Aanvullende Opgaven Inleiding Besliskunde II

Transcriptie

1 Last Update: , Clff Voetelnk Aanvullende Opgaven Inledng Beslskunde II Aanvullende Opgave 1: Routerngsprobleem (ILP) Dt s een aangepaste verse van opgave 2.3 ut het boek van Tms. Vrachtwagens 1,..., M zn beschkbaar om goederen te leveren aan klanten 1,..., N met M < N. De gewchtscapactet van vrachtwagen s b ton [ = 1,..., M ]. Het gewcht van het goed voor klant bedraagt a ton [ = 1,..., N]. Elke klant kan slechts door één vrachtwagen bevoorraad worden, maar dezelfde vrachtwagen kan meerdere klanten bevoorraden. Verder wordt geëst dat de vrachtwagen de een klant belevert dt net over meerdere rtten mag doen. Een vrachtwagen maakt hoogstens 1 rt. De operatonale kosten van vrachtwagen bedragen c euro. We zn geïnteresseerd n het bevoorradngsschema dat de totale kosten mnmalseert. Formuleer dt probleem als geheeltallg programmerngsprobleem. Aanvullende Opgave 2: Jones Chemcal (ILP) Dt s een aangepaste verse van opgave 2.9 ut het boek van Tms. Het bedrf Jones Chemcal heeft een contract gesloten om een specaal soort zwavelzuur af te leveren n de komende N maanden. De overeenkomst behelst de leverng a ton aan het begn van maand [ = 1,..., N]. De producte van het zwavelzuur verest enkele specale maatregelen. De productemanager heeft daarom besloten dat het zwavelzuur alleen geproduceerd kan worden aan het begn van elke maand. Elke producte neemt een verwaarloosbare hoeveelhed td n beslag. De vaste opstartkosten van een producte bedragen d euro. De varabele productekosten van zwavelzuur bedragen c euro per ton. Iedere keer kan elke gewenste hoeveelhed van het zwavelzuur geproduceerd worden. Het bedrf heeft voldoende opslagcapactet voor het zwavelzuur, maar voor elke ton zwavelzuur n voorraad bedragen de voorraad kosten r euro per maand. Op dt moment s er geen voorraad aanwezg. We zn geïnteresseerd n het optmale producteschema. 2A) Formuleer dt probleem als een gemengd geheeltallg lnear programmerngsprobleem. 2B) Welke constrant moet worden toegevoegd nden er een extra es s dat de producte n een maand [ vast gekozen ] tenmnste b ton moet zn als besloten zou worden n maand te produceren. 2C) Welke constrant moet men toevoegen nden er een extra es s dat er maxmaal 3 producterondes zn. 2D) Welke constrant moet men toevoegen nden er een extra es s dat n maanden 2 en 3 geen producterondes mogelk zn als er n maand 1 geproduceerd wordt.

2 Aanvullende Opgave 3: De Cocaïnesom (DP) Afkomstg ut het tentamen Inledng OR 13 Januar 1999, door dr. R.D. Nobel. Cocaïnekonng dr. C. Snuf moet zn kostbare ladng n 5 etappes van zn plantage De Wlde Papaver naar de endbestemmng Amsterdam vervoeren. Voor elke etappe heeft de Snufmester de keuze ut dre typen vervoer: vrachtwagen (1), tren (2) of schp (3). Vervoersvorm kost voor etappe een bedrag v ( = 1,2,3; = 1,2,3,4,5). In totaal s voor het vervoer een bedrag B beschkbaar. Verder s op etappe met vervoersvorm hoogstens een tonnage t te vervoeren. Snuf vraagt zch af hoeveel ton cocaïne h maxmaal n één zendng [welke dus bestaat ut 5 etappes] van De Wlde Papaver naar Amsterdam kan vervoeren. Ook wl h weten welke vervoersvormen op de verschllende etappes gebrukt moeten worden. Formuleer dt probleem als een dynamsch programmerngsprobleem. Aanvullende Opgave 4: De Boekensom (DP) Afkomstg ut het tentamen Inledng OR 10 Januar 2000, door dr. R.D. Nobel. [Aangepaste verse]. N studenten gaan op studeres naar Zmbabwe en worden geacht gezamenlk M studeboeken mee te nemen. Student heeft hervoor n zn/haar rugzak nog plaats voor een gewcht van W klo ( = 1,..., N). Boek weegt g klo ( = 1,..., M) en het totale gewcht van de boeken s groter dan het totale