Dubbelplaneten. Vakantiecursus

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Dubbelplaneten. Vakantiecursus"

Transcriptie

1 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december Raner Kaenders Semnar für Mathematk und hre Ddaktk Mathematsch-aturwssenschaftlche Fakultät Unverstät zu Köln Gronewaldstrasse Köln Vakantecursus Dubbelplaneten De maan verwjdert zch elk jaar van de aarde met aan afstand van 3,82 cm en de satellet Phobos van Mars zal n de toekomst eens op het Marsoppervlak te pletter slaan. Hoe zjn deze verschjnselen te verklaren? In dt artkel kunnen we dt met relatef eenvoudge vectordynamca begrjpen. Het verscheen eerder n de bundel behorende bj de vakantecursus 2007 wskunde. Deze cursus, de jaarljks georganseerd wordt door het Centrum voor Wskunde en Informatca n Amsterdam n samenwerkng met de ederlandse Verengng van Wskundeleraren, heeft dt jaar het thema Wskunde n Bewegng. Het thema s specaal gekozen met het neuwe havo- vwovak wskunde D n gedachten. Met dt vak hebben de dfferentaalvergeljkngen hun rentree gemaakt n het mddelbaar onderwjs. Dubbelplaneten van Raner Kaenders ljkt daartoe als vakoverstjgend project zeer geschkt. In 695 heeft de Engelse astronoom Edmond Halley voorspeld dat de maanden dat wl zeggen de omlooptjd van de maan rond de aarde n de loop van de zeshonderd jaar vóór zjn tjd ongeveer een tenduzendste uur korter zjn geworden [2]. Hoe kon hj met de mddelen van toen een dergeljke utspraak doen? Twee jaar eerder, n 693, heeft Halley samen met een Oxfordse arabst de vertalng door een zekere Plato Tburtnus van de observates van de astronoom al-battan vanut een vakdeskundg perspectef herzen []. De Araber al-battan , wens naam door Halley tot Albategnus werd gelatnseerd, beschreef verschllende maans- en zonsverdusterngen. aar aanledng hervan beweerde Halley [2] dat hj aan kon tonen dat de maanden korter werden. De Utrechtse astronoom Frank Verbunt speculeert n [4], [6] hoe Halley tot deze concluse gekomen zou kunnen zjn: Omdat zonsverdusterngen utslutend bj een neuwe maan plaatsvnden moet er altjd een geheel aantal maanden tussen twee zonsverdusterngen ztten. Halley kende de lengte van een maand al engszns nauwkeurg en kon dus terugrekenen wanneer en waar 800 jaar oftewel ongeveer maanden eerder al-battan een zonsverdusterng gezen zou kunnen hebben. Stel nou dat Halley had berekend dat er toen een zonsverdusterng n Alexandrë plaats moest hebben gevonden terwjl al-battan een zonsverdusterng op deze dag n Bagdad verslaat. Dt had Halley dan kunnen verklaren door aan te nemen dat de zonsverdusterng een uur eerder plaatsvond dan hj had berekend, hetgeen betekent dat de doorsnee maandlengte tjdens deze 800 jaar met 0 4 uur langer was dan n zjn tjd. De derde wet van Kepler, de we later nog zullen leren kennen, legt een verband tussen de omlooptjd en de afstand tussen aarde en maan en heeft tot gevolg dat met de lengte van de maanden ook de afstand tussen aarde en maan af moet nemen. Tegenwoordg weten wj echter door mddel van lasermetngen aan de planeet Mars dat deze afstand tussen aarde en maan met 3,82 cm per jaar toeneemt en daarmee de maanden langer zouden moeten worden. Hoe s dt te verklaren? Had Halley gewoon ongeljk? Deze vraag van Halley s een vraag zoals de werkeljk n de wetenschap, of precezer n de astrofysca speelt. De vraag oefent een fascnerende werkng ut op astronomen maar ook op leerlngen, leraren en andere belangstellenden. Ook al spreken de metngen Halley tegen, toch s de vraag: Op grond waarvan heeft Halley zjn concluse getrokken? Het antwoord s te vnden n de analyse van het achterlggende wskundge model. Aarde en maan vormen een zogenaamde dubbelplaneet en dubbelplaneten zjn weer draaende systemen de onderhevg zjn aan de wet van behoud van mpulsmoment of draa-mpuls. Dt s de natuurkundge note om de hoeveelhed draang van een systeem te kwantfceren. Door een zorgvuldge analyse van deze wet voor aardemaan s de constaterng van Halley logsch te verklaren [4], [5], [6]. aast de toename van de maandlengte heeft het behoud van mpulsmoment nameljk ook een sterkere toename van de daglengte tot gevolg. Als de maanden n dagen worden gemeten dan worden zj daadwerkeljk korter en had Halley dus toch geljk. Utendeljk kan door toepassng van de wet van behoud van mpulsmoment de toekomst van de dubbelplaneten aarde-maan, Mars-Phobos en eptunus-trton worden voorspeld. Voor alle dre de dubbelplaneten geldt dezelfde wet maar toch gaat elk van hen een ander noodlot tegemoet. In deze bjdrage zullen we de wskundge achtergronden belchten van begrppen als koppel en mpulsmoment en daarmee de wet van behoud van mpulsmoment afleden. De wetten van ewton worden toegelcht en vormen de enge nbreng vanut de

2 2 288 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders Fguur Lnks: Edmond Halley, rechts: de Halley-komeet natuurkunde de rest s wskunde. Vectorfunctes, dat wl zeggen functes van R naar R 3, worden ngevoerd en de productregel voor n- en utproducten van zulke vectorfunctes afgeled. Daarmee lgt de wet van behoud van mpulsmoment al voor het oprapen. In het vervolg gaan we deze wet nterpreteren. Daarvoor kjken wj naar zwaartepunten, hoeksnelheden, mddelpuntzoekende krachten en traaghedsmomenten. Als loon voor deze moete zullen we zen dat planeten n een vlak bewegen, dat de perkenwet van Kepler geldt. Hermee kunnen we het gyroscopsch effect begrjpen. De stude van het mpulsmoment n ons zonnestelsel en n het bjzonder het antwoord op het probleem van Halley vormen een schoolvoorbeeld voor de kracht van wskunde n de natuurwetenschap. De observates leveren een tegenspraak op, de alleen op te lossen s door een gepast wskundg model dat n dt geval door de klasseke mechanca van ewton s gegeven. Met dt model wordt vervolgens puur wskundg geredeneerd en dat levert utendeljk resultaten op de naar de werkeljkhed terug kunnen worden vertaald. Daarmee zjn dan de paradoxaal ljkende observates te verklaren. Zodra het probleem van Halley s doorgrond wordt dudeljk dat dt model veel meer dan een enkele vraag op kan lossen het maakt voorspellngen n uteenlopende stuates mogeljk: de ene formule over behoud van mpulsmoment levert uteenlopende voorspellngen op n de dre gevallen aarde-maan, Mars-Phobos en eptunus-trton. Het probleem van Halley s een vraag de leerlngen toegang zou kunnen verlenen tot het cultuurgebed van wetenschap de berust op ws- en natuurkunde. Bjvoorbeeld het schoolboek [3] s een aanrader voor edereen de op schoolnveau verder wl lezen over hemelmechanca en rumtevaart. Het wskundg gereedschap De wskunde de nodg s om dt hoofdstuk ut het boek van de astronome te begrjpen s wat elementare lneare algebra en de note van geparametrseerde krommen n het vlak en de rumte en haar afgeleden. In s en out s van producten n R 3 We begnnen met een hernnerng aan n- en utproducten n R 3. De symbolen u, v, w en e, met of zonder ndces, staan n deze paragraaf voor vectoren n R 3. Inproduct Het nwendgproduct van twee vectoren u = a, a 2, a 3 en v = b, b 2, b 3 ut R 3 s gedefneerd als u, v = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3. Wj spreken het nproduct ut als u n v en het s een voorschrft om ut twee vectoren een reëel getal te berekenen. Eenvoudg na te gaan s dat het nproduct symmetrsch dat wl zeggen u, v = v, u en n bede argumenten lnear s dt noem je dan blnear. Wj noemen u = u, u de norm van een vector u ut R 3 en met de stellng van Pythagoras zet men dat de waarde van de norm geljk s aan de lengte van de vector u. Als wj het pjltje boven een vector u weglaten, dan bedoelen wj de absolute waarde u = u van deze vector. Het nproduct s zeer geschkt om de projecte van een vector u op een vector v te berekenen. Er bestaat een op v loodrechte vector van de vorm u λ v. Het getal λ bepaal je door te esen dat deze vector loodrecht staat op v. Met het nproduct betekent dt u λ v, v = 0 λ = u, v v 2. De projectevector en de loodvector van een vector u op een vector v worden gegeven door u, v u v := v 2 v en u u, v v := u v 2 v. Projecte- en loodvector geven aanledng tot een ontbndng u = u v + u v van de vector u n een vector n de rchtng van v en een vector de loodrecht op v staat. Utproduct In de natuurkunde en de technek kom je vaak stuates tegen waar grootheden loodrecht op elkaar staan. Wj zoeken dus een maner om aan twee vectoren u en v n R 3 een derde vector u v ut R 3 toe te kennen zodat, als u = 0 en v = 0, de volgende egenschappen gelden:

3 3 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december u v staat loodrecht op u en v, u, v en u v vormen een rechtshandg assenstelsel ze fguur op bladzjde 290, als u en v loodrecht op elkaar staan geldt: u v = u v, u v = u v u = u v v. Als één van de vectoren de nulvector s, dan s ook het utproduct geljk aan de nulvector. Voor vectoren u en v geldt: u u = 0 en u v = u v. De tweede egenschap volgt ut de toepassng van de eerste egenschap op het utproduct u + v u + v. De egenschappen herboven maken dudeljk dat u v de eendudg bepaalde vector s waarvoor geldt dat hj loodrecht staat op het door u en v opgespannen parallellogram, zjn lengte geljk s aan de oppervlakte ze de opgave herboven van dat parallellogram, waarbj u, v en w georënteerd zjn volgens de rechterhand-regel. Defnte: Wj noemen u v het utwendgproduct van de vectoren u en v spreek ut: u ut v. Het koppel Een andere toepassng voor het utproduct s de defnte van het koppel. Als men een schroef wl schroeven dan gaat dat het beste met een arm de loodrecht staat op de schroef: een schroevensleutel. Hoe groter de afstand s tussen de schroef en het punt op de schroevensleutel waarop een kracht wordt utgeoefend hoe beter de schroef te draaen zal zjn. Als de arm net loodrecht staat dan s het enge wat voor het schroeven telt het loodrechte deel van de arm. Bjvoorbeeld als emand probeert te schroeven door de schroevensleutel n verlengng op de schroef erop te zetten dan s de schroefkracht kenneljk nul. Op een punt van de arm wordt er bj het schroeven een kracht utgeoefend en het enge wat er voor de schroefkracht toe doet s het gedeelte van de kracht dat loodrecht staat op de schroef en de schroevendraaer. De effectvtet van het schroeven n een gegeven rchtng heeft te maken met enerzjds de lengte van de schroevensleutel en de mate waarn hj loodrecht staat op de schroef en anderzjds met de kracht de op een punt van de schroevensleutel wordt utgeoefend en de mate waarn deze kracht loodrecht staat op de schroef en de schroevensleutel. We kunnen ook andersom redeneren. Gegeven een arm of hefboom, wskundg voorgesteld door een vector r, en een krachtsvector F. Deze vectoren r en F leggen een rchtng vast waarn het beste geschroefd kan worden. Hoe sterker de kracht s en hoe langer de arm, hoe effectever er geschroefd kan worden. Ut de bovenste beschouwngen bljkt dat de mate en de rchtng waarn er effectef geschroefd kan worden gegeven wordt door het zogenaamde koppel ten opzchte van de oorsprong O dat wordt utgedrukt door: = r F. Als er een kracht werkt op een massadeeltje dan kunnen we het koppel van dat deeltje ten opzchte van elk wllekeurg punt berekenen, hetgeen weergeeft n welke rchtng en hoe goed deze kracht toegepast op een hefboom naar dat wllekeurg punt n staat zou zjn om een draang n gang te zetten. Geparametrseerde rumtekrommen In het vervolg kjken we naar afbeeldngen van R naar R 3 waarbj wj denken aan de bewegng van puntmassa s n de dredmens- Mars en Phobos; foto Mars Global Surveyer 998

