Variantie-analyse (ANOVA)

Transcriptie

1 Statstek voor Informatekunde, 2006 Les 6 Varante-analyse (ANOVA) Met de χ 2 -toetsen zjn we nagegaan of verschllende steekproeven bj dezelfde verdelng horen. Vaak komt men echter ook de vraag tegen of meerdere verdelngen hetzelfde gemddelde hebben, bjvoorbeeld als het om verschllende behandelngen van een zekere soort groente gaat. Voor twee steekproeven hebben we her al naar gekeken, dt konden we met een toets op het verschl van de twee gemddelden oplossen. Hervoor hadden we onder de veronderstellng dat de twee steekproeven ut verdelngen met dezelfde varante komen, gekeken naar de verdelng van de schatter T := X Y = s 1 n n 2 X Y s n1 n 2 n 1 + n 2 waarbj s 2 = (n 1 1)s 2 1 +(n 2 1)s 2 2 n 1 +n 2 2 de gepoolde varante van de steekproeven was. Net zo als we met de χ 2 -toets een veralgemenng van het vergeljken van twee relateve frequentes naar relateve frequentes voor k klassen hebben gevonden, gaan we nu de toets op geljkhed van gemddelden op meer dan twee steekproeven utbreden. Het dee herbj s, de totale varante van de steekproeven te analyseren en deze te verdelen n de varante bnnen de enkele steekproeven en de varante tussen de steekproeven. Daarom heet deze methode dan ook varante-analyse of kort ANOVA (voor ANalyss Of VArance). We zullen ons n deze cursus beperken tot het eenvoudgste geval van de varante-analyse, nameljk het geval van een enkele parameter de gevareerd wordt en aanledng tot de verschllende steekproeven geeft. Hetzelfde prncpe laat zch op meerdere factoren veralgemenen, waarbj men ook op mogeljke nteracte tussen de verschllende factoren moet letten. Maar algemeen zjn hervoor weng neuwe deeën nodg, de hele analyse wordt alleen maar technsch ngewkkelder en we laten deze problemen her daarom buten beschouwng. 6.1 Varante bnnen en tussen steekproeven We veronderstellen, dat we k steekproeven hebben de afkomstg zjn van normale verdelngen met dezelfde (onbekende) varante σ 2 en met (onbekende) verwachtngswaarden µ 1,..., µ k. De -de steekproef heeft omvang n en zjn elementen worden met x 1,..., x n genoteerd. De totale omvang van alle steekproeven s n := n n k. De nulhypothese ludt dat de k normale verdelngen de de steekproeven voortbrengen alle hetzelfde zjn. Omdat we veronderstellen, dat de verdelngen soweso dezelfde varante hebben, moeten we alleen maar toetsen of de verwachtngswaarden µ 1,..., µ k hetzelfde zjn, de nulhypothese H 0 s dus: H 0 : µ 1 =... = µ k. 85

2 Statstek voor Informatekunde, 2006 Het dee achter de aanname dat alle steekproeven een gemeenschappeljke varante σ 2 hebben lgt n de veronderstellng dat de waarden x j van de vorm x j = µ + ε j zjn, waarbj de ε j toevallge afwjkngen van het gemddelde zjn de onafhankeljk van de steekproef optreden. We berekenen de steekproefgemddelden x en het gemddelde x en gros (d.w.z. het gemddelde over alle steekproeven) zo als we dat altjd hebben gedaan: x := 1 x j en x := 1 x j = n n n n x. j De totale kwadratsche afwjkng v :=,j,j (x j x) 2 tussen alle elementen van de steekproeven en het gemddelde x heeft nu twee bronnen: (1) de kwadratsche afwjkngen v := j (x j x ) 2 bnnen de enkele steekproeven (2) de kwadratsche afwjkng tussen de steekproeven. (x x) 2. Het dee achter de opspltsng van de kwadratsche afwjkng n afwjkngen bnnen en tussen de steekproeven s n de plaatjes n Fguur 17 te zen: x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 x (1) (2) (3) (1) (2) (3) Fguur 17: Steekproeven met klene (lnks) en grote (rechts) varante bnnen de steekproeven In bede plaatjes zen we 3 steekproeven met telkens 4 waarden en de steekproefgemddelden x 1, x 2, x 3 zjn n bede gevallen hetzelfde. 86

