De vele werelden van de statistiek
|
|
- Bruno de Kooker
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De vele werelde va de statstek Notateafsprake De vele werelde va de statstek Prof. dr. Herma Callaert, Cetrum voor Statstek, Uverstet Hasselt. De wereld va het deale model (= de populate) om te beschrjve op welke maer utkomste va ee expermet tot jou kome Deze wereld wordt beschreve met de taal va de wskude (ee kasverdelg of ee dchthedsfucte). Welk deaal model het beste past bj ee specfeke populate s oderwerp va multdscplar oderzoek, oderbouwd met methode ut de statstek. De wereld va het cocrete cjfermateraal (=de steekproefresultate) dat je bekomt a het utvoere va ee expermet Deze wereld ka vaut verschllede stadpute worde oderzocht. De beschrjvede statstek geeft ee overzchteljke weergave va het cjfermateraal met de bedoelg formate te we ut al de getalle. Of me ka ook exploratef op zoek gaa aar globale kemerke met de bedoelg ee dee te krjge over de totale populate waarut de steekproefresultate afkomstg zj. De wereld va het deale model voor het gedrag va steekproeve e va groothede de op steekproeve gebaseerd zj Deze wereld vormt het fudamet va de verklarede statstek. Herbj wordt ee model gemaakt dat op ee formele wskudge maer de regulartet va de toevallghed beschrjft. Dt s de ege bass de de verklarede statstek heeft om haar utsprake weteschappeljk te oderbouwe. Notate steekproefresultate klee letters x, x, x, groothede gebaseerd op steekproefresultate klee letters x, s ee populate (s ee deaal model) hoofdletters X ee deaal model voor steekproefresultate hoofdletters X, X, X, ee deaal model voor groothede gebaseerd op steekproefresultate hoofdletters X, S egeschappe va ee populate Grekse letters μ, σ egeschappe va ee deaal model voor groothede gebaseerd op steekproefresultate (*)(laatste blz) Cetrum voor Statstek
2 De vele werelde va de statstek Notateafsprake ========================================================================== Heroder doe k ee pogg om het voorgaade wat te verdudeljke met ee voorbeeld dat veel te beperkt s om als echt voorbeeld te dee, maar waarbj k probeer om de achtergrod va de gebrukte otate te verklare (dt s dus gee tekst de rechtstreeks geschkt s voor leerlge). =========================================================================== Als start s er reeds het probleem om ee deaal model (ee stochastsche veraderljke) te beschrjve. Als aa de uverstet ee cursus statstek het eerste jaar gedoceerd zal worde zoder eerst formele kastheore te behadele (wordt verschove aar het tweede jaar), da s het zeker et aageweze om het SO ee stochastsche veraderljke te defëre op ee formele maer. Er s dus gee ood aa gestructureerde utkomsterumte met bjhorede sgma-algebra e kasmaat, e k dek zelfs dat er gee ood s aa ee fucte X va omega aar de reële getalle (je gebrukt daar ee stukje va ee formele defte va ee kasrumte, maar daara moet je jezelf toch beperke). Bovede heb k ervare dat er leerkrachte zj waarvoor de begrppe ee utkomsterumte omega, ee stochast, de fucte X e ee kasverdelg meer voor verwarrg da voor verhelderg zorge. Temeer als je je daarbj og afvraagt: wat doe je daar da mee je verdere lesse? Hoe ka het da wel, als je met bovestaade beperkge moet lere leve? Ee mogeljk voorstel s dat je totaal va dekkader veradert, e dat je ets meer ut de formele kasrumte gebrukt. Je begt met af te spreke dat je, voor de wskudge behadelg va probleme, utkomste va ee expermet altjd eerst zal vertale cjfermateraal (= getalle). Dt ka meestal op ee zeer atuurljke wjze (legte, gewcht, aatal oge op ee dobbelstee), of soms doe je het bj covete (ul e éé voor mut e krus). Het s dudeljk dat bj de besprekg va het expermet (vóór, tjdes e a de aalyse), de rol va de cotext, e dus odermeer ook eehede, maer va opmete, ez., eve belagrjk s al de rol va wskude, maar deze tekst waarbj k de otate-afspraak probeer te verdudeljke, ga k dt et telkes herhale. De afspraak dat utkomste (evetueel tjdeljk) met getalle worde geassoceerd ka op ee atuurljke maer woorde worde geformuleerd. Hervoor s gee fuctevoorschrft odg. Da komt het euwe dekkader. Aageze het toeval elk statstsch expermet aawezg s, kome de getalle op ee toevallge maer tot mj. Elke partculere utkomst s ee toevallg getal, getrokke ut ee populate, e wat het zal zj weet k et vooraf. Maar er s ets wat k wel weet. Op bass va heel veel trekkge zal k ee patroo ze verschje (relateve frequete als goede beaderg va het begrp kas). Dat patroo s stabel (of adert aar stabltet als je dat probeert te verdudeljke met smulatestudes). Er s dus regulartet the log ru. Deze regulartet va het toeval formalsere ee wskudge taal e de da verder bestudere het kader va ee cotext, dat doet de statstek. Cetrum voor Statstek
