INTRODUCTIE VERPLAATSINGENMETHODE

Transcriptie

1 INTROUTIE ERPLTSINGENMETHOE akerk Met behup van de verpaatsngenmethode a de krachtsverdeng n het onderstaande vakerk orden bepaad. Het vakerk bestaat ut vf staven en s opgeegd n en. 40 kn a = 1,0 m a ae staven : E = 6000 kn 4a 4a Fguur 1 : akerk an dt vakerk kunnen n prncpe de knopen n het patte vak verpaatsen. e vrhedsgraden n dt vakerk n dan ook de horontae verpaatsng, aangegeven met u en de vertcae verpaatsng, aangegeven met, van de knopen. In en gedt een beperkng. Her orden randvooraarden opgeegd. In kan geen enkee verpaatsng optreden en n kan aeen een horontae verpaatsng optreden. s het vakerk ut ekaar ordt genomen en ordt opgedeed n staven en verbndngseementen (knopen) dan ontstaat de onderstaande stuate. oor de eenvoud ordt even aangenomen dat n ae staven een trekkracht heerst. e krachten n de staven erken omgekeerd op de knopen vogens Neton s prncpe van acte s reacte. 40 kn N (1) N (3) N (5) H N (2) N (4) Fguur 2 : rgemaakte chamen Na vrmaken resteren knopen en staafeementen. e knopen kunnen orden beschoud as puntdeetes 1 ter de staven starre chamen voorsteen. 1 Er kunnen mmers geen momenten vanut de pendestaven orden overgebracht op de knopen Hans Weeman an 2007

2 e constructe s n evencht as de vrgemaakte deen n evencht n. oor de deen gedt: oor de staven, de starre chamen gedt dat de normaakracht constant s en dat dee angs de staafas aangrpt. Her gedt Neton s prncpe acte s reacte en daarmee s het evencht dus gegarandeerd 2. e knopen n aeen n evencht as het krachtenevencht s gegarandeerd. Hervoor n n het patte vak tee evenchtsvergekngen per knoop op te steen; Per knoop : FH = 0; F = 0; het opsteen van de evenchtsvergekngen uen e utgaan van de krachten n de eementen de ontstaan t.g.v. de verpaatsngen n de knopen (dat n one fundamentee onbekenden). aarvoor s het nodg eerst de kracht n een vakerkeement ut te drukken n de mogeke verpaatsngen van de staafutenden. u γ α u γ α v u cosγ u cosα Fguur 3 : akerkeement u e verengng van de staaf kan orden bepaad met behup van de proecte van de knoopverpaatsngen op de oorspronkeke staafrchtng (methode Wot). e engte veranderng s de verpaatsng (n de rchtng van de staaf) van knoop mnus de verpaatsng (n de rchtng van de staaf) van knoop en kan orden beschreven met: = u u = u cosα + cosγ u cosα cosγ of: = [ cosα cosγ cosα u cosγ] u (1) e hoeken α en γ n afhankek van de stand van de staaf en n n fete de hoeken tussen de - en -as en de staaf en orden rchtngscosnussen genoemd. e bepang van dee hoeken komt ater aan de orde. 2 Zoang er op de staaf (tussen de knopen) geen beastng aangrpt. Hans Weeman an 2007

3 s een near eastsch materaagedrag ordt aangenomen kan met behup van de engteveranderng n de staaf de normaakracht n de staaf orden bepaad: N of : N E = u E = [ cosα cosγ cosα cosγ] u (2) Het knoopevencht s een endeoe r evenchtsvergekngen aarb e voor edere knoop de horontae en vertcae componenten van de normaakracht van de aansutende staven nodg hebben en de beastng de aangrpt op de knoop. aarn moet ook de nog onbekende opegreacte orden meegenomen oas n fguur 2 s eergegeven. oor een enkee staaf met daarn een aangenomen trekkracht N (e) gedt vogens acte s reacte dat op de knoop de heronder aangegeven krachten moeten erken. γ α F N (e) F N (e) Fguur 4 : Staafkrachten op de knopen oor een specfeke staaf (e) kunnen de horontae en vertcae componenten van de staafkracht oas dee op de knopen en erken as vogt orden gevonden: (ga dat ef na!) F = N cosα F = N cosγ (3) F = N cosα F = N cosγ e krachten op de knopen kunnen echter met betrekkng (2) orden utgedrukt n de verpaatsngen van de knopen. t evert onhandge utdrukkngen op de echter met behup van matrnotate hanteer orden. Hans Weeman an 2007