3 Statstek voor Informatekunde, 2006 In het lnkerplaatje lggen de elementen van de steekproeven dcht bj de steekproefgemddelden, daarom s de bjdrage van de kwadratsche afwjkngen bnnen de steekproeven n dt geval klen en de totale kwadratsche afwjkng wordt vooral veroorzaakt door de afwjkngen tussen de steekproefgemddelden. Dt s sterke evdente tegen de nulhypothese dat de gemddelden van de verdelngen geljk zjn. In het rechterplaatje zjn de kwadratsche afwjkngen bnnen de steekproeven veel groter terwjl de kwadratsche afwjkngen tussen de steekproefgemddelden nog steeds hetzelfde zjn. Omdat n dt geval de kwadratsche afwjkngen bnnen de steekproeven relatef een groter deel bjdragen aan de totale kwadratsche afwjkng, zou men de nulhypothese moeljker kunnen verwerpen, want de grote spredng bnnen de steekproeven maakt het plausbel, dat alle steekproeven door een verdelng met hetzelfde gemddelde voortgebracht zjn. Om het opspltsen van de totale kwadratsche afwjkng bnnen en tussen de steekproeven preces te analyseren, maken we weer gebruk van onze succesvolle aanpak, de elementen x j van de steekproeven als realsates van onafhankeljke stochasten X j te zen. Ons utgangspunt s herbj, dat X j N (µ, σ 2 ) s, dus normaal verdeeld met gemddelde µ en varante σ 2. De schatters X voor de gemddelden van de steekproeven en X voor het gemddelde over alle steekproeven zjn dan gegeven door X := 1 n n j=1 X j en X := 1 n k n X j = =1 j=1 Er geldt nu (X j X) 2 = ((X j X ) + (X X)) 2,j,j =,j (X j X ) 2 +,j (X X) 2 + 2,j k =1 n n X. (X j X )(X X) =,j (X j X ) 2 + n (X X) 2 + 2,j (X j X )(X X). We kunnen dt behoorljk vereenvoudgen, want het bljkt dat de laatste term,j (X j X )(X X) geljk aan 0 s. Dt zet men n door de som over j voor een vaste ndex te bekjken: (X j X )(X X) = (X X)( (X j X )) j j = (X X)(( j X j ) n X ) = (X X)(n X n X ) = 0. We hebben dus aangetoond dat (X j X) 2 = (X j X ) 2 + n (X X) 2,j,j }{{}}{{} V b V t 87

4 Statstek voor Informatekunde, 2006 en dt s just de gewenste opspltsng van de kwadratsche afwjkng n afwjkngen bnnen de steekproeven (genoteerd met V b ) en tussen de steekproeven (genoteerd met V t ). We gaan nu de twee stochasten V b (b voor bnnen) en V t (t voor tussen) de zo als net utgewerkt gegeven zjn door V b :=,j (X j X ) 2 en V t := n (X X) 2 apart onderzoeken. Varante bnnen de steekproeven We weten dat de schatter S 2 := 1 n 1 (X j X ) 2 een zuvere schatter voor σ 2 s, daarom s j (X j X ) 2 een zuvere schatter voor (n 1)σ 2. De som V b over de kwadratsche afwjkngen bnnen de steekproeven s dus een zuvere schatter voor (n 1)σ 2 = (n k)σ 2 en dus geldt: Sb 2 := V b n k s een zuvere schatter voor σ2. Varante tussen de steekproeven Om de varante tussen de steekproeven te analyseren, schrjven we de stochasten X j voor de utkomsten n de steekproeven als X j = µ + E j, waarbj E j de afwjkng van de verwachtngswaarde µ van X j aangeeft. In het bjzonder s E j normaal verdeeld met verwachtngswaarde 0 en varante σ 2. Omdat de schatters X verwachtngswaarde µ hebben, heeft X de verwachtngswaarde µ := 1 n µ. n We schrjven nu µ = µ + α, dan zjn de α just de afwjkngen tussen de gemddelden van de enkele verdelngen en het gemddelde over alle verdelngen. In het bjzonder volgt ut µ = 1 n n µ dat n α = n (µ µ) = ( n µ ) nµ = 0. j 88