3 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Dus, vaaf u bestudeer k het toevalsmechasme dat er voor veratwoordeljk s dat deze getalle op deze toevallge maer tot mj kome. Als k dt mechasme ke, da ke k alles (dt s ee utspraak de dekwereld va de statstek: alles kee beteket het volledge toevalsmechasme kee, het beteket et: wete welk getal k vadaag zal vde als steekproefresultaat). Wat we u odg hebbe s ee formele beschrjvg va dt toevalsmechasme, e ee geëgede otate. Vaaf u werk k met ee zeer beperkt voorbeeld voor ee stuate met dscrete utkomste. Het cotue geval werkt met detek hetzelfde dekkader (toevalsmechasme) maar daar gaat het over tervalle e bjhorede oppervlakte oder curve. Het ka uttg zj om op verschllede maere ee toevalsmechasme voor te stelle. I het beg s ee grafsche voorstellg te verkeze (of ka zj mstes dee als ee extra steu om ee tabelvorm of ee formulevorm beter te begrjpe). Het toevalsmechasme ( zj totaltet) stelle we voor door ee hoofdletter X. Grafsche voorstellg: het vaasmodel? 5 X Bovestaade fguur stelt het toevalsmechasme voor waarmee getalle tot mj kome waeer k lukraak kaartjes trek ut deze vaas. De otate X staat dus et voor het vraagteke de fguur, als je daarmee bedoelt: wat staat er op dat kaartje? X staat voor de volledge fguur, de aageeft welke getalle te verwachte zj, e met welke kas, waeer je ut deze vaas ee kaartje zou gaa trekke (formuleer utsprake over toevalsmechasme de voorwaardeljke wjs dat helpt om atwoorde te krjge de het hele proces beschrjve, e et de toevallge utkomst op jouw getrokke kaartje). Bemerk ook dat ee vaasmodel et zomaar de utkomsteverzamelg geeft (dat s {,5}), maar ee geljktjdge voorstellg s va wat zj alle mogeljke utkomste e met welke kas kome deze utkomste aar mj toe De utspraak P( X = 5) ka je leze als: de kas dat het toevalsmechasme (zoals éédudg gedefeerd door X) het getal 5 oplevert. Of je ka ook spreke over de kas om ee 5 te hebbe als je lukraak ee kaart zou gaa trekke ut de welbepaalde vaas. E utedeljk ka je ook zegge dat dt de kas s om ee 5 te vde als je lukraak zou trekke ut de populate de vastgelegd s door X. Cetrum voor Statstek
4 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Zodra ee leerlg goed begrjpt dat er ee verschl s tusse ee toevallg observategetal e het achterlggede mechasme, s de belagrjke stap gezet om met verklarede statstek te gaa werke. Meer s et odg (maar oderschat de moeljkhedsgraad et om telkes terug toevalsmechasme of achterlggede modelle te deke e te redeere). Veel voorbeelde zj her zeer uttg. Nota. Als we aa cocrete populates deke da stelle we os meestal grote populates voor waarut later ee klee steekproef wordt getrokke. Daarom ka het het beg teressat zj om ook zo te starte. Maak da ee vaas met kaartjes waar ee éé op staat e kaartjes met ee 5 erop. E vertel da dat de heel goed door elkaar geschud worde e dat er da lukraak wordt ut getrokke. Wat je da bemerkt s dat de regulartet va het toevalsmechasme gee gebruk maakt va aatalle maar va structuur. Alles wat je moet wete s welke getalle e met welke kas. Voorstellg tabelvorm (kasverdelg). Hetzelfde toevalsmechasme ka je ook voorstelle (dscrete edge populate) tabelvorm. I zo tabel geef je terug twee dge tegeljk aa: wat zj de mogeljke utkomste e wat zj de bjhorede kase. E het geheel va deze formate oteer je met de hoofdletter X. Ee specfeke utkomst va ee toevalsmechasme X oteer je door de correspoderede klee letter x. Ee tabel s voor bepaalde leerlge waarschjljk reeds moeljker om zch ee cocreet dee te vorme over ee achterlgged deaal model. het deale model X de utkomste va het model X x 5 de bjhorede kase voor dt model X P(X=x) 4 4 Op het gepaste ogeblk komt ook de voorstellg formulevorm (zoals Bomale of Posso), maar voer de slechts als je ze ook echt gebrukt. Het ege wat je her odg hebt s de defte va het toevalsmechasme (utkomste e hu kase), e da ka je zoder verdere berekege (maar met evetuele hulp va ICT) je statstsche toetse utvoere e te volle begrjpe wat zj betekee. Cetrum voor Statstek 4
5 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Steekproef ======== Ut de bovestaade populate X trek k ee steekproef va grootte. Bemerk terug dat her het volledge toevalsmechasme aagedud wordt met populate X. Hermee wordt bedoeld dat k et zomaar trek ut de verzamelg {,5} maar dat ook de kase va de utkomste meespele. Mssche s het goed om regelmatg de z k trek ut ee populate X te vervage door het syoem k kjk aar de maer waarop het toevalsmechasme X de getalle aar mj stuurt als k dat toevalsmechasme voor mj getalle laat geerere Ik trek lukraak ut de vaas e ze dat er op mj kaartje het cjfer 5 staat. Dat oteer k door x. Da leg k het kaartje terug de vaas, schud ees goed, e trek terug ee kaartje. Nu heb k het cjfer. Dat resultaat oteer k door x. E algemee oteer k elk resultaat (of het u eezelfde getal oplevert of et) gewoo de volgorde waar de getalle tot mj kome, dus x, x, x voor ee steekproef va grootte. E u bege we helemaal opeuw. Ik dek dat dt de juste weg s om het aa te lere aa leerlge: va cocrete utkomst aar achterlgged model, e et omgekeerd. Dus eerst altjd aa leerlge vrage: wat zou je cocreet doe? Da late aavoele dat, als zj dat morge opeuw doe, er ets aders zal utkome. E da de vraag stelle aar: welk oderlgged mechasme s er dat er voor zorgt dat jj dergeljke dge utkomt? Ut de bovestaade populate X wl k ee steekproef va grootte trekke. Wat zal er op mj kaartje staa als k ee eerste keer ga trekke? Herop ka je allee atwoorde met ee model. E aageze je ut de specfeke populate X gaat trekke, zal je eerste trekkg het volgede oplevere:? 5 X Iderdaad, dt s het toevalsmechasme dat preces beschrjft wat je ka utkome e met welke kase als je ee eerste keer ut de populate X zou gaa trekke. Dt toevalsmechasme oteer je met ee hoofdletter X, e ee toevallge waarde oteer je met de correspoderede klee letter x. x 5 P(X =x ) 4 4 Cetrum voor Statstek 5
