C.P. van Splunter. Grote afwijkingen. Bachelorscriptie, 21 april Scriptiebegeleiders: prof.dr. F. Redig prof.dr. E.A.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "C.P. van Splunter. Grote afwijkingen. Bachelorscriptie, 21 april 2010. Scriptiebegeleiders: prof.dr. F. Redig prof.dr. E.A."

Transcriptie

1 C.P. van Splunter Grote afwjkngen Bachelorscrpte, 2 aprl 200 Scrptebegeleders: prof.dr. F. Redg prof.dr. E.A. Verbtsky Mathematsch Insttuut, Unverstet Leden

2 Inhoudsopgave Inledng 3 2 Bovengrens 6 3 Ondergrens 9 4 Methode van Cramer 2 5 Markov afhankeljke varabelen 4 6 Voorbeeld: 2x2 matrx 2 7 Voorbeeld: 3x3 matrx 24 8 Concluse 30 9 Referentes 3 0 Bjlage 32 2

3 Inledng In mjn onderzoek zal k mj bezg houden met ongewone gebeurtenssen, gebeurtenssen de slechts zeer zelden optreden. Voor een dee van dt soort gebeurtenssen kun je denken aan bjvoorbeeld aan het 00 keer opgooen van een geldstuk. Je verwacht dat dt geldstuk ongeveer 50 keer op kop valt en 50 keer op munt. De gebeurtens dat het geldstuk 0 keer op munt valt en 90 keer op kop, s zeer zeldzaam. Deze gebeurtens s dus een grote afwjkng ten opzchte van de verwachtng dat het geldstuk ongeveer 50 keer op kop valt en 50 keer op munt. In deze scrpte zal k mj gaan rchten op grote afwjkngen. Nadat k deze term gedefneerd heb, zullen we zen dat de kans op een dergeljke grote afwjkng naar 0 zal gaan. De gebeurtens dat zo n afwjkng toch optreedt, s dus zeer zeldzaam. Ergens begn 20 e eeuw begon men zch te nteresseren voor dt onderwerp. In de afgelopen ver decenna heeft het een grote vlucht genomen. Op 22 maart 2007 kreeg 67-jarge Srnvasa S.R. Varadhan n Oslo de Abelprjs utgerekt voor zjn fundamentele bjdragen n de kansrekenng, met n het bjzonder zjn werk aan de theore van de grote afwjkngen. Het onderwerp s dus zeer actueel en er wordt nog steeds veel onderzoek gedaan op dt gebed. Andere grote namen de veel onderzoek hebben verrcht op dt gebed zjn Donsker, Fredln en Wentzell. De theore van grote afwjkngen heeft onder andere toepassngen n de econome, natuurkunde en bologe. Ik zal begnnen met het maken van een aantal aannames (waaronder dentek en onafhankeljk verdeelde varabelen) en het defnëren van een aantal functes. Vervolgens zal k een stellng bewjzen de zegt dat de kans op een grote afwjkng zelfs exponenteel snel naar 0 gaat. Daarna zal k ets zeggen over de zogenaamde Cramér theore en tot slot ga k het geval bekjken waar de varabelen een specfeke Markov-verdelng hebben. Herbj zal k ook een tweetal voorbeelden geven. Maar eerst s het belangrjk om te weten wat nu preces een grote afwjkng s. De defnte hervan komt voort ut de wet van de grote aantallen. Om te zorgen dat we deze wet kunnen toepassen, hebben we een aantal aannames nodg: We nemen X, X 2,..., X n onderlng onafhankeljk en dentek verdeeld (n het vervolg zal k dt..d. (ndependent and dentcally dstrbuted) noemen). We nemen nu aan dat E(X ) = µ (endge verwachtng) en E(X 2 ) < (endge varante). Onder deze aannames geldt: lm n n n X = µ = 3

4 Deze wet van de grote aantallen wordt afgeled ut de ongeljkhed van Chebyshev. De zegt dat voor alle ɛ > 0: ( ) n P X µ n ɛ σ2 nɛ 2 = Als we n naar onendg laten lopen, geldt dus voor elke ɛ > 0: ( ) lm P n X n µ n ɛ σ 2 lm n nɛ 2 0 = Omdat P( n n = X µ ɛ) voor wllekeurg klene ɛ naar nul gaat als n n, weten we dat lm n n = X = µ. De gebeurtens n n = X µ ɛ noemen we een grote afwjkng. De theore van grote afwjkngen houdt zch bezg met het berekenen van kansen op dt soort afwjkngen. Het eerste wat k n mjn scrpte zal doen, s bewjzen dat de kans op een grote afwjkng exponenteel snel naar 0 gaat als n. We gaan herbj weer ut van d varabelen. Dus voor alle ɛ > 0: lm n P( n n = X µ ɛ) = lm n e ni(µ+ɛ) 0 () Herbj s I een of andere functe van µ + ɛ, onafhankeljk van n, de groter dan 0 s. Deze functe zullen we later specfceren. Om het schrjfwerk wat te reduceren, defnëren we: S n := n X, = a := µ + ɛ = EX + ɛ > EX. Omdat we deze later nodg zullen hebben defnëren we ook onderstaande functes: Defnte Defnte 2 ϕ(t) = E(e tx ) = E(e tx ) <, t R. F (t) = log ϕ(t). Als we nu n () lnks en rechts de natuurljke logartme nemen, en vervolgens delen door n, hebben we de volgende stellng te bewjzen: 4

5 Stellng Voor alle a > EX geldt: waarbj I(x) = sup t R (tx F (t)). lm n n log P(S n na) = I(a) Hoe we aan deze I(x) komen zal bljken ut het bewjs. 5

6 2 Bovengrens Zoals eerder aangegeven begn k deze scrpte met het bewjzen van stellng. Dt ga k doen door te laten zen dat I(a) zowel een bovengrens s, als een ondergrens voor lm n n log P(S n na). In deze paragraaf zullen we laten zen dat het een bovengrens s: Stellng 2 Voor alle a > EX geldt: lm sup n waarbj I(x) = sup t R (tx F (t)). n log P(S n na) I(a) Voor het bewjs van deze stellng hebben we nog ets meer nformate nodg. We hebben nodg dat F (t) convex s, en we zullen ϕ(t), zoals gedefneerd n defnte, omschrjven n een Taylorreeks n t = 0. We begnnen met het bewjs dat F (t) convex s: Stellng 3 F(t) s convex: voor alle 0 λ. F (λt + ( λ)s) λf (t) + ( λ)f (s) Bewjs: Allereerst merken we op dat voor λ = 0 en λ = het bewjs trvaal s. Vervolgens gebruken we de ongeljkhed van Hölder, de alsvolgt ludt: E(XY ) E( X p ) p E( Y q ) q waarbj p, q > en p + q = We kezen nu p en q alsvolgt: (dan geldt p + q p = λ en q = λ = λ + λ = en omdat 0 < λ <, geldt ook p, q > ) Nu zen we: F (λt + ( λ)s) = log E(e λtx+( λ)sx ) = log E(e λtx e ( λ)sx ) log((e(e tx )) λ (E(e sx )) ( λ) ) = λ log E(e tx ) + ( λ) log E(e sx ) = λf (t) + ( λ)f (s) 6

7 Dus F (t) s convex. Als we vervolgens ϕ(t) omschrjven n een Taylor reeks n t = 0, zen we, omdat, het volgende: n ϕ(t) t n t=0 = n E(e tx ) t n t=0 = E( n t n etx t=0 ) = E(X n ) ϕ(t) = n=0 t n n! E(Xn ) Dt s de reden dat ϕ(t) ook wel de momentgenererende functe wordt genoemd (E(X n ) zjn de momenten). We gaan nu over tot het bewjzen van stellng 2. Bewjs (Stellng 2): Eerst schrjven we P(S n na) anders: P(S n na) = P(S n na 0) = P(t(S n na) 0) = P(e t(sn na) ) t 0. Nu gaan we gebruk maken van de Markovongeljkhed: P(Y ) E(Y ) als Y 0 (n ons geval hebben we te maken met een e-macht, en s deze regel dus toe te passen). Het korte bewjs van de Markovongeljkhed volgt verderop. Als we de Markovongeljkhed toepassen, krjgen we: P(S n na) = P(e t(sn na) ) E(e t(sn na) ) = ϕ(t) n e nta n(ta F (t)) = e Wat we nu zen s dat als we van bede kanten de natuurljke logartme nemen, vervolgens delen door n en dan van de rechterkant ook nog het supremum nemen over t (dt kunnen we doen omdat de ongeljkhed geldt voor alle t 0), we onze functe I(a) gevonden hebben: n log P(S n na) sup(ta F (t)) = sup(ta F (t)) = I(a) t 0 De tweede stap kunnen we nemen omdat F convex s en (zoals we later zullen zen) F (0) = µ. Dt betekent dat als F (x) = µ + ɛ, moet gelden dat x > 0 (vanwege de convextet van F ). Het supremum van t(µ + ɛ) F (t) (als (µ + ɛ) F (t) = 0) wordt dus aangenomen voor een of andere t groter dan 0. Het bljkt dus dat onze functe I preces de Legendre getransformeerde s. Deze s gedefneerd als: t R I(x) = sup(tx F (t)) t 7

8 Wat we nu nog moeten doen, s laten zen dat deze functe I(a) strkt postef s. We zullen kjken hoe de afgelede van F (t) n het punt 0 erut zet: F (t) = (log E(e tx )) = F (0) = E(X) = EX = µ E() E(e tx ) E(XetX ) Als we nu F (t) gaan ontwkkelen met Taylorontwkkelng rond t = 0, zen we: F (t) = F (0) + tf (0) + 2 t2 F (0) + O(t 3 ) = tµ + 2 t2 F (0) + O(t 3 ) Invullen n I geeft: I(a) = sup(ta F (t)) = sup(t(µ + ɛ) (tµ + t t 2 t2 F (0) + O(t 3 ))) = sup(tɛ ( t 2 t2 F (0) + O(t 3 ))) We kunnen zeggen dat deze functe groter dan nul s, omdat voor t klen genoeg (zo klen dat ( 2 t2 F (0) + O(t 3 )) < tɛ) de functe postef s. Het supremum s dus zeker postef. Dus: I(a) > 0 Nu we hebben bewezen dat I(a) > 0 hebben we dus een bovengrens gevonden voor n log P(S n na): en dus ook: lm sup n n log P(S n na) I(a) n log P(S n na) I(a) Rest ons alleen nog de Markovongeljkhed te bewjzen. Dt bewjs ludt alsvolgt: E(Y ) = E(Y I(Y )) + E(Y I(Y < )) E(Y I(Y )) E(I(Y )) = P(Y ) (I s her de ndcatorfuncte, en dus net de eerdergenoemde I) 8