5 Statstek voor Informatekunde, 2006 Voor de stochast V t geldt nu: V t = n (X X) 2 = n ((X µ ) + (µ X) + (µ µ)) 2 = n (X µ ) 2 + n (µ X) 2 + n (µ µ) 2 +2 n (X µ )(µ X) +2 n (X µ )(µ µ) +2 n (µ X)(µ µ) = n (X µ ) 2 + n(µ X) 2 + n α 2 + 2(µ X) n (X µ ) +2 }{{} = n(µ X) = n (X µ ) 2 n(µ X) 2 + n (X µ )α + 2(µ X) n α }{{} =0 n α n (X µ )α. Dt s nog geen echt handg resultaat, maar utendeljk wllen we net als voor V b een utspraak bereken, dat V t een zuvere schatter voor een zekere parameter s. Hervoor moeten we de verwachtngswaarde van V t bepalen. Ut E[X ] = µ volgt E[(X µ ) 2 ] = V ar(x ) = 1 n 2 V ar( j Met hetzelfde argument volgt ut E[X] = µ dat X j ) = 1 n 2 n σ 2 = σ2 n. E[(X µ) 2 ] = V ar(x) = σ2 n. Verder hebben we natuurljk E[X µ ] = 0, daarom geldt: E[V t ] = n E[(X µ ) 2 ] ne[(µ X) 2 ] + n α n α E[(X µ )] = n σ 2 n n σ2 n + n α 2 = (k 1)σ 2 + n α 2. De nulhypothese ludt dat alle µ hetzelfde zjn, dus dat alle α = 0 zjn, de alternateve hypothese s, dat mnstens een α 0 s. Hermee krjgen we voor de beschrjvng van V t de volgende twee mogeljkheden: (A) Onder de aanname van de nulhypothese α = 0 voor alle geldt: S 2 t := V t k 1 s een zuvere schatter voor σ2. (B) Onder de aanname van de alternateve hypothese α 0 voor een geldt: S 2 t := V t k 1 s een zuvere schatter voor σ2 + 1 k 1 89 n α 2 > σ 2.

6 Statstek voor Informatekunde, 2006 Voor gegeven steekproeven berekenen we nu de concrete realsates s 2 b en s2 t van de schatters Sb 2 en S2 t voor σ 2, dus s 2 b := 1 k n (x j x ) 2 en s 2 t n k := 1 k n (x x) 2. k 1 =1 j=1 Omdat onder de aanname van de nulhypothese Sb 2 en S2 t bede zuvere schatters voor σ 2 zjn, kunnen we n dt geval verwachten dat s 2 b s2 t. Andersom geeft een waarde s 2 t s 2 b evdente tegen de nulhypothese. Voordat we nader bekjken, hoe we de nulhypothese dat alle gemddelden µ hetzelfde zjn, kunnen toetsen, geven we nog een handge maner aan, hoe de grootheden s 2 b en s2 t ut de steekproefwaarden x j berekend kunnen worden. Hervoor noteren we met T := x j,j de som over alle waarden n de steekproeven en met =1 T := j x j = x 1 + x x n de som over alle waarden n de -de steekproef. Het dee dat we nu toepassen, zjn we al n de cursus Kansrekenng tegen gekomen, toen hebben we nameljk ngezen dat voor de varante V ar(x) van een stochast X met verwachtngswaarde E[X] geldt, dat V ar(x) = E[(X E[X]) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2. Het rekenwerk van toen kunnen we nog een keer herhalen: Stel dat we waarden x 1, x 2,..., x n met gemddelde x = 1 n x hebben. Voor de som t := x geldt dan t = n x. We berekenen nu (x x) 2 = x 2 2 x x + nx 2 = x 2 2x( x ) + nx 2 = x 2 2xnx + nx2 = x 2 nx2 = x 2 1 n t2. Met deze berekenng en de notate van boven gaat men rechtstreeks na dat v = (x j x) 2 = (,j,j x 2 j) T 2 n v b = ( j (x j x ) 2 ) = (( j x 2 j ) T 2 ) = ( n,j v t = n (x x) 2 = v v b = ( T 2 ) T 2 n n. Hermee laten zch s 2 b = 1 n k v b en s 2 t = 1 k 1 v t eenvoudg ut de gegevens x j berekenen. x 2 j ) ( T 2 n ) 90

