Doorbuiging. Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (10)

Transcriptie

1 Rekenvoorbeeden bij Eurocode (0 In de serie met rekenvoorbeeden, waarin de diverse onderdeen van de Eurocode worden toegeicht, is het in dit tiende artike de beurt aan doorbuiging In het voorbeed wordt een statisch bepaade igger behanded Rekenvoorbeed (EC, par743 Een voorbeed wordt behanded waarin de angeduur doorbuiging wordt berekend van een statisch bepaade igger beast op zuivere buiging Bereken de angeduur doorbuiging van een geijkmatig verdeed beaste, statisch bepaade igger met rechthoekige dwarsdoorsnede (fig Uitgangspunten overspanning: = 0 m totae hoogte doorsnede: h = 700 mm nuttige hoogte doorsnede: d = 650 mm De kruipcoëfficiënt is afgeeid met behup van EC figuur 3: voor een binnenmiieu met RV = 50%, h 0 = A c /u = 9 mm, t 0 = 30 d, cementsoort N en betonsterktekasse C30/37 kan φ(,t 0 worden afgeezen De vrije krimpvervorming is opgebouwd uit uitdrogingskrimp en autogene krimp Voor de uitdrogingskrimp is uit EC tabe 3 af te ezen dat bij een RV = 50% en betonsterktekasse C30/37 de nominae onbeemmerde uitdrogingskrimpverkorting ε cd,0 = Voor t = is β ds (t,t s = (EC; vg (30 EC tabe 33 geeft k h = 0,76 voor h 0 = 9 mm De uitdrogingskrimp is dan ε cd (t = De autogene krimpverkorting voor f ck = 30 N/mm en t = (waardoor β as (t = ; zie EC vg (33 is dan ε ca (t = ε ca ( =,5 ( = (EC; vg (3 en (3 De bak is in het ongescheurde stadium zoang het scheurmoment niet is bereikt Om het gedrag te beschrijven wordt voor de treksterkte van het beton de waarde f ctm aangehouden (EC; art 7 ( & tabe 3 Voor sterktekasse C30/37 is f ctm =,9 N/mm quasi-bijvend aanwezige beasting (de bijvende beasting pus het quasi-bijvende dee van de veranderijke beasting: q Eqp = q G,k + ψ q Q,k = 80 kn/m betonsterktekasse: C30/37 betonstaa: A s = 945 mm kruipcoëfficiënt φ(,t 0 =,0 vrije krimpvervorming ε cs = De artikeenserie is vertaad en bewerkt door drirdrs René Braam (TU Deft, fac CiTG / Adviesbureau ir JG Hageman BV en afgestemd met Voorschriftencommissie 0 Het is toegestaan de buigtreksterkte (EC art 38 in paats van de centrische treksterkte aan te houden (EC art 743 (4 Dan moet echter we worden aangetoond dat geen normaatrekspanningen optreden In dit rekenvoorbeed wordt afgezien van het rekenen met de buigtreksterkte Uitwerking Het scheurmoment is: cr = Wf ctm =,9 = Nmm

2 Afkortingen EC = NEN-EN 99-- NB = Nationae Bijage Zijaanzicht en dwarsdoorsnede van de igger z g + q Opgemerkt wordt dat in deze uitwerking de invoed van het aanwezige betonstaa niet is meegenomen bij het berekenen van het weerstandsmoment Uiteraard is dat we toegestaan As het scheurmoment is overschreden, wordt het moment opgenomen door de combinatie van een staatrekkracht en een betondrukzone De drukzonehoogte vogt uit: A s 500 x = ( α e ρ + _ (α e ρ + α e ρ d α e = E s E c De verhouding tussen de easticiteitsmodui van staa en beton (α e wordt berekend uitgaande van de effectieve easticiteitsmoduus van beton (EC; vg (70: E cm = + φ (,t 0 et E cm = N/mm (EC; tabe 3 en φ(,t 0 =,0 is = 000 N/mm en α e = 00/ = 8, et ρ = A s /(bd =0,009 is α e ρ = 0,65 x = 0,65 + 0,65 + 0,65 = 0,433 d De drukzonehoogte in het gescheurde stadium: x = 8 mm De werkeijk optredende