Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5

Transcriptie

1 ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN Faculteit Biomedische echnologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica entamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5 vrijdag 3 februari 2012, uur Het tentamen bestaat uit 4 opgaven die elk maximaal 20 punten opleveren. De verdeling is bij de vragen aangegeven. Geef bij elk antwoord een argumentatie. 1

2 1. Een onderzoeker is geïnteresseerd in de Young s modulus E van een papillairspiertje. Hij neemt een cilindrisch proefstukje, hangt dat vertikaal op, en bevestigt aan de onderzijde een massa m. In de uitgerekte toestand heeft het proefstukje een lengte l en een dwarsdoorsnedeoppervlak A. Vervolgens geeft hij de massa een kleine uitwijking, waardoor die een trilling gaat uitvoeren met een periodetijd. De onderzoeker vermoedt dat hij de Young s modulus E kan E, A bepalen uit de grootheden, m, A en l en gaat op zoek naar dimensieloze groepen π i van de vorm: l π i = E a E a m a m A a A l a l m 1 pnt 5 pnt 4 pnt (a) oon aan dat de relatie tussen bovenstaande grootheden door 2 dimensieloze groepen wordt bepaald. (b) Laat zien dat een mogelijke eerste dimensieloze groep wordt gegeven door π 1 = A l 2. (c) Bepaal een tweede dimensieloze groep π 2, onder de voorwaarde a A = 0. De onderzoeker leidt af dat voor de trillingstijd van de massa geldt: ml = 2π EA 1 pnt (d) Laat zien dat deze relatie in overeenstemming is met de hiervoor bepaalde dimensieloze groepen π 1 en π 2. In het experiment geldt m = (10.0±0.1) g, l = (2.0±0.1) cm, A = (1.0±0.1) 10 6 m 2. De trillingstijd wordt bepaald uit meting van twee opeenvolgende tijdstippen t 1 = (450 ± 1) ms en t 2 = (550 ± 1) ms waarop de massa de laagste positie bereikt. 9 pnt (e) Bepaal de waarde en nauwkeurigheid van E in de vorm E ± E, met hierin het juiste aantal significante cijfers.

3 2. Een persoon met massa m zit in een massaloos stoeltje in een zweefmolen. Hij beschrijft met een constante hoeksnelheid ω 0 een cirkelvormige baan met straal R, zie figuur. e z g e y e x z = H ω 0 R θ m B A O Het stoeltje hangt aan een massaloos touw met daarin een spankracht. Het touw maakt een hoek θ met het horizontale vlak. De gravitatieversnelling heeft een grootte g. De positie r(t) van de persoon ten opzichte van de oorsprong O wordt gegeven door: r(t) = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z = R cos(ω 0 (t t A ) + ϕ) e x + R sin(ω 0 (t t A ) + ϕ) e y + C e z waarin C en ϕ constanten zijn. Op t = t A s bevindt de persoon zich in punt A met y A = 0. In punt B geldt x B = 0. (a) Druk de constanten C en ϕ uit in de gegeven grootheden. (b) Bereken de snelheid v(t) en de versnelling a(t) van de persoon. We beschouwen nu de situatie in punt B. (c) eken het free body diagram van de persoon. (d) Druk, gebruik makend van de tweede wet van Newton, de grootte van de spankracht in het touw uit in de grootheden θ, m en g. (e) Druk de hoek θ uit in de grootheden ω 0, R en g. Als de persoon na een aantal omwentelingen weer in punt A is aangekomen, knapt het touw. We stellen dit tijdstip gelijk aan t = 0 s. We beschouwen de baan van de persoon, waarbij we luchtwrijving verwaarlozen. 4 pnt (f) Druk de snelheidsvector v(t) van de persoon uit in de grootheden in de figuur. (g) Bereken de positievector r(t) van de persoon, gemeten ten opzichte van de oorsprong O. (h) Bereken de afstand s die de persoon in horizontale richting aflegt tot hij op de grond belandt.