7 Statstek voor Informatekunde, De F -verdelng van Fsher en de F -toets Om de relate tussen de schatters Sb 2 en S2 t precezer te analyseren, zou men naar het verschl St 2 Sb 2 kunnen kjken, maar het bljkt dat dt verschl erg ngewkkelde egenschappen heeft. Een betere keuze s de quotënt van St 2 en, men kjkt dus naar de verdelng van de stochast S 2 b F := S2 t Sb 2. In het geval van de nulhypothese verwacht men voor de realsate f = s2 t s 2 b waarde rond 1. Ut Les 2 weten we dat k 1 σ S2 t een χ 2 -verdelng met k 1 vrjhedsgraden heeft, deze noteren we met χ 2 n k k 1. Evenzo heeft σ S2 b een χ2 -verdelng met n k vrjhedsgraden de we met χ 2 n k aangeven. Herut volgt dat de verdelng van F gegeven s door F = S2 t S 2 b = χ 2 k 1 k 1 χ 2 n k n k = n k k 1 χ2 k 1 χ 2 n k en deze verdelng heet de Fsher-verdelng of F -verdelng met k 1 en n k vrjhedsgraden. Zo als net toegelcht s de F -verdelng (tot op constanten na) een quotënt van χ 2 -verdeelde stochasten met k 1 en n k vrjhedsgraden. Deze twee aantallen van vrjhedsgraden karakterseren de F -verdelng en we noteren de F -verdelng met k 1 en n k vrjhedsgraden met een F k 1,n k = S2 t S 2 b = n k k 1 χ2 k 1. χ 2 n k In Fguur 18 zjn als voorbeelden de F -verdelngen F 3,6 en F 10,20 te zen. Herbj heeft de verdelng F 10,20 het hogere en ets meer rechts lggende maxmum. Voor de geïnteresseerde lezer vermelden we her de explcete dchthedsfuncte f m,n voor de F -verdelng F m,n met m en n vrjhedsgraden. Het zal geen verrassng zjn, dat deze op een quotënt van de dchthedsfunctes van χ 2 -verdelngen ljkt: f m,n (x) = m+n Γ( 2 ) n m Γ( m 2 ) Γ( n 2 n 2 x 2 1 (n + mx) m+n 2 2 )mm De verwachtngswaarde en varante van F m,n zjn E[F m,n ] = n n 2 en V ar(f m,n ) = 2n2 (n + m 2) m(n 2) 2 (n 4). Voor n geldt dat de verdelng F m,n tegen de verdelng van χ2 m m convergeert en voor m gaat F m,n tegen n χ. 2 n 91