4 4 290 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders De vectoren a, b en a b vormen een zogenaamd rechtshandg assenstelsel. onale rumte. Zo n afbeeldng F : R R 3 wordt gegeven door dre gewone dfferenteerbare functes: f t Ft = f 2 t. f 3 t De parameter noemen we meestal t, omdat wj herbj denken aan de tjd. De afgelede van een dergeljke afbeeldng kunnen we net als bj gewone functes verkrjgen door Opgave d F t = lm dt 0 = Ft + Ft lm 0 f t+ f t lm 0 f2 t+ f 2 t lm 0 f3 t+ f 3 t. a. Bewjs dat geldt u, v = u, v u = u v, v. b. De vectoren u en v spannen een parallellogram op. Laat zen dat de oppervlakte daarvan geljk s aan Opgave 2 u v v = v u u = u 2 v 2 u, v. a. Toon aan dat: u, v = u v cosθ en u v = u v snθ, waarbj θ de hoek tussen u en v s. b. Bewjs dat voor vectoren u en v geldt: u v u = u 2 v u, v u = u v u. c. Gegeven twee vectoren u en v dan geldt: u v u 2 v 3 v 2 u 3 u v = u 2 v 2 = u v 3 + u 3 v. u 3 v 3 u v 2 v u 2 Zodra men herbj denkt aan de afgelede naar de tjd geeft deze afbeeldng voor elk moment de rchtng en de snelhed aan waarmee een denkbeeldg massapunt beweegt. Als het gaat om de tjd, schrjven ws- en natuurkundgen Ft voor d F dt. De utdrukkng Ft + Ft waarn de vectoren Ft + en Ft worden vermengvuldgd met het reële getal schrjven wj soms ook als Ft+ Ft. Productregel voor n- en utproduct van functes Met dergeljke afbeeldngen F en G kan men rekenen als met vectoren waarbj wj denken dat ze met de tjd veranderen. Bjvoorbeeld: de afbeeldngen F G en F, G zjn gedefneerd door F Gt = Ft Gt en F, G t = Ft, Gt waarbj aan de rechterkant voor elke t producten van gewone vectoren staan. De afgeleden van deze afbeeldngen F G en F, G kunnen we net zo bepalen als wj dat kennen van gewone functes met de productregel. Het bewjs hervoor s bjna letterljk hetzelfde als bj de productregel voor gewone functes. F Gt + F Gt = [ ] Ft + Gt + Ft + Gt [ ] + Ft + Gt Ft Gt [ ] [ = Gt + Gt Ft + Ft Ft + + Gt ] Als men nu naar nul laat gaan bljkt dat ook voor het utproduct de gewone productregel geldt: F G dt = d F dt G + F d G dt = F G + F G. ewton mechanca Het natuurkundge utgangspunt voor alle wskunde de nu volgt, wordt gegeven door de klasseke wetten van ewton. Laat r, r en r 2 de postevectoren van deeltjes met massa s m, m, m 2 ten opzchte van O zjn. De vectoren r, r en r 2 zjn herbj functes van de tjd t. Wskundg gezen gaat het her om dre rumtekrommen zoals we de herboven hebben ngevoerd en dre posteve getallen m, m, m 2. Dan noteren wj de bjbehorende snelheden als v, v en v 2. Herbj horen mpulsen P, P en P2 gegeven door P = m v = m r als ook P = m v = m r en P2 = m 2 v 2 = m 2 r 2 de kunnen worden opgevat als de hoeveelhed bewegng. ewtons eerste wet Een lchaam bljft stl staan of beweegt eenparg zonder versnellng als er geen kracht op wordt utgeoefend. ewtons tweede wet De versnellng de een lchaam ervaart s evenredg met de op hem werkende kracht en omgekeerd evenredg met de massa van het lchaam: a = m F of F = m v = m r. Kort: F = P. ewtons derde wet acto = reacto Als twee lchamen onderlng krachten op elkaar utoefenen dan wordt er op bede lchamen een even grote kracht utgeoefend n tegengestelde.

5 5 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december rchtngen. dat wl zeggen de som van de kracht F2 op het eerste lchaam vanut het tweede lchaam 2 en de kracht F2 op het tweede lchaam 2 vanut het eerste lchaam s geljk aan nul,.e. F2 + F2 = 0 oftewel F2 = F2. ewtons wet van unversele gravtate Verder heeft ewton de gravtatewet geformuleerd de beschrjft hoe sterk de kracht s de een lchaam met massa m utoefent op een lchaam met massa m 2. Als we met r 2 = r 2 r de vector tussen de twee lchamen aangeven met afstand d dan geldt voor deze kracht: F = F2 = G m m 2 d 2 r 2 d = G m m 2 d 3 r 2. De constante G heet de gravtateconstante. Haar waarde s m2 G 6, kg 2. Bewegen op een crkel Voor crkelvormge bewegngen s er een bjzondere mddelpuntzoekende kracht nodg en de beschrjvng van de snelhed van deze bewegng kan het beste va de hoeksnelhed gebeuren. Mddelpuntzoekende kracht We kjken nu naar crkelvormge bewegngen n de rumte. Stel dat r de postevector s van zulk een crkelvormge bewegng met constante absolute snelhed. Dan s r 2 = r, r constant en met de productregel vnden wj de eerste afgelede naar de tjd: r, r + r, r = 2 r, r = 0. Dus r = v staat loodrecht op r. Omdat de snelhed van de bewegng constant s, s v 2 = r, r constant. Daarom s de afgelede hervan nul waarut volgt dat r dus weer loodrecht staat op r en dus n de rchtng van r of n de tegengestelde rchtng wjst. In de eerder gebrukte notate betekent dt: r = r r = r, r r 2 r = r, r r r r. Dfferentëren van r, r levert dan ook op r, r + r, r = 0. Anders geschreven vnden wj de utdrukkng voor de mddelpuntzoekende versnellng: r = v 2 r r r. Voor de grootte van de versnellng s dus a = v2 r met a = r. Met de tweede wet van ewton s de centrpetale kracht of mddelpuntzoekende kracht geljk aan Fcentrpetaal = m v2 r r r en voor de grootte van deze kracht geldt: F centrpetaal = m v2 r. Deze kracht s dus nodg om een deeltje op een crkelbaan te laten bewegen. Hoeksnelhed De snelhed van een draang kan het beste worden weergegeven door de hoeksnelhed de aangeeft hoe een hoek θ n radalen met de tjd verandert, dus ω = dθ dt. De hoeksnelhed s dus net meer de snelhed van bewegng maar wel de snelhed van een draang. Voor de snelhed zelf geldt dan v = ωr omdat voor de afgelegde afstand s geldt s = θr. Hermee kan de centrpetale kracht worden utgedrukt door F centrpetaal = mrω 2. Wj zen herut dat bj een gegeven hoeksnelhed de mddelpuntzoekende kracht lnear groet met de afstand naar het mddelpunt. Het utproduct geeft ons de mogeljkhed om voor een crkelvormge bewegng de snelhed en de rchtng van de draang n een enkele groothed, de hoeksnelhedsvector, samen te vatten. De snelhedsvector v van een crkelvormg, rond een punt O bewegend deeltje kan als veralgemenserng van v = ωr worden utgedrukt door v = ω r. Daarbj wjst de vector ω n de rchtng van de draaas en staat loodrecht op de postevector r en daarom geldt dan ook her v = ωr met v = v, ω = ω en r = r. Wj zen dus dat de lengte ω van deze vector geljk s aan de hoeksnelhed zoals boven weergegeven. Impuls, koppel en mpulsmoment u leggen wj ut hoe ut de wetten van ewton het behoud van mpuls en mpulsmoment draa-mpuls volgt. Impulsbehoud Laat r, r en r 2 de postevectoren zjn van deeltjes met massa s m, m, m 2 ten opzchte van O. Deze dre postevectoren zjn herbj functes van de tjd t en de bjbehorende mpulsen zjn P, P en P2. ewtons derde wet acto = reacto zegt nu dat als twee lchamen krachten op elkaar utoefenen, de som van de kracht F2 op het tweede lchaam 2 vanut het eerste lchaam en de kracht F2 op het eerste lchaam vanut het tweede lchaam 2 geljk s aan nul,.e. F2 + F2 = 0. Herut volgt met de tweede wet dat P + P2 = 0. Dus s P + P2 constant de wet van mpulsbehoud. Herut kan men bjvoorbeeld rechtstreeks eenvoudge gevolgtrekkngen maken voor de botsng van twee deeltjes, zj het elastsch dat ze weer ut elkaar vlegen of nelastsch dat ze samen bljven klonteren, de n natuurkundeboeken utgebred worden besproken. Impulsmoment of draa-mpuls Laat r de postevector als functe van de tjd t van een deeltje met massa m ten opzchte van een wllekeurg punt O zjn met mpuls P. Dan heet J = r P het mpulsmoment of de draa-mpuls met betrekkng tot oorsprong O vaak gebrukt men ook de letter L resp. L, = r F het koppel of draamoment met betrekkng tot oorsprong O hervoor wordt ook de letter τ resp. τ gebrukt. Het mpulsmoment kan worden opgevat als de hoeveelhed draang. Door de productregel voor het utproduct van de vectorfunctes toe te passen vnden wj eenvoudg: Stellng Voor een enkel massadeeltje geldt: d J dt =. In het resterende gedeelte van deze bjdrage worden alleen nog maar concluses ut deze stellng getrokken. Her al enkele eenvoudge gevolgen voor een enkel massadeeltje. Als het deeltje n een centraal krachtenveld beweegt waarbj de oorsprong O n het centrum van dat krachtenveld lgt en alle krachtsvectoren naar de oorsprong wjzen, dan s = r F = 0 omdat r en F n tegengestelde rchtng wjzen. Met de stellng volgt herut dat het mpulsmoment J = r P = 0 bljft behouden. Dat betekent dus dat de met de tjd veranderende vector r

6 6 292 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders Fguur 2 De tweede wet van Kepler: de perkenwet altjd loodrecht staat op de vaste vector J. Dat betekent dat de vector r alleen nog maar n een vlak kan bewegen nameljk het vlak van alle vectoren de loodrecht staan op deze vaste vector J. Het fet dat J = r P constant s, betekent dat r v constant bljft. Als wj nu voor klene tjdsntervallen de afgelede benaderen door r r, dan s r = r r voor klene tjdsntervallen altjd even groot. De utdrukkng r r geeft twee keer de oppervlakte aan van de drehoek de wordt opgespannen door r en r. Bj benaderng s dat de oppervlakte de de postevector r n de tjd heeft bestreken. Als wj nu met At de oppervlakte noteren de de postevector vanaf een tjdstp t 0 heeft bestreken dan volgt ut het bovenstaande A 2 r r en daarom geldt: Ȧ = lm r 0 2 r = 2m J en dat s constant. Dus s de oppervlakte een lneare functe n t. Ut het behoud van het mpulsmoment n een centrale kracht zonder dat er meer over bekend s volgt de zogenaamde perkenwet van Kepler de ook bekend staat als zjn tweede wet. Deze kan ook zonder de boven geschetste benaderngen worden afgeled. De snelhed van een planeet n haar omloopbaan verandert zodang dat n geljke tjdsntervallen de oppervlakte, bestreken door de rechte ljn voerstraal tussen de zon en de planeet, geljk s. Opmerkng: Als het deeltje met massa m net als boven n een centraal krachtenveld beweegt dat ontstaat door de zwaartekracht vanut een andere massa M n de oorsprong O, dan s de kracht dus bepaald door de unversele gravtatewet. Herut kan dan worden afgeled dat het deeltje op een ellpsbaan beweegt. Dt s de eerste wet van Kepler en het was Isaac ewton de ut Kepler s wetten de unversele gravtatewet wst af te leden. In het vervolg van dt stuk echter veronderstellen wj de planetenbanen als crkelvormg. Gezen de klene excentrcteten van de beschouwde ellpsbanen bljft dt het gedrag van de dubbelplaneten goed beschrjven. Behoud van het totale mpulsmoment Veel systemen bestaan ut meerdere puntmassa s: aan de ene kant kunnen bjvoorbeeld planeten worden opgevat als samenvoegng van afzonderljke klene puntmassa s en aan de andere kant kunnen systemen van meerdere planeten worden opgevat als puntmassa s de n hun zwaartepunten zjn geconcentreerd. In het eerste geval denken wj aan eptunus en Trton; foto: Voyager II, 3 jul, 989 Opgave 3 Bewjs stellng. Voor een deeltje waarop geen utwendge kracht werkt, geldt dus dat J constant s. Hoe verhoudt zch dt tot de eerste wet van ewton?

