OPGAVE 7 : ARBEID EN ENERGIE

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "OPGAVE 7 : ARBEID EN ENERGIE"

Christian de Boer
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 OPGAVE 7 : ARBD EN ENERGIE In de onderstaande figuur is een op druk beaste buigzame staaf weergegeen die haerwege beast wordt met een etra kracht. De normaakracht in de staaf is hierdoor niet constant. β, u z,w Vraag Bepaa met een arbeid/energie methode een uitdrukking oor de knikast. Teken het erband tussen de factor β en de knikast in een grafiek. Stuur je opossing per omgaande naar j.w.weeman@tudeft.n. Zorg oor een nette onderbouwing an je antwoord en de eerste inzender met het correcte antwoord wordt beoond. Ir J.W. Weeman maart opdracht 7

2 UITWERKING Theorie Een eenwicht is stabie as bij iedere oergang naar een naburige kinematisch mogeijke configuratie de door de beasting errichte arbeid keiner is dan de benodigde erormingsenergie. As we dit toepassen op een buigzame, op druk beaste staaf zoas in de onderstaande figuur is weergegeen dan za de puntast arbeid errichten door de erpaatsing in de richting an de kracht en za in de uitknikkende staaf de energie worden opgesagen in de orm an erormingsenergie oor etensie en buiging., EA u Voor uitknikken, aeen etensie u Na uitknikken, etensie en buiging iguur : Buigzame op druk beaste staaf, knikstaaf an Euer Vak oor uitknikken is er aeen sprake an erorming door etensie immers de staaf is nog niet gebogen. Voor de erormingsenergie gedt: E EA ε Na uitknikken is er we een kromming en gedt oor de erormingsenergie: E κ EAε + Bij het angzaam erhogen an de aiae beasting za juist oor en juist na uitknikken de normaakracht in de staaf geijk zijn. De aiae rek is dan oor beide situaties ook geijk waarmee het aandee in de erormingsenergie t.g.. etensie juist oor en na uitknikken dus ook geijk moet zijn. Dit houdt in dat bij de oergang an de rechte staaf naar de uitgeknikte staaf er een toename paats indt an de erormingsenergie die juist geijk is aan aeen de erormingsenergie t.g.. buiging: E κ d d w Ir J.W. Weeman maart opdracht 7

3 Deze erormingsenergie is geijk aan de door de puntast errichte arbeid in de oergang an de rechte naar de gebogen toestand. Deze arbeid is geijk aan: A u Deze horizontae erpaatsing kan worden uitgedrukt in de erticae uitbuiging met behup an de steing an Pythagoras:, u z, w w du ( ) ( d w) iguur : Keine horizontae en erticae erpaatsingen De engte an de staaf bijft immers oor en na uitbuigen oneranderd. De geonden uitdrukking oor horizontae erpaatsing beat een ereende worte-functie met een kwadratische afgeeide. Deze uitdrukking kan met behup an een Tayor-reeks ontwikkeing worden benaderd (met erwaarozing an de hogere orde termen) tot : w dw du ( ) ( dw) du De totae horizontae erpaatsing is na integreren oer de totae staafengte geijk aan: u Geijksteen an de arbeid t.g.. deze horizontae erpaatsing aan de erormingsenergie t.g.. buiging eert uiteindeijk de ergeijking waarmee de knikast kan worden geonden: E A dw d d w Er is nog juist eenwicht mogeijk as de arbeid geijk is aan de ormeranderingsenergie. Aan deze aanpak is de naam erbonden an Rayeigh. Door een knikorm w() aan te nemen kan een knikast worden bepaad. Deze knikast is hoger dan de werkeijke knikast en dat is iets om goed in de gaten te houden want de opossing is daarmee oneiig! Hoe beter het aangenomen erpaatsingsed past bij de werkeijke knikorm, hoe nauwkeuriger de knikast za zijn. De knikorm moet uiteraard odoen aan de kinematische eisen aan de randen m.b.t. de erpaatsing en hoekerdraaiing maar za i.h.a. niet odoen aan ae eenwichtseisen. Hierdoor kunnen er dus (keine) afwijkingen optreden. As de werkeijke uitbuigingsorm wordt aangenomen dan za dit de eacte knikast geen. Ir J.W. Weeman maart opdracht 7