kromming wordt gevonden door te interpoeren tussen de krommingen die worden gevonden voor het ongescheurde en het gescheurde stadium (EC; art 743( & vg (78 In het ongescheurde stadium (subcript I is de kromming: Eqp κ I = = _ Eqp ( EI I bh 3 In deze uitdrukking is de invoed van het betonstaa op het traagheidsmoment verwaaroosd Net as bij het berekenen van het scheurmoment mag deze invoed uiteraard we worden meegenomen In het gescheurde stadium (subscript II wordt uiteraard de invoed van het betonstaa we meegenomen: κ II = ( EI II ( EI II = ( bx3 + ( bx ( x + α e A ( s d x Deze uitdrukking vogt uit het traagheidsmoment van de betondrukzone en het betonstaa ten opzichte van de neutrae ijn in het gescheurde stadium (fig Voor het betonstaa is aeen de bijdrage vogens de rege van Steiner toegepast; het traagheidsmoment van de wapening om het eigen zwaartepunt is verwaaroosd et Eqp = q Eqp /8 = 80 (0 0 3 /8 = Nmm, = 000 N/mm, b = 500 mm en h = 700 mm is: Eqp κ I = = ( EI I,57 0 = 6, mm et α e = 8,, A s = 945 mm en x = 8 mm is: Eqp κ II = = ( EI II, 0 = 8, mm De verdeingsfactor die rekening houdt met de tension stiffening in een doorsnede (EC; vg (79 ζ = β ( σ sr σ s,qp mag voor zuivere buiging worden geschreven as: ζ = β ( cr Eqp Bij aanhoudende beastingen is β = 0,5 Voor cr = Nmm en Eqp = Nmm is ζ = 0,5 ( = 0,993 De invoed van de tension stiffening is in dit rekenvoorbeed dus reatief gering; een berekening op basis van een gescheurde doorsnede evert bijna hetzefde resutaat as een berekening waarin wordt geïnterpoeerd tussen de ongescheurde en de voedig gescheurde toestand Dit komt voort uit het feit dat het beschouwde moment Eqp vee groter is dan het scheurmoment cr

3 b Schematisatie gescheurde rechthoekige doorsnede ten behoeve van het berekenen van het traagheidsmoment 3 Statisch bepaade igger: Schematische weergave van de momentenijn, het veroop van de buigstijfheid en de kromming voor enkee verhoudingen max / cr neutrae ijn betondrukzone d - x x De kromming ten gevoge van de uitwendige beasting Eqp is: κ qp = ζ κ II + ( ζ κ I = ( 0,993 8,6 + ( 0,993 6, = 8,5 0 6 mm A s De bijdrage aan de kromming door krimp wordt afzonderijk in rekening gebracht (EC; vg (7: κ cs = r cs = ε cs α e S I In deze berekening wordt verondersted dat het betonstaa de krimpvervorming van het beton gehee meemaakt Bij een verkorting van het betonstaa wordt dan in het betonstaa een drukkracht opgebouwd Deze kracht wordt vervogens osgeaten op de doorsnede Uit de igging van het betonstaa in de doorsnede vogt uit kracht maa arm (bij een excentrische igging een buigend moment Dit buigend moment wordt op de ongescheurd en op de gescheurd veronderstede gewapendbetondoorsnede aangebracht et de uitdrukking worden de hierdoor veroorzaakte krommingen berekend Uit een interpoatie tussen het ongescheurde en het gescheurde stadium vogt een gemiddede kromming De vrije krimpvervorming ε cs = ; α e = E s / =8, S is het ineaire oppervaktemoment van de wapening ten opzichte van de zwaarteijn van de doorsnede; I is het kwadratische oppervaktemoment van de gehee doorsnede, dus van het beton en het staa Ongescheurd stadium As de invoed van het betonstaa niet in rekening wordt gebracht, bevindt de zwaarteijn zich in het zwaartepunt van de