7 7 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december onendg veel deeltjes en kunnen tot de lmet overgaan en n het tweede geval gaat het maar om enkele massadeeltjes. Gegeven zjn deeltjes met massa s m,..., m en postevectoren r,..., r vanut een wllekeurg punt O. Het totale mpulsmoment van het systeem s dan gegeven door Jtot = = r P en het totale koppel s tot = = r F. De boven bewezen stellng ledt rechtstreeks tot de volgende stellng. Stellng Voor het totale mpulsmoment en het totale koppel geldt: d Jtot dt = tot. Als het totale koppel verdwjnt, bljft ook het totale mpulsmoment behouden. Op het -de deeltje werkt een kracht F de s samengesteld ut de krachten F j de door de andere deeltjes worden utgeoefend en een externe kracht F,ext. Dus F = F j + F,ext. j=, j = Het aandeel j=, j = F j van de kracht F noemen we de nterne kracht F,nt op deeltje. Dus F = F,nt + F,ext op deeltje. Stellng Als een aantal puntmassa s óf zonder externe krachten, óf n een centraal krachtenveld beweegt, s het totale koppel geljk aan nul en het totale mpulsmoment bljft behouden. Bewjs: In bede gevallen geldt voor de -de puntmassa: r F,ext = 0: als er geen externe kracht s geldt F,ext = 0 en n een centraal krachtenveld wjzen r en F,ext n dezelfde rchtng, dus ook her geldt: r F,ext = 0. De krachten F j de door de massadeeltjes op elkaar worden ugeoefend wjzen n dezelfde of de omgekeerde rchtng als r r j en er geldt: F j = F j. = r F = = = = = } {{ } =0 = = < j = r F,ext + r F,ext + F,nt = r F,nt r F j = r F j + r j Fj j = < j r r j F j = 0. < j Rotates Als we kjken naar een draaende hoepel of een fetswel met massa m vanut het mddelpunt dat wj ons voorstellen als bestaand ut klene puntmassa s m,..., m, dan s het totale mpulsmoment J = r P = = m r v. = = De vectoren r en v staan altjd loodrecht op elkaar en daarom wjst r v n de rchtng van de draaas en heeft lengte r v = r v waarbj r en v de afstand van de puntmassa naar het mddelpunt en de snelhed aangeven de voor elke puntmassa hetzelfde zjn. Dus J wjst n de rchtng van de draaas en Het maanoppervlak

8 8 294 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders J = m rv. Als wj de snelhed v met behulp van de hoeksnelhed ω utdrukken, ν = ω r, dan vnden wj J = m r 2 ω. Herdoor bljkt al dat hoe klener de straal r wordt hoe groter de snelhed ω van de draang wordt. Dt s een effect dat ook veelvuldg bj kunstschaatsers en op speeltuntoestellen te observeren s. Gyroscopsch effect Stel wj oefenen nu voor een korte tjd een kracht F n de rchtng van de rotate-as ut op de rand door bjvoorbeeld een slag of door een korte bewegng van het stuur. De formule d J dt = kunnen wj bj benaderng lezen als: J =. Bj een dergeljke toepassng van het koppel op het systeem wjst dus het verschl J van het mpulsmoment n dezelfde rchtng als en net n dezelfde rchtng als de kracht F het koppel staat loodrecht op F of als de draa-mpuls J want de wjst n de rchtng van de draaas. De draaas verandert dus met J van rchtng als voor een moment werkt. Dat s n een andere rchtng dan de utoefenng van de kracht doet vermoeden. Dt noemt men het gyroscopsch effect. Dt effect gaat bj veel mensen tegen de ntuïte n. Het verklaart waarom een tol net kantelt; zodra de zwaartekracht hem naar beneden duwt zorgt dt effect ervoor dat hj n een zjwaartse bewegng, de zogenaamde precesse, terechtkomt waardoor de bovenkant van de tol rondjes gaat draaen. Ook de aantrekkngskracht van de zon op de aarde heeft tot gevolg dat de draaas van de aarde zch n een precessebewegng bevndt. m m r waarbj we m = = m beschouwen Impulsmoment verdelen op zwaartepunten Gegeven zjn deeltjes met massa s m,..., m en postevectoren r,..., r. Dan defnëren wj het zwaartepunt van deze deeltjes door r CM = = als massa van het zwaartepunt CM staat voor center of mass. Een zwaartepunt gedraagt zch n veel opzchten als een enkel massapunt. Daardoor zjn enkele grootheden de voor de afzonderljke deeltjes bestaan ook znvol te defnëren voor het zwaartepunt. Als wj met een homogeen lchaam met dchthed ρ te maken hebben, s m = ρv waarbj V de nhoud van het lchaam weergeeft. Vaak stellen wj ons voor dat dt lchaam bestaat ut een groot aantal klene massadeeltjes met massa s m,..., m. Een vast lchaam kan men opvatten als een verzamelng van verschllende klene massadeeltjes m,..., m met postevectoren r,..., r waarvoor geldt: m = m m. De totale mpuls s dan geljk aan de mpuls van het zwaartepunt: PCM = m r CM. Men kan hermee het zwaartepunt opvatten als massapunt met massa m, postevector r CM en mpuls PCM. Impulsmoment van baan en spn De defntes van mpulsmoment en koppel gelden met betrekkng tot een wllekeurg punt O. Her kjken wj nu naar een systeem van deeltjes en onderzoeken de grootheden n kweste door ze zowel te relateren aan het punt O als ook aan het zwaartepunt. Bjvoorbeeld n systemen als de dubbelplaneet aarde-maan kan het zwaartepunt hervan worden gerelateerd aan het mpulsmoment gezen vanut de zon. Gegeven deeltjes met massa s m,..., m en postevectoren r,..., r vanut een wllekeurg punt O. Dan kunnen we het totale mpulsmoment ten opzchte van O als volgt spltsen n mpulsmoment van het zwaartepunt ten opzchte van O baanmpulsmoment en mpulsmoment van alle deeltjes ten opzchte van het zwaartepunt spn-mpulsmoment: J = r P = = = Jspn + r CM PCM. r r CM P = } {{ } spn + r CM PCM } {{ } baan De vectoren r r CM noemen we z. Dan s Jspn = = z P het spn-mpulsmoment of de spn-draa-mpuls het totale mpulsmoment ten opzchte van het zwaartepunt en Jbaan s het mpulsmoment van het zwaartepunt ten opzchte van O, het zogenaamde baan-mpulsmoment of de baan-draa-mpuls. Een vergeljkbare opspltsng als bj het mpulsmoment kan ook voor het totale koppel worden gemaakt. Dan s = nt + ext met nt = = z F en ext = r CM Fext. Daarbj draagt Fext = = F zjn naam terecht want Fext s ook geljk aan = F,ext, zoals wj boven bj de defnte van het zwaartepunt al hebben gezen. Opmerkng: Als wj naar een dubbelplaneet kjken als bjvoorbeeld aarde-maan met massa s m A en m M en totale massa m = m A + m M n het centraal krachtenveld van de zon met massa M, dan s het totale mpulsmoment behouden. Wj kunnen het totale mpulsmoment spltsen n een deel ten opzchte van de zon en een deel ten opzchte van het zwaartepunt van de dubbelplaneet. Het eerste mpulsmoment van het zwaartepunt ten opzchte van de zon s Jbaan = r CM PCM en de afgelede geeft: d Jbaan dt = r CM PCM + r CM Fext = r CM Fext. Deze vector Fext wjst net noodzakeljk preces n de rchtng van r CM. De externe kracht op de dubbelplaneet s Fext = G Mm A r 3 A r A G Mm M r 3 r M M waarbj r A en r M de postevectoren van de zon naar aarde en maan zjn. Als wj echter veronderstellen dat r A r M ongeveer geljk zjn aan r CM de verschllen zjn verwaarloosbaar klen n verhoudng met de grootte van r CM dan geldt Fext = G Mm ma r 3 m r A + m M m r M G Mm r r 3 CM en daarmee s dan d Jbaan dt = r CM Fext = 0. In de beschouwngen over dubbelplaneten zullen wj daarom ook veronderstellen dat het mpulsmoment J Jbaan van de dubbelplaneet ten opzcht van het zwaartepunt van de dubbelplaneet behouden bljft. Traaghedsmoment De laatste groothed de wj her nvoeren s het traaghedsmoment. Stel je hebt een hoepel met straal r en massa m. Als wj de hoepel opdelen n klene stukjes met massa m, de allemaal met dezelfde snelhed v = rω bewegen waar ω de hoeksnelhed weergeeft, dan s het mpulsmoment ten opzchte van het zwaartepunt spn-mpulsmoment geljk aan J = r P = m r v = m r 2 ω = mr 2 ω. De groothed I = mr 2 hangt dus alleen af van het lchaam en net van de snelhed ω van de draang hoeksnelhed. Het deel I, dat alleen maar afhangt van het lchaam, heet het traaghedsmoment van de hoepel. Als we nu kjken naar een star lchaam, dan draaen alle de-