nog beschkbare gewcht n de rugzakken van de studenten, d.w.z.: M N g > W. Omdat = 1 = 1 men de boeken beslst wl meenemen zal een aantal studenten een overgewcht moeten meetorsen. Om de pn zo eerlk mogelk te verdelen beslut men de boeken zó te verdelen dat het grootste ndvduele overgewcht mnmaal s. 4A) Formuleer dt probleem als een dynamsch programmerngsprobleem. Aangekomen op de luchthaven blkt overgewcht net toegestaan te zn. Men zal daarom noodgedwongen een aantal boeken thus moeten laten. Omdat elk boek voor de studeres een bepaalde waarde heeft, zeg v voor boek, wl men nu de boeken zodang herverdelen dat de totale waarde van de meegenomen boeken maxmaal s, onder de voorwaarde dat geen enkele student meer een overgewcht meetorst. De vraag s nu welke boeken mee te nemen en we welke boeken n zn/haar rugzak meedraagt. 4B) Formuleer dt probleem als een dynamsch programmerngsprobleem. Vlak voor de aankomst op de luchthaven heeft edere student nog een dctaat gekregen. Het dctaat s een soort samenvattng van alle studeboeken en heeft een waarde u. Op het vlegveld wordt er besloten het grootste deel van de dctaten daar achter te laten. Alleen wanneer de rugzak van een student te weng rumte heeft om überhaupt één boek mee te nemen, zal h/z één dctaat mee moeten nemen. Het dctaat past n edere rugzak en heeft een verwaarloosbaar gewcht. Opneuw worden de boeken verdeeld zodang dat de totale waarde van de meegenomen boeken/dctaten maxmaal s en er geen enkele student een overgewcht meetorst. 4C) Pas de recursevergelkngen van vraag 4B aan op dt aangepaste probleem. 1 als... geldt Hnt: Gebruk de ndcatorfuncte: 1{...} = 0 anders

3 Aanvullende Opgave 5: Branch & Bound max 4y1+ 3y2+ 4y3 onder: 4y1+ 2y2+ 3y3 15 y1, y2, y3 0 én geheel. Los het bovenstaande knapzak probleem op met behulp van branch en bound. Aanvullende Opgave 6: Brandstoftanks (ILP) Dt s een aangepaste verse van opgave 3 afkomstg van het hertentamen Inledng Beslskunde II Benznemaatschapp Overakker moet tdelk dre verschllende soorten brandstof opslaan. Op het terren zn daarvoor 4 opslaglocates beschkbaar. Opslaglocates 1, 2 en 3 zn tanks en hern kan slechts één type brandstof tegelk worden opgeslagen. Alles wat net n de tanks kan worden opgeslagen, wordt opgeslagen op opslaglocate 4. De hoeveelhed ton van brandstoftype de moet worden opgeslagen bedraagt b [ = 1,2,3]. Het kost een bedrag c om 1 ton van brandstoftype n opslaglocate op te slaan [ = 1,2,3; = 1,...,4]. De opslagkosten per ton op opslaglocate 4 zn echter nogal hoog, preces gezegd: c 4 >>> ck = 1, 2, 3; k 4. Op deze locate kun e wel verschllende soorten brandstof tegelk opslaan maar dt s dus een stuk duurder wanneer e brandstof n een normale tank opslaat. Tank heeft een opslagcapactet van m ton [ = 1,2,3]. Op opslaglocate 4 s er geen beperkng qua capactet. Het doel s de brandstoffen tegen zo laag mogelke kosten op te slaan. N.B.: Het s mogelk dat e [verschllende hoeveelheden van] 1 type brandstof opslaat n twee verschllende tanks! Maar het s dus net om meerdere verschllende brandstoffen n 1 tank op te slaan! 6A) Om dt probleem te formuleren als een gemengd geheeltallg lnear programmerngsprobleem, ntroduceren we contnue beslssngsvarabelen x en bnare beslssngsvarabelen y. Geef nu dudelk de betekens van deze beslssngsvarabelen aan. 6B) Formuleer het bovenstaande probleem nu als een gemengd lnear programmerngsprobleem. 6C) Welke restrcte(s) moet e toevoegen als e maxmaal 2 tanks mag toewzen voor het opslaan van brandstoftype 3? Welke restrcte(s) moet e toevoegen wanneer tank 2 net gebrukt mag worden om brandstoftype 1 n op te slaan als zowel tank 1 als tank 3 gebrukt worden voor het opslaan van brandstoftype 3?

