Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)

Transcriptie

1 Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 22 november 2001 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Auditorium, zaal 9, 10, 15 en 16 Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook is verboden. Wel toegestaan zijn het uitgereikte formuleblad en een eenvoudige rekenmachine. Succes! Opgave 1 Een van de tuien van een tuibrug is bevestigd aan het brugdek zoals geschetst in Figuur 1. Het driehoekige bevestigingsblok is vervaardigd van beton en wordt door de tui belast onder een hoek van α = 30. Dit leidt tot een spanningstoestand in het blok die homogeen verondersteld kan worden en die gegeven is door σ = σ e 1 e 1 met σ = 2.0 MPa. Het blok is gemaakt van beton. Het materiaal kan isotroop en lineair elastisch verondersteld worden, met elasticiteitsmodulus (Young s modulus) E = 20 GPa en dwarscontractiecoëfficiënt (Poisson s ratio) ν = e 3 e z e 1 α = 30 e y = e 2 e x Figuur 1: Bevestigingspunt in tuibrug a. Herschrijf de spanningstensor (stress tensor) σ in termen van de basis { e x, e y, e z }. b. Bereken de spanningsvector (stress vector) die werkt op het ondervlak van het blok. c. Bereken de normaalspanning (normal stress) werkend op het ondervlak van het blok. d. Bereken de schuifspanning (shear stress) op het ondervlak en geef de richting waarin deze op het blok werkt weer in een schets. e. Bereken de normaalrek (normal strain) inde e 1 -richting. 1

2 Opgave 2 Elektronische componenten bevatten veelal dunne lagen geleidend materiaal. Om inzicht te krijgen in de mechanische eigenschappen van een dergelijk materiaal wordt het onderworpen aan een buigtest. Het betreft hier een isotroop metaal met elasticiteitsmodulus E = 40 GPa en vloeispanning (yield stress) σ y = 27 MPa. Voor de dwarscontractiecoëfficiënt kan ν = 1 genomen worden. Een laagje van het 3 metaal is aangebracht op een glasvezel-versterkt epoxy substraat. Het geheel wordt belast in zuivere buiging, zie Figuur 2. e z metaal t + t t T e y e x substraat R Figuur 2: Buiging van dunne metaallaag op substraat Het verplaatsingsveld in de metaallaag wordt bij goede benadering gegeven door u = x R ( 1 2 T + z) e x + ( t t ) z x2 e z 2R waarbij T en t de dikte zijn van respectievelijk substraat en metaallaag in de onvervormde toestand, t de dikteverandering van de metaallaag ten gevolge van de buiging is en R de kromtestraal van het geheel in gebogen toestand (zie de figuur). a. Bepaal de bij dit verplaatsingsveld behorende rektensor (strain tensor) ε. b. Bepaal de spanningscomponent σ zz als functie van z onder de veronderstelling van elastisch gedrag. c. Welke randvoorwaarde (boundary condition) kan gegeven worden voor σ zz aan het vrije oppervlak van de metaallaag (z = t)? Bepaal uit deze voorwaarde de relatieve dikteverandering t/t als functie van T, t en R. Voor een metaallaag met dikte t = 0.10 mm wordt het spanningsveld gegeven door σ = 3E [ ] (7t + 2z) ex e x + (2t + z) e y e y (t z) e z e z 4R In eerste instantie wordt verondersteld dat de elastische limiet van het metaal gegeven wordt door het vloeicriterium (yield criterion) van Tresca, dat geschreven kan worden als 2τ max = σ y met τ max de maximale schuifspanning (maximum shear stress) d. Bereken bij welke kromtestraal R deze elastische limiet bereikt zal worden. In werkelijkheid blijkt voor het eerst plastische deformatie op te treden bij een kromtestraal van R = 0.95 m. Een mogelijke verklaring voor deze afwijkende waarde is gelegen in het zogenaamde gradiënteffect; dit wil zeggen dat de grens van het elastische gebied behalve door de maximale schuifspanning ook beïnvloed wordt door de gradiënt van deze grootheid. Dit effect wordt in rekening gebracht in het volgende, alternatieve vloeicriterium: 2τ max d τ max =σ y waarin d een lengteparameter is in de ordegrootte van de gemiddelde korreldiameter in het materiaal. e. Bereken voor welke waarde van d de correcte kritische kromtestraal gevonden wordt. Is deze waarde realistisch? 2