9 9 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december len van het lchaam welswaar met verschllende absolute snelheden afhankeljk van de afstand naar de draaas maar met dezelfde hoeksnelhed ω. We kjken nu naar een massadeeltje met massa m, postevector r vanut het zwaartepunt van het lchaam en snelhed v. u kunnen we de hoeksnelhed beschouwen als vector ω met lengte ω waarvoor geldt v= ω r. De hoeksnelhed ω wjst n de rchtng van de draaas. Hermee zjn wj n staat om een utdrukkng voor het mpulsmoment ten opzchte van het zwaartepunt te vnden de alleen afhangt van vorm en dchthed van het lchaam en de hoeksnelhed ω. In prncpe gaat dt net als bj de hoepel. Het totale mpulsmoment s n het algemeen Jtot = m r ω r. et als bj de hoepel wllen wj herut een utdrukkng afleden waarn de hoeksnelhedsvector los staat van de rest van de utdrukkng de dan alleen nog maar afhangt van de egenschappen van het lchaam. Bj een wllekeurg lchaam ledt dt tot de defnte van de zogenaamde traaghedstensor. In het geval van een homogeen bolvormg lchaam met straal R en dchthed ρ s dt echter net veel moeljker dan bj de hoepel. Herbj herhalen wj n wezen het bewjs van de n opgave 2 te bewjzen formule u v u = u 2 v u, v u = u v u voor vectoren u en v. Elke vector r kunnen wj opspltsen n een deel a dat loodrecht staat op ω en een deel u dat n dezelfde of n de tegengestelde rchtng van ω wjst. Dus r = a + u met a = r ω en u = r ω. Dan berekenen wj J als volgt: J = m r ω r = m r ω a = m a ω a + u ω a = m a 2 ω ω u a m a 2 ω ω m u 2 a. = Het gedeelte ω m u 2 a verdwjnt echter bj een bolvormg lchaam omdat een bolvormg lchaam op zo n maner n klene massastukjes kan worden opgedeeld dat er een even aantal bjbehorende postevectoren r +,..., r + en r,..., r ontstaat, bestaande ut paren van telkens twee vectoren r ± = u ± a waar de loodrecht op ω staande delen ± a elkaar opheffen. Voor een bolvormg lchaam houden we dus over: J = ω m a 2 = I bol ω, waarbj I bol = m a 2 het traaghedsmoment s. Herbj kan m worden gezen als ρv met het bjbehorende deel V van de nhoud V. Om het traaghedsmoment te berekenen delen wj de bol op n even grote schjfjes van dkte h. Op hoogte h heeft een dergeljke schjf breedte B, waarbj geldt: B = R 2 h 2. Deze schjfjes de- Opgave 4 Laat aan de hand van de wetten van ewton zen dat als op het -de deeltje een kracht F werkt, dat dan met Fext = = F ook voor het zwaartepunt de tweede wet van ewton geldt,.e. Fext = m r CM of Fext = PCM. len wj vervolgens op n rngen met een straal van b tot b + b en dkte h. Het traaghedsmoment voor zo n rng s dan ρπ b + b 2 b 2 h b 2. Als we dt verder utwerken krjgen we: ρπ 2b b + b 2 h b 2 = ρπ2b b h b 2 + ρπ b 2 h b 2. u nemen we de som over de rngen n de schjf met straal B. Dan wordt de som over ρπ b 2 h b 2 wllekeurg klen als we b klen kezen. Het mpulsmoment van een dergeljke rng wordt dus gegeven door B ρπ h 2b 3 db = ρ π 0 2 hb4. u sommeren wj over alle schjven en vnden voor het traaghedsmoment: I bol = ρ π R R 2 R 2 h 2 4 dh. Met de formule 4 3 πr 3 voor de nhoud van de bol s J = Ibol ω, waarbj I bol het traaghedsmoment s van een bolvormg lchaam met straal R dat gegeven wordt door: I bol = 5 2 mr2. Behoud van mpulsmoment bj dubbelplaneten Her passen we de boven geschetste theore toe op specale gevallen de een rol spelen voor onze beschouwngen n de astrofysca. Wj hanteren herbj de vereenvoudgende en feteljk onjuste aanname dat de maan rond de aarde langs een crkelbaan beweegt. Eveneens veronderstellen wj dat het zwaartepunt van de twee net, respecteve eenparg, beweegt. Dubbelplaneten Her hebben wj te maken met twee bolvormge vaste lchamen met massa s m en m 2, postevectoren r en r 2 vanut het gemeenschappeljk zwaartepunt en onderlnge afstand r. Dan s de postevector van het zwaartepunt geljk aan met m = m + m 2 en er geldt r CM = m r + m 2 r 2 m r = m 2 m r r 2 en r 2 = m m r 2 r. Daarmee lggen dus m resp. m 2 op afstand r = r = m 2 m r resp. r 2 = r 2 = m m r van het zwaartepunt. u kjken we naar de draang van de twee massa s rond het zwaartepunt en wllen hervoor de hoeksnelhed bepalen. Dt doen wj mddels de derde wet van ewton door de centrfugale kracht en de gravtatekracht aan elkaar geljk te stellen. Op massa m werkt n de rchtng r 2 r de gravtatekracht vanut massa m 2 de zch op afstand r = r 2 r van elkaar bevndt. Deze kracht s dus geljk aan Fgravtate = G m m 2 r r 3 2 r. Tegeljkertjd werkt de centrfugale kracht op massa m de andere kant op: v Fcentr f ugaal = 2 m r r r 2 r = m r ω 2 r 2 r, r

10 296 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders waarbj ω de hoeksnelhed aangeeft met v = r ω. Hermee lukt het de hoeksnelhed te bepalen. G m m 2 r 3 = m r ω 2 ω = G m + m 2 r 3. Wj zen herut bjvoorbeeld dat de lchamen steeds sneller roteren naarmate ze dchter bj elkaar komen. Opmerkng: Ut het evenwcht van gravtatekracht en mddelpuntzoekende kracht bljkt dat de omlooptjd T evenredg s met r 3 2. Dt staat n zjn algemene vorm bekend als de derde wet van Kepler, de een verband aangeeft tussen de afstand van de planeten en de omlooptjd. Behalve voor crkelbanen geldt dt ook voor ellpsbanen r s de halve lange as. Met de voorberedng n de paragrafen hervoor zjn wj nu n staat om het totale mpulsmoment te berekenen. Omdat dubbelplaneten n een centraal krachtenveld ver weg van de zon bewegen, s het totale mpulsmoment J ten opzchte van het zwaartepunt van de dubbelplaneet nagenoeg constant ze opmerkng op pagna 294. Wj spltsen J op n het mpulsmoment ten opzchte van de zwaartepunten van elk van de planeten en de mpulsmomenten van elk massadeeltje van een planeet ten opzchte van het zwaartepunt van deze planeet. r, resp. r 2, met mpulsen P, en P2, zjn de postevectoren van het -de massadeeltje van planeet resp. 2 met massa m, resp. m 2,. Voor de postevectoren vanut de zwaartepunten van de planeten schrjven wj z, = r, r,cm en z 2, = r 2, r 2,CM. Dan vnden wj: J = z, P, + z 2, P2, + r,cm P, + r 2,CM P, waarbj de postevectoren r,cm en r 2,CM utgaan van het algehele zwaartepunt van de dubbelplaneet. P, s geljk aan P, P,CM + P,CM en daarbj s P, P,CM de mpuls waarmee de -de puntmassa rond het zwaartepunt van planeet roteert. z, P,CM = z, P,CM s geljk aan nul als de bolvormge planeet op een symmetrsche maner n massadeeltjes s opgedeeld waarbj er voor elke vector z, zo n tegenovergestelde vector n de som z, te vnden s. Hetzelfde geldt voor planeet 2. Als we dt samenvatten, houden wj de volgende utdrukkng over: J = z, P, P,CM + z 2, P2, P2,CM + r,cm P,CM + r 2,CM P2,CM. Met de berekenngen voor het traaghedsmoment vnden wj: J = IΩ + I 2Ω2 + m r 2 + m 2r 2 2 ω oftewel J = I Ω + I 2 Ω2 + µr 2 ω Herbj s µ = m m 2 m +m 2 de zogenaamde gereduceerde massa. Ω en Ω 2, respecteveljk I en I 2, staan voor de rotatesnelheden, respecteveljk traaghedsmomenten van de planeten en 2. Dt was het voorwerk. Met deze bagage zjn wj nu toegerust om depere nzchten n bjvoorbeeld de egenschappen van dubbelplaneten te verkrjgen. Halley had toch geljk Hoe zt het nu met het verhaal van Halley? Hervoor gaan wj zorgvuldg kjken naar het totale mpulsmoment van aarde en maan. De traaghedsmomenten van aarde I A = 5 2 m AR 2 A en maan I M = 2 5 m MR 2 M zjn nogal verschllend van grootte: I A = 9, kg km 2 en I M = 8, kg km 2, dat wl zeggen I M s mnder dan een duzendste van I A ze tabel. De hoeksnelhed van aarde en maan wordt relatef tot de vaste sterren gemeten. Herbj verwaarlozen wj het tollen van de aardas precesse. Gezen vanut de vaste sterren draat de aarde n 365,2564 dagen 366,2564 keer om haar egen as. Daardoor geldt voor de hoeksnelhed 366, 2564 Ω A = 2π 365, 2564 dag = 6, dag. De maan draat net meer ten opzchte van de aarde maar wel ten opzchte van de vaste sterren. De maanden zoals wj de vanaf de aarde zen de synodsche maanden zjn 29,53 dagen lang. Gezen vanut de aarde draat de maand n één jaar dus 365, ,53 keer rond de aarde. Omdat het hele systeem n een jaar rond de zon draat s 365, ,53 + Ω M = 2π 365, 2564 dag = 0, dag. Dt geeft aan dat n de formule het spn-mpulsmoment van de maan klener dan een tenduzendste s van het spnmpulsmoment van de aarde. Daarom zullen wj het her verwaarlozen. De draaassen ω en Ω A wjzen vrjwel n dezelfde rchtng. Met m geven wj weer de totale massa aan: m = m A + m M. J = µr 2 ω + I A Ω A = µ Gm r 2 + IA Ω A. 2 De wet van mpulsbehoud geeft daarmee een verband tussen r en Ω A waarbj de tweede utdrukkng s afgeled met behulp van de derde wet van Kepler ω = Gm r de de afhankeljkhed tussen r en ω aangeeft. De tweede vergeljkng ut 2 kunnen wj ook schrjven als: Ω A = J I A µ I A Gm r 2. 4 Het s een fet dat de getjden de draasnelhed Ω A van de aarde langzaam af laten nemen ze [4 6]. Ut vergeljkng 2 en het behoud van mpulsmoment zen we dat daarmee r toe moet nemen. Dt s wat er ook werkeljk wordt geobserveerd. De afstand neemt met 3,82 cm per jaar toe. De vergeljkngen 3 en 4 geven aan hoe r, ω en Ω A van elkaar afhangen. Wj weten dat r langzaam toeneemt. Met name

11 Raner Kaenders Dubbelplaneten AW 5/8 nr. 4 december zjn we nu geïnteresseerd n de afhankeljkhed van de n dagen gemeten maandlengte van r. Wj noemen λ m r de lengte van een maand en λ d r de lengte van een dag zoals wj de op aarde bj een gegeven afstand r tussen aarde en maan zouden waarnemen dat wl zeggen synodsch. Dan geeft λ m /λ d het aantal dagen aan n een maand. Wj wllen nu aantonen dat λ m /λ d voor de dubbelplaneet aardemaan als functe van de afstand r rond de werkeljke afstand r 0 = 3, km dalend s. Omdat de afstand r daadwerkeljk toeneemt weten we dan dat de maanden korter worden als zj n dagen worden gemeten. Hervoor wllen we eerst het verband formuleren tussen λ m en λ d aan de ene kant en ω en Ω A aan de andere kant de ten opzchte van de vaste sterren zjn gedefneerd. Grootheden de ten opzchte van de vaste sterren worden bepaald, noemen we ook sdersch wat afkomstg s van het Latjnse woord sdus = ster. λ j staat voor de lengte van een jaar en de hangt dus net af van r. De maan draat λ j /λ m keer per jaar rond de aarde, gezen vanut de zon. Ten opzchte van de vaste sterren draat hj n één λ jaar j λ m + keer rond zjn egen as. Herbj gebruken wj weer dat de maan ten opzchte van de aarde stlstaat en dus ten opzchte van de zon per maand een rondje om zchzelf draat. De sdersche hoeksnelhed ω van de draaende dubbelplaneet aarde-maan s dan λ j λ ω = 2π m + = 2π +. λ j λ m λ j Wllen we de afhankeljkhed van deze grootheden van r onderzoeken, dan kunnen wj her de afgelede naar r bestuderen de we met een accent aangeven, dus bjvoorbeeld ω = ω r. ω = 2π λ m λm 2. 5 et zo draat de aarde λ j /λ d keer per jaar rond haar egen as, gezen vanut de zon. Ten opzchte van de vaste sterren draat hj n λ één jaar j λ d + keer rond zjn egen as. De sdersche hoeksnelhed Ω A van de aarde s dan Ω A = 2π De afgelede naar r geeft her: λ j λ d + = 2π +. λ j λ d λ j Ω A = 2π λ d λd 2. 6 Wj wllen weten of λ m /λ d voor aarde-maan bj groter wordende r rond de werkeljke afstand r 0 daalt of stjgt. In eder geval vertelt ons de quotëntregel dat geldt: λm λ d < 0 λ m λ d < λ m λ d. Herbj moet wel worden gecontroleerd dat λ d > 0 s. Ut 4 volgt dat Ω A < 0 s en samen met 6 zen we λ d > 0. Ut de formules 5 en 6 concluderen wj λ m λ d = ω λ m λ m Ω A λ. d λ d Aarde Maan Straal 637 km 738 km Massa kg kg Tabel Straal en massa van aarde en maan De n dagen gemeten maanden worden dus daadwerkeljk korter als geldt: ω λ m Ω A λ <. 7 d Door de derde wet van Kepler te dfferentëren volgt: ω = 3 2 Gm r 5 2. De wet van mpulsbehoud geeft na dfferentate naar r: Ω A = µ 2I A Gm r 2. Dt ngevuld n de ongeljkhed 7 levert de condte: ω λ m Ω A λ = 3 µ λ m r 2 <, d I A λ d en dat s werkeljk het geval ze opgave 6. Twee andere dubbelplaneten nader bekeken Een en dezelfde formule kan heel verschllende scenaro s voor een dubbelplaneet tot gevolg hebben. Mars en Phobos De planeet Mars heeft twee manen Phobos en Demos oftewel vrees en verschrkkng. Wj kjken her naar de dubbelplaneet Mars-Phobos. Mars draat langzamer om zjn egen as dan zjn maan Phobos om hem heen draat. Dat betekent dat de hoeksnelhed van Mars Ω M en de hoekssnelhed van Phobos Ω P wel n dezelfde rchtng wjzen, maar dat geldt: Ω M < Ω P. De getjdewerkng zorgt er dan voor dat Ω M toeneemt. De formule J = µr 2 ω + I M ΩM + I P ΩP Opgave 5 Laat zen dat m r 2 + m 2r 2 2 = µr2. Opgave 6 a. Gebruk de data n de tabellen om te laten zen dat bj aarde-maan werkeljk aan dt crterum s voldaan. b. Wat gebeurt er als aarde en maan dchter bj elkaar zouden staan? Opgave 7 Vnd een varant van het argument ut de tekst de rekenng houdt met het fet dat de banen van eptunus en Trton n vlakken lggen de een hoek van 23 met elkaar maken.