6 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Op dezelfde maer ka je het toevalsmechasme va de tweede trekkg opstelle: x 5 P(X =x ) 4 4 Mj steekproef va grootte s dus als model te schrjve als het geordede paar (X, X ). Dt georded paar (X, X ) beschrjft elk mogeljk georded tweetal dat k zou kue utkome same met hu kase als k ee steekproef va grootte twee zou gaa trekke ut deze populate X. Explcet zet dt er als volgt ut: 5 5?? (X, X ) of ook: ( x, x ) (, ) (, 5 ) ( 5, ) ( 5, 5 ) (( X, X ) ( x x ) P = ), Afspraak: het toevalsmechasme (dat de resultate va ee steekproef va grootte stuurt) wordt voorgesteld door hoofdletters (X, X,,X ). De specfeke utkomste de k mj toevallge steekproef vd stel k voor door klee letters (x,x,,x ). Cetrum voor Statstek 6
7 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Groothede gebaseerd op ee steekproef: - ee eerste groothed: het steekproefgemddelde. ========================================= Beg terug cocreet. Als je ut de populate X ee steekproef va grootte twee trekt e je utkomste zj 5 e, wat s da het gemddelde? Wel, de formule e otate zj deze stuate als volgt: x = x zodat je her x = vdt. = Realseer je da dat opeuw ee steekproef va grootte twee trekke ut dezelfde populate, e da terug het gemddelde berekee, waarschjljk et hetzelfde zal oplevere. Om over steekproefgemddelde te kue adeke s er terug maar éé weteschappeljke weg ( de statstek): je hebt de volledge specfcate odg va het oderlggede toevalsmechasme dat uw utkomste geereert (e dt geval s dt: wat ka k allemaal utkome, e met welke kas, als k ut deze populate X ee steekproef va grootte twee zou gaa trekke e da met de gevode getalle het gemddelde bereke). Ut bovestaad vaasmodel voor (X, X ) ka je dat u rechtstreeks afleze. Op 9 va de 6 kaartjes staat (,) wat als som twee geeft e als gemddelde éé. Ik zal dus éé vde met kas 9/6. Ee correcte otate voor het model va het steekproefgemddelde s (hoofdletters!) X = X. Herbj s X = volledg vastgelegd door: 5? of, equvalet, door: X x 5 P ( X = x) Afspraak: het toevalsmechasme dat aa de bass lgt va de resultate de je krjgt als je het gemddelde va steekproefresultate bereket wordt voorgesteld door ee hoofdletter X = X. De = specfeke waarde de je utkomt bj het berekee va het gemddelde va uw toevallge steekproefresultate stel je voor door de correspoderede klee letter x = x. = Hou dus de wereld va de oderlggede modelle e de wereld va de geobserveerde toevallge utkomste dudeljk geschede, ook otate. Cetrum voor Statstek 7
8 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Groothede gebaseerd op ee steekproef: - ee tweede groothed: de steekproefvarate. ======================================= Beg terug cocreet. Als je ut de populate X ee steekproef va grootte twee trekt e je utkomste zj 5 e, wat s da de varate? De formule e de otate zj als volgt: s = ( x x) zodat je her s = 8 vdt. = Opeuw ee steekproef va grootte twee trekke levert waarschjljk twee adere getalle, e als je daar da de varate va bereket ka dat ee adere utkomst oplevere. Om het gedrag va de steekproefvarate te begrjpe heb je terug de volledge specfcate odg va het oderlgged toevalsmechasme (e dt geval s dt: wat ka k allemaal utkome, e met welke kas, als k ut deze populate X ee steekproef va grootte twee zou gaa trekke e da de varate zou berekee va de gevode getalle). Ut bovestaad vaasmodel voor (X, X ) ka je dat u rechtstreeks afleze. Op 9 va de 6 kaartjes staat (,) e op éé kaartje staat (5,5). Er zj dus 0 va de 6 koppels de twee deteke getalle oplevere, e daarva s de varate geljk aa ul. Verder zj er og 6 kaartjes de twee verschllede getalle oplevere, ameljk ee éé e ee vjf. Het gemddelde herva s e de varate s ( x x) = ( ) + (5 ) = 8 s =. Ee correcte otate voor het model va de = steekproefvarate s (hoofdletters!) S = ( X X ). Herbj s S volledg vastgelegd door: = ? of, equvalet, door: S s 0 8 P ( S = s ) Afspraak: het toevalsmechasme dat aa de bass lgt va de resultate de je krjgt als je de varate va steekproefresultate bereket wordt voorgesteld door ee hoofdletter S = ( X X ). = De specfeke waarde de je utkomt bj het berekee va de varate va uw toevallge steekproefresultate stel je voor door de correspoderede klee letter s = ( x x). = Cetrum voor Statstek 8
9 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Egeschappe va deale modelle (toevalsmechasme): -ee eerste egeschap: de verwachtgswaarde. ================================================== Wat s het gemddelde va ee dobbelstee? Of wat s het gemddelde va volged vaasmodel?? 