4 Uterken van de substtute van vergekng (2) n (3) evert: Op knoop : u E F = N cosα = cos α cosαcosγ cos α cosαcosγ u F u E = γ = α γ γ α γ γ u N cos cos cos cos cos cos cos Op knoop : u E F = N cosα = cos α cosαcosγ cos α cosαcosγ u F u E = γ = α γ γ α γ γ u N cos cos cos cos cos cos cos Op dee e hebben e voor edere staaf een utdrukkng gevonden voor de krachten op de knopen 3. ee krachten n utgedrukt n de nog onbekende verpaatsngen van knoop en. F cos α cosαcosγ cos α cosαcosγ u F cos cos cos cos cos cos E α γ γ α γ γ = F cos α cosαcosγ cos α cosαcosγ u cosαcosγ cos γ cosαcosγ cos γ F oor voor ae knopen de tee evenchtsvergekngen op te steen ontstaat een stese vergekngen dat moet orden opgeost. an de hand van het gegeven voorbeed a dt orden gedemonstreerd. Om dt stese op te kunnen steen a eerst orden ngegaan op de defnte van de rchtngscosnussen. oor dt gek n 3 te doen a bken dat de her beschreven 2-aanpak eenvoudg op te schaen s naar toepassngen voor dre dmensonae vakerken. 3 e krachten op het utende van de staven n vogens het prncpe van acte s reacte ust het tegenovergestede van de her eergegeven krachten op de knopen. Hans Weeman an 2007

5 INTERMEZZO : Rchtngscosnussen Om handg gebruk te kunnen maken van de rchtngcosnussen a eerst n n agemeenhed de rchtng van een staaf orden beschreven met behup van de coördnaten van de punten aartussen de staaf t bevestgd. Een staaf tussen de knopen en met coördnaten (, y, ) en (, y, ) heeft een eenhedsrchtngsvector de kan orden aangedud met de vector : 1 = y y L = met: = 1.0 e engte van de staaf s hern L de ordt bepaad met: L= ( ) + ( ) + ( ) 2 y y e hoek de de staaf maakt met de -, y- en -as kan eendudg orden bepaad met behup van de cosnusrege. We nemen hervoor eenhedsvectoren aan angs de - y- en -assen: 1 0 y 0 y cos (, ) = = = cos ( y, ) = = = y y 0 1 cos (, ) = = = 1 1 e rchtngscosnussen van een staaf kunnen hermee drect orden utgedrukt n de knoopcoördnaten van de staaf. In de hervoor beschreven 2-aanpak gedt voor de hoeken α en γ dat dt de hoeken n tussen de staaf en respectevek de - en de -as: cosα = cos (, ) = cosγ = cos (, ) = met: 1 = L en L de engte van de staaf. e reate tussen de krachten op de knoop vanut een staaf (e) en de knoopverpaatsngen ordt hermee: F u F E = u F F Hans Weeman an 2007

6 Toepassng van de theore op het voorbeed oor het uterken van het knoopevencht s een stuke boekhoudng nodg. an ae staven moeten de gegevens orden veramed en de rchtngscosnussen orden bepaad. In de onderstaande tabe n dee gegevens veramed. e L 2 2 E/L 1 0,0 0, ,8-0,6 0,64 0,36-0, ,0 0, ,0 0,0 1,00 0,00 0, ,0-3, ,0 1,0 0,00 1,00 0, ,0 0, ,0 0,0 1,00 0,00 0, ,0-3, ,8 0,6 0,64 0,36 0, het opsteen van het knoopevencht n per knoop de horontae- en vertcae componenten van de aansutende staafkrachten nodg asmede de op de knoop aangrpende (utendge) beastng. Herb kan het gaan om een bekende beastng of een nog onbekende opegreacte. oor de rchtng van de krachten ordt de posteve as-defnte aangehouden. In symboen gedt voor het knoopevencht (e ook fguur 2): (1) (2) F = 0 F + F + = 0 (1) (2) F = 0 F + F + = 0 (4) (5) F = 0 F + F = 0 (4) (5) F = 0 F + F + = 0 (1) (3) (5) F = 0 F + F + F + 40,0 = 0 (1) (3) (5) F = 0 F + F + F = 0 (2) (3) (4) F = 0 F + F + F = 0 (2) (3) (4) 0 F F = F + F H + = 0 Het uterken van dee vergekngen s met de hand omsachtg maar evert het onderstaande stese vergekngen op: knoop : horontaa evencht: 1200 ( 0, 64u + 0, , 64u 0, 48 ) ( 1, 00u + 1, 00 u ) + = 0 staaf (1) staaf (2) vertcaa evencht: 1200 (0, 48u 0,36 0, 48u + 0,36 ) (0) + = 0 staaf (1) staaf (2) H Hans Weeman an 2007