betondoorsnede: S I = A s ( d h I I = bh3 Waarin in I I de invoed van het betonstaa weer buiten beschouwing is geaten Gescheurd stadium Nu bevindt de zwaarteijn van de doorsnede zich ter hoogte van de neutrae ijn (onderkant van de betondrukzone; zie ook figuur : S II = A s ( d x I II = bx 3 + ( bx ( x + α e A s ( d x et A s = 945 mm, d = 650 mm, h = 700 mm, b = 500 mm en x = 8 mm: S I = mm 3 S II = mm 3 I I = 4,3 0 9 mm 4 I II =,0 0 9 mm 4 к cs,i = = ε r cs α S I e =,3 0 3 ε cs,i I cs I κ cs,ii = = ε r cs α S II e =, ε cs,ii I cs II De kromming ten gevoge van de krimp wordt gevonden door interpoatie tussen de uiterste toestanden ongescheurd en gehee gescheurd (EC; vg (78: κ cs = ζ κ cs,ii + ( ζ κ cs,i = ( 0,993,80 + ( 0,993,3 0 3 ε cs =, ε cs et een vrije krimpvervorming ε cs = vogt een bijdrage aan de kromming κ cs = 0, mm - De totae kromming is de som van de kromming uit uitwendige beasting (κ qp en de kromming uit krimp (κ cs : κ tot = κ qp + κ cs = 8, , = 9, mm Bij een geijkmatig verdeede beasting is de doorbuiging in het midden van de overspanning van de gescheurde igger bij benadering geijk aan: 5 q u* = EI = 5 8 max _ 384 EI EI = ζ I + ( ζ = 5 48 κ max

4 max < cr max cr K = max >> cr cr max max =,3 cr cr max K K 3 Voorgaande uitdrukking voor de optredende doorbuiging in het midden van de overspanning geeft een bovengrens voor de doorbuiging die za optreden Immers, de middendoorsnede van de igger heeft de grootste verhouding ζ = en dus de geringste tension stiffening en, as gevog daarvan, de keinste gewogen buigstijfheid Tevens zuen deen van de igger ongescheurd zijn, waardoor hier gerekend zou mogen worden met de ongescheurde buigstijfheid Het integreren van de krommingen over de igger geeft dan de doorbuiging Echter, omdat de doorsneden in het midden van de overspanning veruit de grootste bijdrage everen aan de doorbuiging, wordt de werkeijke doorbuiging meesta vodoende nauwkeurig benaderd met deze eenvoudige uitdrukking voor u* Een anaytische opossing of een nauwkeurige berekening waarin de igger wordt opgedeed in mootjes met ek een eigen moment en kromming, kan uiteraard ook worden uitgevoerd Het is mogeijk dat deze extra rekeninspanning in bepaade situaties onend is et name as het grootste moment beperkt groter is dan het scheurmoment kan deze extra rekeninspanning onend zijn In figuur 3 zijn ter iustratie enkee voorbeeden getoond van het schematische veroop van de buigstijfheid en de kromming over de engte-as van de igger Dit is gedaan voor enkee verhoudingen max / cr As eenvoudig wordt gerekend op basis van de grootste kromming, de kromming in het midden van de overspanning, vogt: κ max = κ tot =9, mm - et de overspanning = mm vogt voor de angeduur doorbuiging van de igger u* = 93,8 mm = /07 De gehee berekening opnieuw uitvoeren voor Eqp = Nmm bij een ongewijzigde cr = Nmm geeft κ max = 4, mm - De angeduur doorbuiging van de igger u* = 50,5 mm = /98 De invoed van de tension stiffening komt duideijker naar voren as het moment Eqp beperkt groter is dan cr Dit za met name optreden bij een reatief age wapeningsverhouding: De verhouding tussen het moment in het gebruiksstadium en het scheurmoment neemt dan af, hetgeen een grote invoed heeft op de variabee ζ die, in combinatie met