude va de stadaardafwjkg aa. Me zegt daarom ook soms dat ee waarde ee afstad va 3 stadaardafwjkge heeft, als de z-waarde 3 s. 14

16 Statstek voor Iformatekude, 005 Als we de stadaardafwjkg weer voor waarde bekjke de volges ee kasverdelg voor ee stochast X geproduceerd zj, ze we dat s ee beaderg va de varate V ar(x) = E[(X E[X]) ] s. Voor ee dscrete kasverdelg s deze gegeve door V ar(x) = x (x E[X]) p x, e voor ee cotue kasverdelg met dchthedsfucte f(x) door V ar(x) = (x E[X]) f(x) dx. I de kasrekeg hebbe we de wortel ut de varate ook de stadaardafwjkg geoemd e toe met σ geoteerd. Het s derdaad gebrukeljk, groothede va kasverdelge zo als verwachtgswaarde e stadaardafwjkg met grekse letters (µ, σ) te otere, terwjl groothede bj verdelge va gegeves met latjse letters geoteerd worde. Let wel dat et edere auteur dt soort covetes behartgt. Kwartele Net als de medaa voor de helft va de waarde worde ook kwartele gedefeerd waar ee kwart va de waarde beede of bove lgt. Het oderste kwartel of eerste kwartel s de waarde waar ee kwart va de waarde oder e dre kwart bove lgge e s dus de medaa va de oderste helft va de waarde. Net zo s het boveste kwartel of derde kwartel de waarde waar dre kwart oder e ee kwart bove lgt, dus de medaa va de boveste helft va de waarde. De medaa zelfs heet soms ook het tweede kwartel. Algemee oemt me de waarde waar p procet va de waarde oder e 100 p procet bove lgge het p-percetelput e oteert dt met P p. De medaa s dus het 50-percetelput P 50, het oderste kwartel het 5- percetelput P 5 e het boveste kwartel het 75-percetelput P 75. Meestal zal ee p-percetelput et preces op ee waarde valle, e ook et op het mddelput tusse twee waarde. Bj (geordede) waarde heeft het p- percetelput de ljst de dex t = 1 + p 100 ( 1). Als we t schrjve als + r met ee atuurljk getal e 0 r < 1, da berekee we de waarde voor het p-percetelput als gewoge gemddelde va x e x +1 met gewchte (1 r) e r, dus als P p = (1 r) x + r x +1. Als we os voorbeeld va 16 waarde het 15-percetelput zoude wlle vde, hebbe we t = = = Het 15-percetelput lgt dus tusse x 3 e x 4, maar op ee verde va de afstad va x 3 aar x 4. We zoude dus dt geval het 15-percetelput berekee door 0.75 x x 4. Percetelpute worde ook gebrukt om parameters va systeme vast te legge. Bjvoorbeeld geeft ee spraakherkegssysteem voor elke herkeg ee score de aageeft hoe goed de kwaltet va de herkeg was. Dt geeft het algemee et de kas op ee correcte herkeg weer, maar slechts ee heurstsche waarde de met toeemede kwaltet stjgt. Als me met het automatsche systeem u 90% va de aavrage wl behadele e de rest aar ee meseljke operator doorstuurt, da moet me op ee testset va aavrage 15

17 Statstek voor Iformatekude, 005 het 90-percetelput va de scores bepale e dt als gres vastlegge waaroder aavrage aar de operator doorgestuurd worde. De afstad tusse de kwartele geeft formate over de spredg va de waarde. Het terval tusse de kwartele P 5 e P 75 heet het terkwartelberek, hu verschl de terkwartelafstad IQR (voor ter quartle rage). Vaak wordt ook de helft va de terkwartelafstad gebrukt, de semterkwartelafstad 1 IQR := P 75 P 5. Er s gee zuvere defte mogeljk waeer ee waarde de ut het algemee patroo valt ee utscheter s, over dt probleem zj veel boeke geschreve. Ee veel gehateerde vustregel s, waarde als utscheters te beschouwe de meer da 1.5 IQR bute het terkwartelberek lgge, dus: x < P IQR of x > P IQR x s ee utscheter. Voor waarde de volges dt crterum utscheters zj moet me met de had beslsse of het gewoo extreme maar geldge waarde zj of ogeldge waarde de ut het bestad verwjderd moete worde (bjvoorbeeld omdat er bj ee meetg ets s ms gegaa). Voor verdelge de et erg scheef zj, bestaat er ee verbad tusse de stadaardafwjkg s e de sem-terkwartelafstad 1 IQR, ameljk 1 IQR 3 s. Dt s afgeled va de ormale verdelg, waarvoor 1 IQR geldt. Natuurljk levere aast de kwartele ook de mmale e de maxmale waarde formate over de spredg va ee verdelg. Dt soort formate wordt vaak ee doos-e-sorre fguur (box-ad-whskers plot of kort box-plot) samegevat. Dt s ee doos tusse de kwartele met de medaa gemarkeerd. Voor de ede va de sorre zj er verschllede covetes: mmale e maxmale waarde; mmale e maxmale waarde de be ee afstad va 1.5 IQR va de kwartele lgge, de adere waarde worde als utscheters beschouwd (e soms wel als pute weergegeve); 5-percetelput e 95-percetelput. I os voorbeeld va de tetameresultate hebbe we P 50 = 47.5, P 5 = 4 e P 75 = 57. Herut volgt IQR = 15. Omdat = 19.5 kleer s da alle waarde, hebbe volges het geoemde crterum gee utscheters aar beede. Aa de adere kat s = 79.5, dus s de waarde 80 et ee utscheter. De doos-e-sorre fguur voor het voorbeeld zet er dus als volgt ut: 16