5 X Dt zj vrage over egeschappe va (theoretsche) oderlggede modelle, et va ee aatal geobserveerde toevallge getalle. Met behulp va de kasdefte vaut het begrp relateve frequete ka je zcht krjge de wskudge defte va ee modelegeschap (zoals de verwachtgswaarde). Stel je voor dat je ut bovestaade vaas lukraak trekt, het getal oteert e da het kaartje teruglegt, e dat je dt zeer veel kere doet. De regulartet je toevallge utkomste zal ertoe aaledg geve dat je (ogeveer) dre keer op ver ee op je kaartje hebt, e ogeveer éé keer op ver ee 5. Als je u met de teduzede getalle de je zo gevode hebt het gemddelde zou berekee, da zou je bj beaderg ets hebbe va de vorm ( keer het cjfer plus keer het cjfer 5) wat zeer goed ljkt 4 4 op de gewoge som va alle mogeljke verschllede utkomste (als gewcht eem je de belagrjkhed va ee utkomst, ameljk de kas dat je preces de utkomst vdt). Iderdaad, de exacte formule voor wat je gemddeld verwacht va ee model, e de dus over ee trseke modelegeschap gaat, s: gemddelde (of verwachtgswaarde) va ee dscreet toevalsmechasme : E ( X ) x P( X = x ) Herbj staat E voor verwachtgswaarde (= Expectato) e staat er a de E ee hoofdletter X tusse de haakjes. Het gaat over wat je gemddeld verwacht te vde als je met dat model X werkt. E X s ee egeschap (of ee karakterstek) va het model, het s ee getal (e dus gee model!!!!). ( ) = Cetrum voor Statstek 9
10 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Als het toevalsmechasme X het model s waarmee je de oderlggede populate beschrjft, da geef je E( X ) ee specale otate. Het s mmers gebrukeljk dat karaktersteke va ee populate aagedud worde met Grekse letters, e de verwachtgswaarde va ee populatemodel (of het gemddelde va ee populate) wordt geoteerd door μ. x = = + zodat het populategemddelde 4 4 I os voorbeeld hebbe we: μ = P( X x ) ( ) () 5 = geljk s aa. = Voor elk dscreet toevalsmechasme ka je de verwachtgswaarde berekee. De formule hervoor s telkes dezelfde, ameljk de gewoge som va alle mogeljke verschllede utkomste vermegvuldgd met hu kase. Late we dat eve bekjke voor het toevalsmechasme dat het steekproefgemddelde aastuurt. Wat komt daar gemddeld ut? I os voorbeeld hebbe we de volledge specfcate opgesteld voor het toevalsmechasme va os steekproefgemddelde. Dat was: x 5 P ( X = x) Met de formule voor de verwachtgswaarde krjge we her: E ( X ) x P( X = x ) = () + () + () 5 = = Het fet dat we her terug ee waarde vde s gee toeval. Dt s gewoo ee llustrate va ee algemee egeschap de zegt dat het toevalsmechasme dat het steekproefgemddelde aastuurt ee trsek gemddelde heeft dat geljk s aa het trsek gemddelde va de populate waarut je de steekproeve trekt. Of verkort: het gemddelde va het steekproefgemddelde s het populategemddelde. Je ka dt als volgt voorstelle. Trek ee steekproef va grootte e bereke het gemddelde. Da kom je erges terecht. Trek ut dezelfde populate terug ee steekproef va grootte e bereke het gemddelde. Da kom je ook erges terecht, e dat zal wel et op exact dezelfde plaats zj als zopas. Bljf dt doe e bereke telkes het steekproefgemddelde. Je zal da getalle vde de va elkaar afwjke. Maar als je het gemddelde va deze getalle u bereket, wel da valt dat gemddelde ( de log ru) exact same met het populategemddelde. Je hebt dus de algemee (wskudg bewjsbare) egeschap dat: E ( X ) = μ Deze egeschap gebruk je bj het opstelle va betrouwbaarhedstervalle e bj het toetse va hypothese. Cetrum voor Statstek 0
11 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Wat s het gemddelde va de steekproefvarate S? Ook hervoor heb je eerst het oderlggede model va S odg. Dat was: s 0 8 P ( S = s ) Met de formule voor de verwachtgswaarde krjg je her: E 0 6 ( S ) s P( S = s ) = ( 0) + () 8 = = = 6 6 Verder deze tekst wordt aagetood dat de populatevarate ook geljk s aa. Dt s terug gee toeval maar ee llustrate va de algemee (wskudg bewjsbare) egeschap dat E S = σ. Er geldt dus dat het gemddelde va de steekproefvarate geljk s aa de populatevarate. Bemerk dat ( ) S = σ ( ) E S = σ slechts waar s waeer de steekproefvarate gedefeerd wordt als ( = X X ), waarbj er gedeeld wordt door (-). De afsprake e egeschappe de betrekkg hebbe op het gemddelde (de verwachtgswaarde) va ee deaal model (toevalsmechasme) kue we oderstaade tabel samevatte. Afsprake e egeschappe voor de verwachtgswaarde E(. ) Gemddelde va de populate X E (X ) = μ Dt s ee otateafspraak: de verwachtgswaarde va de populate X geve we de aam μ Dt s ee algemee egeschap. Het Gemddelde va het steekproefgemddelde heeft ee gemddelde, e de E (X ) = μ steekproefgemddelde X populate heeft ee gemddelde, e deze twee gemddelde valle same. Gemddelde va de steekproefvarate S E ( S ) = σ Dt s ee algemee egeschap. De steekproefvarate heeft ee gemddelde, e dat gemddelde valt same met de populatevarate. Cetrum voor Statstek
12 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Egeschappe va deale modelle (toevalsmechasme): -ee tweede egeschap: de varate. ================================================ Wat s de varate va volged vaasmodel?? 5 X Bemerk terug dat dt ee vraag s over ee egeschap va ee oderlggede model, et va ee aatal geobserveerde getalle. Je ka her volledg aaloog redeere zoals bj de verwachtgswaarde. De exacte formule voor de varate va ee model (wat dus ee trseke modelegeschap s) zet er als volgt ut: varate va ee dscreet toevalsmechasme: ( X ) ( x E( X )) P( X = x var = ) Als je aar de structuur va de formule kjkt ze je dat je terug te make hebt met ee gewoge som. Deze keer wordt, voor alle mogeljke verschllede utkomste, de som gemaakt va hu kwadratsche afstad tot het modelgemddelde, gewoge met hu ege kas. De stadaardafwjkg (of stadaarddevate) ka je otere als sd(. ) : stadaardafwjkg va ee dscreet toevalsmechasme: sd ( X ) ( x E( X )) P( X = x ) = Waeer het toevalsmechasme de beschrjvg s va de oderlggede populate, da krjgt var ( X ) ee specale otate, ameljk σ (Grekse letter). E daar dt geval E ( X ) geoteerd wordt door μ heb je dat σ = ( x μ ) P( X = x ). Voor de populate X beschreve het vaasmodel, vd je dat σ = ( x μ) P ( X = x ) = ( ) + (5 ) = zodat 4 4 σ =. Cetrum voor Statstek