4 3. De machine van Atwood is een apparaat waarmee de zwaartekrachtsversnelling g bepaald kan worden, zie onderstaande figuur. wee blokjes met gelijke massa M zijn verbonden aan een massaloos touw, dat over een wrijvingsloze katrol K g K hangt. Een plaatje met massa m wordt bovenop het ene blokje gelegd. Als het systeem wordt losgelaten, gaan de blokjes versnellen. (a) eken de vrije-lichaamsdiagrammen van de massa s M en M + m. m M (b) Pas de tweede wet van Newton toe op massa s M en M + m. (c) Druk de versnelling van de rechter massa uit in M, m en g. Als de blokjes een afstand H hebben afgelegd, blijft de plaat op een ring R hangen terwijl de blokjes met constante snelheid v 0 verder bewegen. 5 pnt (d) Gebruik een energie-beschouwing om v 0 uit te drukken in m, M, g en H. Als het rechter blokje in een tijdsinterval t D de afstand D afgelegd heeft belandt het op het platform P. M s R P k H D 1 pnt (e) Druk v 0 uit in t D en D. De gravitatieversnelling g volgt uit het gelijkstellen van de uitdrukkingen voor v 0 in onderdelen (d) en (e). Als het rechter blokje het platform P raakt, valt de verbinding met het linker blokje weg doordat het touw niet meer gespannen is. Onder de plaat bevindt zich een veer met veerconstante k, die wordt ingedrukt over een afstand s. 5 pnt (f) Geef de relatie tussen de maximale indrukking s max van de veer en M, v 0, k en g. Verwaarloos wrijvingseffecten. De verplaatsing van het platform P blijkt tegengewerkt te worden door een constante wrijvingskracht met een grootte F w. (g) Geef opnieuw de relatie tussen de maximale indrukking s max van de veer en M, v 0, k, g en F w.

5 4. Een vat met een dwarsdoorsnedeoppervlak A 1 is tot een hoogte h 0 gevuld met water, zie onderstaande figuur. A 1, v 1 g Op tijdstip t = 0 wordt er onder in het vat een opening met een dwarsdoorsnedeoppervlak A 2 gemaakt, waardoor water met een snelheid v 2 h naar buiten stroomt. De stroming is zodanig dat we de wet van Bernoulli mogen toepassen. De omgevingsdruk is gelijk aan p 0. We beschouwen nu eerst de situatie waarin geldt dat A 1 A 2. A 2, v 2 (a) oon aan dat onder deze voorwaarde in goede benadering geldt dat v 1 = 0. (b) Onder welke voorwaarde mag de wet van Bernoulli gebruikt worden om de stroming te analyseren? (c) oon aan dat geldt v 2 = 2gh 0. We beschouwen nu de situatie waarin niet meer geldt dat A 1 A 2. (d) oon aan dat geldt v 2 (t) = α 2gh(t) en druk de constante α uit in de gegeven grootheden. Een massa m is via twee veren, met gelijke veerconstanten k, verbonden aan de vaste wereld. Op positie x = 0 zijn beide veren onbelast. Voor t < 0 wordt de massa vastgehouden op positie x = x 1 > 0. Op t = 0 wordt de massa losgelaten. De bewegende massa ondervindt geen wrijving en geen invloed van de zwaartekracht. k 1 m k 2 x 4 pnt (e) Laat met behulp van de tweede wet van Newton zien dat de beweging van de massa voldoet aan de trillingsvergelijking. (f) oon aan dat de positie van de massa kan worden beschreven door: x(t) = A sin (ωt + ϕ) en bereken ω. (g) Bereken A en ϕ.

6 1. Antwoorden: (a) Er zijn 5 fysische grootheden (E,, m, A, l) en 3 basis dimensies (L, M, ). Er zijn dus 5-3=2 dimensieloze groepen die het probleem beschrijven. (b) Uit [E a E a m am A a A l a l ] = 1 volgt bij invullen van de dimensies: (ML 1 2 ) a E () a (M) am (L 2 ) a A (L) a l = 1 M a E+a m L a E+2a A +a l 2a E+a = M 0 L 0 0 Dit geeft: a E + a m = 0 a E + 2a A + a l = 0 2a E + a = 0 In de groep π 1 = A/l 2 geldt a A = 1, a l = 2 en a E = a m = a = 0. Deze combinatie voldoet aan bovenstaande set vergelijkingen. (c) We stellen a A = 0 (gegeven) en kiezen (bijvoorbeeld) a E = 1. Dan volgt a m = 1, a l = 1 en a = 2. Een tweede dimensieloze groep wordt dus gegeven door π 2 = E 2 l/m. (d) Met bovenstaande groepen geldt: π 1 π 2 = E 2 A ml. Herschrijven levert = π 1 π ml 2 EA hetgeen in overeenstemming is met de gegeven relatie voor. (e) Er geldt: E = 4π 2 ml A 2 Voor de periodetijd geldt = t 2 t 1 = (100 ± 2) ms. Voor de relatieve fout in E geldt: E E = m m + l + A l A + 2 = = 0.2 Invullen van de waarden levert E ± E = (7.9 ± 1.6) 10 5 Pa, of, iets voorzichtiger, E ± E = (8 ± 2) 10 5 Pa.