18 Statstek voor Iformatekude, De doos-e-sorre fguur wordt soms horzotaal (zo als her) e soms vertcaal geteked. De vertcale verse heeft het voordeel dat de fgure voor verschllede verdelge makkeljk aast elkaar geplaatst kue worde. 1.5 Momete We hebbe al ee paar keer ets over de scheefhed va ee verdelg gezegd. Natuurljk laat zch dt aa de had va ee grafek meestal goed afleze, maar het s hadg hervoor ook ee kwattatef begrp te hebbe. Hervoor zj de momete va ee verdelg hadg. Het k-de momet va ee verzamelg gegeves s m k := 1 x k =1 e het k-de cetrale momet rod het gemddelde s m k := 1 (x x) k. =1 De eerste e tweede momete zj oude bekede, we hebbe x = m 1, m 1 = 0 e s = m. Om momete voor verschllede verdelge goed te kue vergeljke, s het hadg om ze te ormalsere. Dt gebeurt et als bj de z-waarde door dele door de stadaardafwjkg e me krjgt a k := m k s k = m k m k. Momete worde op ee aaloge maer ook voor kasverdelge gedefeerd. Voor ee stochast X met ee dscrete kasverdelg met kase p x zj de k-de momete µ k e de k-de cetrale momete µ k gedefeerd door µ k := x x k p x e µ k := x (x E[X]) k p x. Voor ee stochast X met ee cotue kasverdelg met dchthedsfucte f(x) geldt µ k := x k f(x) dx e µ k := I het bjzoder s µ 1 = E[X] e µ = V ar(x). 17 (x E[X]) k f(x) dx.

19 Statstek voor Iformatekude, 005 Merk op dat hogere momete et voor alle verdelgsfuctes va cotue kasverdelge hoeve te bestaa. Zo heeft bjvoorbeeld de tegraal 1 1+x dx de waarde π, maar de tegrale x 1 1+x dx e x4 1 1+x dx hebbe gee edge waarde. Scheefhed Omdat voor ee scheve verdelg de waarde de lagere staart ee hoger gewcht krjge, s het derde cetrale momet ee maat voor de scheefhed (skewess) va de verdelg. Bj posteve waarde va m 3 of a 3 s de verdelg scheef aar rechts, bj egateve waarde scheef aar lks. Me oemt a 3 ook de coëffcët va scheefhed. Verdelge de symmetrsch te opzchte va hu gemddelde zj (zo als de ormale verdelg), hebbe atuurljk scheefhed 0. I Fguur 8 zj de grafeke va twee aar rechts scheve verdelge te ze. De fucte het lkerplaatje s f(x) := λ x e λx (voor λ = 1), de fucte het mddelste plaatje s g(x) := 1 π x e x x x x Fguur 8: Verdelgsfuctes va twee haar rechts scheve verdelge. De momete voor f(x) zj x = m 1 = λ, s = m = λ e m 3 = 4 λ. 3 Herut volgt dat de coëffcët va scheefhed a 3 = m 3 3 m = s. Merk op dat a 3 oafhakeljk va de parameter λ s. De momete voor g(x) zj x = m 1 = 3, s = m = 6 e m 3 = 4. Herut volgt dat g(x) de coëffcët va scheefhed a 3 = m 3 3 m = heeft. Zo als ook ut de plaatjes bljkt, heeft g(x) ee grotere scheefhed da f(x). Ee adere mogeljkhed om de scheefhed aa te geve gebruke het verschl va gemddelde e modus, bjvoorbeeld x ˆx s. Als we her de heurstsche beaderg x ˆx = (x x) voor de modus toepasse, krjge we 3(x x) s als utdrukkg voor de scheefhed. Ook met behulp va de kwartele of percetele laat zch de scheefhed utdrukke, bjvoorbeeld door (P 75 x) ( x P 5 ) P 75 P 5 = P 75 x + P 5 P 75 P 5 of (P 90 P 50 ) (P 50 P 10 ) P 90 P 10 = P 90 P 50 + P 10 P 90 P