12 298 AW 5/8 nr. 4 december 2007 Dubbelplaneten Raner Kaenders tjdseenhed sdersche dag sdersche maand sdersch jaar synodsche maand synodsche dag afstand aarde-maan toename per jaar Tabel 2 Tjdseenheden tjd 8664, seconde 27,3266 dag 365,2564 dag 29, dag dag = 24 h 3, km 3,82 cm excentrctet maanbaan 0,05490 Tabel 3 Betrekkngen tussen aarde en maan wordt met behulp van het verband tussen hoeksnelhed en afstand Mars-Phobos ω 2 r 3 = Gm M + m P tot de denttet: J = µ Gm M + m P r 2 + IM Ω M + I P Ω P. We zen dus dat het mpulsmoment alleen kan worden behouden als met toenemende Ω M de afstand r afneemt. Mars en Phobos gaan dus langzaam naar elkaar toe totdat Phobos op Mars te pletter slaat. eptunus en Trton Trton s met afstand de grootste van 3 bekende manen van eptunus. De klenste dre van deze manen zjn pas snds 2004 bekend en de allerklenste heeft een doorsnede van maar 54 km. Trton s de langst bekende maan van eptunus, waarvan het bestaan al een maand na de ontdekkng van de planeet 846 werd bevestgd. Pas n 949 werd door de Amerkaanse astronoom van ederlandse afkomst Gerard Kuper de tweede maan ereïde ontdekt. In de Grekse mythologe was Trton de oudste zoon van Posedon de n de Romense mythologe eptunus werd genoemd. Bjzonder aan de dubbelplaneet eptunus-trton s dat eptunus om zjn egen as draat maar tegeljkertjd draat zjn maan Trton tegen de draang van eptunus n: Trton beweegt retrograde om eptunus heen. Trton heeft, als enge grote maan n ons zonnestelsel, zo n retrograde baan. Daarnaast heeft de baan van Trton een opmerkeljk grote hoek 23 ten opzchte van de evenaar van eptunus. Herut concludeert men dat Trton net s ontstaan rond eptunus, maar later s ngevangen door eptunus. Het ljkt dan ook goed mogeljk dat Trton vroeger deel utmaakte van de zogenaamde Kupergordel, een gordel van vele mljarden komeetachtge, ut rots en js bestaande objecten, voorbj de baan van eptunus, de achtste planeet van ons zonnestelsel. Ook bewegen eptunus en Trton net n hetzelfde vlak, al gaan we dt her voor het gemak wel aannemen. Het s net moeljk het argument te nuanceren met de toevoegng dat de banen n een hoek van 23 staan. De retrograde bewegng betekent dat de hoeksnelhed van eptunus Ω en de hoeksnelhed van Trton Ω T n tegengestelde rchtng wjzen. De getjdewerkng zorgt er ook her voor dat Ω afneemt. De formule J = µr 2 ω + I M ΩM + I P ΩP wordt dan met behulp van het verband tussen hoeksnelhed en afstand Mars-Phobos ω 2 r 3 = Gm M + m P tot: J = µ Gm + m T r 2 + I Ω + I T Ω T. Het behoud van mpulsmoment zegt ons nu dat als Ω T afneemt de afstand r eveneens af moet nemen. Dus ook Trton zal steeds dchter bj eptunus komen totdat hj zo dchtbj komt dat hj door de getjden uteen wordt gereten nadat hj de zogenaamde Rochelmet heeft berekt. Trton zal naar verwachtng bnnen honderd mljoen jaar op eptunus neerstorten. k Verantwoordng Deze bjdrage komt voort ut de samenwerkng van het Regonale Steunpunt Wskunde D n jmegen met Jan Kujpers, hoogleraar astrofysca en decaan aan de Radboud Unverstet, en een kerngroep van negen wskundedocenten: Mark van den Aarssen, Hanneke Abbenhus, Herman Alnk, Leon van den Broek, Bart Jordens, Mars van Haandel, Dolf van den Hombergh, Rchard Klen Breteler en Jos Wnkel. Ook op de unversteten van Delft, Endhoven en Twente s voor een soortgeljke aanpak gekozen ze [7]. Referentes E. Halley 695. Some account of the ancent state of the cty of Palmyra, wth short remarks upon the nscrptons found there, Phlosophcal Transactons, XIX: E. Halley 693. Emendatones ac notae n vetustas albatên observatones astronomcas, Phlosophcal Transactons, XVII: U. Uffrecht & T. Poppe Hmmelsmechank und Raumfahrt, Klett Verlag, Stuttgart Düsseldorf Lepzg. 4 F. Verbunt 200. Van Halley tot lunar rangng, Zent, aprl, F. Verbunt 200. VLBI, zonsverdusterngen, schelpjes en modder, Zent, jun, F. Verbunt The Earth and Moon: from Halley to lunar rangng and shells, 7 TRU s, samenwerkng van de regonale Wskunde D steunpunten aan de unversteten Delft, Endhoven, Twente en jmegen, 8 Commsse Toekomst WskundeOnderwjs, ct- WO, mnsterële verneuwngscommsse wskunde,

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3

Toepassing: Codes. Hoofdstuk 3 Hoofdstuk 3 Toepassng: Codes Als toepassng van vectorrumten over endge lchamen kjken we naar foutenverbeterende codes. We benutten slechts elementare kenns van vectorrumten, en van de volgende functe.

Nadere informatie

1 Rekenen met complexe getallen

1 Rekenen met complexe getallen Rekenen met complexe getallen In dt hoofdstuk leer je rekenen met complexe getallen. Ze vormen een getallensysteem dat een utbredng s van het bekende systeem van de reële getallen. Je leert ook hoe je

Nadere informatie

Statica in een notendop

Statica in een notendop Statca n een notendop Systematsche Probleem Analyse (SPA) 1. Gegevens: Lees de vraag goed door. Maak een schematsche tekenng van het probleem. 2. Gevraagd: Schrjf puntsgewjs alle dngen op waar naar gevraagd

Nadere informatie

Verslag Regeltechniek 2

Verslag Regeltechniek 2 Verslag Regeltechnek 2 Door: Arjan Koen en Bert Schultz Studenten Werktugbouw deeltjd Cohort 2004 Inhoudsogave Inledng blz. 3 2 Oen lus eerste-orde systeem blz. 4 3 Gesloten lus P-geregeld eerste orde

Nadere informatie

Dubbelplaneten. Rainer Kaenders Radboud Universiteit Nijmegen

Dubbelplaneten. Rainer Kaenders Radboud Universiteit Nijmegen pp. 73 96 Dubbelplaneten Rainer Kaenders Radboud Universiteit Nijmegen In 1695 heeft de Engelse astronoom Edmond Halley voorspeld dat de maanden (d.w.z. de omlooptijd van de maan rond de aarde) in de loop

Nadere informatie

ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD

ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD Al cohol kenn s door gespeel d Eval uat eal cohol voor l cht ng doorpeer sopf est val s ALCOHOLKENNIS DOORGESPEELD Evaluate alcoholvoorlchtng door peers op festvals December 2005 INTRAVAL Gronngen-Rotterdam

Nadere informatie

anwb.nl/watersport, de site voor watersporters

anwb.nl/watersport, de site voor watersporters Het s net zo gebrukeljk om voor klene jachten een sleepproef te laten utvoeren. Zo'n proef s duur en daardoor vaak net rendabel. Toch loont een sleepproef de moete. Aan de hand ervan kunnen bj voorbeeld

Nadere informatie

Gemeentefonds verevent minder dan gedacht

Gemeentefonds verevent minder dan gedacht Gemeentefonds verevent mnder dan gedacht Maarten A. Allers Drecteur COELO en unverstar hoofddocent aan de Rjksunverstet Gronngen De rjksutkerng aan gemeenten wordt verdeeld op bass van utgangspunten de

Nadere informatie

Rekenen met rente en rendement

Rekenen met rente en rendement Rekenen met rente en rendement Woekerpols? Lenng met lokrente? Er wordt met de beschuldgende vnger naar banken en verzekeraars gewezen de op hun beurt weer terugwjzen naar de consument: Deze zou te weng

Nadere informatie

MRT/RT MKT/KT. Wormwielreductoren. www.triston.nl

MRT/RT MKT/KT. Wormwielreductoren. www.triston.nl MRT/RT MKT/KT Wormwelreductoren www.trston.nl Het s tjd voor Trston! Natuurljk wlt u dat uw producteproces soepel verloopt. Trston helpt. Want met de wormwelreductoren van Trston kest u voor langdurge

Nadere informatie

De Waarde van Toekomstige Kasstromen

De Waarde van Toekomstige Kasstromen De Waarde van Toekomstge Kasstromen De kosten van onderpandmnmalserng Jeroen Kerkhof, VAR Strateges BVBA Introducte Voor de fnancële crss hadden fnancële ngeneurs op bass van een aantal redeljke assumptes

Nadere informatie

Cats. Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423

Cats. Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423 Cats Den Haag, ~ '' Kenmerk: DGB 2010-423 ] Motverng vanjhet beroepschrft n cassate (rolnummer 10/00158) tegen de utspraak van het Gerechtshof te Arnhem van 1 december 2009, nr. 08/00145, j j/ nzake SËËÊÊÊÈÈÊÈtemÈ

Nadere informatie

3.7.3 Welke meetinstrumenten zijn geschikt voor het vastleggen van motorische vaardigheden?

3.7.3 Welke meetinstrumenten zijn geschikt voor het vastleggen van motorische vaardigheden? 3. Dagnostek 3.7. Hoe meet je verbeterng of verslechterng n het dageljks functoneren met betrekkng tot de mobltet (ztten, staan, lopen, verplaatsen) bj CP? 3.7.3 Welke meetnstrumenten zjn geschkt voor

Nadere informatie

INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR

INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , UUR INLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) 3--00, 4.00-6.30 UUR Dt tentamen bestaat ut opgaven. Geef noot alleen maar het antwoord op een vraag, maar laat altjd zen hoe je tot dat antwoord gekomen

Nadere informatie

5.1 Elektrische stroom en spanning

5.1 Elektrische stroom en spanning 5. Elektrsche stroom en spannng Opgave a lleen elektronen kunnen zch verplaatsen en net de postef geladen kern. Omdat de ladng van emer postef s, s hj negatef geladen elektronen kwjtgeraakt. Je erekent

Nadere informatie

Prijs ƒ 3.- "OCTllCO' HA AD

Prijs ƒ 3.- OCTllCO' HA AD Prjs ƒ 3.- "OCTllCO' HA AD._,-, Ter nzage gelegde, j^-vk Octrooaanvrage Nr./ 7 3 1 4 8 6 0 Int. Cl. G 01 t l/l8. NEDERLAND ludenugsdatum: 25 oktober 1973? Datum van ternzageleggmg: 19 november 1974. 15

Nadere informatie

C.P. van Splunter. Grote afwijkingen. Bachelorscriptie, 21 april 2010. Scriptiebegeleiders: prof.dr. F. Redig prof.dr. E.A.