9 3 Ondergrens We hebben nu gezen dat e ni(a) een bovengrens s voor P( n S n a). Wat we nu zullen laten zen, s dat e ni(a) ook een ondergrens s voor P(S n na), als n : Stellng 4 lm nf n met I(a) = sup t (ta F (t)). n log P( n S n a) I(a) Als we deze stellng hebben bewezen kunnen we met stellng 2 zeggen: lm nf n n log P( n S n a) = I(a) Bewjs (Stellng 4): Als eerste defnëren we Y als Y := X a. Dan zen we: E X (e tx ) = E Y (e t(y +a) ) E X (e tx ) = e ta E Y (e ty ) log ϕ X (t) = ta + log ϕ Y (t) ta F X (t) = F Y (t) sup(ta F X (t)) = sup(t 0 F Y (t)) t t I X (a) = I Y (0) Dan komt de te bewjzen ongeljkhed er alsvolgt ut te zen: lm nf n n n log P( Y 0) I Y (0) = ( n = X na n = X na 0 n = (X a) 0 n = Y 0) Herbj geldt dat E(Y ) = E(X a) = E(X µ ɛ) = ɛ < 0. Het s dus voldoende om te bewjzen: lm nf n n log P(S n 0) I(0) met E(X ) < 0. Om dt te bewjzen zullen we eerst P(S n 0) gaan benaderen met de zogenaamde Cramér-truc. Deze truc s gebaseerd op het exponenteel veranderen van de maat, zodang dat de atypsche gebeurtens S n 0 (deze s atypsch 9

10 omdat E(X ) < 0), typsch wordt onder de neuwe maat. We schrjven P(S n 0) eerst om: P(S n 0) = E(I(S n 0)) = E(I(S n 0)e tsn e tsn ) E(e tsn ) E(e tsn ) = Ẽt(I(S n 0)e tsn )E(e tsn ) We hebben nu een neuwe kansmaat P t met een verwachtng Ẽt gemaakt, de we alsvolgt defnëren: Voor de neuwe kansmaat geldt: Ẽ t (Y ) = E(Y etsn ) E(e tsn ) d P t dp = etsn E(e tsn ) Merk op dat onder deze neuwe kansmaat de varablen verdeeld zjn: X,..., Xn Ẽ t (f ( X ),..., f n ( X n )) = E(f (X ),..., f n (X n )e tx... e txn ) E(e tx... e txn ) = E(f (X )e tx ) E(e tx )... E(f n(x n )e txn ) E(e tx ) weer d = Ẽt(f ( X ))... Ẽt(f n ( X n )) Vervolgens zullen we kjken wat er gebeurt als we X nvullen n de neuwe verwachtng: Ẽ t (X ) = E(X e tsn ) E(e tsn ) = E(X e tx )E(e tx2 )E(e tx3 )... E(e tx )E(e tx2 )E(e tx3 )... Omdat X,..., X n d zjn, weten dus nu dat voor alle : Ẽ t (X ) = d dt F (t) = E(X e tx ) E(e tx ) = d dt ϕ(t) = d ϕ(t) dt F (t) We nemen nu t = t, zodang dat d d dt ϕ(t dt ) = 0 en dus ϕ(t) ϕ(t) = d dt F (t ) = Ẽ t (X ) = 0. We kezen t op deze maner zodat n S n 0 onder de neuwe kansmaat en zodat dus onder de neuwe kansmaat, de kans P t ( n S n 0) typsch wordt. Verder s t ook het uneke mnmum van de functe ϕ(t). Deze bestaat omdat ϕ(t) convex s en omdat lm ϕ(t) = lm ϕ(t) = t t We kunnen nu P(S n 0) als volgt berekenen: P(S n 0) = Ẽ t (I(S n 0)e t S n )E(e t S n ) = Ẽ t (I(S n 0)e t S n )e nf (t ) = Ẽ t (I(S n 0)e t S n )e n sup x (x 0 F (x)) = Ẽ t (I(S n 0)e t S n )e ni(0) 0

11 Wat we nu nog moeten doen, s laten zen dat Ẽt (I(S n 0)e t S n ) verwaarloosbaar s op deze schaal als we de lm nf n nemen, dus: lm nf n Dat doen we als volgt: n log Ẽt (I(S n 0)e t S n ) = 0 Ẽ t (I(S n 0)e t S n ) Ẽt (I(S n 0)I(S n a n)e t S n ) e t a n Pt (0 n S n a) Omdat de verdelng van n S n voor n naar de normale verdelng gaat volgens de centrale lmetstellng (µ = Ẽt (X ) = 0 en σ 2 = Ẽt (X ) 2 < ), s de kans groter dan nul en onafhankeljk van n. Nu zen we: P(S n 0) e t a n Pt (0 S n a n) e ni(0) Als we van bede kanten de logartme nemen, vervolgens delen door n en tot slot de lm nf van n nemen, kunnen we schrjven: lm nf n n log P(S n 0) I(0) Omdat we hebben laten zen dat dt voldoende was om te bewjzen geldt nu: lm nf n n log P(S n na) I(a) Door de ondergrens en de bovengrens te combneren, kunnen we nu stellng bewjzen. Bewjs Stellng : Combneer Stellng 2 en Stellng 4.

12 4 Methode van Cramer In het bewjs van stellng 4 hebben we gebruk gemaakt van de zogenaamde Cramér truc. Bj deze truc hebben we gebrukt dat de varabelen d waren. De Cramér truc s echter ook algemeen toepasbaar. In het algemene geval zjn de varabelen net d verdeeld. De truc s nu gebaseerd op het exponenteel veranderen van maat zodang dat de atypsche kans P( n S n [x δ, x+δ]) met δ klen, typsch wordt. Deze kans zullen we voortaan noteren als P( n S n x). We schrjven weer eerst deze kans om totdat we onze neuwe verwachtng (dezelfde als hervoor) hebben gevonden: P( n S n x) = E(I( n S n x)) = E[(I( n S n x))e tsn e tsn ] E(e tsn ) E(e tsn ) = Ẽt(I( n S n x)e tsn ))E(e tsn ) De neuwe verwachtng Ẽt en de neuwe kans P t voldoen dus weer aan: Ẽ t (Y ) = E(Y etsn ) E(e tsn ) d P t dp = etsn E(e tsn ) Net zoals eerder kunnen we weer t = t kezen zoals we wllen, omdat de vergeljkng geldt voor alle t. In dt geval kezen we t zo, dat lm nf n Ẽ t ( n S n) = x (op deze maner wordt P( n S n x) typsch als n groot s, en dat s wat we wllen). Dan kunnen we zeggen: lm nf P( n n S n x) = lm nf Ẽ t (I( n n S n x)e t S n ))E(e t S n ) = lm nf n e t nx E(e t S n ) = lm nf n e( n(t x n Fn(t ))) Nu stuten we op een probleem: Eerder konden we zeggen dat, omdat de varabelen d waren n F n = n log E(etSn ) = log E(e tx ) = F en was n F n dus onafhankeljk van n. Dat dt nu ook het geval s, moeten we eerst nog maar bewjzen. Wat we dus egenljk wllen s dat voor n n F n(t ) F (t ) met F (t) een of andere functe onafhankeljk van n. Dt s n het algemeen net het geval. Wel kunnen we dt laten zen voor varabelen met een bepaalde afhankeljkhed. In het volgende hoofdstuk zullen we dt laten zen voor Markov afhankljke varabelen. Als we dt bewezen hebben voor varabelen met een bepaalde afhankeljkhed, kunnen we ook nog verder redeneren. 2

13 Als we gaan kjken naar de afgelede van n F n(t ) bljkt: lm nf n = lm nf n n F n(t ) = lm nf n nẽt (S n) = x E(S n e t S n ) n E(e t S n) Dus als we hebben bewezen dat n F n(t ) F (t ) voor n, dan weten we ook dat F (t ) = x. Wat we hermee kunnen zen, s dat (xt F (t )) = x F (t ) = 0 Dt betekent dus dat de functe xt F (t) zjn supremum aanneemt voor t = t. Nu zen we dus, als we de logartme nemen en delen door n: lm nf n n log P( n S n x) = lm nf n (t x n F n(t )) = (t x F (t )) = sup(tx F (t)) = I(x) t 3

14 5 Markov afhankeljke varabelen We weten dat we met de wet van de grote aantallen kunnen zen, dat als µ = E(X ) en n S n µ, dan P( n S n µ + ɛ) 0 Verder hebben we tot nu toe gezen dat als de varabelen X onafhankeljk verdeeld zjn, de kans op een grote afwjkng zelfs exponenteel snel naar 0 gaat. In deze secte gaan we ut van Markov afhankeljke varabelen X, X 2,.., X n. We wllen ets kunnen zeggen over een bepaalde functe f van deze Markov afhankeljk varabelen. We deferen Z k = f(x k ) We gaan ut van een Markov keten met een endge toestandsrumte Ω (dus X Ω), de aperodek en rreducbel s. Er s dan dus een uneke statonare maat op de Markov keten. Het eerste wat we zen met de wet van de grote aantallen, s dat voor n : n S n = n n = Z x Ω µ(x)f(x) = E µ (f(x )) Zonder verles van algemeenhed kunnen we deze verwachtng 0 nemen: E µ (f(x )) = 0 Om te kjken of P( n n = Z > ɛ) 0 als n, gebruken we weer de ongeljkhed van Chebyshev. Echter n dt geval moeten we eerst laten zen dat Var( f(x )) net van orde n 2 of hoger s. De wet van de grote aantallen geldt mmers net voor onendg grote varante. Dat s het eerste wat we zullen doen: n n n n Var( f(x )) = E µ (( f(x )) 2 ) E µ ( f(x )) 2 = E µ (( f(x )) 2 ) = E µ ( = = j= = = n n n f(x )f(x j )) = 2E µ ( f(x )f(x j )) = = j n n = 2E µ ( (f(x )) 2 ) + 2E µ ( f(x )f(x j )) = 2(I + II) = j> Wat we nu zullen laten zen, s dat deze bede termen van orde n zjn: I = E µ ( II = = n (f(x )) 2 ) = ne µ (f(x ) 2 ) = ne µ (f(x ) 2 ) = O(n) = n E µ (f(x )f(x j )) = = j> n E µ (f(x 0 )f(x j )) = j> 4