4 Aanvullende Opgave 7: Klussen (ILP) Dt s een aangepaste verse van opgave 3 afkomstg van het tentamen Inledng Beslskunde II Het bedrf Dwars & Los heeft vorge week M klussen bnnengesleept de zo snel mogelk moeten worden utgevoerd door de N werknemers (met M >> N ). Een klus kan slechts één keer worden geklaard en door slechts door één werknemer. Helaas s er te weng td beschkbaar om alle klussen deze week te klaren. Het doel s nu om een werkrooster voor deze week te maken en de totale opbrengst van deze week te maxmalseren: als klus utgevoerd wordt, dan levert dat het bedrf het bedrag c euro op [ = 1,..., M]. Als klus gedaan wordt door werknemer, dan neemt dt een td t uur n beslag. [ = 1,..., M, = 1,..., N]. Ook s het zo dat net edereen full tme b het bedrf werkt en zo komt het dat edere werknemer deze week slechts een bepaald aantal uren beschkbaar s. Preces gezegd: werknemer s preces T uur beschkbaar deze week. Een werknemer mag echter meerdere klussen n de week utvoeren. Wel s er verest dat edere werknemer mnstens één klus klaart en dat elke werknemer onder het werk nog mnstens b uur vre td (= beschkbare td td besteed aan klussen) overhoudt. Tenslotte kan klus 3 om technsche redenen net worden utgevoerd als klussen 1 of 2 (of beden) deze week worden geklaard. Drecteuren Peter D. en Davd L. wllen graag het werkrooster van deze week hebben waarb de totale opbrengst zo groot mogelk s. Formuleer dt probleem als een geheeltallg lnear programmerngsprobleem. Geef dudelk de betekens van uw gekozen beslssngsvarabelen aan! Aanvullende Opgave 8: Kortste Pad / Goedkoopste Pad (ILP) Beschouw een gerchte graaf G = ( X, E) waarb X de verzamelng steden s n het netwerk: X = {1,..., N}. Een pl van stad naar stad wordt genoteerd met (, ). Laat E X X (Cartessch Product) de verzamelng plen zn waarover het mogelk s om over te rezen. Laat het net negateve getal c met (, ) E de afstand zn om van stad rechtstreeks naar stad te gaan. Formuleer nu het algemene kortste pad probleem als een geheeltallg lnear programmerngsprobleem zodat het kortste pad berekend wordt van stad 1 naar stad N. Geef dudelk de betekens van de beslssngsvarabelen aan en geef een korte toelchtng op de constrants. Aanvullende Opgave 9: Computer Samenstellen (ILP) Daan H. wl op een zo goedkoop mogelke maner een computer aanschaffen door alle onderdelen los te kopen. Er zn n totaal M verschllende onderdelen nodg [van elk onderdeel preces één], aangegeven met nummers 1 t/m M, de te koop zn n N verschllende (nternet)wnkels. Onderdeel kost n wnkel een bedrag c [ = 1,..., M; = 1,..., N]. Als Daan n wnkel één of meerdere onderdelen koopt moet h soweso een bedrag v betalen [ = 1,..., N] (bvoorbeeld voor verzendkosten). Daan vraagt zch af n welke wnkels h de M onderdelen moet aanschaffen ten ende de totale aanschafkosten zo laag mogelk te laten zn. 9A) Om dt probleem te formuleren als een geheeltallg lnear programmerngsprobleem, ntroduceren we bnare beslssngsvarabelen x en y. Geef nu dudelk de betekens van de gekozen beslssngsvarabelen aan.