C.P. van Splunter. Grote afwijkingen. Bachelorscriptie, 21 april 2010. Scriptiebegeleiders: prof.dr. F. Redig prof.dr. E.A. C.P. van Splunter Grote afwjkngen Bachelorscrpte, 2 aprl 200 Scrptebegeleders: prof.dr. F. Redg prof.dr. E.A. Verbtsky Mathematsch Insttuut, Unverstet Leden Inhoudsopgave Inledng 3 2 Bovengrens 6 3 Ondergrens

Nadere informatie

Uitgebreide aandacht warmtapwatersystemen. Door afnemende warmtevraag voor ruimteverwarming, neemt het belang van het

Uitgebreide aandacht warmtapwatersystemen. Door afnemende warmtevraag voor ruimteverwarming, neemt het belang van het NEN 5128: overzcht van rendementen Utgebrede aandacht warmtapwatersystemen Door afnemende warmtevraag voor rumteverwarmng, neemt het belang van het opwekkngsrendement voor warmtapwater toe. In de norm

Nadere informatie

Heerhugowaard Stad van kansen

Heerhugowaard Stad van kansen Heerhugowaard Stad van kansen Bestuursdenst I adves aan Burgemeester en Wethouders Reg.nr: BW 13-0415 Sector/afd.: SO/OV Portefeullehouder: S. Bnnendjk Casenr.: Cbb130383 Steller/tst.: E. Brujns Agenda:

Nadere informatie

Vaker een trein, da s pas fijn!?

Vaker een trein, da s pas fijn!? Vaker een tren, da s pas fjn!? Hoogfrequent spoorvervoer beschouwd vanut de rezger Janneke Tax DHV janneke.tax@dhv.nl Elske Olthof 4Infra elske.olthof@4infra.nl Bjdrage aan het Colloquum Vervoersplanologsch

Nadere informatie

Ter inzage gelegde v. Octrooiaanvrage Nr. 71 12927. ,, Klaisse i 11?, h 2 120 bd 7./ 119 bc 2), Int Cl. G' q-, n 33/16 f A 61 li 5/10.

Ter inzage gelegde v. Octrooiaanvrage Nr. 71 12927. ,, Klaisse i 11?, h 2 120 bd 7./ 119 bc 2), Int Cl. G' q-, n 33/16 f A 61 li 5/10. OCTROOIRAAD Prjs ƒ 3,~ Ter nzage gelegde v. Octrooaanvrage Nr. 71 12927 NEDERLAND,, Klasse 11?, h 2 120 bd 7./ 119 bc 2), Int Cl. G' q-, n 33/16 f A 61 l 5/10. Indenngsdatum: 21 september 1971, Datum van

Nadere informatie

De kloof: welke kennis heeft een opdrachtgever nodig?

De kloof: welke kennis heeft een opdrachtgever nodig? projectmanagement Goed opdrachtgeverschap De kloof: welke kenns heeft een opdrachtgever nodg? Een van de redenen waarom projecten net succesvol zjn s de kloof tussen opdrachtgever en opdrachtnemer. Om

Nadere informatie

Waardeoverdracht. Uw opgebouwde pensioen meenemen naar uw nieuwe pensioenuitvoerder

Waardeoverdracht. Uw opgebouwde pensioen meenemen naar uw nieuwe pensioenuitvoerder Waardeoverdracht Uw opgebouwde pensoen meenemen naar uw neuwe pensoenutvoerder In deze brochure 3 4 5 6 Gefelcteerd! Een neuwe baan Wel of net kezen voor waardeoverdracht? Vergeljk de regelngen Hoe waardevast

Nadere informatie

ACCU-CHEK. Compact Plus. Gebruiksaanwijzing SYSTEEM VOOR DE BEPALING VAN BLOEDGLUCOSE

ACCU-CHEK. Compact Plus. Gebruiksaanwijzing SYSTEEM VOOR DE BEPALING VAN BLOEDGLUCOSE ACCU-CHEK Compact Plus SYSTEEM VOOR DE BEPALING VAN BLOEDGLUCOSE Gebruksaanwjzng Op het verpakkngsmateraal, het typeplaatje van de meter en de prkpen kunnen volgende symbolen voorkomen. De betekens hervan

Nadere informatie

Automatic-schakelaar Komfort Gebruiksaanwijzing

Automatic-schakelaar Komfort Gebruiksaanwijzing opzetstuk Systeem 2000 Art. nr.: 0661 xx / 0671 xx Inhoudsopgave 1. Velghedsnstructes 2. Functe 2.1. Werkngsprncpe 2.2. Detecteveld verse met 1,10 m lens 2.3. Detecteveld verse met 2,20 m lens 3. Montage

Nadere informatie

is gelijk aan de open-klemmen spanning van het netwerk. De impedantie Z th

is gelijk aan de open-klemmen spanning van het netwerk. De impedantie Z th 3 Ladngseffecten treden ten eerste op wanneer een gegeven element ut het systeem de karakterstek van een vorg element beïnvloedt of wjzgt. Op haar beurt kunnen de egenschappen van dt element gewjzgd worden

Nadere informatie

Den Haag, i g. Kenmerk: DGB 2013-5559

Den Haag, i g. Kenmerk: DGB 2013-5559 Den Haag, g NOV Kenmerk: DGB 2013-5559 Beroepschrft n cassate tegen de utspraak van de Rechtbank te 's-gravenhage X "Z van 3 oktober 2013, nr. 13/07712, op een beroepschrft van SHMRMMI tefj betreffende

Nadere informatie

Ontvlechting van ICT vereist nieuwe samenwerking

Ontvlechting van ICT vereist nieuwe samenwerking Behoefte aan Archtectuur Lfecycle Management Ontvlechtng van ICT verest neuwe samenwerkng Bnnen de ICT s sprake van verzulng van zowel de systemen als het voortbrengngsproces. Dt komt doordat de ICT n

Nadere informatie

Scalair en vectorieel product

Scalair en vectorieel product (HOOFDSTUK, ut Theory and problems of Vector Analyss, door Murray, R. Spegel, Schaum s Seres, McGraw-Hll, New Yor). Scalar en vectoreel product SCALAIR PRODUCT. Het scalar product (of nwendg product) van

Nadere informatie

10 Had Halley gelijk: worden de maanden korter?

10 Had Halley gelijk: worden de maanden korter? 10 Had Halley gelijk: worden de en korter? Dit is de laatste module. We kunnen nu (eindelijk!) terugkomen op de vraag waar we twee jaar geleden mee begonnen. Terugblik In 1695 had de Engelse astronoom

Nadere informatie

~~i~il' 1025 VS Amsterdam. Geacht bestuur,

~~i~il' 1025 VS Amsterdam. Geacht bestuur, / - Mr. W. Nass Vrjstraat 2a Postbus 420 5600 AK Endhoven Tel 040-2445701 Fax 040-2456438 Advocatenkantoor Mr. W. Nass Het bestuur van de BOA. e-mal Neuwe Purrnerweg 12 na~kanooma.n 1025 VS Amsterdam nternet

Nadere informatie

Toelichting advies gemeenteraad bij aanvraag aanwijzing als lokale publieke media-instelling

Toelichting advies gemeenteraad bij aanvraag aanwijzing als lokale publieke media-instelling B000012403 25 ĩ O Toelchtng adves gemeenteraad bj aanvraag aanwjzng als lokale publeke meda-nstellng Ì...Ï 1. Algemeen De wetgever heeft gekozen voor een s ys teem waarbj per gemeente, voor de termjn van

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 3. Leerkern 4. Terugkoppeling 25 Uitwerking van de opgaven 25

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 3. Leerkern 4. Terugkoppeling 25 Uitwerking van de opgaven 25 Inhoud leereenhed 1 Van nformatemodel naar nformatesysteem Introducte 3 Leerkern 4 1 Wat s model-drven development? 4 1.1 MDD voor gegevensntenseve toepassngen 4 1.2 Systeemgenerate 4 1.3 Informate, presentate

Nadere informatie

Forse besparing op telefonie

Forse besparing op telefonie KleurRjk dgtale neuwsbref voor medewerkers van Koraal Groep - februar 2015 Verder n deze neuwsbref: The Thunderbes maken razendsnel naam op nternet Forse besparng op telefone RvB en RvT bezoeken Berkenhofcollege

Nadere informatie

Websiteoptimalisatie aan de hand van online zoek en klikgedrag analyse

Websiteoptimalisatie aan de hand van online zoek en klikgedrag analyse Websteoptmalsate aan de hand van onlne zoek en klkgedrag analyse BWI Werkstuk Martjn Moest Websteoptmalsate aan de hand van onlne zoek en klkgedrag analyse BWI Werkstuk Auteur: Martjn Moest Begeleder:

Nadere informatie

zijn, kunnen we stellen dat de huidige analyses vooral toegespitst zijn op een ordergerichte situatie.

zijn, kunnen we stellen dat de huidige analyses vooral toegespitst zijn op een ordergerichte situatie. 1\1. H. CORBEY El'\ R. A JAT\SEJ'\ FLEXBLTET EN LOGSTEKE KOSTEN DE LOGSTEKE GELDSTROOMDAGt LOGSTEKE KOSTEN Voor het onderzoek 'Logsteke geldsrroomdagnose' zjn verschllendc utgangspunten geformuleerd. Ten

Nadere informatie

Applicatieportfoliomanagement

Applicatieportfoliomanagement governance Applcateportfolomanagement Governance zet applcatebeheer op scherp Nu applcates steeds nauwer verweven zjn met bedrjfsprocessen, s een gestructureerde aanpak van het applcatebeheer noodzakeljk,

Nadere informatie

Minix 3. Andrew Tanenbaum

Minix 3. Andrew Tanenbaum Mnx 3 Velg en betrouwbaar besturngssysteem Mnx 3 s een neuw open source besturngssysteem voor de pc. Het systeem s klen van opzet en heeft een neuwe, modulare opbouw waardoor het net kwetsbaar s voor veel

Nadere informatie

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK

PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 0 REEKS Naam:... Score /0 Voornaam:... Studerchtng:. Studentennummer:... Studerchtng (laatste) mddelbaar:. Uren wskunde per week (laatste mddelbaar):. Enkele belangrjke

Nadere informatie

Onderhoud en beheer van infrastructuur voor goederenvervoer

Onderhoud en beheer van infrastructuur voor goederenvervoer CE Oplossngen voor mleu, econome en en technologe Oude Oude Delft Delft 180 180 2611 HH Delft tel: tel: 015 0152 2150 150 150 fax: 015 2 150 151 fax: 015 2 150 151 e-mal: ce@ce.nl webste: e-mal: ce@ce.nl

Nadere informatie

6. Behandeling van kinderen met spastische cerebrale parese gericht op verbetering van handvaardigheid

6. Behandeling van kinderen met spastische cerebrale parese gericht op verbetering van handvaardigheid 6. Behandelng van knderen met spastsche cerebrale parese gercht op verbeterng van handvaardghed 6.1.Wat s de meerwaarde van oefentherape bj de behandelng van knderen met spastsche CP op vaardghedsnveau

Nadere informatie

Ondersteuning en hulp bij leren

Ondersteuning en hulp bij leren Ondersteunng en hulp bj leren g Studenten kunnen va www.hethkkendeheksje.nl (zonder n te loggen) de datasets downloaden de benodgd zjn voor het maken van de opgaven. g Docenten kunnen va de ste tentamenmateraal

Nadere informatie

Process mining: leuk voor de liefhebber of noodzaak?