15 We hebben herbj gebrukt dat het voor de verwachtng net utmaakt of we een stuk naar lnks of naar rechts n de Markovketen opschuven. Dt volgt ut de statonartet van de Markov keten: k : P(X = a, X j = b) = P(X +k = a, X j+k = b) Wat we vervolgens zullen laten zen s dat geldt: E µ (f(x 0 )f(x j )) e c(j ) met c een of andere posteve constante. Als we dt nameljk hebben bewezen kunnen we zeggen: II = n n E µ (f(x 0 )f(x j )) = j> = r=0 e cr = We hebben nu alleen nog nodg dat n = O(n) e c E µ (f(x 0 )f(x j )) e c(j ) n = j> e c(j ) We maken herbj de aanname dat we te maken hebben met een prmteve matrx B. In dat geval s bovenstaande ongeljkhed een drect gevolg van de zogenaamde spectral gap de ontstaat tussen de grootste egenwaarde en alle klenere egenwaarden van de matrx. Dat deze spectral gap er s, zal k bewjzen n Stellng 5 deel (b). Wat we nu gaan doen, s naar een stellng toe werken de ets zegt over P( n S n x). Herbj bedoel k met x weer [x δ, x + δ]. Om deze stellng te kunnen bewjzen, heb k eerst een andere stellng nodg. Deze stellng van Perron- Frobenus beschrjft wat egenschappen van rreducbele matrces: Stellng 5 (Perron-Frobenus) Laat B = B(, j) Ω,j= een rreducbele, prmteve matrx (edere staat n de Markovketen s te bereken vanut edere wllekeurge staat en B k > 0 voor zekere k). Dan bevat B een egenwaarde ρ (de Perron- Frobenus egenwaarde) zodat: (a) ρ > 0 s reëel. (b) Voor edere egenwaarde λ ρ van B geldt: λ < ρ. (c) Er bestaan lnker en rechter egenvectoren bj de egenwaarde ρ met alleen maar strkt postteve coördnaten. (d) De lnker en de rechter egenvectoren µ en θ bj de egenwaarde ρ zjn unek op vermengvuldgng met een constante na. (e) Voor alle Ω en edere φ = (φ,..., φ Ω ) zodat φ j > 0 voor alle j geldt: Ω lm n n log[ B n (, j)φ j ] = lm n n log[ φ j B n (j, )] = log ρ j= Ω j= 5

16 Zoals eerder aangegeven zullen we deel (b) van deze stellng bewjzen. Voor het bewjs van deel (b) heb k ook het bewjs van deel (a) nodg. Omdat k voor het bewjs van stellng 6 deel (e) van deze stellng nodg heb geef k dus n totaal dre bewjzen: deel (a), (b) en (e). Bewjs (Stellng 5 deel (a)): Neem een rjvector x, x 0 en x 0. Laat ρ(x) = mn j x b j x j 0 ρ(x) < De rechterkant van deze vergeljkng nterpreteren we als als x j = 0. Dan geldt: x j ρ(x) x b j voor alle j x ρ(x) x B x ρ(x) x B We defneren K = max j b j Dan moet gelden B K en dus ρ(x) x K x = K = max j b j Dus ρ(x) s begrensd van boven. Omdat B prmtef s, bevat B geen kolommen met alleen nullen. ρ() > 0. We kunnen nu ρ alsvolgt defneren: ρ = sup mn x b j x 0;x 0 j x j Dus ook Herut zen we dat 0 < ρ() ρ K <. Omdat zowel de teller, als de noemer net veranderen met de norm van x (met de defnte van ρ(x) zen we ρ(cx) = ρ(x)), kunnen we ook een x nemen met norm : ρ = sup mn x b j x 0;x x= j x j Nu s het gebed {x; x 0, x x = } compact n de Eucldsche n-rumte R n en ρ(x) s de half-contnue projecte van dt gebed op R. Het supremum wordt 6

17 dus aangenomen voor een zekere x, zeg ˆx. Er bestaat dus een ˆx zodat mn ˆx b j = ρ j dus j ˆx j ˆx b j ρˆx j. Kortom ˆx B ρˆx. voor edere j =, 2,..., n en met geljkhed voor een zeker element van ˆx. Bekjk nu: z = ˆxB ρˆx 0 Nu geldt z = 0 of net. Stel dat z 0. We weten dat voor k k 0, B k > 0 (omdat B prmtef s). Omdat z 0, z 0 en B k > 0 geldt: Dus ook z B k > 0 z B k = (ˆx B k )B ρ(ˆx B k ) > 0 ((ˆx B k )B) ˆx B > ρ voor elke j k j Herbj geeft het subscrpt j, het j-de element aan. Dt s n tegenstellng met de defnte van ρ. Er geldt dus altjd z = 0, dus x B = ρx Bewjs (Stellng 5 deel (b)): Laat λ een egenwaarde van B. We moeten laten zen dat als λ ρ, dan geldt: λ < ρ. Dt zullen we doen door eerst te laten zen dat λ ρ en vervolgens dat als λ = ρ, dan λ = ρ (wat n tegenstellng s met de aanname λ ρ. Voor een zekere x 0 (mogeljk complex) geldt voor alle j s: x b j = λx j (2) λx j = x b j x b j x b j λ x b j (de rechterkant s her als x j geljk s aan 0) x j λ mn x b j ρ met de defnte van ρ n het bewjs van (a) j x j dus We moeten nu alleen nog laten zen dat λ ρ. Stel λ = ρ. Dan x b j λ x j = ρ x j 7

18 Dt s een soortgeljke stuate de we zagen n het bewjs van (a): x b j = ρ x j, > 0 j =, 2,..., n Nu zen we: x b (k) j = ρ k x j, > 0 j =, 2,..., n x b (k) j = λk x j = x b (k) j = x b (k) j Als voor twee getallen γ en δ geldt γ + δ = γ + δ, dan hebben deze twee getallen dezelfde rchtng n het complexe vlak. Als we dus x j schrjven als x j = x j e θj, dan geldt θ j = θ. Als we x j n deze vorm nvullen n vergeljkng (2), krjgen we x b j = λ x j Herbj geldt: x > 0 voor alle en λ s reeel en postef. Omdat λ = ρ, moet nu gelden λ = ρ. Dt s n tegenstellng met onze aanname λ ρ. Dus λ < ρ. Bewjs (Stellng 5 deel (e)): We defnëren α, β, γ en δ als volgt: α = sup θ β = nf θ > 0 γ = sup φ δ = nf φ > 0 Herbj s θ de rechter egenvector bj egenwaarde ρ en φ en ρ zoals n de stellng. Dan geldt voor alle, j Ω: We kunnen dus nu zeggen: γ β Bn (, j)θ j θ j β Bn (, j)φ j B n (, j)φ j θ j α Bn (, j)φ j δ α Bn (, j)θ j Ω lm n n log[ B n (, j)φ j ] = lm n n log[ B n (, j)θ j ] j= Ω j= = lm n n log(ρn θ ) = lm ( n n n log(ρ) + n θ ) = log ρ Zo kunnen we op vergeljkbare wjze laten zen dat ook: Ω lm n n log[ φ j B n (j, )] = log ρ j= 8

19 Nu we het bewjs hebben gezen van stellng 5 deel (e) kunnen we bjna overgaan tot het bewjzen van de hoofdstellng van dt hoofdstuk. Maar voordat we dat doen moeten we eerst nog een aantal defntes geven. Noem Π = π(, j) Ω,j= de transte matrx van onze Markov keten met π(, j) de kans dat er vanut punt naar punt j gesprongen wordt. Laat vervolgens P π σ de kansmaat horende bj deze transte matrx Π met als startpunt σ. Dus P π σ(y = y,..., Y n = y n ) = π(σ, y )Π n = π(y, y + ). (3) Verwachtngen horende bj P π σ noteren we als E π σ. We defnëren Π t als: Defnte 3 Π t = ( π t (, j) ) Ω,j= = ( π(, j)e tf(j)) Ω,j= Omdat we te maken hebben met een rreducbele Markovketen, s de transtemartx Π rreducbel. Omdat e tf(j) > 0 s Π t dus ook rreducbel. Verder noemen we ρ(π t ) de Perron-Frobenus egenwaarde van Π t. We hebben nu genoeg nformate om te kunnen overgaan tot het bewjzen van de hoofdstellng, de als volgt ludt. Stellng 6 Laat Y k een endge Markov keten met een rredubbele transtematrx Π. Voor alle x R defnëren we: I(x) = sup(tx log ρ(π t )) t R (Hern speelt log ρ(π t ) dus de rol van F (t).) Dan geldt: lm nf n Bewjs: We defnëren net zoals eerder: n log Pπ σ( n S n x) = I(x) F n (t) = log E π σ(e tsn ). Zoals we eerder zagen s het voldoende om te laten zen dat F (t) = lm n n F n(t) = lm n n log Eπ σ(e tsn ) bestaat voor alle t R, dat F endg s, dat F dfferenteerbaar s n heel R en dat F (t) = log ρ(π t ). 9

20 Om te begnnen kjken we naar F n (t) (onder de maat P n σ): F n (t) = log E π σ(e tsn ) = log y,...,y n P π σ(y = y,..., Y n = y n )Π n k=e tf(yk) = log y,...,y n π(σ, y )e tf(y)... π(y n, y n )e tf(yn) Ω = log (Π t ) n (σ, y n ). y n= Omdat Π t rreducbel s kunnen we deel (e) van stellng 5 gebruken. Daarbj nemen we φ = (,..., ): F (t) = lm n n F n(t) = lm n n log Ω (Π t ) n (σ, y n ) = log ρ(π t ) y n= En omdat Ω endg s, s ρ(π t ) (een oplossng van de karaktersteke functe van Π t ) postef, endg en dfferenteerbaar met betrekkng tot t. Met de Cramér truc zen we nu dat de stellng klopt. 20