7 knoop : horontaa evencht: 1500 (1, 00u 1, 00 u ) (0, 64u + 0, 48 0, 64u 0, 48 ) = 0 staaf (4) staaf (5) vertcaa evencht: 1500 (0) (0, 48u + 0,36 0, 48u 0,36 ) + = 0 staaf (4) staaf (5) knoop : horontaa evencht: 1200 (0, 64u 0, 48 0, 64u + 0, 48 ) (0) + staaf 1 staaf ( 0, 64u 0, , 64u + 0, 48 ) + 40, 0 = 0 staaf 5 vertcaa evencht: 1200 ( 0, 48u + 0,36 + 0, 48u 0,36 ) ( 1, , 00 ) + staaf 1 staaf ( 0, 48u 0,36 + 0, 48u + 0,36 ) = 0 knoop : staaf 5 horontaa evencht: 1500 (1,00u 1,0 u ) (0) ( 1,00u + 1,0 u ) = 0 staaf 2 staaf 3 staaf 4 vertcaa evencht: 1500 (0) (1, 00 1, 00 ) (0) = 0 staaf 2 staaf 3 staaf 4 ee bre aan vergekngen verhuen een beete de structuur van het probeem. oor over te stappen op een matrnotate orden de vergekngen hanteerbaar en ordt de structuur heder chtbaar. Hans Weeman an 2007

8 ee acht vergekngen kunnen opgeschoond orden tot het onderstaande stese vergekngen: 22,68 5,76 0,0 0,0 7,68 5,76 15,0 0,0 u H 5,76 4,32 0,0 0,0 5,76 4,32 0,0 0,0 0,0 0,0 22,68 5,76 7,68 5,76 15,0 0,0 u 0,0 0,0 0,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 0,0 100 = 7,68 5,76 7,68 5,76 15,36 0,0 0,0 0,0 u 40,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 28,64 0,0 20,0 0,0 15,0 0,0 15,0 0,0 0,0 0,0 30,0 0,0 u 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 20,0 0,0 20,0 0,0 In dee acht vergekngen tten vf onbekende verpaatsngen aangeen de verpaatsngen t.p.v. de opeggngen nu moeten n. Tevens tten er nog dre onbekende opegreactes n. Samen n er dus acht onbekenden. Inden het stese net afhankek s moet het aanta vergekngen ust vodoen om de onbekenden op te kunnen ossen. s n het stese nks en rechts aes met 1,0 ordt vermengvudgd en de bekende verpaatsngen orden ngevoerd ontstaat het vogende stese: 22,68 5,76 0,0 0,0 7,68 5,76 15,0 0,0 0,0 H 5,76 4,32 0,0 0,0 5,76 4,32 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 22,68 5,76 7,68 5,76 15,0 0,0 u 0,0 0,0 0,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 0,0 0,0 100 = 7,68 5,76 7,68 5,76 15,36 0,0 0,0 0,0 u 40,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 28,64 0,0 20,0 0,0 15,0 0,0 15,0 0,0 0,0 0,0 30,0 0,0 u 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 20,0 0,0 20,0 0,0 e vf onbekende verpaatsngen tten n r 3,5,6,7 en 8. In de vergekngen orden de eementen n koom 1,2 en 4 vermengvudgd met de bekende verpaatsng 0,0 van de opeggng. ee koomeementen doen n de genoemde vergekngen dus net mee. Het bovenstaande stese kan hermee gereduceerd orden tot een stese van vf vergekngen met vf onbekenden: 22,68 7,68 5,76 15,0 0,0 u 0,0 7,68 15,36 0,0 0,0 0,0 u 40, ,76 0,0 28,64 0,0 20,0 = 0,0 15,0 0,0 0,0 30,0 0,0 u 0,0 0,0 0,0 20,0 0,0 20,0 0,0 an dt stese s met een near agebra pakket as bvoorbeed MPLE de opossng te bepaen: u = 0, m; u = 0, m; = 0, m u = 0, m; = 0, m Hans Weeman an 2007