8 Statstek voor Informatekunde, x Fguur 18: F -verdelngen F 3,6 en F 10,20. In het specaal geval met k = 2 steekproeven laat zch aantonen dat de verdelng F 1,n just de verdelng van het kwadraat T 2 van een stochast T met Student-t verdelng met n vrjhedsgraden s. De F -toets Analoog met de andere toetsen bepaalt men ook voor de F -verdelng F m,n met m en n vrjhedsgraden krteke f-waarden f α = f m,n,α, zo dat onder de aanname van de nulhypothese steekproeven met een F -waarde de hoger s dan f α alleen maar met kans α optreden, dus zo dat P (F > f α ) = α. Omdat bj een concreet probleem de aantallen m en n van vrjhedsgraden meestal dudeljk zjn, worden deze ndces meestal onderdrukt en worden de krteke waarden met f α n plaats van f m,n,α genoteerd. Onder de aanname van de nulhypothese verwacht men een F -waarde rond 1, terwjl onder de aanname van de alternateve hypothese dat α 0 een waarde s2 t > 1 te verwachten s. Daarom zjn de f s 2 α > 1 en bj de F -toets met b onbetrouwbaarhed α wordt de nulhypothese verworpen als s2 t > f s 2 α s. b In Tabel 4 en Tabel 5 aan het end van dt hoofdstuk zjn een aantal krteke waarden voor de F -verdelngen op onbetrouwbaarhedslevels 0.05 en 0.01 aangegeven. De krteke waarden zjn n de vorm van tabellen voor de verschllende aantallen van vrjhedsgraden aangegeven, waarbj de waarde voor de verdelng F m,n n kolom m van rj n te vnden s (n de tabellen heten de vrjhedsgraden ν 1 en ν 2 n plaats van m en n). De naam varante-analyse voor de F -toets zou nmddels dudeljk zjn. Men analyseert hoe veel van de totale kwadratsche afwjkng door de 92

9 Statstek voor Informatekunde, 2006 afwjkngen bnnen de steekproeven veroorzaakt wordt en hoeveel door de afwjkngen tussen de steekproeven. Als het laatste relatef gezen te veel wordt, geeft dt evdente tegen de nulhypothese dat de verdelngen van de steekproeven alle hetzelfde gemddelde hebben. Het crucale punt s dat bj de opspltsng van de totale kwadratsche afwjkng n de twee componenten V b en V t de component V b net gevoelg tegenover verschllen van de populategemddelden s, terwjl de component V t dt just wel s. Het s opmerkeljk dat de F -toets een toets op geljkhed van gemddelden s de bj de berekenngen gebruk maakt van varantes. Alhoewel voor de verwachtngswaarden van de schatters S 2 b en S2 t σ 2 = E[S 2 b ] E[S2 t ] = σ k 1 n α 2 geldt dat kan het voor concrete steekproeven natuurljk wel gebeuren dat s 2 t < s2 b en dus f = s2 t < 1. Aan de hand van de voorbeelden van F -verdelngen n Fguur 18 s 2 b s dudeljk te zen, dat er een zekere kans op F -waarden klener dan 1 bestaat. Maar als de waarde van s 2 t zo veel klener s dan de waarde van s2 b dat de kans op het toevallge optreden van zo n klene F -waarde zeer klen s, moet men controleren of de hele opzet van de analyse aan de benodgde voorwaarden voldoet. Het eerste punt om op te letten s de aanname dat alle steekproeven dezelfde varante σ 2 hebben. Hervoor laten zch bjvoorbeeld betrouwbaarhedsntervallen voor de steekproefvarantes bepalen. Vaak zjn de enkele steekproeven echter redeljk klen zo dat deze betrouwbaarhedsntervallen behoorljk groot zjn, meestal moet daarom engszns nauwkeurg gekeken worden of het überhaupt znvol s om de varante-analyse toe te passen. 6.3 Varante-analyse tabellen De resultaten van een varante-analyse worden meestal n een bepaalde soort tabellen aangegeven, de er typsch als volgt ut zen: bron vrjheds- kwadratsche schattngen F -waarde P -waarde graden afwjkngen voor σ 2 tussen k 1 n (x x) 2 s 2 t f = s2 t P (F s 2 k 1,n k >f) b bnnen n k,j (x j x ) 2 s 2 b totaal n 1,j (x j x) 2 Voorbeeld: Bj ver leverancers van een zekere stof worden steekproeven genomen en de zuverhed van de stof bepaald (de n procent aangegeven wordt). De vraag s, of er evdente tegen de nulhypothese s, dat de ver leverancers even zuver produceren. De steekproeven en hun gemddelden zjn n de volgende tabel aangegeven: 93