21 6 Voorbeeld: 2x2 matrx We bekjken n deze secte een wllekeurg voorbeeld met Markov-afhankeljke varabelen. De Markovketen bj dt voorbeeld s uteraard aperodek en rreducbel. We bekjken de Markovketen met transtematrx ] Volgens defnte 3 geldt dan: Dus Π = [ Π t = ( π(, j)e tf(j)) 2,j= Π t = [ 2 etf() 2 etf(2) 2 etf() 2 etf(2) Nu we de matrx Π t hebben gevonden kunnen de Perron-Frobenus egenwaarde ervan utrekenen. We berekenen de egenwaarden van Π t als volgt: ] Π t λi = ( 2 etf() λ)( 2 etf(2) λ) 2 etf() 2 etf(2) Herut volgt: = 4 et(f()+f(2)) 2 λ(etf() + e tf(2) ) + λ 2 4 et(f()+f(2)) = λ(λ 2 (etf() + e tf(2) ) = 0 λ = 0 of λ 2 = 2 (etf() + e tf(2) ) Omdat λ 2 > λ = 0, s λ 2 de Perron-Frobenus egenwaarde: ρ t = ρ(π t ) = λ 2 = 2 (etf() + e tf(2) ) I(x) ut stellng 6 kunnen we nu schrjven als: ( I(x) = sup tx log( t R 2 (etf() + e tf(2) )) ) ( = sup tx + log(2) log(e tf() + e tf(2) ) ) t R Deze utdrukkng van I(x) kunnen we vervolgens verder utwerken, door t te berekenen. Voor t waarvoor tx log( 2 (etf() +e tf(2) )) zjn supremum aanneemt, moet gelden: (t x log( 2 (et f() + e t f(2) ))) = 0 2

22 Dus: x = 2 (et f() + e t f(2) ) 2 (f()et f() + f(2)e t f(2) ) = f()et f() + f(2)e t f(2) e t f() + e t f(2) = f() + f(2)et (f(2) f()) + e t (f(2) f()) Als f() = 0 en f(2) =, geldt Deze functe zet er alsvolgt ut: et x = + e t Fguur : x(t*) behorende bj de 2x2 matrx met f()=0 en f(2)= We substtueren nu y = e t (f(2) f()) en zen dan: x = f() + f(2)y + y x( + y) = f() + f(2)y y(x f(2)) = f() x y = f() x x f(2) e t (f(2) f()) = f() x x f(2) t = t (f(2) f()) = log f() x x f(2) f(2) f() log(f() x x f(2) ) 22

23 Invullen geeft: x I(x) = f(2) f() log(f() x x ) + log(2) log(f() x f(2) x f(2) e Als we weer f() = 0 en f(2) = nemen, geldt f() f(2) f() f() x + x f(2) e x x I(x) = x log( ) + log(2) log( + x x ) = x log( x ) + log(2) + log( x) x I(x) s alleen gedefneerd op (0, ) en zet er alsvolgt ut: f(2) f(2) f() ) Fguur 2: I(x) behorende bj de 2x2 matrx met f()=0 en f(2)= 23

24 7 Voorbeeld: 3x3 matrx Dan gaan we nu kjken naar een ets utgebredere keten met 3 staten. Bj deze keten hoort dus een 3x3 transtematrx. Deze s dus van de vorm: P P 2 P 3 Π = P 2 P 22 P 23 P 3 P 32 P 33 Voor de rjsommen van Π moet natuurljk gelden, dat deze geljk zjn aan. Eerst zullen we even kjken wat we nu preces gaan berekenen. Bj deze Markov keten met 3 staten nemen we: met I(.) de ndcator-functe. Dan geld: Omdat S n = n f(y ) = = f(y) = I(y = x ) n I(y = x ) = aantal bezoeken aan x = E(S n ) µ(x ) n en Var(S n ) = O(n) kunnen we nu weer met de wet van de grote aantallen zeggen dat voor n : Dus nu zen we n S n µ(x ) P( n S n µ(x ) ɛ) e n(nf x µ(x ) ɛ I(x)) met I(x) = sup(tx log ρ(π t )) t Als we nu kjken naar f(y) zen we dat deze geljk s aan voor de eerste staat en 0 voor de tweede en derde staat. Π t zet er dus alsvolgt ut: P e t P 2 P 3 Π t = P 2 e t P 22 P 23 P 3 e t P 32 P 33 Zoals we hebben gezen n voorbeeld moeten we een aantal stappen nemen om de utendeljke I(x) te kunnen berekenen. Dezelfde stappen zullen we bj een keten met 3 staten weer moeten nemen. Echter zouden deze stappen wel een stuk moeljker kunnen zjn bj een 3x3 matrx. 24

25 Om dt rekenwerk wat makkeljker te maken, kunnen we bepaalde esen stellen aan de transtematrx. We kunnen deze bjvoorbeeld symmetrsch nemen. Ik ben met Mathematca aan de slag gegaan om te kjken bj welke transtematrces, k een Perron-Frobenus egenwaarde kreeg, waar k mee verder kon rekenen. Utendeljk kon k pas echt goed verder werken bj een hele makkeljke matrx: Π = Op deze maner s Π rreducbel en zjn de rjsommen. Π t zet er dan alsvolgt ut: Π t = et 3 3 et 3 3 et 3 Van deze matrx heb k met behulp van Mathemca de egenwaarden berekend. Deze zjn: λ = 0, λ 2 = 0, λ 3 = 3 (2 + et ) De Perron-Frobenus (grootste) egenwaarde s dus dudeljke λ 3. Invullen n I(x) geeft: I(x) = sup(tx log( t 3 (2 + et ))) = sup(tx + log(3) log(2 + e t )) t Om het supremum over t te berekenen leden we weer af naar t en stellen dan geljk aan 0. Dan komen we op et x = 2 + e t 25

26 Deze functe zet er alsvolgt ut: Fguur 3: x(t) behorende bj de eerste 3x3 matrx Vervolgens drukken we t ut n x: (2 + e t )x = e t e t ( x) = 2x t = log( 2x x ) Tot slot vullen we t n: I(x) = x log( 2x x ) log( 2x (2 + elog( x ) )) 3 = x log( 2x x ) log( 2x (2 + 3 x )) 2 = x log(x) + x log(2) x log( x) + log(3) log( x ) = ( x) log( x) + x log(x) + log(3) ( x) log(2) 26

27 Deze functe zet er alsvolgt ut: Fguur 4: I(x) behorende bj de eerste 3x3 matrx Als laatste bekjken we nog een symmetrsche transttematrx. Hervoor kunnen we geen exacte oplossng vnden, maar kunnen we de oplossng wel numerek benaderen. We kezen P = 2 voor =, 2, 3 en P j = 4 met j en, j =, 2, 3. Alle rjsommen zjn dan en de overgangs matrx Π s rreducbel en symmetrsch. Π t zet er nu alsvolgt ut: Π t = 2 et 4 4 et 2 4 et 4 We berekenen wederom de egenwaarden met Mathematca. We krjgen dan de volgende egenwaarden: λ = 4 λ 2 = 8 (3 + 2et 9 4e t + 4e 2t ) λ 3 = 8 (3 + 2et + 9 4e t + 4e 2t ) Het s dudeljk dat λ 3 de grootste egenwaarde s, dus Voor I(x) geldt dus ρ(π t ) = 8 (3 + 2et + 9 4e t + 4e 2t ) I(x) = sup(tx + log(8) log(3 + 2e t + 9 4e t + 4e 2t )) t Door af te leden naar t en geljk te stellen aan 0, vnden we het supremum voor 27

28 een of andere t. Dus (t x + log(8) log(3 + 2e t + 9 4e t + 4e 2t )) = 0 Deze functe zet er alsvolgt ut: x = λ 3 λ 3 = 2e t + 2 4et +8e 2t 9 4e t +4e 2t 3 + 2e t + 9 4e t + 4e 2t Fguur 5: x(t) behorende bj de tweede 3x3 matrx Omdat we n dt voorbeeld net va de algebrasche weg t kunnen utdrukken n x, zullen we dt numerek gaan doen. Met behulp van het computerprogramma Matlab krjgen we dan de grafek van t de te zen s n fguur 6 (de bjbehorende code staat n de bjlage). 28

29 Fguur 6: t*(x) behorende bj de tweede 3x3 matrx Met deze numereke berekende waarden van t hebben we vervolgens ook de grafek van I(x) kunnen maken: Fguur 7: I(x) behorende bj de tweede 3x3 matrx We zen dus dat, als we te maken hebben met varabelen ut een rreducbele Markovketen, we ook dan de Legendre getransformeerde functe I(x) kunnen berekenen (explcet of numerek). Met deze functe I(x) kunnen we het bewjs leveren dat de kans op een grote afwjkng exponenteel snel naar 0 gaat: lm nf n Pπ σ( n S n x) = lm nf n e n I(x) 0 29

30 8 Concluse Voor mjn Bachelor-onderzoek ben k gedoken n de theore van de grote afwjkngen. Voordat k met dt onderzoek begon, had k nog noot gehoord van een dergeljke theore en wst k nog net eens wat er bedoeld werd met een grote afwjkng. Gedurende mjn onderzoek kreeg k een steeds beter beeld van wat deze theore preces nheld en kon k ook steeds meer bedenken n welke rchtngen nog verder gewerkt kan worden. Ik denk dan ook dat k op dt moment slechts een zeer klen gedeelte van de wereld van de grote afwjkngen heb bestudeerd. Zo heb k n de eerste hoofdstukken de aanname gedaan dat de varabelen onafhankeljk en dentek verdeeld waren. Deze aanname maakte het werk een stuk makkeljker. En k denk dat k op dt moment ook nog te weng kenns van allerle gebeden van de wskunde heb, om te werken zonder deze aanname (of met een verzwakkng van deze aanname). Op adves van mjn begeleder heb k nog wel gekeken naar varabelen de een bepaalde Markovafhankeljkhed hadden. Met deze verzwakte aanname heb k met mjn hudge kenns van wskunde nog wel wat onderzoek kunnen doen. Tot slot heb k zelfs wat voorbeelden kunnen geven van dt onderzoek met betrekkng tot Markovafhankeljke varabelen. Kortom, k heb na deze scrpte eng beeld gekregen van wat de theore van de grote afwjkngen nhoudt. Daarnaast kan k een aantal rchtngen aangeven waarn er op dt gebed onderzoek wordt gedaan of kan worden gedaan. 30

31 9 Referentes - F.W. Redg, Handouts, Leden Amr Dembo en Ofer Zetoun, Large Devatons Technques and Applcatons, 2 e edte - S.R.S. Varadhan, Large Devatons and Applcatons - Pet van Oostrum, Handledng LaTeX - E. Seneta, Non-negatve Matrces and Markov Chans, 2 e edte 3

32 0 Bjlage =; for =:200 z()=./20; (2.*exp(x)+(-4.*exp(x)+8.*exp(2.*x))./ (2.*sqrt(9-4.*exp(x)+4.*exp(2.*x))))./(3+2.*exp(x)+sqrt(9-4.*exp(x)+4.*exp(2.*x)))-z(); [w(),fval]=fsolve(y,0); x()=./20; p()=w().*x()+log(8)-log(3+2.*exp(w())+sqrt(9-4.*exp(w())+4.*exp(2.*w()))); =+; end plot(x,w, lnewdth,2) plot(x,p, lnewdth,2) 32

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3 Hoofdstuk 3 Toepassng: Codes Als toepassng van vectorrumten over endge lchamen kjken we naar foutenverbeterende codes. We benutten slechts elementare kenns van vectorrumten, en van de volgende functe.