3 Opgave 3 Om verzekeringstechnische redenen wordt er een veiligheidsonderzoek ingesteld naar de windmolen die is afgebeeld in Figuur 3. Gezien haar leeftijd en staat van onderhoud bestaat er enige zorg ten aanzien van de stormbestendigheid van de molen en met name van de wieken. Het moge duidelijk zijn dat het eventuele afbreken van een van de wieken grote gevaren met zich mee zou brengen voor de omgeving. Om het risico op een dergelijke calamiteit in te schatten, wordt een analyse gemaakt van de spanningstoestand in de balken die de kern vormen van het wiekenstel. III h e z l e y e x II I Figuur 3: Veiligheidsanalyse van molen Aangezien de molen slechts bij hoge uitzondering nog in bedrijf is, kan de analyse zich beperken tot de ruststand zoals geschetst in de figuur. Enkel spanningen ten gevolge van de windbelasting (in de e y -richting) en het gewicht van de wiek (in de e z -richting) worden in beschouwing genomen. De balken zijn vervaardigd van hout. Trekproeven op een monster van het materiaal laten zien dat bij een spanning van σ y = 45 MPa permanente schade optreedt; op deze waarde dient een veiligheidsfactor (safety factor) vanγ = 1.5 toegepast te worden. Als faalcriterium wordt het Von Mises criterium gehanteerd. a. Hoe realistisch acht u het Von Mises criterium voor een sterk vezelachtig materiaal als hout? b. Welke van de wieken lijkt u het meest kritisch, nummer I, II of III (zie de figuur)? Verklaar uw antwoord. In het volgende beperken we ons tot de balk in de horizontale wiek (nummer II). De spanningstoestand in deze balk kan worden benaderd met σ = 24 ( pw y p h 3 g z ) (l x) 2 e x e x + p w l h (l x) ( ) p g e 2 x e y + e y e x h (l x) ( e 2 x e z + e z e x ) waarbij l en h respectievelijk de lengte en dikte van de (vierkante) balk voorstellen; de constanten p w en p g geven de wind- en gewichtsbelasting per eenheid van balklengte. c. Bepaal de verdeelde belasting (body force) ρ q die nodig is om bovenstaand spanningsveld te genereren. d. Bereken de spanningstensor in het (meest kritische) punt (x, y, z) = (0, 1 2 h, 1 h). Gebruik hierbij 2 p w = 8000 N/m en p g = 4000 N/m, l = 10 m en h = 0.20 m. e. Bereken in hetzelfde punt de Von Mises equivalente spanning. Voldoet de molenwiek aan de gestelde veiligheidseis? 3

4 4

5 Uitwerkingen Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450) Datum: 22 november 2001 Tijd: 14:00 17:00 uur Locatie: Auditorium, zaal 9, 10, 15 en 16 Opgave 1 a. De basisvector e 1 is te schrijven als e 1 = cos α e x + sin α e z Substitutie hiervan in de gegeven uitdrukking voor σ levert σ = σ cos 2 α e x e x + σ cos α sin α( e x e z + e z e x ) + σ sin 2 α e z e z = 1.5 e x e x ( e x e z + e z e x ) e z e z MPa b. De normaalvector op de onderzijde van het blok is n = e z. Hiermee volgt voor de spanningsvector ofwel p = σ n = σ cos α sin α e x σ sin 2 α e z = 0.9 e x 0.5 e z MPa p = σ sin α e 1 = 1.0 e 1 MPa c. De normaalspanning σ nn is gelijk aan σ nn = n σ n = n p = e z ( σ cos α sin α e x σ sin 2 α e z ) = σ sin 2 α = 0.5MPa d. De schuifspanning is de component van de spanningsvector parallel aan het ondervlak. In een schets: σ ns p De grootte σ ns van de schuifspanning volgt uit α σ nn p 2 = σ 2 nn + σ 2 ns als σ ns = p 2 σnn 2 = σ cos α sin α = 0.9MPa e. In het blok heerst een eenassige spanningstoestand in de e 1 -richting. De normaalrek in deze richting is dus gegeven door ε 11 = σ 11 E = σ E =