β, bepaat waar de gemiddede toestand tussen de ongescheurde en de gescheurde toestand is geegen Zo is bijvoorbeed voor A s = 500 mm (ρ = 0,0046 en Eqp = Nmm bij een onveranderde cr = Nmm ζ = 0,83 et = 57 0 Nmm en I = 75 0 Nmm vogt via κ I =,7 0-6 mm - en κ II =, mm - een κ qp =,4 0-6 mm - voor de kromming door het moment in het gebruiksstadium Voor de krimpvervorming is κ cs,i = 0,4 0-6 mm - en κ cs,ii = 0,7 0-6 mm - en is κ cs = 0, mm - De totae kromming is dan κ max =, , = 3, mm - en de angeduur doorbuiging van de igger u* = 3,8 mm = /34 In voorgaande berekeningen is de doorbuiging berekend door ervan uit te gaan dat de igger een over de gehee engte constante buigstijfheid heeft, geijk aan de gewogen buigstijfheid van de middendoorsnede Voor het bepaen van deze buigstijfheid is uitgegaan van het grootste moment (het moment in de middendoorsnede van de overspanning Dit is, zoas eerder vermed, een conservatieve aanname aangezien (

5 4 sveroop, orientatie x-as en momentenijn ten behoeve van de anaytische opossing 5 Rechthoekige doorsnede uit het rekenvoorbeed met een wapeningsverhouding ρ = 0,9% Geschaade doorbuiging (u / u I en reatieve engte van de gescheurde iggerdeen (ξ = x / as functie van het beastingsniveau (λ = max = Eqp x = 0 x x = - x = + u (x 4 max gedeeten van de igger ongescheurd zuen zijn en ( ae andere gescheurde doorsneden onderworpen zijn aan een moment keiner dan het moment in de middendoorsnede waardoor zij een reatief grotere tension stiffening ondervinden en dus een grotere gewogen buigstijfheid bezitten Voor de hier besproken igger kan de doorbuiging nog reatief eenvoudig anaytisch worden beschreven Uitgegaan wordt van het assenstese weergegeven in figuur 4 De positie van de oorsprong van het assenstese is met opzet zodanig gekozen dat het geegen is in een punt waar geen hoekverdraaiing optreedt De doorbuiging in het midden van de overspanning is: x=/ x=/ u = ( x = max ( voor (x < cr : EI ( x = voor (x > cr : κ(xδxδx = x x=/ x=/ (x δxδx EI(x u = x=x ( x=/ β ( cr (x δxδx + β ( cr (x x=o (x x=/ (x δxδx I (x δxδx + Parameteriseren via ξ = x/ en de uitdrukking voor (x substitueren evert: ξ=ξ ξ=ξ u = max ( 4ξ _ δξδξ ξ=0 ξ=0 I ( I ξ=/ ξ=/ ξ=ξ ξ = x / ξ=ξ max ( 4 ξ δξδξ _ ξ=ξ ξ=0 ξ=ξ ξ=0 Verder uitwerken evert as eindresutaat: u = 5 max _ ( + (c [ 48 ( 5 ξ 3 ξ 4 6β 5λ ( c {( ξ n ( ξ + ( + ξ n ( + ξ } ] β cr _ max ( 4ξ δξδξ + EI ( x = ζ ( x I + ( ζ ( x met: ζ (x = β ( cr (x In deze berekening wordt in feite afgeeid hoevee de rechter opegging hoger is geegen dan de middendoorsnede van de igger Dit is hetzefde as het berekenen van de doorbuiging ten opzichte van de opeggingen De doorbuiging is: (x x=/ u = EI(x δxδx + x=/ (x δxδx c = / I en λ = max De igging van de doorsnede waarin het scheurmoment wordt bereikt, wordt gevonden uit: max ( 4ξ = cr Dus gedt: ξ = λ λ et de uitdrukking voor de doorbuiging in het midden van de overspanning kan voor een specifieke wapeningsverhouding worden onderzocht hoe groot het verschi is tussen de bovengrensbenadering (u* en de exacte opossing (u