Nadere informatie

1 Rekenen met complexe getallen

1 Rekenen met complexe getallen Rekenen met complexe getallen In dt hoofdstuk leer je rekenen met complexe getallen. Ze vormen een getallensysteem dat een utbredng s van het bekende systeem van de reële getallen. Je leert ook hoe je

Nadere informatie

Verslag Regeltechniek 2

Verslag Regeltechniek 2 Verslag Regeltechnek 2 Door: Arjan Koen en Bert Schultz Studenten Werktugbouw deeltjd Cohort 2004 Inhoudsogave Inledng blz. 3 2 Oen lus eerste-orde systeem blz. 4 3 Gesloten lus P-geregeld eerste orde

Nadere informatie

Statica in een notendop

Statica in een notendop Statca n een notendop Systematsche Probleem Analyse (SPA) 1. Gegevens: Lees de vraag goed door. Maak een schematsche tekenng van het probleem. 2. Gevraagd: Schrjf puntsgewjs alle dngen op waar naar gevraagd

Nadere informatie

Dubbelplaneten. Vakantiecursus

Dubbelplaneten. Vakantiecursus Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december 2007 287 Raner Kaenders Semnar für Mathematk und hre Ddaktk Mathematsch-aturwssenschaftlche Fakultät Unverstät zu Köln Gronewaldstrasse 2 5093 Köln r.kaenders@un-koeln.de

Nadere informatie

Ontvlechting van ICT vereist nieuwe samenwerking

Ontvlechting van ICT vereist nieuwe samenwerking Behoefte aan Archtectuur Lfecycle Management Ontvlechtng van ICT verest neuwe samenwerkng Bnnen de ICT s sprake van verzulng van zowel de systemen als het voortbrengngsproces. Dt komt doordat de ICT n

Nadere informatie

Een levensloopregeling voor software

Een levensloopregeling voor software Een levensloopregelng voor Neuwe benaderng - en nformatebevelgng De gebruker van een nformatesysteem streeft naar contnuïtet. De ongestoorde werkng van s hervoor essenteel. Maar wat weet de gebruker van

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 3. Leerkern 4. Terugkoppeling 25 Uitwerking van de opgaven 25

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 3. Leerkern 4. Terugkoppeling 25 Uitwerking van de opgaven 25 Inhoud leereenhed 1 Van nformatemodel naar nformatesysteem Introducte 3 Leerkern 4 1 Wat s model-drven development? 4 1.1 MDD voor gegevensntenseve toepassngen 4 1.2 Systeemgenerate 4 1.3 Informate, presentate

Nadere informatie

~~i~il' 1025 VS Amsterdam. Geacht bestuur,

~~i~il' 1025 VS Amsterdam. Geacht bestuur, / - Mr. W. Nass Vrjstraat 2a Postbus 420 5600 AK Endhoven Tel 040-2445701 Fax 040-2456438 Advocatenkantoor Mr. W. Nass Het bestuur van de BOA. e-mal Neuwe Purrnerweg 12 na~kanooma.n 1025 VS Amsterdam nternet

Nadere informatie

Applicatieportfoliomanagement

Applicatieportfoliomanagement governance Applcateportfolomanagement Governance zet applcatebeheer op scherp Nu applcates steeds nauwer verweven zjn met bedrjfsprocessen, s een gestructureerde aanpak van het applcatebeheer noodzakeljk,

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 15. Leerkern 16. Terugkoppeling 37 Uitwerking van de opgaven 37

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 15. Leerkern 16. Terugkoppeling 37 Uitwerking van de opgaven 37 Inhoud leereenhed 1 Van nformatemodel naar nformatesysteem Introducte 15 Leerkern 16 1 Wat s model-drven development? 16 1.1 MDD voor gegevensntenseve toepassngen 16 1.2 Systeemgenerate 16 1.3 Informate,

Nadere informatie

effectief inzetten? Bert Dingemans

effectief inzetten? Bert Dingemans archtectuur Is meten weten? Kwaltateve en kwanttateve analyse n archtectuurmodellen Kwaltateve en kwanttateve analyses kunnen de denstverlenng van de enterprsearchtect verbeteren. Toch s de nzet van deze

Nadere informatie

is gelijk aan de open-klemmen spanning van het netwerk. De impedantie Z th

is gelijk aan de open-klemmen spanning van het netwerk. De impedantie Z th 3 Ladngseffecten treden ten eerste op wanneer een gegeven element ut het systeem de karakterstek van een vorg element beïnvloedt of wjzgt. Op haar beurt kunnen de egenschappen van dt element gewjzgd worden

Nadere informatie

officiële bijdrage aan het CMMI. Jan Jaap Cannegieter

officiële bijdrage aan het CMMI. Jan Jaap Cannegieter Nederlandse bjdrage aan offcële CMM CMMI-s De Nederlandse stchtng SPIder heeft s ontwkkeld voor het CMMI, verschllende routes door het CMMI voor het oplossen van bepaalde problemen of het halen van bepaalde

Nadere informatie

Heerhugowaard Stad van kansen

Heerhugowaard Stad van kansen Heerhugowaard Stad van kansen Bestuursdenst I adves aan Burgemeester en Wethouders Reg.nr: BW 13-0415 Sector/afd.: SO/OV Portefeullehouder: S. Bnnendjk Casenr.: Cbb130383 Steller/tst.: E. Brujns Agenda:

Nadere informatie

Toelichting advies gemeenteraad bij aanvraag aanwijzing als lokale publieke media-instelling

Toelichting advies gemeenteraad bij aanvraag aanwijzing als lokale publieke media-instelling B000012403 25 ĩ O Toelchtng adves gemeenteraad bj aanvraag aanwjzng als lokale publeke meda-nstellng Ì...Ï 1. Algemeen De wetgever heeft gekozen voor een s ys teem waarbj per gemeente, voor de termjn van

Nadere informatie

Rekenen met rente en rendement

Rekenen met rente en rendement Rekenen met rente en rendement Woekerpols? Lenng met lokrente? Er wordt met de beschuldgende vnger naar banken en verzekeraars gewezen de op hun beurt weer terugwjzen naar de consument: Deze zou te weng

Nadere informatie

Onderzoeksmethoden en techieken I

Onderzoeksmethoden en techieken I Naam:... Voornaam:... Studejaar en -rchtng:... MEERKEUZEVRAGEN Onderzoeksmethoden en techeken I Examen september 000 KLAD: omcrkel op het opgaven formuler telkens HET BESTE antwoord, er s telkens 1 best

Nadere informatie

Gemeentefonds verevent minder dan gedacht

Gemeentefonds verevent minder dan gedacht Gemeentefonds verevent mnder dan gedacht Maarten A. Allers Drecteur COELO en unverstar hoofddocent aan de Rjksunverstet Gronngen De rjksutkerng aan gemeenten wordt verdeeld op bass van utgangspunten de

Nadere informatie

anwb.nl/watersport, de site voor watersporters

anwb.nl/watersport, de site voor watersporters Het s net zo gebrukeljk om voor klene jachten een sleepproef te laten utvoeren. Zo'n proef s duur en daardoor vaak net rendabel. Toch loont een sleepproef de moete. Aan de hand ervan kunnen bj voorbeeld

Nadere informatie

ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD

ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD Al cohol kenn s door gespeel d Eval uat eal cohol voor l cht ng doorpeer sopf est val s ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD Evaluate alcoholvoorlchtng door peers op festvals December 2005 INTRAVAL Gronngen-Rotterdam

Nadere informatie

De Waarde van Toekomstige Kasstromen

De Waarde van Toekomstige Kasstromen De Waarde van Toekomstge Kasstromen De kosten van onderpandmnmalserng Jeroen Kerkhof, VAR Strateges BVBA Introducte Voor de fnancële crss hadden fnancële ngeneurs op bass van een aantal redeljke assumptes

Nadere informatie

Minix 3. Andrew Tanenbaum

Minix 3. Andrew Tanenbaum Mnx 3 Velg en betrouwbaar besturngssysteem Mnx 3 s een neuw open source besturngssysteem voor de pc. Het systeem s klen van opzet en heeft een neuwe, modulare opbouw waardoor het net kwetsbaar s voor veel

Nadere informatie

zijn, kunnen we stellen dat de huidige analyses vooral toegespitst zijn op een ordergerichte situatie.

zijn, kunnen we stellen dat de huidige analyses vooral toegespitst zijn op een ordergerichte situatie. 1\1. H. CORBEY El'\ R. A JAT\SEJ'\ FLEXBLTET EN LOGSTEKE KOSTEN DE LOGSTEKE GELDSTROOMDAGt LOGSTEKE KOSTEN Voor het onderzoek 'Logsteke geldsrroomdagnose' zjn verschllendc utgangspunten geformuleerd. Ten

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Correlatie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Correlatie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Correlate: eplorateve methoden Werktekst voor de leerlng Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vancaudenberg Statstek voor het secundar onderwjs

Nadere informatie

Middenkaderfunctionaris bouw & infra (Netwerkschool)

Middenkaderfunctionaris bouw & infra (Netwerkschool) Mddenkaderfunctonars bouw & nfra (Netwerkschool) MBO College voor Bouw, Infra & Intereur Door ondernemend te zjn krjg k meer verantwoordeljkhed. 2013-2014 BOL Nveau 4 Thorbeckelaan 184 Almelo Crebo: 22012