5 9B) Formuleer dt probleem als een geheeltallg lnear programmerngsprobleem. 9C) Welke restrcte(s) moet(en) worden toegevoegd als Daan b wnkel N hoogstens k onderdelen mag aanschaffen? Welke restrcte(s) moet(en) worden toegevoegd als Daan b hoogstens R wnkels onderdelen mag aanschaffen [met R een gegeven waarde en R< N ]? Welke restrcte(s) moet(en) worden toegevoegd als Daan onderdelen 3 en 4 b wnkel 6 wl [moet] aanschaffen nden Daan onderdeel M net b wnkel 2 aanschaft? 9D) Welke restrcte(s) moet(en) worden toegevoegd als Daan b tenmnste 3 verschllende wnkels maxmaal voor een bedrag van b per wnkel aan onderdelen wl kopen? Aanvullende Opgave 10: Computer Samenstellen (DP). Daan H. wl op een zo goedkoop mogelke maner een computer aanscha_en door alle onderdelen los te kopen. Er zn n totaal M verschllende onderdelen nodg [van elk onderdeel preces één], aangegeven met nummers 1 t/m M, de te koop zn n N verschllende (nternet)wnkels. Onderdeel kost n wnkel een bedrag c [ = 1,..., M; = 1,..., N]. Als Daan n wnkel één of meerdere onderdelen koopt moet h soweso een bedrag v betalen [ = 1,..., N] (bvoorbeeld voor verzendkosten). Daan vraagt zch af n welke wnkels h de M onderdelen moet aanschaffen ten ende de totale aanschafkosten zo laag mogelk te laten zn. 10A) Formuleer dt problem al seen dynamsch programmerngsprobleem. Beschrf daarvoor n eder geval de toestand, de nterpretate van de waardefuncte n woorden, de recurserelate, de startrecurse en wat e moet berekenen n termen van de waardefuncte. Aanwzng 1: Ga 1 voor 1 de wnkels langs! Beschrf nu eerst stadum. Aanwzng 2: Gebruk n e recurserelate een ndcatorfuncte en bedenk wat er op de plek van de hoort te staan. 1 {...} 1 als {...} geldt = 0 anders 10B) Formuleer het bovenstaande probleem opneuw als een dynamsch programmerngsprobleem wanneer er de extra es s dat er b hoogstens R wnkels onderdelen mogen worden aangeschaft. Beschrf daarvoor n eder geval de toestand, de nterpretate van de waardefuncte n woorden, de recurserelate, de start recurse en wat e moet berekenen n termen van de waardefuncte. Aanwzng: Gebruk de gelkhed mn{ g( S \ A)} = mn{ mn { g( S \ A)}, g( S)} A S A S, A Aanvullende Opgave 11 Vakkenpakket Samenstellen. (ILP) De calculerende Marloes B. moet voor volgende perode nog een keuze maken ut een collecte van N keuzevakken (genummerd van 1 tot en met N ). Elk vak verest een bepaalde voorberedngstd, levert een aantal studepunten op en heeft een gegeven moelkhedsgraad. Preces geformuleerd: vak kost Marloes een td t n uren aan voorberedng, levert haar p stude punten op en wordt door stafleden beoordeeld als een categore c vak, waarb c een geheel getal s tussen 1 en 10 [1 = zeer eenvoudg;... ; 10 = heel moelk]. Volgens het studeprogramma moet Marloes nog mnstens Q studepunten halen. Marloes wl aan alle vakken tezamen net meer dan T uur aan voorberedng besteden. We gaan er vanut dat Marloes voor elk vak slaagt. Omdat Marloes een mooe lst vakken op haar CV wl kunnen presenteren stelt z haarzelf eerst de vraag, welke vakken z n de volgende

6 perode moet opnemen om te bereken dat de som van de moelkhedsgraden van de gekozen vakken maxmaal s. 11A) Formuleer dt probleem als een geheeltallg lnear programmerngsprobleem. Geef dudelk de betekens van uw gekozen beslssngsvarabelen aan! 11B) Welke restrcte(s) moet Marloes toevoegen als ze vakken 1, 2 en 3 net mag opnemen n haar vakkenpakket wanneer vak N wordt opgenomen n haar vakkenpakket. Welke restrcte(s) moet e toevoegen als z preces k vakken van vakken 1 t/m 10 moet volgen (met k vast en k < 10 )? Welke restrctes moet Marloes toevoegen voor het geval dat wanneer Marloes 5 of meer keuzevakken gaat volgen, dat z dan ook mnstens 2Q studepunten ut het samengestelde vakkenpakket moet halen? Hnt: ntroduceer voor de laatste restrctes een neuwe bnare beslssngsvarabele! Veronderstel nu dat Marloes kan kezen aan welke unverstet z een bepaald vak