13 De vele werelde va de statstek Notateafsprake Voor elk dscreet toevalsmechasme ka je de varate e de stadaardafwjkg berekee. De formule hervoor s telkes dezelfde. De stadaardafwjkg va ee model gebaseerd op ee steekproef (zoals het steekproefgemddelde e de steekproefvarate) wordt meestal stadaardfout geoemd. De afkortg hervoor s se(. ) wat verwjst aar de Egelse beamg: stadard error. Wat s de varate va het steekproefgemddelde? Zoals altjd vertrek je vaut de modelspecfcate va het toevalsmechasme, de her gegeve wordt door: x 5 P ( X = x) E X = ): Ee rechtstreekse toepassg va de formule geeft (herer u dat ( ) var 9 6 ( X ) ( x E( X ) P ( X = x ) = ( ) + ( ) + ( 5 ) = 6 6 zodat de stadaardfout va het steekproefgemddelde geljk s aa: ( X ) 6 = se =. Bemerk dat ook geljk s aa de stadaardafwjkg va de populate X, e dat de verkatswortel s ut de steekproefgrootte (wat her s =). Dt s gee toeval. Je hebt her ee σ voorbeeld va ee algemee (wskudg bewjsbare) egeschap de zegt dat: se( X ) =. De stadaardfout va het steekproefgemddelde s geljk aa de stadaardafwjkg va de populate gedeeld door de verkatswortel va de steekproefgrootte. Deze egeschap gebruk je bj het opstelle va betrouwbaarhedstervalle e bj het toetse va hypothese. Herbj s de stadaardafwjkg σ va de populate meestal et geked, e moet de vervage worde door ee goede schatter. Ee goed model, dat gemddeld exact op σ valt, wordt gegeve door S = ( X X ), wat E( S ) = σ. = Dt verklaart waarom er gedeeld wordt door (-). Cetrum voor Statstek
14 De vele werelde va de statstek Notateafsprake =========================================================================== (*) Strkt geome ka je de werelde va de statstek herlede tot twee werelde: De wereld va de toevalsmechasme (de observategetalle geerere) De wereld va de cocrete observategetalle zelf Voor toevalsmechasme heb je algemee otates de hu egeschappe aadude, zoals E(.) voor de verwachtgswaarde. Je hebt dus E(X) voor de verwachtgwaarde va het toevalsmechasme dat de populate aastuurt, E( X ) voor de verwachtgswaarde va het toevalsmechasme dat het steekproefgemddelde aastuurt, ez.. De populate, als oderlgged model waarover de prmare oderzoeksvraag gaat, e waarop ook alle verdere toevalsmechasme steue va de steekproef, krjgt ee specale plaats (e otate) be al de toevalsmechasme (maar de formules bljve wel dezelfde, ameljk de algemee formules voor toevalsmechasme!). De otateafspraak echter vraagt dat we egeschappe va ee populate de aam populateparameters geve, e dat we ze aadude met Grekse letters. =========================================================================== Cetrum voor Statstek 4
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Populatemodelle e ormaal verdeelde populates. Werktekst voor de leerlg Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vacaudeberg . Het gemddelde va
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 4. Werktekst voor de leerlg Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vacaudeberg . Populatemodelle:
Nadere informatieDe standaardafwijking
Statstek voor het secudar oderwjs De stadaardafwjkg De stadaardafwjkg Prof dr Herma Callaert Ihoudstafel Motvate Ee groter kader: leare modelle Dre dmeses, twee verklarede veraderljke Twee dmeses, éé verklarede
Nadere informatieVia de grafische rekenmachine krijg je o.a. de volgende statistische resultaten: . In rekenmachinetaal wordt dit 3, 3248.
Waarom steut de grafsche rekemache e/of computer op om de stadaardafwjkg te berekee? Bj het verwerke va statstsche data bereket de grafsche rekemache ee aatal cetrum- e spredgsmate zodat deze door de leerlge
Nadere informatieVergelijken van verdelingen
Les 5 Vergeljke va verdelge I de vorge les hebbe we aar toetse voor hypothese gekeke, waarbj de hypothese ee utspraak over ee parameter va ee kasverdelg was, bjvoorbeeld over het gemddelde of ee relateve
Nadere informatieHet gemiddelde. Prof. dr. Herman Callaert. Inhoudstafel
Statstek voor het secudar oderwjs Het gemddelde Het gemddelde Prof. dr. Herma Callaert Ihoudstafel Het tuïteve begrp gemddelde.... Er same voor opdraae....2 Eerljk verdele.... 2 Spele met de bouwstee va
Nadere informatiex z vonden we dat de z-score aangeeft hoeveel standaardafwijkingen de waarde
PW11: Betrouwbaarhedstervalle Bj de stude va de ormale verdelg hebbe we geze dat volgede belagrjke 68-95 - 99.7 regel geldt: Ogeveer 68% va de waaremge lgt be ee afstad va Ogeveer 95% va de waaremge lgt
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combatorek groep Tragsweeked ovember 013 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te make met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrjk bj het make va opgave s om et allee de theore de je ket
Nadere informatieZelf statistiek oefenen
Photo by rawpxel o Usplash Oefeg baat kust Atwoorde bj de oefevrage. Lteratuur Schremer, M.G. (017). Statstek voor de beroepspraktjk. Statstek lere leze, daara begrjpe e berekee met SPSS. Voor hbo e wo.