Nadere informatie

Waardeoverdracht. Uw opgebouwde pensioen meenemen naar uw nieuwe pensioenuitvoerder

Waardeoverdracht. Uw opgebouwde pensioen meenemen naar uw nieuwe pensioenuitvoerder Waardeoverdracht Uw opgebouwde pensoen meenemen naar uw neuwe pensoenutvoerder In deze brochure 3 4 5 6 Gefelcteerd! Een neuwe baan Wel of net kezen voor waardeoverdracht? Vergeljk de regelngen Hoe waardevast

Nadere informatie

Cats. Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423

Cats. Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423 Cats Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423 ] Motverng vanjhet beroepschrft n cassate (rolnummer 10/00158) tegen de utspraak van het Gerechtshof te Arnhem van 1 december 2009, nr. 08/00145, j j/ nzake SËËÊÊÊÈÈÊÈtemÈ

Nadere informatie

One size fits not all

One size fits not all archtectuur One sze fts not all Methoden voor enterprsearchtectuur Welke maner van archtectuur bedrjven past het best bj een organsate? Een (onderzoeks)rchtng om meer grp te krjgen op bepalende factoren

Nadere informatie

RAADSINFORMATIEBRIEF 12R.00353

RAADSINFORMATIEBRIEF 12R.00353 RAADSINFORMATIEBRIEF 12R.00353 gemeente WOERDEN Van Wethouder Schreurs Datum : 25 september 2012 Portefeullehouders) : wethouder Scheurs Portefeulle(s) : wethouder Schreurs Contactpersoon : R. Broekmeulen

Nadere informatie

Websiteoptimalisatie aan de hand van online zoek en klikgedrag analyse

Websiteoptimalisatie aan de hand van online zoek en klikgedrag analyse Websteoptmalsate aan de hand van onlne zoek en klkgedrag analyse BWI Werkstuk Martjn Moest Websteoptmalsate aan de hand van onlne zoek en klkgedrag analyse BWI Werkstuk Auteur: Martjn Moest Begeleder:

Nadere informatie

De kloof: welke kennis heeft een opdrachtgever nodig?

De kloof: welke kennis heeft een opdrachtgever nodig? projectmanagement Goed opdrachtgeverschap De kloof: welke kenns heeft een opdrachtgever nodg? Een van de redenen waarom projecten net succesvol zjn s de kloof tussen opdrachtgever en opdrachtnemer. Om

Nadere informatie

3.7.3 Welke meetinstrumenten zijn geschikt voor het vastleggen van motorische vaardigheden?

3.7.3 Welke meetinstrumenten zijn geschikt voor het vastleggen van motorische vaardigheden? 3. Dagnostek 3.7. Hoe meet je verbeterng of verslechterng n het dageljks functoneren met betrekkng tot de mobltet (ztten, staan, lopen, verplaatsen) bj CP? 3.7.3 Welke meetnstrumenten zjn geschkt voor

Nadere informatie

Bronnen & Methoden bij Marktscan medischspecialistische zorg 2015

Bronnen & Methoden bij Marktscan medischspecialistische zorg 2015 Bronnen & Methoden bj Marktscan medschspecalstsche zorg 2015 Hoofdstuk 2: Wachttjden voor medsch specalstsche zorg Ontwkkelng van wachttjden Voor de wachttjdanalyses s gebruk gemaakt van gegevens afkomstg

Nadere informatie

Prijs ƒ 3.- "OCTllCO' HA AD

Prijs ƒ 3.- OCTllCO' HA AD Prjs ƒ 3.- "OCTllCO' HA AD._,-, Ter nzage gelegde, j^-vk Octrooaanvrage Nr./ 7 3 1 4 8 6 0 Int. Cl. G 01 t l/l8. NEDERLAND ludenugsdatum: 25 oktober 1973? Datum van ternzageleggmg: 19 november 1974. 15

Nadere informatie

STUDIEBOEK. wiskunde. Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethspitaels@gmail.com www.meesterkenneth.bevegem.be

STUDIEBOEK. wiskunde. Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethspitaels@gmail.com www.meesterkenneth.bevegem.be STUDIEBOEK Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethsptaels@gmal.com wskunde Breuken, procenten en kommagetallen Klenste gemeenschappeljk veelvoud Grootste gemeenschappeljke deler Romense cjfers Deelbaarhed

Nadere informatie

Integere programmering voor cyclische personeelsplanning

Integere programmering voor cyclische personeelsplanning UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2011 2012 Integere programmerng voor cyclsche personeelsplannng Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Scence

Nadere informatie

Process mining: leuk voor de liefhebber of noodzaak?

Process mining: leuk voor de liefhebber of noodzaak? process mnng Process mnng: leuk voor de lefhebber of noodzaak? Pledoo voor een breder draagvlak en toepassng n de audtpraktjk Process mnng toepassen n de audtpraktjk. Waarom zouden we dat wllen? En wat

Nadere informatie

Onderhoud en beheer van infrastructuur voor goederenvervoer

Onderhoud en beheer van infrastructuur voor goederenvervoer CE Oplossngen voor mleu, econome en en technologe Oude Oude Delft Delft 180 180 2611 HH Delft tel: tel: 015 0152 2150 150 150 fax: 015 2 150 151 fax: 015 2 150 151 e-mal: ce@ce.nl webste: e-mal: ce@ce.nl

Nadere informatie

Forse besparing op telefonie

Forse besparing op telefonie KleurRjk dgtale neuwsbref voor medewerkers van Koraal Groep - februar 2015 Verder n deze neuwsbref: The Thunderbes maken razendsnel naam op nternet Forse besparng op telefone RvB en RvT bezoeken Berkenhofcollege

Nadere informatie

Onderzoek! Ontdek! Onderneem! WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP WWW.EUREKACUP.NL. Eureka!Cup is een programma van Stichting Techniekpromotie

Onderzoek! Ontdek! Onderneem! WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP WWW.EUREKACUP.NL. Eureka!Cup is een programma van Stichting Techniekpromotie GEVER WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP E!C16-1 GEVER 7 Bètawerelden De opdrachten van het Eureka!Cup sezoen worden geplaatst bnnen een van de 7 bètawerelden: Voedng & Vtaltet Mobltet & Rumte Lfestyle & Desgn Scence

Nadere informatie

Zo krijg je wél grip op IT-investeringen

Zo krijg je wél grip op IT-investeringen T-servcemanagement Zo krjg je wél grp op T-nvesterngen ntegrate van applcate- en projectportfolomanagement Met één druk op de knop een overzcht genereren van alle T-projecten en bjbehorende applcates (of

Nadere informatie

Reinier van der Kuij

Reinier van der Kuij 03 2014 Wonngcorporates en Vastgoedontwkkelng: Ft for Use? Rener van der Kuj Wonngcorporates en Vastgoedontwkkelng: Ft for Use? Rener van der Kuj Technsche Unverstet Delft, facultet Bouwkunde, afdelng

Nadere informatie

Uitgebreide aandacht warmtapwatersystemen. Door afnemende warmtevraag voor ruimteverwarming, neemt het belang van het

Uitgebreide aandacht warmtapwatersystemen. Door afnemende warmtevraag voor ruimteverwarming, neemt het belang van het NEN 5128: overzcht van rendementen Utgebrede aandacht warmtapwatersystemen Door afnemende warmtevraag voor rumteverwarmng, neemt het belang van het opwekkngsrendement voor warmtapwater toe. In de norm

Nadere informatie

werken en leren in de brugklas 2014-2015 Je groeit op de RGO

werken en leren in de brugklas 2014-2015 Je groeit op de RGO werken en leren n de brugklas 2014-2015 Je groet op de RGO INhoudsopgave Voorwoord.........................................................................................................................................

Nadere informatie

In vier stappen naar een succesvolle informatievoorziening

In vier stappen naar een succesvolle informatievoorziening In ver stappen naar een succesvolle Meer toegevoegde waarde van IT voor de busness IT wordt dkwjls ervaren als net aanslutend op de wensen van de busness en net strategsch voor de organsate. Er gaat veel

Nadere informatie

- 2 - Datum vergadenn Nota openbaar: ľľo 9. Verzoek toepassing regeling Rood voor Rood met gesloten beurs op de locatie Scharlebeltweg 1 te Nijverdal

- 2 - Datum vergadenn Nota openbaar: ľľo 9. Verzoek toepassing regeling Rood voor Rood met gesloten beurs op de locatie Scharlebeltweg 1 te Nijverdal - 2 - Nota Voor burgemeester en wethouders Nummer: 4INT05600 IIIIIIlllllllllIIIIIIIIIIIlllllllllllllllll Onderwerp: Datum vergadenn Nota openbaar: ľľo 9 Gemeente Hellendoorn DEC. 20W Verzoek toepassng

Nadere informatie

MRT/RT MKT/KT. Wormwielreductoren. www.triston.nl

MRT/RT MKT/KT. Wormwielreductoren. www.triston.nl MRT/RT MKT/KT Wormwelreductoren www.trston.nl Het s tjd voor Trston! Natuurljk wlt u dat uw producteproces soepel verloopt. Trston helpt. Want met de wormwelreductoren van Trston kest u voor langdurge

Nadere informatie

Yield Management & Short Selling

Yield Management & Short Selling Yeld Management & Short Sellng M.J. Soomer B.W.I. Werkstuk Begeleder : dr. G. M. Koole Maart 00 Vrje Unverstet Facultet der Exacte Wetenschappen Dvse Wskunde en Informatca Studerchtng Bedrjfswskunde &

Nadere informatie

5.1 Elektrische stroom en spanning

5.1 Elektrische stroom en spanning 5. Elektrsche stroom en spannng Opgave a lleen elektronen kunnen zch verplaatsen en net de postef geladen kern. Omdat de ladng van emer postef s, s hj negatef geladen elektronen kwjtgeraakt. Je erekent

Nadere informatie

Een herontwerp van de ordercyclus voor de uitlevering van verse snijbloemen

Een herontwerp van de ordercyclus voor de uitlevering van verse snijbloemen Een herontwerp van de ordercyclus voor de utleverng van verse snjbloemen Producte op prognose van boeketten en monobossen Bedrjfsbegeleder : Dhr. P. Swnkels Paul.Swnkels@jumbosupermarkten.nl 1 e TU/e begeleder

Nadere informatie

Automatic-schakelaar Komfort Gebruiksaanwijzing

Automatic-schakelaar Komfort Gebruiksaanwijzing opzetstuk Systeem 2000 Art. nr.: 0661 xx / 0671 xx Inhoudsopgave 1. Velghedsnstructes 2. Functe 2.1. Werkngsprncpe 2.2. Detecteveld verse met 1,10 m lens 2.3. Detecteveld verse met 2,20 m lens 3. Montage

Nadere informatie

De enterprisearchitect als coach

De enterprisearchitect als coach archtectuur De enterprsearchtect als coach Naar een vloeende samenwerkng tussen enterprseen projectarchtecten Grotere organsates kennen vaak een (te strkte) schedng tussen enterprse- en projectarchtecten.