10 Statstek voor Informatekunde, 2006 leverancer steekproeven n x totaal We hebben k = 4 leverancers en n = 16 steekproeven, daarom hebben we de F -verdelng met 3 en 12 vrjhedsgraden nodg. Ut deze gegevens berekent men de volgende varante-analyse tabel: bron vrjheds- kwadratsche schattngen F -waarde P -waarde graden afwjkngen voor σ 2 tussen bnnen totaal Afhankeljk van de gebrukte software wordt de P -waarde net berekend, n dt geval vndt men n de tabellen voor α = 0.05 de krteke waarde f 3,12,0.05 = 3.49 en voor α = 0.01 de krteke waarde f 3,12,0.01 = Men zou dus op een onbetrouwbaarhedslevel van 5% de nulhypothese wel kunnen verwerpen, maar op een onbetrouwbaarhedslevel van 1% net meer. De P -waarde van zegt just, dat onder de aanname van de nulhypothese slechts 2.1% van de steekproeven een F -waarde van of groter zouden opleveren. We zen ook n Fguur 19 dat de gevonden waarde van F al redeljk ver n de staart van de F -verdelng lgt, dus zou men n dt geval n eder geval twjfels hebben of de leverancers even zuvere stof produceren x Fguur 19: F -verdelng met 3 en 12 vrjhedsgraden. Als de nulhypothese dat alle gemddelden µ hetzelfde zjn, verworpen wordt, s het natuurljk nteressant, om een schattng voor de verschllende gemddelden op te stellen. Deze schattngen zjn natuurljk just de steekproefgemddelden x, maar de nteressante vraag s, betrouwbaarhedsntervallen voor deze schattngen te vnden. 94

11 Statstek voor Informatekunde, 2006 Maar hervoor hebben we n prncpe al alles berekend: De stochast Sb 2 = 1 n k V b voor de afwjkngen bnnen de steekproeven geeft de gepoolde varante s 2 als schattng voor σ 2 aan. Deze schattng berust op k =1 (n 1) = n k vrjhedsgraden en de standaardfout voor de steekproefgemddelden s dus s 2 n k. Met behulp van de Student t-verdelng met n k vrjhedsgraden vnden we zo een betrouwbaarhedsnterval rond eder van de steekproefgemddelden, op een onbetrouwbaarhedslevel α s dt: [ ] s 2 s x t n k, α 2 n k, x 2 + t n k, α. 2 n k In het voorbeeld s s 2 = 0.509, n k = 12 en op onbetrouwbaarhedslevel α = 0.05 vnden we de krteke t-waarde t 12,0.025 = Nu berekent men dat s 2 t 12, = 0.449, dus vnden we als betrouwbaarhedsntervallen voor de gemddelden n het voorbeeld: µ 1 [98.776, ]; µ 2 [98.291, ]; µ 3 [97.076, ]; µ 4 [98.718, ]. Het valt op dat het betrouwbaarhedsnterval voor µ 3 met geen van de andere dre ntervallen overlapt, de grote afwjkng van het gemddelde van deze steekproef tegenover de afwjkngen bnnen de steekproeven s de reden voor het verwerpen van de nulhypothese dat alle gemddelden hetzelfde zjn. In eder geval zou men op deze maner tot de beslssng komen dat de zuverhed bj leverancer 3 lager s dan bj de andere dre leverancers. Als men de varante-analyse zonder de derde steekproef herhaalt, krjgt men een totaal andere stuate. De varante-analyse tabel wordt dan: bron vrjheds- kwadratsche schattngen F - P - graden afwjkngen voor σ 2 waarde waarde tussen bnnen totaal De F -waarde lgt dus bjna n het mdden van de verdelng F 2,9 en dus s er geen enkele aanledng om de nulhypothese te verwerpen dat de zuverhed bj de leverancers 1, 2 en 4 hetzelfde s. 95

