TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, uur Het tentamen levert maximaal 2 punten op. De verdeling is bij de vragen aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen en geef hierbij ook een argumentatie. (a) De statische wrijvingscoëfficiënt µ s tussen twee materialen is een dimensieloze materiaaleigenschap die kan worden bepaald door een blokje van het ene materiaal te plaatsen op een afstand r van het middelpunt van een draaiende schijf van het andere materiaal (zie figuur). Afhankelijk van de statische wrijvingscoëfficiënt µ s zal het blokje bij een bepaalde kritische hoeksnelheid ω gaan glijden. ω N F w O F z r Men bedenkt dat het moment van glijden afhangt van de volgende fysische grootheden: 1) de locatie r van het blokje 2) de hoeksnelheid ω 3) de zwaartekrachtsversnelling g Hoeveel dimensieloze groepen beschrijven dit probleem en waarom? (b) In bovenstaand probleem wordt gezocht naar het volgende dimensieloze verband: Π(r,ω,g) = [r ar ω aω g ag ] = 1. Laat zien dat een mogelijke dimensieloze groep wordt gegeven door: ω2 r g. (c) In bovenstaand probleem is bij de kritische hoeksnelheid ω de wrijvingskracht F w = µ s N nog juist in evenwicht met de centripetale kracht F c = mω 2 r. Hierin is N de normaalkracht die de schijf uitoefent op het blokje. Laat zien dat de dimensieloze groep uit de vorige vraag overeenkomt met µ s. 1

2 (d) De kinematische wrijvingscoëfficiënt kan experimenteel worden bepaald door de glijweg L van een glijdend blokje over een vlakke plaat te meten. Er geldt: µ k = v2 2gL. Hierin is v de beginsnelheid en g de zwaartekrachtsversnelling. Men meet in een bepaald geval de volgende waarden: v = 3.13 ±.6 m/s, g = 9.8 ±.1 m/s 2 en L = 1.1 ±.6 m. Geef de waarde en de nauwkeurigheid van µ k in de vorm µ k ± µ k, met hierin het juiste aantal significante cijfers. (e) Een deeltje ondervindt een versnelling gegeven door: a = a e t/τ. Op t = heeft het deeltje een snelheid v. Uiteindelijk (op t = ) bereikt het deeltje een snelheid 2v. Bepaal v als functie van a en τ. (f) Wat zijn in de vorige opgave de dimensies van a en τ? (g) De positie van een deeltje wordt gegeven door: r(t) = x cos(ωt) e x + y sin(ωt) e y met x en y twee positieve constanten. Geef een beschrijving van de baan die het deeltje doorloopt en bepaal de snelheid en de versnelling. (h) Een electron met massa m e wordt met een snelheid v in x-richting midden tussen twee evenwijdige platen ter lengte L geschoten (zie figuur). De onderste plaat is positief geladen waardoor het electron ten gevolge van het elektrisch veld E een kracht ondervindt ter grootte F = qe e y. De bovenste plaat bevindt zich op afstand d. L e y d e x y + Op welke afstand y ten opzichte van het midden van de platen zal het electron zich bevinden op het moment dat de x-positie x = L bedraagt? De invloed van de zwaartekracht mag worden verwaarloosd. 2

3 Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 3/4 maandag 1 oktober 27, uur 2. Een bolvormige cel geladen met elektrische lading q bevindt zich in een bekerglas met vloeistof en beweegt langzaam naar de bodem. Het bekerglas is geplaatst in een homogeen elektrisch veld E. Op tijdstip t = werd de cel vanuit rust losgelaten op hoogte h. We zijn geïnteresseerd in het moment t e waarop de cel de bodem bereikt. Hierbij gaan we uit van de volgende gegevens (zie ook de figuur). z = h E q, R, ρ c = ρ v e z g ρ v z = De dichtheid van de vloeistof bedraagt ρ v die van de cel ρ c. Er geldt dat ρ c = ρ v. De cel wordt bolvormig verondersteld met radius R (volume V c = 4 3 πr3 ). De zwaartekrachtsversnelling bedraagt g en werkt in negatieve z-richting, de elektrische veldsterkte bedraagt E en is naar boven gericht. De kracht die op de cel werkt als gevolg van het elektrische veld bedraagt F e = q E. We zullen eerst de wrijvingskrachten verwaarlozen: (a) Geef de grootte en richting van de krachten die op de cel werken uitgedrukt in de gegeven grootheden en laat zien dat de zwaartekracht geen invloed heeft op de beweging van de cel. (b) Laat zien dat voor de versnelling a die de cel ondervindt geldt: a = 4ρ c πr. 3 (c) Bepaal de snelheid v en de positie z van de cel als functie van de tijd. Druk het antwoord weer uit in de gegeven grootheden. (d) Op welk tijdstip t e en met welke snelheid v e bereikt de cel de bodem in het wrijvingsloze geval? We gaan nu de invloed van de wrijving meenemen: (e) De wrijvingskracht wordt gegeven door de relatie van Stokes: F w = 6πη v Rv, met η v de dynamische viscositeit van de vloeistof. Laat voor dit geval zien dat geldt: dt + γv + a = met γ = 9η v 2ρ c R 2 en a = 4ρ c πr 3. 3