Nadere informatie

Nota van B&W. onderwerp Uitrol gemeentelijk hondenbeleid in overig deel Nieuw-Vennep. Portefeuilehouder S. Bak, drs. Th.L.N.

Nota van B&W. onderwerp Uitrol gemeentelijk hondenbeleid in overig deel Nieuw-Vennep. Portefeuilehouder S. Bak, drs. Th.L.N. gemeente Haarlemmermeer Nota van B&W onderwerp Utrol gemeenteljk hondenbeled n overg deel Neuw-Vennep Portefeulehouder S. Bak, drs. Th.L.N. Weterngs ollegevergaderng 5 november 20 3 nlchtngen A. Monster

Nadere informatie

7. Behandeling van communicatie en mondmotoriek

7. Behandeling van communicatie en mondmotoriek 7. Behandelng van communcate en mondmotorek 7.2. Slkstoornssen 7.2.3 Wat s de meerwaarde van enterale voedng (va PEG-sonde) ten opzcht van orale voedng bj knderen met CP met slkstoornssen wat betreft voedngstoestand,

Nadere informatie

Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting

Zwaartepunten, traagheidsmomenten en verdeelde belasting Zwaartepunten, traagedsmomenten en verdeelde belastng Opgeloste Vraagstukken 6.1 Een dunne draad lgt n de dredmensonale rumte en bestaat ut een kwadrant AB van een crkel samen met twee recte stukken BC

Nadere informatie

Dit is de digitale schoolgids van. IKC Het Sterrenbos

Dit is de digitale schoolgids van. IKC Het Sterrenbos 2015 2016 Dt s de dgtale schoolgds van IKC Het Sterrenbos IKC het Sterrenbos IKC-gds schooljaar 2015-2016 IKC het Sterrenbos; Onderwjs Knderopvang 2 4 jargen Buten Schoolse Opvang schoolvakantes adressen

Nadere informatie

kopers huurders controle Klantgestuurd en empowerment empowerment capacity keuze Te Woon effecten voorraadbeleid kopen verkoop inkomen klanten

kopers huurders controle Klantgestuurd en empowerment empowerment capacity keuze Te Woon effecten voorraadbeleid kopen verkoop inkomen klanten effecten Klantgestuurd voorraadbeled en empowerment Over Te Woon en andere ntateven van wonngcorporates verkoop klantgestuurd kopen kopers wonngcorporates nkomen ntateven schalen capacty Te Woon klanten

Nadere informatie

Vaker een trein, da s pas fijn!?

Vaker een trein, da s pas fijn!? Vaker een tren, da s pas fjn!? Hoogfrequent spoorvervoer beschouwd vanut de rezger Janneke Tax DHV janneke.tax@dhv.nl Elske Olthof 4Infra elske.olthof@4infra.nl Bjdrage aan het Colloquum Vervoersplanologsch

Nadere informatie

VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN.

VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN. VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN. - 8h -% RH www.quck-step.com www.quck-step.com Cement

Nadere informatie

6. Behandeling van kinderen met spastische cerebrale parese gericht op verbetering van handvaardigheid

6. Behandeling van kinderen met spastische cerebrale parese gericht op verbetering van handvaardigheid 6. Behandelng van knderen met spastsche cerebrale parese gercht op verbeterng van handvaardghed 6.1.Wat s de meerwaarde van oefentherape bj de behandelng van knderen met spastsche CP op vaardghedsnveau

Nadere informatie

DE SPORTCLUB: NIET ALLEEN VOOR MAAR OOK VAN DE JEUGD

DE SPORTCLUB: NIET ALLEEN VOOR MAAR OOK VAN DE JEUGD DE SPORTCLUB: NIET ALLEEN VOOR MAAR OOK VAN DE JEUGD Mogeljkheden en tps om de jeugd actever bj de sportclub te betrekken INHOUD 1. Het wat en waarom van jeugdpartcpate n de sportverengng Jeugdpartcpate:

Nadere informatie

ISO/IEC 38500 BiSL ASL

ISO/IEC 38500 BiSL ASL nformatevoorzenng Een vergeljkng ISO/IEC 38500 BSL ASL ISO/IEC 38500, BSL en ASL kunnen een grote rol spelen n het professonalseren van de nformatevoorzenng, eder model vanut hun egen doelstellng en kracht.

Nadere informatie

Uitgeest 28 Mei 2013. Geachte Voorzitter en Commissieleden

Uitgeest 28 Mei 2013. Geachte Voorzitter en Commissieleden Utgeest 28 Me 203 Geachte Voorztter en Commsseleden Vanwege neuwe ontwkkelngen n verband met het verwjderen van de scootmobelen ut het atrum van De Slmp wl k dt n de GGZ-vergaderng nogmaals onder uw aandacht

Nadere informatie

Beroepsregistratie en vooraanmelden voor beroepsregistratie. in de jeugdhulp en jeugdbescherming

Beroepsregistratie en vooraanmelden voor beroepsregistratie. in de jeugdhulp en jeugdbescherming Beroepsregstrate en vooraanmelden voor beroepsregstrate n de jeugdhulp en jeugdbeschermng Inhoudsopgave Werk jj n de jeugdhulp of jeugdbeschermng? Bjvoorbeeld n de ggz? Ben je socaal werker? Of begeled

Nadere informatie

flits+ Geen idee Ongeveer de helft? Wanneer is de vraag... Uh..? Ik weet het! bpfhibin.nl Ik verkoop mijn huis Wie dan leeft... Zien we dan wel weer

flits+ Geen idee Ongeveer de helft? Wanneer is de vraag... Uh..? Ik weet het! bpfhibin.nl Ik verkoop mijn huis Wie dan leeft... Zien we dan wel weer pensoen Hoeveel pensoen denk je dat je krjgt? Wat ontvang je egenljk als je met pensoen gaat? 5 prangende vragen aan drecteur Rob Braaksma Verantwoordngsorgaan De regelng n nfographc Feten, cjfers en wetenswaardgheden

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combatorek groep Tragsweeked ovember 013 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te make met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrjk bj het make va opgave s om et allee de theore de je ket

Nadere informatie

Gebiedsgericht Voorraadbeleid van Woningcorporaties. Een analyse van planningsbenaderingen in Vogelaarwijken. Arne van Overmeeren

Gebiedsgericht Voorraadbeleid van Woningcorporaties. Een analyse van planningsbenaderingen in Vogelaarwijken. Arne van Overmeeren 04 2014 Gebedsgercht Voorraadbeled van Wonngcorporates Een analyse van plannngsbenaderngen n Vogelaarwjken Arne van Overmeeren Gebedsgercht Voorraadbeled van Wonngcorporates Een analyse van plannngsbenaderngen

Nadere informatie

Biesbosch verdient het!

Biesbosch verdient het! Besbosch verdent het! Ontwkkelscenaro s - Endadves - Utgevoerd n opdracht van: Parkschap De Besbosch Opgesteld door: Buck Consultants Internatonal Njmegen, 14 oktober 2013 Voorwoord Snds medo jul 2013

Nadere informatie

Praktijkboek De knop om!

Praktijkboek De knop om! Praktjkboek De knop om! Maak uw organsate energebewust >> Duurzaam, Agrarsch, Innovatef en Internatonaal ondernemen De knop om! Maak uw organsate energebewust Voorwoord Bnnen bedrjven en nstellngen wordt

Nadere informatie

Dit is de digitale schoolgids van R.K. basisschool St. Jacobusschool 2014-2015

Dit is de digitale schoolgids van R.K. basisschool St. Jacobusschool 2014-2015 Dt s de dgtale schoolgds van R.K. bassschool St. Jacobusschool 2014-2015 s t n p 5 v f 1 z k c o g 2 8 x u e d b r z l y g 6 4 m q h t 7 9 St. Jacobusschool schoolgds 2014-2015 3 schoolvakantes adressen

Nadere informatie

Tentamen vak 4S581, d.d. 13 april 2011 Chemie en Transport in Energie Conversie Processen

Tentamen vak 4S581, d.d. 13 april 2011 Chemie en Transport in Energie Conversie Processen Tentamen vak 4S581, d.d. 13 aprl 2011 Cheme en Transport n Energe Converse Processen Maak elke opgave op een afzonderljk vel paper Dctaat mag gebrukt worden, aantekenngen net Succes! Opgave 1: Euro 95

Nadere informatie

Wmo inzicht. Scharnieren in de regio: Zuid Oost Brabant. december 2014 nummer 15. ⓮ Cliënt in. In dit e-zine: ⓬ Over de grenzen.

Wmo inzicht. Scharnieren in de regio: Zuid Oost Brabant. december 2014 nummer 15. ⓮ Cliënt in. In dit e-zine: ⓬ Over de grenzen. Wmo nzcht Gehandcaptenzorg Neuwe Stjl december 2014 nummer 15 ❸ Scharneren n de rego: Zud Oost Brabant In dt e-zne: Rdderkerk over de grenzen heen ❺ Aan de keukentafel met: Marga de Goej, wethouder gemeente

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Statistiek 2 voor TeMa Maandag 08-03-2004.

Uitwerkingen tentamen Statistiek 2 voor TeMa Maandag 08-03-2004. Utwerkngen tentamen Statstek voor TeMa Maandag 8-3-4. Opgave a. Model: Y = β + β* x+ ε met ε ~ Nd(, σ ) Y s het energeverbruk, x s de omgevngstemperatuur.. Volgens het scatterplot n de bjlage ljkt er sprake

Nadere informatie

I I i I I I 1 I I 1 I I I I f i

I I i I I I 1 I I 1 I I I I f i f 2.3 Kwaltetsdag Rjkswaterstaat 998 "Goed utbesteden, Nu en Na 2000" 95 (2) woensdag, 2 december 999 RA Congrescentrum, Amsterdam D 0 C (bblotheek en documentate) ~s?- Denst Weg- en Waterbouwkunde ^3b^

Nadere informatie

ïöftrt [iojal eriii2a?ieiagg^ [11]

ïöftrt [iojal eriii2a?ieiagg^ [11] Octrooracd m ^ ïöftrt [ojal er2a?eagg^ [11] Nederland [19] WL [54] W&rkwjss ter beredng ven een cheïsat. [51] Int.C 2.: A61K2S/00. [71] Aanvrager: Research Corporaton te New York. [74] Gem.: Ir. C.M.R.