12 Statstek voor Informatekunde, 2006 Belangrjke begrppen n deze les varante-analyse (ANOVA) afwjkngen bnnen en tussen steekproeven F -verdelng van Fsher F -toets varante-analyse tabel Opgaven 35. Ga na dat n het geval van twee steekproeven de F -toets equvalent s met de toets op geljkhed van gemddelden met behulp van de Student t-verdelng de we n Les 4 hebben behandeld. Aanwjzng: De twee steekproeven zjn x 11, x 12,..., x 1n1 (van omvang n 1 ) en x 21, x 22,..., x 2n2 (van omvang n 2 ). De steekproefgemddelden zjn x 1 = 1 n 1 (x x 1n1 ) en x 2 = 1 n 2 (x x 2n2 ) en de steekproefvarantes zjn s 2 1 = 1 n ((x x 1 ) (x 1n1 x 1 ) 2 ) en s 2 2 = 1 n ((x x 2 ) (x 2n2 x 2 ) 2 ). Het globale gemddelde over bede steekproeven s x = 1 n 1+n 2 ((x x 1n1 ) + (x x 2n2 )) = 1 n 1+n 2 (n 1 x 1 + n 2 x 2 ). We gaan ervan ut dat de steekproeven afkomstg zjn van populates met dezelfde varante σ 2, daarom kunnen we de gepoolde varante s 2 van de twee steekproeven aangeven door s 2 = (n1 1)s2 1 +(n2 1)s2 2 n 1+n 2 2. In Les 4 hebben we aangetoond dat we de nulhypothese H 0 : x 1 = x 2 op onbetrouwbaarhedslevel α verwerpen als t := x 1 x 2 n1 n 2 > t n1+n s n 1 + n 2 2, α. 2 2 Laat nu zen dat voor de toetsngsgroothed f = s2 t s 2 b f = t 2 = (x 1 x 2 ) 2 n 1 n 2 s 2. n 1 + n 2 n de F -toets geldt dat Hervoor s het nuttg om op te merken dat (volgens de defntes) s 2 t = n 1(x 1 x) 2 + n 2 (x 2 x) 2 en s 2 b = 1 n ((n 1+n )s (n 2 1)s 2 2 ). 36. Bj een crash-test met telkens 6 auto s van 3 verschllende merken wordt gekeken, wat de herstellng van de auto s kost. Er worden de volgende resultaten verkregen: A B C kosten 200e 50e 150e 75e 100e 250e 75e 470e 20e 140e 220e 210e 120e 570e 600e 450e 700e 350e 96

13 Statstek voor Informatekunde, 2006 Kan op grond van deze waarden de nulhypothese dat de gemddelde kosten bj edere merk hetzelfde zjn op een onbetrouwbaarhedslevel van α = 0.05 verworpen worden? Hoe zt het met α = 0.01? Laat zen dat hervoor de F -verdelng F 2,15 met 2 en 15 vrjhedsgraden relevant s. De benodgde krteke waarden voor deze F -verdelng zjn volgens tabellen 4 en 5 gegeven door f 2,15,0.05 = 3.68 en f 2,15,0.01 = In een kogellagerfabrek beschkt men over 5 machnes voor het vervaardgen van kogels. Voor een aantal toevallg getrokken kogels bepaalde men de dameter en kreeg de volgende resultaten: machne dameter van de kogels (n mm) () Toets op onbetrouwbaarhedslevel α = 0.05 de nulhypothese dat alle machnes dezelfde dameter opleveren. (De benodgde krteke waarde van de F - verdelng s f 4,11,0.05 = 3.36.) () Bereken het tweezjdge betrouwbaarhedsnterval op onbetrouwbaarhedslevel α = 0.10 voor het verschl van de gemddelde dameter van de kogels afkomstg van machnes 1 en 3. (Hervoor s geen varante-analyse nodg.) 97

14 Statstek voor Informatekunde, 2006 Tabel 4: Krteke waarden voor F -verdelngen op onbetrouwbaarhedslevel α =

15 Statstek voor Informatekunde, 2006 Tabel 5: Krteke waarden voor F -verdelngen op onbetrouwbaarhedslevel α =