7 2. Antwoorden: (a) Op het tijdstip t = t A geldt r = R e x + H e z (uit de figuur) maar ook r = R cos(ϕ) e x + R sin(ϕ) e y + C e z (uit het algemene voorschrift) waaruit volgt C = H en ϕ = 0. (b) De snelheid volgt uit: v = d r dt = ω 0R sin(ω 0 (t t A ) + ϕ) e x + ω 0 R cos(ω 0 (t t A ) + ϕ) e y De versnelling volgt uit: a = d v dt = ω2 0R cos(ω 0 (t t A ) + ϕ) e x ω 2 0R sin(ω 0 (t t A ) + ϕ) e y (c) Free body diagram in punt B (links) sin θ mg e z cos θ (d) De tweede wet van Newton geeft voor de z richting: ΣF z = mg + sin θ = 0 = mg sin θ (e) De tweede wet van Newton geeft voor de y richting: ΣF y = cos θ = mω0r 2 cos θ = mω2 0R ( ) g θ = arctan ω0r 2 (f) Voor de snelheid geldt: v(t) = v 0 + t (g) Voor de positie geldt: r(t) = r t 0 adτ = ω 0 R e y gt e z e y vdτ = R e x + H e z + ω 0 Rt e y 1 2 gt2 e z. (h) De afstand s wordt bereikt op tijdstip t s met z(t s ) = 0. Dus: H 1 2 gt2 s = 0 t s = 2Hg Voor s geldt dan: s = ω 0 Rt s θ mg = ω2 0R sin θ g

8 3. Antwoorden: (a) Vrije-lichaamsdiagrammen: Mg (M + m)g (b) weede wet van Newton voor linker en rechter massa: Mg = Ma 1 (M + m)g = (M + m)a 2 waarin a 1 en a 2 de versnelling van de linker en rechter massa voorstellen. (c) Invullen van a 1 = a 2 en elimineren van levert: a 2 = mg 2M + m (d) Er werken alleen conservatieve krachten, dus de mechanische energie is constant: E = U + K = (+MgH (M + m)gh) + 1(2M + 2 m)v2 0 = (2M + m)v2 0 = mgh v 0 = 2m 2M+m gh. (e) De massa s bewegen met constante snelheid dus v 0 = D/t D. (f) Er werken alleen conservatieve krachten, dus de mechanische energie is constant: E = U + K Mgs max ks2 max 1 2 Mv2 0 = 0 (g) Nu is de verwandering van de mechanische energie gelijk aan de arbeid door de wrijving: E = U + K = W nc Mgs max ks2 max 1 2 Mv2 0 = F w s max

9 4. Antwoorden: (a) Op grond van de wet van behoud van massa geldt v 1 A 1 = v 2 A 2 ofwel v 1 = (A 2 /A 1 )v 2. Als A 1 A 2 geldt dus v 1 0. (b) De stroming moet incompressibel, wrijvingsloos en stationair zijn. (c) Volgens de wet van Bernoulli geldt p+ 1 2 ρv2 +ρgh = constant. Hier toepassen levert p 0 + ρgh 0 = p ρv2 2 waaruit volgt v 2 = 2gh 0. Merk op dat h = h 0 omdat v 1 0. (d) Volgens de wet van Bernoulli geldt nu p ρv2 1+ρgh = p ρv2 2. Elimineren van v 1 met behulp van de wet van behoud van massa (v 1 A 1 = v 2 A 2 ) levert: ( ( ) 2 ) A2 1 1 = 2gh(t) v 2 = α 2gh(t) met α = v 2 2 A 1 (e) De tweede wet van Newton levert: ΣF x = ma x kx kx = m d2 x dt 2 d2 x dt 2 + 2k m x = 0 Deze vergelijking heeft de vorm van de standaard trillingsvergelijking. (f) Er geldt: x(t) = A sin(ωt + ϕ) v(t) = Aω cos(ωt + ϕ) 1 ( A2 A 1 a(t) = Aω 2 sin(ωt + ϕ) Invullen van x(t) en a(t) in de trillingsvergelijking toont aan dat deze oplossing voldoet als ω = 2k/m. (g) Uit v(0) = 0 volgt ϕ = π/2. Vervolgens volgt uit x(0) = A dat A = x 1. ) 2