20 Statstek voor Iformatekude, 005 Herbj wordt gekeke hoe ver de p-percetelpute P 50 x e P 50+x de bj ee symmetrsche verdelg eve grote afstade va de medaa hebbe va ee symmetrsche poste afwjke. Scherptoppghed Het verde momet zegt ets erover of ee verdelg spts of plat s, dus over de scherptoppghed of gepekdhed (kurtoss) va de verdelg. Hervoor vergeljkt me het geormalseerde verde momet a 4 met het verde momet va de stadaard-ormale verdelg dat de waarde 3 heeft e oemt a 4 ook de coëffcët va scherptoppghed. Voor a 4 > 3 oemt me ee verdelg gepekd (leptokurtc, va het grekse lepto- = smal) omdat de verdelg da ee scherpere top heeft da de ormale verdelg e de staarte duer zj. Voor a 4 < 3 oemt me de verdelg afgeplat (platykurtc, va platy- = plat) omdat ze ee plattere top heeft da de ormale verdelg. Ee verdelg met a 4 3 heet mesokurtc (va meso- = gemddeld). Merk op: I de lteratuur wordt vaak ook a 4 3 als coëffcët va scherptoppghed gehateerd, ee posteve waarde herva staat da voor ee gepekde verdelg, ee egateve waarde voor ee afgeplatte verdelg. Als eevoudg voorbeeld bekjke we de symmetrsche uforme verdelg op het terval [ c, c], deze heeft de dchthedsfucte f(x) = 1 c. Er geldt m = c c x 1 c dx = 1 c x3 3 c c = 1 3 c e m 4 = c c x4 1 c dx = 1 c x5 5 c c = 1 5 c4. Herut volgt a 4 = m 4 m = 9 5 < 3, dus s de uforme verdelg afgeplat. Merk op dat de schalgsfactor c gee vloed op de scherptoppghed va de verdelg heeft. Ee teressater voorbeeld s de verdelg met dchthedsfucte f(x) = 3 π 1 de het mddelste plaatje va Fguur 9 te ze s. Her hebbe we 1+x 6 m = x f(x) dx = 1 e m 4 = x4 f(x) dx = 1, dus s a 4 = m 4 m = 4 e f(x) s ee gepekde verdelg. Dt wordt ook het vergeljk met de ormale verdelg Fguur 9 dudeljk x x x Fguur 9: Verdelgsfuctes voor de ormale verdelg e ee gepekde verdelg. Merk op dat de scherptoppghed vooral bj (redeljk) symmetrsche verdelge ee rol speelt. Bj scheve verdelge heeft de scheefhed ee groot vloed 19

21 Statstek voor Iformatekude, 005 op de coëffcët va scherptoppghed e s het vergeljke met symmetrsche verdelge meestal et bjzoder verklared. Belagrjke begrppe deze les stegel-e-blad dagram klasse, frequeteverdelg hstogram, taart-dagram gemddelde, medaa, modus u-, b-, multmodale verdelge kwartele, p-percetelpute stadaardafwjkg, terkwartelafstad doos-e-sorre fguur momete, scheefhed, scherptoppghed Opgave 1. Gegeve s de rj waaremge , , , , 15.70, Bereke het gemddelde e de stadaardafwjkg va deze gegeves () zoder af te rode; () met op twee decmale achter de komma afgerode waarde; () met op ee decmaal achter de komma afgerode waarde.. Dt s ee stadaardafwjkgs-wedstrjd: Kes als gegeves 4 getalle ut de getalle 0, 1,..., 10, waarbj herhalge toegestaa zj. () Vd getalle zo dat hu stadaardafwjkg mmaal s. eedudg? Is het atwoord () Vd getalle zo dat hu stadaardafwjkg maxmaal s. Is het atwoord eedudg? () Behadel () e () met 3 plaats va 4 getalle. 3. Zj X het aatal oge dat geworpe wordt met twee wtte e éé zwarte dobbelstee, waarbj het aatal oge va de zwarte dobbelstee dubbel wordt geteld. I ee expermet met 50 werpe zj de volgede resultate verkrege:

22 Statstek voor Iformatekude, 005 () Bereke de verwachtgswaarde E[X] e de varate V ar(x) va de stochast X (dt hagt et va de verkrege resultate af). () Bereke het gemddelde x e de stadaardafwjkg s va de 50 waaremge. () Maak ee hstogram voor ee zvolle delg va de waaremge klasse. 4. De aatalle va stemme voor de kaddaat presdete de VS de verkezge sds 1960 (dus sds Keedy) ware: jaar Republcas Democrats adere ,108,157 34,6, ,178,188 43,19, ,785,480 31,75,166 9,906, ,169,911 9,170,383 1,099, ,147,973 40,830, , ,899,48 36,481,435 5,719, ,455,075 37,577, ,886,097 41,809, ,104,545 44,909,889 19,74, ,198,755 47,40,357 8,085, ,456,00 50,999,897,88, ,668,61 56,17,64 0 Met utzoderg va de verkezge 000 s steeds de kaddaat met de meeste stemme presdet geworde. () Maak frequetepolygoe voor de relateve aatalle stemme voor de verschllede partje. () Bepaal de verdelg va de stemaadele de de gekoze presdet de verschllede verkezge heeft behaald. Maak ee doos-e-sorre fguur voor deze verdelg. Zj er utscheters? Ku je dt verklare? () We beperke os u tot de stemme voor de republkae e de demokrate. I het jaar 000 heeft da bjvoorbeeld de kaddaat va de republkae 50, 456, 00 va 50, 456, 00+50, 999, 897 = 101, 455, 899 stemme, dus 49.73% va deze stemme gehaald, e de kaddaat va de demokrate 50.7%. De afstad tusse republkae e demokrate defëre we als het verschl va deze aadele, dus 0.54% voor het jaar 000 (let op het teke). Bepaal de verdelg va deze afstade, hu gemddelde, stadaardafwjkg, medaa, kwartele e terkwartelafstad. Me zegt dat er ee aardverschuvg heeft plaatsgevode als de afstad bj ee verkezg sterk verschlt va de afstad bj de vorge verkezg. Defeer ee crterum, waeer er sprake va ee aardverschuvg s e geef aa bj welke verkezge ee aardverschuvg heeft plaatsgevode. 5. Zj x 1,..., x ee verzamelg gegeves waarbj de x allee maar de waarde 0 of 1 kue hebbe. Stel er zj p gegeves met de waarde 0 e (1 p) gegeves met de waarde 1. () Bereke het gemddelde x e de cetrale momete m k voor k = 1,, 3, 4. () Geef de scheefhed e scherptoppghed va deze verzamelg gegeves aa. () Laat ze dat de scheefhed 0 s da e slechts da als p = 0.5, dus als de verdelg over de twee mogeljke waarde symmetrsch s. 1

23 Statstek voor Iformatekude, 005 Les Steekproeve e schatters We zulle deze les bekjke, hoe we gegeves va ee populate zo als het gemddelde e de spredg kue schatte, zoder aar elk dvdu va de populate te kjke. Het dee herbj s, allee maar ee deel va de populate te pakke (dt oeme we ee steekproef), dt als represetatef te beschouwe e de gegeves herop te bepale. Ee belagrjke vraag s da hoe dcht de schattg bj de ware waarde zou lgge e wat voor ee afwjkg we moete verwachte. Voor dat we os hermee gaa bemoe moete we ee aatal fete over de ormale verdelg verzamele (herhale), omdat deze verdelg de bass voor de aalyse va steekproeve vormt..1 De ormale verdelg De belagrjkste verdelg de statstek s de ormale verdelg. Deze wordt volledg bepaald door de verwachtgswaarde µ e de varate σ (of de stadaardafwjkg σ) e heeft de dchthedsfucte f µ,σ (x) := 1 π σ e 1 ( x µ σ ) = 1 π σ e (x µ) σ. Ee stochast X de ee kasverdelg met deze dchthedsfucte heeft, heet ormaal verdeeld e wordt vaak met X N (µ, σ ) geoteerd. De verdelgsfucte voor ee ormaal verdeelde stochast ka et zoder tegraal geschreve worde, er geldt F (x) := P (X x) = x f µ,σ (t) dt. Voor ee ormaal verdeelde stochast X met verwachtgswaarde µ e varate σ heeft de geormalseerde stochast Z := X µ σ de verwachtgswaarde 0 e varate 1 e me oemt de stochast Z ee stadaard-ormaal verdeelde stochast. De stadaard-ormale verdelg heeft de eevoudgere dchthedsfucte f(x) := f 0,1 (x) := 1 e 1 x. π De parameters µ e σ va ee ormale verdelg kue aa de grafek va de dchthedsfucte f(x) afgeleze worde zo als Fguur 10 te ze. De verwachtgswaarde µ s gewoo het put waar f(x) zj maxmum heeft e omdat de ormale verdelg symmetrsch s, s dt ook de medaa e de modus va de kasverdelg. De stadaardafwjkg σ vde we op bass va het fet dat de pute x = µ σ e x = µ + σ just de pute zj waar de grafek va krommg veradert. Op de pute waar e grafek va krommg veradert s de stjgg va de grafek maxmaal of mmaal e heeft de afgelede va de fucte dus ee maxmum of mmum (e dus de tweede afgelede ee ulput). Omdat de verdelgsfucte F (x) va de ormale verdelg et makkeljk te berekee s, worde de waarde vaak tabelle aagegeve. Herbj s het