9 e reducte van het stese kan grafsch nchtek orden gemaakt door de ren met voorgeschreven verpaatsngen 0,0 eg te strepen en de daarb behorende koommen ook eg te strepen. (ga dat ef eens na!) 22,68 5,76 0,0 0,0 7,68 5,76 15,0 0,0 0,0 H 5,76 4,32 0,0 0,0 5,76 4,32 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 22,68 5,76 7,68 5,76 15,0 0,0 u 0,0 0,0 0,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 0,0 0,0 100 = 7,68 5,76 7,68 5,76 15,36 0,0 0,0 0,0 u 40,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 28,64 0,0 20,0 0,0 15,0 0,0 15,0 0,0 0,0 0,0 30,0 0,0 u 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 20,0 0,0 20,0 0,0 MPLE code > restart; > th(nag): > K:=matr([[22.68,-7.68,-5.76,-15,0],[-7.68,15.36,0,0,0], [-5.76,0,28.64,0.0,-20], [-15,0,0.0,30,0], [0,0,-20,0,20]]); > F:=nverse(K); > oad:=vector([0,40/100,0,0,0]); > dsp:=mutpy(f,oad); Hermee n de onbekende verpaatsngen opgeost. e onbekende opegreactes kunnen orden gevonden door de nu bekende verpaatsngen n te vuen n de vergekngen 1,2 en 3 de horen b de voorgeschreven verpaatsngen 0,0 (opeggngen). e vergekngen voor de bepang van de opegreactes orden hermee: 0,0 0,0 0, H 22,68 5,76 0,0 0,0 7,68 5,76 15,0 0,0 0,0 H 100 5, 76 4,32 0, 0 0, 0 5, 76 4,32 0, 0 0, 0 = 0, ,0 0,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 0,0 0, , , Uterken evert: = 40,0 kn; =+ 15,0 kn; = 15,0 kn H e krachten n de staven kunnen bepaad orden door per staaf vergekng (2) ut te erken met de verpaatsngen van de knopen aartussen de staaf s gepaatst. u E = [ ] u N Hans Weeman an 2007

10 Uterken evert voor dt vakerk: (1) (2) (3) N = 25,0 kn; N = 20,0 kn; N = 0,0 kn (4) (5) N = 20,0 kn; N = 25,0 kn Ut het voorbeed mag bken dat de verpaatsngenmethode een ongeschkte methode s voor een snee handberekenng. e gevogde procedure aat ch echter goed programmeren en heeft as voordee dat er geen ondersched hoeft te orden gemaakt tussen statsch bepaade en statsch onbepaade vakerken. e verpaatsngenmethode s generek toepasbaar op eder vakerk dat knematsch bepaad s. In een ets andere gedaante s de verpaatsngenmethode voor staaferken vererkt n de hudge rekenappcates. ee methode vogt de procedure van de Endge EementenMethode (EEM) en s een van de ondererp van het coege T3110 onstructemechanca 5. Met name het opsteen van het stese vergekngen kan b de EEM op een eer effcënte e orden ngercht hetgeen n dee ntroducte buten beschoung s geaten. e uterkng hervan s toegepast n het educateve vakerkprogramma TRUSS3 4 dat van de ebste kan orden gedonoad. Opschang naar 3 de opschang naar dre dmenses verandert er aan de aanpak nets. In edere knoop kunnen nu dre verpaatsngen optreden (u, v en ) en de hoek tussen de staaf en de -, y- en -as ordt nu aangedud met: cosα = cos (, ) = ; cos β = cos ( y, ) = ; cosγ = cos (, ) = y e dre beangrkste utdrukkngen de utgebred moeten orden n de vergekngen (1), (2) en (3). u v = [ cosα cos β cosγ cosα cos β cosγ] u v (1b) , J.W. (Hans) Weeman Hans Weeman an 2007

11 Hermee verandert vergekng (2) tot: N u v E = [ cosα cos β cosγ cosα cos β cosγ] L u v (2b) e kracht op de knoop t.g.v. een normaakracht n een staaf heeft nu dre componenten: F = N cosα y = F N cos β F = N cosγ (3b) F = N cosα y F = N cos β F = N cosγ e krachten op de knopen utgedrukt n de nog onbekende verpaatsngen van knoop en orden hermee: F ( ) y y e u F y y y y y y v y F E y y = F L y y u y y y y y v y Fy y y F Het aanta evenchtsvergekngen per knoop moet utgebred orden van tee naar dre. e systematek bft verder dentek. Hans Weeman an 2007