volgt: elk keuzevak s te volgen op alle M verschllende unversteten n Nederland. Het aantal college uren verschlt echter, op unverstet neemt vak een td t uren aan colleges n beslag. Aangezen Marloes vanaf nu altd naar colleges gaat en ze zoveel mogelk van afwsselng houdt wl ze nu haar vakken zodang kezen dat de grootste td, de z aan colleges kwt s op eenzelfde unverstet, wordt gemnmalseerd. Het aantal studepunten en de moelkhedsgraden b elk vak blven hetzelfde maar er moet nu voldaan worden aan het fet dat de som van de moelkhedsgraden van alle vakken de z volgt mnstens C s. Uteraard moet z nog steeds mnstens Q studepunten halen en wl z aan alle vakken tezamen net meer dan T uur besteden, de totale td de z kwt s aan vak s nu de totale voorberedngstd voor vak plus de totale td de z aan colleges kwt s voor vak. Verder zal z de colleges van een bepaald vak slechts aan 1 unverstet volgen, mocht z besluten dt vak op te nemen n haar vakkenpakket. Tenslotte wl z aan mnstens R verschllende unversteten college volgen. 11C) Formuleer dt probleem als een (gemengd) geheeltallg lnear programmerngsprobleem. Geef dudelk de betekens van uw gekozen beslssngsvarabelen aan! Aanvullende Opgave 12: Teams Samenstellen. (DP) De afdelng BWI beslut een N teams van k studenten te sturen naar een landelke Operatons Research olympade. Er zn M studenten de zch hebben aangemeld met ( M >> N ). De ntellgente van een student n dt vakgebed wordt gemeten op bass van een open boek toelatngstentamen, dat edere (aangemelde) student heeft afgelegd. Het cfer van student van deze toets bedraagt b [ = 1,..., M]. Verder zn er zoveel aanmeldngen dat lang net edere (aangemelde) student mee kan doen. Mchel V. wordt gevraagd om de teams n te delen en h beslut de teams zodang n te delen dat het laagste cfergemddelde per team zo hoog mogelk s. Formuleer dt probleem als een dynamsch programmerngsprobleem. Beschrf daarvoor n eder geval: de toestand, de nterpretate van de waardefuncte n woorden, de recurserelate, de startrecurse en wat e moet berekenen n termen van de waardefuncte. Hnt: Je zal dus N keer een team moeten samen te stellen. Beschrf nu eerst stadum.

7 Aanvullende Opgave 13: De Bakker. (DP) Voor de komende N weken wl depvresbakker Marten W. een optmale bakstratege vastleggen de zn totale kosten mnmalseert. H weet dat n week de vraag naar gebak exact D stuks zal bedragen [ = 1,..., N]. Gebak gebakken n week wordt ngevroren en s pas voor de verkoop beschkbaar n week + 1. Het n voorraad houden van gebak kost een bedrag h per stuk gebak per week aan nvreskosten, te betalen over de totale voorraad aanwezg aan het end van de week. De vraag naar gebak waaraan net drect voldaan kan worden, gaat voor de verkoop verloren en brengt boetekosten p met zch mee voor elk stuk gebak dat wel gevraagd maar net geleverd wordt. De bakkosten per stuk gebak bedragen c n week en n week 1 zn Q stuks ngevroren gebak n voorraad. Het ngevroren gebak s onbeperkt houdbaar. Formuleer dt probleem als een dynamsch programmerngsprobleem. Beschrf daarvoor n eder geval: de toestand, de nterpretate van de waardefuncte n woorden, de recurserelate, de startrecurse en wat e moet berekenen n termen van de waardefuncte. Hnt: Ga 1 voor 1 de weken af, beschrf eerst stadum. Aanvullende Opgave 14: Sacred Heart. (DP) Het zekenhus Sacred Heart heeft N chrurgen n denst. Elke chrurg heeft een egen werkrooster. Deze week s het echter een zeer drukke week: er zn namelk M neuwe patënten aangekomen de allemaal geopereerd moeten worden. Chrurg heeft nog td van t uur beschkbaar n zn/haar rooster voordat er overwerk plaatsvndt [ = 1,..., N]. De operate van patënt neemt M N een td van T uur n beslag [ = 1,..., M]. Het problem s echter dat T 1 > t = = 1 dus de totale td de de operates van de M neuwe patënten b elkaar n beslag nemen s veel groter dan het totaal aantal nog beschkbare uren van de chrurgen. Omdat alle operates moeten