24 Statstek voor Iformatekude, y x 8 10 Fguur 10: Normale verdelg met µ = 3 e σ = e raaklj aa de grafek x = µ + σ. voldoede, de waarde voor de stadaard-ormale verdelg aa te geve, voor ee wllekeurge ormale verdelg worde de waarde op de z-waarde va de stadaard-ormale verdelg geormalseerd. Voor z = x µ σ e Z = X µ σ geldt mmers: x µ σ 1 P (X x) = P (Z z) = e 1 t dt. π De tabelle voor de stadaard-ormale verdelg worde op twee maere aagelegd: () De waarde P (Z z) voor waarde va z regelmatge afstade, bjvoorbeeld afstade va 0.05 tusse z = 3 e z = 3. () Krteke waarde va z zo dat P (Z z) = p voor zekere kase p, bjvoorbeeld kase afstade va 0.01 tusse 0 e 1. Voorbeeld: Voor ee ormaal verdeelde stochast X met verwachtgswaarde 3 e stadaardafwjkg wlle we de kas P (1 X 4) wete, dat ee waarde tusse x 1 = 1 e x = 4 lgt. De geormalseerde z- waarde zj z 1 = x 1 3 = 1 e z = x 3 = 0.5. De gezochte kas s dus P (Z 0.5) P (Z 1) voor de stadaard-ormaal verdeelde stochast Z. Voor deze twee kase vde we ee tabel de waarde P (Z 0.5) e P (Z 1) De gezochte kas s dus = Als we omgekeerd wlle wete voor welke waarde va x de kas P (X x) = 0.8 s, vde we ee tabel dat dt voor de z-waarde het geval s, dus voor x = σ z + µ = = De redee voor de cetrale stellg va de ormale verdelg de statstek zj veelvoudg, de volgede opmerkge geve her ee dee va: 3

25 Statstek voor Iformatekude, 005 (1) Voor zekere parameters worde adere kasverdelge zo als de bomale verdelg of de Posso-verdelg door de ormale verdelg goed beadert. () De combate va ee groot aatal resultate met bja wllekeurge kasverdelge wordt goed beaderd door ee ormale verdelg. (3) De frequeteverdelge va de utkomste va veel expermete worde goed beaderd door ee ormale verdelg, bjvoorbeeld merkmale va populates (grootte, gewcht), herhaald mete va gegeves, resultate va ee grote groep mese bj ee test, ez. Dt s te dele ee cosequete ut het put (), wat vaak s ee groothed bepaald door ee aatal egszs oafhakeljke factore e de combate daarva geeft ee ormale verdelg. Normale beaderg va adere kasverdelge Stel ee toevalsexpermet levert met kas p ee succes op, da heeft de stochast X de het aatal successe pogge telt ee bomale verdelg e er geldt ( ) P (X = k) = b(, p; k) = p k (1 p) k. k Ee bomaal verdeelde stochast X heeft de verwachtgswaarde E[X] = p e de varate V ar(x) = p(1 p). We trasformere X met behulp va E[X] e V ar(x) op ee stochast Z de verwachtgswaarde 0 e varate (of stadaardafwjkg) 1 heeft door Z := X p p(1 p) te defëre. Als we late groee, maakt de stellg va De Movre e Laplace ee belagrjke utspraak over de stochast Z: X p Stellg: De lmet lm s ee stadaard-ormaal verdeelde p(1 p) stochast. Omgekeerd beteket dt, dat voor et te klee waarde va de bomale verdelg met parameters e p door de ormale verdelg met parameters µ = p e σ = p(1 p) beaderd ka worde. We oeme dt de ormale beaderg va de bomale verdelg. De beaderg s beter als p de buurt va 1 lgt e slechter als p dcht bj 0 of 1 lgt. Als vustregel wordt vaak gehateerd, dat de ormale beaderg va de bomale verdelg toegestaa s als p 5 e (1 p) 5 (soms wordt ook p 10 e (1 p) 10 geëst). We wete dat we voor ee stochast X va zeldzame gebeurtesse (dus met klee p) de bomale verdelg door de Posso-verdelg met parameter λ = p kue beadere. Voor de kase bj de Posso-verdelg geldt P (X = k) = po λ (k) = λk k! e λ 4