Process mining: leuk voor de liefhebber of noodzaak? process mnng Process mnng: leuk voor de lefhebber of noodzaak? Pledoo voor een breder draagvlak en toepassng n de audtpraktjk Process mnng toepassen n de audtpraktjk. Waarom zouden we dat wllen? En wat

Nadere informatie

10 zijn ingesloten binnen, het gesloten koelsysteem. Indien evenwel

10 zijn ingesloten binnen, het gesloten koelsysteem. Indien evenwel OCTROOIRAAD / NEDERLAND Ter nzage gelegde Octrooaanvrage Nr. 7 3 1 3 1 8 1 Int. CL, G 21 f 9/00. Indeflngsdatum: 25 septmeber 1973» Datum van ternzageleggng: aprl 1974. 15 uur 45 mn» De herna volgende

Nadere informatie

DE SPORTCLUB: NIET ALLEEN VOOR MAAR OOK VAN DE JEUGD

DE SPORTCLUB: NIET ALLEEN VOOR MAAR OOK VAN DE JEUGD DE SPORTCLUB: NIET ALLEEN VOOR MAAR OOK VAN DE JEUGD Mogeljkheden en tps om de jeugd actever bj de sportclub te betrekken INHOUD 1. Het wat en waarom van jeugdpartcpate n de sportverengng Jeugdpartcpate:

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Statistiek 2 voor TeMa Maandag 08-03-2004.

Uitwerkingen tentamen Statistiek 2 voor TeMa Maandag 08-03-2004. Utwerkngen tentamen Statstek voor TeMa Maandag 8-3-4. Opgave a. Model: Y = β + β* x+ ε met ε ~ Nd(, σ ) Y s het energeverbruk, x s de omgevngstemperatuur.. Volgens het scatterplot n de bjlage ljkt er sprake

Nadere informatie

Bronnen & Methoden bij Marktscan medischspecialistische zorg 2015

Bronnen & Methoden bij Marktscan medischspecialistische zorg 2015 Bronnen & Methoden bj Marktscan medschspecalstsche zorg 2015 Hoofdstuk 2: Wachttjden voor medsch specalstsche zorg Ontwkkelng van wachttjden Voor de wachttjdanalyses s gebruk gemaakt van gegevens afkomstg

Nadere informatie

Appendix F: Het Snelheid-Wegdiagram, trekkracht en indicatie

Appendix F: Het Snelheid-Wegdiagram, trekkracht en indicatie Appendx F: Het Snelhed-Wegdagram, trekkracht en ndcate Om te bekjken welke prestates de locomotef n eerste nstante kan leveren wordt gebruk gemaakt van de methode de wordt besproken n het Handboek der

Nadere informatie

Onderzoeksmethoden en techieken I

Onderzoeksmethoden en techieken I Naam:... Voornaam:... Studejaar en -rchtng:... MEERKEUZEVRAGEN Onderzoeksmethoden en techeken I Examen september 000 KLAD: omcrkel op het opgaven formuler telkens HET BESTE antwoord, er s telkens 1 best

Nadere informatie

Een levensloopregeling voor software

Een levensloopregeling voor software Een levensloopregelng voor Neuwe benaderng - en nformatebevelgng De gebruker van een nformatesysteem streeft naar contnuïtet. De ongestoorde werkng van s hervoor essenteel. Maar wat weet de gebruker van

Nadere informatie

De Critical Bias van het Hamilton-spel

De Critical Bias van het Hamilton-spel De Crtcal Bas van het Hamlton-spel Lotte de Jonker 22 jul 20 Bachelorscrpte Begeledng: Dr. T. Müller KdV Insttuut voor wskunde Facultet der Natuurwetenschappen, Wskunde en Informatca Unverstet van Amsterdam

Nadere informatie

1 Inleiding. Worden de maanden langer of korter?

1 Inleiding. Worden de maanden langer of korter? 1 Inleiding Worden de maanden langer of korter? In 1695 had de Engelse astronoom Halley berekend dat in de loop van de laatste 800 jaar (vóór 1695) de maanden korter waren geworden. In zijn tijd zou een

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 15. Leerkern 16. Terugkoppeling 37 Uitwerking van de opgaven 37

Inhoud leereenheid 1. Van informatiemodel naar informatiesysteem. Introductie 15. Leerkern 16. Terugkoppeling 37 Uitwerking van de opgaven 37 Inhoud leereenhed 1 Van nformatemodel naar nformatesysteem Introducte 15 Leerkern 16 1 Wat s model-drven development? 16 1.1 MDD voor gegevensntenseve toepassngen 16 1.2 Systeemgenerate 16 1.3 Informate,

Nadere informatie

effectief inzetten? Bert Dingemans

effectief inzetten? Bert Dingemans archtectuur Is meten weten? Kwaltateve en kwanttateve analyse n archtectuurmodellen Kwaltateve en kwanttateve analyses kunnen de denstverlenng van de enterprsearchtect verbeteren. Toch s de nzet van deze

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Facultet Technsche Natuurkunde Tentamen Optca 3NA7 Dnsdag 14 augustus 212 van 14. tot 17. uur Dt tentamen bestaat ut 4 vraagstukken met n totaal 12 deelopgaven en 1 pagna

Nadere informatie

7. Behandeling van communicatie en mondmotoriek

7. Behandeling van communicatie en mondmotoriek 7. Behandelng van communcate en mondmotorek 7.2. Slkstoornssen 7.2.3 Wat s de meerwaarde van enterale voedng (va PEG-sonde) ten opzcht van orale voedng bj knderen met CP met slkstoornssen wat betreft voedngstoestand,

Nadere informatie

VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN.

VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN. VOOR EEN GOED RESULTAAT IS HET ABSOLUUT NOODZAKELIJK DEZE LEGINSTRUCTRIES NAUWKEURIG TE VOLGEN. - 8h -% RH www.quck-step.com www.quck-step.com Cement

Nadere informatie

I I f I I I I I I i i i i i i i

I I f I I I I I I i i i i i i i f Mnstere van Verkeer en Waterstaat Drectoraat-Generaal Rjkswaterstaat Denst Weg- en Waterbouwkunde Dynamsch traxaalonderzoek op asfalt Onderzoek op mengsels DAB /16 en ZOAB /16 A \r> f f f C.' ur B DO

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combatorek groep Tragsweeked ovember 013 Theore De opgave deze hadout hebbe allemaal wat te make met éé of meer va oderstaade oderwerpe Belagrjk bj het make va opgave s om et allee de theore de je ket

Nadere informatie

Yield Management & Short Selling

Yield Management & Short Selling Yeld Management & Short Sellng M.J. Soomer B.W.I. Werkstuk Begeleder : dr. G. M. Koole Maart 00 Vrje Unverstet Facultet der Exacte Wetenschappen Dvse Wskunde en Informatca Studerchtng Bedrjfswskunde &

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faultet Tehnshe Natuurkunde Tentamen Golven & Opta 3AA70/Opta 3NA70 Dnsdag 0 augustus 00 van 9.00 tot.00 uur Dt tentamen bestaat ut 5 vraagstukken met eder deelopgaven

Nadere informatie

Tentamen van Wiskunde B voor CiT (151217) Tentamen van Statistiek voor BIT (153031) Vrijdag 27 januari 2006 van 9.00 tot uur

Tentamen van Wiskunde B voor CiT (151217) Tentamen van Statistiek voor BIT (153031) Vrijdag 27 januari 2006 van 9.00 tot uur Kenmerk: TW6/SK/5/kp Datum: 9--6 Tentamen van Wskunde B voor CT (57) Tentamen van Statstek voor BIT (533) Vrjdag 7 januar 6 van 9. tot. uur Dt tentamen bestaat ut 9 opgaven, tabellen en formulebladen.

Nadere informatie

RAADSINFORMATIEBRIEF 12R.00353

RAADSINFORMATIEBRIEF 12R.00353 RAADSINFORMATIEBRIEF 12R.00353 gemeente WOERDEN Van Wethouder Schreurs Datum : 25 september 2012 Portefeullehouders) : wethouder Scheurs Portefeulle(s) : wethouder Schreurs Contactpersoon : R. Broekmeulen

Nadere informatie

officiële bijdrage aan het CMMI. Jan Jaap Cannegieter

officiële bijdrage aan het CMMI. Jan Jaap Cannegieter Nederlandse bjdrage aan offcële CMM CMMI-s De Nederlandse stchtng SPIder heeft s ontwkkeld voor het CMMI, verschllende routes door het CMMI voor het oplossen van bepaalde problemen of het halen van bepaalde

Nadere informatie

Overzicht. Vandaag: Frank Verbunt Het heelal Nijmegen 2014

Overzicht. Vandaag: Frank Verbunt Het heelal Nijmegen 2014 Vandaag: Frank Verbunt Het heelal Nijmegen 2014 De aarde en de maan Boek: hoofdstuk 2.6 Overzicht Halley en de maan meting afstand van de Maan en verandering erin getijden: koppeling tussen lengte van

Nadere informatie

Zo krijg je wél grip op IT-investeringen

Zo krijg je wél grip op IT-investeringen T-servcemanagement Zo krjg je wél grp op T-nvesterngen ntegrate van applcate- en projectportfolomanagement Met één druk op de knop een overzcht genereren van alle T-projecten en bjbehorende applcates (of

Nadere informatie

Tentamen vak 4S581, d.d. 13 april 2011 Chemie en Transport in Energie Conversie Processen

Tentamen vak 4S581, d.d. 13 april 2011 Chemie en Transport in Energie Conversie Processen Tentamen vak 4S581, d.d. 13 aprl 2011 Cheme en Transport n Energe Converse Processen Maak elke opgave op een afzonderljk vel paper Dctaat mag gebrukt worden, aantekenngen net Succes! Opgave 1: Euro 95

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Correlatie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Correlatie: exploratieve methoden. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Correlate: eplorateve methoden Werktekst voor de leerlng Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecle Goethals Les Provoost Marc Vancaudenberg Statstek voor het secundar onderwjs

Nadere informatie

GEMEENTE HELLEN DOORN lichand.: 1 FEB 2013. A1 B Stuk itreťw.: Werkpr.. Kopie aan: Archief' ü 1 N reeks/vlvcrtr.:

GEMEENTE HELLEN DOORN lichand.: 1 FEB 2013. A1 B Stuk itreťw.: Werkpr.. Kopie aan: Archief' ü 1 N reeks/vlvcrtr.: 13INK00403 mn 11 Mnstere van Bnnenlandse Zaken en Konnkrjksrelates > Retouradres Postbus 200112500 EA Den Haag Burgemeesters Wethouders Gemeenteraadsleden Overhedsmedewerkers GEMEENTE HELLEN DOORN lchand.:

Nadere informatie

Digitale Atlas Europa en de Digitale Agenda

Digitale Atlas Europa en de Digitale Agenda Europa Bevorderng van vertrouwen n en deelname aan dgtale wereld Dgtale Atlas Europa en de Dgtale Agenda De Dgtale Atlas Europa, bestaand ut dertg natonale atlassen, heeft als doel een beeld te schetsen

Nadere informatie

Dit is de digitale schoolgids van. IKC Het Sterrenbos

Dit is de digitale schoolgids van. IKC Het Sterrenbos 2015 2016 Dt s de dgtale schoolgds van IKC Het Sterrenbos IKC het Sterrenbos IKC-gds schooljaar 2015-2016 IKC het Sterrenbos; Onderwjs Knderopvang 2 4 jargen Buten Schoolse Opvang schoolvakantes adressen

Nadere informatie

Breman, Spaans & Harnas

Breman, Spaans & Harnas Z3-b34 Breman, Spaans & Harnas m a n a g e m e n t c o n s u l t a n t s BRANSTORMSESSE OVER KOSTEN EN EFFECTEN VAN VERVOERMANAGEMENT «SU NHOUDSOPGAVE. Voorwoord pag. 2. Clusterng van vervoermaatregelen

Nadere informatie

Voorschriften voor MARS Documentversie 2.52

Voorschriften voor MARS Documentversie 2.52 Voorschrften voor MARS Documentverse 2.52 Montorng and regstraton system 5 maart 2014 Voorschrften voor MARS 2.52 1 (Montorng and regstraton system Voorschrften voor MARS Documentverse 2.52 Rjkswaterstaat

Nadere informatie

De enterprisearchitect als coach

De enterprisearchitect als coach archtectuur De enterprsearchtect als coach Naar een vloeende samenwerkng tussen enterprseen projectarchtecten Grotere organsates kennen vaak een (te strkte) schedng tussen enterprse- en projectarchtecten.