Nadere informatieZelf statistiek oefenen
Photo by rawpxel o Usplash Oefeg baat kust u zelf aa de slag. De vrage staa door elkaar. Er zj multplechocevrage e ope vrage. I de toekomst kome er vrage bj. Het s ee greep va de mogeljke vrage de je kut
Nadere informatieRegressie, correlatie en modelvorming
Hoofdstuk 9 Regresse, correlate e modelvormg 9. Leare regresse 9.. Ileded voorbeeld De pute (,3), (,) e (3,5) lgge et op éé rechte. Hoe kue we de rechte vde de het best aaslut bj de pute? Plaats de coördate
Nadere informatieIn samenwerking met. ECU 92 - www.ecu92.nl
I samewerkg met ECU 9 - www.ecu9.l Leo Strjbosch Makkeljk Lere! Statstek Compedum Studetesupport Studetesupport.l 6 Leo Strjbosch & Studetesupport Dowload grats op ISBN 87-768-46-8 Studetesupport Studetesupport.l
Nadere informatieCombinatoriek-mix groep 2
Combatore-mx groep Tragsweeed, ovember 0 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te mae met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrj bj het mae va opgave s om et allee de theore de je et goed
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade
. De ood aa abstract rekee. Twee vraagstukke Late we om te bege ees kjke aar de volgede twee probleempjes: ee oud e ee recet. Vraagstuk (Cha, 7, Q Jushao) Ee oude vrouw gaat aar de markt om haar eere te
Nadere informatieSAMENVATTING STATISTIEK I
SAMENVATTING STATISTIEK I Gebaseerd o de cursus statstek I 005-006 va Therry Marchat Gemaakt door Sve Metteege Iledg Beschrjvede statstek: Verzamelg va techeke om data sythetsch voor te stelle of same
Nadere informatie1) Beschrijvende statistiek - herhaling
Statstek ) Beschrjvede statstek - herhalg Wat s statstek? Beschrjvede statstek De beschrjvede statstek verzamelt gegeves e beschrjft de toestad door de gegeves te ordee tabelle, te verwerke, same te vatte
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combatore groep Mx: ducte, ladeprcpe, bomaalcoëffcëte, paaseereprcpe Tragsweeed ovember 015 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te mae met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrj bj het
Nadere informatieStatistiek voor Informatiekunde (I00099)
Statstek voor Iformatekude (I00099) Berd Souvger voorjaar 005 Ihoud Les 1 Beschrjvede statstek....................... 3 1.1 Represetate va gegeves................. 3 1. Klasse............................
Nadere informatieSnel, sneller, snelst: statistiek en 1500 m schaatsen
Oot moet het toch echt et meer seller kue, zou je zegge. Door techsche verbeterge (overdekte bae, euwe schaatspakke, klapschaatse, ezovoort) worde steeds sellere tjde gerealseerd. Maar zelfs als deze vloede
Nadere informatie2 Financieel rekenen
Noordhoff Utgevers bv 13 Faceel rekee.1 Iledg. Hoofdsom, omale e effecteve terest.3 Spare op bass va samegestelde varabele terest.4 Slotwaarde e cotate waarde.5 Meetkudge reekse e auïtete Samevattg Opgave
Nadere informatieen haar gekke uitvindingen
I gera vd je Z V B S R G Vroem vroem, tuut tuut! Zoek de 7 verschlle Ka jj Soumaya haar fets helpe make? Verbd de pute! Lesfche Wat weet je over gera? Weet jj og hoe de vlag va gera erutzet? Kleur ze!
Nadere informatieStatistiek II (A) ( ) H1: Puntschatters. Samenvatting Statistiek II (A) 9/01/2009 Y.W.
amevattg tatste II (A) 9//9 Y.W. H: Putschatters tatste II (A) Ee schatter θˆ voor ee populateparameter θ s zuver als E ( θˆ ) θ, zoet s het ee verteede schatter. De maat va ozuverhed verteeg (bas) B(
Nadere informatieVariantie-analyse (ANOVA)
Statstek voor Informatekunde, 2006 Les 6 Varante-analyse (ANOVA) Met de χ 2 -toetsen zjn we nagegaan of verschllende steekproeven bj dezelfde verdelng horen. Vaak komt men echter ook de vraag tegen of
Nadere informatieWegwijzer in de statistiek
Leo Strjbosch Wegwjzer de statstek Studetesupport Studetesupport.l 6 Leo Strjbosch & Studetesupport Dowload grats op ISBN 87-768-58- Studetesupport Studetesupport.l Ihoudsopgave Ihoudsopgave....3.4.5.6....3.4.5.6
Nadere informatie7. Betrouwbaarheidsintervallen voor proporties
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 7. Betrouwbaarheidsitervalle voor proporties Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg
Nadere informatieZoekersrubriek P Q R S [ ] respectievelijk, zodanig dat Q tussen A en R ligt en zodanig dat
Wskude & Oderwjs 38ste jaargag (0) Zoekersrubrek Are Smeets Chrstophe Debry Woord vooraf Als euwe redacteurs va de zoekersrubrek wese wj bj het verschje va de eerste volledge zoekersrubrek va oze had hulde
Nadere informatieα ψ n Eigenwaardevergelijkingen ψ n (i = 1, g n ) Eigenvectoren en eigenwaarden van een operator eigenket eigenvector eigenwaarde is ook eigenvector
Egewaardevergeljkge Egevectore e egewaarde va ee operator A = λ egeket egevector egewaarde α s ook egevector ( =, g ) egewaarde λ s g -voudg otaard, als er g oafhakeljke kets correspodere met dezelfde
Nadere informatieREGRESSIE met de TI-83
REGRESSIE met de TI-83 Beke Va Deyck Studete K.U. Leuve HOOFDSTUK : INLEIDENDE BEGRIPPEN: CENTRUMMATEN EN SPREIDINGSMATEN. A. Iledg. Statstek s het verzamele e bestudere va umereke gegeves om vervolges
Nadere informatienfraphil w wl il.nl www.infraphil.nl nf r P h l w, i. P t" w l. nf rs w n i ww w.infraphil.nl ww Genezing door warmte Schoonheidsbehandeling
W W W. l fral.l. l.l.fral.l a l.l.fra.fral.l P r a p h l.l.fra, fral.l. l.l.fral.l, a l.l.fra l,fra.l a p h l.l.ïfra, fral.l. l.!.fral.l a l...fra!.fra.l a p h l.l.fra fral.l. l.l.fral.l. ï a l.l.fra l.fral.l
Nadere informatieEen toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.