26 Statstek voor Iformatekude, k k Fguur 11: Normale beaderg va de bomale verdelg met parameters = 5 e p = 0. (lks) e va de Posso-verdelg met parameter λ = 5 (rechts). e de stochast X heeft verwachtgswaarde E[X] = λ e varate V ar(x) = λ. Nadat we de bomale verdelg behadeld hebbe, s het u gee verrassg, dat ook de Posso-verdelg door de ormale verdelg beaderd ka worde, als de parameter λ et te kle s. Me oemt de ormale verdelg met µ = λ e σ = λ de ormale beaderg va de Posso-verdelg met parameter λ. Aaloog met de bomale verdelg wordt ook her meestal λ 5 als vustregel gehateerd. Dat de beaderge voor de aagegeve greze derdaad redeljk goed zj, kue we aa de voorbeelde Fguur 11 ze. Merk op dat de bomale verdelg e de Posso-verdelg scheef aar rechts zj. Daarom lgt de modus va de twee Fguur 11 aagegeve verdelge lks va 5 (bj 4.69 voor de bomale verdelg e bj 4.49 voor de Posso-verdelg) e s de ormale verdelg dus telkes de verdelg met het maxmum meer rechts. Cetrale lmetstellg Dat de combate va m of meer wllekeurge kasverdelge door ee ormale verdelg beadert wordt, s ruwweg de utspraak va ee va de meest belagrjke (e mssche ook meest verbazede) stellge de kasrekeg e statstek, de Cetrale lmetstellg. Deze ludt als volgt: Stellg: Als X 1, X,... oafhakeljke stochaste zj met verwachtgswaarde E[X ] e varate V ar(x ), da s de lmet =1 lm (X E[X ]) =1 V ar(x ) oder zwakke verdere voorwaarde aa de X ee stadaard-ormaal verdeelde stochast. I het bjzoder wordt aa de voorwaarde voldaa als alle X 5

27 Statstek voor Iformatekude, 005 dezelfde stadaardafwjkg σ hebbe, dt geval covergeert ( ) 1 X E[X ] σ =1 tege de stadaard-ormale verdelg. Ut deze stellg kue we omgekeerd cocludere dat de ormale verdelg met verwachtgswaarde µ = =1 E[X ] e varate σ = =1 V ar(x ) ee beaderg geeft voor de kasverdelg va de stochast X := =1 X. Hoe goed deze beaderg s, hagt va de verdelge va de ekele stochaste X e atuurljk va af x x x 3 Fguur 1: Beaderg va de som va uforme verdelg door ee ormale verdelg voor =, = 4 e = 8. Als voorbeeld kjke we aar de combate va stochaste X met uforme verdelge op het terval [ 1, 1 ]. Omdat de verdelge symmetrsch rod 0 lgge, s E[X ] = 0 e voor de varate geldt V ar(x ) = 1 1. De som X X wordt dus beaderd door de ormale verdelg met µ = 0 e σ = 1. I Fguur 1 s de beaderg voor =, = 4 e = 8 te ze. Het s dudeljk, dat al voor = 4 de ormale verdelg ee heel goede beaderg geeft.. Steekproeve We hebbe geze hoe we ut ee verzamelg gegeves utsprake kue aflede over typsche waarde, spredg, scheefhed, ez. va de gegeves. Herbj hebbe we altjd gebruk gemaakt va de kes va alle gegeves. I de praktjk s dt vaak odoeljk of oweseljk, omdat we utsprake wlle make over ee verzamelg gegeves waarva we et eder dvdu te pakke krjge. I zo geval eme we ee deel va de gegeves - ee steekproef - e probere ut de resultate op de steekproef cocluses over de volledge verzamelg gegeves te trekke. Voorbeelde va deze stuate zj: Verkezge: Om de percetages va de verschllede optes (verschllede partje, ja/ee bj ee referedum) bj ee toekomstge verkezg te schatte, wordt ee equête ee steekproef va typsch 1000 of 000 mese odervraagd. 6