Nadere informatie

STUDIEBOEK. wiskunde. Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethspitaels@gmail.com www.meesterkenneth.bevegem.be

STUDIEBOEK. wiskunde. Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethspitaels@gmail.com www.meesterkenneth.bevegem.be STUDIEBOEK Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethsptaels@gmal.com wskunde Breuken, procenten en kommagetallen Klenste gemeenschappeljk veelvoud Grootste gemeenschappeljke deler Romense cjfers Deelbaarhed

Nadere informatie

DETERGENTEN IN UW DAGELIJKS LEVEN

DETERGENTEN IN UW DAGELIJKS LEVEN Het etket van hushoudeljke detergenten beter begrjpen Vanaf 8 oktober 2005 zullen de etketten en verpakkngen van detergenten geledeljk aan meer nformate bevatten. WAT MOET U HIEROVER WETEN? De komende

Nadere informatie

Middenkaderfunctionaris bouw & infra (Netwerkschool)

Middenkaderfunctionaris bouw & infra (Netwerkschool) Mddenkaderfunctonars bouw & nfra (Netwerkschool) MBO College voor Bouw, Infra & Intereur Door ondernemend te zjn krjg k meer verantwoordeljkhed. 2013-2014 BOL Nveau 4 Thorbeckelaan 184 Almelo Crebo: 22012

Nadere informatie

Vernieuwing Lake Land Hotel Jachthaven 1 Monnĩckendam Gemeente Waterland

Vernieuwing Lake Land Hotel Jachthaven 1 Monnĩckendam Gemeente Waterland FFF ï ī-ï n t on ra n t -1 «.u jy l l ;I H n rŗ nr Es Verneuwng Jachthaven 1 Monnĩckendam Gemeente Waterland Bestemmngsplan, ontwerpstjl en welstand. Datum: 8 februar 2014 Jachthaven 1 1141 AV Monnckendam,

Nadere informatie

Onderzoek! Ontdek! Onderneem! WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP WWW.EUREKACUP.NL. Eureka!Cup is een programma van Stichting Techniekpromotie

Onderzoek! Ontdek! Onderneem! WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP WWW.EUREKACUP.NL. Eureka!Cup is een programma van Stichting Techniekpromotie GEVER WELKOM BIJ DE EUREKA!CUP E!C16-1 GEVER 7 Bètawerelden De opdrachten van het Eureka!Cup sezoen worden geplaatst bnnen een van de 7 bètawerelden: Voedng & Vtaltet Mobltet & Rumte Lfestyle & Desgn Scence

Nadere informatie

Beperkt? Niet in de mode!

Beperkt? Niet in de mode! dgtale neuwsbref voor medewerkers van Koraal Groep - 2015 - Nr. 3 Verder n deze neuwsbref: De projecten van RICHTPUNT 2015 Beperkt? Net n de mode! Vrenden van De Hondsberg ontvangen groot bedrag En nog

Nadere informatie

I I i I I I 1 I I 1 I I I I f i

I I i I I I 1 I I 1 I I I I f i f 2.3 Kwaltetsdag Rjkswaterstaat 998 "Goed utbesteden, Nu en Na 2000" 95 (2) woensdag, 2 december 999 RA Congrescentrum, Amsterdam D 0 C (bblotheek en documentate) ~s?- Denst Weg- en Waterbouwkunde ^3b^

Nadere informatie

ARU. ;ijniv-ersitejt. e 3 ndhov (2007.050) TEM. niet uitleenbaar

ARU. ;ijniv-ersitejt. e 3 ndhov (2007.050) TEM. niet uitleenbaar ARU 27 TEM (27.5) ;jnv-erstejt e 3 ndhov F net utleenbaar Colofon Ttel Onderzoek naar Rollen en Rolcombnates bj lokale Rabobanken l onderttel Afstudeeropdracht Verse, datum 27 augustus 27 Samengesteld

Nadere informatie

One size fits not all

One size fits not all archtectuur One sze fts not all Methoden voor enterprsearchtectuur Welke maner van archtectuur bedrjven past het best bj een organsate? Een (onderzoeks)rchtng om meer grp te krjgen op bepalende factoren

Nadere informatie

Bij opwarmen ontstaat een normale isotrope vloeibare. Bij afkoelen van een vloeibaar kristal ontstaat een

Bij opwarmen ontstaat een normale isotrope vloeibare. Bij afkoelen van een vloeibaar kristal ontstaat een Vloebaar-krstal schermen Wat s een vloebaar krstal? Wat jn de bouwstenen? Optsche egenschappen van vloebare krstallen. en vloebaar krstal n een aangelegd elektrsch veld. Vloebaar-krstal cellen en vloebaar

Nadere informatie

Dit is de digitale schoolgids van R.K. basisschool Sunte Werfert

Dit is de digitale schoolgids van R.K. basisschool Sunte Werfert Dt s de dgtale schoolgds van R.K. bassschool Sunte Werfert f 1 z s t k c o g n 2 8 x u e d b r z l y g 6 4 p v m q h t 7 9 Sunte Werfert schoolgds 2014-2015 3 schoolvakantes adressen 2 z x p 5 y 8 d Een

Nadere informatie

Dit is de digitale schoolgids van R.K. basisschool St. Jacobusschool 2014-2015

Dit is de digitale schoolgids van R.K. basisschool St. Jacobusschool 2014-2015 Dt s de dgtale schoolgds van R.K. bassschool St. Jacobusschool 2014-2015 s t n p 5 v f 1 z k c o g 2 8 x u e d b r z l y g 6 4 m q h t 7 9 St. Jacobusschool schoolgds 2014-2015 3 schoolvakantes adressen

Nadere informatie

SERVICESFORTINET PRE PRE PRE SALES SALES

SERVICESFORTINET PRE PRE PRE SALES SALES SERVICE The tme you need SERVICESFORTINET Presales Support - Consultancy - Testapparatuur, Demo s en Plots - Wreless Ste Survey - Tranngen Installate Servce - Onderhoudscontracten - Telemarketng Al deze

Nadere informatie

Beroepsregistratie en vooraanmelden voor beroepsregistratie. in de jeugdhulp en jeugdbescherming

Beroepsregistratie en vooraanmelden voor beroepsregistratie. in de jeugdhulp en jeugdbescherming Beroepsregstrate en vooraanmelden voor beroepsregstrate n de jeugdhulp en jeugdbeschermng Inhoudsopgave Werk jj n de jeugdhulp of jeugdbeschermng? Bjvoorbeeld n de ggz? Ben je socaal werker? Of begeled

Nadere informatie

Pagina 0 van 37 VADEMECUM ZORG OP ONZE SCHOOL. 09/374 05 00 schoolsint-maria-aalter@taborscholen.be www.taborscholen.be

Pagina 0 van 37 VADEMECUM ZORG OP ONZE SCHOOL. 09/374 05 00 schoolsint-maria-aalter@taborscholen.be www.taborscholen.be Pagna 0 van 37 VADEMECUM ZORG OP ONZE SCHOOL Taborschool Snt-Mara-Aalter-Brug 09/374 05 00 schoolsnt-mara-aalter@taborscholen.be www.taborscholen.be Pagna 1 van 37 NIVEAU 1. ALGEMENE ZORG... 2 1.1. KENMERKEN

Nadere informatie

werken en leren in de brugklas 2014-2015 Je groeit op de RGO

werken en leren in de brugklas 2014-2015 Je groeit op de RGO werken en leren n de brugklas 2014-2015 Je groet op de RGO INhoudsopgave Voorwoord.........................................................................................................................................

Nadere informatie

PARADOXEN 4 Dr. Luc Gheysens

PARADOXEN 4 Dr. Luc Gheysens PARADOXEN 4 Dr Luc Gheysens DE COMPLEXE WERELD VAN DE COMPLEXE GETALLEN Hstorsche nota Omstreeks 500 werden n Italë wedstrjden georganseerd voor het oplossen van derdegraadsvergeljkngen Nccolo Fontana

Nadere informatie

LUCIA MARTHAS. Institute for Performing Arts HBO MBO. Talent is only the starting point. Vooropleiding. Leerbedrijf.

LUCIA MARTHAS. Institute for Performing Arts HBO MBO. Talent is only the starting point. Vooropleiding. Leerbedrijf. LUCIA MARTHAS Insttute for Performng Arts Talent s only the startng pont - Irvng Berln - HBO MBO Vooropledng Leerbedrjf Onderwjsvse Voorwoord Het Luca Marthas Insttute for Performng Arts (LMIPA) s een

Nadere informatie

Hoveniers. Zie www.ctgb.nl, Bestrijdingsmiddelendatabank.

Hoveniers. Zie www.ctgb.nl, Bestrijdingsmiddelendatabank. Keuze van het mddel Hoveners # 1a OVER Keuze van het mddel VOOR Werkgever Sector Hoveners Geen net-toegelaten bestrjdngsmddel gebruken Gebruk een mddel dat s toegelaten n Nederland. Ze www.ctgb.nl, Bestrjdngsmddelendatabank.

Nadere informatie

STUDIEBOEK. nederlands. Meester Kenneth Zesde leerjaar

STUDIEBOEK. nederlands. Meester Kenneth Zesde leerjaar STUDIEBOEK Meester Kenneth Zesde leerjaar meesterkennethsptaels@gmal.com nederlands Werkwoorden vervoegen Persoon en getal Onderwerp, persoonsvorm en gezegde Naamwoordeljk en werkwoordeljk gezegde SP 1

Nadere informatie

kopers huurders controle Klantgestuurd en empowerment empowerment capacity keuze Te Woon effecten voorraadbeleid kopen verkoop inkomen klanten

kopers huurders controle Klantgestuurd en empowerment empowerment capacity keuze Te Woon effecten voorraadbeleid kopen verkoop inkomen klanten effecten Klantgestuurd voorraadbeled en empowerment Over Te Woon en andere ntateven van wonngcorporates verkoop klantgestuurd kopen kopers wonngcorporates nkomen ntateven schalen capacty Te Woon klanten

Nadere informatie

Afhaling. Afhaling van gefrankeerde zendingen 1. Collect & Send 2. ATH (Afhaling ten Huize) 3. Transport (Afhaling per vrachtwagen)

Afhaling. Afhaling van gefrankeerde zendingen 1. Collect & Send 2. ATH (Afhaling ten Huize) 3. Transport (Afhaling per vrachtwagen) Afhalng Afhalng van gefrankeerde zendngen 1. Collect & Send. ATH (Afhalng ten Huze) 3. Transport (Afhalng per vrachtwagen) Afhalng van ongefrankeerde zendngen (Collect & Stamp) 1. Maxmaal volume en gewcht.

Nadere informatie

Bijlage 3 Rapportage risicoanalyse buisleidingen

Bijlage 3 Rapportage risicoanalyse buisleidingen Bjlage 3 Rapportage rscoanalyse busledngen 0.\[(] E ROEVER \ V. S M)\ -.S KWANTTATEVE RSCOANALYSE Beslut externe velghed busledngen Gemeente Steenbergen Opdrachtgever: Contactpersoon: Gemeente Steenbergen

Nadere informatie

Handreiking Behorende bij Verslag over de Uitvoering Abw, IOAW, IOAZ en WIK 2003

Handreiking Behorende bij Verslag over de Uitvoering Abw, IOAW, IOAZ en WIK 2003 Handrekng Behorende bj Verslag over de Utvoerng Abw, IOAW, IOAZ en WIK 2003 Inhoud Onderdeel A Beeld omtrent de wetsutvoerng Verantwoordng omtrent tekortkomngen rechtmatghed Inledng 3 1. Verantwoordng

Nadere informatie

Integere programmering voor cyclische personeelsplanning

Integere programmering voor cyclische personeelsplanning UNIVERSITEIT GENT FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE ACADEMIEJAAR 2011 2012 Integere programmerng voor cyclsche personeelsplannng Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van Master of Scence

Nadere informatie

27 juni 1997. ir. C.B.M. Blom dr.ir. G.P.C. van Oosterhout

27 juni 1997. ir. C.B.M. Blom dr.ir. G.P.C. van Oosterhout UK18 HDE HDE-003,007,011,014,024,025,026,028,032.CT.05,07,11.A HDE-034,038,039,041,048,051,052,058,074.CT.05,07,14.A HDE-090,092,097,098,099,100.CT.07,11.A HDE-004,013,015,016017,021,022,023,027.CT.06,07,09,12.D

Nadere informatie