4 (f) Schrijf w = γv+a en laat zien dat uit bovenstaande volgt dat v = a γ (1 e γt ). (g) Wat is nu de eindsnelheid v e en de tijd t e? Neem hierbij aan dat de viscositeit η v zo hoog is dat a /γ 2 h. Het is voldoende de antwoorden uit te drukken in γ, a en h. 4

5 1. Antwoorden: TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden by het tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) maandag 1 oktober 27, uur (a) Het aantal fysische grootheden n bedraagt n = 3. Het aantal basisdimensies k bedraagt k = 2 ( nl. uit {L, M}). Volgens het Buckingham Π-theorema wordt het probleem dan beschreven door n k = 1 dimensieloze groep. (b) Invullen van de dimensies geeft: Dit geeft: 1 = L ar T aω L ag T 2ag = L ar+ag T aω 2ag a r + a g = a ω 2a g = Kiezen we a r = 1 dan volgt a g = 1 en a ω = 2. Met andere woorden: Π( ω2 r g ) =. (c) Uit evenwicht tussen F w = µ s N = µ s mg en F c = mω 2 r volgt dat: µ s mg = mω 2 r µ s = ω2 r g (d) Relatieve fouten optellen geeft 2*2%+.1%+6%=1%. De uitkomst wordt dan µ k =.5 ±.5. (e) Voor de snelheid geldt: v = v + voor t vinden we dan: adt = v a τe t/τ + a τ. 2v = v + a τ v = a τ. (f) De speciale functie e t/τ heeft geen dimensie dus moet de dimensie van a gelijk zijn aan de dimensie van a, m.a.w. [a ] = L T 2. Het argument van een e-macht (t/τ) mag geen dimensie hebben, m.a.w. [τ] = [t] = T. (g) Het deeltje doorloopt een baan in de vorm van een ellips. De snelheid bedraagt: v(t) = d r dt = x ω sin(ωt) e x + y ω cos(ωt) e y. De versnelling wordt dan: a(t) = d v dt = x ω 2 cos(ωt) e x y ω 2 sin(ωt) e y. 5

6 (h) Uit de tweede wet van Newton volgt voor de versnelling a: 2. Antwoorden: F = m a a = F m e = qe m e e y De snelheid wordt dan: v v = Hieruit volgt een positie volgens: r r = Voor de lengte L geldt: adt v = v e x qe m e t e y. vdt r = v t e x qe 2m e t 2 e y L = v t e t e = L/v. De verplaatsing in y-richting is gelijk aan: y = qe 2m e t 2 e = qel2 2m e v 2 (a) De elektrische kracht: F e = qe e z. De zwaartekracht: F z = m c g = 4 3 πr3 ρ c g e z = V c ρ c g e z. De opwaartse kracht: F opw = m v g = 4 3 πr3 ρ v g e z = V c ρ v g e z. Omdat ρ v = ρ c wordt de zwaartekracht opgeheven door de opwaartse kracht. (b) Uit de tweede wet van Newton volgt: ΣF = ma qe = ρ c 4 3 πr3 a a = 4ρ c πr 3. (c) De snelheid volgt uit: v = v + De positie uit: z = z + adt = 4ρ c πr 3t. vdt = h 8ρ c πr 3t2. 6

7 (d) Als de cel de bodem bereikt geldt z = en dus: h = 8ρ c πr 3t2 e t e = 8hρc πr 3. Voor de snelheid geldt dan: v e = 8hρc πr 3 3hqE 4ρ c πr 3 = 2ρ c πr. 3 (e) De tweede wet van Newton geeft nu: ΣF = ma 4 qe 6πη v Rv = ρ c 3 πr3 dt. Hieruit volgt: dt + 9πη vr 2ρ c πr 3v + ρ c 4πR =. 3 Dit geeft tot slot: dt + γv + a = met γ = 9η v 2ρ c R 2 en a = 4ρ c πr 3. (f) Uit w = γv + a volgt v = w/γ a /γ zodat: dt = 1 dw γ dt dw dt + γw = w = ce γt. Uit v() = volgt w() = c = a. Dit geeft voor v: v = a γ (1 e γt ). (g) Voor de positie geldt: z = z + Voor a /γ 2 h geldt dan: ( a γ + a γ e γt )dt = h a γ t a γ 2e γt + a γ 2. z(t e ) = h a γ t e = t e = γh a. De eindsnelheid volgt uit v voor grote t: v e a /γ. 7