28 Statstek voor Iformatekude, 005 Kwaltetstoetse: Om de percetage defecte stukke ee producte te schatte, eme we ee steekproef e teste de gekoze stukke. Het relateve aatal defecte stukke de steekproef eme we als gok voor de percetage de volledge producte. Gemddelde waarde: Om de gemddelde tellgetequotët of bodymass-dex de bevolkg te schatte, bepale we deze voor ee geselecteerde groep mese. Het dee achter het eme va ee steekproef zt de veroderstellg, dat de steekproef represetatef voor de volledge verzamelg s. De maer hoe ee steekproef wordt geome, heeft atuurljk ee grote vloed erop of dt derdaad klopt. Het s bjvoorbeeld beked dat zekere groepe de bevolkg dudeljk verschlled resultate bj verkezge oplevere, afhakeljk va kom, leeftjd of burgerljke staat. Me moet daarom ervoor zorge, dat deze factore de steekproef met de juste relateve frequetes gerepreseteerd zj. Ee voorbeeld va ee slechte steekproef s, bj ee equête gewoo de eerste 100 mese te vrage de je tegekomt. Dt zou bja oot represetatef zj, omdat je op zekere plekke vooral mese met gemeeschappeljke egeschappe tegekomt, op het stato bjvoorbeeld mese de aar hu werkplek reze e op de campus va de uverstet studete. Ook als je de telefoogds wllekeurg ummers kest, s dt meestal et represetatef, omdat je mese zoder telefoo bute beschouwg laat e afhakeljk va de tjd verschllede bewoers va ee wog berekt. Het juste keze va ee steekproef s ee moeljke taak waarmee zch ee belagrjk specaal gebed va de statstek bezg houdt. We zulle os echter dt college et verder met de vraag va het juste opzette va steekproeve bemoee, we gaa er va u af va ut dat we het altjd goed hebbe gedaa e het met ee aselecte steekproef te make hebbe. Hermee bedoele we dat de steekproef aa de volgede twee ese voldoet: (1) De steekproef s obevooroordeeld (ubased): Elk dvdu heeft dezelfde kas om gekoze te worde. () De steekproef s oafhakeljk: De keuze va éé dvdu voor de steekproef heeft gee vloed op de kase va de adere dvdue om de steekproef te kome. Het gemddelde va ee steekproef Vaak berekee we het gemddelde va ee steekproef e gebruke dt als schattg voor het gemddelde (of de verwachtgswaarde) va de volledge populate. Als we bjvoorbeeld bj ee kwaltetstoets de kas op ee foutef stuk ee producteproces wlle bepale, eme we hervoor als schattg de relateve frequete va fouteve stukke ee (aselecte) steekproef. De vraag s u, hoe goed de schattg vaut de steekproef voor de echte kas s, dus hoe sterk het gemddelde va de steekproef va het gemddelde va de populate afwjkt. 7