6 Opgave 2 a. De rektensor volgt uit ε = 1 2 ( u + ( u) T ) = 1 2 T + z e x e x + t e z e z R t b. De zz-component van de spanningstensor is gegeven door 1 2 σ zz = λtr(ε) + 2µε zz = λε xx + (λ + 2µ)ε zz = λ T + z + (λ + 2µ) t R t of, na invullen van de elastische constanten, ( T σ zz = 30 2R + 2 t + z ) GPa t R c. Het vrije oppervlak is spanningsloos, dus voor z = t is σ zz (z = t) = 0 Invullen van bovenstaande uitdrukking voor σ zz en oplossen naar t/t resulteert in t t = T + 2t 4R d. De hoofdspanningen σ 1, σ 2 en σ 3 zijn voor de gegeven spanningstensor σ 1 = σ xx = 3E (7t + 2z) 4R σ 2 = σ yy = 3E (2t + z) 4R σ 3 = σ zz = 3E (t z) 4R Hiermee volgt voor de maximale schuifspanning τ max τ max = 1 2 (σ 1 σ 3 ) = 3E (8t + z) 8R Deze is maximaal voor z = t, dus de elastische limiet wordt bereikt als 27Et 4R = σ y waaruit opgelost kan worden R = 27Et = 1.0m 4σ y e. De maximale schuifspanning is hierboven als functie van z bepaald als τ max = 3E (8t + z) 8R De gradiënt van τ max en de lengte daarvan zijn dus gegeven door τ max = 3E 8R e z τ max = 3E 8R Invullen van deze uitdrukkingen in het nieuwe vloeicriterium leidt voor z = t tot 3E 8R (18t d) = σ y waaruit kan worden opgelost d = 18t 8σ y R = mm 3E Dit zou inderdaad de ordegrootte kunnen zijn van de korreldiameter. 2

7 Opgave 3 a. Hout vertoont een sterk anisotroop gedrag; een isotroop criterium als dat van Von Mises is dus niet erg realistisch. b. De windbelasting is voor alle drie de wieken identiek. De gewichtsbelasting leidt in wiek I tot een trekspanning en in III tot een (even grote) drukspannning, maar in wiek II tot een veel hogere buigspanning. Wiek II is dus het meest kritisch. c. De evenwichtsvergelijking luidt σ + ρ q = 0 Voor de gegeven spanningstoestand volgt ρ q hieruit als ρ q = σ = 48 ( pw y p h 3 g z ) (l x) e x + p w l h e 2 y p g h e 2 z d. Invullen van de gegeven coördinaten en parameters levert σ = 36 e x e x + 2 ( e x e y + e y e x ) 1 ( ex e z + e z e x ) MPa e. De deviatorische spanning in het punt is gelijk aan σ d = σ 1 3 tr(σ )I = 24 e x e x 12 e y e y 12 e z e z + 2 ( e x e y + e y e x ) 1 ( ex e z + e z e x ) MPa Hiermee volgt dat 3 σ vm = 2 σ d : σ d = 36 MPa De toelaatbare spanning bedraagt σ a = σ y γ = 30 MPa Deze wordt dus overschreden en daarmee voldoet de balk niet aan de gestelde eis. 3

8 4