Nadere informatie

Vernieuwing Lake Land Hotel Jachthaven 1 Monnĩckendam Gemeente Waterland

Vernieuwing Lake Land Hotel Jachthaven 1 Monnĩckendam Gemeente Waterland FFF ï ī-ï n t on ra n t -1 «.u jy l l ;I H n rŗ nr Es Verneuwng Jachthaven 1 Monnĩckendam Gemeente Waterland Bestemmngsplan, ontwerpstjl en welstand. Datum: 8 februar 2014 Jachthaven 1 1141 AV Monnckendam,

Nadere informatie

Dit is de digitale schoolgids van. basisschool de Kameleon

Dit is de digitale schoolgids van. basisschool de Kameleon 2015 2016 Dt s de dgtale schoolgds van bassschool de Kameleon De Kameleon schoolgds 2015-2016 Dt s de schoolgds van samenwerkngsschool de Kameleon. schoolvakantes adressen 2 Woord vooraf Beste ouders/verzorgers,

Nadere informatie

Routeoptimalisatie Een financiële analyse

Routeoptimalisatie Een financiële analyse Routeoptmalsate Een fnancële analyse Sebastaan Keus Master s Thess Routeoptmalsate Een fnancële analyse Sebastaan Keus Master s Thess Vrje Unverstet Amsterdam Facultet der Exacte Wetenschappen De Boelelaan

Nadere informatie

I I f I I I I I I i i i i i i i

I I f I I I I I I i i i i i i i f Mnstere van Verkeer en Waterstaat Drectoraat-Generaal Rjkswaterstaat Denst Weg- en Waterbouwkunde Dynamsch traxaalonderzoek op asfalt Onderzoek op mengsels DAB /16 en ZOAB /16 A \r> f f f C.' ur B DO

Nadere informatie

VDAB. Wanneer inschrijven? p Bij afstuderen:

VDAB. Wanneer inschrijven? p Bij afstuderen: AFGESTUDEERD wat nu? GEFELICITEERD Je hebt je dploma op zak of zegt de schoolbanken vaarwel om je op de arbedsmarkt te storten. Wat je ook studeerde, er komt heel wat op je af als je de schoolpoort achter

Nadere informatie

Do SS ier. I Jos Kersten& Tonny van de Pasch. Spirituele zorg

Do SS ier. I Jos Kersten& Tonny van de Pasch. Spirituele zorg Do SS er Jos Kersten& Tonny van de Pasch n Nederland wordt sprtuele zorg n de verplegng belangrjk en relevant geacht, maar het ontbreekt desondanks aan systematsche aandacht ervoor: zowel n het onderwjs

Nadere informatie

Bijlage 3 Rapportage risicoanalyse buisleidingen

Bijlage 3 Rapportage risicoanalyse buisleidingen Bjlage 3 Rapportage rscoanalyse busledngen 0.\[(] E ROEVER \ V. S M)\ -.S KWANTTATEVE RSCOANALYSE Beslut externe velghed busledngen Gemeente Steenbergen Opdrachtgever: Contactpersoon: Gemeente Steenbergen

Nadere informatie

Beperkt? Niet in de mode!

Beperkt? Niet in de mode! dgtale neuwsbref voor medewerkers van Koraal Groep - 2015 - Nr. 3 Verder n deze neuwsbref: De projecten van RICHTPUNT 2015 Beperkt? Net n de mode! Vrenden van De Hondsberg ontvangen groot bedrag En nog

Nadere informatie

Digitale Atlas Europa en de Digitale Agenda

Digitale Atlas Europa en de Digitale Agenda Europa Bevorderng van vertrouwen n en deelname aan dgtale wereld Dgtale Atlas Europa en de Dgtale Agenda De Dgtale Atlas Europa, bestaand ut dertg natonale atlassen, heeft als doel een beeld te schetsen

Nadere informatie

Het Nederlands Persmuseuml

Het Nederlands Persmuseuml [HET ARCHIEF] Het Nederlands Persmuseuml HELLEKE VAN DEN BRABER lr In museale krngen bestaat vrj grote overeenstemmng over de crtera waaraan een echt museum moet voldoen. Een eerste vereste s uteraard

Nadere informatie

www.dtco.nl DLK Pro De all-round uitlee s apparatuur voor onderweg Maatwerk voor verschillende toepassingen

www.dtco.nl DLK Pro De all-round uitlee s apparatuur voor onderweg Maatwerk voor verschillende toepassingen www.dtco.nl DLK Pro De all-round utlee s apparatuur voor onderweg Maatwerk voor verschllende toepassngen Gewoon brljant, brljant eenvoudg DLK Pro s de productfamle van VDO, de neuwe standaards stelt voor

Nadere informatie

Akoestisch rapport gietwaterfabriek Dinteloord

Akoestisch rapport gietwaterfabriek Dinteloord BEM1303048 gemeente Steenbergen Akoestsch rapport getwaterfabrek Dnteloord \ 9 : - \ \ K 'SSIİC-1P31 í a r n opdracht van: Veola Water Solutons 81 Technologes b.v. ordernummer opdrachtgever: P12031-FE-221842

Nadere informatie

Deze factsheet ouderen en eenzaamheid is een gezamenlijke uitgave van GGD Midden-Nederland en Schakels, adviesbureau voor welzijn en zorg.

Deze factsheet ouderen en eenzaamheid is een gezamenlijke uitgave van GGD Midden-Nederland en Schakels, adviesbureau voor welzijn en zorg. Deze factsheet ouderen en eenzaamhed s een gezamenljke utgave van GGD Mdden-Nederland en Schakels, advesbureau voor welzjn en zorg. Inhoud Informateblad Wat s eenzaamhed? Wat veroorzaakt eenzaamhed? Overge

Nadere informatie

GEMEENTE HELLEN DOORN lichand.: 1 FEB 2013. A1 B Stuk itreťw.: Werkpr.. Kopie aan: Archief' ü 1 N reeks/vlvcrtr.:

GEMEENTE HELLEN DOORN lichand.: 1 FEB 2013. A1 B Stuk itreťw.: Werkpr.. Kopie aan: Archief' ü 1 N reeks/vlvcrtr.: 13INK00403 mn 11 Mnstere van Bnnenlandse Zaken en Konnkrjksrelates > Retouradres Postbus 200112500 EA Den Haag Burgemeesters Wethouders Gemeenteraadsleden Overhedsmedewerkers GEMEENTE HELLEN DOORN lchand.:

Nadere informatie

Dit is de digitale schoolgids van. R.K. basisschool St. Jacobusschool

Dit is de digitale schoolgids van. R.K. basisschool St. Jacobusschool 2015 2016 Dt s de dgtale schoolgds van R.K. bassschool St. Jacobusschool St. Jacobusschool schoolgds 2015-2016 schoolvakantes adressen 2 Woord vooraf Voor u lgt onze schoolgds. Wj nformeren u met dt document

Nadere informatie

Eindige Elementen Methode Syllabus over het gebruik in de lineair elastische vaste stof mechanica; Cursus 2001-2002, Trimester 2.2

Eindige Elementen Methode Syllabus over het gebruik in de lineair elastische vaste stof mechanica; Cursus 2001-2002, Trimester 2.2 Endge Eementen Methode Syabs over het gebrk n de near eastsche vaste stof mechanca; Crss -, rmester. r. J.H.P. de Vree echnsche Unverstet Endhoven Factet Werktgbowknde Materas echnoogy Inhod Inedng Notateafspraken

Nadere informatie

Hoveniers. Zie www.ctgb.nl, Bestrijdingsmiddelendatabank.

Hoveniers. Zie www.ctgb.nl, Bestrijdingsmiddelendatabank. Keuze van het mddel Hoveners # 1a OVER Keuze van het mddel VOOR Werkgever Sector Hoveners Geen net-toegelaten bestrjdngsmddel gebruken Gebruk een mddel dat s toegelaten n Nederland. Ze www.ctgb.nl, Bestrjdngsmddelendatabank.

Nadere informatie

Blik op de toekomst. Reorganisatie De Key. Complexe fusie geslaagd. case uitgelicht. OR én bestuurder aan het woord case uitgelicht

Blik op de toekomst. Reorganisatie De Key. Complexe fusie geslaagd. case uitgelicht. OR én bestuurder aan het woord case uitgelicht n u m m e r 1, n a j a a r 2 0 1 1 Blk op de toekomst case utgelcht Reorgansate De Key OR én bestuurder aan het woord case utgelcht Complexe fuse geslaagd mede dankzj bjdrage OR Duvelse dlemma s Gedragscode

Nadere informatie

Hoe toekomstvast is de gemeentelijke midofficearchitectuur?

Hoe toekomstvast is de gemeentelijke midofficearchitectuur? archtectuur Het mdoffce concept van GEMMA Hoe toekomstvast s de gemeenteljke mdoffcearchtectuur? Bj het realseren van de elektronsche overhed spelen de gemeenten een voorhoederol. Rchtnggevend daarbj s

Nadere informatie

Dit is de digitale schoolgids van R.K. basisschool Sunte Werfert

Dit is de digitale schoolgids van R.K. basisschool Sunte Werfert Dt s de dgtale schoolgds van R.K. bassschool Sunte Werfert f 1 z s t k c o g n 2 8 x u e d b r z l y g 6 4 p v m q h t 7 9 Sunte Werfert schoolgds 2014-2015 3 schoolvakantes adressen 2 z x p 5 y 8 d Een

Nadere informatie

Standaardisatiemethoden. 9 10Abby Israëls. Statistische Methoden (10003)

Standaardisatiemethoden. 9 10Abby Israëls. Statistische Methoden (10003) Standaardsatemethoden 9 10Abby Israëls Statstsche Methoden (10003) Den Haag/Heerlen, 2010 Verklarng van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopg cfer ** = nader voorlopg cfer x = gehem = nhl = (nden voorkomend

Nadere informatie