6 ,4, u/u ξ Tabe van de middendoorsnede u in verhouding tot de doorbuiging bij een gehee ongescheurd veronderstede igger (met een rechthoekige doorsnede met ρ = 0,9% u I ; verschi tussen exacte opossing en bovengrensbenadering voor λ = Eqp = voor diverse waarden voor de tension stiffening parameter β tension stiffening parameter β 0 0,5 bovengrensbenadering,3,5, anaytische opossing,65,58,5 verschi % 8% 5% 5 u/u, en ξ =ІІ 0,8 0,6 0,4 0, λ = max / cr In figuur 5 is voor de igger uit het rekenvoorbeed met A s = 945 mm (wapeningsverhouding 0,9% de doorbuiging in het midden van de overspanning u /u I uitgezet as functie van λ Hierin is: u I = 5 max _ = 5 Eqp Uitgegaan is van β = 0,5 voor het beschrijven van de tension stiffening Voor de betreffende igger zijn de buigstijfheden reeds bekend en kan worden berekend dat de verhouding van de buigstijfheden c = / I =,57/, =,30 Dit betekent dat de verhouding tussen de doorbuigingen in het midden van de overspanning u en u I maximaa geijk za zijn aan,30 (horizontae asymptoot u/u I =,30 in fig 5 Immers, een bovengrens voor de doorbuiging wordt gevonden door uit te gaan van de gescheurde buigstijfheid, dus zonder rekening te houden met tension stiffening Een toename van λ betekent een toename van Eqp, hetgeen een reatieve afname van de invoed van tension stiffening tot gevog heeft As λ = Eqp nadert tot, nadert ξ tot 0,5 (horizontae asymptoot in fig 5 en wordt de doorbuiging u geijk aan de doorbuiging die optreedt bij een gehee ongescheurde igger: u = u I = 5 Eqp De invoed van de tension stiffening wordt nu nader bekeken voor λ = Voor β = 0,5 (fig 5 is u =,58 u I As β = 0 is de invoed van de tension stiffening uitgeschaked en is u =,65 u I Een andere uiterste situatie wordt bereikt voor β = Dan is de invoed van de tension stiffening zo groot as mogeijk en is u =,50 u I De invoed van de tension stiffening is in dit voorbeed reatief gering Immers, voor λ = Eqp = voor de middendoorsnede en β = 0,5 is in de middendoorsnede: ζ = β ( cr Eqp = 0,875 Dan is voor c = / I =,30 de gewogen stijfheid in de middendoorsnede: EI = ζ I + ( ζ = (0, ,5,30 I =,04I Voor de middendoorsnede is het verschi tussen gewogen buigstijfheid en de gescheurde buigstijfheid dus sechts 4% De bovengrensbenadering van de doorbuiging evert dan: u* = 5 Eqp = 5 Eqp = 5 Eqp 48 EI 48,04I 48,04 /,30 = 5,5 Eqp =,5u I De anaytische opossing (fig 5 geeft u =,58 u I Het verschi tussen de bovengrensbenadering en deze opossing komt voort uit twee eerder genoemde invoeden: ongescheurde iggerdeen; het onderschatten van de tension stiffening door de middendoorsnede as bepaend voor de invoed van de tension stiffening te verondersteen Voor β = 0 is de invoed van de tension stiffening uitgeschaked en is gevonden u =,65 u I Een bovengrensberekening voor de middendoorsnede evert dan u* =,30u I Het verschi tussen deze resutaten komt voort uit de invoed van de ongescheurde iggerdeen As β = is de invoed van de tension stiffening maximaa en is ζ = 0,75 Dan is de gewogen buigstijfheid EI =,075I en is u* =,u I Tabe geeft een overzicht van de resutaten verkregen voor λ = De voorgaande uitwerkingen maken het mogeijk een verandering in de variabeen eenvoudig door te voeren Er wordt nadrukkeijk op gewezen dat de resutaten van de berekeningen sterk afhankeijk kunnen zijn van de gekozen invoergegevens De vermede resutaten zijn dus zeker niet agemeen gedig; zij zijn aeen opgenomen om de rekenmethodiek te iustreren 0 0 9