Tentamen Analyse van Continua

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Tentamen Analyse van Continua"

Josephus van der Pol
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Tentamen Anase van Continua d.d. 10 januari 2008, uur Code: 4Q410 BMT-2.1 Facuteit Biomedische Technoogie Technische Universiteit Eindhoven Dit tentamen omvat 10 vraagstukken. De vraagstukken zijn in geijke mate bepaend voor het eindcijfer. De in dit tentamen voorkomende vectoren en tensoren worden gerepresenteerd met koommen en matrices waarvan de componenten zijn betrokken op een cartesisch z-coördinatenssteem; e, e en e z zijn eenheidsvectoren angs de assen van dit coördinatenssteem. Vraagstuk 1 In een rechthoekig paatje bioogisch materiaa ABCD is het twee-dimensionae ineaire temperatuurved (temperatuur T uitgedrukt in o C) gegeven door midde van isothermen, zie onderstaande figuur. D 30 C cm 20 A 8 cm B Bereken de directionee afgeeide dt de angs de diagonaen AC en BD. Vraagstuk 2 De spanningstoestand in een bokje materiaa, dat zich in een cartesisch z-coördinatenssteem bevindt, is gedefinieerd door midde van de spanningsmatri σ vogens: σ = (uitgedrukt in Ma) Bepaa de eenheidsnormaa op het vakje waarop de grootste normaaspanning werkt. 1

2 Vraagstuk 3 Gegeven is het (twee-dimensionae) sneheidsved voor een stationair stromend continuüm: v = 2 3 v = 1 2 Hierbij zijn en ruimteijke coördinaten (uitgedrukt in m) terwij v en v de sneheidscomponenten in - en -richting zijn (uitgedrukt in ms 1 ). Het sneheidsved is gedig voor het in onderstaande figuur gearceerd weergegeven domein: 1 2. = 2 = Beschouwd wordt het materiëe deetje dat op een bepaad tijdstip (bijvoorbeed t = 0) het gearceerde domein instroomt op de positie met coördinaten = 1, = 1, aangegeven in de figuur. Bereken de -coördinaat van de paats waar het betreffende deetje het gearceerde domein (bij = 2) weer veraat. Vraagstuk 4 De materiëe punten van een deformerend continuüm worden geïdentificeerd met de positievectoren 0 van die punten in de referentieconfiguratie op tijdstip t = 0. Het deformatieproces wordt beschreven (Lagrange beschrijvingswijze) met de actuee positievectoren as functie van 0 en de tijd t, vogens: ( 0, t) = 0 + α 0 t β t z 0 met α en β constant Bepaa het versneingsved as functie van de tijd in een Euer beschrijvingswijze, met andere woorden, geef de uitdrukking voor ã = ã(, t) met ã = ṽ = ẍ. 2

3 Vraagstuk 5 Een bovormig vat van incompressibe materiaa heeft in de referentietoestand een buitenstraa R. Het middepunt van het vat is in de referentietoestand gepositioneerd in de oorsprong van een cartesisch z-coördinatenssteem. De aandacht wordt gericht op een punt A, geegen op de paats waar de -as het buitenoppervak van het vat snijdt, zie onderstaande figuur. Het vat wordt opgebazen tot de buitenstraa geijk is aan 2R. e z e A e Bepaa voor de gedeformeerde toestand de Green-Lagrange rektensor E ter paatse van het punt A, ten opzichte van de referentietoestand. Vraagstuk 6 Beschouwd wordt een homogeen deformerend stukje materie dat zich in een cartesisch zcoördinatenssteem bevindt (basisvectoren e, e, e z ). Van drie materiëe punten A, B en C zijn de positievectoren in de referentietoestand gegeven: 0A = a e, 0B = a e, 0C = a e z met a een constante. Eenvoudig kan worden berekend dat voor de eenheidsnormaa n 0 op het (materiëe) vakje door die drie punten gedt: n 0 = ( e + e + e z ) De (afschuiving beschrijvende) deformatietensor die de vervormde toestand reateert aan de referentietoestand uidt: F = I + e e met I de eenheidstensor. Bereken de eenheidsnormaa op het vakje door A, B en C in de vervormde toestand. 3