006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose
Nadere informatieBeste EWers, Nog veel succes, Vincent Jacobs.
Beste EWers, Omdat prof. Lauwers dudeljk et graag heeft dat zj studete statstek lere va hem heb k voor mj tweede zt al mj ottes va tjdes de lesse op getypt e georgaseerd. De volgede paga's zj dus gebaseerd
Nadere informatieFOTO-ELEKTRISCH EFFECT
. ACHTERGRONDINFORMATIE FOTO-ELEKTRISCH EFFECT I 887 expermeteerde de Dutse fyscus Herch Hertz met de vormg e voortplatg va elektromagetsche golve. Terwjl hj oderzocht hoe voke otstaa tusse elektrsch gelade
Nadere informatieHoe los ik het op, samen met Thuisvester? Ik heb een klacht
Klachte? Hoe los ik het op, same met Thuisvester? Ik heb ee klacht Thuisvester doet haar uiterste best de beste service te verlee aa haar huurders. We vide ee goede relatie met oze klate erg belagrijk.
Nadere informatieHoofdstuk 1: Ideale Gassen
Hoofdstuk 1: Ideale Gasse 1.1 DEFINITIE Ee deaal gas oldoet aa de olgede oorwaarde: Het gas bestaat ut ee zeer groot aatal olecule de als deeltjes (putassa's) oge worde opgeat Alle deeltjes zj detek De
Nadere informatieStatistiek 2 voor TeMa Associaties tussen kwantitatieve variabelen. Statistiek 2 voor TeMa Associaties tussen kwantitatieve variabelen
Statstek voor TeMa Leare regresse doel Oderzoek aar het verbad tusse éé cotue varabele e éé of meer cotue varabele opbregst per hectare - hoeveelhed kustmest huzeprjs - aatal kamers, bouwjaar jscosumpte
Nadere informatieVan beschrijvende naar verklarende statistiek
Hoofdstuk 5 Van beschrjvende naar verklarende statstek We hebben gezen n de beschrjvende statstek hoe we data grafsch kunnen voorstellen en samenvatten door centrum- en spredngsmaten als we beschkken over
Nadere informatiePeriodiciteit bij breuken
Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat
Nadere informatieBetrouwbaarheidsintervallen
tatistiek voor Iformatiekude, 005 Les 3 Betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we groothede va ee populatie met behulp va steekproeve kue schatte. We hebbe daarbij gezie dat
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatieAandrijfelektronica \ Aandrijfautomatisering \ Systeemintegratie \ Service. Handboek. Prefabriceren van kabels Kabels voor synchrone servomotoren
Aadrjelektroca \ Aadrjautomatserg \ Systeemtegrate \ Servce Hadboek reabrcere va kabels Kabels voor sychroe servomotore Utgave 12/2011 19301685 / NL SEW-EURODRIVE Drvg the world Ihoudsopgave 1 Crmpgereedschap...
Nadere informatieStatistiek Voor studenten Bouwkunde College 5
Statistiek Voor studete Bouwkude College 5 toevalsfluctuaties Programma voor vadaag Terugblik Wet va de grote aatalle Verwachtigswaarde Stadaardfout e wortel wet Normale beaderig voor kashistogramme Prof.
Nadere informatieEen Nieuw Conceptueel Model Voor Boekhouden Met Verschillende Abstractniveaus Sweere, A.M.J.
Tlburg Uversty Ee Neuw Coceptueel Model Voor Boekhoude Met Verschllede Abstractveaus Sweere, A.M.J. Publcato date: 999 Lk to publcato Ctato for publshed verso (APA): Sweere, A. M. J. (999). Ee Neuw Coceptueel
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatieEen Nieuw Conceptueel Model Voor Boekhouden Met Verschillende Abstractniveaus Sweere, A.M.J.
Tlburg Uversty Ee Neuw Coceptueel Model Voor Boekhoude Met Verschllede Abstractveaus Sweere, A.M.J. Publcato date: 999 Lk to publcato Ctato for publshed verso (APA): Sweere, A. M. J. (999). Ee Neuw Coceptueel
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II
Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te
Nadere informatieOngelijkheden. IMO trainingsweekend 2013
Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal
Nadere informatieBetrouwbaarheid van een steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie
Betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillede steekproeve uit eezelfde populatie levere verschillede (steekproef) resultate op. Dit overmijdelijke verschijsel oeme we
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatieSteekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef
Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte
Nadere informatieLagrange-polynomen. Dick Klingens september 2004
Lgrge-polyome Dck Klges september 004 1. Probleem V ee fucte f s, hetzj door metg, hetzj door berekeg, slechts ee edg tl fuctewrde (her + 1 beked: f( x0, f( x1,, f( x We wlle deze (verder obekede fucte
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer
Nadere informatieRijen met de TI-nspire vii
Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2016-I
wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat
Nadere informatiePARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 3. Populatie en steekproef. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Populatie: een intuïtieve definitie.... Een
Nadere informatieDe standaardafwijking die deze verdeling bepaalt is gegeven door
RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE VWO CM T311-VCM-H911 Voor elk oderdeel is aagegeve hoeveel pute kue worde behaald. Atwoorde moete altijd zij voorzie va ee berekeig, toelichtig of argumetatie. MAX:
Nadere informatie7.1 Recursieve formules [1]
7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u
Nadere informatieTentamen van Wiskunde B voor CiT (151217) Tentamen van Statistiek voor BIT (153031) Vrijdag 27 januari 2006 van 9.00 tot uur
Kenmerk: TW6/SK/5/kp Datum: 9--6 Tentamen van Wskunde B voor CT (57) Tentamen van Statstek voor BIT (533) Vrjdag 7 januar 6 van 9. tot. uur Dt tentamen bestaat ut 9 opgaven, tabellen en formulebladen.