29 Statstek voor Iformatekude, 005 Het crucale dee, om bj deze vraag verder te kome, s dat we os voorstelle, het eme va de steekproef vaak te herhale e de utslage va de ekele steekproeve als toevalsexpermet, dus als stochast te beschouwe. Stel we hebbe ee steekproef x 1,..., x. Da kue we eder elemet x de steekproef als resultaat va ee stochast X beschouwe e als we veroderstelle dat de elemete de steekproef op grod va hetzelfde proces geproduceerd worde, hebbe de stochaste X alle dezelfde kasverdelg. Merk op dat we bj deze aapak ets over het oderlggede proces veroderstelle, bjvoorbeeld dat bj de producte va de gecotroleerde stukke derdaad elk stuk met kas p defect s e dat dt bj de verschllede stukke oafhakeljk gebeurt. Als we u aar alle mogeljke steekproeve x 1,..., x wlle kjke, kue we dt met behulp va de stochaste X 1,..., X beschrjve, wat X geeft just de kas aa waarmee het resultaat x voorkomt. Op deze maer krjge we bjvoorbeeld voor het steekproefgemddelde x = 1 (x x ) de stochast X = 1 (X X ) de de verdelg va de steekproefgemddelde over alle mogeljke steekproeve aageeft. Merk op: Het s de lteratuur gebrukeljk, ee cocrete steekproef met klee letters (zo als x 1, x, y) aa te geve, terwjl hoofdletters (zo als X 1, X, Y ) de stochaste voor de verdelg over alle steekproeve aageve. Voorbeeld: Zj X de stochast va ee Beroull-expermet met parameter p, d.w.z. er geldt P (X = 1) = p e P (X = 0) = 1 p. De verwachtgswaarde E[X] s da E[X] = p 1 + (1 p) 0 = p e de varate V ar(x) = p (1 p) + (1 p) p = p(1 p). Als we ee steekproef va grootte eme, herhale we het Beroullexpermet keer oafhakeljk e hebbe herbj stochaste X 1,..., X met dezelfde verdelg als X. Voor de stochast X := 1 (X X ) de de relateve frequete va 1e bj pogge aageeft, hebbe we E[X] = 1 (p p) = 1 p = p dus s de verwachtgswaarde va de steekproefgemddelde derdaad de juste parameter p. Als we dus meerdere steekproeve eme, kue we erva utgaa dat de ware waarde va p ogeveer het gemddelde va de steekproefgemddelde s. Maar atuurljk zulle we et meerdere steekproeve apart eme, da zoude we ook metee ee grotere steekproef kue eme. Iteressater s de vraag hoe ver het steekproefgemddelde va de juste waarde va p afwjkt. Maar herover maakt just de varate V ar(x) va de stochast X ee utspraak, we kue verwachte dat het steekproefgemddelde meestal be éé stadaardafwjkg V ar(x) va p lgt. De varate va X berekee we als V ar(x) = 1 (p(1 p) p(1 p)) = 1 p(1 p) = 1 p(1 p). Dt beteket dat het steekproefgemddelde ee stadaardafwjkg va 8 p(1 p)

30 Statstek voor Iformatekude, 005 heeft. I het bjzoder eemt de ozekerhed va de schattg met de wortel ut de grootte va de steekproef af. Omdat we steeds va ee aselecte steekproef utgaa, s voor het keer herhale va ee Beroull-expermet de Cetrale lmetstellg va toepassg e we krjge voor et te klee als verdelg voor de waarde va X (bj beaderg) ee ormale verdelg. Dt beteket dat het steekproefgemddelde met ee kas va ogeveer 68% het terval [ p p(1 p), p + p(1 p) ] lgt. Merk op dat we het voorbeeld ee alterateve verdelg met parameter p verodersteld hebbe, e hermee ets over de verdelg va X kode zegge. Dt s de stuate va ee hypothese de we over de oderlggede kasverdelg hebbe e de we met de realsates x = 1 =1 x va X op cocrete steekproeve kue toetse. Het probleem va het toetse va hypothese zulle we later dt college behadele. Het resultaat va het voorbeeld met het Beroull-expermet geldt derdaad algemee voor het bepale va het gemddelde va gegeves. Stel we wlle het gemddelde va ee zekere groothed bepale, da ze we elke metg als het resultaat va ee kasexpermet met ee stochast X de ee zekere kasverdelg heeft. We veroderstelle dus ee stochast X met verwachtgswaarde E[X] e stadaardafwjkg σ = σ X = V ar(x). Bj ee steekproef va metge beschouwe we het steekproefgemddelde x = 1 (x x ) als utkomst voor de euwe stochast X = 1 (X X ), waarbj de stochaste X dezelfde kasverdelg als de veroderstelde stochast X hebbe. Voor de stochast X va het steekproefgemddelde geldt u: e E[X] = 1 (E[X 1] E[X ]) = 1 E[X] = E[X] V ar(x) = 1 (V ar(x 1) V ar(x )) = 1 V ar(x) = 1 σ X dus geldt voor de varate σ X e de stadaardafwjkg σ X va X: σ X = 1 σ X e σ X = 1 σ X. De verdelg va het steekproefgemddelde heeft dus dezelfde verwachtgswaarde als de oderlggede kasverdelg e de stadaardafwjkg eemt met de wortel ut de grootte va de steekproef af. Merk op dat we bj het berekee va de varate va X weer gebruk erva hebbe gemaakt dat de X oafhakeljk zj, dus dat we het met ee aselecte steekproef te make hebbe. Strkt geome geldt σ = 1 X σ X voor de varate va X allee maar als we ee steekproef ut ee oedge populate eme of als we de steekproef door trekke met teruglegge verkrjge. Dt s bjvoorbeeld bj herhaalde metge va ee waarde va toepassg, wat prcpe kue we oedg lag doorgaa met de metge e de populate s dus oedg. 9