plaatsvnden, zullen een aantal chrurgen moeten overwerken. Om de 'pn' zo eerlk mogelk te verdelen beslut men de overuren zó te verdelen dat het grootste ndvduele aantal overuren mnmaal s. Hoe moeten de patënten op bass van dt crterum verdeeld worden over de verschllende chrurgen? Overgens s het mogelk dat één chrurg meerdere patënten onder zn/haar hoede neemt maar een patent kan slechts aan één chrurg gekoppeld worden. Formuleer dt probleem als een dynamsch programmerngsprobleem. Beschrf daarvoor n eder geval: de toestand, de nterpretate van de waardefuncte n woorden, de recurserelate, de startrecurse en wat e moet berekenen n termen van de waardefuncte. Aanvullende Opgave 15: Docenten en Studenten (DP) B de vakgroep BWI van de VU werken N docenten en er zn M studenten met [ M >> N ]. Elke student moet preces één docent toegewezen krgen als begeleder voor zn/haar masterscrpte. Omdat alle studenten nmddels hun onderwerp gekozen hebben kan men een goede nschattng maken van de td de het begeleden van een student zal kosten. Deze td s mede afhankelk van de docent. Preces gezegd, voor een optmale begeledng zal student van docent een td t [weken] voor zn/haar begeledng vergen. Elke docent heeft aangegeven hoeveel td h voor scrpte begeledng beschkbaar heeft: voor docent s dt T weken [ = 1,..., N]. Nu blkt de M totale mnmale td de de studenten nodg hebben,.e. mn { } 1 = 1,..., N t = groter te zn dan de N totale td de de docenten beschkbaar hebben,.e. T. Omdat alle studenten beslst een = 1

8 optmale begeledng wllen, zullen sommge docenten meer dan hun als beschkbaar opgegeven td aan scrptebegeledngen moeten besteden. Beschouw nu het volgende crterum: de studenten moeten zodang over de docenten verdeeld worden, zodat de grootste overschrdng van de tden de de docenten bered zn aan de begeledng te besteden, mnmaal s. 15A) Formuleer dt probleem als een dynamsch programmerngsprobleem. Beschrf daarvoor n eder geval de toestand, de nterpretate van de waardefuncte n woorden, de recurserelate, de start recurse en wat e moet berekenen n termen van de waardefuncte. Hnt: het s handg om eerst op te schrven wat stadum voorstelt! De oplossng van het bovenstaande probleem ledt tot grote ontevredenhed onder de docenten. De vakgroepvoorztter Prof. C. Ten Hoope stelt nu voor om docent een bedrag b extra salars te geven voor elke week scrptebegeledng de de beschkbare td van docent, T, te boven gaat. Prof. ten Hoope streeft er nu naar om het totale bedrag dat z zal moeten besteden aan de extra salarsutgaven te mnmalseren. Hoe moeten de studenten volgens dt crterum verdeeld worden over docenten? 15B) Formuleer dt neuwe probleem als een dynamsch programmerngsprobleem. Beschrf daarvoor n eder geval de toestand, de nterpretate van de waardefuncte n woorden, de recurserelate, de start recurse en wat e moet berekenen n termen van de waardefuncte. Hnt: het s handg om eerst op te schrven wat stadum voorstelt! Aanvullende Opgave 16: Vrachtwagens en Routes. (DP) Een bedrf moet voor N verschllende vrachtwagens beslssen welke routes ze moeten rden. Het kost vrachtwagen een bedrag c om route te rden [ = 1,..., M], verder mag vrachtwagen alleen routes rden ut de verzamelng V [ = 1,..., N]. Er zn mnder routes dan vrachtwagens maar alle routes moeten gereden worden, als een vrachtwagen geen route rdt, dan rdt h route 0, let op: 0 V. Verder kost het een bedrag q als vrachtwagen geen route rdt en mag een vrachtauto slechts 1 route rden. 16A) Welke vrachtwagens moeten welke routes rden opdat de totale kosten mnmaal zn? 16B) Vrachtwagen bevndt zch op d klometer van het startpunt van route af. Als vrachtwagen zch op meer dan c klometer van zn toegewezen route bevndt, wordt h b euro extra utbetaald voor elke klometer de h meer dan deze c klometer moet afleggen om b het startpunt van zn toegewezen route te komen. Hoe moet de formulerng nu aangepast worden als we hermee rekenng houden?