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatie1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten
Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatie12 Kansrekening. 12.1 Kansruimten WIS12 1
WIS12 1 12 Kasrekeig 12.1 Kasruimte Kasmaat Ee experimet is ee hadelig of serie hadelige met ee of meer mogelijke resultate uitkomste geoemd). De uitkomsteruimte, die we steeds zulle aageve met Ω, is de
Nadere informatieWe kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:
Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:
Nadere informatieUitwerkingen toets 11 juni 2011
Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het
Nadere informatieStatistiek Voor studenten Bouwkunde College 3
0 5 6 Statstek Voor studete ouwkude ollege orrelate e regresse Programma voor vadaag Terugblk op college & ssocate e de correlatecoëffcët Regressefucte als beschrjvg va lokaal gemddelde Root-Mea-Squared
Nadere informatiePROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1
PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked
Nadere informatieHogeschool Utrecht. Standaard Rapport. Online Rapport. Faculteit Educatie. HBOspiegel.nl 10-9-2013
Olie Rapport Hogeschool Utrecht Faculteit Educatie Stadaard Rapport HBOspiegel.l 10-9-2013 Dit rapport is automatisch gegeereerd: 11-9-2013 13:53:17 DigiDoc Web Hostig Aalyse: Aalyse: ROCMN - ICT College
Nadere informatieStelling. Overzicht van de voordracht
Kasree e Statste verdep voor wsude D Raer Kaeders Radboud Uverstet mee Stell De ewoe stof va wsude A bedt voldoede moelhede voor wsude D als h et oppervla wordt behadeld. Overzht va de voordraht 00 slu
Nadere informatieWerktekst 1: Een bos beheren
Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig
Nadere informatieStatistiek = leuk + zinvol
Statistiek = leuk + zivol Doel 1: Doel : Doel 3: zie titel ee statistisch oderzoek kue beoordele ee statistisch oderzoek kue opzette ee probleem vertale i stadaardmethode gegeves verzamele, verwerke via
Nadere informatieIteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking
1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde
Nadere informatieHOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6
HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld
Nadere informatieKansrekenen [B-KUL-G0W66A]
KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................
Nadere informatieINLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR
INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) 3--00, 4.00-6.30 UUR Dt tentamen bestaat ut opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord gekomen
Nadere informatieBIOLOGIE Havo / Vwo Tips examenvragen maken. Algemeen. Multiple choice vragen
BIOLOGIE Havo / Vwo Tips examevrage make Algemee Tijdes je exame mag je Bias gebruike. De Bias diet compleet obeschreve e obeplakt te zij. Het gebruik va briefjes als pagiawijzers is iet toegestaa. Het
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 9. Toetsen van hypothesen. Werktekst voor de leerling. Prof. dr.
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 9. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg DEEL. Basisideeë.... Hoe extreem mag
Nadere informatieComplexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
. Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg
Nadere informatieOpgeloste Oefeningen Hoofdstuk 5: Wet van de grote aantallen en Centrale limietstelling
Opgeloste Oefeige Hoofdstuk 5: Wet va de grote aatalle e Cetrale limietstellig 5.. Ee toevalsveraderlijke X is oisso-verdeeld met parameter λ = 00. Bepaal ee odergres voor de waarschijlijkheid (75 X 5).
Nadere informatieBuren en overlast. waar je thuis bent...
Bure e overlast waar je thuis bet... Goed wooklimaat HEEMwoe vidt het belagrijk dat bewoers prettig woe i ee fije buurt. De meeste buurtbewoers kue het goed met elkaar vide. Soms gaat het sameleve i ee
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Kansmodellen. 4. Het steekproefgemiddelde. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Kansmodellen 4. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg . Een concreet voorbeeld.... Een kansmodel
Nadere informatieAppendix A: De rij van Fibonacci
ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B
EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 jui 2012, ochted DUUR VAN HET EXAMEN: 3 uur (180 miute) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Exame met techologisch hulpmiddel 1/6 NL VRAAG B1 ANALYSE Blz.
Nadere informatieEindexamen wiskunde A vwo 2010 - I
Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4
Nadere informatieStatistiek Voor studenten Bouwkunde College 6
Statistiek Voor studete Bouwkude College 6 extrapolatie va steekproef aar populatie Programma voor vadaag Terugblik Populatie e steekproef: extrapolatiestap Represetativiteit, (o)zuiverheid Populatiepercetage
Nadere informatie1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde
Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere
Nadere informatieBetrouwbaarheid. Betrouwbaarheidsinterval
Betrouwbaarheid Ee simulatie beoogt éé of i.h.a. twee of meerdere sceario s te evaluere e te vergelijke, bij Mote Carlo (MC) simulatie voor ee groot aatal istelwaarde, voor éé of meerdere parameters. Hierbij
Nadere informatieEen meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij
Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1 vwo 2008-II
Eidexame wiskude A vwo 008-II Beoordeligsmodel Cotrole bij ieuwbouw maximumscore 4 I 00 ware er (ogeveer) 7 000 ieuwbouwwoige I 004 ware er (ogeveer) 4 800 ieuwbouwwoige De toeame is 7000 4800 00% (: de
Nadere informatie1 Het trekken van ballen uit een vaas
Het trekke va balle uit ee vaas Combiatorische kasprobleme moete worde aagepakt met ee kasmodel dat bestaat uit ee eidige uitkomsteverzamelig Ω va gelijkwaarschijlijke uitkomste Dit wil zegge dat de kas
Nadere informatieDeel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12
Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde Lineaire modellen
Praktische opdracht Wiskude Lieaire modelle Praktische-opdracht door ee scholier 3940 woorde 19 februari 2009 1 1 keer beoordeeld Vak Wiskude Voorwoord Te eerste leek het os ee leuke opdracht waar je veel
Nadere informatieINLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR
INLEIDING FYSISCH-EPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) 1-1-004, 9.00-1.00 UUR Dt tentamen bestaat ut opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord gekomen
Nadere informatie