4 Vraagstuk 7 In een cartesisch z-coördinatenssteem bevindt zich een rechthoekig paatje materiaa met constante dikte h. Daarbij gedt:, 2 2. Het paatje wordt in - en -richting geijkmatig opgerekt met een resuterende kracht, zowe in - as in -richting, zie onderstaande figuur. In dikte-richting (z-richting) kan het paatje vrij contraheren zodat er sprake is van een (homogene) vakspanningstoestand. z 2 4 Het materiaa gedraagt zich eastisch vogens de ineaire wet van Hooke, gekarakteriseerd door de easticiteitsmoduus E = 10 Ga en de dwarscontractiecoëfficiënt ν = 1/3. De beasting is zodanig dat de reevante rekken (ε, ε en ε zz ) kein verondersted kunnen worden. Bewijs: ε = 5ε. Vraagstuk 8 Een bokje incompressibe bioogisch materiaa (in de referentietoestand kubusvormig: ) is geegen in een cartesisch z-coördinatenssteem, zie inker figuur. Het bovenvak wordt met constante sneheid V in negatieve z-richting verpaatst. In -richting worden de verpaatsingen verhinderd, in -richting kan het bokje vrij uitzetten. Verondersted mag worden dat de deformatie homogeen veroopt. Het materiaa kan worden opgevat as een Newtonse voeistof waarvan het gedrag wordt beschreven door de vergeijking σ = p I + 2η D met σ de spanningstensor, p de (te bepaen) hdrostatische druk, I de eenheidstensor, η de viscositeit en D de deformatiesneheidstensor. z z 2/3 3/2 Bepaa voor het tijdstip dat de momentane hoogte van het bokje nog 2/3 bedraagt (rechter figuur) de op het bovenvak werkende resuterende kracht F in (negatieve) z-richting. 4

5 Vraagstuk 9 In een cartesisch coördinatenssteem wordt een hoeveeheid materie beschouwd die momentaan, op een tijdstip t, een voume V (t) inneemt. De momentane, van de positievector afhankeijke dichtheid van de materie wordt aangegeven met ρ = ρ(, t), de momentane sneheid met v = v(, t). Voor de kinetische energie U kin = U kin (t) van de materie in het voume V (t) kan genoteerd worden: U kin (t) = 1 ρ v v dv 2 V (t) Bewijs dat voor de (materiëe) tijdsafgeeide van de kinetische energie gedt: U kin = ρ v a dv met a = v V (t) Vraagstuk 10 Een rechthoekig paatje isotroop materiaa bevindt zich in een cartesisch z-coördinatenssteem. Aan de inkerzijde is het paatje ingekemd, aan de rechterzijde wordt het paatje beast door twee even grote krachten. Er is smmetrie ten opzichte van de -as, zie onderstaande figuur. A B In het paatje heerst een vakspanningstoestand. Beschouwd worden twee punten A en B die ten opzichte van de -as smmetrisch zijn gepositioneerd. In punt A gedt voor de componenten van de spanningstensor: σ = 10 Ma, σ = 12 Ma en σ = σ = 6 Ma. Bepaa σ, σ, σ en σ voor punt B. 5

6 Antwoorden tentamen Anase van Continua, d.d Langs AC: dt de = ± 1, 2 o C/cm, angs BD: dt de = ± 0, 4 o C/cm. 2. ñ = ± Het deetje veraat het domein bij = 4 m. 4. ã(, t) = 2α( βt) E = 3 2 ( e e + e z e z ) e e 6. n = ( e + e z ) 7. ε = 12Eh, ε = 5 12Eh dus: ε = 5 ε 8. F = 9ηV 9. Op basis van de baans van massa: U kin (t) = 1 ρ v v dv = 1 ρ 0 v v dv 0 2 V (t) 2 V 0 Vervogens: U kin = 1 ρ 0 ( a v + v a)dv 0 = ρ 0 v a dv 0 = 2 V 0 V 0 V (t) ρ v adv 10. In punt B: σ = 10 Ma, σ = 12 Ma, σ = σ = 6 Ma 6

Vergelijkbare documenten

Tentamen CT2031. ConstructieMechanica 3

Tentamen CT2031. ConstructieMechanica 3 Subfacuteit Civiee Techniek Vermed op baden van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NM : Tentamen CT031 ConstructieMechanica 3 14 apri 010 van 14:00 17:00 uur s de kandidaat niet vodoet aan de