4 Toepassing De theorie passen we toe op de opgae. z,w β w(), u Voor deze opdracht nemen we een sinusormige knikorm aan: π w( ) C sin Deze uitbuigingsorm eidt tot aiae erpaatsing angs de iggeras: d d 4 w C π π π u( ) cos( )sin( ) + π C π u( ) 8 C π u( ) 4 Punten op de iggeras zuen door uitbuigen zodoende naar inks erpaatsen. Beide puntasten β en die in de negatiee -richting werken, zuen hierdoor positiee arbeid errichten: C π C π Auitw ( β ) + ( ) 8 4 C π Auitw ( β + ) 8 Deze arbeid moet geijk zijn aan de opgesagen ormeranderingsenergie door buiging: () 4 d π κ d d 3 4 w C E () Geijksteen an () en () eert: k π π α met: α ( β + ) β + Deze uitkomst kan geschreen worden in de orm an een knikfactor α maa de knikast ogens Euer oor de op druk beaste staaf met aeen een ast op het rechter uiteinde. Ir J.W. Weeman maart opdracht 7

5 Deze zeer handzame uitdrukking is getoetst aan numerieke uitkomsten met een eementenprogramma. In de onderstaande tabe zijn de erschien weergegeen en is in een figuur het erschi weergegeen tussen de knikfactor ogens Rayeigh en de numerieke resutaten oor erschiende waarden an β : β Rayeigh emdem Verschi %, , ,35, ,66647,9,54, ,6 3, ,393537,5 4, , ,58 5, , ,93 6,5, ,4 7,46695, ,4 8, , ,55 9,88755, ,76, , ,95,,8,6,4, Knikfactor β Rayeigh emdem De opossing odoet goed, de erschien nemen geeideijk aan toe tot ca 3,5 % oor een puntast haerwege de igger weke maa de grootte heeft an de puntast op het uiteinde. Uit de resutaten at op dat de numerieke uitkomsten aemaa een knikfactor geen die ager is dan de ogens Rayeigh geonden waarde hetgeen odoet aan onze erwachtingen. Werkeijke erpaatsingsed De aangenomen sinusorm za niet de echte knikorm zijn want beide deen an de igger hebben een erschiende normaakracht. De beide staafdeen hebben daarmee een erschiende DV: 4 d w d w + 4 ( β + ) 4 d w d w + 4 De agemene opossing an de beide staafdeen eeren hiermee sinus en cosinus opossingen met een erschiende perioden. ( + β ) w ( ) C + C + C3 sin ( α) + C3 cos( α) α w ( ) D + D + D3 sin ( α) + D3 cos ( α) α De aangenomen sinusorm met één enkee periode kan dus niet de juiste zijn. Verder uitwerken an de eacte route wordt hier niet geraagd. De aanpak za echter bekend zijn, ste de 8 randen oergangsoorwaarden op waaraan de beide opossingen moeten odoen. Er resteert een homogeen stese ergeijkingen waar aeen een niet triiae opossing oor te inden is indien de determinant an het stese geijk is aan nu. Opossen an de karakteristieke ergeijking eert de uitdrukking oor de knikast. Een gesoten uitdrukking za dit niet opeeren en daarom is de methode an Rayeigh eeganter. Ir J.W. Weeman maart opdracht 7

Vergelijkbare documenten

ARBEIDS- en ENERGIEMETHODEN. Opgave 0 : Ligger met een koppel. Opgave 1 : Niet-lineair last-zakkingsdiagram. Opgave 2 : Horizontaal belast raamwerk

ARBEIDS- en ENERGIEMETHODEN. Opgave 0 : Ligger met een koppel. Opgave 1 : Niet-lineair last-zakkingsdiagram. Opgave 2 : Horizontaal belast raamwerk ARBDS- en ENERGIEMETHODEN Opgave 0 : Ligger met een koppe Van de rechts weergegeven igger wordt gevraagd om de rotatie in het rechter steunpunt ten gevoge van het koppe T te bepaen met behup van de e steing